（系统工程专业论文）几类非线性色散偏微分方程的研究.pdf

江苏大学博士学位论文 摘要 非线性现象是自然界中普遍存在的一种重要现象。许多实际的非线性 问题最终都可归结为非线性系统来描述。最近几十年来，物理、力学、化学、 生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域中诞生了许多非线性偏微 分方程，但是由于方程的非线性以及本身的复杂性，使得对这些方程的研究 具有很大的挑战性。本文研究了几类有着深刻物理背景的非线性色散偏微 分方程，即广义c a m a s s a - h o l m 方程，变形c a m a s s a - h o l m 方程，广义d e g a s p e r i s - p r o c e s i 方程，f o r n b e r g - w h i t h a m 方程，和浸) k k ( 2 ，2 ) 方程。 对于广义c a m a s s a - h o l m 方程( 3 1 8 ) ，研究了它的c a u c h y 问题，得到了尖峰 孤立波解是方程( 3 1 8 ) 的c a u c h y f , 习题整体弱解的结论。并指出尖峰孤立波 是轨道稳定的。研究了方程( 3 1 8 ) 的初边值问题( 3 3 6 ) ，利用k a t o 定理证明 了初边值问题( 3 3 6 ) 在适当函数空间上是局部适定性，结合守恒律得到了 初边值问题( 3 1 8 ) 的两个b l o wu p 结果。还发现了方程( 3 i s ) 的一个隐性线 性结构，并由此得到了它的一种多重解的叠加解，对于变形c a m a s s a - h o l m 方 程( 3 1 7 ) ，研究了其行波解，数值模拟表明，该方程具有一类定义在半实轴 上的精确行波解。 对于广义d e g a s p e r i s - p r o c e s i 方程( 4 7 ) ，研究了它的一类初边值问题( 4 。1 1 ) ， 同样得到了初边值问题( 4 1 1 ) 在适当函数空间上是局部适定性，利用微分 不等式得到了初边值问题( 4 1 1 ) 的解的b l o wu p 结果。利用激波a n s a t z 首先将 方程( 4 7 ) 约化为一个常微分方程，然后通过求解此常微分方程得到了方程 t 江苏大学博士学位论文 ( 4 7 ) 由尖峰孤立波和反尖峰孤立波相互碰撞形成的一类特殊的波一激波的 表达式。利用平面动力系统分叉方法结合数值模拟得到方程( 4 7 ) 的类扭结 解和类反扭结解。同时还得到了方程( 4 7 ) 的峰状和谷状光滑孤立波解、尖 峰孤立波解和周期波解，并指出尖峰孤立波可看作是光滑孤立波和周期波 的极限。最后还发现了方程( 4 7 ) 的一个隐性线性结构，并由此得到了它的 一种多重解的叠加解。 对于f o r n b e r g - w h i t h a m 方程( 5 1 ) ，研究了其c a u c h y i 口 题，得到了其c a u c h y 问 题在日8 ( r ) ( s ；) 空间中是局部适定的。利用分叉方法的得到了其光滑孤立 波解、尖峰孤立波解和周期尖角子解，并指出尖峰孤立波可看作是光滑孤 立波和周期波的极限。同时结合数值模拟得到了其类扭结解和类反扭结解。 最后利用椭圆积分得到了方程( 5 1 ) 的反向环状孤立波解、峰状光滑孤立波 解，以及其它各种周期解。 对于浸入k ( 2 ，2 ) 方程( 6 7 ) ，利用平面动力系统分叉方法结合数值模拟 得到了其类扭结解和类反扭结解。最后还得到了其峰状和谷状光滑孤立波 解。 关键词：非线性偏微分方程，广义c a m a s s a - h o l m 方程，广义d e g a s p e r i s - p r o c e s i 方程，f o r n b e r g - w h i t h a a n 方程，浸k k ( 2 ，2 ) 方程，c a u c h yj 题，孤立波， 分叉方法 i i 江苏大学博士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a r i t yi su n i v e r s a la n di m p o r t a n tp h e n o m e n o ni nn a t u r e m o s tn o n l i n e a rp r o b l e m sc a nb ed e s c r i b e db yn o n l i n e a re q u a t i o n s i n r e c e n ty e a r s ，m a n yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw e r ed e r i v e d f r o mp h y s i c s ，m e c h a n i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , e n g i n e e r i n g ，a e r o n a u t i c s ， m e d i c i n e ，e c o n o m y , f i n a n c ea n dm a n yo t h e rf i e l d s b e c a u s eo ft h en o n l i n e a r i t ya n dc o m p l e x i t yo ft h e m s e l v e s ，i ti sab i gc h a l l e n g et od e a lw i t h t h e m i nt h ep a p e r ，w es t u d ys e v e r a ln o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a ld i s p e r - s i v ee q u a t i o n s ，t h a ti s ，ag e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ，am