（材料物理与化学专业论文）单尺度方法用于电子器件噪声分析.pdf

摘要 摘要 电子器件的内部噪声( 特别是以1 f 噪声为代表的低频噪声) ，是制约器件灵 敏度和检测精度的一个关键指标，同时也是表征器件质量和可靠性的一个重要敏 感参数。因此，噪声作为电子器件可靠性的表征方法和电路模块的诊断检测工具 在国际上已得到相当广泛的研究和应用。 迄今为止，基于功率谱的频域分析方法是一种传统的方法，但是为了能在可 选择尺度受到限制的情况下进行信号分析，需要使用单尺度子波分析方法。 本文给出了单尺度子波方法的原理和算法，根据优化的算法予以软件实现， 能够用于噪声的频域分析，并用它在不同尺度上对单个和叠加的r t s 信号进行了 分析，证明当用单尺度方法进行的局部奇异性分析能提取出在特定频率上的信号 奇异性信息，通过将之应用于实测辐照前后m o s f e t 的1 f 噪声信号分析，结果 表明该方法能通过检测指定尺度上奇异点个数的变化来反映器件内部陷阱数量的 变换情况。 关键词：1 f 噪声单尺度子波奇异性频率 a b s t r a d a b s t r a c t t h en o i s ei n s i d et h ee l e c t r o n i cd e v i c e s ( e s p e c i a l l yt h el o w - f r e q u e n c yn o i s es u c ha s 1 fn o i s e ) i st h ek e yf a c t o rl i m i t i n gt h es e n s i t i v i t ya n dp r e c i s i o no ft h ed e v i c e s a n da t t h es a m et i m e , i ti st h ei m p o r t a n ts e n s i t i v ep a r a m e t e rt oc h a r a c t e r i z et h eq u a l i t ya n d r e l i a b i l i t yo ft h ed e v i c e s t h e r e f o r e ，n o i s eh a sb e e ns t u d i e da n du s e dw i d e l ya st h e d i a g n o s t i ca n de v a l u a t i n gt 0 0 1 u pt i l ln o w , t h ep o w e rs p e c t r a ld e n s i t y i st h et r a d i t i o n a lf a c t o ra p p l i e dt o c h a r a c t e r i z i n gt h el o w f r e q u e n c yn o i s ei n b o t ht h ee x p e r i m e n t sa n dt h et h e o r i e s i n o r d e rt om a k ew a v e l e ta n a l y s i su n d e rs c a l e s - l i m i t e ds i g n a l , w en e e dm o n o s c a l ew a v e l e t a n a l y s i st e c h n i q u e i nt h i sp a p e ram o n o s c a l em e t h o di sp r e s e n t e dw i t hi t st h e o r ya n da r i t h m e t i c , a n d u 5 ei ta n a l y z es i n # ea n dc u m u l a t er t sa td i f f e r e n ts c a l e s i tp r o v e dt h i sm e t h o dc o u l do b t a i n s i n g u l a r i t yi n f o r m a t i o no fs i g n a lu n d e rp a r t i c u l a rf r e q u e n c yb yu s i n gm o n o s c a l ea n a l y s i s 。b yu s i n gi t t on o i s eo fm o s f e t sw h i c hi sm e a s u r e dd u r i n gr a d i a t e d w ef o u n dt h i sa p p r o a c hc a nb eu s e dt o a n a l y s i st h ev a r i e t yn u m b e ro fi n t e f f a c et r a p s k e y w o r d s ：l fn o i s e m o n o s c a l e w a v e l e t s i n g u l a r i t yf r e q u e n c y 创耘性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所列的内容外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： ；l 了 日期：2o 口占，- i o 关于论文使用授权说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属西安电子科技大学。