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一类带非线性迁移项的种群动力系统解 及其稳定性的研究 摘要 种群发展过程是一个动态过程，它有着自己的运动规律，而且 受人为因素的影响。由于种群( 某一区域) 受出生、死亡、迁移等 其它因素的影响，随着时间的流逝，种群状态即数量要发生变化。 种群数量变化会影响到整个生物群的发展和生态的平衡，所以种群 数量的研究即种群动力系统研究意义重大，已经受到人们广泛的注 视。线性的情况前人己经做了大量的研究。而现实中种群数量变化 与出生、死亡等有关且区域并不封闭，故带非线性迁移项的非线性 情况更为合理，意义更为普遍。本文研究带一类非线性迁移项的非 线性种群动力系统解的存在情况和稳定性，方程的具体形式如下： i 旦旦霎堕+ 至里霎生尘：一( 厂，( f ) ) p ( r ，f ) + 厂( 尸，( f ) ) l 一+ 一= 一，r ，i fi i 仃r z - 十7 r ，i l l i况却 。“7 。一 p ( r ，o ) = p o ( r ) ，o ， = 护 陟 ， 、， 卜 驴 州 一 肌 一 o p = 0 力一 ， 警删胁 - = = 掣篇 北京化丁人学倾i j 学位论文 w h e r e 耶) = j c o a ( ，) p ( ，f ) 办，a ( r ) or e p r e s e n t st h ec o n t m u t i o no f o ft h ei n d i v i d u a la ta g ert ot h ee f f e c t f o ，叫i st i m e 厂 o ，o 。) i s a g ea n d 名 i st h em a x i m u ma g e p ( ，f ) i sd e n s i t y 如n c t i o no ft h e p o p u l a t i o n ( 广，o ) ) o ，t h e m o r t a l i t y o f a g e 厂a t f ， a n d ( ，m ) ) o ，t h e b i n hr a t e ，a r ea l l d e p e n do n m ) = j c o a ( r ) p ( 纠办 厂( 厂，m ) ) i st h em i g r a t i o n ，w h i c hi sa l s oa f f e c t e db ym ) t bt h ep o p u l a t i o nd y n a m i c ss y s t e mw i t hn o n l i n e a rm i g r a t i o n 厂( 厂，( f ) ) ， t h i s p a p e rp r o v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o na n dt h e s t a b i l i t yo ft h em i l ds o l u t i o nt h r o u g ha n a l y z i n gi t se q u i l i b r i u mw h i c ha r e i e s p e c t i v e l yd i s c u s s e du n d e r厂( 尸，( f ) ) i s l i p s c h i zc o n t i n u o u st op ( r ，f ) a n dc o m p a c t t h e 玎e s u l t si nt h i sp a p e re x t e n da n dd e v e l o pt h er e s e a r c ho f p r e d e c e s s o r s k e y w o r d s ：p o p u l a t i o ne v 0 1 u t i o ne q u a t i o n ，n o n l i n e a rm i g r a t i o n ， m i l d s o l u t i o n ， e q u i l i b d u m ，s t a b i l i t y ， l i n e a r i z a t i o n i v 符l ，说明 r 1 劫如d 皇 ( x ) 彩 d ( 4 ) 仃( 4 ) g v _ 宰 符号说明 v “ 全体实数 b a n a c h 空间 x 的p 次可积函数 正无穷大 空集 算子彳的定义域 算子彳的定义谱 强连续半群 任意 存在 映射 趋于 定义 卷积 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：壶) 亟 日期：兰! 