（电力电子与电力传动专业论文）小波去噪理论及其在陀螺漂移信号处理中的应用.pdf

a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fw a v e l e td e - n o i s i n gt h e o r y ，w a v e l e t sa r e w i d e l yu s e di n v a r i o u ss c i e n t i f i cf i e l d s i nt h i s d i s s e r t a t i o n t h ew a v e l e t d e 。n o i s i n gt h e o r y i s a p p l i e d i n g y r o d r i f t s i g n a lp r o c e s s i n ga n dg e t s a n i n s p i r i n gr e s u l t i nt h ef i r s t s e c t i o n ，b a s e do nt h es e l e c t i o no fw a v e l e tb a s e si n g y r o d r i f ts i g n a l ，b i o r t h o g o n a lw a v e l e ta n dr e d u n d a n tw a v e l e t sa r eu s e di n g y r o s i g n a lp r o c e s s i n gs y s t e m a t i c a l l y c o m p a r e dw i t ht h a to fc l a s s i cw a v e l e tw e g e t ab e t t e rr e s u l t f o rt h e p u l s e n o i s ei n g y r oo u t p u ts i g n a l s t h a ta t e c o l l e c t e df r o mb a d b a c k g r o u n d ，m e d i a n f i l t e ri si n t r o d u c e di nw a v e l e t d o m a i na n dam e d i a nf i l t e rb a s e do nw a v e l e ti s s u c c e s s f u l l yd e s i g n e d i nt h es e c o n ds e c t i o n ，t w ok i n d so fn e wt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d s ， w h i c ha r eb a s e do nw a v e l e tt h r e s h o l d d e - n o i s i n gm e t h o d s ，a r ef i r s t l y p r e s e n t e d m o r e o v e r a 】a d a p t i v ew a v e l e tf i l t e ra n dan e wg e n e r a lm e d i a n f i l t e ra r e d e s i g n e d t h es i m u l a t i o n r e s u l t ss h o wt h e v a l i d i t y o ft h e s e m e t h o d s t h e n ，f u z z yt h e o r y i si n t r o d u c e dt ow a v e l e tt h r e s h o t d d e n o i s i n g m e t h o d s ，a n dt w ok i n d so ff u z z yt h r e s h o l dm e t h o d s a r e d e s i g n e d t h e r e l a t i o n sb e t w e e nw a v e l e tc o e f f i c i e n t sm a g n i t u d ev a l u e sa n dl o c a lv a r i a n c e s a r ec o n s i d e r e da n dan o v e l a p p r o a c h t o f u z z yd e n o i s i n gu s i n g w a v e l e t t r a n s f o r m si s p r o p o s e d ，t h u ss o m el a r g e c o e f f i c i e n t sp r o d u c e db yn o i s ec a n b ee x c l u d e de f f i e i e n t l yb ys u c hm e t h o d f i n a l l y ，b a s e do nt h eo r i g i n a l w a v e