o d i f i e d c a m a s s a - h o l me q u a t i o n ，ag e n e r a l i z e dd e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n ，t h e f o r n b e r g - w h i t h a me q u a t i o na n dt h eo s m o s i sk ( 2 ，2 ) e q u a t i o n f i r s t l y , w es t u d yag e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ( 3 1 8 ) w e p r o v et h a tt h eo b t a i n e dp e a k e ds o l i t a r yw a v es o l u t i o no fe q ( 3 18 ) i sa g l o b a lw e a ks o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e mo fe q ( 3 18 ) w ea l s op o i n t o u tt h a tt h ep e a k e ds o l i t a r yw a v es o l u t i o ni so r b i t a ls t a b l e i na d d i t i o n ， w es t u d ya ni n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fe q ( 3 1 8 ) w i t ht h ea i m o fk a t o st h e o r e m ，w ep r o v et h ei n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 3 3 6 ) i sl o c a lw e l l p o s e di ns o m ef u n c t i o ns p a c e t w ob l o w u pr e s u l t s a r ee s t a b l i s h e db yc o m b i n i n gc o n s e r v a t i o nl a w w ea l s oi n v e s t i g a t ea m o d i f i e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ( 3 17 ) w i t ht h ea i mo fn u m e r i c a l s i m u l a t i o n s ，w es h o we q ( 3 17 ) h a sat y p eo ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n i i i 江苏大学博+ 学位论文 t h a td e f i n e do ns o m es e m i f i n a li n t e r v a la n dp o s s e s s i n gs o m ep r o p e r t i e s o fk i n kw a v es o l u t i o no ra n t i k i n kw a v es o l u t i o n s e c o n d l y ，w es t u d yag e n e r a l i z e dd e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n ( 4 7 ) w es t u d ya ni n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fe q ( 4 7 ) a n do b t a i nt h a t t h ei n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 4 11 ) i sl o c a lw e l l p o s e di n s o m ef u n c t i o ns p a c e ，a n da l s oo b t a i nab l o w u pr e s u l t b yt h es h o c k w a v ea n s a t z ，w ec o n v e r te q ( 4 7 ) i n t oag r o u po fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h e no b t a i nas p e c i a ls o l u t i o no fe q ( 4 7 ) ，t h a ti ss h o c kw a v e s o l u t i o n i tc a nb er e g a r da st h er e s u l to ft h ec o l l i s i o no fp e a k o na n da n - t i p e a k o n b yu s i n gt h eb i f u r c a t i o nm e t h o do fp l a n a rd y n a m i c a ls y s t e m s a n dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，w eo b t a i nt h ek i n k - l i k ea n da n t i k i n k - l i k e w a v es o l u t i o n so fe q ( 4 7 ) m e a n w h i l e ，t h es m o o t hs