（模式识别与智能系统专业论文）基于数据的非线性系统稳定性分析.pdf

f | i i if i if i l lil lf i ii ii if 武汉科技大学 y 17 3 9 5 7 4 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 诂文作暑签名：_ ：奎i 褪 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 论文作者签名：奎退 指导教师签名：d 丝叁牡 日期： 孚，7 d j 。，冬 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 非线性系统的稳定性分析方法有：相平面法、描述函数法、绝对稳定性理论、李雅普 诺夫稳定性理论和输入输出稳定性理论等。由于非线性系统的复杂性，这些方法在描述非 线性系统稳定性方面都有其自身的应用范围和局限性。近年来出现的非线性系统逼近基元 模型分析方法，为非线性系统的稳定性研究提供了一种新的思路。 本文首先介绍了非线性系统逼近基元模型的描述，以及逼近基元状态转移动力学和逼 近基元空间稳定性分析等相关理论。然后提出一种基于数据建立逼近基元模型的多维支持 向量回归算法，并给出逼近基元状态转移矩阵的算法，以及基于状态转移矩阵分析非线性 系统稳定性的算法。为了进一步量化描述逼近基元感受野的稳定性，定义了逼近基元稳定 水平和水平截集稳定性，并给出了算法描述。 最后针对线性系统、具有单平衡态和多平衡态的非线性系统，讨论了基于数据建立的 逼近基元模型分析系统稳定性的方法的优点和不足。 关键词：非线性系统；稳定性分析；逼近基元； a b s t r a c t t h es t a b i l i t ya n a l y s i sm e t h o d sf o rn o n l i n e a rs y s t e m si n c l u d et h ep h a s ep l a n em e t h o d ，t h e d e s c r i b i n gf u n c t i o nm e t h o d ，t h ea b s o l u t es t a b i l i t yt h e o r y , a n dt h ei n p u t o u t p u ts t a b i l i t yt h e o r y t h e s em e t h o d so nt h es t a b i l i t yo fn o n l i n e a rs y s t e m sh a v et h e i ro w na p p l i e df i e l d s a n d l i m i t a t i o n sb e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t i e so fn o n l i n e a rs y s t e m s i nr e c e n ty e a r s ，t h ea p p r o a c h i n g e l e m e n tm o d e lo fn o n l i n e a rs y s t e m sh a sp r o v i d e dan e w r e s e a r c hw a yf o r t h es t a b i l i t ya n a l y s i s o fn o n l i n e a rs y s t e m s t h i sd i s s e r t a t i o nf i r s ti n t r o d u c e st h et h e o r ya b o u tt h ea p p r o a c h i n ge l e m e n tm o d e l ，a n d g i v e san e wk i n d o fm u l t i o u t p u ts u p p o r tr e g r e s s i o na l g o r i t h m s ，w h i c h i s a p p l i e d o n i d e n t i f i c a t i o no fa p p r o a c h i n ge l e m e n tm o d e l b ye s t a b l i s h i n gat r a n s f e r r i n gm a t r i xi nt h e e l e m e n ts p a c e ，a na l g o r i t h mf o rs t a b i l i t ya n a l y s i so fn o n l i n e a rs y s t e m si sp r o p o s e d f o r q u a n t i t a t i v ed e s c r