（应用数学专业论文）构造具有silnikov同宿轨道和异宿轨道的动力系统.pdf

北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 作者签名：亟查 日期：型盘 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的 规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京 化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和磁盘，允许学位论文被禽阅和借阅；学校可以公布学位论义的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制下段保存、汇编学 位论义。 保密论文沣释：本学位论文属丁保密范围，在土年解密后适用本授 卡义书。非保密沦义滓释：小学位沦文f i 属丁保密范，通川小授杖书。 作者签名：盏：至f f j 期： l | r5 0 导师签名：皇多l日期：j 垃址l 上l 毒吐一 学位论文数据集 中图分类号 0 1 9 3 学科分类号 1 1 0 8 7 论文编号 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 9 6 1 密级 非保密 学位授予单位代码 10 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学 作者姓名魏飞学号2 0 0 8 0 0 0 9 6 1 获学位专业名称应用数学获学位专业代码0 7 0 1 0 4 课题来源自选项目研究方向 动力系统 论文题目构造具有s i l n i k o v 同宿轨道和异宿轨道的动力系统 关键词混沌，同宿轨道，异宿轨道，s m a l e 马蹄 论文答辩日期2 0 1 1 年5 月2 0 日论文类型基础研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称 工作单位学科专长 指导教师李威副教授北京化工大学 非线性动力系统 评阅人1李竞副研究员 中国科学院数学研究所偏微分方程 评阅人2 许兰喜教授北京化工大学微分方程 评阅人3 评阅人4 评阅人5 徽员糊 李竟副研究员 中国科学院数学研究所偏微分方程 答辩委员1黄晋阳教授北京化工大学偏微分方程 答辩委员2许兰喜教授北京化工大学 微分方程 答辩委员3施小丁教授北京化工大学偏微分方程 答辩委员4江新华教授北京化工大学 偏微分方程 答辩委员5 吴开谡副教授北京化工大学 微分方程 注：一论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 二中图分类号在岱中国图书资料分类法查询 三学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t1 3 7 4 5 - 9 ) 学科分类与代码中 查询 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成 构造具有s i l n i k o v 同宿轨道和异宿轨道的动力系统 摘要 混沌是系统中一种复杂的动力特性，与同宿轨道、异宿轨道的存在有 关。r 6 s s l e r 对偶原则指出包含一个双变量化学振荡和一个单变量化学延迟 的系统可能会产生混沌现象，为构造具有s i l n i k o v 同宿轨道和异宿轨道的 系统提供了一种方法。在本篇论文中，利用r 6 s s l e r , 对偶原则来构造一个快 子系统和慢子系统耦合成的混沌系统，然后利用奇异摄动理论将所构造的 快子系统和慢子系统的轨线连接起来，得到ts i l n i k o v 同宿轨道和异宿轨 道，由同宿轨道和异宿轨道的s i l n i k o v 定理保证了所构造的系统具有 s i l n i k o v 现象。得到了丰富的结果，如：具有连接一个鞍焦点的s i l n i k o v 同 宿轨道的三维系统；连接两个鞍焦点的s i l n i k o v 异宿轨道；连接三个鞍焦 点的s i l n i k o v 异宿轨道；连接四个鞍焦点的对称和非对称的s i l n i k o v 异宿轨 道。同时进行了数值模拟验证所构造的系统存在l 述所沦述的轨线。 主要的结论和方法如下： l 、介绍i j 宿轨道和异神倒l 道s i l n i k o v 定理； 2 、分析所构造系统快子系统的动力性：微小的扰动和未扰动的系统的区 别只足在交，囊处较人，零倾而的交点会分开； 3 、分析所构造系统慢子系统的动力性：零倾而上半衡点的特陀使得系统 存在同宿轨道和异宿轨道成为可能； 4 、利刚r 6 s s l e r 对偶原则耦合快子系统和慢子系统，由奇异摄动理沦分析 1 北京化下人学硕l ：学位论文 所构造的系统存在同宿轨道或异宿轨道，研究所构造系统的整体动力性， 并对其进行数值模拟，验证理论的正确性； 5 、通过分析所构造系统鞍焦点的特征值，验证其满足s i l n i k o v 定理的条 件，从而所构造系统的同宿轨道和异宿轨道是s i l n i k o v 型的。 