常用统计参数.ppt

第二章：常用统计参数,主讲：任杰,2019/12/12,第二章：常用统计参数,2,统计量,统计量：反映一组数据（样本）统计特征的数字。参数：反映总体的统计特征的数字叫参数。统计量和参数的统计意义是相同的，计算原理和方法也是相同的，只是在指代不同对象时叫法不同，表示方法不同。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,3,2019/12/12,第二章：常用统计参数,4,一、集中量数,集中量：即表现一组数据的集中趋势或集中程度，代表一组数据的中心位置的统计量。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,5,集中量,算术平均数,加权平均数,中数,众数,几何平均数,2019/12/12,第二章：常用统计参数,6,（一）算术平均数,1、算术平均数:一般简称为平均数或均数（Mean），一组数据的总和除以数据的总个数所得的商就是算术平均数。学算术平均数常用代表变量的字母上加一“”来表示，如,2019/12/12,第二章：常用统计参数,7,2、算术平均数的计算,假设一变量X共有n个观测值，则变量X的平均数为：,2019/12/12,第二章：常用统计参数,8,3、算术平均数的性质,在一组数据中每个观测值与平均数之差（离均差）的总和等于0。在一组数据中，每一个观测值都加上一个常数C，则所得平均数为原来的平均数加上常数C。在一组数据中，每一个观测值都乘以一个常数C，则所得平均数为原来的平均数乘以常数C。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,9,证明,2019/12/12,第二章：常用统计参数,10,4、次数分布表算术平均数的计算,2019/12/12,第二章：常用统计参数,11,5、算术平均数的意义与优点,算术平均数是应用最普遍的一种集中量数，是“真值”的渐近、最佳估计值。反应灵敏。观测数据中任何一个数值的变化都能通过算术平均数反应出来。确定严密。只要是同一组数据，计算出来的算术平均数不受计算者、时间、地点等因素的影响。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,12,5、算术平均数的意义与优点,简明易解。原理简单易懂，计算简便易行。符合代数方法进一步演算。较少受抽样变动的影响。从同一个总体中随机抽取的容量相同的样本，所计算出的算术平均数与其他集中量指标相比，抽样误差较小。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,13,6、算术平均数应用的局限,易受极端数据的影响。若有模糊不清的数据，则无法计算平均数。凡不同质的数据不能计算平均数。（同质数据是指用同一个观测手段，采用相同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特质的数据。）,2019/12/12,第二章：常用统计参数,14,（二）中数,1、中数，又叫中位数，符号为Md或Mdn（Median），指的是位于一组数据中较大一半与较小一半中间位置的那个数。中数可能是观测数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,15,2、未分组数据中数的计算,A、将数据依值的大小排序B、如果位于数据序列中间的几个数不重复，按以下方法计算中数：1）当数据的个数为奇数时，取位于中间的那个数即第（N+1）/2个数为中数；2）当数据的个数为偶数时，取第N/2个和第N/2+1个数的平均数为中数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,16,C、如果位于数据序列中间的是几个重复数据，则按以下方法计算中数：1）把重复数据视作某一区间上的几个连续的数；2）根据B步骤的计算方法，中数落在哪一个数上，则该数的中点就是此一列数据的中数；3）如果中数落在两个重复数据之间，则前一个重复数据的精确上限或后一个数据的精确下限即为要求的中数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,17,2、4、5、7、8、9、9、11、132、4、5、5、7、8、9、9、11、132、4、5、5、8、9、9、9、11、12、132、4、5、5、8、9、9、9、11、12、13、17,2019/12/12,第二章：常用统计参数,18,3、次数分布表中数的计算,A、求N/2，找出N/2即中数所在的分组区间；B、求N/2所在区间以下各区间的次数和（即中数所在组区间下限以下的累加次数），记作Fb；C、计算N/2Fb的值；D、求位于N/2点的值,2019/12/12,第二章：常用统计参数,19,2019/12/12,第二章：常用统计参数,20,其中：Lmd为N/2所在区间的精确下限i为组距fmd为中数所在区间的次数,2019/12/12,第二章：常用统计参数,21,2019/12/12,第二章：常用统计参数,22,4、中数的意义与应用,优点：计算简单，容易理解。不足：反应不够灵敏；受抽样的影响较大，不稳定；也不能作进一步的代数运算。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,23,4、中数意义与应用,应用：中数一般不经常使用，但在下列情况下，中数可以较好地反映数据的集中趋势：A当一组观测结果中出现两极端数据时；B当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时，只能取中数作为集中趋势的代表值；C当需要快速估计一组数据的代表值时，也常用中数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,24,（三）众数,1、众数：又叫范数，密集数，通常数等，常用符号Mo表示，是指一组数据中出现次数最多的那个数（Mode）。