i b i n gt h es t a b i l i t yo fr e c e p t i v ef i e l do fa p p r o a c h i n ge l e m e n t ，t h ec o n c e p t so f t h es t a b i l i t yl e v e lo fa p p r o a c h i n ge l e m e n ta n dt h es t a b i l i t yo fl e v e l - c u th a v e b e e nd e f i n e d a tt h ee n do ft h i sd i s s e r t a t i o n ，a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h es t a b i l i t ya n a l y s i s m e t h o db a s e do nc o n s t r u c t i n ge l e m e n tm o d e la r ed i s c u s s e db ya n a l y z i n gl i n e a rs y s t e m s ， n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hs i n g l ee q u i l i b r i u mo rm u l t i p l ee q u i l i b r i u m s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ；s t a b i l i t ya n a l y s i s ；a p p r o x i m a t i o ne l e m e n t 武汉科技大学硕士学位论文第1 i i 页 目录 摘要i a b s n a c t i i 第一章绪论1 1 1 非线性系统特性1 1 2 非线性系统的稳定性分析方法及其局限性1 1 3 非线性系统模型2 1 4 选题的目的和本文做的工作3 第二章非线性系统逼近基元模型5 2 1 逼近基元模型。5 2 2 1 模型描述5 2 2 2 逼近基元感受野5 2 2 逼近基元状态转移矩阵6 2 2 1 一步逼近基元状态转移矩阵7 2 2 2 多步逼近基元状态转移矩阵8 2 3 非线性系统逼近基元模型稳定性8 2 3 1 逼近基元空间稳定性定义9 2 3 2 基于逼近基元状态转移矩阵的稳定性分析1 1 第三章基于数据的稳定性算法1 2 3 1 基于数据建立非线性系统逼近基元模型1 2 3 2 基于逼近基元模型建立逼近基元状态转移矩阵15 3 3 基于逼近基元状态转移矩阵分析非线性系统稳定性1 6 3 4 逼近基元稳定性l8 第四章基于数据的非线性系统逼近基元模型稳定性仿真研究2 0 4 1 实验一线性系统的稳定性研究2 0 4 2 实验二单平衡态的非线性系统稳定性研究2 4 4 3 实验三多平衡态的非线性系统稳定性研究2 7 4 4 实验总结3 2 第五章总结与展望3 3 5 1 总结3 3 5 2 展望3 3 参考文献3 4 致调十3 6 附录a 攻读硕士学位期f n j 发表的论文3 7 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 一切实际存在的系统都或多或少地具有非线性。有些非线性是系统本身所固有的，而 有些非线性系统( 如通信系统、电力电子系统等) 则常常要利用电子器件的非线性来达到 设计要求瑚t 圳。近年来得到飞速发展的神经网络n 3 15 4 屯4 5 1 系统，更是一个本质非线性的非 线性系统。因此对非线性系统进行深入的分析，并研究对其进行控制的方法，具有十分重 要的意义。 1 1 非线性系统特性 ( 1 ) 多平衡态 对于一个系统而言，将其状态维持不变的点称为平衡点。非线性系统一般都存在多个 性质有所差异的平衡点，这是区别于线性系统的主要标志之一。 ( 2 ) 极限环 某些非线性系统在无任何外力作用的情况下，呈现出一种固定频率和固定振幅的等幅 振荡，这种振荡通常称为极限环，它也是非线性系统一种独特行为。值得指出的是，与线 性系统由于外作用引起的等幅振荡不同，极限环是非线性系统的一个固有特性，它与系统 的输入无关。 ( 3 ) 混沌 对于某些非线性系统而言，其输出对于初始条件的变化及其敏感，这种现象通常称为 混沌。因此，当一个系统具有混沌特性时，其初始值的微小变化将可能导致输出量的剧烈 改变。这种现象大量存在。一般而言，系统的非线性越强，混沌特性可能越明显。 ( 4 ) 分叉 当非线性系统的参数发生变化时，可能导致两种结果：一种是产生许多新的平衡点， 另一种是其平衡点的稳定性发生变化。 1 2 非线性系统的稳定性分析方法及其局限性 任何实际的系统在工作时都必须考虑“稳定性”问题，只有稳定的系统才能保证系统 在受到扰动后仍能回复到系统原来的工作状态，所以稳定性问题一直是非线性系统研究的 重点内容之一。