（运筹学与控制论专业论文）采样间隔可变的脉冲调宽系统的稳定性.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：王绺必 日期： 劾d 也三。理 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：垂塑缱导师签名：期：型堂；够 山东大学硕士学位论文 采样间隔可变的脉冲调宽系统的稳定性 王智峰 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 脉冲调宽系统( p u l s e w i d t h m o d u l a t e ds y s t e m ) 简称p w m 系统，是类很重要的 应用非线性控制系统脉冲调宽系统是由一般的线性反馈控制系统添加脉宽调制器而得 到的脉宽调制器( p u l s e w i d t h m o d u l a t o r ) 的输入输出特性导致脉冲调宽系统具有特有 的非线性特性对该系统的稳定性的分析也由于其非线性特性而受到阻碍，但是这也吸 引了许多的研究人员投身于对脉冲调宽系统的研究， 本文主要是利用数学分析的基本理论，对脉冲调宽系统的稳定性进行研究，主要给 出了采样间隔可变的脉冲调宽系统的稳定性结论文章分三部分来讨论脉冲调宽系统的 稳定性问题 第一部分中，介绍了脉冲调宽系统的广泛应用，并且概述了过去的研究人员对脉冲 调宽系统的主要研究成果 第二部分中，主要介绍了脉冲调宽系统的模型描述首先给出了周期采样的脉冲调 宽系统的输入输出关系以及周期采样的脉冲调宽系统具有稳态稳定性的定义，并且给出 了一个周期采样的比例型脉冲调宽系统稳定性的定理： 定理1在周期采样的比例型脉冲调宽系统中，假设g o ( o ) = a ，n 为一正常数， 参考输入r ( t ) 鼍r 0 1 ( t ) ，扰动输入，( t ) = f o l ( t ) ，且t o n ，0 0 ，如果t 0 满足 下列条件： 1 t y d ( 1 t 一巩丁) t o o ，o 一， v a t 0 ，】j ， f = 1 ，2 ，-( 2 3 ) f = 1 则该系统关于参考输入r ( t ) = r 0 l ( t ) 具有稳态稳定性，并且有当n 一。时，导通率 山东大学硕士学位论文 o 。趋于 k ( r o a f o ) 。2 再石萨 然后，针对采样间隔可变的脉冲调宽系统，采用标幺化的数学模型，按n 0 i 间比例 规则，建立了系统的采样间隔r 七与采样值( 耳) 之间的线性关系，最后给出了采样间隔 可变的脉冲调宽系统具有稳态稳定性的定义 同时，在第二部分中，我们还简单介绍了在本文中所用到的拉普拉斯变换的几个性 质 第三部分中，主要讨论了采样间隔可变的比例型脉冲调宽系统，给出了其具有稳态 稳定性的充分条件首先针对一种最简单的情况： g o ( s ) = 丽1 ，给出了一个采样间隔 可变的脉冲调宽系统的稳定性的结论： 定理2 在采样闻隔可变的比例型脉冲调宽系统中，g o ( s ) = f 丢石，对给定的阶 跃参考输入信号t ( t ) = r o l ( t ) ，0 t o 0 ： o 。 1 y ，：t y d ( 1 f a f t ) r 0 一。，0 一；，v 眯，k 1 ，2 ， ( 2 3 ) t h e nt h ep r o p o r t i o n a lp w m s y s t e mw i t hc o n s t a n ts a m p l i n gp e r o i dh a ss t e a d y s t a t es t a - b i l i t ya b o u tr e f e r e n c ei n p u tr ( t ) = t o 1 ( f ) f u r t h e r m o r e ，w eh a v e ，k ( r o n 如) ：黑。n 。