本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文工作成果时署名仍然为西安电子科技大学。学校有权 保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分 内容，可以允许采取影印、缩印或其他手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守 此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期：兰翌! ! ! ：竺 日期：秒莎，f t 型 第一章绪论 第一章绪论 1 1 半导体器件噪声分析的意义 低噪声电子学是一门重要的综合科学1 9 1 8 年，w 肖特基( s c h o t t y ) 最早研 究散粒噪声；1 9 1 7 年- - 1 9 1 8 年j b 约翰逊( j o h n s o n ) 和h 奈奎斯特( n y q u i s t ) 最 早研究热噪纠。虽然电子器件噪声研究已经数十年的历史，但这门学科迅速发展 还是近二十年的事情。8 0 年代以来，人们开始对许多微弱信号进行研究，促使人 们在抑制噪声方面做了很多努力：研制低噪声元器件，设计低噪声电子线路，探 讨检测微弱信号的新方法，以及相应理论工作的展开。现在，低噪声电子学作为 一种重要的科学实验方法，为揭示人类自然界活动的奥秘发挥着愈来愈大的作用， 它的发展和完善将不断促进有关科学的发展。基于这种原因，“低噪声电子学”成 为现代电子学的中要发展方向之一。 1 2 噪声子波分析的国内外现状 目前，大多数噪声信号尤其是1 f 信号的研究和表征在国内还是侧重于基于 傅里叶的频谱特征参数的提取。这是一种传统的频域分析方法，有着广泛的理论 研究意义和巨大的现实功用。若待分析信号的时间序列是平稳的，则用传统的谱 分析方法就可得到很好的分析处理；但若是非平稳的，完全在频域中进行分析处 理就无法给出信号的频谱如何随时问的变换规律。因此近年来发展了的时频分析 的方法，典型的分析方法有s 耵呵、子波变换等。 在对信号进行表示和描述中，信号的奇异点是信号的重要特征之一电子器 件噪声属于处处奇异的信号，如何从这种信号的奇异性信息中提取对研究噪声有 用的分析参量，是一个很有价值的课题。长期以来，傅里叶变换是研究函数奇异 性的主要工具，其方法是研究函数在傅里叶变换域的衰减以推断其次函数是否具 有奇异性及奇异性的大小。但傅里叶变换缺乏空间局部性，它只能确定一个函数 奇异性的整体性质，而难以确定奇异点在空间的位置及分布状况。众所周知，小 波变换具有空间局部化性质，因此，利用子波变换来分析信号的奇异性及奇异性 位置和奇异度大小是比较有效的。子波变换如同一台可变焦距的数学显微镜，改 变各种焦距便可探测到被处理信号中所隐含的奇异点并识别出它的性质，或分析 出非平衡信号所包含的各种成分。通常信号的奇异点，如过零点、极值点等，能 够刻画信号的细节并在对信号进行区分中起重要作用。可以利用信号在多尺度上 2 单尺度方法_ i j 于电子器件噪声分析 的综合表现来描述信号，特别是它的突变点或瞬态特征。另外，如果能够由子波 变换得到的奇异点重建这些原始信号，则抽取的这部分奇异点还可以用于数据压 缩。 目前子波分析已经得到了非常广泛的应用，一般情况下，多尺度子波分析是 主要使用的方法。但在某些情况下，可以使用的尺度数目或者对应于尺度的量会 受到限制，由于不能或最好不使用多个尺度进行分析，因此需要寻找单尺度下的 子波分析方法。目前开展过这方面研究的代表领域是地震信号研究。在多尺度方 法中，若想获得标志信号局部奇异性的l i p s c h i t z 指数，需要跟踪由不同尺度子 波变换系数组成的子波变换模极大值曲线，从子波变换系数的局部化衰减增长率 中得到该数据。但这种方法在某些情况下的使用会受到一定限制，例如地震波和 其他很多遥感数据，这些信号的带宽是有限的，因此也会导致进行子波分析时可 以使用的尺度受限。 在电信号处理中，同样会遇到可用尺度有限的问题。有时候需要在某个特定 的尺度或者特定的狭窄频段上分析信号信息。比如在1 f 噪声中，需要分析叠加情 况下某一特征频率的r t s 的奇异性情况。多尺度方法所需的是一个足够大的频带 宽度，如果条件不满足，其使用的有效性就要受到影响。由此可见对于窄带宽的 信号进行分析时，这种情况是普遍存在的，所不同的仅仅是影响的严重程度而已。 带宽受限会带来尺度的受限，而尺度的受限则会使我们在用多尺度方法分析 信号信息，特别是分析具有重要意义的信号局部奇异性时遇到困难。