（电气工程专业论文）高频脑电信号的非线性动力学参数分析.pdf

中文摘要 摘要 大脑是人体最重要，也是最复杂的生理器官，它是人类思维活动的物质基础， 是神经活动的中心。利用电极从大脑皮层拾取的脑电信号携带有丰富的大脑活动 信息，它是众多的神经细胞产生的电冲动，综合反映了大脑功能状态，使得对脑 电信号的研究成为现代科学的一大热门课题。 脑电信号是混沌信号，它具有广泛的非线性动力学特征，这一观点已经得到 学术界的证实与认同，因此可以应用非线性动力学方法来分析脑电信号，并快速 有效地提取脑电信号的非线性动力学特征参数，探索这些参数与脑功能障碍或疾 病的关系，并可在临床上利用这些参数指标来实现对脑功能的评价、脑疾病的诊 断和脑疾病康复过程中的监测与检查。 本研究课题是以非线性动力学理论为理论基础，在广泛研究国内外有关脑电 研究的现状和分析方法的基础上，对脑电信号的非线性动力学的理论与方法作了 详细的分析与研究。本论文的主要工作和结论包括： ( 1 ) 对混沌的性质与特征、混沌时间序列的非线性动力学特征作了详细的分 析与研究，对脑电信号的混沌特征作了方法上的论证。 ( 2 ) 对原始脑电信号的预处理是对脑电进行分析与计算的前提与基础。本研 究中首先利用数字滤波技术对原始脑电时间序列中的5 0 h z 工频干扰和基线漂移 进行了滤除，减小了干扰信号对计算结果的影响；利用脑电4 0 h z 阵发性理论实 现了对有效脑电数据的选择，改善了数据分析结果的稳定性和可靠性。 ( 3 ) 传统的g - p 方法是建立在相空间重构理论基础上的相关维数计算方法， 本文通过对其方法的改进使得其计算速度得到了较大的提高，增强了实际应用的 可行性；对相空间重构过程中嵌入维数和延迟时间这两个重要参数的选择问题进 行了讨论，完成了对最佳嵌入维数和最佳延迟时间的确定；对计算相关维数过程 中数据长度、线性拟和区域和信号的幅度等因素对相关维数计算结果的影响进行 了讨论，并对这些参数的确定给出了指导性意见。 ( 4 ) 常用的计算时间序列最大l y a p u n o v 指数的方法是基于演化理论的w o l f 方法，这种方法具有计算量大、抗干扰能力弱等缺陷。通过对比发现，p i n c e 提 出的小数据量法可以有效地克服这些缺陷，并能保持时间序列特征描述的稳定性。 ( 5 ) 近似熵和复杂度作为描述脑电信号复杂性测度的指标，它具有抗干扰能 力强、计算简单和数据量小等优点，结果表明其用于刻画思维脑电以及区分正常 样本与病例样本时都有较好的区分度。 ( 6 ) 以3 0 个f 常人样本和2 6 个病人样本为原始实验数据，选择了其中可以 重庆大学硕士论文 分析计算的2 0 个正常人样本和2 0 个病人样本数据为对象，计算了它们的分数维 值、k o l m o g o r o v 复杂度、l y a p u n o v 指数和近似熵四个动力学指标，并对不同样 本与状态下的计算结果进行了对比分析后发现： 思维状态下的分数维值明显大于安静状态下的数值，复杂思维状态下的分数 维值明显大于简单思维状态下的数值，正常人的数值明显大于病人的分数维值， 病人在不同状态下的分数维值差异较小，区分度不明显；k o l m o g o r o v 复杂度和近 似熵的对比结果与分数维值的对比结果相似，而l y a p u n o v 指数的对比结果与分数 维值的对比结论刚好相反；在对不同情况下大脑的左右侧动力学参数的统计结果 存在明显的差异。 关键词：脑电信号；非线性动力学；分数维值；柯尔莫哥洛夫复杂度；李雅普诺 夫指数；近似熵 i i 墨壅塑墨 a b s t r a c t c e r e b r u mi st h em o s tc o m p l i c a t e da n di m p o r t a n to r g a n oo ft h eh u m a nb o d y , b e c a u s ei ti st h em a i np a r to ft h et h o u g h ta n dt h ec e r i s eo ft h en e r v e sa c t i v i t y e e g s i g n a l sc o l l e c t e d f r o mc e r e b r a lc o d e xb ye l e c t r o d e sc o n t a i na b u n d a n ti n f o r m a t i o n a b o u tc r a n i a ln e r v o u sa c t i v i t i e s e e gi sak i n do fc o n t i n u o u se l e c t r i cp u l s ec r e a t e db y t h es t i m u l a t i o n so fn u m e r o u sc e r e b r o c e l l s b e c a u s ee e gs y n t h e t i c a l l yc h a r a c t e r i z e d t h ef u n c t i o n sa n ds t a t e so fc e r e b r a la c t i v i t i e s ，i th a sb