（系统工程专业论文）随机利率下的人寿保险精算模型研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 人寿保险是一种长期性的经济行为，投保期间，政府政策、经济周期等因 素都会造成不确定性，即带来一定的风险，因此采用固定利率可能会带来预期 与实际之间的较大偏差。人们开始注意到，由于利率的随机性产生的风险，对 保险公司来说是相当大的。根据传统的精算原理，由死亡率随机性产生的风险 可以通过出售大量的保单来分散。但如果保险公司出售的每张保单采用与实际 十分接近的利率，这样利息的风险只单一的存在于保险公司一方，一旦发生， 可导致保险公司破产。保险公司为了减少因利率的调整而可能导致的损失，往 往在费率计算时将保险中使用的年利率定得较实际为低，这样势必造成投保人 增加保费负担，又导致了参加保险人数的减少。从而，减少利率不确定性的更 好的办法就是采用随机利率模型。 人寿保险和年金保险是寿险经营的基本形式，本文对这两种保险形式的精 算技术进行重点研究，分别建立了随机利率下全离散型以及连续型的人寿保险 精算模型。在连续的条件下，把随机利率w i n n e r 模型进行了推广，建立了在死亡 率服从均匀分布下的寿险精算模型，并由此给出两种特殊年金给付的精算现值模 型。 本文内容包括五个部分： 第一章是绪论部分，主要阐述了随机利率下的人寿保险精算模型研究的研究 背景，研究意义，研究目的和研究方法。 第二章从利息理论的基本原理着手，分析利息的各种定量的度量，利息度量 中所涉及的基本原则，常用的度量方法。 第三章比较系统的论述了固定利率下的人寿保险精算基本原理：包括精算现 值的基本定义、生存函数的性质、确定年金的几种形式、生命周期表在制定死 亡率假设时的重要作用。 第四章分别建立了随机利率下全离散型以及连续型的人寿保险精算模型。全 离散的条件下假设利率服从独立同分布的正态模型：连续的条件下，把随机利 率w i n n e r 模型进行了推广，增加了泊松分布模型部分。然后根据人寿保险精算 的基本原理，推导出这两种随机利率下生存年金、寿险、均衡纯保费与损失变 量、纯保费责任准备金的模型。 第五章针对上一章推出的人寿保险精算模型，列举了实例进行计算。最后探 讨了模型在实际运用可能会出现的问题。 关键词：随机利率人寿保险精算模型 武汉遴王大学硬士学短论文 a b s t r a c t l i f ei n s u r a n c ei sak i n do fl o n g - t e r me c o n o m i ca c t i o n g o v e r n m e n t sp o l i c i e s , e c o n o m i cc y c l ea n de t cw o u l dc a u s eu n c e r t a i n t i e sd u r i n gt h ei n s u r a n c ep e r i o d ，w h i c h a l s om e a n st h er i s k t h e r e f o r e ，t h eu s a g eo f 触c dr a t ew o u l dl e a dt oah u g ed i f f e r e n c e b e t w e e nt h ee x p e c t e dr e s u l ta n dt h er e a lr e s u l t p e o p l eb e g a n t on o t i c et h a tt h er i s kc o m et o g e t h e rw i t ht h er a n d o m i c i t yo ft h e r a t ei sh u g ef o ri n s u r a n c ec o m p a n y a c c o r d i n gl ot h et r a d i t i o n a la 娃u a r yt h e o 搿, t h e r i s kc a u s e db yt h er a n d o m i c i t yo fd e a t hr a t ec a nb ed e c e n t r a l i z e db ys e l l i n gl o t so f i n s u r a n c e ss l i p s ，b u tt h es i t u a t i o ni sf ft h ei n s u r a n c es l i p s r a t ei sq u i t ec l o s et ot h er e a l r a t e ，t h er i s kw i l lo n l yt a k e nb yt h ei n s u r a n c ec o m p a n y , o n c ei th a p p e n ，t h ei n s u r a n c e c o m p a n yw o u l db a n k r u p t i no r d e rt od e c r e a s et h er i s km i g h t c a u s e db yt h ec h a n g ei n r a t e ，i n s u r a n c ec o m p a n