（系统工程专业论文）分段离散时间线性系统的控制研究.pdf

中文摘要 本文主要利用分段二次l y a p u n o v 函数方法对分段离散时间线性系统的控制 问题进行分析，研究了分段离散时间线性系统的稳定性、状态反馈镇定和输出反 馈镇定问题，取得了一些新的结论主要工作如下： ( 1 ) 给出了不确定分段离散时间线性系统稳定性的判别条件，并且所得结论 可以转化为一组线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，l m i s ) 的可行性判 别问题，此问题可以通过应用m a t l a b 软件中的l m i 工具箱求解此外，由所得 结论容易给出确定性分段离散时间线性系统稳定性的判别条件 ( 2 ) 给出了不确定分段离散时间线性系统的状态反馈镇定方法基于所设计 的分段二次l y a p u n o v 函数，将状态反馈控制器的设计问题转化为一组双线性矩 阵不等式( b i l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，b m i s ) 的可行性判别问题此外，由所得 结论容易给出确定性分段离散时间线性系统状态反馈控制器的设计方法 ( 3 ) 给出了不确定分段离散时间线性系统的输出反馈镇定方法对闭环增 广系统重新构造了增广的多面体单元界矩阵和增广的分段二次型能量函数，利 用s p r o c e d u r e 引理和所构造的增广的多面体单元界矩阵可以判断所构造的二次 型能量函数的正定性及关于时间导数的负定性，从而使其成为系统的分段二次 l y a p u n o v 函数基于所设计的增广的分段二次l y a p u n o v 函数，将动态输出反 馈控制器的设计问题转化为一组b m i s 的可行性判别问题此外，由所得结论容 易给出确定性分段离散时间线性系统输出反馈控制器的设计方法 最后，对以上给出的不确定分段离散时间线性系统稳定性判别及状态反馈镇 定和输出反馈镇定方法都给出了相应的数值算例，验证了方法的可行性和有效 性 关键词：分段离散时间线性系统，稳定性，状态反馈，输出反馈，不确定性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h es y s t e m ss t a b i l i t y ，s t a t ef 色e d b a e ks t a b i l i z a t i o n ，o u t p u tf 色e d b a c ks t a b i l i z a t i o no fp i e c e w i s ed i s c r e t e t i m el i n e a rs y s t e m sa r ei i e s t i g a t e dd e e p l y b a u s e do np i e c e w i s eq u a d r a t i cl ”p u n o vf u n c t i o 璐t e c h n i q u e t h em a i nc o n t r i b u - t i o n sa r ea sf 6 l l o w s ： f i r s t l y ，t h eju d g ec o n d i t i o n st ot h es t a b i l i t yo fu n c e r t a i np i e c e w i s ed i s c r e t e 卜 t i m el i n e a rs y s t e m sa r ep r e s e i l t e d i ti ss h o w nt h a tt h es t a b i l i t yc o n d i t i o n sc a n b ec a s ta ss 0 1 v i n gas e to fl i n e a rm a t r 议i n e q u a l i t i e s ( u i s ) t h a ti sn u m e r i c a l l y f e a s i b l ew i t hc o m m e r c i a l l ya a i l a b l es o f t w a r es u c ha sm a t l a b f u r t h e r m o r e ，t h e w 0 r kp r e s e n t e di nt h i sn o t ec a nb ec o n s i d e r e da sa ne x t e n s i o no ft h ew 。