（应用数学专业论文）几类特殊循环矩阵相关性质的研究.pdf

青岛科技大学研究生学位论文 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 摘要 循环矩阵类作为矩阵理论的一个重要组成部分，有着优良的结构和性质，并 在现代科技工程领域有着广泛的应用，使其日益成为应用数学领域中一个非常活 跃和重要的研究内容因此，对循环矩阵类的研究将会得到许多有意义的结果 本文在大量文献的基础上进一步研究了几种特殊循环矩阵和几种特殊分块 循环矩阵的一些性质和特征，求逆矩阵的方法等内容 本文主要包括以下几个部分 第一章主要介绍了循环矩阵的预备知识，包括循环矩阵的发展历史和研究现 状，几类基本循环矩阵和循环矩阵、分块循环矩阵的概念与性质以及循环矩阵类 的基本运算 第二章主要研究了反对称反循环矩阵的性质，根据反对称反循环矩阵的“反 对称和“反循环 这两个特性，利用f o u r i e r ( 傅里叶) 矩阵和v a n d e r m o n d e ( 范 德蒙) 矩阵分析研究了此类循环矩阵的特征值和特征向量的一般规律和特殊性质 本章的最后部分探讨了几种反对称反循环矩阵的求逆方法 第三章主要通过对称，一循环矩阵和，一循环矩阵与对称反循环矩阵的关系 得出了对称，一循环矩阵的更一般，更有效地展开式表达，并通过这个展开式进 一步讨论了对称，_ 一循环矩阵的基本性质，对称，一循环矩阵可逆的充要条件和求 逆矩阵的方法，还给出了判断一个矩阵是对称，一循环矩阵的充要条件 第四章主要是利用矩阵的k r o n e c k e r 积，把循环反对称矩阵和对称，一循 环矩阵的一些性质证明推广到分块循环反对称矩阵和分块对称，一循环矩阵领 域，进一步充实了分块循环矩阵和矩阵理论的内容 关键词循环矩阵反对称反循环矩阵，一循环矩阵对称，一循环矩阵循环反 对称矩阵 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 s r r i 州0 ns e v e r a l s p e c i a i ，c 瓜a 。垭m 嗡叮u c e s c i r c u l a t em a t r i c e sa r ea ni m p o r t a n tc o m p o n e n to ft h em a t r i xt h e o r y b e c a u s et h e y h a v eal o t0 f9 0 0 dp r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r e s ，a n da r ee x t e n s i v e l ya d o p t e di nt h ef i e l d o fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , c i r c u l a t em a t r i c e sh a v eb e c o m eo n eo ft h em o s t i m p o r t a n t a n da c t i v er e s e a r c hf i e l d so fa p p l i e dm a t h e m a f i c si n c r e a s i n g l y s ot h e r e s e a r c ho ft h e s ew i l lb r i n go u tal o to fm e a n i n g f u lr e s u l t s i nt h i sp a p e r , w es t u d ys o m ec h a r a c t e r sa n dm a t r i xi n v e r s i o nt e c h n i q u eo fs e v e r a l s p e c i a lc i r c u l a t e sm a t r i c e sa n ds e v e r a ls p e c i a lb l o c kc i r c u l a t em m r i c e sb a s i n go na f l o o do fr e f e r e n c e s d e t a i la sf o l l o w s ： c h a p t e ro n e i tg i v e st h er e l e v a n tb a c k g r o u n dk n o w l e d g e ，m a i n l ya b o u tt h e s t u d yo fc i r c u l a t em a t r i c e sa th o m ea n da b r o a d ，t h eb a s i cc o n c e p t s ，c h a r a c