l e tb a y e s i a nd e n o i s i n gm e t h o d s ， t h r e ek i n d so fd e n o i s i n gm e t h o d s - - a d a p t i v eb a y e s i a ns h r i n k a g em e t h o d ， a d a p t i v eb a y e s i a nd e n o i s i n gb a s e dw a v e l e t t h r e s h o l dm e t h o da n db a y e s i a n t h r e s h o l db a s e dh y p o t h e s i st e s ta r ei n t r o d u c e da n dc o m p a r e dw i t h o t h e r w a v e l e tb a y e s i a nd e n o i s i n gm e t h o d s i nt h et h i r ds e c t i o n 、t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft r e n dt e r m se l i m i n a t i o no f w a v e l e ti su s e di nt h e g y r od r i f t e r r o r m o l d i n g k a l m a nf i l t e r ，a d a p t i v e k a h n a nf i l t e ra n dm o d i f i e da d a p t i v ek a l m a nf i l t e ra r eu s e dt o g y r os i g n a l p r o c e s s i n g ，t h em o d i f i e da d a p t i v ek a l m a nf i l t e rc a nr e s t r a i nb a di n f l u e n c e c o m i n gf r o mo u t l i e r s e n h a n c e dd i m e n s i o n sa d a p t i v ek a l m a nf i l t e ri su s e d t of i l t e ra n de s t i m a t et h es t a t i cg y r o s c o p i cd r i f tp a r a m e t e r sp r e c i s e l y k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，r e d u n d a n tw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h r e s h o l d d e - n o i s i n g ，a d a p t i v ew i e n e rf i l t e r ，b a y e s i a ne s t i m a t e ，g y r od r i f l ， k a l m a n f i l t e r ，m o l d i n g ，a rm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天洼大芏或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的酷明并表示了谢意。 学位论文作者签名：零多峭 签字日期： 凇。年j 月尹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘注盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：参2 ，寸、 导师签名 冽锈 签字日期：沁f 年，2 月，日签字日期：口劲f 年“月知日 天津大学博士学位论文 绪论 小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科，是调和分析这一数 学领域的工作结晶，它同时具有理论深刻与应用十分广泛的双重意义。 它的应用领域包括信号处理、图像处理、量子力学、计算机识别、电 子对抗、音乐与语音人工合成、机械故障诊断等方面。例如在数学方 面已用于数值分析、微分方程求解、控制理论等：在图像方面的图像 压缩、c t 成像、彩色复印等：在信号处理中的信号分解与重构、去噪、 滤波等。本文主要研究小波去噪的理论与方法及其在寻北仪信号处理 中的应用。 与f o u r i e r 分析相比，小波分析属于调和分析，是一种时频域分析， 具有多分辨分析的特性，它巧妙地利用了非均匀分布上的分辨率，通 过平移的可变窗口观察非平稳信号，在信号瞬变或突变处( 高频) 用窄 窗，在信号缓变处( 低频) 用宽窗，因此能有效地提取信号波型特征，获 得信号先验信息。由于小波消噪对待检测信号形式不敏感，所以比匹 配滤波器的性能更优越。 利用小波变换进行信号去噪及重构始终是一个热门话题。