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南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文研究了时滞为l 的动态投入产出模型的稳定增长解的存在问题。 动态投入产出模型最早由w l e o n t i e f 提出，因其稳定解问题没有解决，使它的应 用十分有限，华罗庚研究了关于时间齐次的投入产出模型，得到了稳定解。本文对在 上述基础上构造的一类时滞为1 的动态投入产出模型，进行了深入研究，将随机因素 逐步考虑进去，即对投入产出消耗系数矩阵为随机的情况( 投资系数矩阵为随机的情 况与投入产出消耗系数矩阵为随机的情况大致相同，这里就不再证明) ，以及二者同 时为随机矩阵时所得到的动态投入产出模型的稳定增长解问题，利用现代概率分析及 马氏过程的工具，证明了不存在随机动态投入产出模型的稳定增长解：即投入产出模 型反映的经济系统必须经常进行调整，其崩溃时间为无穷大的概率为零。 关键词：消耗系数矩阵投资系数矩阵最大特征值稳定增长解崩溃时间 一一一 一一 堕室塾窒塾鲞丕堂堡主堂堡堡墨 a b s t r a c t t h i s p a p e r r e s e a r c h e st h ee x i s t e n tp r o b l e mo ft h es t a b l e i n c r e a s es o l u t i o nf o ro n e d y n a m i ci n p u t - o u t p u tm o d e l t h a tt h et i m el a gi so n e l e o n t i e ff i r s tg i v e so u tt h ed y n a m i ci n p u t o u t p u tm o d e l ，b u th ed o n ts o l v ei t s s t a b l e i n c r e a s e s o l u t i o n ，w h i c h m a k e si t s a p p l i c a t i o n l i m i t e d h u a - l u o g e n gr e s e a r c h e s t h e h o m o g e n e o u si n p u t o u t p u tm o d e l a n dg e t st h e s t a b l es o l u t i o n 1 1 1 i sp a p e ri s m a i n l yt h e d y n a m i ci n p u t o u t p u tm o d e l t h a tt h et i m el a gi so n e ，w h i c hi sb a s eo nt h ea b o v em o d e l s a f t e rs t u d y i n g ，w ec o n s i d e rs t o c h a s t i cf a c t o rs t e pb ys t e pi ni t ，n a m e l yw h e nc o n s u m p t i o n c o e 街c i e n tm a t r i xi ss t o c h a s t i cf w h e ni n v e s t r n e n tm a t r i xi ss t o c h a s t i c ，i ti sa l m o s ts a m e s o w ed o n tr e s e a r c hi t ) a n dt h e ya r eb o t hs t o c h a s t i c ，t h e nw er e s e a r c ht l l es t a b l ei n c r e a s e s o l u t i o n w eu t i l i z et h em e a n so ft h em o d e ms t o c h a s t i ca n a l y s i sa n dm a r k o vp r o c e s s ，t h a t t h es t o c h a s t i cd y n a m i ci n p u t o u t p u tm o d e ld o nn o te x i s tt h es t a b l es o l u t i o ni sp r o v e d n a m e l y , e c o n o m i cs y s t e mm u s ti sa d j u s t e dc o n s t a n t l y t h ep