t e r i s t i c so f c i r c u l a t em a t r i c e s ，a n dt h eb a s i cc o m p m i n gi n s t r u m e n t sw h i c hh a v eb e e nf r e q u e n t l y u s e di nm a t r i xt h e o r ya n dm a t r i xc a l c u l a t i o i l s c h a p t e rt w o i ts t u d i e st h ec h a r a c t e r so fs k e w s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a t e m a t r i x b a s e do nt h es p e c i a lc h a r a c t e r so ft h i sk i n do fm a t r i c e sa n du s i n gt h ef o u r i e r m a t r i xa n dv a n d e r m o n d em a t r i x ，w ea n a l y z ep a r t i c u l a rl a w sa n ds p e c i a lc h a r a c t e r so f s k e w - s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a t em a t r i c e s e i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r s a tt h el a s t o ft h i sc h a p t e r , w eg e ts o m em a t r i xi n v e r s i o nt e c h n i q u e so fs k e w s y m m e t r i ca n d s k e w c i r c u l a t em a t r i x c h a p t e rt h r e e 眙g e tt h ee x p r e s s i o no fs y m m e t r i c r c i r c u l a rm a t r i c e st h r o u g h t h er e l a t i o no fs y m m e t r i cr c i r c u l a rm a t r i c e s r c i r c u l a rm a t r i c e sa n ds y m m e t r i c s k e w - c i r c u l a t em a t r i x w ef u r t h e rd i s c u s sb a s i cc h a r a c t e r s ，n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o no fr e v e r s i b i l i t yo ft h i sk i n do fm a t r i c e s ，a n dg e tt h em a t r i xi n v e r s i o n t e c h n i q u ea n dn e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fj u d 百n gam a t r i xi sa s y m m e t r i c r c i r c u l a rm a t r i xo rn o t c h a p t e rf o u r w r ee x t e n ds o m ec h a r a c t e r so fc i r c u l a ra n ds k e w s y m m e t r i cm a t r i x a n ds y m m e t r i cr c i r c u l a rm a t r i c e st ob l o c kc i r c u l a ra n ds k e w - s y m m e t r i cm a t r i xa n d b l o c ks y m m e 仃i cr c i r c u l a rm a t r i c e s t i l i ss t u d yf u r t h e re n r i c h e st h ec o n t e n to fb l o c k c i r c u l a rm a t r i c e s k e yw o r d s ：c i r c u l a rm a t r i xa n t i c i r c u