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,25,2、众数的计算,求众数最简单的方法是通过直接观察找出粗略众数。也可以用公式求出理论众数，皮尔逊经验法是常用的计算正态分布数据理论众数的方法，其公式为：Mo=3Md-2M,2019/12/12,第二章：常用统计参数,26,3、众数的应用,众数的缺点同中数一样，其应用也因此受到限制，通常是在无法计算平均数的情况下，用以了解一组数据的集中情况，如存在极端数据、有模糊数据、有不同质数据等。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,27,（四）加权平均数,1、加权平均数是用来表示不同比重数据、或平均数的平均数，用或Mw表示。当数据的比重不同时，如果直接用算术平均数来表示该组数据的集中趋势，就不够科学和准确，这时就要用权数（weight），即该数据在整个数据总体中的相对重要性来计算平均数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,28,2、加权平均数的计算,2019/12/12,第二章：常用统计参数,29,3、加权平均数的应用,大学课程成绩的计算大学生综合测评成绩的计算不同分实验(调查)结果的会合等等,2019/12/12,第二章：常用统计参数,30,（五）几何平均数,1、几何平均数（geometricmean）：又叫对数平均数，符号记作Mg或。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,31,2、几何平均数的应用条件,一组实验数据中有少数数据偏大或者偏小，数据的分布呈偏态时；心理物理学实验中，用等距和等比量表测量所获得的数据；一组数据彼此间差异较大，几乎是按一定的比例关系变化时，如教育研究中教育经费的增加、学校每年的招生人数等。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,32,3、几何平均数的计算,2019/12/12,第二章：常用统计参数,33,上式中，n代表数据的个数；几何平均数有两种情况：一种是实验直接观测值的平均数（如心理物理实验中所获得的数据，此时用公式A,P36）；一种是指数据的平均变化率（如人口的增长率、学习能力的进步率等，此时用公式B）。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,34,练习,一研究阅读能力随阅读遍数变化的实验结果如下：第一遍，理解成分为40%第二遍，理解成分为52%第三遍，理解成分为65%第四遍，理解成分为75%第五遍，理解成分为86%第六遍，理解成分为97%求阅读能力随阅读遍数的平均增加比率。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,35,二、离散量,离散量：反映一组数据离散趋势或离散程度的统计量，用来表示一组数据的分散情况。次数分布的两个基本特征:中心位置与离散性,2019/12/12,第二章：常用统计参数,36,图例,2019/12/12,第二章：常用统计参数,37,离散量,方差与标准差,标准分数,全距,平均差,差异系数,离散量的种类,相对差异量,绝对差异量,2019/12/12,第二章：常用统计参数,38,（一）全距,全距：即一组数据中最大值与最小值的差。常用大写字母R表示。（Range=Max-Min）用全距表示一组数据的离散程度是非常粗略和不准确的。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,39,（二）平均差,平均差：每一个观测值与平均数的距离的和的平均。用AD（averagedeviation）表示。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,40,平均差的应用,平均差是用来表示一组数据离散程度的较好的差异量数，反应灵敏，确定严密。缺点是在计算时要取绝对值，不利于代数方法的运算；也不利于进一步的统计分析。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,41,（三）方差与标准差,1、基本定义方差（Variance）：也叫变异数、均方，是每个观测值与该组数据的平均数之差平方后和的均值，即离均差平方和的平均数。样本方差和总体方差的计算方法和含义是一致的，但符号不同，前者用S2表示，后者用2表示。标准差（Standarddeviation）：即方差的平方根，样本方差常用符号S或SD表示，总体方差则用表示。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,42,2、方差与标准差的计算公式,2019/12/12,第二章：常用统计参数,43,练习,试推导用原始数据计算方差和标准差的公式。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,44,计算并思考,计算下列四组数据的平均数，并找出每组数据的最大值和最小值：A7、7、8、8、8、9、9B4、5、7、8、9、11、12C1、4、7、8、9、12、15D1、8、8、8、8、8、15思考：这四组数据有什么不同？仅仅用平均数能不能反映这组数据的所有特性？为什么？