o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fp e a ka n dv a l l e yf o r m ，t h ep e a k e ds o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dt h e p e r i o dc u s pw a v es o l u t i o n so fe q ( 4 7 ) a r ea l s oo b t a i n e d w ep o i n to u t t h a tt h ep e a k e ds o l i t a r yw a v es o l u t i o n sc a nb er e g a r d e da st h el i m i to f s m o o t hs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n da l s ot h ep e r i o dc u s pw a v es o l u t i o n s i na d d i t i o n ，w ef i n da ni m p l i c i tl i n e a rs t r u c t u r ei ne q ( 4 7 ) a c c o r d i n g t ot h el i n e a rs t r u c t u r e ，w eg i v et i l es u p e r p o s i t i o no fm u l t i - s o l u t i o n so f e q ( 4 7 ) t h i si sa ni n t e r e s t i n gr e s u l t t h i r d l y ，w es t u d yt h ef o r n b e r g - w h i t h a me q u a t i o n ( 5 1 ) b yk a t o s t h e o r e m ，w ep r o v et h a tt h ec a u c h yp r o b l e mo fe q ( 5 1 ) i sl o c a lw e l l i v 江苏大学博士学位论文 p o s e dw i t ht h ei n i t i a ld a t au 0 h s ( r ) ( s 兰) e m p l o y i n gt h eb i f u r c a - t i o nm e t h o do fp l a n a rd y n a m i c a ls y s t e m sw eo b t a i nt h es m o o t hs o l i t a r y w a v es o l u t i o n so fp e a kf o r m ，t h ep e a k e ds o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dt h e p e r i o dc u s pw a v es o l u t i o n so fe q ( 5 1 ) w ep o i n to u tt h a tt h ep e a k e d s o l i t a r yw a v es o l u t i o n sc a nb er e g a r d e da st h el i m i to fs m o o t hs o l i t a r y w a v es o l u t i o n sa n da l s ot h ep e r i o dc u s pw a v es o l u t i o n s m e a n w h i l e ，t h e k i n k l i k ea n da n t i k i n k - l i k ew a v es o l u t i o n so fe q ( 5 1 ) a r eo b t a i n e d w e a l s om a k et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ft h er e d u c e dt r a v e l i n gw a v es y s t e m ，a n dt h en u m e r i c a lr e s u l ts h o w e dt h a to u rt h e o r e t i c a lr e s u l t sa r e c o r r e c t i na d d i t i o n ，w i t ht h ea i mo fe l l i p t i ci n t e g r a l ，w eo b t a i nt h e i n v e r t e dl o o p - l i k es o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，t h es m o o t hs o l i t a r yw a v es o - l u t i o n so fp e a kf o r m ，a n dm a n yo t h e rp e r i o dw a v es o l u t i o n so fe q ( 5 1 ) l a s t l y , w es t u d yt h eo s m o s i sk ( 2 ，2 ) e q u a t i o ne q ( 6 7 ) e m p l o y i n g t h eb i f u r c a t i o nm e t h o do fp l a n a rd y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n s ，w eo b t a i nt h ek i n k - l i k ea n da n t i k i n k - l i k ew a v es o l u