因为多尺度 方法分析奇异性是通过改变尺度参量计算不同尺度的子波变换，进而从不同尺度 对应的子波变换模极大值中得到l i p s c h i t z 指数。 带宽受限情况妨碍了用多尺度方法来有效的描述局部正则性。为了解决这一 问题，美国麻省理工学院地球资源实验室的科学家f e l i x j h e r r m a n n 设计了一种 基于分数微积分的方法，从而可以在单尺度情况下进行子波分析凹】。这种方法等 效于一个广义的予波变换，这里的子波是高斯函数的分数级微分。通过改变针对 于一个固定尺度的子波级数，可以从局部模极大值作为级数的函数的出现和消失 情况大致的得到l i p s c h i t z 指数。本文系统研究了单尺度分析方法，在m a t l a b 软件环境下实现该算法的编程，并将该方法应用于电子器件噪声奇异性分析。 1 3 本论文的工作内容 本论文的具体结构如下：第二章是电子器件噪声基础，主要介绍了半导体器 件噪声基础和单尺度分析方法的产生。第三章为信号多尺度与单尺度子波分析原 理，介绍多尺度方法与单尺度子波的原理算法。第四章内容为本文完成的单尺度 子波分析软件系统，介绍所做出的应用单尺度分析的子波变换、l i p s c h i t z 指数计 第一章绪论 3 算以及尺度与频率转换计算的相关程序、算法及其效果。第五章是软件应用结果 与分析，展示将单尺度分析方法应用于r t s 信号以及m o s f e t 器件噪声分析的效 果。最后第六章是结束语，对全论文进行总结并对单尺度方法的应用前景加以展 望。 第二章电子器件噪声基础 第二章电子器件噪声基础 5 本章阐述电子器件噪声分析所必备的一些基础知识，以及单尺度子波方法产 生的背景。 2 1 半导体器件噪声的分类 半导体器件中的噪声，一般是按照物理机构的不同来分类的，可分为热噪声， 散粒噪声，g - r 噪声和1 f 噪声四大类，每一类又可根据不同的情况分为若干小类， 如图2 1 1 所示。现将这几类噪声的特点比较如下： ( 1 ) 在一般的频率范围内，热噪声和散粒噪声的功率谱密度与频率无关，统 称为白噪声。l f 噪声和g r 噪声则与频率有关，前者与频率成反比，后者则按 9 0 + ，。) 规律变化( 其中而为转折频率) ，统称为有色噪声。由于这两种噪声通 常在低频情况下显著，也称为低频噪声。在很高的频率下( 如大于1 g h z ) ，热噪 声和散粒噪声也将随频率而变化。当频率接近器件的高频截止频率时，噪声随频 率的增加而上升往往不是因为出现了新的噪声机构，而是由于器件增益随频率的 下降所致。 半导体器件噪声 低频噪声 ( 有色噪声) g - r 噪声 1 i f 噪声 二三： 二二： 图2 1 半导体器件中噪声的分类 淹 砖 声 嗓 噪 噪 声粒 粒 逊 噪散 敦 翰 散频 频 约 扩低 高 r，t rt 声 声 噪 噪 粒 热 散 ，(l 声噪一一 6 单尺度方法用于电子器件噪声分析 ( 2 ) 热噪声起源于晶体中载流子的随机热运动，广泛存在于各种电阻性元器 件之中。热噪声的大小只与电阻和温度有关，即使器件没有电压和电流，也同样 存在；散粒噪声、g _ f 噪声和1 f 噪声则与器件的电流和外加电压有关，一旦电流 或电压消失，这些噪声也就不复存在。 ( 3 ) 散粒噪声起源于载流子跨越势垒的随机性，因此只存在于载流子运动受 控于某种势垒的器件中，如金半接触的肖特基二极管，具有p n 结势垒的双极晶体 管等。m o s 聊和j f e t 的载流子运动沟道中无势垒存在，所以基本上没有散粒噪 声。 ( 4 ) 热噪声和散粒噪声是器件的基本工作原理决定的，从本质上看是不能彻 底消除的，而g - r 噪声和1 f 噪声在很大的程度上是器件的杂质与缺陷引起的。在 图2 1 1 中，我们将g - r 噪声分为复合噪声和猝发噪声两种，前者是由重金属杂质 引起的，后者是由位错引起的。1 f 噪声也可分为基本1 f 噪声和非基本1 f 噪声两 种。在目前的水平上，后者仍然是主要的1 f 噪声源，它是由器件表面的氧化层陷 阱以及晶格位错造成的。从这个意义上讲，低频噪声往往反映了器件内在质量和 可靠性的优劣。常规半导体器件存在的主要噪声类型如下图2 1 2 所示： 卜管e 翩将懈件卜吲銎 f ，f e t ，争r 噪声 篓薹霎三：羹： l 【热噪声 薹耋羹羹： 第二章电子器件噪声基础 7 ( 5 ) 由于噪声产生的机理与器件的结构紧密相关，所以在不同结构的器件中，各 种噪声的相对强弱有着很大的差别。p n 节二极管和双晶体管在中高频区以散粒噪 声和热噪声为主，前者更为重要；在低频区则以1 f 噪声为主。m o s f e t 的1 f 噪 声比结型器件大的多，所支配的频率范围也较宽；在高频区则以热噪声为主。j f e t 基本上无1 f 噪声，在低频区以g - r 噪声为主，在中高频区则主要是热噪声。 2 2 半导体器件低频噪声的产生原因 与热噪声、散粒噪声相比较，争r 噪声和1 ，f 噪声等低频噪声研究有着更为重 要的学术意义和更大的应用价值，但1 f 噪声理论仍不成熟，因而称为目前固体器 件研究的焦点。 从广义上说，凡是功率谱密度与频率成反比的随机涨落现象均可称为i f 噪声。 