r kf b rt h e c e r t a i np i e c e w i s ed i s c r e t e t i m el i n e a rs y s t e i i l s s e c o n d l y t h e 印p r o a c ht ot h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o lf o ru n c e r t a i np i e c e - w i s ed i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e m si sp r e s e n t e d b 玛e do nt h ed e s i g n e dp i e c e w i s e q u a d r a t i cl y a p u n o vf h n c t i o n s ，t h es t a 土ef 色e d b a c kc o n t r o u e rd e s i g ni sc a s ta st h e f e a s i b i l i t yp r o b l e mo fas e to fb m i s t h i r d l y ，t h ed e s i g no fo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rf o ru n c e r t a i np i e c e 而s e d i s c r e t e t i m el i n e a rs y s t e l si sp r e s e n t e d b yc o n s t r u c t i n ga u g m e n t e dp o l y h e d r a l c e l lb o u n d i n gm a t r i ) 【a n da u g m e n t e dp i e c e w i 8 eq u a d r a t i ce n e r g yf u n c t i o n ，a n d u 8 i n gs p r o c e d u r el e m m a ，t h ep o s i t i v i t yo ft h ef u n c t i o na n dt h en e g a t i v i t ya b o u t t h et i m ec a nb ej u d g e d t h e ni tc a nb eu s e da st h ep i e c e w i s eq u a d r a t i cl y a p u n o v f u n c t i o n so ft h es y s t e m s ：b a s e do nt h ed e s i g n e da u g m e n t e dp i e e e w i s eq u a d r a t i c l y a p u n o vf u n c t i o n s ，t h ed y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g ni sc a s ta st h e f e a s i b i l i t yp r o b l e mo fas e to fb m i s f i n a l l y ，s e v e r a le x 锄p l e sa r ei n c l u d e dt od e m o n s t r a t et h e 丑e 妇b i l i t ya l l l d p o 、阮ro ft h eg i v e na p p r o a c h e s k e y w o r d s ：p i e c e w i s ed i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e m s ，s t a b i l i t y ，s t a t ef e e d b a c k ， 0 u t p u tf e e d b a c k ，u n c e r t a i n t y 1 l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者躲高钮黟签字啉榜加俨 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 裔；2 髟 导师签名： 签字日期：h 净妇伊 签字日期：孝年6 月垆 第一章绪论 1 1 分段离散时间线性系统的研究背景 自从美国数学家维纳于二十世纪四十年代创立控制理论以来，在空间技术、 计算机技术及数学的推动下，控制科学得到了飞速发展，并广泛应用到生产系 统、航天航空、生物医学、经济管理与决策领域，出现了相应的工程控制理论、 生物控制理论、经济控制理论控制理论是多个学科相互交叉、相互融合的一门 综合性学科，并为许多学科提供了科学的思想方法论，为许多产业领域实现自动 化奠定了理论基础，为2 0 世纪的人类科技进步起到了举足轻重的作用 上世纪六十年代以来，现代控制理论各方面有了很大的发展，而且形成了几 个重要的分支，如线性系统理论、最优控制理论、系统辨识理论和自适应控制理 