e c o m eam a i n s t r e a mt oa n a l y s e e e gw i t ha l lk i n d so f m e t h o d s h o w e v e r , i t sr e s e a r c he x i s t sm a n y p r o b l e m s ，a se e g i s v e r yc o m p l i c a t e da n dp a r t i c u l a r i ti sp r e l i m i n a r i l yc o n f i r m e da n da c c e p t e db ya c a d e m et h a te e gi sc h a o t i ca n d p o s s e s sm a n yn o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s ，s o w ec a n a n a l y s ee e gw i t h n o n l i n e a rd y n a m i cm e t h o d s a f t e ri t sn o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa r ef l e e t l y e x t r a c t e d ，w ec a ns e e kt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h o s ep a r a m e t e r sa n dc e r e b r a c a ls t a t e s o rd i s e a s e s t h er e s u l t sc a nb eu s e dt oe s t i m a t et h ec e r e b r a t i o na n dt om o n i t o rt h e h e a l i n gp r o c e s so f e n c e p h a l o p a t h y i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h en o n l i n e a rd y n a m i c sa n dt h ei n v e s t i g a t i o no nt h ee e g r e s e a r c ha th o m ea n da b r o a d ，w ed e v e l o pa n dd i s c u s st h en o n l i n e a rd y n a m i c sa n a l y s i s m e t h o d s t h em a i nw o r k sa n dc o n e l u s i o n sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) a f t e r t h es t u d i e so nn o n l i n e a rd y n a m i c s ，c h a o sa n dc h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c s ，t h e c h a o t i cp r o p e r t i e so fe e ga r ed i s c u s s e da n d p r o v e db ye x p e r i m e n t a lm e t h o d s ( 2 ) i ti st h eb a s ea n dp r e c o n d i t i o nt h a te e gm u s tb ep r e p r o c e s s e db e f o r ei ti s a v a i l a b l e i nt h i s p a p e r , i n o r d e rt or e d u c et h ei n f l u e n c e p o s s i b l y c r e a t e d b y i n t e r f e r e n c e sa n dn o i s e s ，as e f i e so fd i g i t a lf i l t e r sa r eu s e dt o r e d u c et h e5 0 h z l i n e - f r e q u e n c yd i s t u r b sa n d b a s e l i n ed r i f t s ，a n dt h et h e o r yo fb u r s t so f4 0 h ze e ga r e u s e dt og e tg r i do ft h ep o s s i b l ed i s t u r b a n c e so fe m g s ot h e s t a b i l i t ya n dr e l i a b i l i t yo f t h er e s u l t sa r e g r e a t l yi m p r o v e