电子器件中1 f 噪声电压的功率谱密度可写成以下形式： s ，( ，) 一a 1 4 f 7 ( 2 1 ) 式中，i 为通过器件的电流；f 为频率；参数a 由器件结构特性决定；常数，= 0 8 1 2 ，典型值为1 o ；，= 2 0 ( 均匀材料) 或1 o 2 0 ( 结构较复杂的器件) 。图2 2 1 中给出了典型的1 ，f 噪声频谱。 噪声功率谱 图2 3 半导体低频声的功率谱图 g r 噪声意即产生一复合噪声。它在半导体材料和诸如j h t 这样的体效应器 件中是主要的低频噪声源。双极晶体管中的猝发噪声以及近年来在小尺寸 m o s f e t 中发现的随机电报噪声( r t n ) 也是g - r 噪声的一种形式。在半导体材料 或器件中，存在着能够发射或俘获载流予的各种杂质中心。根据它们在禁带中能 级位置的不同，分别起着受主中心、施主中心、陷阱中心或产生一复合中心的作 8 单尺度方法用丁电子器件噪声分析 用。这些杂质中心对载流子的发射和俘获是一种随机事件，因此占据其能级的载 流子数目随机涨落，同时引起导带电子或价带空穴的随机变化。由此而产生的噪 声成为产生一复合噪声( g e n e r a t i o n r e c o m b i n a t i o nn o i s e ) ，简称g - r 噪声。 当杂质能级低于费米能级若干七r 时，该能级总是满的；当杂质能级高于费米 能级若干七r 时，该能级总是空的。所以，只有能量在费米能级附近几个灯范围 内的杂质中心才对g - r 噪声有明显贡献。浅施主或浅受主能级分别靠近导带底和价 带顶，在通常的温度和偏置范围内，距费米能级较远，故对g - f 噪声的贡献甚微。 因此，g - r 噪声主要来源于禁带中部附近的深能级产生一复合中心和陷阱中心。 对于m o s f e t ，沟道中的复合中心、表面耗尽层中的复合中心、s i s i 0 2 界面 附近的陷阱中心对载流子的俘获与发射过程的随机起伏都会产生g _ r 噪声。如图 2 2 2 所示为小尺寸m o s f e t 器件中的g r 噪声的波形和频谱图。 触 釉 图2 4 深亚微米m o s f e t 中r t n 的波形和频谱图 r t n 处于高电平的时间对应于氧化层陷阱俘获载流子的时间，记为r c ；r t n 处于低电平的时间对应于氧化层陷阱发射载流子的时间，记为r 。因此可以推出 r t n 功率谱密度的表达式： 。万丽卷 像2 ， 式中，4 ，是r t n 的幅度；t 和0 分别是t 和l 的平均值。大量结果表明，产生 r t n 的缺陷与产生1 f 噪声的缺陷是一样的，均为处于s i s i 0 2 界面过渡层中的氧 化层缺陷。 噪声作为电子元器件和电路的诊断和检测工具具有如下优点： ( 1 ) 普遍适用性。几乎所有的电子元器件和电子系统都能观测到电噪声。电 噪声根据特性和产生机制可以分为白噪声与过剩噪声。白噪声与频率无关，主要 第二章电子器件噪声基础 9 是由材料和器件的本征性质决定。过剩噪声在低频段显著，也称为低频噪声，通 常包括1 f 噪声与g - r 噪声，主要是由材料或器件的不完整性决定的。 ( 2 ) 高度灵敏性。噪声实际上是系统物理量的瞬时值对于平均值的偏离当 元器件中材料的微观结构、电子状态或杂质分布有微小变化，甚至是原子尺度的 变化时，噪声都会有明显的变化。 ( 3 ) 非破坏性。噪声测量所加的电流和电压，非常接近于器件正常工作的应 力水平，故噪声测试是无损的。通常用于可靠性评估的加速寿命试验方法，需要 加高应力，不可避免会给器件造成损伤。噪声测试还可以针对单个器件进行检测， 不需要大批量样品和统计分析方法。 ( 4 ) 检测速度较快。噪声检测属于电学检测，不仅对环境和检验条件要求不 高，而且与一般可靠性评估实验相比检测速度较快。 由于具有以上突出的优点，噪声作为电子元器件和电路模块诊断和检测工具 在国际上已经进行了相当广泛的研究和应用。越来越多的研究结果证明，对于大 多数电子器件，产生过剩噪声( i f 和g r 等低频噪声) 的缺陷与导致器件失效的 缺陷是相同的，而且由这些缺陷的存在及其数量变化所引起的噪声变化要比常规 电参数的变化大得多。因此，噪声可以作为电子器件可靠性的一个灵敏无损的表 征手段。对于具有不同结构的器件，噪声的来源以及它所对应的潜在缺陷和失效 模式可能完全不同，但是噪声大的器件总是可靠性差，故噪声测试尤其适合作为 可靠性筛选或分选的手段，对于具有相同结构的器件，噪声可以是多种缺陷共同 作用的综合体现，所以用噪声这个单一参量便可以表征多种缺陷对可靠性的影响。 尤其1 f 噪声和g - r 噪声为主的低频噪声广泛存在于各种组分和结构的半导体材料 和器件中；同时，又敏感的反应了半导体材料和器件中的许多潜在缺陷。正是由 于这些原因，低频噪声的测量与分析成为半导体器件质量表征和可靠性评估的手 段。因此，如何认识和掌握半导体器件中各种噪声的性质，从而设法减少或消除 之，是一个非常重要的课题。 然而，目前这一方法仍然有相当多的问题有待于深入砑究。噪声来源的多样 化使得单靠噪声测量难以得到器件寿命或失效率精确数据，也给确定噪声的主要 来源进而分析器件的失效机构带来麻烦，这就需要更透彻的掌握各种噪声源的性 质并找到合适的测试结构和鉴定方法。 