人们早 就认识到信号和噪声在不同的尺度上有不同的特征表现，并试图加以 利用。小波变换为这一思想提供了一个自然而完美的工具，使信号和 图像的多尺度处理技术得到迅速发展。 1 1 小波去噪方法分类 小波去噪的思想是根据信号和噪声的小波变换系数在不同尺度上 有不同的传递特性，即信号的小波变换系数随尺度的增大而增大，而 噪声正好相反。构造出相应的规则，用来对信号和噪声的小波变换系 数进行处理从而最大限度地保留有效信号对应的小波系数和去除由噪 声产生的系数。然后对处理后的小波系数进行小波反变换就可以得到 去噪后的信号。 小波去噪的方法大致可以分成3 类：1 ) 一般小波的去噪方法；2 ) 绪论 小波包的去噪方法；3 ) 多小波的去噪方法。 1 1 1 一般小波去噪 11 1 1 基于小波变换模极大值原理的去噪方法 m a l l a t 等人提出利用信号或图像的边缘来重构信号或图像的思想 ”“。m a l l a t 算法的基本思路是：1 ) 对信号求其小波变换；2 ) 除第尺 度外，分别对其余的尺度信号求极大值；3 ) 利用信号和噪声奇异性之 差异，去除噪声信号所对应的模极大点4 ) 利用m a l l a t 重构算法一投影 迭代法重构信号，得到滤波后的信号。m a l l a t 的方法是目前对信号和 图像及噪声的多尺度数学特性刻画的最精细，数学基础最完善的理论 之一。m a l l a t 方法存在原理复杂，算法不易操作，编程较困难等不足， 但其发展和应用潜力很大。文献【3 】使用向凸集上投影( p o c s ) 的迭代方 法利用模极大值对信号进行重构，也取得了较好的效果。 1 112 基于小波变换域内系数相关性的滤波算法 w i t k i n 首先提出用小波分解中不同尺度信号的空间相关去除噪声 的思想。x u 等利用信号的非正交小波变换具有很强的空域相关性来进 行信噪分离，并提出空域相关小波域滤波方法【4 j 。 以上提到的算法，在计算相关系数对，受到了小波系数在时间轴 上偏移的影响。为了克服通常相关算法中由于各尺度间小波系数的偏 移引起的判断准确率低的缺点，赵瑞珍【5 】等提出了基于小波系数区域 相关性的阈值滤波算法。进而对小波域滤波之后的系数进行闽值处理， 以去除残留的噪声系数。由该方法滤波之后得到的小波系数不仅连续 性好，而且更加接近于未加噪声的小波系数，准确性高。 1 1 1 3 基于阈值的去噪方法 1 9 9 5 年，d o n o h o n 提出了种新的基于阈值处理思想的小波域去 噪技术1 6 】。它与其它小波去噪方法相仿，也是先对信号求小波变换， 再对小波变换值进行丢噪处理，最后反变换得到滤波后的信号，所不 同的是去噪处理中阈值的选取主要基于近似极大极小化原理，以处理 后的信号与原信号以最大概率逼近为约束条件，然后考虑采用软闽值， 天津大学博士学位论文 并以此对小波变换系数做处理，能获得较好的去噪效果，从而有效提 高信噪比。 潘泉【7j 8 等在d o n o h o 等人的工作的基础上推导和完成了噪声能量 闽值的理论计算公式，并提出了噪声方差的估计算法，从而构成了形 式完整的小波域自适应滤波算法。该方法表现出良好的自适应性和显 著的滤波效果。另外，还可以对小波去噪中使用的阈值乘以一个系数 以增加闽值决策的自由度。同时在合理假设的前提下可以找到一个重 构信号与真实信号误差的近似函数 9 j ，这样就可以由函数的最小值来 选择阂值，从而减少对信号形式的依赖。 对于小波阈值去噪的方法可以采用在不同的尺度上用不同的闽值， 即随着尺度的增大，闽值随之逐渐减少，使得与噪声在小波变换各尺 度上的传播特性相一致，这种方法也适用于对相关噪声的去除 98 】。另 外，在同一尺度上又可采用阈值随着系数位置的改变而改变的方法， 即小波域的自适应闽值去噪，这种方法的准则可出小波域的贝叶斯假 设得到 1 0 - 1 2 1 。此外，可以将阈值降噪思想引入到小波标架变换域1 1 3 1 ， 从而得到新的去噪方法。 由于噪声和信号在高阶矩下表现出不同的特性，因此可以设计出基 于小波阈值的高阶矩去噪方法，理论上，只要是三阶矩以上就可以取 得较好的效果。文献 1 4 】使用了四阶矩方法，这使得去噪信号的均方误 差有了较大改善。 文献 15 】中阈值的选取是建立在估计l i p s c h i t z 指数的基础上，这 种新方法可被看作是m a l l a t 算法和d o n o h o 去噪方法的结合。这种方 法具有平移不变性并有效保护了信号的边缘。 由于正交小波对平移位置的敏感性，使得小波阈值去噪存在着一 定的局限性，随着小波理论的发展，c o i f m a n 构造了平移不变小波”， 并用到了阈值去噪上，称为“第二代小波阈值去噪法”，这种去噪方法 具有平移不变性，能有效地去除“伪吉布斯”现象。其它的冗余小波 域阈值去噪与上述方法类似，详见第二篇。 1 1 1 4 小波的其它去噪方法 绪论 ( 1 ) 贝叶斯估计和尺度空间滤波相结合的滤波方法 此方法先利用贝叶斯估计增强信号抑制噪声，提取出信号的主要 信息，然后利用尺度空间滤波进行平滑。即利用贝叶斯估计提取出信 号的小波系数，然后对估计出的小波系数重构，得到滤波信号。贝叶 斯估计较好地保留了信号的边缘信息，但滤波信号尚不够平滑。