r o b a b i l i t yt h a tt h ec o l l a p s e t i m eo f t h ee c o n o m i cs y s t e mi s o o i so n e k e y w o r d s ： c o n s u m p t i o n c o e f f i c i e n tm a t r i xi n v e s t m e n tc o e f f i c i e n t m a t r i x m a x i m u m e i g e n v a l u e s t a b l ei n c r e a s es o l u t i o ne c o n o m i cc o l l a p s e 南京航空航天大学硕士学位论文 1 1背景介绍 第一章绪论 1 1 1宏观经济模型研究的社会对象、目标及意义 多年的实践证明，什么时候综合平衡搞得好，经济发展就快，经济效果就高，人 民生活也能提高的快；反之，什么时候否定或轻视了综合平衡，经济发展就慢，甚至 出现暂时的倒退现象，人们生活也得不到应有的提高。因此，在经济管理和计划工作 中必须始终坚持综合平衡。开展投入产出法的研究和应用，可以改进计划方法、提高 综合平衡的科学水平。投入产出法的主要特点和作用，就是解决一个经济系统的各部 分间发展中的平衡协调问题。利用投入产出数学模型，为制定国民经济计划提供一种 科学的手段。将投入产出法与规划方法相结合，并进一步研究将投入产出静态模型发 展成动态模型，将为提高中长期计划的科学性做出贡献。 动态投入产出模型从社会生产及经济活动的各个产业部门的相互联系出发，研究 产业部门的相互关系，对社会经济发展的综合作用，刻画社会宏观风险及经济的运行； 降低经济发展成本，规避社会经济的宏观风险，起着很大的作用。此外，对动态投入 产出模型的研究和计划地区间的经济联系、地区综合平衡、部门内部平衡、企业管理 现代化以及研究价格形式、经济效果等等方面，都起到一定的作用。总之，投入产出 法的研究在我国的社会主义建设中有广阔的用武之地。 1 1 2 宏观经济模型的常用方法、产生的历史、数学研究的进展 宏观经济模型的研究常用方法是投入产出模型的方法；它是上世纪三十年代由美 籍俄国数理经济学家w l e o n t i e f ( 利昂锡夫) 提出：其静态模型获1 9 7 0 年诺贝尔经济 学奖；其动态模型至今无完整结果。分别有形式如下： 1 静态x = a x + y x ：产出向量：a ：投入产出消耗系数矩阵；y ：最终使用向薰 2 动态 x ( r ) = 4 ( f ) x ( f ) + e ( r ) x ( f + s ) 一z ( f ) 一类动态投入产出模型 曰，( f ) 为f + s 年的投资系数矩阵； n ：投资时滞 对于动态模型，有许多不同的形式，但由于其内部结构的“不稳定性”，引起了 数学上的争论，并且至今没有完整的稳定解，数学上常用数值逼近和优化方法解决。 这里，所谓“解”是指用a ( t ) 、b ( f ) 及x ( 1 ) 来表现x ( t ) 或用a ( t ) 、b ( t ) 及x ( t ) 来 表现爿( 1 ) ；并使其具有“稳定性”，即值的“稳定性”。通过“解”，对各种经济现象作 出各种合理的解释( 比如：科技进步是生产力、消费与生产力水平、科技发展水平定 量关系等) 。 华罗庚首先研究了( 8 4 年8 5 年) 简单的动态模型，并得到了著名的“特征矢量 法”，即简单模型( 确定型) x ，= a x 。；陈木法研究了简单的随机模型( i i d ) x ，( c o ) = a ( c o ) x 。( 0 9 ) ( 9 2 年一9 4 年) 。在此基础上，我们对时滞为1 的动态确定性模 型，带投资矩阵即x ( f ) = 4 ( f ) x ( ，) + b ( r ) x ( f + 1 ) 一x ( f ) 】，这里彳( f ) ，8 ( 0 均为确定性 的，以及时滞为i 的动态随机性模型，带投资矩阵，即( 爿， ) k ， 占，) kf i d ；j | g j g 矩阵独立的模型x ，( 国) = 4 + 。( ) 置+ ，p ) + e p ) ( 置+ ) 一z ( 纠) 进行了研究，得到了 一些结果。 1 2 预备知识 1 2 1 产( 量) 综一产出向量 把组成社会生产的多种重要产品或劳务按号码排列起来如1 ，2 ，。i 一，m 。其中第 f 种产品的单位以p ，表示之。例如第f 种产品是钢，则a 就是吨；若第f 种产品是电 p 就是瓦。 如果第f 种产品的数量是x 个n 单位，则整体可以用矢量 爿= ( x 1 一，x 。) 表之a 这个矢量便称为产综( 产量综) 。整个国民经济的变化便是产综的变化一整体 - 2 一 南京航空航天大学硕士学位论文 的变化。 