d ( 3 ) t r a d i t i o n a lg - pa l g o r i t h mb a s e do np h a s e s p a c er e c o n s t r u c t i o na n du s e dt o c a l c u l a t et h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o no f t i m es e r i e si si m p r o v e di nt h i sp a p e r t h ef a c t o r s ， i n c l u d i n ge m b e d d i n gd i m e n s i o n , t i m ed e l a y , d a t al e n g t h ，s c a l eo fl i n e a rr e g r e s s i o na n d a m p l i t u d eo fe e gs i g n a l s ，w h i c hp o s s i b l ya f f e c tt h er e s u l t s ，a r ed i s c u s s e d a tl a s t ， r e f e r e n c es t a n d a r d st os e l e c tt h o s ep a r a m e t e r sa r eg i v e n ( 4 ) t h ea l g o r i t h mo f c a l c u l a t i n gl a r g e s tl y a p a n o ve x p o n e n ti n l x o d u c e db ya w o l f 茎生查堂塑主丝苎 a n db a s e do ne v o l u t i o nt h e o r yh a sm a n yd e f e c t s ，s u c ha sg r e a tc a l c u l a t i o nc a p a c i t ya n d w e a ka n t i j a m m i n ga b i l i t y b yc o m p a r i s o n ，w ed i s c o v et h a tt h es m a l ld a t aa l g o r i t h m p r e s e n t e db y m t r o s e n s t r i ni sn i o b ea s c e n d a n ta n di sa p p l i e di nt h i sp a p e rt oe s t i m a t e l a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t ( 5 ) a sc o m p l e x i t ym e a s u r e so f t i m es e r i e s ，a p p r o x i m a t ee n t r o p y a n d k o l m o g o r o v c o m p l e x i t yp o s s e s sm a n ym e r i t s ，s u c h 耶s m a l lc a l c u l a t i o nc a p a c i t y , s i m p l ea l g o r i t h m a n d s t r o n ga n t i j a m m i n g t h e y a l eu s e dt oc h a r a c t e r i z et h ec o m p l e x i t ym e a s u r eo fe e g f r o mt h ec l i n i c a lr e s u l t s ，m e ya r ea l s og o o dp a r a m e t e r st o d i s t i n g u i s ht h ed i f f e r e n t s t a t e sa n d s a m p l e s ( 6 ) t h er a we e g d a t au n d e rd i f f e r e n tt h o u g h ts t a t e sc o n t a i n i n g3 0n o r m a lo b j e e t s a n d2 6 p a t i e n to b j e c t s a r e c o l l e c t e d ，a n d 2 0n o r m a la n d p a t i e n ts a m p l e s a r e r e s p e c t i v e l y s e l e c t e da se f f e c t i v e e x p e r i m e n to b j e c t s f o re x p e r i m e n to b j e c t s ，a l l d y n a m i c a lp a r a m e t e r sc o n t a i n i n g c o r r e l a t i o n d i