（模式识别与智能系统专业论文）小波分析与傅立叶分析在图象处理中的若干应用研究.pdf

坝i 论文小波分析o j 傅矗n 1 分析枉幽像处理中的若干施用1 | j 究 摘要 小波分析与傅立叶分析魁图像处理、计算机视觉等相关领域中两种黧要的分 析工具，二者的应用几乎已渗透到上述领域的各个分支。本文首先简要介绍傅立 叶变换与小波变换原理，特别是在图像处理中应用的基本原理，作为本文的理论 基础。在此基础上，将小液分析与傅立时分析理论与方法作为本文主线，贯穿国 像压缩编码、遥感图像去噪、多尺度边缘检测、核磁共振图像处理等本文涉及的 几个应露。本文具体工作主要包括：( 1 ) 分援了图像小波系数分布特征，提出了 一种基于双码流游程和算术编码结合的小波图像编码算法：( 2 ) 针对遥感图像 的条带噪声，分毒斥其频谱表现特性，建立对应豹噪声模型并提出一秭基予侍立叶 变换的去噪方法；邂介绍了该算法思想在加t a g 线m r 图像处理中的应用：( 3 ) 给l 圭l 一种基于小波系数方向性特征的s p o t 图像去除条纹噪声方法：( 4 ) 结合小 波多尺度边缘检测方法，研究了基于小波图像力的s n a k e 算法。 关键词：小波分析，傅立时分析，图像处理，图像编码，去噪，边缘检测，s n a k e 蜒 论文小波转糖j 禧囊许努橱程蟹稼廷理审麓嚣半瘴臻褥 究 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sa n df o u f , e ra n a l y s sa r eb o t hi m p o r t a n tm a t h e m a t i c a l t o o l si nt h ef i e l d so f i m a g ep r o c e s s i n g a n d c o m p u t e r v i s i o na n dt h e i r a p p l i c a t i o nc o v e ra l m o s t a l la s p e c t so ft h e s ef i e l d s t h i sp a p e rs t a r t sb y b r i e f l y d e s c r i b i n g b a s i ct h e o r i e so ff o u r i e rt r a n s f o r ma n dw a v e l e 重t r a n s f o r m ，l n p a r t i c u l a r ，i n t e r p r e t a t i o n so ft h e s et h e o r i e sh o w t oa p p l yt oi m a g ep r o c e s s i n g a r ep r o v i d e d n e x t 。t h i sp a p e rp r e s e n t ss e v e r a ia p p l i c a t i o n so ft h e s et h e o r i e s i ni m a g e c o m p r e s s i o n ，r e m o t es e n s i n gi m a g e sd e - n o i s i n g ；e d g ed e t e c t i o na n d m r i m a g ep r o c e s s i n g t h e yi n c l u d e ：1aw a v e l e ti m a g ec o d i n gm e t h o db a s e d o nd o u b l ec o d es t r e a m sr l ca n da r i t h m e t i cc o d i n g ；2am e t h o do fr e m o v i n g s t r i p i n g n o 治eb a s e do nf o u r i e rt r a n s f o r ma n di t se x p a n s i o nt ot a g g e dm r i m a g e sp r o c e s s i n g 。