非线性系统的稳定性分析研究的内容主要包括以下几个方面的内容：平 衡点的稳定性，包括平衡点的局部稳定性和大范围稳定性；周期解的稳定性，主要是极 限环的稳定性；轨线结构的稳定性，这一类问题与分叉等问题密切相连。研究非线性系 统的稳定性有如下几种方法： ( 1 ) 面分析法 相平面分析法m 1 简单直观，例如，非线性系统的多平衡点和极限坏特性就可以在相平 面上直接体现出来，它避免了求解非线性微分方程。因此，这种方法在非线性系统稳定性 分析中得到一定程度的应用。不足的是，作为一种近似的图解方法，这种方法只适用于二 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 阶系统，现在借助与计算机图形学等方法，可以将其扩展到三阶系统。但那时，对于更高 阶的系统而言，相平面分析法就无能为力了。 ( 2 ) 描述函数法 描述函数方法瞳刀可以用来分析非线性系统的稳定性和极限环等问题。但是作为一种近 似的分析方法，应用时必须考虑其前提条件。此外，这种方法只能研究系统的频率响应特 性，而无法进行时域上的分析。 ( 3 ) 绝对稳定性理论 绝对稳定性碑1 的概念是由苏联学者鲁里叶与波斯特尼提出的，所研究的对象是有一个 线性环节和一个非线性环节组成的闭环控制系统，并且非线性部分满足扇形条件。 ( 4 ) 李雅普诺夫稳定性理论 李雅普诺夫稳定性理论2 引是研究非线性系统稳定性的重要理论，其核心是构造一个 李雅普诺夫函数。目前一些经典分析非线性系统稳定性的李雅普诺夫方法有：克拉索夫斯 基法、变量梯度法等，但每种方法都有其一定的针对性，还没有一个能适用于各种情况的 统一构造方法。 ( 5 ) 输入输出稳定性理论 该方法是引用泛函分析的方法讨论系统的输入输出的稳定性，主要是用反映系统输入 函数空间与输出函数空间的非线性算子来进行判定。输入输出稳定性理论可适用于各类控 制系统，包括线性、非线性的，集中参数的和分布参数的，得到的结论也是一般性的。但 不足的是，用输入输出理论所得出的稳定性理论是比较笼统的概念，即只判定系统是全局 稳定的或是全局不稳定的。至于像小范围稳定或稳定范围等更细致的概念，在输入输出稳 定性理论中目前尚无法判定。 ( 6 ) 非线性系统逼近基元模型稳定性分析方法 非线性逼近基元模型稳定性分析方法是近几年出现的一种新的分析非线性系统稳定 性的方法n 2 3 制。该方法基于对状态空间的有限划分，建立逼近基元模型，将系统在状态 空间动力学映射到逼近基元空间中用基元状态转移矩阵描述。逼近基元模型方法为非线性 系统分析提供了一个统一的平台，使得统一评价非线性系统稳定性成为可能。 1 3 非线性系统模型 一个系统的动态行为由系统的组合适的变量随时问的变化过程来描述，而表述这组 变量之间的因果关系的数学方程( 或算子) 就称为系统的数学模型。一般，系统的数学描 述分为“外部描述”和“内部描述”两种基本类型h 1 。 系统的外部描述，根据输入、输出变量的多少分为单输入一单输出描述和多输入一多输 出描述。 对于集中参数的单输入一单输出系统，其数学描述通常为一个单变量高阶常微分方程。 一般典型的单输入一单输出非线性系统的数学描述为 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 箬叫筹，知箬，害，“】= 0 ， - ) 万叫【再瓦万面j - 其中，y 为系统的输出，u 为系统的输入。 对于多输入一多输出的高阶非线性系统，往往难以分析得出微分方程，一般多用内部 描述方式。对于非线性系统来说，状态变量法是最重要的分析方法之一，只有通过状态变 量的概念才能准确描述非线性系统的许多重要性质。 非线性系统的状态方程一般可以写为 譬= 厂( x ，叫) ， ( 1 2 )= ，ix u fi ，l1 zj d t 、? 其中，x r 4 为状态向量，u r ”为输入向量，t r 为时间变量；厂( ) r ”为刀维向量 函数。 一般地说，系统的状态并不是总是可以测量的，系统的输出也不一定是状态变量， 而是状态变量和输入的函数。所以，非线性系统状态变量的数学描述一般可以写为 妄州x 删 【y ( f ) = 矗( x ，u ，t ) 函数，j l l ( ) r 7 为，维向量函数。 ( 1 3 ) f ( - 1 r ”为甩维向量 对于式( 1 3 ) 而言，当u 是外加输入时，一般可以表示为时间t 的函数；当u 为馈 输入时，一般可以表示为状态变量的函数。所以，可以将式( 1 3 ) 表示为 窘2 厂( x ，f )( 1 4 ) 【y ( f ) = ( x ，t ) 上式右端含时间t ，称为非自治系统。当系统参数与时间无关时，式( 1 4 ) 可以表示为 象= s ( x )( 1 5 )j 瓦2 ( 1 5 ) 【y ( t ) = h ( x ) 上式右端不含时间t ，称为自治系统。 