尺度 相关滤波则补充了贝叶斯估计的不足，可进一步抑制贝叶斯估计残留 的毛刺。在本方法中由于信号的小波系数表现出很强的非高斯统计特 性，所以其密度函数可以用推广的拉普拉斯先验分布建模 。此法与 阈值滤波法相比，滤波效果明显。 ( 2 ) 与l m s 算法相结合的小波滤波算法 l m s 算法作为自适应滤波器的常用算法，近几年已被引入小波变 换域 m 2 0 1 1 3 7 】，对小波域的基于l m s 算法的自适应滤波较时域的l m s 自适应滤波有更好的去耦性和收敛性，并且前者较后者也有更小的输 出误差。而对于正弦信号，基于自正交化的离散傅立叶变换的l m s 滤 波器( f l m s ) 的收敛性优于基于小波变换的l m s 自适应滤波器 ( w l m s ) ：但对于非平稳信号则正好相反，这也说明变换域对信号自 适应滤波的重要性。利用离散小波变换后的相关矩阵具有稀疏带状结 构的性质，小波变换域的l m s 算法可以生成比时域、离散傅立叶变换 域( d f t ) 以及离散余弦变换域( d c t ) 的l m s 算法更快的收敛性【2 “。如 果把信号分解成多个子带信号并进行抽采，就可以转化为小波子带上 的自适应滤波。它有利于降低计算复杂度，改善收敛性能，同时也便 于并行处理 2 2 1 。 ( 3 ) 不同小波的多次去噪方法 由于噪声干扰的丰富性与多样性，期望用某一种小波在某个尺度 上把干扰成分完全提取出来的想法是不现实的，所以可在小波一次去 噪的基础上进行二次去噪。文献 2 3 1 把这种方法应用到涡流检测电抗信 号中，结果表明二次去噪优于一次去噪的方法，但其在去噪的过程中 只用了同一种类型的小波。由于不同的小波函数具有不同的时频局部 化特性，如果选择合适的不n 类型的小波，则去噪效果会更好。 天津大学博士学位论文 在小波变换的具体应用中为了提高小波变换的灵活性，突出信 号的特征信息。在对信号进行多分辨分析的过程中，大尺度可选用频 域局部化特性较好的小波，而小尺度可选用时域局部化较好的小波， 从而使得小波变换系数的模极大值既有较大的幅度又有较准确的位 置，这样信号的特征在去躁时就不会被模糊掉。文献r 2 4 1 在旋转机械故 障的诊断中应用了多个小波的分析方法，表明多个小波比单一小波较 易准确地获得故障特征信息。 ( 4 ) 小波与自相关相结合的去噪方法 孙才新【25 等针对局部放电信号中的白噪干扰较难抑制的问题，提 出了一种基于小波和自相关相结合的局部放电提取方法，即先对采集 信号进行自相关计算，然后进行小波变换并在小波域进行去噪处理。 最后从经小波反变换得到的自相关函数中提取局部放电信号。这种方 法不仅可以显著提高信噪比，而且也可以完全重构局部放电信号。 除了上述的去噪方法外，还有c v ( c r o s sv a l i d a t i o n ) 方法 2 6 1 和g c v ( g e n e r a l i z e d c r o s sv a l i d a t i o n ) 方法l z “，但在仿真中发现这些方法只适 用于图像去噪，而对信号去噪不太理想，本文不再赘述。 1 1 2 小波包去噪 时频局部化和多分辨分析是小波的精华所在。为了与信号特性相 匹配，小波变换的分辨率在时频平面上是固定不变的，但小波变换的 频率分辨率随频率升高而降低。也就是说，在高频端不能有比低频端 更好的频率分辨率，这也不完全适合实际信号分析的需要，所以进一 步希望分辨率能根据信号特性和分析要求任意选择，而小波包( w a v e l e t p a c k e t s ) 正好能满足这一要求。小波包能对信号在时频域进行更精细的 分析处理，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频 部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应 频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时频分辨率，因此小波包 具有比小波更好的去噪效果。小波包是小波函数的推广，所以小波去 噪的理论和方法对小波包一样适用 2 8 - 3 1 1 。 由于小波包的分解频带较多，这无疑增加了计算的复杂度，为了 绪论 计算简便，可以引入频带一一范数。通过计算频带的范数，只保留信 号能量较多的几个频带( 因为这几个频带包含有信号的大部分信息) ，然 后对保留的小波系数进行阈值处理，进一步抹去噪声成分f 28 1 。另外， 为了避免在无穷时间的能量有限信号空间中研究小波包的初始化、边 界效应等问题，可用共轭滤波器构造有限长正交基序列库 2 9 l 。有了基 序列库，就能够用某种准则选择和描述信号的最佳小波包基，这样就 克服了傅里叶变换和普通小波变换的基固定不变的缺陷。 1 1 3 多小波去噪 多小波是小波理论的新发展。多小波是指由两个或两个以上函数 作为尺度分量生成的小波。多小波因为可以同时满足对称性、紧支性、 光滑性和正交性，所以在信号处理方面比单小波更有优势。其中多小 波去噪的研究是多小波的一个热点之一。多小波用于信号处理时，基 于小波系数分解重构的快速m a l l a t 算法同样适用，只是多小波函数和 尺度函数的双尺度关系不再是列数据，而是，矩阵。所以原始输 入数据相应地也应该是矩阵，这就需要对输入数据作预处理。