例如开始生产时的产综是 x ( o ) = ( x ，x ) 第年的产综是( ) ，于是整个经济的变化是 x ( o ) 一x ( 1 ) 寸斗x ( j ) a 研究经济的变化发展就是要研究产综的变化情况。各产品按同一比例增加，用数 学式子表示就是z ( ) = q ( o ) ，成倍增长则可以表成为口，= 盯。，盯是逐年的增长倍 数。 1 2 2 消耗系数方阵( 或结构方阵) 设初始产综是x ( o ) = ( x ：”，x ? ) 。第一年度将，类产品分配给f 类的数量( 用于 再生产或其他目的) 设为4 0 ，于是整个分配情况可以通过表l 来表示 表1 l2 女 f 、 l x 铲垲搿x 等 2 j 辨，篓础j 2 砰嚣搿圮 础嘏础z 竺 总产量，p避1妒l 因此得到 x = ：x p ( 1 - 1 ) 用产综的矢量形式来表示，就是工( o ) = ：，z ( o ) ( f ) ，这里x ( o ) ( f ) 表示分配给第f 类 的产综。 二耋塾查丝主当塑型一 一年( 或其他单位时间) 后所生产出的产综是 x o ) = ( x t ”，x ! ) 。 ( 卜2 ) 命 口p = x x 乳p ，只) 。 ( 1 3 ) 它的意思是：每生产一个p 单位的f 类产品要消耗口，个单位的第，类产品a 以( 卜3 ) 式代入( 卜1 ) 式得到 x ；= ：d ，x ：“ ( 1 4 ) 或写成矩阵形式就是 j ( 0 ) = x ( 1 ) a ， ( 卜5 ) 或 x ( 1 、= x ( o ) a 一， ( 卜6 ) 这里a = ( 口? ) ，1 f ，j ，l 称为第一年度的消耗系数方阵或结构方阵。 如果消耗系数方阵a 不因年份而变，那么连续施行，次，便得到第，年所得的产综。 x ( t 、= x ( o ) x “ ( 1 7 ) 1 2 3 特征矢量法 命g 表示a 的最大正特征根，已知对不可分拆的a 相应于g 有( 除相差一比例 正因子外) 唯一的正元素矢量! 使 u a = g ! ； ( 卜8 ) 同样有唯一的正元素矢量! ( 除一比例正因子外) 使 a v = g ! ：， ( 1 9 ) 这里v 表示v 的转置列矢量。 如果( 0 ) 就是特征矢量! ( 习惯上对应于g 的其他正元素特征矢量一定等于 口“，口是一正数) ，那么由归纳法容易证明 壹塞堕至堕蒌盔堂堡主堂笪丝苎一 x ( ，) ：i x ( o ) 占 ( 1 一l o ) 这说明了，如果x ( o ) 是a 的特征矢量，也就是说，如果投入生产的产综各部分正 好按特征矢量各分量的比例安排，那各部门的生产量都将以上的倍数成倍增长，并且 g 可以证明增长速度不可能超过上。即现阶段的生产情况下，如果依些的比例组织安排 g 生产，将会得到最高的增长速度。 不仅如此，还可以证明：如果x ( o ) 与些不成比例，则生产情况一定会失去平衡， 最后出现危机。 1 3 各章内容介绍 本论文共分六章，第一章给出了本论文的一些背景知识，基本概念及预备知识。 内容包括宏观经济模型研究的社会对象、目标及意义，宏观经济模型的常用方法、产 生的历史、数学研究的进展，产( 量) 综、消耗系数方阵( 或结构方阵) 、特征矢量 法 第二章介绍了华罗庚和陈木法、李勇的主要结论，即关于齐次的无消费的投入产 出模型和关于齐次的随机投入产出模型的研究；第三章主要介绍了宏观经济均衡发展 的理论，即关于齐次的动态投入产出模型的研究。 第四章、第五章是本论文的主体。第四章对时滞为l 的动态投入产出模型，进行 了深入研究，将随机因素逐步考虑进去，即投入产出消耗系数矩阵为随机的情况，得 出了：在较弱的条件下，从决定性初始产综出发，经济必定走向崩溃。 第五章在第四章的基础上，进一步扩大研究范围，将随机因素全部考虑进去，研 究时滞为1 前向延迟型随机动态投入产出模型，利用概率分析，马氏过程的工具，研 究此类模型的经济稳定增长解的存在性问题：对随机投入产出消耗矩阵，随机投资系 数矩阵逐年不同的一般情况，得到了经济稳定增长解不存在的结论，即经济崩溃时间 r ) 为无穷大的概率为零，从而，从数学上证明了经济不断调整的必要性。 第六章为结束语。 二耋垫查丝兰坐堡型一 第二章关于无消费的投入产出模型 2 1 齐次的无消费的投入产出模型 假设社会生产的各种重要产品编号为1 ，2 ，m 。以x = ( ，x 。) r 表相应的 产量( 单位固定) ，即产综。假定根据目前的生产能力，已知每生产一个单位的i 类产 品，需要消耗口r 个单位的类产品。矩阵4 = ( a 扩) 表示目前的生产效率或生产能 力，即为消耗系数方阵或结构方阵。