y u s e dt ou s eac o m p a r i s o nl o w e rr a t e ，b u tt h i sw o u l di n c r e a s e t h ei n s u r a n c eh o l d e r sc o s t , l e a dt ot h ed e c r e a s ei nt h en u m b e ro fi n s n r a n c eh o l d e r s t h e r e f o r e ，t h eb e t t e rw a yt os o l v et h i sp r o b l e mi st ou s er a n d o mr a t em o d e l t h el i f ei n s u r a n c ea n dt h ea n n u i t yi n s u r a n c ea r et w of u n d a m e n t a lm o d e si nt h e l i f ei n s u r a n c eo p e r a t i o n ，t h i sa r t i c l et ot h e s et w ok i n do fs a f ef o r m se s s e n c ec a l c u l a t e d t h et e c h n o l o g yc o n d u c t st h er e s e a r c h ，s e p a r a t e l yh a se s t a b l i s h e du n d e rt h es t o c h a s t i c i n t e r e s tr a t et h ee n t i r es e p a r a t ea sw e l la st h ec o n t i n u a ll i f ei n s u r a n c ef i n ec a l c u l a t e s t h em o d e l m d e rt h ec o n t i n u a lc o n d i t i o n 。c a r r i e do nt h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e w i n n e rm o d e lt h ep r o m o t i o nt oe s t a b l i s hh a so b e y e di nt h em o r t a l i t yr a t eu n d e rt h e 胡v e nd i s t r i b u t i o nt h el i f ei n s u r a n c ef i n et oc a l c u l a t et h em o d e l ，a n df r o mt h i s p m d u c e dt h ee s s e n c ew h i c ht w ok i n do fs p e c i a la n n u i t i e sp a i d t oc a l c u l a t ew a s p r e s e n t l yw o r t ht h em o l dt ob r e a k d o w n t 童et h e s i si n c l u d e s5s e c t i o n s ： s e c t i o nl ：e x o r d i u m , e x p l a i n e dt h es t u d yb a c k g r o u n d ，p u r p o s ea n dm e t h o d s e c t i o n2 ：s t a r tf o r mt h eb a s i cp r i n c i p l e s ，a n a l y z e dt h em e a s u r e m e n to fr a t e ，t h e b a s i cp r i n c i p l ei n v o l v e d ，a n dt h ec o m m o nm e a s u r em e t h o d s e c t i o n 3 ：u n d e rt h e 穗秘c h a p t e rq u i t es y s t e m a t i ce l a b o r a t i o nf i x e di n t e r e s tr a t e l i f ei n s u r a n c ef i n eh a sc a l c u l a t e dt h eb a s i cp r i n c i p l e ：i n c l u d i n gf i n ec a l c u l a t e st h e c u r r e n tv a l u et h eb a s i cd e f i n i t i o n ，t h es u r v i v a lf u n c t i o nn a t u r e ，t h ed e t e r m i n a t i o n a n n u i t ys e v e r a lk i n do ff o r m s ，t h el i f ep e