l a ra n t i s y m m e t r i cm a t r i x r - c i r c u l a r m a t r i xs y m m e t r i cr - c i r c u l a rm a t r i xc i r c u l a ra n t i s y m m e t d cm a t r i x h 青岛科技大学研究生学位论文 目录 l i i i i i i1i ii ii ii i i i ii i i i l 17 4 0 4 9 2 摘要i 目录1 符号说明3 1 绪论及预备知识5 1 - 1 循环矩阵的发展历史和研究现状5 1 1 1 基本循环矩阵6 1 1 2 几类循环矩阵的概念7 1 1 3 基本循环矩阵的性质1 0 1 2 循环矩阵的基本运算1 1 1 2 1 矩阵的k r o n e c k e r 积h 引1 1 1 2 2f o u r i e r ( 傅里叶) 矩阵和v a n d e r m o n d e ( 范德蒙) 矩阵h 副1 2 2 反对称反循环矩阵1 5 2 1 反对称反循环矩阵的概念和展开式表示油1 1 5 2 2 反对称反循环矩阵的性质之特征值与特征向量1 6 2 3 反对称反循环矩阵的求逆2 0 3 ，一循环矩阵及对称r 一循环矩阵的研究2 5 3 1 对称r 一循环矩阵的若干性质2 5 4 几类循环分块矩阵3 1 4 1 分块循环对称矩阵的概念及其性质3 1 4 2 块矩阵为循环对称矩阵的分块反循环对称矩阵的特征值及特征向量3 7 4 3 分块对称r 一循环矩阵4 1 结论4 6 参考文献4 7 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 致谢5 0 作者硕士期间成果5 1 声明5 2 青岛科技大学研究生学位论文 i 。 i a l 或d e t ( a ) r a n k a 护( a ) 丑似) d i a g ( o a ，口2 ，a 。) 符号说明 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭 矩阵a 的共轭转置( 即矛) 矩阵a 的逆矩阵 矩阵a 的伴随矩阵 ，l 阶单位阵 矩阵a 为行列式 矩阵a 的秩 矩阵a 的迹 矩阵a 的第i 个顺序特征值 对角线为啊，口：，a 。，其余元素为0 的n 阶方阵 3 r 日 以 a 一4 a a a 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 青岛科技大学研究生学位论文 1 绪论及预备知识 1 1 循环矩阵的发展历史和研究现状 循环矩阵是一类特殊的t e o p l i t z 矩阵，除了具有t e o p l i t z 矩阵类的一般性质， 即它有2 以一1 个元素并且每一条平行于主对角线的元素都相同，此外还具有比 t e o p l i t z 矩阵类更加特殊的结构循环矩阵只含有n 个元素，它的任意行都可以通 过对矩阵的第一行进行置换得到由于循环矩阵结构的特殊性，使其有着一些特 殊的、优良的性质，充实着循环矩阵理论 同时，循环矩阵在很多领域，如分子振动、编码理论、图象处理、结构计算、 计算机时序分析等领域有着广泛的应用，对其性质的探讨也能让循环矩阵在这些 领域有着更广泛更便捷的应用，因此，对循环矩阵的研究有着重要的意义正因 如此，近年来，循环矩阵的研究已成为矩阵理论和组合数学中的一项热门课题 其实，早在1 8 8 5 年，学者m u i r 就提出了循环矩阵的概念，但当时并没有引 起广大数学研究者的重视，直到1 9 5 5 年开始，i j g o o d 等人才分别对循环矩阵 的逆、行列式以及特征值进行了研究，从此拉开了对循环矩阵各个方面研究的历 史在这五六十年的研究历史中，循环矩阵理论研究得到了快速发展迄今为止， 仅对于经典循环矩阵的研究文献已有很多同时，各种新的循环矩阵也被相继提 出，至今已有几十种，如向后( 对称) 循环矩阵，块循环矩阵，块对称循环矩 阵，循环布尔矩阵，一循环矩阵，向后( 对称) ，一循环矩阵，块，一循环矩阵和 块对称厂一循环矩阵，二重“，r 2 j 循环矩阵，g 一( 块) 循环矩阵，多重循环矩阵， 块因子循环分块矩阵，块因子对称循环分块矩阵，鳞状因子循环矩阵，置换因子循 环矩阵，循环模糊矩阵等n 卜船1 我国学者在这方面也做了很多卓有成效的工作啪侧 但是作为矩阵理论的重要分支，反对称反循环矩阵，对称，一循环矩阵及分块循 环矩阵的一些性质以及应用在很多方面仍然值得继续研究 5 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 1 1 1 基本循环矩阵 由于循环矩阵只含有i 1 个元素，它的任意行都可以通过对矩阵的第一行进行 置换得到，那么我们首先来介绍一下置换矩阵和几类基本循环矩阵 定义1 