从初始产综x ( o ) 出发，年后的产综x ( 1 ) 应满 足 x ( o ) = x ( 1 ) a o ( 2 1 ) 若不计消费( 带消费的情形后面介绍) ，即把第h 一1 年的产综全部投入再生产那么到 了第疗年，就有 x ( n 一1 ) = x ( n ) a “ ( 2 2 ) 作为基本模型，假定彳州亏n 无关。即关于时间齐次，并记作a 。此时，有 x ( n ) = x ( o ) a - - n ，n l 。这样，由初始产综x ( o ) 和结构方阵一刻画了第，1 年的产综。 这就是齐次的投入产出模型。闯题是：对于何种x ( o ) 与a ，x ( n ) 的增长速度最快? 而对于其他的x ( o ) 与4 ，经济如何发展? 作为产综，当然应要求x ( n ) 0 ( 即各分量均为正) 。但因一”未必非负，因而有 可能出现( 刀) 的某个分量“0 。 定义2 - 1 称t = m i n n 1 ：存在i 使z j 町0 为崩溃时，约定m i n q t = + o o 。 定义2 - 2 称m 阶非负方阵彳= ( 口。) 不可约，如果对于每对f 种i ，存在有限 多个i i ，一，使 6 i l l a f d ， ， a 。“ 0 。 熟知，任一个不可约非负方阵a 总有唯一正的左( 右) 特征向量( 不计常数因子) ， 壹壅塾窒堕盔盔堂堡主堂垡堡苎一 它们对应于a 的最大特征根( 总是正的) 。下面是华罗庚的主要结果 基本定理设彳= ( n 口) 为不可约非负方阵，它的左正特征向量为u ，对应于最大 特征根p = p ( 彳) 。假定一可逆，那么x ( h ) 的最好的增长速度是土p 。此时 x ( ) = p - x ( 0 ) ，彳( 0 ) = 些。反之，若x ( 0 ) u ( 忽视正常数因子) 且一。1 不是非负的 则t o 对一切f ，成立】 0 。 ( h ：) p a 有一零行或零列】：0 。 2 2 2 崩溃概率 使用上面的记号，并假定 p d e t a = 0 】_ 0 。 我们关心的是从非随机的x ( o ) 0 出发， ( 2 5 ) x ( n ) = ( o ) m n 1 ( 2 - 6 ) 的崩溃概率p f 0 而且m ：依分布收敛于r l ，其中r 和分别为正的列、行向量，使得 燃r ( 扣1 ，二三( ) = 1 ，黜( 2 - 9 ) 易见| i 砑：i l 【 0 ，n 矗，从而 x ( 月) 0 x ( o ) m ， 0 x ( o ) m ：1 o ，h 1 。 故p 7 = 】= p r ( ) 0 ，v n 1 】= p 【x ( o ) 肘： o ，v n 1 】。 我们将证明如下结果： 定理2 1 设( 日。) ，( 2 ) 和条件( 2 5 ) 满足，给定j ( o ) o - m 。a 。x x j 。= 】，其中 x j o 表x ( o ) 的第f 个分量，则p t = 叫p r = x ( 0 ) 。特别地，如p r = z ( 0 ) 】= 0 ，则 塑塞堕至堕盔盔兰堡主堂焦堡墨 从x ( o ) 出发，以概率1 走向崩溃。 证明：由s k o r o h o d 定理( 见 3 ；第9 页，定理2 7 ) 知，我们可构造适当的概 率空间，使得上述引理中的依分布收敛变成黜收敛，既存在p 零集人，使得在上， m 。一r l n 寸o o 。 记双面：z ( o ) 万 今固定脚a f ，如 x ( h ) ( 山) o ，v n l ， 则必定存在子列= 仇( c o ) ，使得 ! x ( n k ) ( ) = - x ( ) o ，。】”。 然而 彳( o ) 2 i m x ( o ) m ( ) 。m ( 脚) 】 = 鳃 x ( o ) m “ ) 。m “ ) 。! i m l x ( n t ) ( ) m “( 珊) l = x ( c o ) l ( c o ) r + ( c o ) 有此及x ( 0 ) ，l ，r 0 导出 c = x f ( 0 ，o o ) ，a s 进而由m a x x ：o ) = m a x r ( i ) = 1 知c = 1 ，a 置故在a c 上，有 l s f m1 5 i s m t = 叫c 【r = z ( o ) ，口矗。证毕。 二耋垫查丝兰当堡型 3 1 引言 第三章齐次的动态投入产出模型 宏观经济均衡发展的理论 动态投入产出模型最早由wl e o n t i e f 提出，因其稳定解问题没有解决，使它的应 用十分有限：我们对纯生产型模型进行了研究，得到了经济可运行的稳定解集。设 a = ( 口。) ，为m 个部门投入产出消耗系数矩阵，b = ( 6 。) 为川个部门投资系数矩 阵，( f ) = ( x 。( ，) ，x ：( f ) ，x 。