预处理 方案与多小波的性质有关，不能任意选取。不合适的预处理方案将得 不到满意的分解结果。多小波是单小波的推广，单小波去噪的很多原 理、方法都可以平行的推广到多小波。但多小波是矢量函数，有许多 自身的特点，正由于这些特点使得多小波去噪在某些方面应用效果优 于单小波【3 2 3 6 1 。 可以将多小波与平移不变相结合，进行平移不变的多小波去噪，这 种方法明显优于非平移不变的多小波去噪法。然而在平移不变的多小 波与单小波去噪的比较中，如使用软闽值法，多小波去噪效果要优于 单小波去嗓：如使用硬阈值法，对有的信号单小波去噪优于多小波去 噪 3 2 1 。在多小波的去噪中既可以使用单交量的阈值法也可使用双变量 的闽值法，但双变量阈值法的去嗓效果要好些。 从上述可知小波去噪方法种类繁多，并有各自不同的理论基础， 可以用来满足不同信号去噪或滤波的需求。按应用领域分，小波去嗓 广泛应用在语音信号去噪【3 9 1 、湍流信号去噪 4 们、生物医学信号去噪【4 ”、 天津大学博十学位论文 雷达信号等各弛各样的信号去噪中。本文主要讨论的是小波去噪方法 及其在陀螺仪信号处理中的应用，小波理论虽被引入陀螺信号处理中 4 2 4 3 1 ，但还存在许多空白，小波去噪理论的潜力还没有被彻底挖掘。 作为天津市自然科学基金资助项目，本课题组将小波去噪理论应用到 寻北仪项目上，对陀螺仪信号的小波基进行系统性的选取f 4 “，将双正 交小波和平稳小波应用到陀螺信号处理中并取得了较好的效果1 4 5 】| 4 ”。 1 2 小波去噪方法中存在的问题 传统小波和多小波去嗓的方法尚不完善，尤其是对多小波的理论研 究尚需进一步深入。从去噪的角度考虑，至少对以下几个方面的研究 是必要的： ( 1 ) 最优小波基的选取问题。小波基的一些性质对去噪的效果有很大 影响，去噪的最优基如何选取仍然是一个没有完全解决的问题。 ( 2 ) 闽值的选取方法。在闽值去噪中，阈值的选取方法特别多且没有 统一的方法，目前多使用经验值。采取什么样的阈值选取标准是个 值得研究的问题。 ( 3 ) 多小波和矢量滤波器组的设计方法。多小波和矢量滤波器组有许 多构造方法，但对小波去噪来说还没有个好的、较通用的设计准则。 ( 4 ) 预，后滤波器的设计。小波去嗓中，预后滤波器的设计是个关键， 针对不同的多小波，采取怎么样的预后滤波器设计方案及怎样评价这 些设计方案都是需要深入研究的课题。 1 3 本文的研究工作和内容安排 1 3 1 本文的研究工作 针对去噪方法的多样性，在较全面地查阅国内外小波去噪文献的 基础上，系统地对小波去噪方法进行了分类、总结和研究。本文所做 工作的主要特点是：针对小波分析的特点，将其与惯导系统、滤波器 理论、模糊理论、概率论等学科交叉，从而提出颓理论、新方法、新 应用。论文工作的创新之处主要表现在： 绪论 ( 1 ) 在陀螺仪漂移信号的小波基选取的基础上，系统地将双f 交小 波、冗余小波等应用到陀螺仪信号处理中，其滤波效果明显优于经典 小波：针对在恶劣环境下陀螺仪输出存在脉冲噪声的情况，将中值滤 波器引入小波域设计了小波域中值滤波器，此滤波器能有效地去除野 值和较大窗口的脉冲。 ( 2 ) 在对几种常见小波阈值去噪法研究的基础上，提出了一种基于 均值的小波闽值去噪方法和一种冗余小波域的闽值去噪方法。经实验 仿真，验证了这两种方法都比相应的小波阈值法去噪效果好。 ( 3 ) 通过对小波域w i e n e r 滤波器的研究，将w i e n e r 滤波器与平移 不变小波结合，设计了平移不变小波w i e n e r 滤波器；在此基础上又设 计了小波域自适应w i e n e r 滤波器和一种新的小波域中值滤波器，设计 的滤波器在仿真中都取得了较好的去噪效果。 ( 4 ) 通过将模糊理论引入小波阈值去噪方法，设计了两种模糊阈值 去噪方法；在分析信号小波系数幅值与局部方差关系的基础上，提出 了基于模糊逻辑的同时考虑小波系数幅值和局部方差的去噪方法，此 方法有效地避免了小波阈值法误判的缺陷。 ( 5 ) 通过将贝叶斯方法与小波理论结合，根据小波系数的不同分布 特性，设计了自适应贝叶斯小波压缩法、基于小波阈值方法的自适应 贝叶斯去噪法、基于假设检验的贝叶斯阈值去噪法等三种去噪方法， 并跟已有的贝叶斯小波去噪法进行了比较。 ( 6 ) 将小波的去除信号趋势项的特性应用到陀螺漂移信号误差建 模上，在对去除趋势项的随机陀螺信号进行卡尔曼滤波和自适应卡尔 曼滤波的同时又设计了抗野值的自适应卡尔曼滤波器；在此基础上又 进一步设计了增广的自适应卡尔曼滤波器，其在对随机陀螺信号滤波 的同时也能很好地辨识出陀螺的动力学误差模型系数，试验验证通过 对陀螺漂移信号的增广自适应卡尔曼滤波可以有效提高寻北仪的寻北 精度。 1 3 2 本文的内容安排 论文分成三篇，每一篇分别对应不同的研究专题。 8 天津大学博士学位论文 第一篇、将双f 交小波、冗余小波及小波域中值滤波器应用到陀 螺仪信号处理中，并与经典小波的处理结果进行了比较。 第二篇、在研究小波阂值去噪的基础上，提出了两种闽值去噪方 法，随后又研究了小波与滤波器、模糊理论及贝叶斯理论结合的去噪 方法。提出了小波域中值滤波器、小波域自适应w i e n e r 滤波器、小波 域模糊去噪方法及小波域的一系列贝叶斯去噪方法。 