m e n s i o n ，k o l m o g o r o vc o m p l e x i t y , l y a p u n o ve x p o n e n t a n da p p r o x i m a t e e n t r o p ya r ec a l c u l a t e dt ov a l i d a t et h ec o r r e c t n e s s o ft h em e t h o d sp r o v i d e di nt h i sp a p e r a f t e rt h ec a l c u l a t i o nr e s u l t sa r ec o n t r a s t e da n d a n a l y s e d ，c o n c l u s i o n sa r ep r e s e n t e da sf o l l o w s ： t h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o n d 2 u n d e rc a l ms t a t e si s c l e a r l yl e s st h a nd 2 u n d e r t h o u g h ts t a t e s ，a n d d 2 u n d e rs i m p l et h o u g h ts t a t e si sl e s st h a ni tu n d e rc o m p l i c a t e d t h o u g h ts t a t e s t h ed 2o fp a t i e n ti sv i s i b l yl e s st h a nn o r m a ls a m p l et o o ，b u tt h e d 2 o f p a t i e n t su n d e rd i f f e r e n tt h o u g h ts t a t e sc a n n o tb e d i s t i n g u i s h e dc l e a r l y k o l m o g o r o v c o m p l e x i t ya n da p p r o x i m a t ee n t r o p yh a v es i m i l a rc o n t r a s t i n gc o n c l u s i o n sa s d 2 a n d l y a p u n o ve x p o n e n th a si n v e r s ec o n t r a s t i n gc o n c l u s i o n sa s d 2 f o ra l lp a r a m e t e r s ， u n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s ，t h e r ei so b v i o u ss t a t i s t i c a ld i s c r e p a n c yb e t w e e nt w os i d e so f c e r e b r a k e y w o r d s ：e e gs i g n a l s ；n o n l i n e a rd y n a m i c s ；f r a c t a l d i m e n s i o n ；k o l m o g o r o v c o m p l e x i t y ；l y a p u n o ve x p o n e n t ；a p p r o x i m a t i o ne n t r o p y l 绪论 1 绪论 1 1 前言 大脑是人体最重要，也是最复杂的生理器官，它是人类思维活动的主体，是 神经活动的中心。大脑的结构及其思维活动的规律，特别是脑功能特性一直是人 们探索的奥秘。揭开大脑活动的奥秘，这是人们向往已久的一件事，是因为人们 需要了解自身智能活动的规律，从而走向有意识地促进、调节和控制自己的智能 活动。而且，了解大脑活动规律也将大大有助于智能研究的发展，为生产力的发 展带来巨大的好处。 近代医学发现，利用电极从大脑皮层拾取的脑电( e l e c t r o e n c e p h a l o g r a p h y , e e g ) 信号携带有丰富的大脑活动信息，引起了学术界的广泛兴趣，特别是近十 几年来，对脑电信号的研究成为现代科学的一大热门课题【】。 脑电信号是大脑组织的电活动产生的信号，它综合反映了大脑功能状态，各 种形式的思维状态及病理情况在不同的大脑皮层位置会反映出不同的脑电信号， 传递着不同的脑功能信息。大脑中众多的神经细胞不断产生神经电冲动，这些电 活动起源于膜内外离子，通过离子通道的迁移而产生电位变化。这种神经电冲动 以及突触后电位通过容积导体的作用可以被头皮上的电极检测到，称为脑电图 口j 。根据脑电信号产生机理的不同，把脑电信号分为自发脑电和诱发脑电信号。 