t i o n so f e q ( 6 7 ) m e a n w h i l e ，t h es m o o t hs o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fp e a ka n d v a l l e yf o r mo fe q ( 6 7 ) a r ea l s oo b t a i n e d w ep o i n to u tt h a tt h ep e a k e d s o l i t a r yw a v es o l u t i o n sc a nb er e g a r d e da st h el i m i to fs m o o t hs o l i t a r y w a v e k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，g e n e r a l i z e d v 江苏大学博十学位论文 c a m a s s a - h o l me q u a t i o n ，g e n e r a l i z e dd e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n ，t h e f o r n b e r g - w h i t h a me q u a t i o n ，t h eo s m o s i sk ( 2 ，2 ) e q u a t i o n ，c a u c h yp r o b - l e m ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n ，b i f u r c a t i o nm e t h o d v i 江苏大学博十学位论文 图目录 3 1 方程( 3 2 0 ) 的尖峰孤立波解。 1 9 3 1p e a k e ds o l i t a r yw a v es o l u t i o no fe q f 3 2 0 ) 1 9 3 2 行波系统( 3 9 4 ) 连接鞍点的轨道。( a ) c = - 1 ，g = 1 ；( b ) c = 1 ，g = 1 。 3 5 3 2t h es k e t c h e so fo r b i t so fs y s t e m ( 3 9 4 ) c o n n e c t i n gw i t hs a d d l ep o i n t s ( a ) c = - 1 ，g = 1 ；( b ) c = 1 ，g = 1 3 5 3 3 方程( 3 9 1 ) 的积分曲线数值模拟。( a ) 妒( o ) = 0 ，妒7 ( o ) = 0 8 9 9 9 4 3 3 5 4 9 ：( b ) 妒( o ) = 0 ，妒7 ( o ) = - 0 8 9 9 9 4 3 3 5 4 9 ：( c ) 妒( o ) = 2 2 ，妒7 ( o ) = o 6 3 3 3 9 7 3 5 0 8 ：( d ) 妒( o ) = 2 2 ，妒7 ( o ) = - 0 6 3 3 3 9 7 3 5 0 8 。 3 6 3 3t h es i m u l a t i o n so fi n t e g r a lc u r v e so fe q ( 3 9 1 ) ( a ) 妒( o ) = 0 ，妒7 ( o ) = o 8 9 9 9 4 3 3 5 4 9 ：( b ) 妒( o ) = 0 ，妒( o ) = - 0 8 9 9 9 4 3 3 5 4 9 ：( c ) 妒( o ) = 2 2 ，妒( o ) = o 6 3 3 3 9 7 3 5 0 8 ：( d ) 妒( o ) = 2 2 ，妒7 ( o ) = - 0 6 3 3 3 9 7 3 5 0 8 3 6 4 1 系统( 4 7 6 ) 的相图( c = 7 ) 。( a ) g 0 。 5 8 4 1 4 2 4 2 4 3 4 3 4 4 t h ep h a s ep o r t r a i t so fs y s t e m ( 4 7 6 ) ( e = 7 ) ( a ) g 0 5 8 系统( 4 7 6 ) 的相图( c ，y ) 。( a ) g 一y ；( b ) g 仍( c ) ，c ，y ；( d ) g = 仍( c ) ，c ，y ；( e ) 9 2 ( c ) g ，y ； ( f ) 仍( c ) g 0 ，c 7 ；( h ) g = 0 ，c ，y ；( i ) 0 g 一y ；o ) o g 7 ；( n ) 9 夕l ( c ) ，c 一y 。 5 9 t h ep h a s ep o r t r a i t so fs y s t e m ( 4 7 6 ) ( c ，y ) 5 9 方程( 4 7 ) 的类扭结解和反扭结解。 b = 1 4 。 取c = 2 ，7 = 1 5 ，g = - 4 ，a = 0 ， 6 1 k i n k l i k ea n da n t i k i n k l i k ew a v es o l u t i o n so fe q ( 4 7 ) c = 2 ，7 = 1 5 ， g = - 4 ，a = 0 ，b = 1 4 。 6 1 行波系统( 4 7 6 ) 连接鞍点的轨道示意图。( a ) g 7 ；( b ) g 仍( c ) ，c 一y ；( c ) 9 2 ( c ) g ，y ；( d ) 9 2 ( c ) g g x ( c ) ，c ，y 。6 2 i x 江苏大学博+ 学位论文 4 4t h es k e t c h e so fo r b i t so fs y s t e m ( 4 7 6 ) c o n n e c t i n gw i t hs a d d l ep o i n t s ( a ) g 7 ；( b ) g 9 2 ( c ) ，c ，y ；( c ) 9 2 ( c ) g 7 ； ( d ) g e ( c ) g g l ( c ) ，c 7 6 2 4 5 方程( 4 7 3 ) 的积分曲线数值模拟。