（计算数学专业论文）非负张量特征值研究中的若干问题.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：堑! 1 2 0 1 0 年0 5 月2 9e t 论文题目 非负张量特征值研究中的若 二问题 姓名杨宇宁学号2 1 2 0 0 7 0 0 6 5 答辩日期 2 0 0 9 0 5 2 9 论文类别博士口学历硕士一硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所数学科学学院专业计算数学 联系电话1 3 8 2 0 8 3 4 3 4 9 e m a i l n k 0 3 1 0 1 4 5 g m m l c o r n 通讯地址( 邮编) ：天津市南开大学西区3 号楼3 n 5 0 2 室3 0 0 0 7 1 备注： 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 t 一 | 。擎瓣直茸砚珥丢妊妤非戥申苇箪也毒￥盐掣俐蟛萃拱珥杀甚妤非髻 堆固辫蕈詈专焉( 辑鲤单一) 皇剪晕劬甲。茸碘珥毒明千班、千蕈 晕鲋明士群辫雏甘娶锋砰群章：裂 善 茸砚拦影非椠裂褂显鲁 ：瑕影 乙o s 。一习旦杀￥拦掣：( 彤卿) 再孵兽甄 1 1 1 0 3 i 哆眦刁 g 耖【0 i 0 1 u l 弘m 6 杪步8 0 乙8 i县审呈瓤 杀壕苗*环每捌杂杂性杀骠坷当划 口千班华杀舄刨口蛳醵辫掣 口码杀环每千遮户千迎鲴杀 口千斛眙椠茸砚 目6 乙皆如匆0 i o 乙酶目挺嚣 s 9 0 0 0 0 乙i 乙 鲁嘉牟专辫矽羁 鹭刨士凳明审延掘耳亚斟菩滟兽非目型覃砚 冒翳晕勒萃承珥去干荜搬毒￥妊掣 曰( z 皆了口由叫吡 1 芗阿：专焉y 辞群磊县勤 。晕昂勘锋固哇翱雨延地甲船鲤箪一岳焉肆斟弭章。举砰娶丁皋取晕回y 章 。兽目y 牢甲凿g 智业搿蒜刨业圈啤礁一站甲朝茸观章兽狮与狲壬审茸砚珂杀明革群 2 挺嚣茸砚具藓己# 告i 勤朝貊毕勤坶刨酶区嘉杀￥妊卑翠瞽莓现码杀明y 章：豢凄y 章 。t u l q x o p u y l 0 0 8 ：1 9 i 叱i i 乙o 驯：咖i i 。鞭幽勘锋囤辫互革瞥殚士审茸砚 。茸砚拄钐刨暂础哇革鬻g 罨蝴暂砷静群哇莓群惭掣业e i d 刮脬毋哿茸磁珥嘉妊影非 。胖砰明茸观擎髯璐澎融嚣翠禺龄y 章轴刨。暂邵冒粤岜纂蟛拯舆豳￥胖汗骚觐 茸群璩茸砚珥杂翠群y 劲冀狲士审并谣茸砚珥嘉明圈醛犁群砸瞢群强f 印士审( 殍采) 肚蹲半 杀翻车瞠鲋延船冒兽辑性国串刨珥素辞斟县勘茸识弭杀( 哥) ：覃识珂杀朝妊影篷群孕责举群 僻星辚回赤￥拦掣犁群￥晕蜾里撵群诽( ) ：暂殂冒粤罐唔翕禧i 、甄孵茸弓茸观谣伯群 茸、肇弭罄目茸嵌希誓丁幽圉辫翠罄圜甭蛳甲醉希群垢绮金勘辞国翠僻颈鬃勘茸砚珥嘉朝 妊髟徘雨卫辫杀明目抱性哇素磋椠( z ) 2 窜警骠革弓茸磁珥杂千照斟杂￥妊掣y 嘴蜒 茸嵌珂素甭g 地掣哿硝圭嘴酉砚茸疆由黪、由缮时卷狗且辫嘉( 硎壬印疆章0 智由驾狮群 马) 覃砚珥杂革群犁群辫彰何晕台； 罪舀杀( i ) ：帽砰臼辫覃砚玛杀朝掣圈露犁群嚣砰勤凳 翠旦瞬杂￥妊单。犁群配磊明自唑唑鼙劲茸砚砑嘉甭覃抱￥阜杀￥妊单榔上弓毕y 卓 。列士申珂晔疆卓雪掳覃珏珥杀明y 章萃蕾杂￥妊掣叫彰簖岩畚； 避孕杀干煎、千斟朝辫錾翼哗醢岛出瞠哇罄劲茸讲珥杀甭延拉士￥杀￥拦单辫诽 斗砰群目珊茸观码杀杀￥妊掣 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：塑! 12 0 1 0 年0 5 月2 9 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年 月 日至2 0 年月 日 审批表编号批准日期 2 0 年月日 南开大学学位办公室盖章( 有效) 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) 摘要 张量的概念是十九世纪由g a u s s ，r i e m a n n 和c h r i s t o f f e l 等在微分几何的 研究中提出的。在二十世纪初期，r i c c i 。l e v i c i v i t a 等将张量解析进一步发展 成为数学的一个分支。1 9 1 6 年，e i n s t e i n 将张量应用到其广义相对论的研究 中。这使得张量分析成为理论物理，连续介质力学和其他学科的重要工具。 在应用数学的一个新的分支一多重线性数值代数中，高阶张量特征值已 经成为一项重要课题，并且在实际中有着广泛的运用。在最近对多重线性 代数的研究中，张量特征值问题引起了特别的关注。祁力群在文献 1 5 】中给 出了实超对称张量的超特征多项式，特征值和e 特征值的定义并给出特征值 的若干性质。在文献 1 4 ，1 6 】中，他定义了张量的秩。张恭庆等在文献 2 ，3 】 中探讨了张量特征值的重数，并且在文献【2 】中将p e r r o n - f r o b e n i u s 定理从非 负矩阵推广到非负张量上。同样的定理在文献【1 0 】中也有研究。 本文探讨非负张量特征值的若干问题。在第一章，我们介绍张量的 定义，应用背景及研究进展。在第二章，我们回顾非负张量上的p e r r o n f r o b e n i u s 定理，随后对该定理改进，并得到更强的结论；其次，我们把k y f a n 定理推广到张量上，并进一步探讨了与谱半径估计有关的最大最小值问 题，最后给出非负不可约张量的一个等价条件。这一部分的结果对非负张量 进行了理论上的完善。文中定义了张量的谱半径。在第三章，我们提出一 种计算一类非负张量谱半径和相应特征向量的算法，并分析其收敛性。最 后给出数值例子。 关键词：非负张量：p e r r o n - f r o b e n i u s 定理；k yf a n 定理；最大最小值问题；谱 半径；对角变换；算法 a b s t r a c t t h ec o n c e p to ft e n s o r sw a si n t r o d u c e db yg a u s s ，r i e m a r ma n dc h r i s t o f f e l ， e t c ，i nt h e1 9 t hc e n t u r yi nt h es t u d yo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i nt h ev e r yb e g i n n i n g o ft h e2 0 t hc e n t u r y , r i c c i ，l e v i c i v i t a ，e t e ，f u r t h e rd e v e l o p e dt e n s o ra n a l y s i sa sa m a t h e m a t i c a ld i s c i p l i n e i tw a se i n s t e i nw h