1 4 选题的目的和本文做的工作 如前所述，对于非线性系统的研究，目前还没有形成完整、系统的理论体系。而逼近 基元模型方法为非线性系统分析提供了一个统一的平台，使得统一评价非线性系统稳定性 成为可能。到目前为止，逼近基元模型分析方法还处于起步阶段，许多理论尚待完善和发 展。因此本文在非线性系统逼近基元模型的基础上，提出了一种基于数据分析非线性系统 稳定性的方法。论文安排如下： 第一章是绪论部分。介绍非线性系统的特性和讨论非线性系统稳定性的方法，以及选 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 题的目的和本文的工作。 第二章是基础理论部分。首先简单介绍逼近基元模型的描述，而后介绍了逼近基元模 型在逼近基元空间的运动学分析，最后介绍了基于逼近基元状态转移矩阵的逼近基元空间 稳定性定义和判据。 第三章是基于数据建立逼近基元模型分析非线性系统稳定性算法。首先构建了多维支 持向量回归算法建立逼近基元模型，然后建立逼近基元状态转移矩阵算法以及基于该矩阵 分析系统稳定性算法。 第四章是仿真实验。以线性系统、单平衡点和多平衡点非线性系统为研究对象，分别 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 第二章非线性系统逼近基元模型 逼近基元模型分析方法是分析非线性系统稳定性的有效方法。而在非线性系统分析 中，人们大量遇到的是非线性自治系统的分析。因此下面将主要介绍与非线性自治系统相 关的逼近基元模型理论。 2 1 逼近基元模型 根据非线性系统逼近基元模型的逼近性能不同，文献 1 】中给出的逼近基元模型可以分为i 型和i i 型模型。这里只介绍相关的i 型模型。 2 2 1 模型描述 x ( 后+ 1 ) = 4 铭【x ( i ) 】， ( 2 1 ) f = i 其中，4 为参数模型向量；逼近基元函数仍( ) 可选取具有良好函数逼近能力的核函数，如 径向基函数、小波函数等。后文主要选取高斯径向基函数作为式( 2 1 ) 逼近基元函数讨 论基于数据的非线性逼近基元模型建模和稳定性分析h 1 。 本文中提出的非线性系统逼近基元模型( 式2 1 ) 可适用于描述模糊动力学模型，r b f 神经网络模型、s v r 模型等。该逼近基元模型( 式2 1 ) 对非线性自治系统动力学模型 z ( 尼+ 1 ) = 厂 j ( 七) ， ( 2 2 ) 其中，非线性函数向量九x ( 后) 】为连续可微函数向量，具有任意精度的逼近性能已在文献 1 中以得到证明。 2 2 2 逼近基元感受野 实际上，逼近基元模型是将系统在各逼近基元在中心x ，的附近，按照逼近基元函数的 特性的函数值呈高斯分布特性，其值由中心向外呈平方指数衰减) 作了一个状念空间的划 分。在分割的每个区域，有一个非线性的逼近基元函数起主要作用。该区域可按如下定义 为非线性逼近基元的感受野域。 定义2 - 1 ( 逼近基元感受野域) 乜3 对于非线性系统的逼近基元系统模型，称 q ，= p i 够【v 】= e x p ( 一i i y 一1 1 2 a 2 ) 一l ，仍【l ，】= e x p ( - i i ，一片川2 o - 2 ) _ o ，w = l ，2 ，f l ，f + l ，j v ，v p 月” 为第f 个非线性逼近基元感受野( 域) 。 所谓的非线性逼近基元感受野( 域) 即为非线性逼近基元的作用域。对2 维的状态空间， 非线性逼近基元感受野( 域) 如图2 1 和图2 2 所示。 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 _ - _ _ _ _ l _ r _ 。1 l _ 。- t k 一 。f | 。 。o l - 、 。 图2 1 基于实验数据建模的各逼近基元的感受野 l f、厂 o ii i ， i ii i ( a ) ( b ) 图2 2 基于空间划分的各逼近基元的感受野 逼近基元函数通常选取具有良好逼近性能的核函数，利用核函数可以避免显式地计算 高维映射，从而巧妙地避免了特征空间维数灾难的问题。 非线性自治系统逼近基元模型的建模方法有基于对状态空间均匀划分的网格法和基 于实验数据建模方法。其中网格法的建模方法在文献 1 中已有讨论，本文主要讨论基于 数据样本集的非线性逼近基元模型建模方法。 2 2 逼近基元状态转移矩阵 定义逼近基元状态符号： 小，= 仁翟三端 汜3 ， 这罩，用逼近基元痧的值表示非线性系统的系统状态：当k 时刻系统状态处于逼近基元痧的 感受野q ( 谚) 内，谚= 1 ；否则，谚= 0 。 这样就可以逼近基元状态值描述系统的状态是否在某逼近基元的感受野内，反应了 某时刻非线性系统在状态空间的局部信息。为了用逼近基元状态值完整描述非线性系统在 某时刻的状态，定义了如下逼近基元状态向量： ( 后) = 办( 尼) ，力( 尼) ，九( 尼) 。 ( 2 4 ) 这罩将所讨论的非线性系统的状念空问划分为个逼近基元的感受野，任意时刻非线性系 统状态只能在一个逼近基元的感受野内，所以死( 尼) ，谚( 尼) ，九( 尼) 在k 时刻有且只有 武汉科技大学 硕士学位论文第7 页 一个逼近基元的状态变量值为1 ，其余为o 。例如若k 时刻系统状态处于q ( 谚) ，那么 ( 足) = 盼( 尼) ，谚( 尼) ，九( 明7 = 【o ，0 ，1 ，o ，o 】r ( 2 5 ) 就可以用逼近基元状态向量描述系统在k 时刻的状态。 定义2 - 2 ( 逼近基元空间) h 1 以个逼近基元状态变量死，九为坐标轴，构成的一 个维空间，称为逼近基元空间。 当定义了逼近基元空间以后，就可以将非线性系统在状态空间的动态行为转化到逼 近基元空间，用逼近基元状态向量描述。 下面将在逼近基元空间中建立非线性系统的逼近基元模型动力学。 若每个逼近基元转移具有一步特性，则可建立一步转移符号( 逼近基元) 动力学模 型，否则建立多步转移动力学。 当系统状态从谚的感受野转移到办的感受野内，即x ( 尼) q ，有x ( 七+ 1 ) q ，系统 在两个时刻状态转移可以用如下逼近基元状态变量描述： 谚( k ) = 1 ，矽，( k + 1 ) = l ( 2 6 ) 也可以用逼近基元状态向量的变化描述： ( 尼) = 办( 尼) ，谚( 露) ，九( 尼) 7 = 【o 一，1 ，0 1 7 ( 2 7 ) ( 尼+ 1 ) = l 破( 后+ 1 ) ，c j ( k + o ，九( k + 1 ) i 。= f o ，一，1 ，o 】7 ( 2 8 ) 2 2 1 一步逼近基元状态转移矩阵 一步逼近基元状态转移动力学模型为： ( 后+ 1 ) = m 矽( 后) ( 2 9 ) 其中： ( 尼) = 确( 七) ，谚( 尼) ，妣( 七) ， ( 2 1 0 ) 吼= 三荔箔荔粼 亿 这罩，矩阵m 为一步逼近基元状态转移矩阵，f m l 的值为1 或。是用来记录系统状态由 逼近基元谚转移到逼近基元矽，的可能性。因此一步逼近基元状态转移矩阵描述了系统在所 有逼近基元的状态转移特性，也就是描述系统在所有逼近基元之间转移的可能路径。 一步转移动力学模型或逼近基元一步转移矩阵建立在逼近基元感受野范围充分小的 理想条件下。而在解决实际问题中，由于划分的逼近基元个数有限，逼近基元的感受野范 围不可能充分小，因此并不能保证系统状态在所有逼近基元f n j 的转移能够一步完成，而是 需要系统状态经过多步转移之后才能完成。因此建立多步转移动力学或逼近基元多步转移 矩阵来描述系统的状念转移将更为合理，它也是而后文所要讨论的基于散乱数据建立的自 治系统逼近基元模型的动力学分析和稳定性分析的重要工具。 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 2 2 2 多步逼近基元状态转移矩阵 对于x ( 尼) q ，若存在最小，x ( k + r ) q 或有v r ，x ( k + r ) q ，即所要讨论的 自治系统的状态在逼近基元间的转移需要多步完成，则建立如下多步逼近基元转移动力学 模型： ( 七+ r ) = m ( ，) ( 2 1 2 ) 其中： ( 尼) = 破( 后) ，谚( 后) ，丸( 后) 7 ， ( 2 1 3 ) 【叽= 三“砷酗p 弧警 卜q ( 2 1 4 ) 或 矾= 三“d 曲p 嚣 卜q 。 ( 2 1 5 ) 这罩，用逼近基元状念转移矩阵m 描述了系统状态在所有逼近基元间的多步转移特性：在 有限时长，内，系统状态完成一次逼近基元间的状念转移；或者系统状态在任意的时长，内 都停留在逼近基元本身感受野内。 不论是一步逼近基元状态转移动力学或着多步逼近基元状态转移动力学，都是描述系 统状态在逼近基元间的转移过程，即系统在所有逼近基元间状态转移的可能性。这样，就 可以建立如下一次逼近基元转移模型来描述系统状态的转移过程： ( s + 1 ) = m d p ( s ) ( 2 1 6 ) 其中s 为转移次数， o ( s ) = 【办( s ) ，九( s ) l ， ( 2 1 7 ) 【砚= 代纵砷乩h 嚣姒沪1 ( 2 1 8 ) 或 地= 三纵砷。1 v 髫 竹卜1 ( 2 1 9 ) 由上述方程可以看出此时描述系统状态的参数与x ，k 无关，只与逼近基元状态组成的向量、 逼近基元矩阵和转移次数s 有关，这也就是说，对于系统状念转移的动力学描述完成了有 状态空间到逼近基元空间的转换。这样就可以讨论非线性系统逼近基元模型在逼近基元空 间的动力学特性和稳定性。 2 3 非线性系统逼近基元模型稳定性 在控制系统中，通常用稳定性来描述系统能否长时间运行。通俗而言，系统稳定是指 其状态不会随时间无限增长，或者系统中的各个状态都会有各自的上界。稳定性是对于系 统的一种固有性质的描述，它与外界激励信号的形式及其大小无关。显然，稳定是系统能 够长时间正常运行的自，j - 提。