r i o d i ct a b l e i nt h ef o r m u l a t i o n m o r t a l i t yr a t e s u p p o s i t i o nt i m ev i t a lr o l e 狂 武汉骥王大学疆士学经论文 s e c t i o n4 ：b u i l tu pu n d e rt h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t et h ee n t i r es e p a r a t ea sw e l la s t h ec o n t i n u a ll i r ei n s u r a n c ef i n ec a l c u l a t e st h em o d e l u n d e rt h ee n t i r es e p a r a t e c o n d i t i o nt h es u p p o s i t i o ni n t e r e s tr a t eo b e y si n d e p e n d e n t l yw i t ht h ed i s t r i b u t e d n o r m a lm o d e l ；u n d e rt h ec o n t i n u a lc o n d i t i o n , h a sc a r r i e do nt h es t o c h a s t i ci n t e r e s t r a t ew i n l l e rm o d e lt h ep r o m o t i o n 。i n c r e a s e dt h ep o i s s o n sd i s t r i b u t i o nm o d e lt ob e p a r t i a l t h e nb a s i cp r i n c i p l ew h i c hf i n ec a l c u l a t e da c c o r d i n gt ot h el i f ei n s u r a n c e ， i n f e r su n d e rt h e s et w ok i n do fs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e st os u r v i v et h ea n n u i t y ，t h el i f e i n s u r a n c e ，t h eb a l a n c e dp u r ei n s u r a n c ep r e m i u ma n dt h el o s sv a r i a b l e , t h ep u r e i n s u r a n c ep r e m i u mr e s p o n s 奄i l i t yr e s e r v e 如曩dm o d e l 。 s e c t i o n5 ：m a d ea l le x a m p l eo l lt h em o d e lb u i l tu pi n 辩懒4 ta n da l s ol i s t e dt h e p r o b l e mw o u l dh a p p e ni nr e a lp r a c t i c e k e y w o r d s ：s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，l i f ei n s u r a n c e ，a c t u a r ym o d e l t l l 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 选题背景与意义 自我国改革开放以来，人民生活水平的提高，我国寿险行业取得了迅猛的 发展，保费收入从1 9 8 0 年的4 6 亿元增加到2 0 0 0 年的2 1 0 9 4 亿元，年增长约 3 5 。但是由于我国近二十年经济发展速度较快( 国民生产总值年增长为9 7 ) ， 再加上自1 9 9 6 年5 月我国多次下调利率，一年期存款利率从过去的1 0 9 8 下降 到2 2 5 左右，利率波动较大，不仅对寿险产品的设计开发产生了很大的影响， 而且对寿险公司资产负债的稳定性产生了严重的冲击，最终导致了利率风险、 形成了利差损“。利差损严重时就会影响保险公司的正常运营、甚至被监管部 门强制停止营业。 保险产品的价格是与保险公司的利率假设密切相关保险人在进行费率厘 定时，需对未来的投资收益有一个较准确的预测，然后采取恰当的利率模型，来 计算保费如果采用的定价利率过低，则保费偏高虽然保险人会获得更多的利 润，但较高的保费不利于吸引更多的顾客：反之，保险人的投资收入难以平衡保 险人对被保险人的给付：而保险公司经营亏损，不利于保险人的经营稳定性因 此，研究保险公司利率模型对保险公司费率厘定的影响，有利于保险公司规避 投资的不确定性给费率厘定及准备金提取带来的风险，采取较稳妥的定价利率 同时，又有利于保险公司获得较好的市场份额 传统的精算理论中，都是假定利率是确定的，把利率假定为非随机的目的 在于简化所研究的问题。然而实际上利率具有随机性，寿险中的利率随机性是 一个风险产生的重要因素。 