oa p p l i e dt e n s o ra n a l y s i si nh i ss t u d yo f g e n e r a lr e l a t i v i t yi n19 16 t h i sm a d et e n s o ra n a l y s i sa ni m p o r t a n tt o o li nt h e o r e t i c a l p h y s i c s ，c o n t i n u u mm e c h a n i c sa n dm a n yo t h e ra r e a so fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n g 【5 ， 7 ，9 ，1 9 e i g e n v a l u e so fh i g h e ro r d e rt e n s o r sh a v eb e c o m ea ni m p o r t a n tt o p i co fs t u d y i nan e wa p p l i e dm a t h e m a t i c sb r a n c h ，n u m e r i c a lm u l t i l i n e a ra l g e b r a , a n dt h e yh a v e aw i d er a n g eo fp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i nr e c e n ts t u d i e so fn u m e r i c a lm u l t i l i n e a ra l - g e b r a 。e i g e n v a l u ep r o b l e m sf o rt e n s o r sh a v ea t t r a c t e ds p e c i a la t t e n t i o n q i 【1 5 】g a v e t h ed e f i n i t i o no fs y m m e t r i ch y p e r d e t e r m i n a n t ，e i g e n v a l u e sa n de - e i g e n v a l u e so fa r e a ls u p e r s y m m e t r i ct e n s o ra n dd i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so fe i g e n v a l u e s h ed e f i n e d t h er a n ko ft e n s o ri n 【1 4 ，16 c h a n ge ta 1 d i s c u s s e dt h ep r o b l e m so fm u l t i p l i c i t y o fe i g e n v a l u e sf o rt e n s o r s 【2 ，3 】i n 【2 】，t h ep e r r o n f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g a t i v em a t r i c e sh a sb e e ng e n e r a l i z e dt ot h ec l a s so fn o n n e g a t i v et e n s o r s t h es a m e c o n c l u s i o nw a sa l s od i s c u s s e di n 【10 i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s ss o m ee i g e n v a l u ep r o b l e m so fn o n n e g a t i v et e n s o r s i n c h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft e n s o r s i t sa p p l i c a t i o n sa n ds t u d ya r e aa r e s h o w nh e r e i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tr e v i e wt h ep e r r o n - f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g a - t i v et e n s o r s ，t h e nw eg i v ef u r t h e rr e s u l t so ni t n e x tw eg e n e r a h z et h eg yf a nt h e o r e m f r o mn o n n e g a t i v em a t r i c e st on o n n e g a t i v et e n s o r s f u r t h e rr e s u l t so nm a x m i np r o b - l e m sa r ed i s c u s s e d l a s tw e g i v ea ne q u i v a l e n tc o n d i t i o nf o rn o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l e t e n s o r s t h ed e f i n i t i o no fs p e c t r a lr a d i u so ft e n s o r si sg i v e nh e r e t o t a l l ys p e a k i n g ， t h e s er e s u l t se n h a n c et h et h e o r yo fn o n n e g a t i v et e n s o r s i nc h a p t e r3 ，w eg i v ea n a l g o r i t h mt of i n do u tt h es p e c t r a lr a d i u so fac l a s so fn o n n e g a f i v et e n s o r s t h ep r o o f s h o w st h a to u ra l g o r i t h mc a na s s u r et of i n do u tt h es p e c t r a lr a d i u sa n di t sc o r r e s p o n d - i n ge i g e n v e c t o rf o rp o s i t i v et e n s