( ，) ) 7 为第f 个生产周期朋个部门的产出列向量，由【4 5 】 我们构造数学模型如下： z ( f ) 一a x ( t + 1 ) = b o ) 【x ( ，+ 1 ) 一x ( f ) 】 ( 3 - 1 ) 由于绝大多数投入产出矩阵是不可约的，且任一部门的生产活动中至少要消耗两 个部门的产品；故以下设4 为不可约、可逆、每一行至少有两个非零元素的非负矩阵， 并且a + b 可逆。显然，存在a 的唯一p e r r o n 向量6 1 x 0 ，使a x = p ( a ) x ，这里p ( 爿) 为a 的谱半径且是4 的最大特征值。由m a x 口， o ，b o ，m a ) 【口f 0 为 ( ，一彳) 。1 口+ 研的打向量，有 ( a + b ) 。( ，+ b ) x ( f = 1 , 2 ，m ) ( 3 - 2 ) 故知x i ( f _ l ，2 ，肌) 是( 4 + 口) 一1 ( ，+ 丑) 相应于l + _ 1 的特征向量：1 + 士是 以 ( 一+ b ) 。( + b ) 的特征值。由x 。 0 的唯一性及( 3 2 ) 知引理成立。 以下，令d = ( ，一彳) 。( 彳+ 曰) ， ，五：，五。为d 的特征值，五= p ( d ) x 。，2 ，x 。分别是d 相应于 ，五2 ，a 。的右特征向量，且z 0 ；令 e = 蹦= ，。 n 时 ( ，+ d 。) x ( 1 ) 0 的充要条件是x ( 1 ) s 。 定理3 - 1 则说明当经济在一定范围内发展时会自然的趋于平衡发展；而s 正是经 济的可运行集。 利用 8 】同样的方法，亦可证明当x ( t 一1 ) 为d 的右特征向量时， x ( t ) = ( ，+ d “) z ( ，一1 ) ，描述的经济增长速度最快。 3 3 经济均衡发展理论 定理3 2 经济均衡发展的充要条件为x ( m ) 是d 的右正特征向量。 得 证明：必要性。因经济处于均衡发展状态，故存在口 0 ，使幽= 耐( 1 ) ，由( 3 - 3 ) ( ，+ d 。) 1 x 0 ) = 烈7 ( 1 ) ( 3 - 4 ) 即口是( ，+ d 。1 ) 1 的正特征值，x ( 1 ) 是( ，+ d 。) 1 对应于口的右正特征向量，由引理 2 及证明知，( ，+ d 一) “的特征值为( 1 + 2 。- 1 ) t - l ( 1 + 2 ：- j ) “1 ，( 1 + a 。) “，其对应的m 个右特征向量为爿，z 2 ，x 。且x ， 0 ，x 2 ，x3 一，x 。为变号向量，故由( 3 4 ) 知 一。一 x ( 1 1 = x 。 充分性。由p ( d ) 0 及( 3 3 ) 、定理3 1 、引理3 2 知。对任r 0 x ( o = ( ，+ d - 1 ) 卜1 z ( 1 ) = ( 1 + p - 1 ( d ) ) 卜1 x ( 1 ) ( 3 5 ) 即经济均衡发展。 定理3 - 2 给出了经济均衡发展时期经济的增长率。周知r 时期的生产产出为工( f ) 时它用于生产消耗的投入是a x ( t ) ；由( 3 - 5 ) 得经济均衡发展时，f 时期用于生产消 1 ， 南京航空航犬火学硕士学位论文 耗的投入为( 14 - p “( d ) ) 。1 a x o ) 。当然，我们研究的是投资时滞为个周期、且不考 虑市场需求影响例的理想环境；事实上，现实比我们研究的情况要复杂的多。尽管如 此，我们研究的状况仍不失为最普遍、最基本的状况。 一类动态投入产出模型 第四章一类独立的动态投入产出模型( i ) 4 1 引言 宏观经济均衡发展的数学理论中，研究了一种投入产出模型，其中的投入产 出消耗系数矩阵为确定性的，然而在现实中，由于随机因素的影响，投入产出消 耗系数矩阵往往不是确定的。本章就在此投入产出模型的基础上，研究了投入产 出消耗系数矩阵为随机的情况，得到了一类动态随机投入产出模型，并且证明了： 在较弱的条件下，从决定性初始产综出发，经济必定走向崩溃。 设a = ( 口。) 为m 个部门投入产出消耗系数矩阵，b = ( b 。) 。为m 个部门投 资系数阵，x q ) = ( x 。( f ) ，x ：( f ) ，x 。( f ) ) 7 为第f 个周期i n 个部门产出列向量，前 面7 i 我们研究了确定性模型 z ( r ) 一彳o + 1 ) x ( t + 1 ) = b 0 ) 肖o + 1 ) 一x ( f ) 】 ( 4 - 1 ) 通过研究我们得出了当经济在一定范围内发展时会自然的趋向平衡发展，以及经 济的可运行集。当然，我们研究的是不考虑市场需求等影响的理想环境，事实上， 现实中我们研究的情况要复杂，作为m 个部门的投入产出消耗系数矩阵a ，往往 不是确定的，现在我们转入随机模型，此时我们仍假设b ( t ) = b ，即每年的投资 系数矩阵为确定性的。 4 2 新模型的提出 若 彳。) 