3a na l g o r i t h mb a s e d o nw a v e l e tc o e f f i c i e n t sd i r e c t i o n 耙r d e n o i s i n gs p o ti m a g e s 4r e s e a r c ho nw a v e l e tm u l t i s c a l ee d g ed e t e c t i o n a n daw a v e l e ti m a g ef o r c ef o s n a k ea l g o r i t h m + k e y w o r d ：w a v e l e ta n a l y s i s ，f o u r i e ra n a l y s i s 。i m a g ep r o c e s s i n g ，i m a g ec o d i n g d e n o i s i n g ，e d g ed e t e d i o n ，s n a k e 镬卜论文小被分静亍j 僻赢n i 势斩疆黼缘照建中髓嚣千蝇璃科篼 第一章绪论 1 1 傅立叶分析、小波分析和图像处理 数字翻橡处理楚f j 较年轻瞧学秘，尽管茭发矮掰变不长，毽它已受到广泛 的关注。视觉是人类嫩厦要的感知手段，而图像是视觉的基础。因此图像成为心 理学、生理学、计算机科学等诸多领域研究视觉的有效工具，同时图像处理成 为一门多喾辩交叉妻奄缘合佳学辩。避入2 0 氆纪艿e 年代，斧随诗箕秘按零瓣抉速 发展，数字图像处理谶八高速发展时期，广泛藏用到航天遥戆、生物医学、工业 生产、军事安全等领域，并取得丰柳 成果。 图像处理广义上包含图像处理、图像分析和图像理解等内容1 2 j ，处理方法大 致可分为空闼( t t - t 阉) 域蹙程方法翻变换蠛登蠖方法。 者撵糍愆图像在登域中 的特点崴接对图像进行各种运算。厝者则首先通过某种变换将图像从空间域转换 到对应的某变换域中，然后利用闵像在该变换域中表现出的特性，对变换潋的图 像进行鲶溪；懿嚣要，薅经过毂逆交换转换嚣到窆域孛。图像鲶理中鬻雳变羧逶 常是正突变换，如傅立叶变换、离散余弦交换( d c t ) 、k - l 变换、小波变换等。 本文将关注傅立叶变换与小波变换。 傅立叶分柝是1 9 世纪2 0 年代法因数学家f o u r i e r 提出的一种经典时频分摄 理论，1 9 6 5 年c o o l e y 、t u r k e y 爨稻豹茯速偿立时变换算蘧撼溯簿立时分謇厅放理 沧走向袋践，使其在储号处理等诸多领域获得广泛应用。傅立叶变换为信号的时 域描述和频域描述之间的相互转换建立了桥梁，熟实质是将信母分解成不问频率 豹正弦僖号熬叠热，扶l 嚣刻蕊售号躲频率缝橡分奄，热图1 1 。霹霓蠖立时变换 谱是是信号的统计特征，不包含信弩的任何对域( 空域) 倍感。 傅立叶变换将时、频两域截然分开是以信号的韵频率特性时不变和统计特性 平稳为前掇条件的。然蕊缎多信号，如生物医学髂号，常呈非平稳状态，信号在 王一对褰辩遥鹃颧率耱征都攘重臻。这秘情况下，耱暴霆遗缀熬薅立时分拆豹羯 限性，时、频两域不熊械然分开，嗣廿寸在任何有限频段上信息无法刻画任意小范 围内的空域信号【3 】。为了尽可能的反映频域特征随时( 空) 间的变化，前人做了 穰多探索，游黩( 空) 、频嚣蠛终会起来砖穰号予浚箍述，鬟浅了薅叛岗帮纯分 析方法，如短时傅立时变换，也称窗口傅立时变换。特剐是d e n n i sg a b o r 选择 g a u s s 函数作为最佳街口函数，即瓣名的g a b o r 变换。窗口傅立叶变换实质上是 信号分柝窬啊 l i l 积和形状均赋定的对额局部化分褫。一定程发、i 克服了经典傅立 时变换在分帮亍帮乎稳信号时瀚舔潞，艇滏予密弱澎凌大小不变替致密强健赢时变 小城努轿与缚枯 + 萤柝张型豫弛理中秘嚣千瘟臻褥究 换只是单一分辨率的分析。信号的频率和周期是成反比的，鞭获取信号禽频成 傍熬维致分罄应该镬爝较窄麓时 = a r c t a n 1 ( u ) g ( u ) ( 2 - 7 ) 式中稻发国数i f ( u ) | 镌称为厂( f ) 韵博立时频谱，妒( “) 称为辎使潜。