对于一个控制系统而言，只有在这个前提得到保证以后，才能 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 讨论进一步的性能指标，例如，控制的精度、响应的快速性、对于各种干扰等的鲁棒性才 有意义。 系统的稳定性通常有两种定义方式，即系统状态的稳定性和关于平衡点的稳定性。对 于线性系统而言，由于它具有叠加性等良好性质，所有稳定性都是针对全局意义而言的， 并且所有稳定的线性系统都具有指数收敛的特性。因此，对于线性系统而言，上述两种稳 定性是完全等价的。但是，对于非线性系统而言，系统状态的稳定性和关于平衡点的稳定 性却具有完全不同的含义。在李雅普诺夫分析中，着重讨论的是平衡点的稳定性，即主要 分析当系统在外力作用下，轻微偏离平衡点以后，是否具有回复到平衡点的能力。当系统 偏离平衡点以后，如果它能自动回复到平衡点，则它关于该平衡点是稳定的，反之则为不 稳定的平衡点。一般而言，系统偏离平衡点以后，回复的速度越快，趋势越明显，则系统 在该平衡点的稳定性越好。 对于非线性系统而言，其稳定性不但取决于系统的结构和参数，同时也和系统的初始 状态有直接关系。一般而言，系统只有在初始状态满足相应的约束条件，即位于某个集合 之内时，爿能保证其稳定性。因此，对于非线性系统而言，在描述其稳定性时，还必须明 确区分系统的稳定性是建立在全局范围上还是局部有效的。 2 3 1 逼近基元空间稳定性定义 由于逼近基元空间是由状态空问在离散化后得到的，因此在逼近基元空间中描述非线 性系统的稳定性方法，将根据在状态空间分析非线性系统稳定性的一些基本思想和逼近基 元空间本身所具有一些特性来讨论非线性系统逼近基元模型在逼近基元空间的稳定性问 题。 定义2 3 ( 平衡基元) 乜1 对于逼近基元模型，若存在某个不处于状态空间边界的逼 近基元统使得下式成立： j x ( o ) q ( 纯)( 2 2 0 ) i x ( 尼) q ( 噍) ，v k 0 则称统为平衡基元。 若进一步有x ( k ) 专e ( e 为统的中心) ，则e 为平衡态。 定义2 - 4 ( 发散基元) 乜1 对于逼近基元模型，若存在某个处于所讨论状态空问边界 的逼近基元满足： 工( o ) q ( 矽)( 2 2 1 ) 【工( 后) n ( e ) v k 0 则称这个逼近基元统为发散基元。 定义2 - 5 ( 逼近基元稳定性) 乜1 对于某个逼近基元勿，若存在到达平衡基元统的路 径，则称逼近基元办关于平衡基元允是稳定的。 定义2 6 ( 逼近基元不稳定性)对于某个逼近基元谚，若存在到达发散基元吮的路 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 径，则称逼近基元谚关于发散吮是稳定的，该逼近基元办为不稳定逼近基元。 定义2 7 ( 平衡基元渐近稳定性) 口1 若对于某个平衡基元以，存在包含噍且疙不在 该区域边界上一个封闭区域，该区域内每个逼近基元都是关于平衡基元允是稳定的，则平 衡基元统称为渐近稳定的。 图2 3 渐近稳定的平衡基元 定义2 - 8 ( 平衡基元不稳定性) 乜3 若对于吮，不存在任何一个包含以且吮不在边界 上的封闭区域，该区域内的逼近基元关于唬都是稳定的，则以为不稳定的。 图2 4 不稳定的平衡基元 定义2 - 9 ( 平衡基元吸引域) 口1 对于渐近稳定的平衡基元吮，存在最大的包含关于允 稳定的逼近基元组成的连通封闭区域，则称之为纯的吸引域或稳定域。 定义2 1 0 ( 逼近基元极限环) 嘲 对于非线性系统，若存在一组逼近基元 吮【】，办 】 ， 这些逼近基元的感受野内的状态转移按逼近基元顺序唬一噍一寸噍专线一欢_ 进行 卜影分 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 2 3 2 基于逼近基元状态转移矩阵的稳定性分析 由于逼近基元状态转移矩阵描述了非线性系统状态在逼近基元空问的转移特性( 路 径) ，而逼近基元状态转移矩阵的块对角特性心1 揭示了非线性系统的逼近基元空间存在多 个逼近基元连通域，连通域之间的系统状态是不可转移的。所以非线性系统逼近基元模型 的稳定性分析可以基于逼近基元状态转移矩阵m 的特性来判定。 由平衡基元的定义可以知道，平衡基元描述的系统状态总是转移到平衡基元自身的感 受野内。所以可以基于矩阵肘得到如下关于平衡基元的判据。 定理2 1 ( 平衡基元判据) 对于m 7 的某个子块m ，当存在im ，l = 1 时，若其对应 l 。j 的逼近基元不在边界上，则该逼近基元为平衡基元；若其对应的逼近基元在边界上，则该 逼近基元为发散基元。 定理2 - 2 ( 平衡稳定性判据) 瞳1 对于m 7 的某个子块m ，存在个逼近基元子集， 组成一个连通封闭区域( 包含以，且允不在该区域边界上) ，则该子块m ，所对应的平衡基 元谚为渐近稳定的，否则为不稳定的。 