1 2 国内、外研究现状 人寿保险是一种长期性的经济行为，投保期间，政府政策、经济周期等个 各种不确定的因素都会给保险人或保险公司带来一定的风险，因此采用固定利 率模型而得到的保险产品可能会带来预期与实际之间的较大偏差。人们开始注 意到，由于利息随机性产生的风险，对保险公司来说是相当大的。根据传统的 精算原理，由死亡率随机性产生的风险可以通过出售大量的保单来分散。但如 武汉理工大学硕士学位论文 果保险公司出售的每张保单采用与实际十分接近的利率，这样利息的风险只单 一的存在于保险公司一方，一旦发生，可导致保险公司破产。保险公司为了减 少因利率的调整而可能导致的损失，往往在费率计算时将保险中使用的年利率 定得较实际为低，这样势必造成投保人增加保费负担，又导致了参加保险人数 的减少。从而，减少利率不确定性的更好的办法就是采用随机利率模型。在该 模型中，利率不再被看作固定的常量，而是被视为随机变量，称这种利率为随 机利率。 目前世界上众多学者对随机利率模型进行了研究1 9 7 1 年国外学者 j h p o l l a n d 首次把利率( 利息力) 视为随机变量，对精算函数进行了研究。其后 一批学者开始采用各种随机模型来模拟随机利率。1 9 7 6 年b o y e l 考虑了寿险与 年金中死亡率与利率均为随机的情况，即所谓的“双随机性”“相应的随机利 息的一般理论由p a n j e r 和b e l l h o u s e 在2 0 世纪8 0 年代初建立“，随后 g i a c c o t t o ( 1 9 8 6 ) ，d h a e n e ( 1 9 8 9 ) ，h i i r l i m a n n ( 1 9 9 2 ) 等有过这方面的研究“。 对于随机利率，他们都是以时间序列方法建模的，例如，白噪声过程、a r ( 2 ) 过 程和a r i m a 过程等”“。9 0 年代，一批学者利用摄动方法建模，得到了具有双随 机性的某些年金及寿险的一系列结果：b e e k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 年和1 9 9 1 年 分别得到了息力由o - u 过程( 即息力累计函数由) ，0 ) 一6 t + z ( f ) 建模，其中z ( t ) 为o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程，满足方程z p ) - g - p z ( s ) 协+ z 6 d 怯，k 是标准 的w i n n e r 过程，参数p 0 ，62 0 ，且有初始条件z o ) z 0 ，s 是与t 无关的随机 变量或实常数和w i n n e r 过程( 即息力累计函数由y o ) z b t + o ) 建模，其中w ( t ) 是w i e n e r 过程，6 也是与t 无关的随机变量或实常数) 建模的某些确定年金的前 二阶矩”，1 9 9 3 年又得到了息力由o - u 过程和w i n n e r 过程建模的终身寿险 给付现值的前二阶矩“，d e s c h e p p e 和g o o v a e r t s ( 1 9 9 2 ) 得到息力由w i n n e r 过 程建模的某些年金的矩母函数 3 8 、分布函数 3 9 】与l a p l a c e 变换 4 1 4 2 e m v a n n e s t e 等则给出了息力由w i n n e r 过程建模的某些年金的生成函数的一系列结 果”“。1 9 9 4 年，g a r yp a r k e 发表了在他博士论文中的一些结果。他研究了在死 亡所在保单年度之末等额给付的定期寿险，当保单数目趋于无穷时，每张保单 平均成本的极限，得到了这一极限随机变量的近似分布函数的递推公式”，还 得到了这一极限随机变量的前三阶矩”。d a v i d p e r r y 在2 0 0 1 年和2 0 0 3 年，将 随机利率采用反射b r o w n i a n 运动( r b m ) 建模，得到确定年金的期望值公 式o a b r a h a mz a k s ( 2 0 0 1 ) 也论述了随机利率下的确定年金的计算问题。 国内的吴金文和杨静平教授针对随机利率寿险模型，考虑一保单组的平均 给付额的性质，结果表明，在人数充分多时，在固定利率模型中，平均给付的 不确定性降低，而在随机利率的模型下，人数增加，生存的不确定性降低，但 2 武汉理工大学硕士学位论文 利率的不确定性仍然存在。何文炯、蒋庆荣( 1 9 9 8 ) 对随机利率采用g a u s s 过程 建模，得到了一类即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，并在死亡均匀分 布的假设下得到了矩的简洁表达式”。杨静平、吴岚“( 1 9 9 7 ) 讨论了n 年期 寿险的总体索赔量的极限分布。在利息力为白噪声条件下，得到了极限分布的 密度函数的递推公式。郎艳怀( 2 0 0 1 ) 将利息力用标准的w i n n e r 过程建模，给出 一类综合人寿保险模型的现值的前二阶矩“。 1 3 研究目标内容与思路 寿险经营最基本的问题是运用精算技术对经营风险进行评价，在此基础上 制定保单价格，估计保险经营的债务水平，从而保证经营的财务稳定性。