竺拿：垒：兰至 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁柱，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在土年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：勤啦垃 日期： 导师签铝：乏$ 遂 日期： 第一章绪论 第一章绪论弟一早三百了匕 讨论不同生态环境下各种生物种群动态行为以及它们对环境变迁产生的影 响对生态平衡有着深远的意义。生物结构种群动力系统是从动力系统的角度来描 述种群的发展变化，它是从经典力学和微分方程研究中产生的数学分支。种群动 力系统理论在研究许多非线性现象中起着非常重要的作用。 1 1 模型介绍 利，群生态学是生态学的重要组成部分，个体生态是研究种群动力生态的基 础。种群发展过程是一个动态过程，它有着自己的运动规律，而且受一些人为的 影响。由于种群( 某一区域) 受出生、死亡、迁移等其它因素的影响，随着时间 的流逝，种群状念要发生变化。活着的种群按其年龄的分布称为种群状态，种群 状态随时问变化称为种群发展过程。种群发展方程是通过影响种群变化的因素如 死亡率、出生率、迁移率来定量描述种群状态随时间变化和发展的规律。理论分 析和实际统计数据表明，种群发展过程可以用精确的偏微分方程来描述。由于种 群数量变化会影响到整个生物群的发展和生态的平衡，所以种群数量的研究也就 是种群发展方程的解的研究意义重大，已经受到人们广泛的注视。 描述生物种群状态的的分布变化的数学方程和公式构成了结构种群的动态 模型。主要有偏微分方程( p a n i a ld i 骶r e n t i a le q u a t i o n ：p d e ) 模型 1 】，矩阵模型 和滞后微分方程 2 。本文主要讨论p d e 模型，它运用具有连续的结构变量，如 年龄，动念地刻画了种群随时间的变化，例如线性的p d e 模型 3 、2 0 】： 里里呈二堕+ 望生呈生掣：一( 厂) p ( r ，f ) 况升 。一7 g ( o ) p ( o ，) = f ( ，) p ( ，f ) 办 其中p ( 厂，f ) 表示时刻f 年龄为尸的种群密度，g ( 工) ，( 厂) 和( 厂) 分别表示年 龄为，的个体的生长率，死亡率和繁殖率，积分项给出了时刻f 种群的繁殖率。 北京化t 人学硕i j 学位论文 p d e 模型的优点是包括了最详细的的有关个体生命的过程和环境对个体的影响 信息。因而对种群状态变化的捕述真实而细致。 根据微分方程理论，对给定初值p ( r ，0 ) = 风( r ) ，上面的p d e 模型可以在选 定的空间上确定具有连续时间变量的无穷维动力系统 s ( f ) ：( s ( ，) p 。、) ( r ) = p ( r ，f ) ) 我们称由结构种群动态模型确立的动力系统为结构种群动力系统。 上面的p d e 是线性的，即假设模型中参量与干叶i 君f 密度无关，且该种群所在 区域非闭。在实际情况中这些假设只能在理想状态下成立。 更为实际的情况是，( ，) 和( 厂) 通常与种群密度相关，即它们是p ( 尸，z ) 和， 的函数，刻画这种情况需要非线性模型。 非线性结构种群动力系统的研究中，一个非常重要的模型是g u r t i a n m a c c 锄y ( g - m ) 模型 1 1 ，其具体表示如下： 翟攀+ 里掣：一( r ，m ) ) p ( m 8 t新 ? 、一一一j p ( ，j ，o ) = 风( r ) ， p ( o ，f ) = r ( ，( f ) ) p ( 尸，f ) 办 其中f ，r 0 ，p ( ，f ) 表示时刻f 年龄为尸的种群密度，p 。