2 3 子波分析及单尺度方法的提出 子波分析属于时频分析的一种，它采用时间一尺度( 时间一频率) 相结合的 方法，具有多分辨率分析( m u l t i - - r e s o l u t i o n - - a n a l y s i s ) 的特点，在时频两域都具 1 0 单尺度方法用于电子器件噪声分析 有表征信号局部特征的能力，是一种时间窗口和频率窗口大小不固定，但其形状 却可变换的分析方法。子波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低得时间 分辨率，很适合于检测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉 为分析信号的数学显微镜，因此其很适合于用来分析电子器件噪声。 多尺度子波分析虽然是最常用的手段，但在某些情况下则需要在尽可能少的 尺度下对信号进行分析。比如当信号的频带宽度过窄时，相对的可以选择的尺度 范围就也变小，这就产生了对单尺度分析手段的需求。对单尺度分析的尝试目前 主要出现在地震学领域内。在地球科学中，地层介质的边缘是产生相干反射的主 要来源，地震信号和图像都存在奇异性很强的部分和边缘，通常的，介质特性会 在介质分界面出现跳变和不连续，从而造成奇异性地震回波信号，因此特别需要 能有效描述信号其一部分的手段。 对于宽带信号，基于子波变换的多尺度分析已经被成功的应用于描述奇异性 结构。局部l i p s c h i t z 指数可以沿着子波变换模极大值曲线，从子波变换系数的局 部化衰减增长率中得到。但在地震学中，对于基于多尺度子波变换的多分形方法 而言，其使用效果是受到限制的。地震回波信息不具有多个尺度以供多尺度方法 使用，因为它是直接从自己的空间长度尺度中提取所需数据，例如，将其地震脉 冲宽度作为尺度，所以只能在一个子波尺度上观察多分形地貌。因此地震波和其 他很多遥感数据一样，是带宽受限的。在其他遥感技术中，数据在进行多尺度子 波方法处理时，也有类似的带宽受限问题。比如可见光范围内，为了减少蓝天的 大气影响，一般不使用蓝紫光波段，而只能使用从绿光到近红外光波段。由于带 宽受限，相应的尺度选择也会受到限制。非可见光波段的情况也与之类似。 带宽受限妨碍了用尺度指数来有效的描述局部正则性。为了解决这一问题， 美国麻省理工学院地球资源实验室的科学家f e l i x j h e r r m a n n 设计了一种提出了 一种新的分析方法【3 1 ，将分数微积分应用于正则性估计，从而在单尺度情况下局部 检测和描述奇异性强度。这种方法其实是采用一种广义上的子波变换，其所用子 波是高斯函数的分数微分，通过改变针对于一个固定尺度的子波级数，可以丛局 部模极大值作为级数的函数的出现和消失情况大致的得到尺度指数。在尺度为同 一值时，这些指数就等于l i p s e h i t z 指数。 第三章信号多尺度与单尺度子波分析 第三章信号多尺度与单尺度子波分析原理 3 1 多尺度子波变换 函数、| ，( t ) l 2 ( r ) 若满足如下允许条件 g t 上学c 二 ， 则函数、i ，( 1 ) 称为一个基本子波或母子波阻9 1 。由、l ，( t ) 通过伸缩、平移而生成的 一族函数 舻p i 一；妒( 等) o , z e r , a # 0u ( 3 2 ) 称为小波或子波。其中口是尺度参数，z 是平移参数。 子波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。其窗口形状为 k 一以妒，z + 以| ；f ，】【( 妒。一a 妒) a ，( 妒o + 妒) 盯】，窗口中心为( z ，0 o - ) ， 时窗宽和频窗宽分别为o a g , 和妒o r 。其中z 仅仅影响窗i i 在相平面时间轴上的 位置，而尺度参数盯不仅影响窗口在频轴上的位置，也影响窗口的形状。这样子 波变换对不同的频率在时域上的取样补偿是调节性的：在低频时子波变换的时间 分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时子波变换的时间分辨率较高，而频率 分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变换迅速的特点。因此从总 体上说，子波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。 对大多数目的而言，子波模型不需要有连续的尺度参量盯。为了进行快速数 学运算，我们只沿着双值序列( 2 ) 。取尺度。在实际应用中，计算机所处理的信 号都是通过采样得到的二进制离散信号，因此需要对连续子波及其变换进行二进 制离散。我们重新回顾二进子波变换的主要特点并解释在何种条件下它是完整并 且稳定的。子波是一个平均值为零的函数1 l r ( z ) 。我们用妒：，g ) 来表示已因子扩展 的子波函数 ， 妒乜) = 音妒( 予 ( 3 3 ) 二厶 在位于尺度2 ，上的f ( z ) 的子波转换是以卷积结果定义的 哆，仁) = f 妒，( z ) ( 3 - 4 ) 我们把二进予波转换看作函数序列 1 2 单尺度方法用于电子器件噪声分析 w f = ( ，( z ) ) 肥 ( 3 - 5 ) 这里w 是二进子波转换算子。 