。为，i d ，一。表示第行年的投入产出消耗系数矩阵，4 几乎处处非负不 可约且可逆，a o ，口 对( 4 1 ) 式，整理得 x ( 0 = ( ，+ d , - 1 ) 。z ( 2 ) = ( + d f l ) 。( 十d ；) 。1 x ( 3 ) = ( + d i l ) 。1 ( ，+ d ；1 ) ( ，+ d 1 1 ) - 1 x ( 胆) 南京航空月i 天大学硕士学位t i 塞 即x ( ) = ( ，+ d - i - i ) ( ，+ d i ) x 0 这里，d 。= ( j a 。+ 1 ) “( 4 。+ l 十b ) ，n = 1 2 ，一，n 。 ( 4 2 ) 由 a 。) 甜为f i d ，a 1 0 ，口矗) ，= ( ，一爿肿1 ) 一( 爿。+ l + b ) ，一= 1 ，2 ，一，胛，且 b 0 可得： 见) i i dd i 0 ，d 。 引理4 - 1 d 。) 。勾一列几乎处处非负不可约阵。 证明：假设研。) 。是义在概率罕间( q ，f ，p ) 上，爿乙乎处处非负不可约，即 除掉一个测度为零的集。外，彳。；一 负不可约的。所以在帆上，设4 。= ( 口。) 。由 a 。o ，b 0 ，爿。不可约，匝m 1 ，f l a x 口州 存在一个非零元素c m 0 ，因为a 。+ b 的女行 至少有两个非零元素( 任部门在t 产活动中至少要消耗两个部门的产品) ，故 c ( 爿+ 刀) 的第行至少有两个非零元素，此与假设矛盾，故：c 。( _ 。+ b ) 不可约， 即d 。非负不可约。除掉一个测度为零的集= u 。外，d 。为非负不可约的，所以 d 。为一列几乎处处非负不可约阵。 引理4 - 2( 爿。+ 口) 一。( ，+ 口) 几乎处处有且只有一个右特征向量 证明：假设 4 。) 定义在概率空间( q ，f ，p ) 上，爿。几乎处处非负不可约，即 除掉一个测度为零的集。外，a 为非负不可约的。所以在。上，因( ，一爿。) 。可逆 a 。+ 口可逆，故( 一爿。) - 1 ( 一。+ 曰) 为非负不可约且可逆的矩阵，e h q l n1 证明 知，( ，一一。) 一1 ( 爿。+ b ) 的每一行至少有两个非零元素；令硝，五妒碟为 ( ，一爿。) 一1 ( 爿。+ b ) 的特征值，不妨设 ，= 所( ，一一。) 1 ( 爿。+ b ) 】，x j ”，x p x ? 是 一类动态2 入产出模型 ( ，一爿。) “( 4 。+ b ) 相应于硝，鸳，砖的右特征向量。由，1 定理知 ( i - a 一) “( 4 。+ 曰) 的尸e 啪胛向量存在唯一；不妨设x o 为( ，一爿。) 一( 4 。+ b ) 的 p e r r o n 向量，有 ( a 。+ 曰) 。( ，+ b ) 。j ” = ，+ 【( ，一彳。) 。( 1 。+ b ) 1 ) ， + 专科_ ( 1 + 者” ( 4 。3 ) 故卅”( f - 1 ，2 ，川) 是1 + l 4 ”的特 i 向量，i + 1 4 一是( + 口) 一1 ( ，+ b ) 相应于 x j 川( f = 1 ，2 ，埘) 的特征值，故由z f 町 i 的唯一性及( 3 ) 知，除掉一个测度为零的集 2 划n 外，( 以+ 口) - 1 ( ，+ b ) 有且只有一。个右正特征向量，所以引理成立。 4 3 见k 为i i d 的离散矩阵列时的崩溃概率 定义4 - 1 设肖( f ) 为第，周期的产出列向量，称经济在第周期崩溃，若存在 n 0 ，使得当f n 时，x ( t ) 是变号向量。 令瓦= m i n n 1 ；存在，使得p o ) ，这里尹表示x ( ，奶的第个分 量，= 1 , 2 ，棚，称瓦为崩溃时。 由崩溃的定义可以看出，经济崩溃时的取值与 见) 。的取值有关。下面考虑 ( j 9 。 一是一列f i d 的离散随机阵，设( d 。 。定义在概率空间( q ，f ，p ) 上。 若存在d r 使得 p ( d l = d ) = p ( d 2 = d ) 一= p ( d = d ) = ：p 若p 2 l ，则d j = d 。一。见一i 一d ，( 4 2 ) 式变为确定性情形，即( 4 1 ) 式， 前面已经研究了。 若o o ，a s 存在s ，4 吏p n 。( f ，) o 对一切f ，j 成立】 o ( h 2 ) ；p ( ( ，+ d i ) “有一零行或零列= o 且 p ( d e t ( i + d l - 1 ) - 1 = 0 1 = 0 ( 4 - 4 ) 成立。 我们采用适当的随机规范化：面。= ，i t n ：l i ，。表示。的转置矩阵。其中对任m 二耋垫查丝兰些塑型 阶方阵b ，l i b i i = m 。a ；。