( r ) 为初始时刻扛0 种 群密度函数， c o ( r ，( f ) ) p ( r ，f ) 办表示种群在f 时刻的繁殖率，( r ，j ( f ) ) 和 ( 尸，( f ) ) 分别表示年龄为厂的个体的死亡率和繁殖率，且( 尸，( f ) ) 0 ， ( ，( z ) ) o ，它们都依赖影响函数，( f ) = f a ( r ) p ( 尸，f ) 办，其中a ( 尸) o 表示年龄 为尸的个体对这种影响的贡献。 近年，对于非线性g m 模型的研究引起了人们的广泛关注，并出现了大量 研究成果 2 、1 2 、1 3 等及所附文献 ，本文所讨论的是带非迁移项的非线性的结 构种群动力系统模型，具体形式如下 掣+ 掣：叫嘶) ) 肿川m ) ) ， p fo ，_ p ( r ，o ) = ( 厂) ， p ( o ，f ) = 【( 厂，( f ) ) p ( 尸，f ) 办 参量意义与g - m 模型相同，厂( 尸，( f ) ) 为种群迁移函数，它依赖影响函数 北京化t 人学f 0 ；： i ：学位论文 心) = f a ( 尸) p ( 纠办。 本文的模型推广了前人的研究。 1 2 前人研究成果 科学家对种群动力系统系统的研究已经近3 0 年了，种群的生态状况变化和 生态环境对种群动态的影响都是通过改变个体的生命过程实现的。所以研究种群 动力系统应该从个体出发，了解个体生命过程与种群整体发展之间的关系。早期 的种群生态学的研究通常为了方便忽略了种群内个体的差异，如m a l t h u s 模型 l o 舀s t i c 模型。后来的w 曲bgf 提出的p d e 模型，矩阵模型和滞后的微分方程 模型从不同的角度刻画了种群状念的变化。第一种详细刻画了种群的状态变化， 但较难进行数值模拟，第二种模型易于构造和模拟，但对与连续的时间和结构变 量离散很困难，第三种时滞量是重要的特征参量，但受建模时观测数据和结构变 量的离散的影响。 本文主要介绍结构种群动力系统模型的研究成果。自1 9 7 4 年g 谢i nm e a n dm a cc a 帆yr c ( 文 1 1 】) 关于非线性年龄结构种群动态研究的研究开创以来， 8 0 年代结构种群动力学的研究倍受关注，代表的有w 曲bgf ( 文 1 ) 和e b e 胁a n ba n dp e r s s o nle d s 等的专著。这些研究成果大大推动了种群动力系统的研究。 它们不仅紧密了模型与种群生物学的实际问的联系，也使结构结构种群动力系统 的研究受到更多的重视。9 0 年代以来，从线性的研究得到显著发展，研究非线 性的种群动力系统，并利用计算机辅助功能进行讨论和模拟成为了一种新的时代 特点。例如9 6 年t u l j a p u r k a rsa n dc a s w e l l 的专著。 1 3 半群在模型中的应用 半群在讨论结构模型动力系统解的过程起到了至关重要的作用。首先介绍与 本文用到的有界线性半群知识。 定义1 1 设x 是b a n a c h 空间，丁( f ) ( o f o o ) 是映x 到x 内的有界线性算 北京化t 人学f 吹i 学位论义 子的单参数族。称丁( f ) ( 0 f o 。) 是的有界线性算子半群，如果 ( 1 ) 丁( o ) = ，( ，是x 上的恒等算子) 。 ( 2 ) 丁( f + j ) = r ( f ) r ( s ) ，对一切f ，j o 成立。 线性算子半群丁( f ) 称为是一致连续的，如果 嘞慨f ) 一列= o 定义1 2 线性算子彳称为是半群7 1 ( f ) 的无穷小生成元，如果 d ( 彳) ： x x ：l i m 三竖存在、 ，o f 和对于x d ( 彳) ， 舡姆半= 华l ，- o ，_ + 0 ， ”。 其中d ( 彳) 是彳的定义域。 定义1 3 一个b a n a c h 空间x 上的有界线性算子半群丁( f ) ，o f o 有 0 厂( p l ( ，f ) ) 一厂( p ：( 尸，f ) ) | l l | p 。( ，- ，f ) 一p ：( r ，f ) i l ，跏。