( a ) 妒( o ) = 0 ，妒7 ( o ) = 5 0 9 3 0 1 ( b ) 妒( o ) = 0 ，( o ) = - 5 0 9 3 0 1 ；( c ) 妒( o ) = 1 4 ，妒7 ( o ) = o 3 6 6 8 5 1 ( d ) 妒( o ) = 1 4 ，妒7 ( o ) = - 0 3 6 6 8 5 1 。 6 4 4 5t h es i m u l a t i o n so fi n t e g r a lc u r v e so fe q ( 4 7 3 ) ( a ) 妒( o ) = 0 ，妒7 ( o ) = 5 0 9 3 0 1 ；( b ) 妒( o ) = 0 ，妒( o ) = - 5 0 9 3 0 1 ；( c ) 妒( o ) = 1 4 ，妒( o ) = o 3 6 6 8 5 1 ；( d ) 妒( o ) = 1 4 ，妒( o ) = - 0 3 6 6 8 5 1 6 4 4 6 方程( 4 7 ) 光滑孤立波解( c = 2 ，7 = 1 ) 。( a ) g = o 1 ；( b ) g = o 0 5 ；( c ) g = 0 0 1 ；( d ) g = 0 0 0 1 。 6 5 4 6s m o o t hs o l i t a r yw a v e so f e q ( 4 7 ) ( c = 2 ，y = 1 ) ( a ) g = o 1 ；( b ) g = 0 0 5 ； ( c ) g = 0 0 1 ；( d ) g = 0 0 0 1 6 5 4 7 方程( 4 7 ) 光滑孤立波解( e = 1 ，y = 2 ) 。( a ) g = o 1 ；( b ) g = 0 0 5 ；( c ) g = 0 0 1 ；( d ) g = 0 0 0 1 。 6 6 4 7s m o o t hs o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fe q ( 4 7 ) c = 1 ，7 = 2 ) ( a ) g = o 1 ； ( b ) g = 0 0 5 ；( c ) g = 0 0 1 ；( d ) g = o 0 0 1 6 6 4 8 方程( 4 7 ) 的尖峰孤立波解。( a ) c = 2 ，7 = 1 ；( b ) c = 1 ，7 = 2 。 6 7 4 8 p e a k e ds o l i t a r yw a v e so fe q ( 4 7 ) ( a ) c = 2 ，y = 1 ；( b ) c = 1 ，7 = 2 。6 7 4 9 方程( 4 7 ) 的周期尖角子解( c = 2 ，7 = 1 ) 。( a ) g = 一o 4 ；( b ) g 一0 1 ； ( c ) g 一0 0 1 ；( d ) g 一0 0 0 0 0 0 0 1 。 6 7 4 9p e r i o ds u s pw a v es o l u t i o n so fe q ( 4 7 ) ( c = 2 ，7 = 1 ) ( a ) g = 一o 4 ；( b ) g = 一0 1 ；( c ) g = 一0 0 1 ；( d ) g = 一0 0 0 0 0 0 0 1 。 6 7 4 1 0 方程( 4 7 ) 的周期尖角予解( c = 1 ，y = 2 ) 。( a ) g = 一o 4 ；( b ) g 一0 1 ； ( c ) g 一0 0 1 ；( d ) g 一0 0 0 0 0 0 0 1 。 6 8 4 1 0p e r i o ds u s pw a v es o l u t i o n so fe q ( 4 7 ) ( c = 1 ，7 = 2 ) ( a ) g = 一o 4 ；( b ) g = 一0 1 ；( c ) g 一0 0 1 ；( d ) g 一0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 4 1 1 系统( 4 7 6 ) 的连接鞍点的轨道。( a ) o g ，y ；( b ) 0 g g l ( c ) ，c 7 ；( d ) 夕= 0 ，c ，y ；( e ) 9 2 ( c ) 9 7 ； ( f ) 9 2 ( c ) 夕 0 ，c 一y 。 6 9 x 江苏大学博士学位论文 4 11t h eo r b i t so fs y s t e m ( 4 7 6 ) c o n n e c t i n gw i t ht h es a d d l ep o i n t s ( a ) 0 g 一y ；( b ) 0 g g l ( c ) ，c ，y ；( d ) g = 0 ，c 7 ；( e ) 9 2 ( c ) g 7 ；( f ) 仍( c ) g 0 ，c 1 6 9 5 1 行波系统( 5 8 ) 的分叉曲线。 ， 7 5 5 1t h eb i f u r c a t i o nc u r v e so fs y s t e m ( 5 8 ) 7 5 5 2 行波系统( 5 8 ) 的相图。( a ) g 夕3 ( c ) ；( b ) 夕= 夕3 ( c ) ；( c ) 9 3 ( c ) g 9 2 ( c ) ；( d ) g = 9 2 ( c ) ；( e ) 9 2 ( c ) 夕 g l ( c ) 。 7 7 5 2t h ep h a s ep o r t r a i t so ft r a v e l i n gw a v es y s t e m ( 5 8 ) ( a ) g 夕3 ( c ) ；( b ) g = 卯( c ) ；( c ) 9 3 ( c ) g 仍( c ) ；( d ) g = 夕2 ( c ) ；( e ) 9 2 ( c ) g g l ( c ) 7 7 5 3 系统( 5 8 ) 的轨道。