人寿 保险和年金保险是寿险经营的基本形式，本文对这两种保险形式的精算技术进 行研究，分别建立了随机利率下全离散型以及连续型的人寿保险精算模型。 本文采取的研究方法技术路线：运用数理统计，保险精算的基本原理和方 法，充分借鉴和吸收国外关于随机利率的研究成果及实践，采用定性分析和定 量分析相结合，比较和归纳相结合的研究方法推导出随机利率下部分寿险精算 模型。 本文的主要创新点是：在全离散的条件下，假设随机利率服从独立同分布的 正态模型，再根据精算原理推导出相应的企业补充养老保险计划的精算模型；在 连续的条件下，把随机利率w i n n e r 模型进行推广，建立了在死亡率服从均匀分布 下的寿险精算模型，并由此给出两种特殊年金给付的精算现值模型。 3 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章利息的度量( 测度) 人寿保险是以人的生命为保险标的保险，在人的生命周期里，一直面临着 生、老、病、死等风险，人们可以通过保险得到经济安全保障，为了在较长时 期内平衡缴费水平，寿险通常规定为长期合同。因此，在寿险精算中，资金的 投资收益就显得非常重要，利息理论便成为人寿保险精算的基础。 利息理论包括：分析利息的各种定量的度量，利息度量中所涉及的基本原则， 常用的度量方法。利息的计算与积累函数的形式，利息的记息次数，投资时期 长短等有关。利息水平由本金额、利息率、资本投资使用期和记息方式四个因 素决定。记息方式有单利和复利两种。利息就其数量意义来说，是货币的租金 收入，用以赔偿出借者由于不再使用这笔出借的资本而蒙受的损失。初始投资 的金额( 资本) 称为本金，最终的总收入称为积累值也称为终值或本利和。积累值 与本金的差额就是利息的金额。利息与本金的比率称为利息率，简称为利率。 2 1 积累函数与金额函数 设t 为从投资之日算起的时间。理论上，时间可以用许多不同的单位来度量， 日、月、年等，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”。最常用的度 量时期是年。 初始时刻( t - - o ) 投资1 单位的本金，累计到t 0 时刻的价值，称为在t 时 刻的累计值，记为a ( t ) 。在任何时刻t 的积累值定义为积累函数a ( 1 ) ，它具有以 下三个特征： ( 1 ) a ( 0 ) = 1 。 ( 2 ) a ( t 1 通常是递增函数。若当t 增加时函数值减少将意味着利息为负，即 投资资金在经过一定时期后亏本。 ( 3 ) 通常利息连续增加，a ( t ) 是连续函数。若两个利息支付日之间不连续增 加，口o ) 便是间断函数。 第n 年的年利率f 。，n21 定义为： 。a ( n ) - a ( f n - 1 ) ( 2 1 ) a ( n n 、7 则有a ( n ) ；( 1 + ) d ( 月- 1 ) ， 月2 1 a ( n ) ；0 + 0 ( 1 + 0 ( 1 + ) ( 2 2 ) 4 武汉理工大学硕士学位论文 特别的，若每年的年利率都相同，e i 一f ，这样：a ( n ) = ( 1 + 矿 初始投资为k o 时，在时刻t 0 时的积累值记为彳o ) 称为金额函数或总量函 数。有 彳( f ) 一七( f ) ( 2 - 3 ) 及彳( o ) 1 k ，积累函数是金额函数取k = l 的特殊情况。 彳一( ，) o 图2 - 1 线性金额函数 a ( 0 量 0 0， 图2 - 2 指数金额函数 a ( 0 图2 - 3 水平的金额函数图2 - 4 阶梯金额函数 以上是金额函数的四种形式，图2 - 1 为一线性金额函数；图2 2 为非线性的， 此处为一指数曲线函数，斜率是逐渐增大的，表示这种金额函数每期利息率不 断增大而使本金产生利息的能力增强；图2 - 3 为一水平的金额函数，斜率为零， 表示这样一种金额函数，其本金不产生利息；图2 - 4 所示的金额函数，其利息不 是连续产生，而是在离散的时间段内产生，在利息的支付日期之间不产生利息， 即当利息定期结算时，a ( t 1 为不连续的阶梯函数，在定期内，a ( t ) 为常数，定 期结束后，4 ( f ) 上一个台阶。 设整个投资期划分为若干相等的记息时期，则从投资日起第n 期内所得到 的利息记为， ，则： l 一一o ) 一彳o - 1 ) 对整数n2 1 ( 2 - 4 ) ， 表示的是一个时间区间上所得到利息的量，a o ) 则是在某一特定时刻的积累 量。 5 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 单利与复利 单利即在各个记息期只对本金取息所形成的利息。考虑投资1 单位货币， 其在每一时期中得到的利息为常数i ，第一时期末为1 + i ，第二时期末为1 + 五， 如此等等，对一般情形，有线性积累函数 4 0 ) ；1 + i t 对整数t 苫0 常数单利并不意味着实质利率也为常数。设i 为单利的利率，而为第一时期的 实质利率了，则有 t!重!l业一!擀ti丽ia(n-1)1+i-1) ( 2 5 ) 4 o1 + f o 一1 ) 、7 这是一个关于整数，1 ) 1 的递减函数，也就是说，常数的单利意味着递减的 实质利率。在单利方式下投资，投资期越长就越不利于投资者。 