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 第三章基于数据的稳定性算法 稳定性问题是自动控制系统分析的一个基本问题，同时也是进行系统设计时必须考虑 的核心问题。随着控制理论的不断发展，人们首先提出了适用于线性系统的稳定性分析方 法，如针对连续系统的劳斯判据和赫尔维茨判据，以及根轨迹方法，适用于线性离散系统 的朱利判据等。但是对于非线性系统而言，由于其不满足叠加性原理，动态特性非常复杂， 虽然有相平面分析法、函数描述法、李雅普诺夫法等稳定性分析方法，但是它们都有各自 的适用范围。而逼近基元模型分析方法是分析非线性系统稳定性的有效方法，但以前主要 讨论的是基于空间等距划分的方法。本章将基于实验数据建立逼近基元模型算法和基于逼 近基元状态转移矩阵的稳定性分析算法。 3 1 基于数据建立非线性系统逼近基元模型 建立非线性系统模型是分析非线性系统的基础。逼近基元模型为基于数据分析非线性 系统性质提供了统一的平台。建立非线性系统逼近基元模型，一般为多输出模型回归问题。 目前用来多输出问题的常用方法有神经网络、多元统计。溉3 们和支持向量机啪瑚4 州等。 支持向量机( s v m ) 是v a p n i k 等人根据统计学习理论提出一种新的机器学习算法， 它具有比较峰实的理论基础、直观的集合解释和良好的泛化能力，在处理小样本学习问题 上具有优越性。支持向量机算法最终将转化为一个二次型寻优问题，从理论上说，得到的 是全局最优解。但目前支持向量机回归算法针对单输出问题讨论的比较多，对于多输出的 讨论主要是在某些条件下通过构造多个s v m ，将多维问题化为一维问题解决。但在实际 问题中，多个变量之间是存在比较强的耦合性，所以构造多个一维s v m 的回归算法并不 合理。针对这点，本文构造了一个新的多输出支持向量回归算法用于建立非线性系统逼近 基元模型。 ( 1 ) 问题描述 对个数据样本点( x ( 后) ，x ( 尼+ 1 ) 使用支持向量机同归算法构建支持向量数为n s 的同归函 数： x ( 后+ 1 ) = 4 仍 x ( 后) = 脚 x ( 七) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 这罩模型的构造涉及： 1 ) 逼近基元的构造，包括逼近基元中心( 支持向量) x ，的确定，逼近基元函数( 高斯函 肛训川 一 k 一 ， o h 0 j 唧 = 一 、j m k 卜= 一 州矿q 中 其 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 1 ) 给定数据样本集d = ( x ( 后) ，y ( 七) ) ix ( 尼) 尺”，y ( 尼) r m , k = l ，2 ，n ) ，要构造函 y ( 七) = 4 够 x ( 七) 一脚 x ( 七) ( 3 5 ) 虻x ( 明= 仍 x ( j j ) ，仍 x ( 尼) ， x ( 尼) r ( 3 7 ) 仍 x ( 明= e x 删x i - - x ( 硝 2 ) 。 ( 3 8 ) 使其结构风险r 懈( 厂) = 驴) + c q 咿) 最小。根据支持向量回归理论，最小优化问题等 l n i i l 岛垤= 弓1 mw 川2 + 等翔只一脚 x ( 圳2 旺 怏一脚 x ( 明忙占+ 缶 ( 3 9 ) m i n l s v r = ；i mw 川2 + 导勃乃一脚 x ( 圳 或n 怏一脚 x ( 尼) 非占+ 毒 ( 3 1 0 ) 这里一是嘣列向量，w = ( w l ，w 。) ，y ，= ，y 拥尸，c 是控制模型对样本的逼近能 ， ， - ， v j - 夕、- | | ， - ? 3 l j - - v l + 1 - ； ； 、1 + 2 图3 1 感受野范围 由于是采用数据建立非线性系统逼近基元模型，考虑到数据空间分布的不均匀性，因 4 - 2 。 t ， 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 此没有采用传统的统一宽度u 2 驯的感受野范围q 2 ，而是根据数据空f , j 分布的不同，选取 合适的长度范围作为逼近基元函数q 2 的选取标准。这里，选取每个样本点周围的n 1 个最 邻近点所占空间的半径为盯。计算个数据样本两两之间的欧式距离，对每个样本点与 其他n 一1 个点的距离排序，选取最邻近的第n 1 个点的距离为该样本点的感受野范围盯， 如图3 1 所示。 3 ) 使用最小二乘( l s ) 方法求解使函数最小 对所有样本d = ( x ( 尼) ，y ( 尼) ) ix ( 后) 尺“，y ( 后) 尺“，k = l ，2 ，n ，使用s 方法求解 w 使最小。 k = a m ：c ：恢一脚 x ( 删2 = 弓1 - m w 。