关键词：混沌，同宿轨道，异宿轨道，s m a l e 马蹄 摘要 c o n s t r u c t i n gak i n do fd y n a m i cs y s t e mh a v i n g s i l n i k o v ss a d d l e f o cu sh o m o c l i n i ca n d h e t e r o c l i n i co r b i t a b s t r a c t c h a o s w h i c hi sr e l a t e dt oh o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i co r b i ti sa c o m p l i c a t e dd y n a m i c a lb e h a v i o ri nas y s t e m r 6 s s l e rd u a lp r i n c i p l es h o w st h a t as y s t e mm a yb ec h a o t i c ，w h i c hc o n s i s t so fa no r d i n a r yt w o - v a r i a b l ec h e m i c a l o s c i l l a t o ra n da n o r d i n a r ys i n g l e - v a r i a b l e c h e m i c a l h y s t e r e s i ss y s t e m f u r t h e r m o r e ，i tp r o v i d e st h es y s t e m a t i cw a yt oc o n s t r u c tt h es y s t e mh a v i n g h o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i co r b i t i nt h i sp a p e r ac h a o t i cs y s t e mc o u p l e db y f a s ts u b s y s t e ma n ds l o ws u b s y s t e mi sc o n s t r u c t e du s i n gt h er 6 s s l e rd u a l p r i n c i p l e t h e nw ec o n n e c tt h eo r b i to ff a s ts u b s y s t e m sa n dl o ws u b s y s t e m s m a k i n gu s eo fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e o r y f i n a l l yw eg e tt h eh o m o c l i n i ca n d h e t e o c l i n i co r b i to fs i l n i k o v s t 2 f l g e s i l n i k o vh o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i c t h e o r yg u a r a n t e e st h a tt h es y s t e m sh a v es i l n i k o vp h e n o m e n o na n dg e tm o r e a b u n d a n tr e s u l t s f o re x a m p l e ，at h r e e d i m e n s i o n s y s t e mh a v i n gs i l n i k o v h e t e r o c l i n i co r b i tc o n n e c t st w os a d d l e - f o c u sp o i n t s ；at h r e e d i m e n s i o ns y s t e m h a v i n gs i l n i k o v h e t e r o c l i n i co r b i tc o n n e c t st h r e es a d d l e f o c u s p o i n t s ；a i i i 北京化丁人学硕f ：学位论文 t h r e e d i m e n s i o ns y s t e mh a v i n gs i l n i k o vh e t e r o c l i n i co r b i tc o n n e c t sf o u r s a d d l e - f o c u sp o i n t sw h i c ha r es y m m e t r i c a la n dn o n s y m m e t r i c a l ；n u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ea l s og i v e nt