论等等不管是经典控制理论还是现代控制理论，其研究对象都以线性系统为 主而现实世界中的系统大都为非线性系统，在对一般的非线性系统进行性能分 析与控制综合设计时，将系统状态空间划分成若干个单元，在每个单元用线性系 统来逼近非线性系统，由此用分段线性的方式来获取全局非线性系统的性能分析 与控制综合的方法得到了广泛认可和采用分段线性系统就是将系统的状态空 间分成若干个单元，每个单元是一个闭的凸多面体，不同的单元由不同的线性系 统( 或仿射系统) 来描述的一类特殊的非线性动态系统分段线性系统可以以任 意精度逼近一个一般的非线性系统，随着系统的分区增加，它逼近一般的非线性 系统的精度就越高另一方面，由于外部扰动或建模误差，系统中总存在不确定 性如何设计一个控制器使不确定性的对象满足某种要求，一直是自控界的研究 热点而分段离散时间线性系统就是分段线性系统的一个分支 与此同时，随着计算机技术的长足进步，各种高性能的计算机得到广泛应 用，控制工程领域也采用了各种先进的设计软件，各种数值计算方法在系统分 析与设计中得到越来越多的采用由于许多控制问题可归结为线性矩阵不等式 ( l i n e a rm a t r 政i n e q u a l i t i e s ，l m i s ) 的研究，而l m i s 的求解可以用内点法进行， 2 0 世纪9 0 年代中期出现了关于l m i s 的控制软件工具，如m a t l a b 提供的l m i 工具箱，可以很方便的进行数值求解对分段线性系统的稳定性和控制综合的许 多结论都可以被表达成或被转化成l m i s 的形式，求解方便 总之，分段线性系统不仅是分析一般非线性系统和不确定系统的有力工具， 而且本身也代表了一大类实际的工程系统随着计算技术的发展，近二十年来分 段线性系统的分析与综合得到了控制理论界的广泛关注和研究，并在工程科学中 得到了广泛的应用，是控制界的研究热点，其研究具有深刻的理论意义和广泛的 第一章 绪论 实用前景 1 2 分段离散时间线性系统的研究现状 分段离散时间线性系统的研究可以追溯到a n d r o n o v 关于非线性系统中的振 动现象的分析上【1 】，k a l m a n 于1 9 5 4 年首次对分段线性系统进行定性分析 27 】， 随后的几十年，随着工程技术发展的需要，分段线性系统成为了控制理论中的研 究热点由于对含有二极管和其它一些分段线性元件的大规模电路的建模及其分 析的需要，对分段线性系统的模型描述有了较多的研究 2 ，6 ，2 6 ，3 9 对于一个 动态系统，系统的解的概念是最基本的，文献【1 6 ，3 8 对动态系统的解的定义做 了相应了研究文献 2 1 在f i l i p p o v 解的意义下对分段线性系统解的存在性和 唯一性等问题进行了深入研究，即系统的适定性 然而，以上这些研究其重点都是对系统的动态特性进行分析，对系统的综合 设计研究较少对分段线性系统的性能分析和综合设计， j o h a n s s o n 【2 3 利用系 统分区信息构造分段二次l y a p u n o v 函数进行了研究 对系统运动的稳定性研究工作是由l y a p u n o v 开创的 3 0 ，他的研究主要是 基于系统的能量考虑的，即如果系统的能量随着时间逐渐减小，则系统趋于稳 定 对分段线性系统的稳定性研究，由于其特殊性，可以利用线性系统稳定性的 相关结论，将分段线性系统看成一个线性微分包含系统，对系统构造一个全局的 二次型l y 印u n o v 函数便可进行稳定性分析 2 2 】但全局二次型l y a p u n o v 函数 不能处理具有仿射项的系统，并且对某些稳定的分段线性系统，不存在一个全局 二次型的l y a p u n o v 函数此外，这种分析方法没有利用系统的分区信息，必然 造成所得结论的保守性而文献 2 0 ，2 2 ，2 3 利用分段线性系统的分区信息构造 了分段二次l y a p u n o v 函数，对系统进行性能分析时体现了更大的灵活性对分 段二次l y a p u n o v 函数的构造可以简单表示为：首先利用系统的分区信息构造连 续矩阵和多面体单元界矩阵，基于连续矩阵可以构造连续的分段二次型能量函 数，由多面体单元界矩阵，并利用s p r o c e d u r e 4 4 可以判断所构造的分段二次 型能量函数的正定性及关于时间导数的负定性，从而使得该能量函数成为系统的 分段二次l y a p u n o v 函数基于分段二次l y a p u n o v 函数方法，分段线性系统的 稳定性结论可以表达成一组l m i s 的可行性问题( l m i sf e a s i b i l i t yp r o b l e m ， 3 ) ， l m i s 可行性问题是凸问题，可以通过m a t l a b 的l m i 工具箱进行有效求解 1 8 以上均是对分段连续时间线性系统稳定性的研究，而文献 8 ，1 3 ，1 5 ，3 2 】将分段 