，p ：x 假设3 3 厂：x o ，r 】专x 是紧的算子，且存在函数n ( - ) _ ( 0 ，r ，r + ) 和连续递 增函数q ：r + 专r + 使得i i 厂( r ，( f ) ) i i 刨厂( x ，f ) 忙口( f ) q ( ) ，x xa e f o ，7 】。 3 1 带非线性迁移项的种群发展方程的解的存在唯一性 首先定义种群算子：彳：x x ，满足： 却( 厂) = 一p ( ，) 一( 厂，p ) p ( ，) ，其中l = f 口( r ) p ( r ) d 厂 。( 彳) = p ( ，) 肌。，) l p ( ，) 是绝对连续的，p p ) 饥。，o o ) ，且p ( 。) = f ( ，) p ( ，) 咖 引理3 1 ( 文 2 ) 如果假设3 1 成立，则( g m ) 算子半群 s ( f ) ) 的无穷小生成 元是彳。其中( g m ) 算子半群定义 s ( f ) ) 为( s ( f ) 风) ( 尸) = ：p ( 尸，f ) ，且锋( f ) ) 是 d 0 ，o 。) 上的g 半群， 从上面可知算子么可以生成c 0 一半群，这罩记为r ( f ) ，定义那么由文 3 ， 种群发展方程( 1 ) 可转化为如下发展方程 j 警刊比m m ) )( 3 1 ) 班( 3 1 ) i “( o ) = 其中，= 岛( ，) ，“( f ) = p ( ，f ) ，表对固定的f 为函数空i 日jx = o ，叫的元素。 定义3 1 ： 函数“c ( o ，丁】，x ) ，若 北京化t 人学顾i ：学位论义 甜( ) = 丁( f ) + 上r ( f s 矿( ，地) ) 幽 满足方程及初始条件，对所有的f 0 ，刀，则称上面甜o ) 为方程( 3 。1 ) 的温和解。 我们定义：f ：c ( o ，丁 ，万丽) 专c ( o ，丁 ，万丽) ( 凡) ( f ) = 丁( 咖。+ 上7 1 ( 卜s 矿( ，地) ) 出 ( 3 2 ) 我们需要证明f 存在不动点，由b a n a c h 和s c h a e f e r 不动点定理( 文 3 ) ，则有 定理3 1 如果假设3 1 和3 2 成立，若舭丁 l ，则种群发展方程( 3 1 ) 的温和 解存在且唯一 证明：首先证明尸为压缩算子，记厂( 厂，( f ) ) = 厂( 厂，f a ( r ) p ，( r ，f ) 咖) ， 慨一凡：i | = l l f 殚叫( 弛，“跏一m ( 跏出0 l 7 i | “，( f ) 一“：( f ) | l 其中= s u 酬厂( ，) j l ；f o ，刀) 由题设舭r 0 ，j 万 o ，当o j l z 万时，对“昧，j 0 ，丁】有 归( 矗) 一，) 厂( r ，( s ) ) i l s 故有 i i 凡( f + 矗) 一凡( f ) f l q ( 尺) f ”口( s ) 出+ s ，其中o 血 万，“吼 当五一o ，有0 而( f + 矗) 一凡( ，) 忙占= 占 故即尼cc ( 0 ，丁 ，x ) 是等度连续 因为厂是紧的， 丁( f ) 为c o 半群，有集合 ( 丁( f s ) ( 厂，j r ( s ) ) ；s o ，刀，“峨 是列紧的，因而船凡cf c d 删 ( 丁( ，一j ) 厂( 厂；，( s ) ) ；s o ，卅，“峨 在上是序列紧 的。 即完成证明了f 是紧的。 由上面证明，根据s h e s f 盯不动点定理，证明方程( 3 1 ) 的解的存在性，只需证 明名f 的不动点集合对五( o ，1 ) 一致有界。 为了讨论方便上面已经假设= 0 ，则 设甜满足“( f ) = 五f 丁。一j 扩( ，( s ) ) 出，五( o ，1 ) 有 陋( f ) l l f ”a ( s ) q ( 忆( s ) 1 1 ) 凼+ s 全x ( f ) 容易看出，x ( o ) = o ，怯( f ) 忙工( f ) ，对x ( f ) 求导，有 工( f ) = a ( f ) q ( 1 l “( ，) l i ) a 切( f ) q ( 石( f ) ) 则 黑口( f ) ， 做变量代换z ( f ) ：所，有 x 婴2 o = o q ( x ( f ) ) 【x o ) = 历， f = 对上面不等式两边在 0 ， 上积分，有 。 