od e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a l a n a l y s i s t h em a i nr e s u l t sa n dm e t h o d sf i lea sf o l l o w s i n t r o d u c et h es i l n i k o vh o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i co r b i tt h e o r y ； 2 a n a l y z i n gd y n a m i cb e h a v i o ro ft h ef a s t s u b s y s t e m ：t h ed i f f e r e n c e s b e t w e e np e r t u r b a t i o n sa n du n p e r t u r b a t i o n sa r eb i gi nt h ei n t e r s e c t i o n t h e p o i n t so f i n t e r s e c t i o nw i l lb es e p a r a t e d ； 3 a n a l y z i n gt h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h es l o ws u b s y s t e m s ：t h ec h a r a c t e ro f t h ee q u i l i b r i u m si nt h en u l l c l i n e sm a k et h ep o s s i b i l i t yo ft h eh o m o c l i n i ca n d h e t e r o c l i n i co r b i t se x i s t e n c e ； 4 b yu s i n gt h er 6 s s l e rd u a lp r i n c i p l e ，t h ef a s t s u b s y s t e ma n ds l o w s u b s y s t e mw i l l b e c o u p l e d a n a l y z e t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i c a n d h e t e r o c l i n i co r b i ta n dt h ew h o l ed y n a m i c a lb e h a v i o ri nt h e c o n s t r u c t i n g s y s t e m s ，a n ds i m u l a t et h es y s t e m si no r d e rt od e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a l a n a l y s i s ； 5 b ya n a l y z i n gt h ee i g e n v a l u eo fe q u i l i b r i u mo ft h ec o n s t r u c t i n gs y s t e m s ， a n dp r o v i n gt h es y s t e mm e e t i n gt h et h e o r y s ot h eh o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i c o r b i ti nc o n s t r u c t i n gs y s t e mi so fs i l n i k o vt y p e k e yw o r d s ：c h a o s ，h o m o c l i n i co r b i t ，h e t e r o c l i n i co r b i t ， s m a l e h o r s e s h o e 日录 目录 第一章绪论1 1 1 混沌模型的发展史1 1 2 混沌的定义及特征6 1 2 1 混沌的定义6 1 2 2 混沌系统的特征7 1 3 研究混沌的主要方法8 1 3 1 李雅普诺夫指数8 1 3 2m e l n i k o v 方法9 1 3 3s i l n i k o v 方法1 0 第二章同宿轨道的构造1 1 2 1 预备知识1 1 2 2 构造思想：1 2 2 3 具有一条连接鞍焦点的同宿轨道的三维系统1 5 2 3 1 快了流形的分析15 2 3 2 慢子流形的分析l6 2 3 3 耦合系统的动力性1 7 2 3 4 验证系统满足s j1n ik o v 条件17 2 3 5 数值模拟17 2 4 具彳r 另一种连接鞍焦点的宿轨道的二维系统1 8 第三章异宿轨道的构造2 3 ：3 1 颅箭知弘 2 ： 3 2 构造思想2 3 3 3 连接一个平面| j ：两个鞍焦点的异宿轨道的j 维系统2 6 3 3 1 快子流形的分析2 6 