连续时间线性系统稳定性的相关研究方法推广到了分段离散时间线性系统的研 2 第一章 绪论 究上，获得了新的研究成果其中文献8 ，1 3 ，1 5 分别基于分段二次l y a p u n o v 函数方法研究了分段离散时间线性系统的稳定性问题而文献 3 2 基于分段二 次l y a p u n o v 函数研究了分段离散时间线性系统的稳定性和状态反馈控制问题 对于一个控制系统，在对其性能进行分析的基础上，我们往往需要设计一种 控制器来改善系统的性能，这就是关于系统的控制综合问题其中文献 7 】基于 全局二次型l y a p u n o v 函数方法研究了镇定分段离散时间线性系统的状态反馈控 制器设计问题，控制器的求取被表达成二组b m i s 的可行性问题文献 1 1 研 究了分段离散时间线性系统的基于观测器的输出反馈控制器的设计问题，所研 究结论可表达成一组l m i s 的可行性问题文献f 9 研究了分段离散时间线性系 统的异步状态估计，其中估计器的状态初值与系统状态初值可能不在同一个单 元，结论显示该状态估计器可以通过求解一组l m i s 得到文献【1 2 基于分段 l y 印u n o v 函数方法研究了分段离散时间线性系统的鲁棒滤波器设计问题文献 【1 0 研究了基于状态反馈的分段离散时间线性系统的输出调节问题，类似于线性 系统输出调节的内模原理【5 】，分段线性系统的输出调节器的求取也可表达成一 组调节矩阵方程的可解性问题以及一组l m i s 的可行性问题文献【1 4 通过误差 反馈方法研究了分段离散时间线性系统的输出跟踪问题，结论显示所得到的闭环 系统是全局稳定的 对于一个控制系统，除了设计控制器使其稳定外，往往需要考虑系统抗外界 干扰的性能，近十年来出现的三k 控制理论就是用来分析与设计系统的抗外界 干扰性能的一个有力工具文献 8 基于分段二次l y 印u n o v 函数方法研究了分 段离散时间线性系统的上k 性能和上k 控制问题文献 4 2 】研究了分段离散时 间线性系统的估计器设计问题此外，对于一个实际的工程系统，系统中 存在的时间延迟是不可避免的，而时间延迟会降低系统性能并容易造成不稳定性 【1 7 ，3 1 】比如分段线性系统中的时间延迟会造成 昆沌的产生【3 6 】文献【1 4 】研究 了一类具有时间延迟的分段离散时间线性系统的如鲁棒滤波问题 由于外部扰动或建模误差，系统中总存在不确定性其中文献 1 9 ，2 8 ，3 3 ， 3 5 】分别研究了不确定离散时间线性系统的稳定性问题文献 4 5 】研究了一类不 确定分段线性系统的二次最优控制问题，得到了最优控制性能的上下界，并对最 优控制性能上界用混沌优化算法对其中一个变量寻优，将问题转化为半正定规 划进行求解文献【4 6 ，4 7 ，4 8 】研究了不确定分段线性系统的输出反馈控制器设 计、日o 。控制及保性能控制问题文献【4 3 研究了不确定离散时间线性系统的 保性能控制问题而文献【3 7 研究了一类不确定分段离散时间线性系统的状态 反馈镇定问题然而到目前为止，对不确定分段离散时间线性系统的稳定性、状 态反馈镇定及输出反馈镇定的系统性研究成果较少 3 第一章绪论 1 3 本文的主要工作和创新 本文主要利用分段二次l y a p u n o v 函数方法对分段离散时间线性系统的控制 问题进行分析第二章首先介绍了确定性分段离散时间线性系统的稳定性问题， 而后将这一结论推广到了不确定性的情形；第三章研究了不确定分段离散时间线 性系统的状态反馈控制问题；第四章研究了不确定分段离散时间线性系统的输出 反馈控制问题并且每一章都通过具体的数值算例来验证了所得结论的有效性 本文的主要创新如下： ( 1 ) 给出了不确定分段离散时间线性系统稳定性的判别条件，并且所得结论 可以转化为一组l m i s 的可行性判别问题，此问题可以通过应用数学软件m a t l a b 的l m i 工具箱中的f e a s p 函数编程求解此外，由所得结论容易给出确定性分 段离散时间线性系统稳定性的判别条件 ( 2 ) 给出了不确定分段离散时间线性系统的状态反馈镇定方法基于所设计 的分段二次l y a p u n o v 函数，将状态反馈控制器的设计问题转化为一组b m i s 的 可行性判别问题此外，由所得结论容易给出确定性分段离散时间线性系统状态 反馈控制器的设计方法 ( 3 ) 给出了不确定分段离散时间线性系统的输出反馈镇定方法对闭环增 广系统重新构造了增广的多面体单元界矩阵和增广的分段二次型能量函数，利 用s p r o c e d u r e 引理和所构造的增广的多面体单元界矩阵可以判断所构造的二次 型能量函数的正定性及关于时间导数的负定性，从而使其成为系统的分段二次 l y a p u n o v 函数基于所设计的增广的分段二次l y a p u n o v 函数，将动态输出反 馈控制器的设计问题转化为一组b m i s 的可行性判别问题此外，由所得结论容 易给出确定性分段离散时间线性系统输出反馈控制器的设计方法 4 