q2 订石 t h e n w eb u i l d e dt h el i n e a rr e l a t i o n sb e t w e e ns a m p l i n gi n t e r v a l a n ds a m p l e dd a t a y ( t k ) a b o u tp w ms y s t e m sw i t hv a r i a b l es a m p l i n g i n t e r v a l a tl a s t ，w eg a v et h ed e f i n i t i o n o fs t e a d y s t a t es t a b i l i t ya b o u tp w m s y s t e m sw i t hv a r i a b l es a m p l i n g i n t e r v a l i na d d i t i o nt ot h ea b o v e ，t h eq u a l i t yo fl a p l a c et r a n s f o r mu s e di nt h i s a r t i c l ea r e i n t , r o d u c e di nt h i sp a r t ， i n p a r tt h r e e w em a i n l yd i s c u s s e dp r o p o r t i o n a lp w n is y s t e m sw i t hv a r i a b l e s a m 。 p i i n gi n t e r v a la n dp r e s e n t e dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es t e a d y s t a t es t a b i l i t yo f s u c h s y s t e m s w ef i r s t l ys h o w e da c o n c l u s i o na b o u tt h es t e a d y - s t a t es t a b i l i t yo fp w ms y s t e m s w i t hv a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a li nas i m p l ec a s et h a tc o ( s ) = 丽1 t h e o r e m2a s s u m et h a tc o ( s ) = 南，r e f e r e n c ei n p u tr ( ) 2r 0 1 ( t ) ，0 1 i ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ： r o 一去 o , i f t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ： k r o - c 丁k k i l 石+ c k k 2 r o 1 ( 3 7 ) 1 + c 鲍 、。 f o r o 。 c = l i m s u p y j ( t l + 。一兀一o f l + n ，n 靠) n 。1 = 1 山东大学硕士学位论文 t h e n p r o p o r t i o n a lp w ms y s t e mw i t hv a r i a b l es a m p l i n g i n t e r v a lh a ss t e a d y s t a t es t a b i l i t y a b o u tr e f e r e n c ei n p u tr ( t ) = r o i ( t ) f u r t h e r m o r e ，w eh a v e 。1 + i m 。= 0 ：= v 驴- 瓦4 a c - b舰h = 丁= k 。一魁 马芦 a = c k 2 ，b = c k k l c k k 2 r o + 1 ，c = 一k r o a tl a s t w ed i s c u s s e dp r o p o r t i o n a l i n t e g r a lp w m s y s t e m sw i t hv a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a la n dp r e s e n t e daq u a l i t ya b o u ts u c hs y s t e m s t h e o r e m4a s s u m et h a tg o ( s ) = 志t h e nt h e r ee x i s t saf u n c t i o nf ( b ，互，k ，r 0 ，c ) s u c ht h a tf o rp r o p o r t i o n a l i n t e g r a lp w m s y s t e m sw i t hv a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a lt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o ni sr i g h t ： l i m 。 