x 面i b ( ，刮，则有下列结论即“弱稳定性” 引理3 ( 由 3 】中引理2 ) ：设( 日。) 和( h 2 ) 成立，则以概率1 ，当月充分大时 n 。 o 且：依分布收敛r l ，其中r 和工分别是正的列行向量，使得 m 。a ；。x r ( f ) = 1 荟谢) “，乱且 我们将证明如下结果： 定理4 ：设( 日。) ，( 日，) 和条件( 4 ) 满足，给定x 0 ) 0 ，m a x x ，( 1 ) = 1 ，则 i i e m 4 p ( r o = 。o ) p ( z ( 1 ) = 以+ ) ，r 表示l 的转置 证明：我们由 1 0 】基于【2 已知，能够构造适当的概率空间，使的上述引理中依分 布收敛变成a s 收敛，即存在，零集a ，使得在人c 上，：_ r l ( n 0 0 ) 。 记霄。= i 1 x ( 1 ) ，对固定的。a c ，如j + 1 ) ( 脚) o ，v n 1 ，则必定存在子列 仇= ) 使得! i m z 。( ) = x ( c ，) o ，o o 。即m 维的实列向量，f 。表示m 维转置。 ” 然而， x ( 1 ) = ! i m i n 。( ) ：x ( 1 ) = ! i m i n 。( ) 0 x ( 1 ) 】 4 = ! i m m 。( ) 。：( ) 】 t 一 一f r + 洄) 。 由此及z ( 1 ) ，l ，r o 导出c = r + x + ，所以x ( 1 ) = 吐+ 。由麟x ，( 1 ) = 1 ，荟工( ) = 1 一舅 知 巩= 0 0 】c ( 1 ) = 吐+ ，c 1 ， 所以 p ( 瓦= ) sj d ( x ( 1 ) = 以) 定理5 ：在一般独立情况的离散分布下，从初始产综x o ) 出发，经济必定走向崩 南京航空航犬大学硕士学位论文 溃。 证明： p ( 瓦= o o ) p ( x o ) = 以+ ) = l i m p ( ( i + d i - 1 ( ) ) _ 1 ( ，+ d f l ( ) ) ( ，+ d ：1 ( 出) ) = n ，) = ! 鳃尸( ( ，+ d m - i ，) - 1 ( ，+ d 二：) ( ，+ d 二) = ，) 5 1 i m 。p ( d - ( ) 2 d d 一( ) 2 见q ) = 兀只，专o ，寸。) 。 l = l 注：这里对某矩阵占，b 表示b 的共轭转置矩阵；b 表示b 的共扼矩阵。 对连续分布的情况，比较复杂，这里我们不讨论了，但是由于随机性的控制，我 们可以推出最终崩溃概率为一。 4 5 结论 总之，对于随机的情况，我们可以得出从决定性的初始产综出发，经济必定走向 崩溃。 一类动态投入产出模型 第五章一类独立的动态投入产出模型( n ) 5 1引言 s a r g a n j d 从数学上指出1 l e o n t i e f 模型的内在不稳定性，由此引发数学上的 争论1 4 1 ，并使数学在该领域的应用研究取得重大结果 1 2 1 【15 i 。近年来，又有许多学者 【1 6 1 【l7 1 8 1 使用规划等方法避开此模型的不稳定性，找出了此模型的稳定增长解。对应 于不同的经济体制，动态投入产出模型也表现出其形式的多样性。对时滞为1 的前向 延迟型动态投入产出模型，我们已经证明其稳定增长解1 1 9 ”l 。最近，曾立升 i g l 提出 了取消a 为不可约的条件后，非负矩阵正向量唯一存在的条件。现实中，由于度量误 差、经济技术的变化、管理技术的变化等众多原因，使投入产出消耗系数矩阵及投资 系数矩阵在实现时是随机波动的 n o l “】【”l ；因此，有必要研究随机动态投入产出模型。 另一方面，由于思维方式的不同，概率论方法也会在动态投入产出模型的研究中得到 意想不到的效果。 本文在上述工作的基础上，研究时滞为1 前向延迟型箍机动态投入产出模型，利 用概率分析，马氏过程的工具，研究此类模型的经济稳定增长解的存在性问题；对随 机投入产出消耗矩阵，随机投资系数矩阵逐年不同的一般情况，得到了经济稳定增长 解不存在的结论，即经济崩溃时间r ( c o ) 为无穷大的概率为零，从而，从数学上证明 了经济不断调整的必要性。 本章先证明随机动态投入产出模型确定的产出序列是一个马氏过程，然后证明此 马氏过程的崩溃时间t ( c o ) 为无穷大的概率为零。 5 2 预备知识 设a ( t ，) 为第，年的m x 川投入产出消耗系数矩阵，口( ，0 3 ) 为第，年的m x m 投资 系数矩阵，不妨设a ( t ，) 、b ( t ，) 为取可列值的随机矩阵，以适合实际需要；x ( t ，训 为第，年的产出列向量。