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 2 1 引言 分段离散时间线性系统，就是将系统的状态空间分成若干个单元，每个单元 是一个闭的凸多面体，不同的单元由不同的离散时间线性系统( 或仿射系统) 来 描述的一类特殊的非线性动态系统对于一个控制系统，稳定性是最基本也是最 重要的性质我国著名科学家钱学森、宋健在工程控制论中写到： “对于 控制论的第一个要求是稳定性，从物理意义上讲就是要求控制系统能稳妥地保持 预定的工作状态，在各种不利因素的影响下不至于动摇不定，不听指挥” 3 4 对系统运动的稳定性研究工作是由l y 印u n o v 开创的 3 0 ，对连续时间线性系 统，基于l y 印u n o v 方法的稳定性分析，已有成熟的结论，即可对系统构造二次 型l y a p u n o v 函数，通过求解l y a p u n o v 矩阵方程即可判断连续时间线性系统的 稳定性对于分段线性系统，由于其特殊性，可以利用线性系统稳定性分析的相 关结论，比如可以将分段线性系统看成一个线性微分包含系统，对系统构造一个 全局的二次型l y 印u n o v 函数便可进行稳定性分析但这种方法没有利用到系统 的分区信息，必然造成所得结论的保守性此外，全局二次型l y 印u n o v 函数不 能处理具有仿射项的系统，并且，对某些稳定的分段线性系统，不存在一个全局 二次型的l y a p u n o v 函数 由于外部扰动和建模误差，分段离散时间线性系统总存在不确定性本章第 四节将分段离散时间线性系统稳定性的相关结论推广到了不确定分段离散时间 线性系统的情形，其中的不确定性是没有结构的，只需其范数有上界即可对不 确定分段离散时间线性系统，其稳定性的判别条件也为一组l m i s 的可行性问 题，利用m a t l a b 中的l m i 工具箱可方便求解 2 2 分段离散时间线性系统模型描述 考虑一般的具有仿射形式的分段离散时间线性系统，其模型描述如下 j z o + 1 ) = a z ) + b i “ ) + ( 2 1 ) 1 ( t )：g z ( ) + b u ( ) + q - - 1 7 vz ( ) 五， 其中z ( z ) 留为系统状态变量，u ( ) 胛为输入变量，可( ) 舻为输出变 量，a ，鼠，g ，d i 为相应维数的常值矩阵，o i ，q 为仿射项闭的礼维凸多面体 五形称为单元，假定各单元除了公共的边界外没有重叠部分x = u 倒x 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 称为系统的分区单元下标集= ou 1 ，其中o 为包含原点的单元下标集，l 为不包含原点的单元下标集对z o ，假定o t = q = 0 系统( 2 1 ) 中包含仿射项，实际上是分段离散时间仿射系统，但习惯上仍将 其称为分段离散时间线性系统为了处理系统中的仿射项，引入如下的矩阵描述 牙( ) = z ，a t = 号： ，鼠= 言 ，反= g g ， c 2 2 ， 其中0 为具有相应维数的矩阵或向量为了描述简便，本文对其维数不再具体标 明由此系统( 2 1 ) 可表示为 i ( 。+ 1 ) = a i 牙( 。) + b 仳 ) ( 2 3 ) 1 秒( ) = g 孟( ) + 耽u ( t ) v z ( ) x ，z 对于一个动态系统，系统解的概念是最基本的，文献 1 6 ，3 8 】对动态系统解 的概念做了相应的研究对于分段离散时间线性系统，有可能存在某个时间段， 在该时间段内系统轨迹在单元的交界处运动，这就是所谓的滑模运动为简化分 析，本文不考虑滑模运动，即假定当u ( t ) 三。时系统( 2 3 ) 对应的自治离散时间 线性系统的轨迹z ( ) 不会在单元的边界上运动为此引入文献 2 1 ，2 4 ，3 6 】对分 段离散时间线性系统解的相关定义，即系统轨迹的定义 定义2 1 ( 系统轨迹) 设z ( ) u 为一离散时间状态函数若对所有满足z ( ) k 的下标i ，方程 z ( + 1 ) = a z ( t ) + 鼠“( ) + n t 在时间点集俐t = 南，屯+ l ，t + ) 上均成 立，则称z ( t ) 为系统( 2 3 ) 在时间点集矧= t t ，岛+ 1 ，屯+ ) 上的一个轨 迹 为了能对分段离散时间线性系统( 2 3 ) 进行有效分析，本文假定对于给定的 初始条件z ( 0 ) = z o 和控制输入信号札，系统在定义2 1 的意义下具有唯一的轨 迹，即具有唯一解此外，为简便起见，本文假定系统( 2 3 ) 中输出方程的控制 输入矩阵d = 0 ，即不考虑输入信号u 的直接传递，并且假定系统状态在时间段 丁内由单元x 转移到x f 时，系统动态由单元x 内的系统状态决定为了处 理方便，定义集合q 为系统状态从一单元到另一单元的所有可能转移形式，即 q ：= i ，j i z ( ) x ，z ( + 1 ) j 0 ，z 歹) 对于系统( 2 3 ) 的结构性质分析，已有不少成果出现本章将研究分段离散 时间线性系统的稳定性结论 6 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 2 3 分段离散时间线性系统的稳定性分析 对系统运动的稳定性研究工作是由l y a p u n o v 开创的，对线性系统，可以构 造一个全局的二次型l y 印u n o v 函数对其稳定性进行有效分析而对分段离散时 间线性系统，全局的l y a p u n o v 函数因为未能利用系统的分区信息，给系统的分析 和设计带来了很大的保守性本节将基于文献【1 3 的方法，用分段二次l y a p u n o v 函数进行稳定性分析 2 3 1 二次型l y a p u n o v 函数 对于离散时间线性系统，二次型l y a p u n o v 函数的存在是系统渐近稳定的充 分必要条件二次型l y a p u n o v 函数方法在非线性系统的稳定性分析中也经常使 用，很多情况下都是将非线性系统转化成如下的线性微分包含系统进行处理 z ( t + 1 ) 面 a 1 z ( ) ，4 l z ( ) ) ( 2 4 ) 其中面表示由向量( a z ( t ) ，a l z ( ) ) 生成的闭凸包 为了分析其稳定性，给出如下指数稳定性的引理 引理2 1 3 0 设z ( t ) ：z 1 ，2 ， 一贸”，y ( ) ： 1 ，2 ，) 一贸1 为一离散 时间函数，对某个7 o 和p o ，vt 1 1 ，2 ，) 几乎处处满足 y ( t ) 一7i l z ( z ) i i p ，( 2 5 ) 若存在口 0 ，使得 al i z ( t ) i i p y ( ) 卢i i z ( t ) l i p ， ( 2 6 ) 则有忙( t ) | l 以指数形式趋于零，即系统指数稳定如果满足式( 2 6 ) 的最大的口 为负，那么当_ + o 。时，忙( 圳_ + 由以上分析并结合引理2 1 易得如下结论 引理2 2 【1 3 考虑系统( 2 4 ) ，如果下列矩阵不等式问题 篆2 。 陋7 ， 对i = 1 ，2 ，三有解，那么系统的原点全局指数稳定 推论2 1 考虑系统( 2 3 ) ，假定对任意i 有啦= 0 ，即不考虑仿射项，如果优 化条件( 2 7 ) 有一个解，那么系统( 2 3 ) 对应于乱( z ) 三0 的标称系统的任意轨迹 z ( ) x ，都以指数形式趋于零，即指数稳定 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 有时需要判断上述引理中的问题没有公共的正定矩阵解，则可以用下面的对 偶问题来判断 引理2 3 1 3 如果存在正定矩阵尼满足 建篡咖。 ( 2 8 ) 其中i = 1 ，2 ，l 则引理2 2 中的问题没有公共的正定矩阵解p 以上引理中的条件式( 2 7 ) 及( 2 8 ) 均为线性矩阵不等式组，线性矩阵不等 式组约束是凸约束，能够用内点法进行求解然而，二次型l y a p u n o v 函数方法 在分析分段线性系统的稳定性时具有很多不足之处，下面通过一个具体例子来说 明 例2 1 考虑如下分段离散时间线性系统 卅驴 篙震墨 其中 a 1 = 1 0 5o 一0 30 80 000 4 ，a 2 = 10 4 0 0 1 0 10 80 000 5 通过仿真可知该分段离散时间线性系统是稳定的然而通过应用引理2 3 可以验 证不存在满足引理2 2 的对称正定矩阵p 二次型l y a p u n o v 函数方法在分析分段线性系统稳定性时具有如下一些不足 之处：首先，基于二次型l y a p u n o v 函数方法的稳定性分析不能处理仿射形式的 系统，所以即使是最简单的饱和线性系统也不能进行稳定性分析；其次，在系统 的分析过程中没有利用到系统的分区信息，没有将状态空间中的不同单元的各 个系统分开进行分析，而是将其嵌入一个全局的微分包含系统之中进行研究， 从而大大增加了分析过程中的保守性此外，实际应用中有些系统不存在二次型 l y a p u n o v 函数 2 3 2 分段二次l y a p u n o v 函数 考虑一般的具有仿射形式的自治分段离散时间线性系统，即式( 2 1 ) 的第一 个等式，其模型描述如下 z ( + 1 ) = a z ( ) + 鼠u ( ) + n i ，( 2 9 ) 8 第二章 分段离散时间线性系统的稳定性分析 vz ( ) k ，i 其中，各种变量及参数描述与系统( 2 1 ) 相同 定义2 2 ( 多面体单元界) 矩阵磊= ee ； 称为多面体单元界，若满足 晟牙( ) o ，( 2 1 0 ) vz ( ) 五，并且若对i o 有e = o ，则称 扇) 具有零差值特性 引理2 4 【2 3 】考虑分段二次函数 y c z ，= 三：主三：三主差：i 茎： c 2 1 1 ， 其中只= 掣，扇= 