o r s n u m e r i c a lr e s u l t sa l ep r e s e n t e di nt h e l a s t k e y w o r d s ：n o n n e g a t i v et e n s o r ；p e r r o n - f r o b i n i u st h e o r e m ；k yf a nt h e o r e m ； m a x m i np r o b l e m ；s p e c t r a lr a d i u s ；d i a g o n a lt r a n s f o r m ；a l g o r i t h m c o n t e n t s 摘 a b s t r a c t i c o n t e n t s i 1 b a c k g r o u n da n d i n t r o d u c t i o n 1 1 t h ei n s t r u c t i o no ft e n s o r s 1 1 1 2t h e e i g e n v a l u ep r o b l e m so f t e n s o r s 1 2f u r t h e rr e s u l t so nt h ep e r r o n f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g a - f i v et e n s o r s 4 2 1t h ep e r r o n - f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g a t i v et e n s o r s 4 2 2f u r t h e rr e s u l t so nt h ep e r r o n f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g a t i v et e n s o r s 6 2 3t h ek yf a nt h e o r e mf o rn o n n e g a t i v et e n s o r s 1 4 2 4m a x m i np r o b l e m s 1 5 2 5a n e q u i v a l e n tc o n d i t i o no fn o n n e g a t i v e i r r e d u c i b l et e n s o r s2 0 2 6c o n c l u s i o na n dr e m a r k s 2 1 3a na l g o r i t h mt of i n dt h es p e c t r a lr a d i u so fn o n n e g a f i v et e n s o r s 2 2 3 1t h ea l g o r i t h m 2 2 i i i i v 3 2t h e c o n v e r g e n c ea n a l y s i so f t h ea l g o r i t h m 3 3n u m e r i c a lr e s u l t s 3 4c o n c l u s i o na n dr e m a r k s b i b l i o g r a p h y 致谢 a p p e n d i x 个人简历与研究成果 5 2 4 6 8 9 1 2 3 3 3 3 3 4 c h a p t e r 1 b a c k g r o u n da n d i n t r o d u c t i o n 1 1t h ei n s t r u c t i o no ft e n s o r s i h ec o n c e p to ft e n s o r sw a si n t r o d u c e db yg a u s s ，r i e m a n na n dc h r i s t o f f e l ，e t c ，i n t h e19 t hc e n t u r yi nt h es t u d yo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i nt h ev e r yb e g i n n i n go ft h e2 0 t h c e n t u r y , r i c c i ，l e v i - c i v i t a ，e t c ，f u r t h e rd e v e l o p e d t e n s o ra n a l y s i sa sam a t h e m a t i c a l d i s c i p l i n e i tw a se i n s t e i nw h oa p p l i e dt e n s o ra n a l y s i si nh i ss t u d yo fg e n e r a lr e l a t i v i t y i n1 9 1 6 t h i sm a d et e n s o ra n a l y s i sa ni m p o r t a n tt o o li nt h e o r e t i c a lp h y s i c s c o n t i n u u m m e c h a n i c sa n dm a n yo t h e ra r e a so fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n g 【5 ，7 ，9 ，1 9 at e n s o ri sa p h y s i c a lq u a n t i t yw h i c hi si n d e p e n d e n tf r o mc o o r d i n a t es y s t e mc h a n g e s az e r oo r d e rt e n s o ri sas c a l a r af i r s to r d e rt e n s o ri sav e c t o r t h er e p r e s e n t a t i o no f as e c o n do r d e rt e n s o ri nac o - o r d i n a t es y s t e mi sas q u a r em a t r i x n l er e p r e s e n t a t i o n m a t r i c e so fas e c o n do r d e rt e n s o ra r es q u a r em a t r i c e ss i m i l a rt oe a c ho t h e r 1 2t h ee i g e n v a l u ep r o b l e m so ft e n s o r s e i g e n v