让我们研究二进子波转换的完整性和稳定性。2 ，f ( ) 的傅里叶变换是 w 2 ，= f 妒( 2 妨( 3 6 ) 通过采用两个严格为正的常数4 和且 i 1 2 船二p ( 2 1 量b 1 ( 3 - 7 ) 我们可以肯定整个频率轴都被妒( 曲以( 2 ) 。覆盖， ) 也是如此，因此f ( z ) 可以 从它的子波变换中恢复。重构子波z ( z ) 是傅里叶变换满足下式的任意函数 + 芝妒( 2 ) z ( 2 j ) 一1 ( 3 。8 ) 如果满足性质( 3 - 7 ) ，必有无限个满足( 3 8 ) 的函数z ( 。) 。 从它的二进小波变换中恢复 ，( z ) = 厂，勋( z ) 函数根据下面的和 ( 3 9 ) 计算它的傅里叶变换并代入( 3 6 ) 和( 3 8 ) 即可证明之。根据帕舍瓦定理，我们 可以从( 3 6 ) 和( 3 - 8 ) 中得到一个标准等价关系 a 1 1 1 i i l 2 墨艺l l w 2 , 1 ( , i is b 。i i i i l 2 ( 3 - 1 0 ) 这就证明了二进小波变换不仅是完备的，而且是稳定的。而如果里i 接近子1 ，它 a 将更加稳定。 1 9 9 7 年，m a l l a t 得出以下结论：对于具有m 阶消失距的子波妒 c z “( z 弦一0 小m(3-11) 可以将之视为m 级微分算子，并可定义连续子波变换为 职助” p ，z ) 三盯”参( ，屯m ( 3 - 1 2 ) 其中丸是一个足够平滑的平滑函数( 2 m 级可微) ，矿，由下式得到 第三章信号多尺度与单尺度子波分析 1 3 北z h 一矿箬纰) ( 3 - 1 3 ) 多尺度子波变换可以看成是一个平滑算子和一个逆平滑算予的相互作用。这个原 理可以用下式表现出来。连续子波变换可定义为作用在待分析信号f 上多尺度微分 算子： 叭，妒” ( 口，z ) 三口”参( ，丸) ( z ) 一( ，妒夕) ( 引。( 3 - 1 4 ) 在这一表达式中，h ， ，妒” ( 盯，z ) 为子波变换系数，他是由m 阶子波函数妒，与 信号f 相作用得到的。我们在将子波函数定义为扩展的实数对称平滑函数丸的微 分。 丸( z ) 专( 刳和妒o - ( z ) 一( 一1 ) ”矿d u 九( z ) ( 3 - 1 5 ) 对于高斯钟形平滑函数以及m = 2 特殊情况，子波杉( z ) 将变成r i c k e r 子波，也就 是墨西哥草帽子波。这样的话，等式( 3 1 5 ) 的子波变换可以写为 w f f ，妒2 ( 叫) 三一寺( 厂饥) ( 引 ( 3 1 6 ) 3 2 子波变换分析奇异性 当我们分析各种信号时，在局部上检测和描述信号奇异性情况具有很重要的 意义。比如，在故障诊断中，故障通常表现为输出信号发生突变，因此对突变点 的检测在故障诊断中有着非常重要的意义。在图像中，存在很多种不同类型的尖锐 变化点。边缘产生于阴影，光照，屋顶，纹理，以及诸如此类的东西，他们具有 各不相同的局部强度轮廓。为了更精确的标注观测到的边缘，需要分析它的局部 特性。 小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一时刻发生突变时，该信号 的小波变换在一定的尺度范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与噪声 截然不同的特性。利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在强噪声背景 下，准确地检测到突变信号。 下面我们先简单的介绍以下几个相关概念。 在某一尺度口0 下，如果存在一点( ，) 使得竺皇! ：蔓坠：0 ，则称点( 口o ，t o ) 1 4 单尺度方法用于电子器件噪声分析 是局部极值点。如果对于6 0 的某一邻域内的任一点6 ，有i ( a 0 , 6 l s 陟( n 。，b 。l ， 则称( 口0 ，6 0 ) 为小波变换的模极大值点。尺度空间( 口，6 ) 中所有的模极大值点的连线 称为极大值线。 设实函数日乜) 满足j 二日o ) 出一1 k a ( z ) 一0 ( 1 ( 1 + z 2 ) ) ，称它为平滑函数。 要利用小波变换来表征信号的突变特征，关键问题是分析小波变换的奇异点 和信号变化剧烈处之间的关系。两者的联系建立在以下两个基本概念上： 设0 ( z ) 是一个其平滑作用的低通函数，如高斯函数 一兰 1 e2 口2 o ( z ) 2 丽( 3 - 1 7 ) 则信号f 被0 ( z ) 平滑后得到y ( z ) ，y ( z ) = “z ) + 0 ( z ) ，再求y ( z ) 的一阶导数，与直接 用d a d z 对f ( z ) 进行处理是等效的。同理，信号f 被0 ( t ) 平滑后得到y ( z ) ，再求 y ( z ) 的二阶导数，与直接用d2 0 a 2 t 对f ( z ) 进行处理的效果也是相同的。 