第三篇、将小波的多分辨分析特性应用到陀螺漂移信号误差建模 上。本方法比传统去除趋势项方法更简单，更有效。在对去除趋势项 的随机陀螺信号进行自适应卡尔曼滤波时可得到比卡尔曼滤波更好的 效果，在此基础上又设计了抗野值的自适应卡尔曼滤波，可有效去除 野值对滤波的影响。通过对随机陀螺信号进行扩展的卡尔曼自适应滤 波可以得到信号的动力学误差模型，该模型辨识法简单有效且具有较 好的通用性。 天津大学博士学位论文 第一篇小波去噪理论在陀螺漂移信号处理中的应用 第一章小波变换的数学基础 本章主要内容为小波理论的数学基础，为了便于阅读，只对小波 理论进行了较简单的介绍，关于理论公式推导请参阅相应文献4 9 、5 7 1 。 1 1 一维连续小波变换 设妒( f ) r ( r ) ，其傅立叶变换为驴( 面) ，当痧( 甜) 满足允许条件( 完全 重构条件或恒等分辨条件) c ，= i 警 o 。 ，) 时，矿( ，) 称为一个基本小波或母小波( m o t h e r w a v e l e t ) 。将母函数y ( r ) 经伸缩和平移后得 嘣归赤攻爿a , b e r ；删 ( 1 - 2 ) 称其为一个小波序列。其中口大于零，为伸缩因子，b 反映位移，其 值可正可负。对于任意的函数厂( f ) l 2 ( r ) 的连续小波变化为： ( 咖) = 钳肌) 以学p ”3 ) 在式( 1 3 ) 中，不但r 是连续变量，盯和b 也是连续变量，因此称为连 续的小波变换，简记为c w t ( c o n t i n u o u s w a v e l e t t r a n s f o r m ) 。其反变换 ( 重构公式) 为： 邝，= 击扣c 删愕- a b ) d a d b a ， 由于基小波y ( f ) 生成的小波矿( f ) 在小波变换中对被分析的信号 起着观测窗的作用，所阻g t ( t ) 还应该满足一般函数的约束条件： l 出 o o ( 卜5 ) 第一章小波变换的数学基础 故驴( ) 是一个连续函数。这意味着，为了满足重构条件式( 1 1 ) ，痧) 在原点必须等于零，即： 矿( o ) 2i 。妒( r ) 出= 0 ( 1 6 ) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件外 还要求小波矿( r ) 的傅立叶变换满足下面的稳定性条件： a 痧( 2 一。) 卜b ( 1 7 ) 式中，0 a b 0 ，这表明当信号厂( f ) 作某一倍数伸缩时，其小波变 v c 换将在a ，b 两轴上作同一比例的伸缩，但是不发生失真变形，这是小 波变换成为“数学显微镜”的重要依据。 ( 4 ) 自相似性：对应于不同尺度参数口和不同平移参数b 的连续小波 变换之间是自相似性的。 ( 5 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度( r e d u n d a n c y ) ， 小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个 方面： ( a ) 由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是 说，信号( ，) 的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变 换与傅立叶反变换是一一对应的。 ( b ) 小波变换的核函数即小波函数。( f ) 存在许多可能的选择( 例 如，它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼 此线性相关的) 。 天津大学博士学位论文 1 ，2 离散小波变换 在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离 散化。因此，有必要讨论连续小波虬。( r ) 和连续小波变换，( a ，6 ) 的离 散化，需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数d 和连 续平移参数b 的，而不是针对时间f 的。 对于尺度的离散化，目前通行的办法是对尺度按幂级数作离散化。 即令d = d j ，j z 。那么，对位移的离散化来说，当a = 1 ( ，= o 时) ，b 可 以在某一基本间隔b 。作均匀采样。b 。应适当选择使信息仍能覆盖全b 轴 而不丢失( 例如不低于n y q u i s t 采样率) 。在其余各尺度下由于( 面。，) 的 宽度是y ( r ) 的口= c j 倍( 相当于其频率降低了口= j 倍) ，因此采样间隔可 以扩大a ：a ：倍。也就是说，在某一，尺度下沿b 轴以b = 妇i6 0 为间隔均 匀采样仍可保证信息不丢失。这样离散小波函数y 。( f ) 即可写作 h 脚= a o - j 1 2 it - k 。a ，g b _ _ _ _ 盟o | = 酊2 v ( a o - q - k b 。) ( 1 - 8 ) u 0 而离散化小波变换系数则可表示为： c 肚= ff ( t ) v j t ( f ) 出= ( ，”) ( 1 - 9 ) 其重构公式为： ，( r ) = c x x c ，。