( a ) 同宿轨( 对应- 于 9 2c ) g 夕1 ( c ) ) ； ( b ) 同宿轨和周期轨的极限曲线( 对应于9 = 夕2 ( c ) ) ；( c ) 周期轨( 对应 于夕3 ( c ) 夕 仍( c ) ) 。 7 8 5 3t h eo r b i t so fs y s t e m ( 5 8 ) ( a ) h o m o c l i n i co r b i t ( c o r r e s p o n d i n gt o 9 2 ( c ) g 9 1 ( c ) ) ；( b ) l i m i tc u r v e ( c o r r e s p o n d i n gt og = 9 2 ( c ) ) ；( c ) p e r i o do r b i t ( c o r r e s p o n d i n gt o9 3 ( c ) g 9 2 ( c ) ) 。 7 8 5 4 方程( 5 1 ) 的光滑孤立波解。( a ) c = 2 ，夕= o 4 9 9 9 9 9 ；( b ) c = 2 ，g = o 4 9 ； ( c ) c = 2 ，g = o 4 6 ；( d ) c = 2 ，g = o 4 5 。 7 9 5 4s m o o t hs o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fe q ( 5 1 ) ( a ) c = 2 ，g = 0 4 9 9 9 9 9 ；( b ) c = 2 ，g = o 4 9 ；( c ) c = 2 ，夕= o 4 6 ；( d ) c = 2 ，9 = o 4 5 7 9 5 5 方程( 5 1 ) 的尖峰孤立波解。( a ) c = 一l ；( b ) c = 2 。 8 0 5 5p e a k e ds o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fe q ( 5 1 ) ( a ) c = 一1 ；( b ) c = 2 8 0 5 6 方程( 5 1 ) 的周期尖角子解。( a ) c = 2 ，g = o 3 ；( b ) c = 2 ，夕= o 4 ；( c ) c = 2 ，g = o 4 4 4 4 4 4 4 ；( d ) c = 2 ，g = o 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 。 8 2 5 6p e r i o dc u s pw a v es o l u t i o n so fe q ( 5 1 ) ( a ) c = 2 ，g = o 3 ；( b ) c = 2 ， g = o 4 ；( c ) c = 2 ，g = o 4 4 4 4 4 4 4 ；( d ) c = 2 ，g = o 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 2 5 7 系统( 5 8 ) 的连接鞍点的轨道示意图。( a ) g o ；( c ) g = 0 ，c o ；( e ) 一孕 g 0 ，c o ；( f ) 一譬 g o ；( g ) g = 一譬，c o ；( i ) 一等 g 一譬，c o ；( j ) 一譬 0 ，c 0 ，c o ； ( c ) 一譬 g 0 ，c 0 ，c 0 ，c o ；( e ) 一譬 g 0 ，c o ；( d ) 一譬 0 1 0 3 6 7 方程( 6 9 ) 的积分曲线的数值模拟( 9 = 5 ，c = 一1 ) 。( a ) 垆( o ) = - 0 7 5 ， 妒7 ( o ) = 4 2 3 3 9 7 ；( b ) 妒( o ) = - 0 7 5 ，妒7 ( o ) = - 4 2 3 3 9 7 ；( c ) 妒( o ) = 1 6 ， 妒7 ( o ) = o 2 3 0 1 8 9 ；( d ) 妒( o ) = 1 6 ，妒7 ( o ) = 一o 2 3 0 1 8 9 a 1 0 4 6 7t h es i m u l a t i o n so fi n t e g r a lc u r v e so fe q ( 6 9 ) ( g = 5 ，c = - 1 ) ( a ) 妒( o ) = - 0 7 5 ，妒( o ) = 4 2 3 3 9 7 ；( b ) 妒( o ) = - 0 7 5 ，妒( o ) = 一4 2 3 3 9 7 ； ( c ) 垆( o ) = 1 6 ，妒7 ( o ) = o 2 3 0 1 8 9 ；( d ) 妒( o ) = 1 6 ，妒7 ( o ) = 一o 2 3 0 1 8 9 1 0 4 6 8 方程( 6 9 ) 的积分曲线的数值模拟( 夕= 5 ，a = 1 ) 。( a ) 垆( o ) = 一1 6 ， 妒7 ( o ) = o 2 3 0 1 8 9 ；( b ) 妒( o ) = - 1 6 ，妒( o ) = - 0 2 3 0 1 8 9 ；( c ) 妒( o ) = 2 ， 妒7 ( o ) = o 8 4 9 2 2 8 ；( d ) 妒( o ) = 2 ，妒7 ( o ) = - 0 8 4 9 2 2 8 。1 0 5 6 8t h es i m u l a t i o n so fi n t e g r a lc u r v e so fe q ( 6 9 ) ( g = 5 ，c = 1 ) ( a ) 妒( o ) = - 1 6 ，妒( o ) = o 2 3 0 1 8 9 ；( b ) 垆( o ) = - 1 6 ，妒7 ( o ) = 一o 2 3 0 1 8 9 ； ( c ) 妒( o ) = 2 ，妒7 ( o ) = o 8 4 9 2 2 8 ；( d ) 妒( o ) = 2 ，妒( o ) = 一o 8 4 9 2 2 8 1 0 5 6 9 方程( 6 9 ) 的积分曲线的数值模拟( 夕= 一0 5 ，c = 一2 ) 。( a ) 妒( o ) = 一1 2 ，妒7 ( o ) = o 3 6 4 4 5 3