我们考虑如下模型： 南京航空航天火学硕士学位沦文 x ( t ，c o ) = a ( t + l ，c o ) x ( t + 1 ，) + b ( t ，c o ) x ( t + l ，c o ) 一x ( t ，c o ) f = 1 , 2 ，( 5 一1 ) 称( 5 1 ) 为时滞为l 的前向延迟型随机动态投入产出模型。 定义5 - 1 若存在常数口 0 ，及正向量x 0 ，使得当x ( t ，c o ) = z 时， x ( t + 1 ，) = a x ( t ，山) ，对任意f 1 成立，则称z 为( 5 1 ) 的稳定增长解，口为增长率。 若p ( a ( t ，c o ) = 爿) = 1 ，p ( b ( t ，c o ) = b ) = 1 ，并依习惯以n 代r 表示非负整数，则5 - 1 ) 变为： x ( n ) = a x ( n + 1 ) + 8 x ( n + 1 ) 一z ( 行) 】 ( 5 - 2 ) 令爿( ，一彳) 。印+ 曰) 】表示( ，一彳) “( 彳+ 占) 的最大特征值，我们有如下结论f z ，】： 定理5 - 1 投入产出模型( 5 2 ) 有稳定解的充要条件是爿( 月) 是( ，一4 ) 一1 ( 爿+ 1 3 ) x 寸 应于p 【( ，一4 ) “( a + b ) 的右正特征向量。 令d = ( ，一爿) 。1 ( 爿+ b ) ，设丑，五：，a 。为d 的特征值，且丑= p ( d ) ， x ，x 2 ，x 。分别是d 相应于丑l ，旯2 ，咒。的右特征向量，且x 。 0 为d 的p e o 月向 量。再设 e = z ：d x 2 置0 o ，口、 | 。x t t e 口r ，j = 1 , 2 ，珊；f 表示矩阵转置，g = ( x 。，x ：，z 。) 为d 的特征向量矩阵， 爿，= ( x m 工m ，j 。，) ，i = 1 , 2 ，m ；则有如下线性方程组成立 甜l ，+ 口1 x 2 f + + 口一l x ，= x “，i = 1 , 2 ，m 一类动态投入产出模型 故由克莱姆测确a = 钭，酬小b x 冀2 1 鼍 旧l ，x 。o l x l mx 2 ，x ，工2 l ， 2 1 ，x 2 2 ， ，x m i ，x m 2 ，一， ，x m 因为x 。j , i = l ，2 ，m ；j = l ，2 ，卅为已知且d 可逆，故i g i 0 ；因而我们总可以找到适 当的x 0 ，i = 1 , 2 ，m ，使得口s0 成立：所以，s 非空。证毕。 我们已有1 ”1 定理5 - 3 对模型( 5 2 ) ，若x ( 1 ) s ，则存在有限数，使得当” n 时，经 济崩溃。 对( 5 1 ) ，若令 r ( c o ) = m i n n ：n 1 ，存萄，使。( 月，) 0 ) 这里，x ，( 胛，) 表示x ( n ，c o ) 的第，个分量。j = 1 , 2 ，m ；则称随机变量t ( c o ) 为崩溃 时。由崩溃时的定义可见，t ( c o ) 的取值与a ( n ，c o ) ，b ( n ，国) 的取值有关；t ( c o ) 取有限 值意味着经济经过t ( c o ) 时间要崩溃。 5 3 随机动态投入产出模型所确定的产出序列是一个马氏过程 其中 现在考虑随机动态投入产出模型，由( 5 - 1 ) 可得 x ( n ，c o ) = ( ，+ d ( n ，c o ) 一) ( ，+ d ( n 一1 ，c o ) - ) - ( ，+ d ( 2 ，c o ) 一) x ( 1 ) ( 5 3 ) d ( t ，) = ( ，一a ( t ，) ) ( 爿( f ，) + b ( t 一1 ，c o ) ) f 2 由x ( n ，) 为第n 年的产出列向量，记x ( n ，c o ) 7 为x ( n ，) 的转置，由( 5 3 ) 式两端转置 得： x ( t ，c o ) 7 = x o ) 7 【( ，+ d ( t ，c o ) “) ( ，+ d ( t 一1 ，0 2 ) 一( ，+ d ( 2 ，c o ) 。) 】7 = 爿( 1 ) 7 ，+ ( d 7 ( 2 ，c o ) 。) ，+ ( d 7 ( ，) ) 。1 不失一般性，我们有 x ( n ，m ) = x ( n 一1 ，c o ) ( 1 + d ( n ，c o ) “) ( 5 - 4 ) x x x 南京航空航大人学硕士学位论文 令c 。= ，+ d ( n ，c o ) ，有 x ( n ，c o ) = x ( n 一1 ，c o ) c 。) m ( 5 5 ) 设( q 。，3 。，p ，) o ) 是一族概率空间，x c 每- + n 1 ，若q 。为( q 。，3 。，l ) 上的m 阶随机矩阵，且z r 及fe 卢( r ) ，定义 p ( n 一1 ，z ；n ，r ) = p l ，( z c ，1 1