3 3 2 慢f 流形的分析2 7 v 北京化丁人学硕i j 学位论文 3 3 3 耦合系统的动力性2 8 3 3 4 验证系统满足s il n i k o v 条件2 9 3 3 5 数值模拟2 9 3 4 连接两个平面上三个鞍焦点的异宿轨道的三维系统3 0 3 5 连接两个平面上四个鞍焦点的异宿轨道的三维系统3 2 3 6 连接三个平面上四个鞍焦点的异宿轨道的三维系统3 3 第四章结论和展望3 7 参考文献3 9 致谢4 1 研究成果及发表的学术论文4 3 作者和导师简介4 5 v i 日录 c o n t e n t s c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1 1t h ed e v e l o p i n gh i s t o r yo f c h a o t i cm o d e l s 1 1 2t h ed e f n i t i o na n dc h a r a c t e ro f c h a o s 6 1 2 1t h ed e f i n i t i o no f c h a o s 6 1 2 2t h ec h a r a c t e ro f c h a o s 7 1 3t h em a i n m e t h o do f r e s e a r c h i n gc h a o s 8 1 ：；1l y a p u n o ve x p o n e n t 8 1 ：；2t h em e t h o do f m e l n i k o v 9 1 3 3t h em e t h o do f s i l n i k o v 1 0 c h a p t e r2t h ec o n s t r u c t i o no fh o m o c l i n i co r b i t s 11 2 1t h ep r e v i e w 11 2 2t h ei d e ao f c o n s t r u c t i o n 1 2 2 3at h r e e - d i m e n s i o ns y s t e mh a v i n gh o m o c l i n i co r b i tc o n n e c t i n gas a d d l e - f o c u sp o i n t 15 2 3 1t h ea n a l y s i so f f a s ts u b s y s t e m 1 5 2 3 2t h ea n a l y s i so f s l o ws u b s y s e m 1 6 2 3 3t h ed y n a m i co f c o u p l e ds y s t e m 1 7 2 3 4p r o v et h es y s t e mm e e t i n gt h ec o n d i t i o no fs i l n i k o v 1 7 2 3 5n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 17 2 4a n o t h e rk i n do ft h r e e - d i m e n s i o ns y s t e mh a v i n gh o m o c l i n i co r b i tc o n n e c t i n g as a d d l e f o c t l sp o i n t 1 8 c h a p t e r3t h ec o n s t r u c t i o no fh e t e r o c l i n i co r b i t 2 3 3 i ih ep r e v i e w 2 ：3 3 2t h ei d e ao f c o n s t r u c t i o n 2 3 3 3at h r e e - d i m e n s i o ns y s t e mh a v i n gh e t e r o c l i n i co r b i tc o n n e c t i n gt w os a d d l e - f o c u s p o i n t si no n ep l a n e 2 6 3 3 it h e a n a l y s i so f f a s ts u b s y s t e m 2 6 3 3 2t h ea n a l y s i so f s l o ws u b s y s e m 2 7 v i i 北京化t 人学硕i j 学位论文 3 3 3t h ed y n a m i co f c o u p l e ds y s t e m 2 8 3 3 4p r o v et h es y s t e mm e e t i n gt h ec o n d i t i o no fs i l n i k o v 2 9 3 3 5n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 2 9 3 4at h r e e - d i m e n s i o ns y s t e mh