斧，扇为满足式( 2 1 0 ) 的且具有零插值特性的多面体单元 界如果存在元素均为非负的矩阵阢，使得 霹阢最 q 恻1 2 成立 引理2 5 【1 3 考虑分段l y a p u n o v 函数 y ( z ) = z t 只z ，z ) ( 2 1 2 ) 其中 a 歹只a t 一只 o ， ( 2 1 3 ) 在系统( 2 9 ) 穿越边界时下降，则系统是稳定的 推论2 2 对i ，当o = 0 时，由定义2 2 可将式( 2 1 3 ) 转化为 a 尹只a i 一只+ 霹吼e o ，i ( 2 1 4 ) 由以上分析得到下面分段离散时间线性系统的稳定性定理 定理2 1 【1 3 考虑自治分段离散时间线性系统( 2 9 ) ，如果对于z o 存在对称 矩阵只，对于i 1 存在对称矩阵扇，并且存在具有非负元素的对称矩阵巩， 9 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 和q 巧，满足下列线性矩阵不等式： c 1 ， 荟竺主二主+ 霹睨邑 。，v z ； ( 2 )篓以当 ? 一，一v 川，； a 只五一扇+ 霹慨扇 o ， ( 3 ) a 尹弓a t 一只+ 霹q 巧巨 o ，vz ，歹qn o ； ( 4 ) a 歹马a 一扇+ 霹q 巧晟 o ，vi ，歹qn 1 ； ( 5 ) a 芗扇a t 一扇+ 曰q 巧晟 o ( vz x ，z 1 ，有z o ) 由式( 2 1 6 ) 和( 2 一1 7 ) 可知存在常数卢 o 满足 y ( ) pl | z i l 2 ( 2 一1 8 ) z z 只一只 r 丁 z z ，、k = 、， 矿 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 并且由定理2 1 中式( 1 ) 和式( 2 ) 的第一个不等式分别可知存在常数q o 满足 口忙l | 2 z t ( r 一霹阢马) z z t 只z ， q 忙i | 2 q 悔1 1 2 牙t ( 扇一霹玩晟) 叠牙r 只牙， vz 五即 q 恻1 2 y ( ) ( 2 1 9 ) 由式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 可知 n j i z l | 2 y ( ) pi l z i l 2 ( 2 2 0 ) 下面讨论对l y a p u n o v 函数y ( 亡) 的差分，根据不同的系统轨迹可分为六种 不同形式这里假定系统状态在时间段t 内由单元五转移到玛时，系统动态 由单元k 内的系统状态决定 ( i ) 对z ( t ) x ，i o 由定理2 1 的式( 1 ) 可知存在常数p o ，满足 a 尹只a i 一只+ 霹毗易+ p ， 0 满足 譬p j 一r + 磷q 巧e t + p i ( q 这时有 y ( t ) = y ( t ) 一y ( t 一1 ) = z ( 一1 ) t ( a 歹弓a 一只) z ( t 一1 ) z ( 一1 ) t ( 一j 9 ，一砑q 巧邑) 。( 一1 ) 一j di i z ( t 一1 ) 1 1 2 1 1 第二章 分段离散时间线性系统的稳定性分析 ( i v ) 对z ( t 一1 ) k ，z ( ) 玛，i ，歹qn 1 如同情形( i i i ) ，由定理2 1 的 式( 4 ) 易知 y ( ) 一pi i 牙( t 一1 ) 1 1 2 一pl | z ( 一1 ) 1 1 2 ( v ) 对z ( t 一1 ) x ，z ( t ) 玛，i ，歹q ，z 1 ，歹o 由定理2 1 的式( 5 ) 可知存在常数| p 0 满足 鹫p j k 一或+ 职q 磁雹t + p i 0 满足 。 霹或氏一p ；七硪q 埒豆t + p i o 这时有 y ( ) = y ( 亡) 一y ( f 1 ) = 牙( t ) r 岛牙( ) 一z ( 一1 ) 丁只z ( t 一1 ) = a i z i u 丁b a i z ；一。 一z c t 一1 ，丁只z c t 一1 ， = 牙c t 一1 ，丁 号； 2 扇 含； 牙c t 一1 ，一z c t 一1 ，丁只z c t 一， 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 = 雪( t 一1 ) t a i 扇a t 牙( 一1 ) 一牙( 一1 ) t 扇牙( 一1 ) = 牙( t 一1 ) t ( a b a l 一只) 孟( 一1 ) 牙( 一1 ) r ( 一p ，一霹q 巧晟) 牙( 一1 ) 牙( z 一1 ) 丁( 一p ，) 牙( 一1 ) 一p l i z ( t 1 ) 1 1 2 ， 其中扇= 厶凡o n 1 】t 只 厶几o n 1 】 总结情形( i ) 一( v i ) 可知 y ( ) 一pl | z l | 2 