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,45,3、标准差的性质,一组数据的每一个观测值都加上一个常数C，其标准差不变。一组数据的每一个观测值都乘以一个常数C，其标准差为原标准差乘以常数C。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,46,证明并思考,试证明上述标准差的性质并思考在每种情况下数据分布形态的变化。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,47,4、方差与标准差的意义,方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，具有以下优点：反应灵敏，每个数据取值的变化，方差与标准差都会随之变化；有一定的计算公式严密确定；容易计算并适合代数运算;,2019/12/12,第二章：常用统计参数,48,4、方差与标准差的意义,受抽样变动的影响小；具有可加性，因此可以分解并确定出属于不同来源的变异性，并可进一步说明每种变异对总结果的影响，是以后统计推论部分常用的统计特征数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,49,（四）标准分数及其应用,1、标准分数（StandardScore）:又称基分数或Z分数，是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,50,2、标准分数的计算,其中：Xi代表原始分数为一组数据的平均数S为标准差。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,51,例子,计算B组各数据的Z分数及其和,2019/12/12,第二章：常用统计参数,52,3、Z分数的性质,在一组数据中，所有由原分数转换得出的Z分数之和为0，其Z分数的平均数也为0。一组数据中各Z分数的标准差为1。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,53,4、Z分数的应用,Z分数可用于比较一组数据中的观测值在该组数据中的相对位置，并可根据Z分数的大小判断该数据距离中心位置的远近。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,54,4、Z分数的应用,Z分数可用于比较性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。例子：我市3岁幼儿的平均身高为90公分，标准差为20公分；平均体重为10公斤，标准差为5公斤。现有一3岁幼童身高100公分，体重15公斤。问该儿童是身高偏高？还是体重更偏重？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,55,4、Z分数的应用,当已知同一样本或对象各不同质的观测值的次数分布为正态时，可用Z分数求不同的观测值的总和或平均值。例子：甲、乙、丙三生的某四门功课的成绩如下表，试问三生的总体学习成绩孰优孰劣？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,56,2019/12/12,第二章：常用统计参数,57,4、Z分数的应用,Z分数可用来表示标准测验的分数。经过标准化的心理与教育测验，如果其常模分数分布接近正态分布，常常转换成正态标准分数，能更清楚地表明某一分数在相应团体中的位置。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,58,其转换公式为：Z=aZ+b其中：Z为正态标准分数a、b为常数，通常为该测验总的标准差和总平均数,有时也用经验分数。X为原分数为某团体（或年龄组）的平均分数S为该团体或年龄组的标准差,2019/12/12,第二章：常用统计参数,59,一些测验的常模,2019/12/12,第二章：常用统计参数,60,练习并证明,例一：某校大二学生分属三个学院，全部参加了某次英语四级考试，其成绩见下表，试计算该校大二学生CET-4平均成绩和总的标准差。并找出计算总标准差的通用公式。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,61,方差的可加性证明,2019/12/12,第二章：常用统计参数,62,方差的可加性证明,在上式中，总的方差（变异）被分成两部分，前一部分可看作是组内方差或由组内原因引起的变异（如被试内的差异）；后一部分可看作是组间的方差或由不同的组引起的变异（如实验中不同的变量）。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,63,方差的可加性证明,因此，标准差是反映一组数据离散程度的高效差异量。对于两组同质的数据来说，要比较它们之间的离散程度，就要用标准差的大小来衡量，标准差大，说明该组数据较分散，标准差小，说明该组数据较集中。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,64,例二：试分析例一中三个学院CET-4成绩分布的分散程度。例三：已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体重的标准差为3.7公斤，平均身高为110厘米，身高标准差为6.2厘米，问身高与体重的离散程度哪一个大？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,65,利用标准差进行比较是有严格条件的：即进行比较的数据组是对同一特质用同一种测量工具进行测量而获得的，并且样本的总体之间差异不大，即样本平均数差异不大。