k i r o + c - v 陬) + k - n k t 一f ( 矗，正，k t r 0 c ) ( 簧一c 。) + 等塞( r 。一锄n ) ) = 。 k e y w o r d s ：p u l s e w i d t h - m o d u l a t e ds y s t e m p u l s e w i d t h m o d u l a t o r s t e a d 一s t a t es t a b i l i t ys a m p l i n gi n t e r v a ls a m p l e d d a t a 6 山东大学硕士学位论文 第一章引言 脉冲调宽系统( p u l s e w i d t h m o d u l a t e ds y s t e m s ) 简称p w i 系统，是一类应用广 泛的非线性系统脉冲调宽系统实质上就是一类数据采祥系统，其中每个脉冲的保持时 间同采样信号在采样时刻的取值有关脉宽调制器( p u l s e w i d t h m o d u l a t o r ) 的输出可设 只有两个或三个值，+ m 、m 及0因此，脉宽调制器控制行为的物理实现非常简单， 可以通过一个开关操作来实现，而且脉冲凋宽系统能够高效率的处理大量信号，这使得 在设计带有调节器的系统时，使用脉宽调制器成为一个很好的选择，因此，脉冲调宽系 统被应用在多个领域，如电力系统、适应控制系统、姿态控制系统、信号处理以及神经 行为的建模等脉冲调宽控制的最经典的例子就是常温烤炉系统，而近代最为显著的应 用就是卫星和太空飞船的姿态控制脉坤调宽系统的广泛应用也吸引了大量的研究人员 投身于对该系统的研究 据作者所知，关于脉冲调宽系统的第一篇论文是r f n e a s e 47 于1 9 5 7 年发表的a n a l y s i sa n dd e s i g no fn o n l i n e a rs a m p l e d d a t a c o n t r o ls y s t e m s 在该文中，r ，f 。n e a s e 通 过对咏宽调制器的输入信号的线性化，建立了逼近分析和设计程序其后，有更多的研 究人员投入到脉冲调宽系统的研究中来1 9 5 9 年，e p o l a k j 利用极限环的理论而不 是线性化的方法讨论了脉冲调宽系统的稳定性问题 1 9 6 1 年，d e l f e i d 和b i u r p h y 8 1 利用描述函数法对脉冲调宽系统作了分析，也正是由于描述函数的使用而使得此方法有 很大的局限性1 9 6 1 年，p o l a k 1 2 1 利用图解法，针对一阶的系统进行了讨论在确定 脉冲调宽系统的解的全局渐近稳定性的条件时，科研人员大量使用了李亚普诺夫方法 1 9 6 1 年，k a d o t a 和b o u r n e 1 1 针对一个具体系统一差分方程的标准型进行了讨论 但是他们要求，脉冲调宽控制系统的线性装置即无复的极点又无多重极点1 9 6 1 年， z i e d a n 1 4 1 5 1 考虑了装置必须是赫尔维茨稳定的脉冲调宽系统以及在装置中带有积分 器的脉冲调宽系统，并以矩阵不等式的形式给出了解的大范围渐近稳定性的充分条件 1 9 7 2 年，d a t t a 7 建立了脉冲调宽系统的锯的最终有界性条件，1 9 7 4 年，b a l e s t r i n o ， e i s i n b e r g 和s c i a v i e c o 1 6 i 也用李亚普诺夫方法研究了具有常扰动输入的脉冲调宽系统的 稳态解的渐近稳定性1 9 8 7 年，周鸿兴 1 2 1 a 用数学分析的方法研究了比例型、比 例积分型的调宽采样控制系统的稳态稳定性最近，2 0 0 1 午，l h o u 和an m i c h e l 6 1 利用二次李亚普诺夫函数确定了兼有线性和菲线性设备的脉冲调宽反馈系统的稳定性结 果2 0 0 2 年，李全国，赵怡【1 9 利用算子半群理论讨论了线性抛物型脉冲调宽采样控 制系统的稳态控制，证明了一类半线性抛物型脉冲调宽采样控制系统的稳态的存在性 2 0 0 2 年，高瑞f 1 7 1 8 1 引入了混合动态系统的理论，在混合动态系统模型的基础之上构造 了混合状态空间的不变集，证明了针对于系统不变集的渐近稳定性和指数稳定性条件 7 