单利的积累函数仅对tz0 的整数有定义。将其拓展n t ，0 的非整数值，相 当于把利息按比例地分配给一时期内的任何部分。对于非整数的t 值，口( f ) 由单 利的经济含义可知，1 个单位的利息函数d o ) 一1 应只与时间长度有关，而与时间 起点无关。换言之，1 个单位的原始投资经过t + j 时期所得到的利息a ( t + j ) 一1 ， 等于t 个时期得到的利息与经过s 个时期得到的利息之和。 = a ( t + s ) - 1 - 【口( f ) 一1 1 + 【口( s ) - 1 1 v t ，s 0 或 a ( t + s ) 一口( f ) + a ( s ) 一1 v t ，s ) 0 由积累函数的性质可知口( o ) 一1 ，并且4 ( f ) 为一单调增函数即4 ( f ) 0 。所以可 知a ( o ) 存在，为简便讨论设为一常数。再由初始条件：4 ( o ) - 1 , a ( 1 ) - 1 + f ，可推 出导数定义： 4 ，( f ) 一蛳半一l 。i r a 盟掣 _ l i m 巫丝l l i m 型堕型= 口，( o ) ，o c # - - 0 c 在上式中以r 代t ，并将等式两端从0 到t 积分，就有： f o a ( r ) d r = f o a ( o ) d r a ( t ) 一口( 0 ) = t a ( 0 ) ( f ) = l + t a ( 0 ) 6 武汉理工大学硕士学位论文 如取t = l ，则有 a o ) 一1 + i = 1 + 4 ( 0 ) 因而a ( o ) 一f ，代回原式有 口o ) 一1 + i tvt20(2-6) 上述推导并不依赖于t 为正整数，而是对一切t 苫0 都成立。 复利是本金和利息积累取息所形成的利息。复利的积累函数设以利率i 投 资1 单位货币，它在第一时期末积累值为1 + i ：这一积累值1 + i 在第二时期开始 时作为本金，并在第二时期内赚取利息f ( 1 + f ) 第二时期末的积累值为 ( 1 + i ) + f ( 1 + i ) z ( 1 + f ) ：类似地，积累值( 1 + f ) 作为第三期开始时的本金并 在第三期内赚取利息f ( 1 + f ) ，第三期末的积累值为 ( 1 + f ) + f ( 1 + f ) 一i ( 1 + f ) 此过程无限地继续下去得到复利模型 4 ( f ) 一( 1 + f y v t 2 0 ( 2 7 ) 设i 为复利利率，而f 。为第n 时期的实质利率，则有 卜a ( n 口) o - a _ 1 ) ( n - 1 ) = 铲一毕一f 由积累函数的可微性和初始条件：4 ( 0 ) 一1 ，4 ( 1 ) - 1 + i ，有 4 协：赫l i r aa ( t + 孥s ) - - a ( t ) = 茄l i m a ( t 晕) a ( s ) - a ( t ) 哪 一n ( f ) 掣一删岛型掣一n ( f ( o ) j i n a ( t ) a i ( o ) a “) d t 、7 因为这里有口( o ) 一1 ，所以l n a ( 0 ) 一0 7 武汉理工大学硕士学位论文 代回原式有 j h 口( f ) 一t l n ( 1 + i ) ；打l ( 1 + f y 即 口( f ) 一( 1 + f y v t 2 0 上述推导并不依赖于t 为正整数，而是对一切v t20 都成立。 2 3 实质利率和名义利率 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量开始时投 资的本金金额之比。通常，实质利率用i 表示。 实际利率i 是利息的第一种度量方式，由定义可以看出，实际利率用百分数 来表示，它与给定的时期有关；它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。从积累函数来看： 4 ( 1 ) 一4 ( o ) + i 一1 + i ( 2 8 ) i 。坚塑二! a ( 1 ) - a ( 0 ) a 0 ) - a ( 0 ) ；土 ( 2 外 1 口( 0 )彳( 0 ) 彳( 0 ) 、 这样给出实际利率另外一种定义。 对于有多个度量期的情形可以分别定义各个度量期的实际利率。这时，用t 记从投资日算起第n 个度量期的实际利率，则： 一篙一等=志对整数蒯(2-10)a a ( n 4 o 一1 ) 一1 )4 0 1 ) 若考虑利息在每一时期需支付多次，这种情形的利率称为“名义”的。每 一时期付m 次利息的名义利率记为i ”，其中m 是大于1 的正整数。名义利率是指 每l m 时期支付一次的利率，对于每l m 时期付的利息是i “i m ，而不是i “实际 上，每一时期i ”的名义利率等于每l m 时期i “m 的实质利率。 从等价的定义我们有 1 + f 一0 + ：) “( 2 1 1 ) 方程的每一边都给出对一个度量时期投资1 的积累值。 i 一( 1 + 二_ ) “一1 及 三 i 1 = m 0 + f 、“- 1 8 ( 2 1 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 2 4 贴现和贴现率 投资一个单位的货币，在第一期末将积累至j j l + i 个单位的货币，1 + i 称为积 累因子，因为这是期初的投资累计到期末的值。