中枢系统是具有自我调节能力的系统，在生物电方面，它表现为不给予任何刺激 的情况下存在节律性的电位波动，这种脑电模式称为自发脑电；而诱发电位 ( e v o k e dp o t e n t i a l s ，e p ) 定义为凡是对外周感觉器官、感觉神经、感觉通路或 与感觉系统的任何有关结构进行特定的刺激，因而在脑中任何部位产生可测出的 电位变化，都叫做诱发电位，目前对脑电信号的研究都是以这两种不同机理的信 号作为研究对象。 1 9 2 4 年英国科学家h b e r g e r 首先从完整的头皮上描记了人的脑电活动，他 发现这些电活动来源于大脑皮层的神经元，且与年龄、感觉性刺激和身体生理化 学上的改变有关，可表现出有差异，并在生理、心理及临床各方面均作了初步的 探讨【3j 。随后，脑电图学在全世界范围内迅速发展，并广泛应用于临床医学、军 事医学、航天医学、生理学和生物学等多种学科的研究中。如何有效地从脑电信 号中提取有用信息，并以定量化的参数来表征这些信息，从而反映大脑的功能状 态，为大脑功能的评价和大脑疾病的诊断提供客观依据是人们一直希望解决的课 题。 重庆大学硕士学位论文 迄今为止，人们不断探索应用各种信号处理技术与方法来提取与分析脑电信 号，使脑电的定量分析与辅助诊断都取得了重要进展。在脑电信号的采集与提取 方面，随着电子技术的发展，脑电信号采集仪和专用的脑电信号放大器的性能不 断改进，可以有效地提取到可供分析与处理的脑电信号；而在脑电的分析与处理 方面，其方法多种多样，大体上可分为时域分析、频域分析、人工神经网络分析 和非线性动力学分析等几类，应用这几种方法来分析脑电信号都取得了一些成 果，并且已开始应用于临床实践中。 脑电信号是混沌信号，它具有广泛的非线性动力学特征，这一观点已经得到 学术界的证实与认同 4 】，因此可以应用非线性动力学方法来分析脑电信号，快速 有效地提取脑电信号的分数维值( f r a c t i o n a ld i m e n s i o n ) 、李亚谱洛夫指数 ( l y a p u n o ve x p o n e n 0 、复杂度( c o m p l e x i t y ) 和近似熵( a p p r o x i a m t ee n t r o p y , a p e n ) 等非线性动力学参数，探索这些参数与脑功能障碍或疾病的关系，利用这些参数 来实现对脑功能的评价和脑疾病的渗断，这一领域的研究已经成为当前有关脑电 信号分析处理的热点。 1 2 国内外的研究现状 人的正常脑电波的电压变化一般在1 0 2 0 0 微伏上下，要能够有效的采集到 这样微弱的信号，则要求脑电采集仪有较高的灵敏度和抗干扰能力，通过改善电 极的导电性和提高放大器的放大倍数可以提高采集仪的灵敏度。而在脑电的抗干 扰问题方面，利用电磁屏蔽可以部分排除来自仪器的以5 0 h z 为主要的振幅和频 率都很稳定的工频干扰和电磁辐射干扰，而对于来自人体的生命活动和躯体运动 的噪声，如呼吸、心率、肌肉紧张、眨眼、咬牙、吞咽、出汗、静脉滴注、手足 和身体的运动等生理噪声，防止的主要方法是要求受试者认真配合，保持安静， 松弛肌肉，不作任何运动( 包括眼睛运动和吞咽唾沫等) 。 软件滤波技术的发展又为提取脑电信号提供了新的手段如象加减平均技术 ( 4 - a v e r a g i n g ) ，又称w i e n e r 滤波技术( a p o s t e r i o r i w i e n e rf i l t e r i n g ) 、时间变换滤波 技术( t i m e - v a r y i n gf i l t e r i n g ) 、非线性预测等，这些新方法与新技术无疑是目前临 床诱发脑电位提取的最好方法，使更精细和更精确地研究脑电信号成为可能t ”。 脑电信号的非线性动力学方法主要是计算各种状态下脑电信号的相关维数 d ：、l y a p u n o v 指数a 、近似熵a p e n 和复杂度c 等参数的数值，分析这些数值 与人类大脑功能之间的关系，试图探索出一些有益于临床应用的结论 6 】【7 1 。 g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 根据嵌入理论和相空间思想于1 9 8 3 年提出g p 算法， 它直接从时间序列( 如脑电时间序列) 计算关联维数d ，。吸引子的相关维数作 2 1 绪论 为对系统复杂性的一种度量，维数越大，说明关联程度越低，系统复杂程度越高。 g p 算法从数学定义出发求解混沌时间信号的分维数值，物理意义鲜明，易于实 现，因此被广泛采用。理论证明，当嵌入维数足够大时，对于混沌时间序列而言， d ，基本上保持稳定，这就是混沌信号所特有的饱和现象，它是区分混沌序列与 一般随机过程的重要特征。传统计算分数维值的g p 算法有很多弊病，其中很突 出的一点就是运算量大，计算速度非常缓慢，实际的e e g 信号分析中一般使用 f a r m e r 等人提出的改进算法，即便如此，但在算法的改进方面还有待进一步的探 索与研究。 l y a p u n o v 指数是反映非线性系统动力学特征的重要参数，它是衡量相邻两 轨迹间收敛或发散的程度【8 。一般情况下，系统的l y a p u n o v 指数的个数等于相 空间的维数，对于一个 维空间的某一时刻，两条相邻轨迹之间的距离可以分解 在 个不同的方向，这n 个不同方向上的距离的增长率是不同的，每一个增长率 就是一个l y a p u n o v 指数，对应的一组l y a p u n o v 指数称作l y a p u n o v 指数谱。 