a l u e so fh i g h e ro r d e rh a v eb e c o m ea ni m p o r t a n tt o p i co fs t u d yi nan e wa p - p l i e dm a t h e m a t i c sb r a n c h ，n u m e r i c a lm u l t i l i n e a ra l g e b r a , a n dt h e yh a v eaw i d er a n g e o fp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i nr e c e n ts t u d i e so fn u m e r i c a lm u l t i l i n e a ra l g e b r a ，e i g e n v a l u e p r o b l e m sf o rt e n s o r sh a v ea t t r a c t e ds p e c i a la t t e n t i o n q i 【15 】g a v et h ed e f i n i t i o no f s y m m e t r i ch y p e r d e t e r m i n a n t ，e i g e n v a l u e sa n de e i g e n v a l u e so f ar e a ls u p e r s y m m e t r i c c h a p ，i e r1 b a c k g r o u n da n dd 门限o d u c t l 0 n 2 t e n s o r a n dh ed e f i n e dt h er a n ko ft e n s o ri n 【1 4 ，1 6 c h a n ge ta 1 d i s c u s s e dt h ep r o b l e m so fm u l t i p l i c i t yo fe i g e n v a l u e sf o rt e n s o r s 【2 ，3 】 t h ep e r r o n f r o b e n i u st h e o r e mi saf u n d a m e n t a lr e s u l tf o rn o n n e g a t i v em a t r i c e s i t h a sb e e nw i d e l yu s e dn o to n l yi nm a t h e m a t i c sb u ta l s oi nv a r i o u sf i e l d so fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , s u c ha se c o n o m i c s ，o p e r a t i o n a lr e s e a r c h ，a n dp a g er a n k i nt h ei n t e m e t , f o r m o r er e f e r e n c e s ，s e e 【1 0 ，1 5 ，1 7 ，1 8 】l i m 【1 0 】a n dc h a n ge ta 1 【2 】g e n e r a l i z e dt h i s t h e o r e mt ot h ec l a s so fn o n n e g a t i v et e n s o r s t h ep e r r o n - f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g - a t i v et e n s o r si sr e l a t e dt om e a s u r i n gh i g h e ro r d e rc o n n e c t i v i t yi nl i n k e do b j e c t s 【11 】a n d h y p e r g r a p h s 4 】n ge ta 1 g a v eam e t h o dt of i n dt h el a r g e s te i g e n v a l u eo fan o n n e g a t i v e t e n s o r 12 】b a s e do ns o m er e s u l t so ff 2 】 i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s ss o m ee i g e n v a l u ep r o b l e m so fn o n n e g m i v et e n s o r s ，e s p e c i a l l yo nt h ep e r r o n - f r o b e n i u st h e o r e mo fn o n n e g a t i v et e n s o r sa n dt h ea l g o r i t h mt of i n d o u tt h es p e c t r a lr a d i u so fn o n n e g a t i v et e n s o r s f i r s tw e g i v ef u r t h e rr e s u l t so nt h ep e r r o n - f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g a t i v et e n s o r sa n dg e n e r a l i z es o m et h e o r e m sf r o mm a t r i c e s t ot e n s o r sa n dg i v ea ne q u i v a l e n tc o n d i t i o nf o rn o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l et e n s o r s t h ed e f - i n i t i o no fs p e c t r a lr a d i u so ft e n s o r si sg i v e nh e r e t h e nw eg i v ea na l g o r i t h mt of i n do u t t h es p e c t r a lr a d i u so fac l a s so fn o n n e g a t i v et e n s o r s t h ep r o o fs h o w st h a to u ra l g o r i t h m c a na s s u r et of i n do u tt h es p e c t r a lr a d i u sa n di t