考虑一种相反的情况，为了在 期末得到一个单位的货币，期初需要投资多少? 由前面的利息算法可知，应该是 0 + 0 ，这两种情况的出发点不同：前一种情况是期初的一个单位货币在期末将 增加到多少；而后一种情况是期末的一个单位货币是由期初多少货币带来的，为 此，引入“贴现”的概念，并将( 1 + f ) ，称为贴现因子v ，有： ，。三( 2 1 3 ) 1 + f 、7 它表示将期末的投资贴现成期初的值，所谓“贴现”是指将来的价值折扣 为现在的某个价值，即现值 将上述结果推广到不止一个时期，要确定在开始时应投资多少本金才能在t 时期末得到积累值为1 个单位的货币? 假设需要投资的本金为k ，则有：1 一妇( f ) 所需的投资本金为： 七。磊1 - a - ，( t ) 口( f ) 对于v t 0 ，可以得到下述结果： 单利情况 口4 ( f ) ；圭 ( 2 1 4 ) 上+ “ 复利情况口4 0 ) 。石去f 。，( 2 - 1 5 ) 积累函数o ) 的倒数口4 p ) 为t 期贴现因子或贴现函数。特别地，把一期贴 现因子a o ) 简称为贴现因子v 。第t 期贴现因子a 4 ( f ) 是为了使在1 期末的积累值 为1 ，而在开始时投资的本金金额。 实质贴现率是在一时期内取得的利息金额( 亦称为贴现金额或贴现) 与期末 的投资金额之比，记为d 。 实质贴现率与实质利率的区别在于：利息是按期初余额计算而在期末支付， 贴现是按期末余额计算而在期初支付的。 设d 。为从投资曰算起第1 1 个时期的实质贴现率，则有 d a ( n ) - a ( n 一1 ) 厶 彳0 )a ( n ) 9 v ，l 1 ( 2 1 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 其中= a ( n ) 一彳o 一1 ) 表示时间段托上的利息量。一般而言，各期的实质 贴现率可以不相同。若在复利方式下，实质利率是常数，则实质贴现率也是常 数。这些状态称为“复贴现”。 实质贴现率与实质利率是两个不同的概念，但两者之间存在着确定的联系。 设某人以实质贴现率d 借款1 ，事实上原始本金为1 一d ，即贴现值为d 。从i 作 为利息( 贴现) 金额对本金的比值这一定义来看，则有： f 一旦( 2 - 1 7 ) 1 - d 此公式表示贴现率i 是利率d 的函数。同时有： d 上 1 + i 将贴现因子v 考虑进来，得到三者的相互关系： d - i v ( 2 - 1 8 ) 对上式，我们可以这样理解：以贴现率d 借款1 个单位金额在期初支付的 利息是d ；如果该笔业务以利率度量，且等价的实际利率为i ，这种业务投资1 将在期末赚的利息f ，而i 在期初的现值为如，这个值显然应该等于d 。( 在期初 这个时点上借款支出的利息应该等于赚入的利息额) 将上式稍作变换，得到d 和 v 间的一个公式： d 。上。坐一上。1 一。 1 + i1 + i1 + i 即y - 1 一d 可见等式两端均表示在期末支付1 的现值。 此外，i 和d 之间的另一个关系： d - i v - i ( 1 - a ) t i 一甜 实质贴现率或复贴现，均假设取复利，不适于单利率与单贴现的情况。也 可以类似于定义单利那样来定义单贴现。每一时刻所得的贴现金额为常数，在t 时期期末产生的积累值1 的原始本金应该是： 口一1 0 ) = 1 - d t对0 s t 0 。 图2 - 5 将单利和复利的积累函数加以比较图2 - 6 将单贴现和复贴现的贴现函 数加以比较。 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 a ( o 口叫( f ) 图2 - 5 复利积累函数图2 - 6 单利积累函数 从图2 5 中可以看出，复利的积累函数为上凹曲线，单利的积累函数是一直线， 均经过( o ，1 ) 点，一年内复利积累函数较小，一年后对较长时期，复利比单利产生较 大的积累值。 从图2 - 6 中，对于较短的时期，单贴现比复贴现产生较大的现时值，对较长 的时期，情况相反。 每一时期支付肌次的名义贴现率记为d 4 ，名义贴现率是指每v , n 时期支付 一次的贴现率，每m 时期的实质贴现率是d “i r a 。名义贴现率是一种在每】搠时 期之始支付的利息的度量，由等价定义有 1 - d o - d “m ) “ 整理可得： d 。1 - 0 一鸟一 即d 。一r a i l - ( 1 一d ) “】一m ( 1 - v 4 ) ( 2 1 9 ) 名义利率与名义贴现率之间的关系如下： 对于任意正整数m 与p ，有 川巾i - 1 1 击。鬲1 廿 所以特别地，当小一p ，则有 ( 1 + 马0 一与一- 若小；p - 1 ，则，一i ，即实质利率d 一；d ，即实质贴现率。且成立 1 + f ；( 1 一d ) 1 或 ( 1 + 0 ( 1 一d ) = 1 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 对于正整数1 1 1 1 ，成立 一竺；兰竺( 2 - 2 0 ) 一一 m m m m 当m 。1 时，有 f d 一耐 这里将m 的一般数和m1 1 分别归在一起。