这是一个绝对差异量。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,66,（五）差异系数,这样，如果两个样本水平相差较大，就要借助相对差异量来进行比较。最常用的相对差异量就是差异系数。1、差异系数：又叫变异系数、相对标准差等，通常用符号CV表示。其计算公式如下：,2019/12/12,第二章：常用统计参数,67,2、差异系数的应用条件,同一团体不同特质观测值离散程度的比较；进行的是同一种观测，但水平相差较大的各种团体，进行观测值离散程度的比较；此外，适用于用差异系数进行比较的测量值最好是比率变量，如重量、长度、时间和编制得好的测验量表。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,68,例四：今有一画线实验，标准线分别为5厘米及10厘米，实验结果5厘米组的误差平均数为1.3厘米，标准差为0.7厘米；10厘米组的误差平均数为4.3厘米，标准差为1.2厘米。请问，如何比较其离散程度的大小？,2019/12/12,69,可编辑,2019/12/12,第二章：常用统计参数,70,3、差异系数的缺点,差异系数的缺点主要在于它只能用于一般的相对差异量的描述上，至今尚无有效的假设检验方法，因此对差异系数不能进行统计推论。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,71,三、地位量数,表示一个原始分数在其所处分布中地位的量数，叫地位量数。种类：百分位分数百分等级分数标准分数T分数,2019/12/12,第二章：常用统计参数,72,（一）百分位分数,把一个次数分布排序之后，分为100个单位，则某个特定百分点对应的原始分数即为百分位分数，它表明在次数分布中有该特定百分数的数据低于该分数。通常用P加下标m（代表某个特定百分点）表示。如：P75=78代表有75%的数据小于78。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,73,（一）百分位分数,计算公式,2019/12/12,第二章：常用统计参数,74,（一）百分位分数,2019/12/12,第二章：常用统计参数,75,（一）百分位分数,例：在上表中,假设老师要对全班的前15%的学生进行奖励,请问至少要多少分才能获得奖励.,2019/12/12,第二章：常用统计参数,76,（一）百分位分数,一些常用的百分位数Q1=即第25%点对应的原始分数，是第一个四分位数Q2，第二个四分位数Q3，第三个四分位数Q3-Q1=QD，叫四分位距，是比全距更好的离散量指标。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,77,（二）百分等级分数,某个已知原始分数在其所处分布中的相对位置叫百分等级分数。通常用PR表示。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,78,（二）百分等级分数,计算公式,2019/12/12,第二章：常用统计参数,79,（二）百分等级分数,例：在上表中,假设某位学生考了76分，请问全班有多少人排在他的前面？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,80,百分位分数与百分等级分数,二者都是用来表示个体在团体中的相对地位；计算过程相反，一个是由百分数计算原始分数，另一个是由原始分数计算百分数。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,81,次数分布的分布形态,正态分布与偏态分布正态分布（normaldistribution）：以平均数为中心位置的对称分布。偏态分布（skeweddistribution）：非对称分布。正偏态分布（positiveskewed）：次数分布中低分数偏多，尾部在高分端（右端），也叫右偏分布。负偏态分布（negativeskewed）：次数分布中高分数偏多，尾部在低分端（左端），也叫左偏分布。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,82,图例,2019/12/12,第二章：常用统计参数,83,图例,2019/12/12,第二章：常用统计参数,84,次数分布的分布形态,不同分布中平均数、中数及众数之间的关系：,2019/12/12,第二章：常用统计参数,85,练习,2019/12/12,第二章：常用统计参数,86,2019/12/12,第二章：常用统计参数,87,2019/12/12,第二章：常用统计参数,88,2019/12/12,第二章：常用统计参数,89,2019/12/12,第二章：常用统计参数,90,2019/12/12,第二章：常用统计参数,91,2019/12/12,第二章：常用统计参数,92,四、相关分析,（一）基本概念1、相关与相关分析相关：即两类现象在发展变化的方向与大小方面存在一定的关系。相关分析：用一些合理的指标对相关事物的观测值进行统计分析，以判断两事物相关的程度，称为相关分析。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,93,2、相关、因果、共变,因果关系：一种现象是另一种现象的因，另一种现象则是果。共变关系：即表面看起来有联系的两种事物都与第三种事物有关。也就是说这两种事物之间的关系并不是一种实质性的关系，而是因为它们都与第三者有关，才具有的表面上的关系。相关关系内也可能包含因果关系或共变关系，但仅从相关程度不能作出判断。