，i ( r ) ( 1 - l o ) 其中c 是一个与信号无关的常数。 如何选择和b 。，2 j - 能保证重构信号的精度昵? 显然，网络点应 尽可能密( 即和b o 尽可能的小) ，因为如果网络点越稀疏，使用的小 波函数。( f ) 和离散小波系数c “就越少，信号重构的精确度世就会越 低。 如果采用二进动态采样网络，即= 2 ，b o = 1 ，每个网络点对应的 尺度为2 ，而平移为2 7 t 。就可得到的二进小波( d y a d i c w a v e l e t ) ，见 f 1 1 1 ) 式 妒肚( f ) = 2 - j 7 2 矿( 2 一卜i ) 第一章小波变换的数学基础 二进小波不同于连续小波的离散形式，它只是对尺度参数进行了 离散化，而对时问域上的平移参量保持连续变换，因此二进小波不破 坏信号在时间域上的平移不变性，这正是它与正交小波基相比所具有 的独特优点。 1 3 小波的多分辨分析 m e y e r 于1 9 8 6 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其 二进制伸缩与平移构成r ( r ) 的规范正交基，才馒小波得到真正的发 展。1 9 8 8 年s m a l l a t 在构造正交小波基时，提出了多分辨分析 ( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的概念60 1 ，从空间的概念上形象地说明了小 波的多分辨率特性，将此以前的所有正交小波基的构造法统一起来， 给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于傅立叶变换算法在经典 傅立叶分析中的地位。 可以从两个角度分析小波的多分辨分析，即函数空间的剖分和理 想滤波器组。本章为了能全面地描述多分辨分析，从函数空问的剖分 入手进行介绍。 把空间f ( r ) 逐级二分解产生一组逐级包含的子空间，则多分辨分 析的子空间碥可以用有限个子空间来逼近，即有： = ko = 心0 o 啊一一 0 0 。0 o o ( 1 1 2 ) ，+ l 是y 川在一中的正交补，即： _ + io + 。= 巧_ ，z ( 1 _ 13 ) 式( 1 - 1 2 ) 中的空间序列 巧j 。满足以下几个条件： ( 1 ) 单调性：e 一。 对任意的j z ： r 。、 ( 2 ) 逼近性：n _ = o ，c l o s e ! 巧 - 三2 ( r ) ； j e z lj ( 3 ) 伸缩性：厂0 ) 一营f ( 2 t ) 0 ，；伸缩性体现了尺度的变化、逼近 正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。 ( 4 ) 平移不变性：对任意的k z ，有庐，( 2 1 ，) j 1 1 天津大学博士学位论文 ，( 2 0 一k ) v j ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在( f ) ，使得 ，( 2 一。f t ) k z 构成 p 的r i e s z 基。 对于条件( 5 ) ，可以证明，存在函数妒( r ) ，它的整数平移系 ，( 2 7 f k ) l k z 构成一的规范正交基，( f ) 称为尺度函数( s c a l i n g f u n c t i o n ) 。定义函数 办i o ) = 2 - j ；2 庐( 2 一。f k ) j ，k z( 1 1 4 ) 则函数系协，。( t ) l k z 是规范正交的。 式( i 一1 2 ) e f 的空间列 f z 具有以下性质： ( 1 ) f ( t ) ，等f ( t 一2 7 ) 矽，月z ( 2 ) f ( t ) f ( 2 t ) ，- l，z 和一样，希望找一个确定的函数妒( f ) ，使得对每个j z ，函 数系 妒，hs z ) 构成空间的规范正交基，其中： 。p ) = 2 - j 12 ( 2 - j ，- n ) 。( 1 15 ) 若令f ( j ) 代表分辨率为2 1 的函数厂l 2 ( r ) 的逼近( 即函数厂 的低频部分或“粗糙像”) ，而d j 矿，代表逼近的误差( 即函数厂的高 频部分或“细节”部分) ，则式f 1 1 2 ) 意味着： = z + j = + d 2 + d l = = 厶+ d + d 一l + _ - + d 2 + d l ( 1 一l6 ) 所以上式可以简写为： ，= 厂+ 一 ( 1 17 ) j = l 这表明，任何函数f 三2 ( r ) 都可以根据分辨率为2 1 ”时厂的低频部 分( “粗糙像”) 和分辨率2 一，( 1 ，n ) 下 厂的高频部分( “细节” 部分) 完全重构。 从包容关系k 。，很容易得到尺度函数妒( r ) = 丸，。( f ) 的一个极为有 用的性质。注意到( f ) 旷。，所以( ，) 可以用以。子空间的基函数 以p ) = 2 “2 痧( 2 ，一七) 展开，令展开系数为厅) ，则： = ( ) 以。 ( f ) = 2 而( t ) ( 2 卜七) ( 1 18 ) 这就是尺度函数的双尺度方程。 第一章小波变换的数学基础 另一方面，由于_ 。