sc o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o rf o rp o s i t i v e t e n s o r s n u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e di nt h el a s t t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o u o w s i nc h a p t e r2 ，w eg i v ef u r t h e rr e s u l t so nt h e p e r r o n f r o b e n i u st h e o r e mf o rn o n n e g a t i v et e n s o r s t h ep e r r o n - f r o b e n i u st h e o r e mf o r n o n n e g a t i v et e n s o r sp r o p o s e db yc h a n ge ta 1 【2 】i sr e c a l l e di ns e c t i o n2 1 t h em a i n r e s u l t si sg i v e ni ns e c t i o n2 2 s e c t i o n2 3a n d2 4a r et h ed i s c u s s i o no ft h ee s t i m a t i o no f t h es p e c t r a lr a d i u so ft h en o n n e g a t i v et e n s o r s a ne q u i v a l e n tc o n d i t i o no fn o n n e g a t i v e i r r e d u c i b l et e n s o r si sg i v e ni ns e c t i o n2 6 i nc h a p t e r3 ，w ep r o p o s ea na l g o r i t h mt of i n d o u tt h es p e c t r a lr a d i u so fn o n n e g a t i v et e n s o r s w eg i v et h ea l g o r i t h mi ns e c t i o n3 1a n d l a yd o w nt h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i si ns e c t i o n3 2 s o m en u m e r i c a lr e s u l t sw i l lb es h o w n i ns e c t i o n3 3 w ef i r s ta d dac o m m e n to nt h en o t a t i o nt h a ti su s e d v e c t o r sa r ew r i t t e na sl o w e r c a s e l e a e m ，g ，) ，m a t r i c e sc o r r e s p o n d t oi t a l i cc a p i t a l s ( a ，b ，) ，a n dt e n s o r sa l ew r i t t e na sc a l l i g r a p h i cc a p i t a l s ( a ，8 ，) t h ee n t r yw i t hr o wi n d e xia n dc o l u m ni n d e x 歹 i nam a t r i xa ，i e ( a ) oi ss y m b o l i z e db yo 巧( a l s o ( a ) 小。= 毗1 ) t h es y m b o ll i c h a p t e r1 b a c k g r o u n da n dd n r o d u c t l 0 n 3 u s e do nam a t r i xa ( o rt e n s o r m e a r l st h a t ( 例) 玎= 1 i ( o r ( 川) m “。= f a i l 1 ) a n dw h e ni ti su s e do i las e tii td e n o t e st h en u m b e ro fe l e m e n t si ni 魍( 解+ ) d e n o t e s t h ec o n e z 月，i z i ( ) o ，t = 1 ，n ) zd e n o t e st h ec o m p l e xf i e l d w ec a l l 锄 o r d e rmd i m e n s i o nnt e n s o rt h eu n i tt e n s o ri fi t se n t r i e sa r e 瓯1 f o ri l ，i m = 1 w h e r e 尻l = 1i fa n do n l yi fj f l = = i , na n dd e n o t ei tb yz t h es y m b o l a ( ，s ， ， o ，f f a l lc o m p o n e n t so f x oa r ep o s i t i v e ( 3 ) i fai sa ne i g e n v a l u ew i t hn o n n e g a t i v ee i g e n v e c t o r , t h e na = a o 。m o r e o v e r , t h e c h a p t e r2 。f u r t h e rr e s u l t so nt h ep e r r o n - f r o b e n i u st h e o r e m f o r 鉴( 鲨尘堡鱼垒翌塑型璺q 垦!一 _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - - - _ _ _ _ 。_ _ _ - - _ _ - _ _ - - _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ - _ - 一 n o n n e g a t i v ee i g e n v e c t o r i su n i q u eu pt oam u l t i p l i c a t i v ec o n s t a n t ( 4 ) 矿a 西a ne i g e n v a l u e o f at h e n a o a n dt h er e d u c i b i l i t yo ft e n s o ri sd e f i n e da sf o