l y a p u n o v 指数可正可负，正l y a p u n o v 指数代表对应方向上发散，负l y a p o n o v 指数代表对应方向上收缩，任何至少含有一个正的l y a p u n o v 指数的系统是混沌 的，它表明系统对初始条件的敏感依赖性；而周期性和准周期性过程的l y a p u n o v 指数至少一个为零，其余是负；对于l y a p u n o v 指数均为负的系统将趋近于静止。 1 9 8 5 年，a w o l f 等人建立了从时间序列计算l y a p u n o v 指数的方法 9 】，他们的工 作为研究生理信号的动力学特征提供了有力工具，至今被广泛地采用。 近似熵( a p e n ) 是刻画混沌系统的一个重要参数，它是一个逼近值，表明 了系统信息的丢失速率，提供了系统预测能力的测量方法。在不同类型的动力系 统中，a p e n 的值是不同的：在随机系统中，a p e n 是无界的，表明系统的完全不 可精确预测；在规则系统中，a p e n = 0 ，表明系统完全可预测，其信息量不随时 间发生任何变化；在混沌系统中，a p e n 是一个有限的正数，因此通过a p e n 的 计算可给出系统的粗略分类【1 0 。 l e m p e l 和z i v 提出了复杂性定义，k a s p a r 和s c h u s t e r 提出了复杂性的算法， 可以把这个定义和算法引入到脑电时间序列的研究中来计算脑电的复杂度c 。 研究表明c 。只与事物的有序性和随机性有关，而不能反映系统结构的复杂性。 徐京华等又参考d a l e s s a n d o r 和p o l i t r 的研究成果定义了两种新的复杂度g 、 c 2 来研究大脑的信息传输。对不同状态脑电时间序列的三种复杂度计算分析， 可作为脑电信号处理的新的研究指标。但有学者提出，脑电是有幅值的量，其计 算复杂度过程中对序列的0 、1 字符化本身可能就有信息的丢失，因此这一领域 还有待进一步的研究。 重庆大学硕士学位论文 目前国内外学者对脑电的分析研究主要集中针对脑电信号中的6 波( 0 5 3 5 h z ) 、0 波( 4 7 h z ) 、q 波( 8 1 3 h z ) 、1 3 波( 1 6 2 6 i - i z ) 以及4 0 h z 阵发信号( 3 6 4 4 h z ) 等5 0 h z 以下的低频脑电( l o w f r e q u e n c ye e g ，l e e g ) 信号的研列“】，并已经证 实，在e e g 中，睡眠状态下以6 波为主 1 2 】，催眠状态下以0 波为主，清醒放松 状态下以a 波为主，焦虑和紧张时以b 波为主 1 3 1 。有人认为阵发性4 0 h ze e g 等 几种快波活动可能是一致的，且与不同水平的精神活动直接相关【l ”，近几年的实 验观察表明：e 波与“散乱警觉”有关，而阵发性4 0 h ze e g 与“集中警觉”、 解答问题时的思维过程、精神状态等心理活动因素有密切关系，即阵发性4 0 h z e e g 更能反映注意、抽象和形象思维等精神活动p s i 。从非线性动力学的角度， 计算了在铅中毒、偏头疼、癫痫、脑缺氧、老年性痴呆、儿童多动症状、精神分 裂症等脑疾病或脑功能障碍状态下及其正常状态下脑电信号的非线性动力学参 数的数值f 1 6 】【1 7 【1 8 ，分析了这些数值与人类大脑功能之间的关系，得出了一些有 益的结论i l 。 1 3 本课题的主要研究内容与意义 从滤除原始脑电信号中的各种干扰与伪迹信号、从而获得可供分析的高频脑 电数据入手，通过计算这些高频脑电信号的分数维值、复杂度、哥氏熵、李亚谱 洛夫指数等多项非线性动力学参数，研究正常人在不同的思维过程中或病人在病 理状态下这些参数的变化规律，研究具有认知功能障碍的人在思维过程中这些参 数的变化规律，找出正常人与认知功能障碍患者的特征指标，从而实现对认知功 能客观评价方法，在进行临床研究的基础上，提出具有临床应用价值的大脑认知 功能客观评价方法。 形成以非线性动力学参数为参考的一系列评价大脑功能的参考性评价指标， 该指标在临床上可用于对人的脑功能的评价、脑损伤和脑功能疾病的辅助诊断、 脑功能潜力的开发、脑功能疾病的治疗和脑功能障碍的康复监测提供科学有效的 指导性技术参数。 本课题主要包含以下几方面的内容：选择合适的方法，利用软件滤波技术对 原始脑电数据进行预处理，得到可供分析的脑电信号；对得到的高频脑电信号进 行非线性动力学的理论分析，研究计算非线性动力学参数的方法；计算脑电信号 的各种非线性动力学参数，对这些参数进行分类和研究，探索高频脑电信号的这 些非线性动力学参数与大脑功能状态之间的关系与规律；并进行一定的临床基础 研究，找出评判大脑认知功能的客观指标，并用此结果去指导临床实践。 4 ! ! ! 垡壁型查堂里丝兰銮鲨 一 一 2 非线性动力学理论与方法 2 1 非线性系统与非线性动力学 2 1 1 非线性系统及其性质 非线性系统( n o n l i n e a rs y s t e m ) 是指系统状态的变化以一种复杂的方式依赖 于系统先前状态的有机整体2 0 1 。这里所谓“复杂的方式”是除成比例、相差常量 以及这两者组合之外的任何其它方式。