频谱平方称为 簸l 论文 小漱分析每簿立n 分柝在鹜稼处理巾鹣若干魔用研究 f & ) 的功率谱，记为 p ( u ) 叫f ( 群) 1 2 = 冀2 ( “) ，2 ( “) ( 2 8 ) 上述式中f 为称为时域变量，“称为频域炎爨，原因是傅立叶变换中指数项 由欧拉公式可得 e x p - 2 r c u t l = c o s 2 m l t 一歹s i n 2 a - a t ( 2 母) 每个u 值都确定对应的正弦和余弦对的频率，所以称为频域变量。 若令0 9 = 2 r c u ，则( 2 1 ) 、( 2 。2 ) 式可以簧成： f ( c o ) = lf ( f ) # 。“a r t ( 2 1 0 ) 肌) = c 脚) e j t o t d u = 去c 即) e , l e o t d 功( 2 - 1 1 ) 埯戆立砖变换拓溪到二维篱爨。如果，& ，y ) 满足狄擞赫菜条馋，粼么它 的连续二维傅立时变捩为： 一t 2 x ( u x + ) f ( u ，v ) = j 。f ( x ，y ) 8 威咖 ( 2 _ 1 2 ) 一站$ ( y f ( x ，y ) 。l 。l 。f ( u ，v ) # d u d v ( 2 1 3 ) 2 1 2 二维离散傅立叶变换 数字胬像是二维离散信号，为农图像处理中藏用傅立时变换，必须引入离散 傅立叶燮换( d f t ，d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 的概念。在此，我们关注二维情 形，二维离散函数厂( x ，y ) 的傅立叶变换为 似v ) 2 斋萎萎，执y ) e x p - j 2 万( u x m + w 7 ) 】( 2 - 1 4 ) “= 0 , 1 ，2 ，m 一1 ，v 一0 , 1 ，2 ，n - 1 ，m 、n 分剐是图像的离秘宽，。傅立叶厦变 换为： 肥) ，) 2 赤荟丢脚一) e x p 【_ 伽( u x l m + 哕) 】( 2 - 1 5 ) j = 0 , 1 ，2 ，m 一1 ，y 。0 12 一，n 一1 同样，离散二维傅立叶变换的频谱和相位谱为： 陬掣) 净r 2 ( 刚) + z 2 ( 叩2 ( 2 ，1 6 ) 庐( “，v ) = a r c t a n 1 ( u ，v ) ，e ( u ，v ) ( 2 - 1 7 ) 5 蛾| j 论文 ，| 、波分斩与僻立“ 呤析在罄像处毽中酌若干瘴用舔究 图2 1 中( a ) 、( b ) 、( c ) 分别怒原始图像、原始图像的傅立叶频谱、原始图 像瓣缮立时稳经谱。 ( 8 )( b ) ( o ) 萄2 - 1 图像的傅立” 变轮( a ) 原始图；( b ) 频谱：( c ) 褶位谱 2 1 3 二维离散傅立叶变换的性质 傅立叶变换有很多熏要的性成，为运算提供了方便。本小节给出图像处理中 常用的，特别是本文涉及的二维离敝傅立叶变换的一些重要性质，这些性质和连 续傅立时变换类似。 一、可分离性 一个二维d f t 可以由连续二次运用一维d f t 来实现： r ( u ，v ) = 3 ，船，i 厂( x ，y ) b ( 2 1 8 ) 上式将二维d f t 分解为水平和垂直两部分运算，郎先在图像的行上计算 d t f ，在对计算结果谯列上d t f ，即可以用一维d f t 快速方便的实现二维d f t 。 二、平移性质 f ( x x o ，y y o ) f ( u ，v ) e x p - j 2 x ( x o u t m + ，稚，) 】 ( 2 1 9 ) f ( x ，y ) e x p j 2 x ( u o x m + g o y n ) f ( u 一“o ，v v o ) ( 2 - 2 0 ) 上式褒强热暴在登藤蠛孛霆豫警移到点( x o ，y o ) 楚，粼螺当予其瓣疲瓣 毒 立叶变换乘上一个系数e x p 一i 2 x ( x 。u m + y 。封n ) 】，即表明空闻域中的图像平 移对成频域中的相移，其傅立叶的幅假不变，阙为 e x p 一1 2 r c ( x o u m + y 。u n ) 】l = l 。在数字图像处理中，直接对图像傅立叫+ 变换 螽，通常翻用平移经貘将 毒立时交换频谱静琢悫移动爨矩落m x n 麓中心，以 便清楚地分析频谱情况。图2 - 2 是图像频谱平移示意图，图( b ) 是原图( a ) 的傅 立叶变换，图( c ) 建图( b ) 频谱原点平移到图像中心。 6 f 盼l 。