1 1 h 钔在置换矩阵中，矩阵 01o o o01 o 00o 1 青岛科技大学研究生学位论文 d = 的m n 阶矩阵d 为基本分块反循环矩阵 定义1 1 5 n 1 设l 为所阶单位阵，d 为聊阶零矩阵，形如 e = = o lmo oo l m d d d d d d r lmoo dd dd i m o o i m d d 脚刀阶矩阵e 为基本分块，- 一循环矩阵 1 1 2 几类循环矩阵的概念 下面，我们给出几类循环矩阵基本概念 定义1 1 6 h 5 3 复数域上疗阶矩阵 a = 称矩阵a 为聆阶循环矩阵，简记为a = c ( a o ，a 1 ，a 2 ，a 柚) 定义1 1 7 删复数域上y l 阶矩阵 7 ( 1 - 4 ) ( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) d d d l d d d l d d d 乙d d d l d 0 d d d d d d 加 = ? ： 和咖即； 加 2 3 4 1 m 柚 “； “； 如伪踟； 仍 q； 吒 1 2 踟卵盼；幽 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 a = ( 1 - 7 ) 则称矩阵a 为，z 阶反循环矩阵，简记为a = c 一1 ( 口o ，a 1 ，a 2 ，a 一) 定义1 1 8 h 引 觥l i ( a o ，a 1 ，a 2 ，a ) 按相反方向依序循环也构成一个 循环矩阵a ，即 a = =( 1 - 8 ) 我们称形如上式的行阶矩阵为对称循环矩阵，并用a = s c ( a o ，a 1 ，a 2 ，a “) 形如 ( 1 - 9 ) a l , a 2 ，a n _ 1 ) 胛个m 阶矩阵，f f l r l 4 之 o ； 一 一 一 露 ； 鸭 屹q ； 川一 q ； 咆 q； 咆 弋 五 哏啤； 1 q ； 五 4 o 4 ； 如如纵；伪 所以彩； 踟q 吒； 青岛科技人学研究生学位论文 a = aa a 4a 如 a如 一：a 一。 a 一，a 一2 aa a a 称为块循环矩阵，简记为a = 嬲，a ，a ，a 4 ) 定义1 1 1 1 h 5 1 若复数域c 上的m h 阶分块矩阵 a = 则称矩阵a 为块反循环矩阵，简记为a = b c 。低，a ，a ，a 4 ) 定义1 1 1 2 蚓若a 具有形状 a 一 ( 1 - 1 0 ) ( 1 - 1 2 ) 则称a 为，一循环矩阵n a 决定于第一行元素口o ，a 1 ，a 2 ，a 及参数r ，故简 记为a = c ，( 口o ，a 1 ，a 2 ，a ) 所有咒阶r 一循环矩阵的集合记作c m ， 特别的，当，= l 时，即为定义1 1 7 中的循环矩阵；当厂= 0 时，即为上三角 形t o e p l i t z 矩阵；当，= 一1 时，即为定义1 1 8 中的反循环矩阵 定义1 1 1 3 若矩阵a 具有形状 a 一 9 ( 1 - 1 3 ) 4 也 o o肛知肛；a， 之 o f k k 札；以 a a山；厶 a a a ；以 a a ；咆 d 之 a；办 4 之 o o ； 之 4 4 柚 ； 鸭 吒q ； 他 q； 慨 1 2 ； m m ； 彬彬胁； 伊 砌仍纵；脾 q 吒吩； q 吒； 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 则称a 为对称厂一循环矩阵，简记为a = s c ，( 口o ，a 1 ，a 2 ，a ) ，所有行阶对称 ，一循环矩阵的集合记作m ， 特别的，当，= 1 时，即为定义1 1 1 中的对称循环矩阵；当，= 0 时，即为上 三角形h a n k e l 矩阵；当，= 一1 时，即为定义1 1 2 中的对称反循环矩阵 定义1 1 4 h 础若复数域上如下形式的分块矩阵 a =( 1 - 1 4 ) 被称为m n 阶块，一循环矩阵，其中a c 一( i = 0 ，l 2 ，疗一1 ) ，简记为 a = b c , ( a o ，a ，如，a 4 ) ，对固定的r l , m ，块，一循环矩阵的全体记为b c m ， 当r = 1 时，即为定义1 1 1 1 中的m n 阶块循环矩阵；当r = 0 时，即为块上三 角形t o e p l i t z 矩阵；当r = 一1 时，即为定义1 1 1 2 中的m n 阶块反循环矩阵；当 m = 1 时，即为刀阶，- 一循环矩阵，此时简记为a - c , ( a o ，a ，a 4 ) ，并用c m ，表 示该类循环矩阵的全体 1 1 3 基本循环矩阵的性质 由于基本循环矩阵自身的特殊性，使得它们在本文中有着广泛的应用，首先 引入两个基本性质，这两个基本性质贯穿着论文始终 定理1 1 1 h 嗣任意一个刀阶循环矩阵a = c ( a o ，a 1 ，a 2 ，a 柚) 可唯一表示 为基本循环矩阵万的n - 1 次多项式a = 厂( 万) ，即 a = a d + q 万+ q 万2 + + a v r 露- 1 其中 ，( 力a t + 口2 石+ + 口 _ l z “ 定理1 1 2 口3 1 任何一个n 阶循环矩阵彳在复数域上都可以对角化，更进一 步，必存在一个力阶复可逆矩阵，它能使所有复数域上的n 阶循环矩阵同时对 l o 一 一 一 d k k k ；a 之 o 4 “ k k k ；鸭 如a a ；呜 a a k ；呜 a a ；心a；呜 青岛科技大学研究生学位论文 角化，即 4 锄； f(coo)0 厂( q ) 0 f ( c o 1 ) ( 1 - 1 5 ) 其中 f ( c o , ) 一a o q o + a l c a i + q q 2 + + a l c o l f “ ( 卜1 6 ) 以阶复可逆矩阵是由1 的n 次方根，q ，哆，c o - 1 组成的v a n d e r m o n d e 矩阵 一 111 l ( 0 1 缈2 1 砰彩2 2 1 衅1 国：d 1 2 循环矩阵的基本运算 ( 1 - 1 7 ) 上一节给出了几类循环矩阵的概念和循环矩阵的基本性质，本节将 给出矩阵k r o n e c k e r 积的定义和性质 1 2 1 矩阵的k r o n e c k e r 积汹1 a ，曰分别是m xn 阶，p x q 阶矩阵，则a 和曰的k r o n e c k e r 积a b 是 一个m p x n q 阶矩阵，即 a b = a n l ba 1 2 b a l b a 2 1 b 口2 2 曰a 2 b 口 1 曰a n 2 b a n n b ( 1 - 1 8 ) 因此，它可视为有聊个行块与刀个列块的分块矩阵，其各块均为p xq 阶矩阵由此定义看出，一般情况下a o b b0 a 1 l 1咯蚶 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 k r o n e c k e r 积有下述重要性质 ( 1 ) ( a a ) 0 b = a o ( 妇) = 口( ao b ) ，a 是纯量 ( 2 ) 似+ 曰) p c = 似圆c ) + p p c ) ( 3 ) a 0 + c ) = b ) + ( a o c ) ( 4 ) a 0 p c ) = 似0 曰) o c ( 5 ) 似0 b ) ( c0 d ) = ( a c ) 固( 肋) 这里a c ，b d 有意义 ( 6 ) 设矩阵a ，曰非奇异，则a o b 也非奇异，且似 口) 1 - a - 1o 口 ( 7 ) 似。功r = a r 曰r ，( a 曰) 日- a 日 曰日 ( 8 ) 两个方阵的k r o n e c k e r 积往往可以保持原方阵的一些性质，因 此有结论： 设复数域上的a 丑分别为m ， 阶复方阵，若a 与曰皆为正规 ( 酉，h e r m it ，对称，h e r m i t 正定，h e r m i t 半正定) 矩阵，则ap 曰为m r 阶复矩阵，它也是正规( 酉，h e r m it ，对称，h e r m i t 正定，h e r m i t 半正定) 矩阵 ( 9 ) 若矩阵a ，b 分别是m 阶，玎阶矩阵，则 以 剧一 l ) 以 吃) 1 2 2f o u ri e r 矩阵和v a n d e r m o n d e 矩阵蜘 循环矩阵的对角化和特征值问题是循环矩阵研究中一项重要的内容，提到 这，不得不介绍一下在循环矩阵对角化以及求特征值中起着至关重要作用的两类 矩阵：f o u r i e r 矩阵和v a n d e r m o n d e 矩阵 设行为大于等于1 的固定整数，设g ：e x p ( f 堡) ：c o s 望+ f s i n 丝 疗刀疗 其中f = 一1 此处s 取为刀次本原单位根，有下列性质 ( 1 ) 占。一1 ( 2 ) 西= 1 青岛科技大学研究生学位论文 ( 3 ) 手。g 一1 ( 4 ) 矿s 一。f 一。 ( 5 ) 1 + 占4 - 占2 + + 占“一0 ( 6 ) 6 0 k + s 1 噎 1 - s 撤+ + s o - t ) t 0 ( 7 ) 占毗+ 2 占+ 占2 t + + 万g o 彬。一_ ! ! _ 7 1 一矿 以阶f o u r i e r 矩阵用f ( = e ) 表示 f 日： ( 占( t - 1 x ) v n 1 。忑 11 1占 1占2 14 1 1 9 2 占“- l 占4 占2 ( “- 1 ) s 2 ( “- 1 ) 占( “- 1 x “1 ) ( 1 - 1 9 ) 注意上式是共轭转置，序列矿，七一0 ，1 , 2 ，是周期的，因此力阶f o u r i e r 矩阵 仅有疗个不同的元素，它也可以写成 d 日 1 ，2 f 4 n 1l1 1ss 2 1占2矿 1占”1 占“一2 1 s 4 - 1 占4 2 占 容易确定f = f tf 日= ( f 片) 7 = f ，f = 乒日 f o u r i e r 矩阵有下列重要定理 定理1 2 1f o u r i e r 矩阵是酉矩阵 f f h f 圩f i ，或f 。