山东大学硕士学位论文 由此可见，大量的国内外科研人员一直都在从事对脉冲凋宽系统的研究 脉冲调宽系统具有特有的非线性特征，从而能真实地描述一大类客观的现实系统， 有广泛的应用在国民经济生活中的各个领域，从工厂企业的一般自动控制装置到卫星 飞船的自动控制，都能看到脉冲调宽系统的应用，总结前人对脉冲调宽系统的研究成果， 他们利用多种方法，如线性化方法、描述函数法、图解法、z 变换法、李亚普诺夫函数 法等，建立了一系列的比较完善的成果但是，迄今为止，关于脉冲调宽系统的研究都 是建立在系统作周期采样的基础之上本文的工作就是利用数学分析的基础理论来对作 周期采样的脉冲调宽系统以及作变周期采样的脉冲调宽系统进行分析，从而得到了脉冲 调宽系统稳定性的结论 本文由三章组成：第一章为引言，第二章为脉冲调宽系统的系统描述，同时给出了 一个周期采样的比例型脉冲调宽系统的稳定性结论，第三章为采样间隔可变的脉冲调宽 系统的稳态稳定性。 8 山东大学硕士学位论文 第二章p w m 系统描述 2 1 预备知识 拉普拉斯变换是本文中将要用到的一个基本工具，对于拉普拉斯变换的性质，在许 多书里都有描述，下面给出几个在论文中用到的性质 定义2 1设f ( t ) 是时间t 的函数，且当t 0 时，f ( t ) = 0 ，s = 口+ j u 为复 数，则定义拉普拉斯变换 ) ：f ( s ) = f ( t ) e “d t 这里l 是拉普拉斯变换的记号，f ( s ) 是复变量的函数 性质2 1线性性质 若函数f ( t ) 和g ( t ) 的象函数分别是f ( 8 ) 和g ( s ) ，又a 和b 为任意常数，则函数 【a f ( t ) 十6 9 ( ) 】的拉普拉斯变换为a f ( s ) + b a ( s ) ，即 l a f ( t ) + b 9 ( ) = o f ( s ) + b g ( s ) 性质2 2时延特性 已知函数，( ) ，当t 0 时，( ) = o ，定义一个新的函数f ( t 一叫，a 为任意常 数，则函数f ( t ) 与f ( t n ) 的拉普拉斯变换有下面的关系： l f ( t o ) 】= f f - s a f ( s ) 性质2 3时域微分特性 设盛，( ) 是函数f ( t ) 对时间的一阶导数，则两者的拉普拉斯变换之间有下面的关 系： h 工 杀邝) 】_ s f ( s ) 一m ) 其中，f ( o ) 为函数，( ) 在t = 0 时的初值 性质2 4时域积分特性 函数，( t ) 与其积分函数f f ( t ) d t , 的拉普拉斯变换之间有下面的关系： l i f l ( a t = 掣+ 掣 其中， 厂1 ( o ) = f ( t ) d t t o 性质2 5终值定理 已知函数，( ) 当t 。时是收敛的，则有下面的性质成立： 。1 + i m 。，( t ) 。! i 。m 。s f ( s ) 9 山东大学硕士学位论文 2 2 周期采样的p w m 系统 2 2 1 系统描述 图1 ：系统方框图 考虑图1 所描述的脉冲调宽系统，其中，g o ( s ) 表示被控对象，并假设其极点都落 在左半平面，g ( s ) 是工业调节器，r ( s ) 表示系统的参考输入，f ( s ) 表示系统的扰动 输入，s ) 表示系统的输出，环节p w m 表示一个脉宽调制器当系统以周期t 为时 间间隔采样时，脉宽调制器的输出信号u ( t ) 的保持时间与输入信号u ( ) 的采样值成正 比，有如下的表示形式： u ( t ) = l n 丁st o ，如果t o 满足下列条件： o 。1 t 9 6 ( 1 t 一饥r ) r 0 一。凡一， 协f m j ， f _ l ，2 ( 2 3 ) c = l 。 则该系统关于参考输入t ( t ) = r o l ( t ) 具有稳态稳定性，并且有当n _ 时，导通率 “。趋于 ( ( t o n ，o ) o 。五百 对于周期采样的比例型脉冲调宽系统的具体叙述及定理的证明见附录 2 3采样间隔可变的p w m 系统 考虑图1 所描述的脉冲调宽系统，其中，g o ( s ) 表示被控对象，并假设其极点部落 在左半平面，g l ( s ) 是工业调节器，r 【s ) 表示系统的参考输入，f ( s ) 表示系统的扰动 输入，y ( s ) 表示系统的输出，环节p w m 表示一个脉宽调制器，当脉宽调制器的采样 间隔可变时，其输出信号u ( ) 与输入信号”( t ) 的采榉值之间有如下关系： u 。，= 。1 瓦t k + n t 。 n t s k + 。 