论文 小被分析与傅矗：叶分析4 ：图像处理中的若十心用研究 ( a )( b )( c ) 图2 - 2 幽像频谱平移示意幽 其中t 7 ，b 为整数，该性质说明离散函数，0 ，力经过正变换后得到的f ( “，v ) 是以n 为周期的离散函数，但只需要一个周期的变换就可以将f ( “，v ) 在频域 里完全确定，对反变换同样成立。 四、共轭性 若离散函数f ( x ，的傅立叶变换为，( “，v ) ，f + ( 州，一v ) 为f ( - x ，- y ) 的傅 立叶变换的共轭函数，那么： 共轭性说明离散函数，g ，力的傅立叶变换为f ( “，v ) 以原点为中心对称，利 用该特性，只要求出半个周期的值就可得到整个周期的值。 五、旋转性 将空间函数厂0 ，y ) 旋转角度0 c 。，则频域中该函数的傅立叶变换也将旋转同 样角度。借助极坐标变换，令z = ，c o s 0 ，y = r s i n 0 ，u = w c o s 庐，v = w s i n 庐，厂o ， y ) $ 1 1f ( “，v ) 转换为f ( r ，口) 和f ( w ，) 代入傅立叶变换对得到： f ( r ，曰+ 哦) f ( w ，矿+ 吼) ( 2 2 2 ) 离散傅立叶变换的旋转性如图2 - 3 所示，( a ) 、( b ) 是原始图像及其傅立叶频谱， ( c ) 、( d ) 分别是原始图像旋转4 5 度后的图像及其傅立叶频谱。 ( a ) 六、平均值 ( b )( c ) 图2 - 3 傅立叶变换旋转戮示意图 ( d ) 一寰嚣口d 盹 砌i 论文小波分析与博识n 铃辑n ：幽像处理中的菪十应用 4 f 究 蘅像d ( x ，力的平圭匐德可表示为： m 2 赤萎荟n - i m 朋 1州一| 将u v 一0 带入傅立许变换式( 2 1 4 ) 可得到： 删，= 去篓篓m = 厕 酃图像韵平均值旒燕其傅立时交换在原点的值。 七、能量保持定灌 又稼p a r s e v a l 定疆，指密离散傅立甘变换前后能量守煎。 姥豁，离散簿立时交换还有线瞧、对称往、尺畿交换、褥较定理、 等性溪f 5 1 。 2 。2 快速傅立时变换 ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 捆关定理 傅立叶分析理论提出卮，对时频分枷领域产生7 重大影响，成为弛蠢力螅 数学工具。但直到2 0 世纪6 0 年代基零上一意停昭在理论研究中，未能具体应用， 最重蒙的原因就是离散傅立叶变换实现需要的计算量太大，严重地限制了它的实 际应用。按照式( 2 - 1 4 ) 。计算一个长度n 的一维d f t ，对“的每个值要做n 次 复数乘法和n 1 次复数加法，可知d t f 的计算复杂度为0 ( n 2 ) ，应用中通常n 会很大，可见它的计算量是相当可观的。1 9 6 5 年，贝尔实验室的c o o l e y 和t u r k e y 两位正程师综合前人的成果，通过大量的计算机模拟，提出了意义深远的快速傅 立叶变换，将d f t 的计算夏杂度降劐o ( n l 0 9 2 n ) ，当n 超避1 0 2 4 时，计算收益 超过1 0 0 倍。从此，傅立叶变换才从理论走向了实践。 以下以一维离散傅立叶变换讨论。一维d f t 可以用以下矩阵相乘形式表达： f ( o ) 积1 ) f ( n l 、 o矽。 形o“ o 1 。( n - i ，( o ) ，( 1 ) f ( n 1 ) ( 2 。2 5 ) 。，2 t r 其中：w = e 一，则系数矿”以n 为周期，即系数矩阵中有很多系数是相同的， 不必避行多次重复计算。 2 z 又有w 5 ：e 矿百：一l ， ( 2 ，2 6 ) 溆诧w “”+ i 。形一矿i = 一矿7 ( 2 + 2 7 ) 即”7 又具有对称性，利用对称性可进一步减少计算量。 8 毋一 三； 颧 论文 ，j 、渡静析与褥立盱静辑积：餮像处理孛的藉干应用研究 例如，对予n = 4，臻数矩阵为： 形。舻。黟4 妒。 o 妒1 2 妒3 w 。矽2 4w 6 ( 2 2 8 ) o 3 矽6 9 瘗矽“8 懿攥鬟洼霹戳褥窭：黟= 渺。，w = 舻2 ，驴9 = 黟，彩4 = 黟8 ： 由”。的对称性可以得出：w = 1 ，w 2 = o ，则系数矩阵可转化为： 舻o。o矽o o酽一妒8 一舻 彤。一形8 。一舻。 ( 2 - 2 9 ) o 一矽1 缈。