非线性动力学系统通常用非线性微分方程 组或非线性差分方程描述。与线性系统的特殊情形相比，非线性系统具有若干更 为复杂的性质。首先，线性系统研究中经常采用的叠加原理对非线性系统不适用， 即非线性系统中两个运动叠加的结果一般不是该系统的运动。其次，非线性系统 运动的周期不像线性系统那样仅由系统特性来确定，一般还与初始条件有关。第 三，非线性系统可能具有多个平衡位置和稳态运动，系统的动力学行为既取决于 这些平衡位置和稳态运动的稳定性，也与初始条件有关。第四，对工程中的非线 性机械、结构和机电系统，系统的响应与激励频率存在复杂的依赖关系，而线性 系统响应与激励频率是相同的。最后，线性系统仅存在周期运动和准周期运动两 种有限运动，非线性系统存在混沌等复杂运动现象。 2 1 2 非线性动力学的内容、方法与意义 非线性动力学( n o n l i n e a rd y n a m i c s ) 研究非线性动态系统各类运动状态的定 性和定量变化规律，尤其是系统的长时间演化行为的复杂性。对有限维系统而言， 其主要内容包括混沌、分叉和分形。混沌是一种由确定性动力学系统产生对于初 始值极为敏感而具有内在随机性和长期预测不可能性的往复周期运动。分叉是指 动态系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。分形是没有特征尺度 而又具有自相似性的几何结构，用于描述破碎、不规则的复杂几何形体。混沌和 分形都是复杂现象，但侧重不同。混沌是动力学概念，说明时间过程的非周期性 和随机性，其运动性态难以进行长期预测。分形是几何学概念，说明空间形体的 不规则性和破碎性，其几何形态难以用单一的尺度描述。相空间的引入，建立了 它们之间的联系，主要表现在非线性动力学的混沌吸引子一般是分形。 非线性动力学的研究包括实验和理论两方面。实验研究分为实验室实验和数 值实验两种，对于某些工程问题还需要进行现场实验。理论研究可揭示非线性系 统的基本性质和解释大量的具体现象，主要方法包括数学抽象、解析方法和拓扑 方法 2 1 。 混沌等非线性动力学问题的研究具有深刻的理论意义。在混沌现象广为人知 重盎盔兰望主堂垡堡茎 一 以前，对自然界的描述分成随机住和确定性这截然不同的两类，确定性系统具有 决定论的性质。混沌研究的兴起促使人们重视有限性的问题。非线性动力学的研 究导致了一种新的实验方式即数值实验的产生和广泛应用，也促进了数学、物理、 力学中相关学科的发展，并且臼益在工程技术、生物医学和社会科学中显示出广 阔的应用前景，成为现代科学技术的重要前沿领域。 2 1 3 非线性动力学的发展简史 非线性力学这一名称是在2 0 世纪3 0 年代才出现的，它最初来源于经典的非 线性振动理论的研究，宜到2 0 世纪7 0 年代中期才有了非线性动力学概念，用于 概括对混沌、分岔等问题的研究。 非线性动力学的发展来源于对混沌现象的广泛研究，而计算机的发展又为混 沌研究提供了新的研究手段。1 9 6 3 年e n l o r e n z 提出了简化热对流模型，并通 过一系列的数值结果验证了混沌的存在。1 9 7 1 年d r u e l l e 和e t a k e n s 提出了奇 异吸引子的概念，1 9 7 5 年李天岩和j a y o r k e 给出了混沌的数学定义。到了7 0 年代后期，混沌与分形和分岔相交融，使得非线性动力学的研究更加深入和广泛， 特别是分形几何对非线性动力学的普及和发展起了重要的作用。 2 2 非线性动力学系统的特征识别 2 2 1 混沌及其本质 系统传统上可分为确定性系统和随机系统。确定性系统是可以预测的，其测 量得到的信号便是确定住信号；随机系统尽管理论上可以预测，但由于控制系统 的参量数目庞大，以至于实际上准确的测量根本无法实现，其所对应的测量结果 就是随机信号。 确定性混沌理论又指出了第三种情况，即由少数若干个变量控制的非线性系 统( 如l o r e n z 系统) ，也可以产生一类看似随机的时间序列。当系统的控制参量 达到某些门限值后，系统初态的任何微小误差都将导致系统的行为随时间增长呈 指数性发散。尽管存在这种不确定性，对于发散系统面言，它的异常行为最终会 收敛于状念空间内的有限区域、也就是奇异吸引子内。存在奇异吸引子是混沌系 统最显著的特征。鉴于这些原因，描述这类非线性耗散系统状态特性的混沌时脚 序列，其本身也具有一系列的混沌特性，对于它的分析处理，也就采用了与常规 的随机信号处理有所不同的方法。最常用的分析手段就是通过构造其系统相空 间，从中重建出相应的混沌特性，计算其分维数和l y a p u n o v 指数等混沌系统参 数。 混沌定义为一个非周期似随机行为的确定系统，它是非线性系统特有的一种 2 非线性动力学理论与方法 运动形式。混沌不同于周期和随机，虽然混沌行为看上去无组织象随机行为，但 它实际上是可以确定的。混沌的特点如下：( 1 ) 混沌是确定性和随机性两者的结 合( 2 ) 混沌系统表现为敏感地依赖于初始状态，即非常小的初始状态的差别将 导致巨大的结果差别。( 3 ) 混沌行为被约束在比较窄的范围内。( 4 ) 混沌行为有 乎可以说，自然界存在的绝大部分运动都是混沌运动，规则运动相对地只在局部 的范围和较短的时间内存在 2 2 】。 j 工= 仃( y 一) 0 ，。