2 + i c 乙n m 恢，一一叩i - x ( 七) 1 1 2 其中咒为列向量y 的第i 个样本，乃，为列向勤的第j 维：_ 为嘲列向量 - 舡x ( 后) 虻x ( 后) _ i i i 3 1 2 ) h x ( 七) i l 妒胁ix i 庀j 舡x ( 尼) = e x p ( - | i x ( 后) 一薯l | 2 屈2 ) ( 3 1 3 ) 对式( 3 1 1 ) 求导，则有 等= 卜善叩 x ( 尼) ( 尼) 妒一c 缸叩 咄) 阳 ( 3 1 4 ) 由式( 3 1 4 ) 可得： 杉= c ( ，+ c 芸叩 x ( 七) 叩7 x ( 七) ) 。1 善儿，9 x ( 露) ( 3 ，5 ) = li c + z u , e x ( k ) 1 x ( 后) l 儿，9 x ( 后) 4 ) 用l s 的解逼近s v r 的解 构造g 不敏感带i | y ( 尼) 一脚 x ( 尼) 圳 0 ) 内，通过反复计算x ( 尼+ 1 ) 值，根据 仍 x ( 七+ 1 ) ，i = l ，n s + l 中的最大值判断系统状态是否进入其它逼近基元或停留自身的强 感受野内。 。 ( 3 ) 算法步骤 步骤1 ：给定胍个逼近基元中心的状态值玉和给定数据的范围( 或由全部数据确定 论域边界值) 。 步骤2 ：初始化m 胀胁为零矩阵。 步骤3 ：从某个逼近基元谚的中心状态值x ，i = 1 ，n s 出发，即x ( o ) = x ，i = l ，n s 。 步骤4 ：计算纺 x ( 尼) ，= 1 ，n s ，并根据其中最大值，判断x ( 七) 是否进入其它逼 近基元的强感受野q ( 办) ( = 1 ，脑，f ) 内：如果没有则返回步骤4 计算下一时刻的新 状态值，直至进入q ( f ) 或超出有限时长a ( k a ) 时，才进入下一步。 步骤5 ： 如果系统状态在有限时长a 内( k a ) 完成由逼近基元织到逼近基元矽，转 移，则记： m 】。= 1 ，f j ；否则，系统状态在有限时长内未转移到下一个逼近基元( 停留 在q ( 谚) ) ，则记：瞰】。= 1 。 步骤6 ：返回步骤3 ，直至讨论完论域内胍个逼近基元的一次转移过程。 3 3 基于逼近基元状态转移矩阵分析非线性系统稳定性 ( 1 ) 问题描述 考虑如下逼近基元转移模型 ( r + 1 ) = m o ( r ) ( 3 2 1 ) 其中， ( r ) = 办( ，) ，谚( ，一) ，九( 厂) 卜 ( 3 2 2 ) 武汉科技大学硕士学位论文 第1 7 页 撕，= 任端嚣，n s ， 2 3 ， 【叽= 亿裂乩纵，+ d 一 川，胍 ( 3 2 4 ) 所讨论问题是由上述模型中的逼近基元转移矩阵m 分析系统在逼近基元空间中的稳 定性。 ( 2 ) 算法思想 逼近基元转移矩阵m 是用来记录每个逼近基元的转移路径的，肘1 表明了由逼近基 元办经过一步转移到达逼近基元办的可能性，当【m 】打= 1 ，表示由逼近基元f 出发经过一 次转移到达逼近基元；当【m 】行= o ，表示由逼近基元f 出发一次转移不能到达逼近基元 ，。这也就意味着可以通过m 矩阵，找到由一系列逼近基元组成的封闭区域构成的子块 m ，( i = l ，n ) ，m ，实际上也是记录了该区域中逼近基元之间的转移路径。这也就是将由 施个逼近基元构成的转移矩阵m 分解成n 个子块m ，于是将系统在整个区域的稳定性 分析分解成在由每个子块m ，构成的封闭逼近基元区域中的稳定性分析，即判断哪些子块 是由构成极限环、稳定域或不稳定域的逼近基元分别组成的。 根据定理2 - 2 的稳定性判据得到某个子块m ，计算稳定性方法： 对于任意子块m m ：l ，刀) ，总存在s 0 使得万，= 砑；成立乜1 ，则有： 1 ) 当m ，0 且s l 时，子块m ，中逼近基元组成的区域是极限环域； 2 ) 当m ，0 且s = 1 时，当子块m ，对应的逼近基元组成连通的封闭区域，若且存在 平衡基元统( 绣不在边界上) ，则该区域是稳定域；若存在发散基元九( 统在边界上) ，则 该区域为不稳定域。 ( 3 ) 算法步骤： 1 ) 将m 分解成子块m ； 步骤l ：初始化c l o s e d 表为空，初始化m 中逼近基元个数m + 1 。 步骤2 ：初始化逼近基元序号江1 。 步骤3 ：如果基元序号f 存在c l o s e d 表中，说明该逼近基元已搜索过，转到步骤1 l ； 否则进入步骤4 。 步骤4 ：初始化c u r r e n t 表为空表。 步骤5 ：将逼近基元i 分别插入c l o s e d 表和c u r r e n t 表末端。 步骤6 ：根据矩阵m 寻找c u r r e n t 表中当静逼近基元的下一个转移逼近基元_ ，。 步骤7 ： 如果逼近基元，已在c u r r e n t 表中，转到步骤1 0 ；否则，进入下步。 步骤8 ：如果逼近基元已在c l o s e d 表中，搜索先前分解的存在逼近基元的某个 子块，将c u r r e n t 表中逼近基元插入该子块中，然