f 日，f p = 户r f = ，或f 一= 户r 证明用几何级数的结果，有等式 耖嘲一筹- ： 即知定理成立 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 定理1 2 2 ( f h ) 2 - f n f 日一r 一 1o o0 00 00 01 10 01 o0 。f 2 推论1 2 1 ( f m ) 4 = r 2 = j ，( f h ) 3 = ( f 圩) 4 ( f ) = i f = f 我们可以将f o u r i e r 矩阵写成如下形式，即f ：盯 推论1 2 2f 的特征值是五，1 及其恰当的重数 定理1 2 3 当( 卜1 ) 式是刀阶方阵时，记为以，则死- 掣见e ， 其中掣同( 卜2 0 ) 式，q - d i a g ( 1 , e ，占2 ，占”1 ) 定理1 2 4p 是一个与f 可换的置换阵营p 2 i 定义1 2 2 口3 1 若复数域c 上的刀阶矩阵彳满足 宣鱼型垫盔堂堡壅尘堂笪笙奎 一一一 一_ 一。一 2 反对称反循环矩阵 2 1 反对称反循环矩阵的概念和展开式表示【4 钟 反对称反循环矩阵是一类特殊的循环矩阵在研究这类矩阵之前，先给出反 对称反循环矩阵的概念 定义2 1 1设复数域c 上的矩阵a = c l 。，q ，口 一1 ) 为反循环矩阵， 即a = 且满足：一a ，则称矩阵4 为反对称反循环矩阵 由定义2 1 1 可知，如果彳是反对称反循环矩阵，那么有= 0 ，a i 2 a n _ t ， o = l 2 ，n 1 ) 因此，当刀= 2 p ，( p ) 时， a = 简记为a 。s _ i c 一1 ( 0 ，a l ，a 2 ，a p 一1 ，a p ，口，中，嘶) 当以= 2 矿1 ，仞) 时， ( 2 - 1 ) 4 之 协 ； 心 o o 加 ； 啤 一 一 一 一 心q ； 川 q ；吨q鸭；吨 弋 之 1 ；川 ；1 q 吧 q 0 吒吩以一 o 1 一 q 1 2 p _ ! q 1 1 2 3 一 p p p p 虬p 也 ，鸣 _ ： 一 吃q o 咄鸭 q o 1 飞吨 o 1 咆 吨1 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 a 一( 2 2 ) 简记为a s _ i c 1 ( o ，a l ，口2 ，口p ，口，口p - 1 ，q ) 定理2 1 1 复数域c 上的n 阶矩阵彳是反对称反循环矩阵，当且仅当么可 用矿一，叩，7 7 2 ，刁柚线性表示a = f ( f f ) ， 其中 刁；c _ 1 ( 0 ，1 o ，0 ) 一 01 o0 0o 一1o o o 1 o o 1 0 0 为基本反循环矩阵 当n = 2 p 时 ，( 刁) 一口1 ，7 + 4 2 7 7 2 + + 口p 一1 刁p 一1 + 口p 刁p + a v _ 1 1 1 p 一1 + + 口2 r l 一- 2 + 口1 ，7 矗一1 当n = 2 p + 1 时 f ( f f ) 一口1 刁+ 口2 ，7 2 + + 口p 一1 ，7 p 一1 + 口p ，7 p + 口p 玎p + a e _ l 玎，_ 1 + + 口2 刁“一2 + 口1 町“- 1 2 2 反对称反循环矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量在矩阵理论研究中具有举足轻重的地位，而反对称反循环 矩阵又是一种比较特殊的矩阵因此，本节通过对反对称反循环矩阵的特征值与 特征向量通式的推导，得出了此类矩阵特征值与特征向量的一般规律以及它们的 特殊性质 1 6 q纵，一 q 0 吒吩吼 o 1 之 4 啤 1 吃q o 咄鸭 q o 1 鸭吃 1 2 2 1 o 1 咆 吨1 青岛科技大学研究生学位论文 引理1 啼嵋如果a 是n 阶反对称反循环矩阵，那么存在同一个范德蒙 矩阵使得a ；西人中，这里 mt 1 国0 彩； 1 国1 缈? 1 缈2 缈； 1 国 1 国 2 1 ：一1 国? 一1 国；一缈。n 一- 1 1 叫一一1 ，( - 0 i - - e 。“，i 2 一- i , t 垡! 盗 a = d ： d j = 0 ，1 , 2 , - - , n 一1 d d 0 ； 名一1 五一a 1 6 0 i + 口2 q 2 + + 口m - 1 哆”。1 + 口m q “+ 口m - 1 哆”+ 1 + + 口2 q 4 。