矿 霹见系数矩阵的系数缀多是重复盼，如果把序列分勰成若予短序熨，并与系数矩 筵元素结合起寒计算离散藩立跨变捺，露可鎏太夫楚拖运雾，逡魏是浃速蒋立畸 变换的蒸本思路。 2 。3 小波分析 小波分析真正作为门理论被研究仅仅是墩 避2 0 年的攀情。作为当前数学 中一个迅遮发展的分嶷，它同时具谢理论深刻和】| 巍用广泛的双熏意义。 2 3 1 弓 言 小渡蹙一类在骞激嚣闽上映遴襄减裂0 的滏数铲9 l ( o 。矮名慧义，小波 攒，j 、戆波形，黄走矿痘该是“滚”t 其骞波动瞧，遵数积分必须受零，鄹这拿 波形的撮i 隔为正负相删的振荡形式；“小”是指( ，) 具有有限竞熊( s u p p o r t s e t ) ， 即在有限隧阳l 内快速凝减。图2 - 4 怒小波函数和难弦函数曲线示意图。 、体 鞭 、八八八， 豳2 - 4 小波幽数和正弦函数曲躐示意图 ，j 、波分褥这个穰念是1 9 8 4 年漶阐工程师m o r l e t 在分析地震数据时营斑提盎 戆。m o r t e t 发褒掇密褥立靖交换藏以满足势辑鲡逡震渡等 警滤痿号漶要黎，霞 把g a b o r 变换中的窑脚函数和傅立时核函数“糅”和在一起，考虑作一个黼数， 9 颤l ? 论文 巾波势祈垮媾立婶分析辑一蛰橡娃理中的若干艇爝讲究 引入了“小波”的概念。虽然其根据经验建立的反演公式未得到数学家们的认可， 毽成为小波疆究夔越点，g r o s s m a n 簿入对其进行了逶一步的磺突。8 e 年圣弋中期， m e y e r 构造出第一个光滑的小波基，并和s m a u a t 台作将计算机视觉领域的多分 辨率分析思想引入小波分析。m a l l a t 还研究了小波离散化的情形，提出了快速小 波算法一m a l l a t 算法，并成功应用予图像的分鳃和重梅。m a l l a t 算法的作髑和地 经稳当予德立时势树中翡f f t ，霞小波分褥走穗应| 磊。1 9 8 8 零，i d a u b e c h i e s 擒 造了具有紧支集的正交小波基，并绘出了构造证交小波基的一般方法，结柬了此 前单纯依靠数学技巧构造的历史。这样，小波分析的系统理论初步建立。 尽管小渡努摄瓣嫒究是在1 9 毯纪s 0 年弋考兴起，毽，j 、波分撰戆方法潮思憨 来源可追溯到1 9 1 0 帮a h a r r 研究的h a r r 函数，其实就是畿简单的正交小波。 l i t t l e w o o d 、p a l e y 、c a l d e r s o n 等人的工作也为小波分析的产生打下坚实的数学基 番出。 戳下怒本文将馊翊到一些基本数学壤念黎邈鸯。 记i r 为实数域，i r 为s 维的向量空间i r i r i r i r ( s 次) ； 汜科为线性空间； 悫菝窑润：萼l 入蠹积戆线蛙空润豫为蠹耪空瓣。蠹积窆翊审憨嚣个元素辩，v ， 若 一0 ，贝 j 称托，v 正交。 h i l b e r t 空间：一个完备的内积窳间称为h i l b e a 空间。h i l b e n 空间的媳型例 子有l 空阅：内积为； = 1 厂( 茸) g ( x ) d x l ( i r ) = 斌上可积函数全体 ； l 2 ( 1 r ) = 厂可积id ，( x ) 1 2 = 并。z 。 h i l b e r t 空竭慈存在歪交萋，帮在h i l b e r t 空润枣在一簇元素 8 。 ，佼 * 4 。，且对于所有空间元素“，有“= 。 2 3 。2 连续小波交换 若函数矿( f ) 上2 ( 艘) ，其傅立时变换为妒( 掰) ，当妒( ) 满足允许性条件： 小城分辑j 槽南：时分析谯鹫悔处理中的若千i 畦用骈究 令 。= 嗡屹 0 。显然，致d ( ) 是基本蘧数矿) 悫信移垃霉雩筝垂垂络以 后得到的。若“，b 不断地变化，我们可得到一旅函数。( 0 。 给定平方可积的信号f ( t ) ，即，( f ) ( i r ) ，则f ( t ) 的小波变换定义为： 啊= 去胁矽等舻舯嘛$ ) d t = 廊( 2 - 3 2 ) 式中球，b 和f 均是连续变量，因此该式又称为涟续小波变换( c w t ) 。 信号，+ ( f ) 的小波变换挣z ( 口，b ) 怒日和b 的函数，a 称为尺波因子，b 称为时移。 v ( t ) 称为基本小波，或母小波。( ，) 是母小波缀移位和伸缩所产生的一族嘲数， 称之为小波基函数，简称小波基。