对于任意一个低通的平滑函数0 ( z ) 满足 f o ( z ) a z ，0 ( 3 - 1 8 ) 其各阶导数，如a a a z 、d 2 0 d2 z 必是带通函数。根据傅里叶变换的微分定理，他 们的频率特性在q 一0 处必然有零点。因此 帅) _ t d o ( z ) 酬( z ) - 警( 3 - 1 9 ) 都可以用来作为小波变换的基小波。f c z ) 在z 点，尺度o r 处关于小波妒4 ( z ) 的小波 变换被定义为 盱f = f ( z ) 妒；( z ) f ( z ) 关于妒6 ( z ) 的小波变换是 孵f = f ( z ) 4 妒：( z ) 我们得到 咧叩) 中( 口2 誓) ( z ) 口丢( ，o o x z ) 吲噼，+ p 等) 参 ( 3 2 1 ) f 3 - 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 第三章信号多尺度与单尺度子波分析 从下图能很清楚的看到“z ) ，f 0 ( z ) ，矸? f ( z ) 和时f ( z ) 的关系。 幽 笸盥丝 ； i 善孚半 私乐乐 图3 1 f ( z ) ，f 0 ( z ) ，孵f ( z ) 和孵f ( z ) 小波变换孵f ( o ，z ) 和孵f ( o ，z ) 分别是信号在尺度盯处滤波后的一阶和二阶 导数。把上述的概念结合起来，便得到如下的结论： ( 1 ) 如果妒：( z ) 是某一个低通平滑函数o ( z ) 的一阶导数，则可以用1 ；f ，：( z ) 对x ( z ) 作小波变换。此时小波变换矸苫f ( z ) 的零点就是a y 如= o 的点，也就是y ( z ) 的极值点的所在。小波变换孵f ( z ) 的局部极值对应着嘭f ( z ) 的过零点和 f ( z ) + 以( z ) 的拐点。 ( 2 ) 如果妒：( z ) 是平滑函数o ( z ) 的二阶导数，则可以用妒：( z ) 对( z ) 作小波变换。 此时小波变换孵( z ) 为零的点是y ( z ) 的转折点d2 y d2 z - - 0 ，极限情况下也 就是阶跃点。 这些结论对基小波扩展成的如下式所示的其他小波函数也同样适用。 妒：2 抄( 詈) 仃 、盯， ，妒翩2 孑1 _ ( b 孑z ) ( 3 2 5 ) 对于突变点的位置，有时是由小波变换的过零点来反映的，有时则是由其极 值点来反映的。检测过零点或局部极值是类似的处理过程，但局部极值接近具有 一些重要的优点。p 以( z ) 的拐点可以是其一阶导数绝对值的极大值或极小值。一 阶导数绝对值的极大值点是p 以( z ) 的尖锐变化点，而其极小值对应着缓慢变化。 对于二阶导数算子很难区分这两种过零点。相反的，对于一阶导数，我们很容易 只通过检测i 矸? ，o 的局部极大值来选择出尖锐变化点。另外，过零点虽然提供 了位置信息，但没有从重要的间断点中区分出小振幅的波动。当检测局部极大值 时，我们可以在测量导数的极大值位置记录下彬? f ( z ) 的值。再者，过零点容易受 到噪声的干扰，而且有时过零点反映的不是突变点，而是信号在慢变化区问的转 折点。以阶跃式边沿和6 函数的尖锋形式突变作为例子，检测边沿适宜采用如妒：( z ) 1 6 单尺度方法用于电子器件噪声分析 型的反对称形式小波，而检测尖峰脉冲则宜采用如妒：( z ) 型的反对称形式小波。同 时需要指出的是，为了使这样的检测有效，必须满足适当的条件：首先，妒：( z ) 和1 5 f ，：( z ) 应当是某一个平滑函数的一、二阶导数；其次，尺度仃必须适当，以便能 够使y ( z ) 的突变点基本上反映待分析信号f ( z ) 的突变点；第三，只有在适当的尺度 下，各个突变点引起的小波变换才能避免交叠干扰。因此，在处理时需要把多个 尺度结合起来综合的进行观察。 3 3l i p s c h i t z 指数 通常，我们是通过计算李普西兹指数( l i p s c h i t z ) 来进行描述函数的局部奇异性 的。 传统上分析函数f ( z ) 的李普西兹指数的传统方法是考察f 傅里叶变化，( 的 渐进衰减性。如果一个有界函数f ( z ) 的傅里叶变化， ) 满足 “l i 1 厂( 山1 ( 1 + i i “) d t + c o ( 3 2 6 ) 二一 i 那么该函数在实轴上是一致l i p s c h i t z a 的。但此式是一个充分条件，它只给出了 f t z ) 在全域的奇异性度量。如果我们需要研究某一点的局部奇异性，这种方法就无 能为力了。 利用小波可以分析这种局部奇异性，小波系数的值取决于f ( z ) 在z 0 的领域内的 特性及小波变换所选取的尺度。在比较小的尺度上，它提供了f 的局部化性质。 当且仅当对于z 0 点的邻域内的点z 存在常数k 能使下式成立时，函数日( z ) 被称之 为在点处是i j p s c h i t z a 的，其中0 口1 。 f ，0 ) 一f ( z 。) | 量k i z z o l 4 ( 3 2 7 ) 当且仅当存在常数k 使上式对所有z o ，z ) e ( a ，b ) 成立，则称函数f ( z ) 在区间( a ，b ) 上是一致l i p s c h i t z a 的。 