r x y x z ( 2 1 ) - = 一b z + x y 一个很著名的混沌例子就是l o r e n z 模型，其方程如式( 2 1 ) ，它是美国著 名气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 于1 9 6 3 年在研究天气预报问题时，首次发现了 确定性方程中出现了混沌现象。我们以式( 2 1 ) 的l o r e n z 模型为例子，取系 数矿= 1 0 ，r = 2 8 ，b = 8 3 ，初始值取( 1 ，2 ，3 ) ，步长取0 0 0 1 ，利用四阶r u n g e 图2 1l o r e n z 模型信号波形 f i g 2 1w a v e s o f l o r e n zm o d e l k u t t a 公式通过5 0 0 0 次迭代后，取计算所得的数值为实验用非线性时间序列。 l o r e n z 模型的信号波形如图2 1 所示，从波形图可以看出，信号具有典型的似周 期特性，具有随机性和确定性的特性。 重庆大学硕十学位论文 2 2 2 奇异吸引子 吸引子是动力学系统长期行为的又一种描述。如图2 2 是根据l o r e n z 方程 ( 2 1 ) 得到的关于变量z 、y 和：的时间序列在三维坐标和三个不同的平面上的 投影。由图2 2 可以看出，此振荡曲线与完全随噪声不一样，它似乎有一定的规 律：无论经过多长的时问，其轨迹都不会完全重合，说明轨迹的运动是非周期的 和随机的，轨迹被限制在一个有限的区域内，这种有限的区域就称为动力学系统 的吸引子。对于周期运动，吸引子是一简单的闭合曲线，而像l o r e n z 系统这样 的具有随机性的非周期运动，其轨迹是反复折叠和相互交叉而形成的密集区域， 这种复杂的结构就是奇异吸引子。奇异吸引子是混沌运动的又一重要特征。 ( a ) 三维图形 ( c ) y z 平面投影 ( b ) x y 平面投影 图2 2l o r e n z 奇异吸引子 f i g 2 2l o r e n zs t r a n g ea t t r a c t o r ( d ) x z 平面投影 2 2 3 相空间重构 为了构造相空间，需要同步测量出一切自变量的时间序列，但在实际的问题 中，我们往往只能得到一个等时间间隔的单变量时间序列。传统的方法是直接从 2 非线性动力学理论与方法 这个单变量时间序列去分析它的时间演化过程，这有很大的局限性。因为时间序 列是许多因子相互综合作用的结果，包含有多个变量参与的信息。另外一方面， 在形式上，序列运动表面上的随机性有可能却是混沌的，而混沌运动又只能在三 维或更高维的运动中才能显现出来。这种把一维时间序列扩展到高维空间，以显 露出其混沌信息的方法就是相空间重构【2 4 】。 相空间重构法可由系统中测出某单变量的时间序列，用时延技术重构原系 统的动力学特征，从而极大地提高了用物理实验理解复杂系统的能力，且它具有 技术上的简便性和数据的可获取性，其理论基础是嵌入定理。1 9 8 0 年，p a c k a r d 等人提出了由一维可观察量来重构一个等价的相空间，来观测系统的动态特性 【2 5 】。f t a k e n s 则从数学上为其奠定了基础 2 6 】。 相空间重构法的基本思想是；相空间重构法虽然是用一个变量在不同时刻的 值构成相空间，但动力系统的一个变量的变化自然跟此变量与系统的其他变量的 相互作用有关，即一个变量的变化隐含着整个系统的动力学规律，重构的相空间 轨迹也反映整个系统的演变规律。其基本原理如下： 设 x ；i k = 1 n 是观测得到的某一时间序列，是数据长度。将其嵌入到 维欧氏空间r 。中，得到个点( 或向量) 集，( m ) ，其元素记作 z 0 钎，l ，j 二t x l 十( 月一1 ) j ，工1 + ( h 一1 ) j + 上，x l + ( n 一1 ) 3 + ( 卅一i ) j ( n = 1 ，。) ( 2 2 ) 式中上是时间延迟，j 是采样间隔数，m 是嵌入维数，。是重构点( 或相量) 的维数，满足 帆： ( n - t ) - ( m - 1 ) l4 - 1 】 ( 2 3 ) j m 2 d4 - 1 ( 2 4 ) 其中d 表示系统自变量个数。在一般情况下取，= 1 ，则有 。= n 一( ( m 一1 ) ) ( 2 5 ) 在实际中，重构相空间的关键是正确选择重构参数，特别是嵌入维数m 和延 迟时间三，尽管在理论上已经有很多的方法，但对于实际的问题，要结合具体的 系统特征和实验参数进行选择。 对于如式( 2 1 ) 的l o r e n z 方程，其奇异吸引子如图2 2 所示。我们用工变 量的时间序列为原始一维时间序列，利用上述的嵌入理论与方法，选择延迟时间 和嵌入维数均为1 0 的情况下进行空间重构，重构吸引子的三维和二维投影图形 如图2 3 所示。可以看出，重构的吸引子与原三维空间奇异吸引子具有非常相似 9 里鏖查堂堡主堂垡丝苎 _ 。_ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ - - _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ 。，。_ 1 。_ - _ _ _ _ _ _ _ _ 。1 。1 1 。 的表