2 + 口1 哆4 1 i = 0 ，1 ，n 一1 = 2 m ) ( 2 - 3 ) 丑= q q + 吒哆2 + + - 1 q m - 1 + q m + a m c o i 册+ a m - 1 q 枷+ + 屹q 眦+ q q 订 i = 0 ，1 ，n 一1 ( 栉= 2 m + 1 ) 其对应的特征向量为 蚝一g q ，砰，q ：，i 1 ，国，q - + 1 ，衅- 1 ) r ( 刀一2 m ) l tg 哆，应f ，仞，- 19 倒，口矿，( 0 。m + l ，口彳_ 1 ) r ( 万一2 m + 1 ) 定理2 2 1 若a 为偶数阶 = 2 m ) 实反对称反循环矩阵，则 ( 1 ) a 有m 对共轭纯虚数特征值 ( 2 ) a 有m 对共轭复特征向量 砧枞- g q 彬晖2 圳，q m 一- 1 1 ，i ，霹，嚷n 一- 1 1 ) r = ( 1 ，西q ，- - 2 d ，魄- - m d - i ，砥，m m q - i ，硎) r = 瓦一。，( j i = 0 ，1 2 ，刀一1 ) 证明嗥：c o s ( 2 k + 1 ) z + f s i n ( 2 k + 1 ) z ：0 ，l 2 , ，刀一1 ) 刀刀 - 一磷t = 甄4 ( 2 - 4 ) 由( 2 3 ) 式知，五= q q + 呸”斗矿+ 霹+ 矿+ + q 矿 1 7 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 = q q + 口2 彳+ + - 1 筇。1 + 口膈硝一口肼一l 霹一一q 喀 = i 2 a is i n( 2 k + 1 ) 万+ 口2s i n 2 ( 2 k + 1 ) 7 r - + - + - l s i n ( 所一1 ) 业】 丹聆 + ( c o s m ( 2 - = k + 一1 ) x + f s i n 聊( 2 i k + 一1 ) x 2 m z m = i 2 a is i n( 2 k + 1 ) 万+ 哆s i i l 2 垦墨唑+ - - + a p _ 1s i n ( p 一1 ) 蔓三坐】+ i a ms i n ( 七+ i 1 ) 万 刀刀 么 满秩矩阵 ，皇) 青岛科技大学研究生学位论文 由于p 的行列式为v a n d e r m o n d e 行列式，当七z 时，只垂弓，所 a e t p 0 ， 非奇异，从而p 可逆，于是有尸一1 a p = 废昭( 凡，a ，以q ，无，无q ，互) 定理2 2 3 设ay 撇f r ( n = 2 m + o 实反对称反循环矩阵，则 ( 1 ) a 有n 个纯虚数特征值，其中这n 个中有m 对共轭纯虚数和一个实特征 ( 2 ) a 有刀个特征向量，且这n 个中有肿对共轭特征向量和一个实向量 证明 ( 1 ) 五一q q + 口2 + + 口。一l 国f - 1 + 口。哆? + 口。仞f “+ 口。一l 叼? + 2 + + 口1 硝- 1 = q q + 口2 + + 口肼d q + 簖一露一1 露。1 一q 叵 ：i 2 qs i i l 丛坐t - a 2s i i l 2 丛坐t - + a ms i n 船( 2 k + 1 ) 7 r nn 甩 五“= + 嘎移乙+ + 喇+ q 乒么+ q 乒礞：+ 稍+ + q 髓 = q 叵- l + 口2 - - 2 _ l + + a m _ 1 略- - m 1 - - 1 + 略- - m - 1 + q - - m - l + 1 + 一l q - - m 1 + 2 + + q - - n - l - | = 五4 k = 1 ，2 ，m 由于= c o s 了2 m + l 刀+ f s i n 了2 m + l 万= c o s n + i s i n 万= 一1 厶“一口1 + 口2 + + a m l - 1 + 口。+ 口肼碟“+ 口。一1 + 2 + + 即矿 一a x + 口2 + + ( 一1 ) 4 - 1 a - 1 ( 2 ) 由( 2 - 4 ) 式得 _ ltg q - l ，嚷2 - 1 ，嚼，蛭1 ，l l k m 一+ 1 1 _ m 一+ 1 2 ，q n 一- 1 1 ) r “柑一g q 巾q 2 彬，q m 一- t 1 ，蝶i ，蛾m 一+ l l ，o ) n m 一+ 1 2 ，q n 一- 1 1 ) r = ( 1 ，喀- 1 ，- - 2 - l ，- - m - 1 - - 1 ，死，历k m - 1 + l ，- - r a _ l + 2 ，- - n q - i ) 了1 = 玩_ l + 。g ，2 ，“。1 ) 一g 一1 ，1 ，( 一1 ) “以) 定理2 2 4 反对称反循环实矩阵a 的任何两个不同的特征值的特征向量都 是正交的 证明 设b r 与露为a 的分别属于4 ，乃的特征向量，当，g ，即一 1 9 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 时，有 b 一g q ，砰，掣4 ) g ，噬。