f 蒜出= 志胁南q ( 工( ，) ) 南 q ( ，”) 山、 一 j ! 塞垡! 堂堕：! ：堂垡笙兰一 _ _ - _ _ _ - _ - _ - _ - _ _ _ 一一 义有定理中条什r 口。) 幽 0 ，使得x ( f ) 尺， r 不依赖于a ，即证得对 “ “c ( o ，丁 ，y ) ：“= 力砌，兄( o ，1 ) ) 有i h ( f ) i l 尺。 因此，由s c h e a f e r 不动点定理可知， f 至少有一个不动点，即方程( 3 1 ) 存在 漏和解。定理证明完毕。 第p u 亭解的稳定十牛 第四章解的稳定性 为了讨论带非线性迁移项的种群发展方程的解的稳定性，我们首先讨论其平 衡态，即时间趋于无穷时的解。 4 1 平衡态的存在唯一性 同样，对种群动力系统的非线性迁移项厂分别为l i p s c h i z 和紧的两种情况下 研究其平衡态。设平衡态为p ( 尸) ，由原方程( 2 1 ) 可知它满足如下方程 掣：一( 曲m + 竹，)( 4 1 ) p ( o ) 2j ：( r ，) p ( r ) 咖， 则容易验证，p ( 尸) 满足下面方程 p ( 尸) = ( f m ，彬以i ，) d 7 幽+ p ( o ) ) p 一珈( f 州7 ( 4 2 ) 其中，= f a ( ，) p ( ，) 咖，p ( o ) = f ( 尸，) 卢( ，) 办 定义4 1 在b a n a c h 空间x = _ 0 ，o 。) 上定义非线性算子，矽：x 一 矽( p ( 厂) ) = ( r 邝，少州7 + p ( o ) ) 凼p 一珈( 州7 ( 4 3 ) 其中，= f a ( ，) p ( ，) 咖，p ( o ) = f ( r ，) p ( r ) 办 下面，我们分别在非线性项厂( j ，厂) 为l i p s c h i z 连续和紧的情况下研究平衡态 p ( ，) 存在性。 首先厂关于p 为l i p s c h i z 连续时，即假设3 2 成立时，讨论平衡态的存在性 唯一性。 定理4 1 当厂( 五，r ) 满足假设3 1 和3 2 时，若旭7 正岂+ 肚一但 1 ，则方程( 4 1 ) 存存解日唯一。 北京化t 人学顺i j 学位论文 证明：要证方程( 4 1 ) 存在稳定解，由b a n a c h 不动点定理，需证算子矽存在唯 一不动， 即证为压缩算子点，记厂( r ，) = 厂( ，【口( r ) p ，( ，) 办) ， 万= s u p ( 厂，) ) ，笪= i n f ( r ，) ，= s u p ( 厂，) ) j | 矽( p 。( r ) ) 一矽( p ：( r ) ) o ：l l ( r 厂( s ，弦( f ，m 7 出+ p 。( o ) ) p 一【川f n 打 一( j i 厂( 5 ，：弦f l ( f ，) d 7 a b + p ：( o ) ) p f ：f ，) d 70 = l l ( r ( 厂( s ，1 ) 一厂( s ，：) ) p f j w 7 凼+ r ( 厂，) ( p 。( 尸) 一p ：( ，) ) 办) e 一( 小f ，) 加l l p 一型l l ( r ( 厂( s ，) 一厂( j ，：) ) p c p ( ，) d 7 d j + f ( r ，) ( p 。( ，) 一p ：( ，) ) d ，一) 0 “列一们 ) i 阿仃型旧肌( 眯沪p ：( 纠咖l = p 幔g 剧邝，一邝，：) l 阿+ 胪7 岂f 帆r ) 一p ：( ，) 阿 = ，p 7 正型i i 厂( s ，) 一厂( s ，! ) 0 + e 。型l | p 。( r ) 一p ：( r ) 0 ( l r e 正岂+ p 一7 坐) i l p ( ，j ) 一p ，( ，) 0 刚题议l 彬+ e l ，五叉疋埋批且。 定理4 2 当( ，r ) 满足假设3 1 和3 2 时，若彤m 肿，) d 枷+ p 忻肿 ) d 1 1 ，则方 程( 4 1 ) 解存在且唯一。 证明：同定理3 1 只需证明矽为压缩算子 i l 矽( p 。( r ) ) 一矽( p ：( 尸) ) l l = i i ( r ( 厂( s ，。) 