这样w t 又可解释为信号八，) 狃一族小波基的 麦稷。 对应的反变换公式为： f ( t ) = q 。n ：w t j ( a ，6 ) 艚) 宅竽= 1 ) 越 大，则y ( 二) 的时域支撑范围( 即时域宽度) 较之y ( r ) 变得越大，但波形保持不 变。d 和b 联合越来确定了对x ( f ) 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图2 - 5 所示。 下面讨论小波变换在频域上的情形： 小波变换聊：( 口，b ) 的等效频域表达为( 证明见文献【4 】) ： 啊( 咖) = 瓦1 = 尝e 施) 双删“幽 ( 2 _ 3 4 ) 如果妒。( 曲) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换具有表征信号 夕( ) ( 空域表达式为，( f ) ) 频域上局部性质的能力。 v ( q ) 甲o q 甲o q ? jj i 卫j 掣l 譬 q oqq o 2 q2 n oq 1 2 瑚 论文 ，j 、被势辑每簿立时分楫垂蠲豫娃理串艘蓉手斑霜褥究 幽2 - 6 掣( 疗q ) 随a 变化的说明：a ) 口* 1 。( b ) 口= 2 ，( c ) a = 1 ，2 fk 崮式 在频率辘上观察的范曝 蠢，且蕊察鹩孛心鞭豢趣蔫频憝移渤。爱之，当c t 僮太对，对厂转鹃瓣竣爨察范 圈变宽，颁域尹徊) 的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动。将阁2 - 5 和2 7 所艇映的时一频关系结合在超，我们甜得到在不同尺艘下小波变换所分 辑戆对宽、繁宽、髓鞫中心秘频率中心涟关系。出小液变换的挺q 健厦1 4 1 ，不藏 尺凄下，如图2 - 8 蹰零中三个对、频分拆区瘸( 帮三夸矩形) 鹣嚣积傈挎不变。 ，2 殛。 t 2 ) 擞。 ( dm 1 ) n o 妇；2 ) n 。，2 圈2 - 84 取不同值时小波变换对信唠分析的时一频隧问 总结上述分析，擞我们用较小的啦对信号作黼频分析时，我们实际上魑用高 额枣波瓣傣号 乍缨致观察，当我键甩较大鲍嚣霹信号荐低凝分辑辩，窭舔上楚矮 低频小没对信号佟概虢观察。小波鬣换韵这一特患即既符合对信号作实际分析时 的规律。也符合人们的视觉特点，因为如果在时域上观察的越仔细，就需臻缩小 理察范隧，霹簿提熹分辨率。 2 3 4 二进小波燮换 在实舔瘦曩中，特澍是诗冀糖精毒秘匿稼缝疆方法静实现率，需要在逡绫枣 滚交换黝麓蓥穗主毒惑褒鼗接样。黠于式( 2 3 2 ) 静连续小波交换，蓉联尺度 a = 口：，d 。o ，j z ，w 实现对d 的离散化。欲对b 离散化，最简单的方法魑将b 选包撼撵，懿令b = 南氐，菇匏选耩座保涯能出耪( 点毒) 来恢复溢x q ) 。奢： 矿，* ( # ) = 口i 加v d a ；。0 一女) 】= a ；- m ( 舔t 一6 0 ) 工砖z ( 2 - 3 5 ) w r a ，的= j 朋渺坩( o a t ( 2 3 6 ) 式( 2 。3 6 ) 穗为离敲小波变换( d i s c r e t e w a v e l e t t r a n s f o r m ，d w t ) ，注意式中f 仍 颤| 。论文 小敬分析。i 博克计分析娃酗像娃理中的若干应用耐究 是连续变爨，只是实现了参数离散化，式( 2 3 5 ) 概念上接近小波级数，却被不 太埝当豹称尧凑数小浚交换。当魄= 2 ，= l 时，式( 2 3 5 ) 零式( 2 3 6 ) 努爱 称为二遂小波和二避小波变换。 然而问题出现了，离散小波变换能不能完整的表征f ( t ) ? 也就是说能不能有 离教小波变换数值稳定地重建厂( f ) 。1 9 8 8 年，d a u b e e h i e s 笛人采用挺袈理论 ( f r a m et h e o r y ) 嚣 签了该润题。戳二迸小滚为镄，对函数f 妒( 援) ，若二进 小波矿。是紧框架，n - - - - 进小波变换矽，( ，k ) 的髓建成立【6 】。 二避小波是稳定的，同时也是完备的口l 。稳定是信号重建的条件；完备是指 爱交换孬在。一觳壤凝下矿，。回劳嚣线性无关，鞫某些矿，。可嫠是勇籁一些 妒。( f ) 的线性组合，敞二进小波交换也是存在信息冗余的。 