0 下面给出采样间隔可变的p w 、i 系统的稳定性的定义 定义2 3 对图l 所示的采样间隔可变的脉冲调宽系统， “。表示第1 i 个采弹区问 的导通率，h 表示第n 个采样间隔，若对给定的参考输入信号r ( f ) = n 1 ( ) ，存在固 定的常数n ( 0 1 ) ，t 0 ，使得在任何初始条件下都有 。l 。i m 。n = a ，i 骢= ? 则称该脉冲调宽系统具有稳态稳定性 1 2 山东大学硕士学位论文 第三章采样间隔可变的p w m 系统的稳定性 3 1 采样间隔可变的比例型p w m 系统 3 1 1 最简单情形 在采样间隔可变的比例型脉冲调宽系统中，工业调节器g 。( s ) = k ，g o ( s ) 表示 被控对象，特别的，我们先考虑一种最简单的比例型脉冲调宽系统，即g o ( s ) = f b 的情况，l 为时间常数参考输入信号为r ( t ) = r o 1 ( t ) ，则调节器的输出信号为 v ( t ) = k r o 一( t ) 记k ( s ) = g o ( s ) u ( s ) ，玑( ) = l - 1 k ( s ) ，则脉冲调宽系统的输出可以表示为 口( t ) = 仉( t ) + ( t ) ，其中。( t ) 是强迫运动，魄( t ) 是零输入自由运动，且玑= m e 一青， ，是由初始条件确定的常数显然有 怒y e ( t ) = 0 ( 3 1 ) 控制信号可以用下面的函数来表示： “( t ) = 1 ( t 一死) 1 ( t 一( 矗+ n 。h t 矗= f 瓦矗+ 1 ) 则其拉普拉疑变换的形式为 u ( s ) = 孓也。e 叫聃“7 1 记g 口( ) = l - l ；g o ( s ) ，则y c 。( t ) = 1 一c - 寄 则当t 厶时，有 y c ( t ) = l - i 【g o ( s ) u ( s ) 】 = g 。( t 一矗) 一o ( 一( l + 血。7 i ) ) 取t = l ，有 玑( 咒) = ( o ) 一蜘( 一n ，。r ) ：肾一1 定理3 1在采样间隔可变的比例型脉冲调宽系统中，g o ( s ) = 磊1 干i ，对给定的 阶跃参考输入信号r ( ) = r 0 l ( t ) ，0 r o l ，如果有下面的条件成立： ”去 o ( 3 2 ) 1 3 山东大学硕士学位论文 则该脉冲调宽系统具有稳态稳定性 证明： 在该系统中，u ( ) = k r o 一叭纠，取t = 瓦，有 k r o 一 ( ) 一g ( l ) = k r o 一 ( r ) 一玑( 已) 一k y 。( r ) =0 考虑到( 3 1 ) ，从而有 再考虑到 。l 。i m 。 k r o u ( 正。) 一耳( 瓦) = 溉暖翔一”( 五) + k k e 警】 =0 k 1 一尬( 瓦) ”恐【牮 0 i m k r 0 - u ( 兀) + 一k 扩【坐訾趟1 ) ：o ( 3 3 ) 上式描述了当n 充分大时，导通率。与采样值。( 瓦) 之间的关系，利用该关系还 可以证明，当n 充分大时， ( 瓦) = n 。 事实上，当 ( 瓦) 0 时，。= 0 ，有 i m k y i - - l ，i t s ) + k 一肘n 【坐等趟】) = 3 9 坠 k r o u ( 瓦) + r 一) 2k r o 这与( 3 3 ) 式相矛盾 当u ( 咒) 1 时，q 。= 1 ，考虑到( 3 2 ) ，有k r o 1 ，从而 2 i m k 旷。( 霸) + k 一。叫坐喾拦】) ：热一。( 死) + 地掌) 。l ，i m 。 k r o - 1 + 一e 兰学) k r 。一l 1 4 山东大学硕士学位论文 这也与( 3 ，3 ) 式相矛盾 因而当n 充分大时，有0 0 记r 2 = 惫，显然，r 2 n 记( n ) = e 麓a + r 。2 + 嚣一r o 一1 ，要证明方程( 3 j ) 有且只有一个根a 并且根落 在区间( 0 ，1 ) 上，只需证明函数他) 与z 轴有且只有一个交点并且交点落在区间( 0 、1 ) 上即可 对函数o ( q ) 关于q 求导，可知当d ( 一，+ ) 时，有 即函数( o ) 在区间l o c + 。c ) 上是单调递增的 当q = 0 时，有y ( o ) = 一r o 一k 一飞 0 从而可知，函数( 口) 与z 轴有且只有一个交点，并且交点落在区间( o ，1 ) 上也即方程 ( 3 5 ) 有且只有一个根d ，并且根。落在区阃( 0 ，1 ) 上 记丁= 。