a v i n gh e t e r o c l i n i co r b i tc o n n e c t i n gt h r e es a d d l e - f o c u s p o i n t si nt w op l a n e s ：；o 3 5at h r e e - d i m e n s i o ns y s t e mh a v i n gh e t e r o c l i n i co r b i tc o n n e c t i n gf o u rs a d d l e - f o c u s p o i n t si nt w op l a n e s 3 2 3 6at h r e e - d i m e n s i o ns y s t e mh a v i n gh e t e r o c l i n i co r b i tc o n n e c t i n gf o u rs a d d l e - f o c u s p o i n t si nt h r e ep l a n e 3 ：； c h a p t e r4t h e c o n c l u s i o na n df o r e c a s t 3 7 r e f e f e n c e s 3 9 a c k o w n l e d g e m e n t s 4 1 r e s e a r c hr e s u l t sa n dp u b l i s h e da c a d e m i cp a p e r s 4 3 r e s u m e 4 5 v i i i 第一帝绪论 1 1 混沌模型的发展史 第一章绪论 罐 x + 6 文一x + x 3 = ? c o s w t 其中x 表示横梁位置，戤r ：n ) e z 项，参数p 表示磁力和弹力的相对力，右边项g c o s w t 北京化丁人学坝i j 学位论文 是作用在横梁上的力。这就是标准化的动力学方程d u 衢n g 方程。d u f f i n g 对含有 非线性恢复力项的受迫振荡系统进行了广泛深入的研究。随着y 的增加，会产生一些 分叉点，同时周期点和相应的流的周期轨道的周期会加倍。当7 ，万很小时，系统接近 于一个可积的h a m i l t o n 系统，同时会有连续周期轨道族分叉处的次调和运动。当流 形相交时就会出现横截的同宿轨道，这就意味着存在包含无穷多不稳定周期轨道的非 游荡c a n t o r 集。 1 9 2 7 年，v a n d e r p o l 在研究三相复振荡器时，对于非线性阻尼、耗散、低振幅的 振子，建立了著名的v a n d e r p o l 方程 j f + 口伊( x ) 支+ x = t i p ( t ) 其中妒( x ) 是偶函数，r 对y - i x i 0 。p ( f ) 是以t 为周期的周期函数，口，是非负参数。v a n d e r p o l 方程有一个非平凡的周期解，而且 其他所有的解都趋于这个周期解。对于受外力的v a n d e r p o l 方程，两个非常接近的初 始条件也会使方程的轨迹有很大的差别。 早期混沌探索的一个突出成就是在生态领域，提出了l o g i s t i c 方程【5 1 即虫口模型： x 。+ l = ( 1 一吒) 当o 3 时，l o g i s t i c 映射有唯一的2 - 周期轨道；当3 l + 6 时，它足排斥的。不动点尸，住= 3 时经历了一次分又，周期轨道的 数蛩和稳定。阡都发乍变化。另外f e i g e n b a u m 从数值模拟的角度观察j 十 l o g i s t i c 映射 h 是著私的f e i g e n b a u m 常数。 陛， j cr f t 盯称为p r a n d t l 数，称为r a y l c i g h 数。他川汁拿7 ：饥寸i 亥系统进fj ：数值汁竹，| i i ：j 时 观察这个系统的演化行为。当参数盯：1 0 , 6 ：罢，厂：2 8 时，系统f l 现了一个奇片吸oj 子， 第一章绪论 定仃= 1 0 ，b = 兰，当r 1 时，原点不稳定，有两个负的特征值和一个币的特征值；当 j 1 0 ； 6 第一章绪论 c 对v x s 和厂的任意周期点y ，有l i m s u p f ”( x ) - f ”( j ，) i 0 。 h 此定义意味着若一个连续的自映射存在周期为3 的点，就一定存在混沌现象。 例如l o g i s t i c 映射吒+ l = 吒( 1 一毛) 。当= 3 5 7 时，出现t = 3 的周期轨，这样就 意味着混沌现象的出现。 ( 2 ) w i g g i n s 意义下的混沌【2 5 】 考虑n 维欧式空间r ”上的c 7 ( ，1 ) 自治向量场 j = 厂( x ) ， 或映射 xh g ( x ) ， 记( f ，x ) ，t o 是由向量场生成的流，人c r ”是矽( f ，x ) 或者g ( x ) 上的一个紧的不变子 集，称人是混沌的，若满足 ( i ) 矽( f ，力( g ( x ) ) 对于人上的初始点有敏感依赖性； ( i i ) 矽( f ，x ) ( g ( x ) ) 在人具有拓扑传递性； ( i i i ) 矽( f ，x ) ( g ( x ) ) 的周期轨道在人上具有稠密性。 