2 。4 多尺度分攒与m a l l a t 算法 2 4 1 多分辨率分析 1 9 8 7 年，m a l l a t 褥诗算瓿毒雯觉镶壤肉静多分辨率( 多足度) 分辑愚葱弓 入刭 小波分祈中小波函数的构造及信母按小波变换的分解及熬构，统一了此前 s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e n a a r i e 和b a t t l e 提出的具体小波函数构造，并研究了小波 变换计葵离教序列黪4 | 孽形，绘出了游名的m a l l a t 分解、重建冀法共用于强像魄 分解与黧掏。m a l l a t 舞法在，j 、渡分耩中靛遣谴耱强予傅立时分祈中f f t 的地位。 以下先从理想滤波器的角度引入多分辨率分析。 当信号的采样率满足n y q u i s t 翳求时，归一蛉频带必将限制在一万+ 臂之间。 蘧对霹分瓣嗣瑾想骶溪与理鏊蓬遴滤波器或弱嚣；将它分聪艘( 对于正频窭辫分 而言) 频带在0 万，2 的低频部分和玎2 石的黼频部分，分别反映信号的概貌 与细节。处理后两路输出必定正交( 因为频带不交叠) ，而且由于两种输出的带 竞均减拳，困此采样攀可以减半藤不致弓l 起倍感戆丢失( 带遵傣号戆采样零决定 予其带宽) 。这也是m a l l a t 算法率滤波后“二抽敬”环节的溅出。新谓二拯取就 是对输入序列每隔一个输出一次，级成长度缩减半的新序列。类似的过獠对每 次分解艏的低频部分程重复进行下缓，即：每一缴分解把该级输入信号分辩成一 个低额糕戆遥远( 摄畿) 稳一个意羰稳缝节部分。 | ；显每缓输滋采缮率砉器可激城 半。这样斌将原始信鸯进行了多分辨率分析。信母重建是分解的逆过程，分解所 得的每支路首先做“二插值”，然后为平滑补零后的波形做相应的低通威带通 滤波g 。秘g ，莠逐缀霾建。 m a l t a t 觚函数空间剐分概念出发，数学上曼为严谎地在小波变换与多尺度分 鳗 逄文小波| 辑5 ，簿立 ；1 分辑确灌 豫娃理；争麓嚣千琏曩谚 究 析j 刈建立了联系。把平方可积函数( x ) l ( r2 ) 看成是某一邂级逼近的极限情 况。每级逼近都是用一低通平滑瞒数( x ) 对，( x ) 做平滑的结粜，当然逡缴逼近 对平溪滋数( x ) 瞧徽遥缀转缩，纛靛楚霸不弱黥足度或分辨率来逐级逶透涵数 ，0 ) 。 空间l ( r2 ) 中的闭予空问序列 f ， 。称为l ( r2 ) 的一个多分辨率分析或逼 近，若瀵足： ( 1 ) 单调性：对任意，z ，v j 。i ，h 。 ( 2 ) 邋近性：u 矿，= l 2 ( r ) ，n 圪= 0 。 罐? o z ( 3 ) 伸缩性：f ( x ) v t 甘f ( 2 x ) v k + i ，k z ( 4 ) r i e s z 基：存猩妒，使褥 妒红一) t 。e 2 章每成瑶的橛凇正交基。 ( 5 ) 弱数空潮痔捌 以 触豹逐缀二分往， ，以i = t 2 + w2 ，= e i 十g _ l ，k = + ，= 一l + 一， 矽，为的正交补空间，函数，( x ) 在中的平滑逼近性和在w j 中的带通细 节性。 若 妒 一妨 埘 怒豹标准薏三交基，由伸缩性尹柚( 鼻) = 2 - i n ( 2 一x - n ) 构成 矿的标凇正交基。函数庐( x ) 称为尺度函数，具裔低通作用，胤满足双尺度方程： 痧( x ) = 主磊( 撵) 虹。= 钷磊 d a u b e c h i e s 小波，由i n g r i dd a u e c h i e s 予粥年代甥摄密著稳遥豹，篱 称d b 小波。d b 小波憝正交小液，溺然也是双正交小波，并怒紧支撑的，舆有 阶消失嫩，但d b 小波是非对称的。 ( 2 对称小波，篱记为s y m n ，n ；2 ，3 ，8 ，它是d b 小波的改进，也是出 d a u b e c h i e s 疆密并季留逡豹。它除了商曲小渡豹褥点努，主黉怒妖幻是按i 鍪对称 的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。 ( 3 ) c o i f l e t s 小波，尺度函数也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。 ( 4 m e y e r 小波，枣m e y e r 予1 9 8 6 年挺滋秘，该毒波纛瓣壤表这式，是歪 交、双讴交的，但不怒有限支撑的。该小波是对称的，且有鬻非常好的规则性。 三、 双正交小波 为获褥滤波器维的线性相位，d a u b e e h i e s 灏c o h e n 在放宽小波手交一陡躲条 件下提滋并构造了双：i _ | 三交小波。双菠交滤渡器缎麓称b i o r n r , n d ，其中拇怒低透 重建滤波器的阶次，m 是低通分解滤波器的阶次。这一类小波自然不是正交的， 但它们慰双e 交的，怒紧支撑的，熙主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。 8 琐卜论文小被菏新与簿立i t 分辑在鞠嚣处理中的蕾卡斑用翟f 究 第三章小波变换在图像编码中的威用 3 1 网像编码概述 漤豫掰包台静箔意丰富，嗣辩蕊像数据量瞧廷纛大敬，谶诧对鹜豫数据静存 储、处理和传输等环节提出了较高的要求。单纯依靠增加存储器容量，提高传输 信道带宽和提高计算机处理速度滩以满足需求，也是不现实的。为此，人们试图 采月对鬻豫耘豹表达方式鼓疆小簌表达方式磁嚣豹数据量，这藏楚图豫编瓣要疑 决的主簧闯题，图像编码也称为豳像压缩 一、基零概念 人们对匿像数攒遴行了大量斡统汁积视觉效深的硬究。臻果表明，图像中主 要存在三耱数据冗余：编码芄余、像素趸余窝。心理视觉冗佘瞳自然编秘辩密现 概率大和出现概率小的狄度级都赋予相同数量的比特数，导致产生编码冗余。图 像的相邻像素之间、相邻帧之间都存在着较强的相关性，即图像信号存在空间冗 余、结梭冗余、怼瓣冗佘、视觉趸众窝翔谈冗余。列薅菜耱绽璐方法在一是程震 上消除这些相关性或冗余，可以实现图像数据的的压缩编码。 图像编码以信息论为基础，属于信源编码的瓶畴，基本方法就是消除冗余数 据，即将缀始图像转化为从统计角艘器尽可能不捆关蛇数据鬃。图像解码蹩将压 缩了静鬻像解压并重建原始强橡鬣蔟近 蔹嚣豫，憝编码静遵避程，遣是图像编码 研究的内容。 根揣解码结果对原图像的保真粳度，图像编码的方法可分为无失真编码和失 奏编码嚣大类。蓑缡筠遘程是尽羹将蠢题茨冗众篌感去楚，蘩建戆銎缳霸簇始图 像完全致，此过程称之为无失真编码；若允许愀复的图像裔一定的失真，失真 在人的视觉可接受的械围内，该过程属于失真编码。 长期以柬，人们都是在香农( s h a n o n ) 信感骥论的指导下进行图像编粥方法 豹研究，帮任餐一缀貔税分蠢秘数据信意由其警沟信怠率一一熵( e n t r o p y ) 表 示，无失真编码的压缩效率以熵为界，失真编粥的压缩效率也受熵约束。信息论 中信源的熵定义应用到图像编码当中： 抒( ) = 一p ，l o g 2p ，) 1 = 0 ，一i 其中，p l 表示灰度i 在图像中出现的概率，z p ，= i ，p ，0 ，静止扶度图像逶 i = o 常用8 个比特表示，l = 28 = 2 5 6 。炳越大，说明平均信息墩越大，图像可以压 够l 论文 小波静祈鸟撂立_ _ 分辑番二蠲像处理中钓蒋千赫翻碲 宽 缩的程度趟低。 然舔人们在研究入的视堂穗鳇与窝豫羹悬之淄麓关系簿发现：大黪撬懿感魏 特点写统计意义土的信息分布并不一致，也就怒谎，在统计意义上需要更多信意 量才能描述图像信息的特征对于视嫩感知可能并不重要；从感知角度讲，谶需详 缨表征罄像的某些髑都特征，肆这郝分属于心瑗摄觉冗余。妇越露三缩技术突破了 黉统香农僚患理论豹耀絮，莲重嚣a 麓感舞蒋整鞠秘瑟，裂掰掰落“感甄熵”瑾 沦，使得胍缩效率得以极大的提简。 二、编码效果的评价 译价一稀攘弱方法黪匿缡袭荣，遥零竣些主鼹移宾裁的鑫准寒簿瀵其洼 能，郎黪法的运缩沈( 比特率) ，解碣图像韵葳爨、压缩和解艇豹速度以及软硬 件的丌销。图像编码中的解码图像和原始图像由于压缩效率的原因，可能会不完 全裙露，造成些原始髂崽损失。这剥噌毒嚣下，港常需要出对俊崽损失黔测发隘 疆述簿鹕蕊像霹予藤始窝豫费穰离穰度，递鬻称为绦真爱( 逶粪度) 聚弱。国予 主观评价的标准比较艇杂和困难，猩大多数情况下，采用峰值信噪比( p s n r ) 作为评戗恢复图像质鼹的主要尺度。p s n r 定义为。 p s n r = 1 0 t o g 辔2 m s e ) ( 3 - 2 ) 式中，q 寝示图像数搦的量化级数；均方误差m s e 定义为 ， i l 一i 2 凇2 击荟萎【渤一于) 】