一厂( j ，t ) ) p r 川f ，) d 7 出+ p 。( 。) 一p ：( 。) ) g r 川r ，”出l i i i fc c s ，一厂c s ，厶，p r ( ，) d 7 凼1 1 + l l e f ：( ，) d 7f c r ，c p 。c ，一p ：c r ，办| l 厂l l p f ( r ，) d 7lii | c s ，一c s ，l ，”+ 0 e 【( f ，) j 70 f 。c ，c p 。c r ，一p zc r ，咖i 三r l l 口一r ( r ，埘7n p c 尸，一p ：c r ) + i l 口r ，f ，埘7 c p c r ，一p ：c ，) ( 己r p 卜r 川r ，一r l i + e 帆川r ，一f i i ) 0 p ( ，) 一p ，( ，) 0 北京化t 人学硕l ：学位论文 由题设已知j r 肿朋d r | + p 肿，d o 对所有的妙蕾 o ) 成立。设b ( x ) 是x 到x 的所有有界线性算子构 成的集合。口( x ) 称为关于锥墨是f 的，如果( 墨) c 以；我们称甲， ，甲口( x ) ，如果( 一甲) 置c 墨。另外，若向量格x 关于r i e s z 范数是一个 b a n a c h 空间，就称z 为b a n a c h 格。记，( ) 为b ( x ) 的谱半径。 定义4 2 正算子b ( x ) 称为是半非支撑的，当且仅当对每一对f ( o ) ， - o ) 存在j 下整数p = p ( f ，妙) 使得( ，p 妙) o 。f 算子中曰( x ) 称为是 非支撑的，当且仅当对每一对f x + o ) ，墨 o ) 存在f 整数p = p ( f ，) 使 得( f ，“) o 对所有的疗p 成立。 1 4 北京化t 人学坝l j 学位论义 引理4 1 ( 6 ，7 ) 假设锥以是完全的，中b ( x ) 是半非支撑的，假设r ( ) 是 预解式尺( 五，) 的一个极点，则下列结论成立 ( 1 ) ，一( ) 己 0 ) ，( ) 是预解式的一个简单极点。 ( 2 ) 与，一( ) 对应的特殊子空间是一维的，对应的特征向量丑是一非支撑点， 关系式蚧= 石，石e 意味着工= 掣，其中c 为常数。 ( 3 ) + 对应于r ( ) 的特征空间也是x 4 的一维子空白j ，它是由严格j 下线性泛函 f x + 张成的。 ( 4 ) 假设x 是一b a n a c h 格，如果b ( x ) 是非支撑的，则的边缘谱仅由r ( ) 构成，即 r ( ) 对五盯( ) r ( 中) ) 成立 引理4 2 ( 8 ) 假设x 为b a n a c h 格，和甲是召( 彳) 上的正算子，如果中甲， 则，( ) r ( 甲) ；如果和甲是半非支撑算子，如果西甲，甲，则 厂( ) r ( 甲) 。 我们知道x = 0 ，叫上，所有( 几乎处处) 逐点正的函数构x 的一个正锥 丘，赋予通常的范数，亦足b a n a c h 格。那么，由上面引理，我们考察算子的 性质。 定理4 3 在厂为满足假设3 1 和3 3 时，算子：xjx 是非支撑的紧算子。 证明：定义正线性泛函f 兄+ ， ( f ，) ：r 他，l ) 州7 d 仃+ 少( o ) 其中o 仃 o ，z 1 对每一个x t ( o ) ， g 石+ o ) 成立，即证得为非支撑算子。 下面证明 ( 尸) ) = r 厂( s ，l 小l 删7 凼+ x ( o ) 为紧算子，因为厂为x 上紧算 子，故r 厂( r ，。弦肛州7 出为紧算子，需要证明q ( p ( ，) ) 垒f ( ，) p ( r 沙也是紧 的。 北京化t 人学硕i j 学位论文 由a r z e l a a s c 0 1 i 定理，我们需要证明q 一致有界且等度连续。 ) i | ：lf 肌加炒印肌) 眇 = 硎p ( 厂) j l 其中= s u p ( ，j ) ) o r 因为在存在性证明时，我们知道p ( ，) _ o ，) 有界，设怕( 厂) | i 尺，记 尺= m ，故有 忪( p ( ，) ) 忙m 取任意p ( 厂) ，p 2 p ) o ，) ， 愀爪呦一q ( 以酬= 旧肿，州州沪以呦