一尬f 警p 】，则有 l i r ah ：溉 k 。一尬( 竽】) ：卧奶【竿j = 丁 因此系统具有稳态稳定性定理证毕 一k + o 凡 十ar e 、j 口 2 r2+ 旧0 f | 、7 “ y 山东大学硕士学位论文 3 1 2 一般情形 在上一节中，我们考虑了被控对象g o ( s 的一种最简单情况： g o ( s ) = i 者玎，下 面我们考虑一般的情形：g o ( s ) 满足最小相位条件，即g o ( s ) 的极点都在左半平面的情 况 、 在采样间隔可变的比例型脉冲调宽系统中，工业调节器g 。( s ) = k ，g o ( s ) 表示被 控对象，其极点都落在左半平面参考输入信号为r ( ) = r o 1 ( ，则调节器的输出信号 为“( t ) = k r o 一( t ) 在脉冲调宽系统中，k ( s ) = g o ( s ) u ( s ) ，y c ( t ) = l 。 k ( s ) ，则系统的输出可以写 为y ( t ) = y e ( t ) q - 玑( t ) ，其中y e ( ) 是零输入状态下的自由运动，y c ( t ) 是零初始条件下 的强迫运动。 由于g o ( s ) 的极点在左半平面，因此存在常数m o 0 以及与初值无关的a o 0 ， 使得 k ( f ) lsm o e “”，0 显然有 l i m 玑( t ) = 0( 3 6 ) 控制信号，啦) 的形状为调宽矩形波，可以表示成单位阶跃函数的和的形式，用下面 的函数来表示： “( ) = 【1 ( t 一瓦) 一l ( t 一( 瓦+ q k n ) ) k = o 其拉普拉斯变换的形式为 ) = 挚也l “吣3 记如( t ) = - 1 【g o ( s ) 】，并且设f 0 时，耶( t ) = 0 则由拉普拉斯变换的性质以及k ( s ) = c o ( s ) u ( s ) ，可知 ( ) = l 一【k ( s ) 】 = l 。l c o ( s ) v ( s ) 】 ：l-i乒仁g。(s)ens一1cl-ic o ( s ) e m 协讪】) = g 。( s ) e 川如一。 s ) e 叫n 恤“知】) k = o o 。 = b 口( t 一死) 一g t ( 一( 疋+ n k “) ) 】 记系统受控对象的脉冲响应为蜘( ) ，即蜘= l - 1 【g o ( s ) 1 ，并且设t 0 及与t 无关的常 山东大学硕士学位论文 数a l 0 ，使得l y 5 ( t ) ism 1 e 。”且根据拉普拉斯变换的时域微分特性，可以知道 比( t ) ：骱( ) 。 考虑到t 0 时，弘( t ) = 0 ，利用微分中值定理，可得到 y c ( l ) = 【蜘( z ，一瓦) 一蜘( 咒一( n + n t q ) ) k = 0 7 l 一1 = b 。( l 一孔) 一蛳( 瓦一( 孔+ q q ) ) = o n 一1 = “e 凡”d ( 瓦一瓦一d n 7 r ) k = 0 其中a 雌 0 ，n ，n = 0 ，l ，k = 0 1 ，n - 1 定理3 2在比例型脉冲调宽系统中，g o ( s ) 的极点都在左半平面， 入信号为r ( t ) = r o l ( t ) ，t 0 0 ，如果有下面条件成立： k r o - c k k 1 + c k k 2 r o 1 i 十c i ， 其中 c = l i m s u p y , ( t t + 。一咒一o l n n t ) 则该系统关于参考输入r ( t ) = 1 0 l ( t ) 具有稳态稳定性，并且有 舰。：n ：竺兰2 a 型。l 。i m 。r n = t = k t 一。 警尹 0 坚琶o n2 n2 。r 一* 2 2 “一“2 i f 其中 a = e k 2 ，b = c k k l c t , ：k 2 r o + l ，c = 一k r o 证明：在该系统中，v ( t ) = k r o 一( ) 】，则有 k r 。一 ( ) 一k y ( t ) = 0 取t = l ，有 k r o u ( l ) 一k y ( t 。) = k r o u ( r ) 一k y 。( 瓦) 一k y 。( 咒) n l = k r 。一 ( 死) 一k y 。( z 。) 一k o k n 蜘( l 一孔一口n ，女7 ) k = 0 =0 1 7 阶跃参考输 ( 3 7 ) 山东大学硕士学位论文 ：睁上式取n 从0 到o 。的和，有 。cn l k r o 一 ( z 。) 一k y 。