例如d u f f i n g 系统叠- x + x 3 一占( 一砂+ ? c o s w t ) = o ，通过选取适当的参数，系统的 轨线徂：p o i n c a r e 截嘶j ：定义的p o i n c a r e 映射会m 现s m a l e 马蹄，最终走向w i g g i n s 混 沌。 1 2 2 混沌系统的特征 混沌现象足确定性非线性系统所独f j 的复杂运动状态，混沌运动被描述为善 年j 尤 穷周期且看似无规律的运动。其具有以下一些特征【2 6 】。 ( 1 ) 对初值的敏感依赖性。通过对卜述定义的分析，可以得h 存在混沌的系统 对仞始值是f 有敏感依赖。陀的。即仞位l f i j 微小差异将会导致混沌轨道发乍li 大变化。 ( 2 ) i 箍机盹。混沌蜕缘州$ 鱼机陀 i 嘤址刈例始仇i i j 敏感依赖陀造成的，这也 泌明了混沌运动在u j 部善自不稳定性。 ( 3 ) 舰律性。混沌运动虽然表面卜看是杂乱无章的，化实际一l ：在其内部却有自 身的规律性，只要设备精度足够高，总可以在小尺度混沌域内观察到有序的运动形式。 ( 4 ) 分数维。由于奇异吸引子具有自制似结构，所以j i 能采用分数维对其进i j ： 北京化t 人学硕i ：学位论义 空间描述。混沌的这种特征表明其运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细。 ( 5 ) 普适性。指不同系统在趋于混沌时所表现出的共同特征，具体体现为混沌 系统中的一些普遍适用的常数。如f e i g e n b a u m 常数，l y a p u n o v 指数等。 ( 6 ) 有界性。不管时间如何变化，系统总是在一个特定的范围内变化，而不会 跑出一个有界区域。 1 3 研究混沌的主要方法 1 3 1 李雅普诺夫指数【2 刀 李雅普诺夫指数，在计算机模拟上它比敏感依赖性更具可操作性，推广了不动点 的特征值和周期轨的特征乘数的概念，可用来作为检验系统对初始值敏感依赖性的可 行方法。对于非线性系统来讲，李雅普诺夫指数表示，l 维相空间中的运动轨道沿各个 基向量的平均指数发生率， 记y ( f ) 是第一变分方程 i d x = d 圳x 班 咿嘲” 的解，始于，且v ( o ) = v o 。对于初始值与初始无穷小位移的李雅普诺夫指数定 义为 ，( x o , v o ) _ l i ml n l l v f ( t ) l l 。 李雅普诺大指数的计算对于多数点x o ，若自，j j ：轨线存在，则李雅普诺犬指数存在。 取这样的点x o ，则对j i 人多数v o ，l ( x o ，v o ) 是最大的李雅普诺夫指数，冈为当t 增加时， a f , 如。v o 趋于最大的扩张方向。这样可以通过求解微分方程和第一个变分方程 j = ，( 工) 矽= o f , ，1 1 ， 进行数值计算。这样能得到最大的李雅普诺夫指数，l ( ) ：，( ，、，0 ) ：1 i m 删。判断 o “ f + 个i t - 7 蔓。陀系统越r r 会州泓沌脱缘，j i j 4 ；榆a 嵫人的仑椎 譬i 1 7 人抖彳数怂r r 为f i i 值。 当李雅普诺大指数小j f 零时，轨道i j l 醒l i 离按指数趋于零，此时系统运动埘应肴小动点 和周期运动；当指数大于零时，初始状态相邻的轨道按指数分离，此时系统运动对应 混沌状念；当指数为零时，轨道m 距离不变，迭代产乍的点对应蓿分叉点。系统只有 一个j 卜值就会出现混沌现象。 第一章绪论 1 3 2m e l n i k o v 方法 关于鞍点的稳定流形和不稳定流形的相对位置的问题，在1 9 6 3 年首次给出了一 个较重要的结果，其意义主要利2 8 2 9 3 0 】：给出了解决此问题的一个有效方法：首次给 出了判别分界线相互位置的解析判据。此方法就是m e l n i k o v 方法，而其判别函数称 为m e l n i k o v 函数。近十年来，m e l n i k o v 方法得到了很大发展，取得了许多成果。 这些成果包括有建立高阶m e l n i k o v 方法来处理超次谐分叉轨道；用m e l n i k o v 方法来 研究多自由度的h a m i l t o n 系统的动力学行为：把m e l n i k o v 方法和平均法与平均变分 法结合起来，处理一类特殊的动力学性质；对一类特定三阶常微分方程和一些二维或 三维映射，也建立了相应的m e l n i k o v 方法。 m e l n i k o v 方法最早是用来证明一个二维时间周期向量场双曲型周期轨的横截同 宿轨道的存在性。考虑系统 j = f ( x ，+ 占g c x ，r ，石= ( ：) r 2 其中g 是周期函数，f ( x ) 的定义在尺2 上的可积向量场，e g ( x ，t ) 是个小扰动，但并不 一定是可积向量场。