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,94,3、相关的种类,根据具有相关关系的两个变量在变化方向和大小上的关系，可以把相关分为三类：负相关：即两个变量变化的方向相反，也就是说，一个变量变动时，另一个变量也发生变动但方向正好与前一变量的方向相反。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,95,3、相关的种类,正相关：即两个变量变化的方向相同，也就是说，一个变量变动时，另一个变量也同时发生或大或小与前一变量同方向的变动。零相关：即两列变量之间没有关系，也就是说两个变量的变动在方向和大小方面没有任何关系，二者是独立的随机变量。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,96,4、相关系数,相关系数：用来表示两个具有相关关系的变量之间相关程度的数值。通常样本的相关系数用r(relationship)表示。总体的相关系数用表示。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,97,例一,现测得十名女模特的身高和体重见下表,请问模特的身高和体重之间的相互关系如何?(身高单位为厘米;体重单位为公斤),2019/12/12,第二章：常用统计参数,98,巴西21岁女模特安娜卡罗琳雷斯顿,2019/12/12,第二章：常用统计参数,99,2019/12/12,第二章：常用统计参数,100,5、协方差（Covariance）,其中n为成对的变量数,2019/12/12,第二章：常用统计参数,101,协方差的含义,通过两变量离均差乘积的大小和取值的正负，能够反映出此两列变量的变动在方向和大小上的关系，即能够反映两变量相互之间的关系。思考：协方差在表示两变量相关程度上有什么局限？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,102,在上例中，若把身高的单位换算为米，再计算身高和体重的协方差，这时的协方差和上一个协方差有什么不同？造成这种差异的原因是什么？这说明了什么问题？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,103,协方差的缺陷,协方差是有单位的。两变量的测量单位不同，协方差的单位也是不同的，而且任何一个变量的测量单位的变化，都会引起协方差的值的变化，因此协方差是不稳定的。思考：如何克服协方差的这一缺点？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,104,（二）积差相关,英国的统计学家皮尔逊（Pearson）于20世纪初提出了积差相关概念，用来计算线性关系的两列变量的相关程度。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,105,1、积差相关系数的计算,2019/12/12,第二章：常用统计参数,106,用原始数据计算,2019/12/12,第二章：常用统计参数,107,例二:完全正相关与完全负相关,2019/12/12,第二章：常用统计参数,108,2、相关系数的性质,相关系数的取值范围为-1r1。相关系数取值的正负号表示相关的方向。取值大小仅表示两变量相关的程度。相关系数只是一个比率，没有单位也不是等距的度量值，不能进行代数运算。相关系数只能描述两个变量之间的变化方向同密切程度，并不能揭示二者之间的内在本质联系。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,109,3、积差相关的适用范围,两变量的数据都为等距或等比数据；两变量所代表的总体的分布形态都为正态分布或接近正态分布；两变量之间的关系是直线性的；要排除共变因素的存在；样本的容量n30。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,110,问题与思考,如何判断总体分布的形态？如何确定两变量为线性关系？如何排除共变关系的存在？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,111,相关散点图的绘制,方法一：对于两变量X、Y，以X为横坐标，Y为纵坐标画一直角坐标系，以两变量的成对测量值（X，Y）在坐标系内描点，即构成相关散布图。方法二：先计算两变量X、Y的每一个测量值的Z分数，以Z分数为坐标，以成对的（ZX，ZY）在坐标系内描点，即可得到更清楚的相关关系散点图。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,112,2019/12/12,第二章：常用统计参数,113,例三,2019/12/12,第二章：常用统计参数,114,（三）斯皮尔曼(Spearman)等级相关,1、适用条件：只有两列等级变量两变量是线性关系非正态分布的等距或比率变量,2019/12/12,第二章：常用统计参数,115,2、计算方法,2019/12/12,第二章：常用统计参数,116,思考,等级相关和积差相关的关系？,2019/12/12,第二章：常用统计参数,117,3、积差相关与等级相关,等级相关是积差相关的特例二者可以互相推导等级相关引进了计算误差，没有积差相关精确，能够用积差相关计算的数据一定不能用等级相关计算。,2019/12/12,第二章：常用统计参数,118,用等级序数求相关,2019/12/12,第二章：常用统计参数,119,例四,2019/12/12,第二章：常用统计参数,120,（四）肯德尔W系数,又叫肯德尔和谐系数（theKendallcoe