按字面解释为：某人可以在期初 借贷1 个单位货币，而在期末归还1 + f ，也可以在期初借贷1 一d1 个单位货币， 而在期末归还1 ，则所付利息的差额为i d ，此种差额是因为期初本金相差d 而产生的，金额d 依利率i 在一时期末的利息就是耐。 2 5 连续时间下的利息度量 在连续时间的情况下，考虑利息在i t ，t + a f ) 上的推广，并取当f o 时的极 限，得 a(t+a)，-act) l i n l 丝塑 “o a f 4 ( f + a f ) 一4 p ) 。l i l ! 垒!；盟。盟 “一缸 a c t )口o ) 假定总量函数彳p ) 和积累函数4 ( f ) 导数都存在，上式的极限值为在时刻t 的 利息效力，简称利息力， 记作点，即 4 一筹；鬻一必d t 一型d t 爿( f )4 0 ) 、 用以度量利息在时刻t 的运行强度。 用，代t 并将此式两边在0 到f 之间积分，得 p 办= 上笺；m ( ，) 卜觑器 从而 c x p 蜕例t 器；器哪， 在n 个度量时期内赚得的利息总额为： a ( o a , = a ( t ) d t = 爿o ) f ：- a o ) 一彳( o ) 微分表达式爿( f ) 4 出解释为金额a ( t ) 在时刻f 因利息强度4 而赚得的利息金 额，从0 到n 积分时，就给出了n 个时期中获得的利息总金额。 武汉理工大学硕士学位论文 考虑时间区问0 s fs 1 ，在该区间上的利息力为常数4 ，在期末的实质利率 为i ，则有 1 + f 一4 ( 1 ) 一e x p f 0 6 ，d r l e 4 从而，以下关系式成立 d i n o + i ) ，i e 4 1 , v 。e - s , d - 1 - e 一6 ( 2 2 2 ) 假定利息力6 恒为常数，则有积累函数的关系式 4 0 ) 霉p 出- ( 1 + f y 类似的也可以定义贴现效力，用以度量贴现在时刻t 的运行强度。在时刻t 的贴 现效力用6 表示，其定义为 要n 一- ( f ) 4 一 口。f ， 由1 + f 一( 1 + 争和l + i - a ( 1 ) 一e x p f 0 6 , d r e 6 可得 i 4 * m e ”一1 】 利用t a y l o r ：展开式，有 艮册t 言+ 去臼2 + 责令小6 + 嘉+ 嘉一“ 取极限m 一0 0 ，有 同理 弘卅 一蔫+ 嘉+ ( 2 2 3 ) 取极限m 一0 0 ，有 l i m d 4 6 ( 2 2 4 ) 这说明，常数利息力可解释为连续转换的名义利率或名义贴现率。从理论上说， 利息的最基本的度量就是利息力。利息力一经确定，利息的度量也就随之确定。 在实际工作中，实质和名义利率与贴现率因其的简单性与易理解性而用的更频 繁，而且大多数金融业务包含的是离散过程而不是连续过程。 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章固定利率下的人寿保险精算基本原理 人寿保险的经营技术不同于财产保险的主要之处，就在于费率厘定的依据 是预定利率与预定死亡率，而不是损失率。利率与死亡率虽然也是处于不断变 化之中，但毕竟受偶然因素的影响较小，相对稳定，其可测性很强。这就为寿 险经营的科学化与责任的精确计算提供了可能，就是要对费率、年金、准备金 实行严格的精算”“。 人寿保险所承保的年老、死亡和伤残险的出险规律，是通过生存模型来研 究和表述的，生命表也叫做精算表格生存模型”“”。，是研究人口死亡规律的有利 工具，它用表格的形式简单清楚地表述了同时出生的一组人以怎样的死亡率陆 续死亡的全部过程。保险公司根据各个年龄的人的生存或死亡规律，结合利息 理论，可以设计各种人寿保险险种产品。人寿保险的依据是生命表，保费计算、 理赔等问题均需以生命表为基础，因而生命表也是人寿保险的精算基础。 3 1 人寿保险基本概念 3 1 1 精算现值 r t l 精算现值“是指现值的期望值，又称期望现值。为方便起见，以英文首字母 缩写“a p v ”记之。 在绪论中已经指出：根据大数定律，保险人所收取的纯保费的总额应与保额 支出的总额相一致。也就是说，为了计算保费，需要比较纯保费与保额，但因 保费与保额的发生并不同时，且在其中涉及到投保人的生死状况，所以对两者 的比较应在同一时点上，一般选择在保单生效之时。这样，对保费和保额的比 较就不单纯看其数额的大小，还要考虑货币的时间价值、投保人的生死状况以 及保险人可能发生的费用，还有可能存在的风险等因素的影响。人寿保险的保 险人对保额的支付不仅与预定的利息率和费用率有关，更主要的是与投保人的 生死概率密切相关。换言之，保费与保额要在精算现值的意义上相等。 精算现值与前面的现值不同在于：精算现值考虑了人的生死概率。在讨论生 存保险时，也要用到精算现值的概念。也就是说，精算现值是从一个概率的角 度来讨论生存、死亡保险。 保额的现值是根据固定的利率计算的，保额的期望现值称为趸缴纯保费， 武汉理工大学硕士学位论文 也就是保单的精算现值。保额可能与投保人的生死概率无关，即不管投保人何 时死亡，保险人都支付同样的均衡保额：保额也可能与投保人的生死概率有关， 即保险人支付的保额与投保人的死亡时间有关埘n 列。 3 1 2 生存函数 投保人的生存和死亡状况，是保险精算的重要基础。我们视投保人的生存 和死亡为随机变量，在此前提下进行保险费、年金、寿险的计算【2 p