( l ) 一k n 飞蜘( 矗 n = 0= 0 交换最右端项的求和顺序，可以得到 。 1 c r o u ( ) 一k 魄( 瓦) 一k 。丁n 蜘( 玛+ 。一b 一0 7 + 。h ) 】_ 0 ( 3 8 ) n = 0f = 1 根据( 3 6 ) 、( 3 8 ) 以及无穷级数收敛的必要条件，可得 。骢一口( l ) 一靠吾蜘( 丑+ n l 采样间隔可变的p w m 系统的采样间隔与采样值之间有如下关系 又 再考虑到( 3 6 ) ，可得 “1 一2 ( z ：j k - 一k 2 y 。( 矗) 一k 2 乳( 咒) u ( e 。) = a r o k 魄( 矗) 一。( 正。) m 尬 学】) _ 。 ( 3 1 0 ) 下面来讨论级数妻蜘。一l o q + n n t n ) 当n 趋于无穷大时的值 k 1 令“= 丑+ 。一l q i + 。，。h ，先来看级数；( 如，。) 当n 趋于无穷大时的值，其 中，玑( ) = m t e 。” 对给定的n ，用。来表示任意两个点川。t l 。之间的间隔的最小值，f = l ，2 ， 即 下面以t 。为标准长度来等分 0 ，0 0 ) ，则每一个区间中至多有一个札。存在或不 存在t h ，不妨在不存在。姐的区间中选择任意点作为t ；，。，这样可以得到一个新的数 歹i j = 。 ；( t ) ，( i m ) t ，。s t is i t m ，。 l = l 1 8 山东大学硕士学位论文 不妨设每一个点t i 都落在相应区间【( i i ) t 。i 。，。，i t 。 的左端点上，即t 此时 o 。 玑( 屯) l = 1 = m l e 。1 ( ”1 ”i ：舰塑暑尝1n _ + 。l p “ 1 一e - i m = c o 函数玑( t ) = m - e 。- 2 在其定义域上是单调递减的，故有 妊( t 。) sc o f = 1 。c 。cx 又由函数比( t ) 的非负性，可知蚤玑( f h ) 收敛，且满足，三璐n ) 茎c , a ，又，三；( h ) 收敛关于n 一致地成立，因此极限l i r as u p 萎玑( “) 存在，我们用q 来表示，即 n o cf = i l i r as u p 撕。) = q n 屯= 1 又已知y 6 ( t ) l m 1 e 。”，可知存在常数c ，使得 l i m s u p 协( ) = c q n - 。c = l 根据( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) ，( 31 i ) ，有下式成立 ( 31 1 ) l i r a w k r o - v ( l ) _ c k k 。一尬【牮 ( 3 1 2 ) 上式描述了第n 个采样间隔的导通率。与采样值u ( l ) 之间的关系利用这一关 系我们还可以证明，当1 1 充分大时，有u ( l ) = n 。 进一步证明：当u ( l ) 1 时，o 。= 1 则 。l + i r a 。 k r o 一 ( 矗) 一g k 1 一k 2堕掣型)k “1 ：。l 。i m 。 k r o - v ( t , 。) 一c k i ( 。一k 。 鱼学 ) j = 县恐【r 0 一 ( l ) 一c k k l + c k k , 2 r 0 一c + 2 ”( 正z = ，j 马曼【k r f 】一c k k l + c 尬r 。一( 1 + c 尬) u ( z t j 】 1 9 山东大学硕士学位沦文 根据( 37 ) ，考虑到c ， - 的非负性，可得 k r o c k k l + c k k 2 t o 一( 1 + c h ) v ( l ) 0 从而 撬 k r o 一口( 矗) 一c k k i 这与( 3 1 2 ) 矛盾 同洋，当”( 孔) s0 时，n 。= 0 ，此时有 。l i m + 。 k r o = ，j 骢 t r o k r o r 2 牮 。 ”( 矗) 一c k k - 一k ： 半) ”( l ) 这也与( 51 2 ) 矛盾 因此，当1 1 充分大时，0 ( 矗) l ，d 。= u ( l 。) ，由( 3 1 2 ) ，可得 l i m k r 。一n 。一c k k 。一k 2 垒! ； 旦 ) n 。) = o 整理得， 县恶 c 2 0 ：+ ( c k e l 一c k k 2 如+ 1 ) n k r o = o 由( 3 1 3 ) 可知，当1 1 趋于无穷大时，导通率n n 趋于一个常数，记i 骢n = 出 0 n 。