= o ，故铲( ，) = 妒。( f ) 屹，这意味着 小波基函数p ( r ) 可以用旷，子空间的正交基“( f ) = 2 1 , 25 b ( 2 t 一) 展开，令 展丌系数为g ( k ) ，即有： y ( f ) = g ( 女) m = 4 万, g ( k ) o ( 2 t 一女) ( i 一19 ) 这就是小波函数的双尺度方程。 式( 1 18 ) 和( 1 - 1 9 ) 中的展开系数h ( k ) ，g ( 女) 分别为 h ( k ) = ；g ( k ) = ( 1 - 2 0 ) 双尺度方程表明，小波基妒卅( r ) 可由尺度函数( f ) 的平移和伸缩的 线性组合获得，其构造归结为滤波器h ( c o ) ( h ( k ) 的频率表示) 和 g ( ) ( g ( 女) 的频率表示) 的设计。 综合以上分析，可知在信号处理中，由于尺度函数的傅立叶变换 乒沏) 具有低通滤波特性，所以尺度系数相当于信号的低频部分：而小 波的傅立叶变换驴( ) 则具有高通滤波特性，于是小波系数相当于信号 的高频部分。 天津大学博士学位论文 第二章寻北仪方案设计及寻北原理 寻北仪应用于面向陆基全自主精确寻北作业领域，可以为陆基战 略、战术弹道导弹、陆基巡航式导弹、远程火炮等精确打击武器系统 提供基准射向。寻北仪的性能将直接影响导弹的命中精度和武器系统 的快速反应能力，目前先进的洲际弹道导弹的落点精度( c e p ) 值已达 1 2 0 米，显然这对于寻北系统的精度要求是很高的。在要求精度的同时 寻北系统还必须具有快速寻北的能力，它对导弹武器系统能否适时地 起到应有的战略战术作用关系极大。 总之，寻北仪是陆基导弹机动发射的一项关键技术，它对于导弹 的命中精度、战备反应时间及导弹部队的隐蔽性和生存能力都具有重 大的意义，它的出现将大大提高整个导弹部队的综合实力。 2 1 寻北仪原理 2 1 1 捷联式寻北仪方案设计 在参照前人研究的基础上 6 1 - 6 5 】，我们在方案的设计中采用一个单 自由度液浮积分陀螺仪和两个石英挠性加速度计精密地安装到一起， 构成一个“捷联”系统。在系统中，使陀螺仪敏感轴水平，一个加速 度敏感轴与陀螺仪敏感轴严格地平行，测量陀螺仪的不水平量，以补 偿地球垂直分量的影响；另一个加速度计敏感轴在水平面内与陀螺仪 敏感轴垂直，以感受由于地面扰动，在陀螺仪敏感轴方向形成的角速 度，然后加以补偿。把系统放在一个可旋转的方位框架中，就构成了 寻北仪。通过将系统绕垂直轴转动几个不同位置便可解算出方位角来。 由于寻北仪要求有1o l5 角秒左右的寻北精度，要达到这样的精 度，影响的主要因素是： ( ! ) 陀螺仪灵敏度和测量过程中的随机漂移，优于o 0 0 0 5 。h 。 ( 2 ) 加速度计及其二元调宽回路要保证其灵敏度，并且标度和偏值 稳定性等要达到l x l 0 g 。 ( 3 ) 陀螺仪的数字力反馈回路保证能稳定地测出o ，0 0 0 2 。h 的陀 1 6 第二章寻北仪方案设计及寻北原理 2 1 2 捷联式寻北仪的寻北原理 2 1 2 1 坐标系 载体固联坐标系( b ) 。x b 指向载体的首向，y b 指向载体右向， 陀螺的输入轴与x b 一致，个加速度计的输入轴也与x 8 一致， 2 1 2 2 欧拉角变换【6 5 l 【6 6 】 万料刚乏 p - ， 第一步，在地理坐标系中绕轴转动一个方位角y ，其变换矩阵为c ， c o s y s i n y 0 c ，= - s i n y c o s y 0f(2-2) l 00 1 j 第二步，绕y ，轴转动一个纵倾角o ，其变换矩阵为q 墨鲞盔堂堕堂垡笙茎 c o s 00s i n 0 o10 一s i n 00c o s 0 r 2 3 ) 第三步，绕x 。轴转动一个横倾角y ，其变换矩阵为c ， c ，栏0 c o s g妒sin。vy(2-4)0 s i nc o s ii p = if 一 妒y i 第四步，为了找北，转台必须绕z ，轴转动一个角度k ，变换矩阵为c 。 c o s ks i n k o i s i n kc o s k0 i( 2 5 ) 00 i i 令b = c ：= c k c ，c o cy ， lb i lb 1 2 b ：c k c ，, c e c r = i b 2 l b 2 2 l b 3 b ，2刘 f 2 6 ) b 1 l = c o s k c o s o c o s y s i n k c o s v s i n y + s i n k s i n vs i n o c o s y b 1 2 = c o s k c o s o s i n y + s i n k c o s v c o s y + s i n k s i n vs i n o s i n y ( 2 - 7 ) b 【3 = - c o s k s i n o + s i n k s i n g c o s 0 & 】= 一s i n k c o s o c o s y c o s k c o s q s i n y + c o s k s i n 缈s i n o c o s y b 2 2 = 一s i n k c o s o s i n y + c o s k c o s g , c o s