由式( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 及引理2 1 可得本定理之结论 2 4 不确定分段离散时间线性系统的稳定性分析 ( 2 2 1 ) 证毕 上节研究了确定性分段离散时间线性系统的稳定性事实上，由于外部扰动 或建模误差，系统中总存在不确定性本节基于分段二次l y a p u n o v 函数方法， 将确定性分段离散时间线性系统稳定性的相关结论推广到不确定分段离散时间 线性系统的情形 考虑如下自治不确定分段离散时间线性系统 z ( + 1 ) = ( a + a ) z ( t ) + o t + o t ，( 2 2 2 ) vz ( ) 五，i 其中z ( t ) r 他为系统状态变量，a ，o i 为相应维数的常值矩 阵，闭的n 维凸多面体x 留称为单元，假定各单元除了公共的边界外没有重 叠部分 x = u 刎k 称为系统的分区单元下标集= ou 1 其中o 为包含 原点的单元下标集，1 为不包含原点的单元下标集对i o ，假定n = g = 0 a 和n 分别表示在第i 个标称子系统的状态矩阵和仿射项上存在的不确定 参数扰动，并假定满足如下形式 【a ，o 钉= 坛日 钆，0 ，( 2 2 3 ) 其中日序j 是一个不确定矩阵，并满足如下上界要求 日丁日j ，( 2 2 4 ) 其中尬，m 。，虬。是已知的适当维数的常值矩阵，具体刻画了标称矩阵a 和吼 受不确定参数矩阵日的影响情况如果式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 4 ) 两者均成立，则称 a 和o l 为可容许的 】3 第二章 分段离散时间线性系统的稳定性分析 撒誊二，浯矧 矾。= a ；1 ，五：i 簟竺l ：庇日矾；， 蚓 0 及 矩阵g ，g i 和对称矩阵只，扇，既，比，q 巧，其中阢，眠和q 玎的元素均为非负， 满足 只一g t g ， 锋g 歹 聊口 0 霹阢最 只， g t ag i a 幺 一只+ 霹毗易 o 0 一岛， a t 0 1 4 0 理定隆定稳的f如出推 可劢 0 2 ，、 k 阻 乜 一 巳 矿 理 0 l 引 一 补 r q 叮r，、l出 及 互 理 。吆。钳 引 一 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 对i 0 对i 1 ( 2 ) ( 3 ) 对i ，j qn o ( 4 ) 对i ，j qn 1 ( 5 ) 扇一g t g 智霹 阉霹 0 霹阢晟 扇， 弓一g t g 歹 碍呼 m j 哦 0 扇一g t g ， 碍砰 蠼霹 o 扇一孕t g 丁 碍霹 勋i e i 0 对z ，歹q ，i 1 ，歹o ( 6 ) 扇一g i g 歹 碍霹 蠼箴 0 g i a ig 。庇 一只+ 霹毗扇 o o 一i i 邑m ； 0 0 毛殛 o 一t i g i a tg 尬 0 一p t + 噬q 巧e t o t n 夏1 0 一岛j 0 t na t q 一t i g i a ig 庇 。 一扇+ 留q 巧晟 。 矗内互 0 一岛， 0 i na o 一t i 孕 a tg t 庇 0 一扇+ 霹q 巧扇 。 毛觋 0 一岛， 0 t n a i q 一t i 岛五岛舷 。 一藏+ 秘q 强豆t o t r 夏i o 一矗， 0 t n a i o 一t i 1 5 0 0 0 0 0 第二章分段离散时间线性系统的稳定性分析 对i ，j q ，i o ，歹1 那么自治系统( 2 2 2 ) 的任意轨迹z ( t ) x 指数稳定 证明：下面将只针对条件( 4 ) 式情形进行证明，其余情形证明过程相似对( 4 ) 式应用两次s c h u r 补引理可得 弓蠢薛也篇捣扎叫 i a 可口 一扇+ 霹q 巧晟ll 为互l o 。一凡j + e f l g 苫呸 a 酽g 尹。 。， 对上述不等式应用引理2 6 可得 扇蠢薛也篇巧小小叫 l a 可孕歹一扇+ 曰q 巧扇i i o l o 。一心j + 日丁 姗0 0 ， 注意到式( 2 2 5 ) ，上式可描述为 l 男一孕t g 歹 g i a i fa 歹g 一扇+ 曰q 巧豆 合并两个矩阵得下述不等式 + | - o ii a 尹g jl 岛五。 l u ， 0 i j 协墨嚣基拿裟i 妯 i ( a l + a ) r g 一j 秀+ 霹q 巧扇l 对上述不等式左乘矩阵 ( 五+ 五) t ， ，同时右乘矩阵 ( 五+ 五) t ，】t 可得 ( a i + a i ) 丁男( a l + a t ) 一扇+ 彭q 巧扇 o 及矩阵 g i ，g i 和对称矩阵只，扇，既，职，q 巧，其中以，和q 巧的元素均为非负，满足 只一g t 一砰 ( a i + b l i ) 丁g ， 崛g t o 印阢e 只， g i ( a + 鼠厶)g i 尬 一只+ 霹m e o 0 一t ， 民( a 。+ b 。厶) 0 2 l o 岛( a