对未扰动系统做如下假设 ( 1 ) 当占= 0 时，有一个围绕双曲鞍焦点风的同宿轨道q o ( f ) ； ( 2 ) 令f o = g o ( f ) | f r ) u 风) ，f o 的内部充满连续的周期轨道族g “( f ) ， o y e ( - 1 , 0 ) ，令d ( x ，r 。) = i n r i ，i x q i ，有蚴i 嚣d ( q 。( f ) ，r 。) = o ： ( 3 ) 令h 。= h ( q “( f ) ) ，且瓦为g “( f ) 的周期。则乃是吃的i i j 微函数，儿在f o 内 音t ；4 j d l d h 。 0 。 卜述系统的m e l n i k o v 函数为 m ( ) = ) 厂( g 。( t - t 。) ) g ( g 。( t - t o ) ，f ) 以。 其l | l a x b = 口。良一口：6 l 。同时得剑了m e l n i k o v 判定定理。若m ( t 。) 仃简t 币零点1 1 与s 见父，! j ! | j _ ) ( 寸允分小的占 0 ，w “( 只”) jw ( 只”) 横戗牛| | 交，r i 则? ：m ( t 。，) 。f i l ：厄零- i ，则 “( 只”) n 5 ( ”) = a 。 9 北京化下人学硕i j 学位论文 1 3 3s i l n i k o v 方法 1 9 6 5 年，s i l m k o v 证明了一个三维系统在一定条件下可以通过定义p o i n c a r e 映 射，使得该系统在同宿轨道附近定义的映射有s m a l e 马蹄型混沌。即满足这样条件的 三维系统中同宿轨道的存在性可能意味着在这个轨道的邻域内马蹄的存在，这也就对 应着混沌集的产生1 3 2 1 。s i l n i k o v 方法主要研究的是三阶常微分方程中鞍焦型平衡点同 宿轨道附近的动力性【3 3 】，也称为s i l n i k o v 现象。 考虑系统 f 量= p x w y + p ( x ，j ，z ) 夕= w x + p y + q ( x ，y ，z ) i 三= 2 z + r ( x ，”z ) 其中p ，q ，r ec 2 。系统在( o ，0 ，0 ) 的特征值为p + i w , 2 。系统满足两个条件：( 1 ) 系统 有一条连接( 0 ，0 ，0 ) 的同宿轨道；( 2 ) 名 一p 0 。于是平衡点( 0 ，0 ，o ) 具有一个二维稳 定流形和一个一维不稳定流形非横截相交。定义p o i n c a r e 映射为p - e , 。e o ：f i o 一兀o ， r ，x 、i iih l z j 口c o s c c o s - w l o g 三) z + 夙t n 署垤争批 z 其中兀。= 忌r = 融彬z ) 尺3 l 少= o 椰2 引。x 筑o z 出 一2j r k + li _一2 口 z r2 ( x ，y ，z ) r 3y = 0 ，占p 2 妒”工占，o o e ” z 占e ) 定理：对于足够人的k ，r 有不变的c a n t o r 集a ，在人卜p o i n c a r e 映射拓扑同构与 两个符号的全平移。 一x 川川 s z s z 膨 朋 竺五 兰五 五 五 丫丫j s z s z 第一：章l 州宿轨道的构造 2 1 预备知识 第二章同宿轨道的构造 在这里阐述本章所涉及到的基本概念和用到的基本定理。 考虑一个三维自治系鲥2 5 】 面d x = 触f r ，工磺，( 2 - 1 ) 其中f ：l r 3j 噼，厂c ，r 2 。 定义2 1 若存在x 使得f ( x ) = 0 ，则称x 为系统( 2 1 ) 的平衡尉2 5 1 。 定义2 2 双曲型鞍焦剧1 6 】：一个三维的自治系统( 2 1 ) ，若系统的平衡点的线性化 矩阵的特征值为：z ，t r + i o ，且磁 0 ，使得轨线 缈( 六罩) 。 令p ( x ) = 驴( f ( ，) ，曲，j u ， 其中r ( f ) 是满足轨线t p ( t ，) 的t 的最小值。则称映 ：i p ( 工) 为系统( 2 1 ) u 剑一1 的 p o i n c a r e 映射【2 5 1 。 同宿轨道s i l n i k o v 定理给 了天于具有连接鞍焦点同宿轨道系统的混沌特性。 定理2 1( 州宿轨道s i l n i k o v 定理) 1 1 6 1 对于自治系统( 2 1 ) ，似设 北京化t 人学坝i j 学位论文 ( i ) i 为系统的鞍焦点，且满足h ； ( i i ) 存在连接i 的同宿轨道1 1 。 则( 1 ) 定义在同宿轨r 邻域的p o i n c a r e 映射有可数个拓扑马蹄存在； ( 2 ) 对于足够小的c - 扰动占( x ) ，扰动系统 j = 厂( x ) + 占( x ) ，x 跫3 ，( 2 - 2 ) p o i n e a r e 映射在同宿轨r 邻域内至少有有限个拓扑马蹄存在，因此系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 都 存在s i l n i k o v 现象。 2 2 构造思想 本章主要在d e n g b o t 2 3 1 的文献启发下，提出了一种构造s i l n i k o v 同宿轨道的思想， 利用r 6 s s l e r 对偶原则来构造一个快子系统和慢子