1 ) r 一1 + q q + 印+ + 秽。1 4 ：1 + ( c 。s 要垄坐+ i s i n 蔓至坐) ( c o s 蔓兰堡坐+ f s i n 垦至曼! 坦) + 疗疗刀n + ( c o s ( 刀一1 ) ( 2 r + 1 ) x + f s i n ( 刀一1 ) 垦垒业) 青岛科技人学研究生学位论文 所以似) r 一似r ) 一( - a ) 一( 一1 ) ”1 a ， 显然，当n = 2 p + 1 为奇数时，似) rt ( 一1 ) 肛1 a - a ， 当n = 2 p 为偶数时，似) r 一( 一1 ) ”1 a 。- 一a 。 定理2 3 3 设五，( 七一0 ，1 ，冗一1 ) 是反对称反循环矩阵a 的全部特征值，则 有五# ，( q ) 再口q 7 且有荟五l o ， 其中q ：c 。s ( 2 k + 1 ) x + f s i n ( 2 k + 1 ) z ， 疗咒 f 2 。一1 ，哆“；- 1 ，厂( 功t 口l z + 口2 ，+ + 口p 矿+ + q 工8 - 1 为矩阵a 的伴随多项式 证明如果a 是反对称反循环矩阵，那么存在一个范德蒙矩阵使得 a = 人， 这里 西一 1 国2 0 群一 1 q 砰 群。1 1 鸭“ ，a a o o 五 dd 五= 锻+ 呸+ + 铀矿+ 卅+ 秽+ 铀矿+ + q 矿作= 1 2 ，以) 所以i 旯e 一么i ：i 力e 一一t 彳i ：i 五e 一人l ：兀n - i ( 见一f ( e a k ) ) 故五厂( 魄) 2 再口，q 7 就是矩阵a 的全部特征值。 又因为矩阵a 的对角线元素a 。- 0 ， 所以以一- 船。= o ， 钉。 。 一y , t r af f i 荟五，所以荟以乩 推论2 3 2 反对称反循环矩阵a 可逆的充要条件是丌五o - 矿 定理2 3 4 若反对称反循环矩阵a c 脚是可逆的，则a 一1 也是反对称反循 d d ；丸 一 一 - 一 1。蝶 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 环矩阵，r a - s _ 。c - 。( 0 ，五，艺，西) ，其中xz 瓴，恐，鼍，0 ) r 是方 程觚1 - e , 的解，其中巳一( 0 ，o ，0 ，矿 证明 令b - - s _ 1 cl ( 0 ，五恐，x p ，五) ， 设n = 2 p ，则 a 曰- - ( a , q 1 + 口2 刁2 + + 口p ，7 p + + q 刁“- 1 ) ( 魄刁1 + b 2 , 7 2 + + 刁p + + 岛7 4 - 1 ) - ( 口l 再+ 口2 x 2 + + 口p x p + + q 畸) ，7 0 + 2 五+ 口3 恐+ + 口p + l + + q 恐) 刁 + + ( 口1 恐+ 口2 玛+ + 口p x p 1 + + 口2 五) 叩”一 由于工一“，恐，毛，0 ) r 是方程肛一巳的解，所以有 q 五+ 口2 艺+ + 口p + + q 五- 1 口2 五+ 鸭恐+ + 口，+ 1 + + q 恐2 0 ，：1 ，如 如j kp n 。 青岛科技大学研究生学位论文 2 ) a 可逆的充要条件是a 篮和c ；a 。一a ：如1 如。均为可逆矩阵且 f 1 t k c 一1f + o 菇) 3 ) 若a 。与如，可换，则 4 。4 ： 4 。 4 ： - - i a , ，4 ：一4 ，4 ：i 证明 1 ) 如果a ，和丑= 如一a 。a 。一h ：均为可逆矩阵，则 所以 ( 一b 乞，一。a ) ( ，o p a l l1 a 2 ) ；l t in_pjll1-10 气) ( 坷乞，一。b ! 。) j 坷。1 a ，。1以j f a 。1 + a 。- 1 a ：b 一1 如，a 。一一a 。一1 a 声、i i b 1 如a l 。1 b 。1 j 同理可证结论2 ) 成立 3 ，因为( 一b 乞，一。 所以a 。 所以 陋i = ( n 。- p 一 ( n 。- p a i i - i a l 2 ) - l = 1 4 。- - a , ，( 如一4 ，1 - 1 4 ：) i = 1 4 。4 ：一4 。4 。4 。一1 4 ： 由于若a 。钮。可换， 所以上式= 1 4 。如- 4 ，1 - 1 4 。4 ：l h 。a 篮一如。a ： | i 。 向 ，-ili-、l-lll 0 矿 几类特殊循环矩阵相关性质的研究 定理z 3 6 若a 可逆刷a - 1 = s 1 叩，裔，爷。，眚，骨a l l ，其峨， 为矩阵a 的第拜于列元素即口“的代数余子式 证明 因为a - 1 。篙“斗”为a 的伴随矩阵，由于a