l ，扎= 0 1 ，则有0 t 0 ，可以得到关于的一个方程， f 31 3 1 考虑到 c k 2 a 2 + ( c k k l c k k 2 r o + 1 ) a k r o = 0 ( 31 4 ) 可以证明方程( 31 4 ) 有且只有一个根。，并且根a 落在区间( o 1 ) 上解方程( 3 1 4 ) 可得 或 一6 + 、厢f 1 五 o2 1 f 一 ：生车竺( 舍去) 2 1 一l 百玄 其中，a = c 尬， 6 = g k 1 一c k k 2 r o + i ， c = 一k 7 0 下面验证0 一c ，从而 即0 0 ，控制器g 1 ( s ) = k ( 1 + 去) ，则调节器的输出信号与输入信号的拉普拉斯变换之间有下面的关系， v ( s ) = g 1 ( s ) r ( s ) 一y ( s ) = k ( r ( s ) 一y ( s ) ) + 笺；( r ( s ) 一y ( s ) ) 2 1 山东大学硕士学位论文 图2 系统方框图 考虑到拉普拉斯变换的时域积分特性，可得 ”( ) = l _ 1 【v ( s ) = 砷。一卵) j + 等： r o - y ( 训打+ ”。 其中，”o 是由积分器初值确定的常数，不妨设u 。= 0 控制信号u ( 。) 2 邑 1 ( t r ) 一1 ( t 一( 死+ q t n ) ) 】 其拉普拉斯变换的形式为 o ( s ) = e 也3 一e n “ k = 0 。 。 在脉冲调宽系统中，系统的输出可表示为y ( t ) = v 。( ) 十。( ) ，其中玑( ) 是零输入 自由运动，玑( t ) 是强迫运动考虑到k ( s ) = a o ( s w ( s ) ，有玑( ) = l _ 1 口：( s ) g o ( s ) 的全部极点都在左半平面，因此存在村 0 以及与初值无关的a 。 0 ，使得 l y e ( t ) lsm e “”t 0( 3 1 5 ) 记弘( ) = l - 1 ( ；g o ( s ) j ，并且设ts0 时，协( t ) = o ，则 纨( t ) = l - 1 【g o ( s ) u ( s ) 1 = l - l g o ( s ) e 一瓦5 一g o ( s ) e 叫n + m “b ) k = o o 。 = ( 口( 一t k ) 一9 ( t 一( 死4 - 血k “) j j 七= o 记y z ( t ) = l _ 1 g o ( s ) ，且设t 0 时，蜘( t ) = 0 则由拉普拉斯变换的时域积分 挣| 生，可知蜘( t ) = 砚( t ) 再考虑到t 墨0 时，蛳( t ) = 0 ，则由微分中值定理，有 y c ( 足) = ( 疋 k = 0 = ( k = 0 = o ：k t k y 6 = 0 2 2 山东大学硕士学位论文 其中， n 。， 0 ，。k j ，礼= 1 ，2 - 七= 0 ，1 ，礼一1 同样，记k ( ) = ，g $ 出考虑到ts0 时，( t ) = 0 ，则由微分中值定理，有 = 星 ”驯t 一 ( 州噩地蝴1 =瓤n蜘(t一瓦批一疋)一上r蜘(t一(疋讹强腆k= 0 。” 。” = k 尹= 0 d 广- t k 一删。一篡删列 = 瓤耻n 纵咖t 一厂聃“纵叫c 1 = 薹纛，姒伽t t 2 c = 陬( 瓦一瓦) 一k ( r 一( 珏+ o 女“) ) k = o = q a g 女( 瓦一疋一q ：，k 弧) k = 0 = n 蚤- 1 嗽铷( 矗一瓦一口：肪) 其中，。：k 【o ，n k 】，n = 1 2 ，女= 0 1 n 一1 现记 c 。= 一如( 瓦) 一箬z r 虬( t ) 出， ，。= 1 2 ， 考虑到( 3 1 5 ) ，可知，当n 趋于无穷大时，c 。趋于一个常数，用c 来表示这个极 限 下面给出比例积分型脉冲调宽系统的一个性质 定理3 3在图2 所示的比例积分型脉冲调宽系统中，g o ( s ) = 击，则存在一 个隐函数f ( l ，正， ，o ，c ) ，使得有下面的性质成立： 。l i r a k l r o + c - v ( 品) + k o = 。【k 一尬f ( b ，正k - ，c ) ( 凳一c 。) + 等煮( r o 啪n ) ) = 。 ( 31 6 ) 证明：由v ( t ) = ( r o 一( t ) ，可有 崛) = k r o - y ( 圳+ 簧z “ r o - y 陋 = i 一( r o y c ( 兀) + i kz r t oy c ( 驯出一玑(