显然，f ( z ) 在点的l i p s c h i t z a 刻画了函数在该点的正则性，称为函数f ( z ) 在 点是l i p s c h i t z a 。l i p s c h i t z a 指数越大，函数越光滑；函数在一点连续、可微，则 在该点的l i p s c h i t z 口指数为1 ；函数在一点可导，而导数有界但不连续时， l i p s c h i t z a 指数仍为1 ；如果f ( z ) 在z 0 的l i p s c h i t z a 1 ，则称函数在点是奇异的。 一个在不连续但有界的函数，该点的l i p s c h i t z a 指数为0 。l i p s c h i t z a 正则性对 函数f ( z ) 给出了比可微性更精细的描述，若n 0 和a ( 啊f ( z ) 在区间( a + f ，b - ) 是一致l i p s c h i t z a 。 ( 2 ) 如果是某个平滑函数的n 阶导数，则“z ) 在该区间( a + s ，b - # ) 上是一致 l i p s c h i t z n 。 如果a 0 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 1 8 单尺度方法用于电子器件噪声分析 w i f ，妒 ( 0 0 ，z ) = ( ! r 上) 4 w f ，妒 ( q ，z )( 3 3 0 ) 0 0 单尺度方法主要是应用启动函数的特性来导出a 值。 3 5 分数微积分 f 的口阶因果分数导数定义为： a ( d ：厂) ( z ) ；( d “r ”f x z ) ， m 一1 c 口蔓肼，胁e n ， ( 3 - 3 1 ) 其中 ( r 厂) 0 ) = o ：4 + ，) ， a ，0 ( 3 - 3 2 ) 同样，f 的a 阶非因果分数导数定义为： a ( d 。_ f x z ) - ( d ”r y 4 ，) ( z ) ， m - 1 c i + 1 l 1 ，c f c i + 1 1 ，qsq + 1 ( 4 3 ) 该功能用程序实现为 f o ri = 2 ：1 - 1 i f ( a b s ( c ( i ) ) a b s ( c ( i - 1 ) ) ) ( a b s 似i ) ) a b s ( c ( i + 1 ) ) ) ； c m ( i ) = ) ； e l s e i f ( a b s 似i ) ) o l c ( i ) = = 0 ) & ( 似i ) “i 1 ) “i ) = “i + 1 ) ) i ( c ( i ) = 嘶一1 ) & “i ) c ( i + 1 ) ) ) c m ( i ) = “i ) ； e l s e i f 郇) o & ( 似i ) “i 一1 ) & ) = c ( “1 ) ) i ( c ( i ) = 邮一1 ) c ( i ) a ( z ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 当口，口t 0 时，有相类似的评定标准 a ( o o ，) = 8 1 1 p 芦：a ：形 ，妒： ( a o ，z z o ) 一o ( 4 6 ) ， 第一个标准的制订是基于这样的性质：当a ，0 时，局部极大值在分数微分的阶数 超过该位置的正尺度指数时才会出现。与之相应的是，第二个标准是基于这样的 性质：当dc 0 时，局部极大值将会在分数微分的阶数超过该位置的负尺度指数时 消失。 上面两个标准正是以前面的方程( 3 2 9 ) 为基础的，即把信号的微扰部分处理为 0 ) 兰c ：砖0 一乙) + c ：贮一o 一乞) ， 篇 其中( c ：0 a c ：墨o ) v ( c ：0 a c ：0 ) ，c ：c ：“ 0 且瓴一亭) 一a f 瓴) ，其中乙是横坐标。当尺度超过奇异点之间的距离时，这些 奇异函数中的奇异点可以不再被看作是孤立的了。对于可能出现的由高斯函数的 使用而造成的“无消失支持”现象，我们可以通过把每个影响锥里的模极大数目 限制为一个的方法在一定程度上加以解决。 4 3 2 软件实现 为了得到局部奇异点的位置和l i p s c h i t z 指数口，设计了如下程序流程： 1 给出大致l i p s c h i t z 指数a 范围，以在此范围内搜索检测奇异值。 2 用单尺度子波变换程序在给定尺度下计算所求信号的单尺度子波变换值，并 求其子波变换模极大值曲线，这些极大值点的位置和个数即为该信号奇异点 的位置和个数。 3 对这些已经定位出来的各个奇异点进行跟踪，观察当参数声递减或递增时，其 每个模极大值到芦为多少时模极大值会消失。根据( 4 4 ，4 - 6 ) 式把模极大值 消失时的口值定为该奇异点的l i p s c h i t z 指数口。 4 这一步主要是确定奇异点位置。由于单尺度方法是用参数卢代替尺度进行变 换，因此虽然可以测出l i p s c h i t z 指数口，但一开始所得到的最大芦对应的模 极大值序列就已经在不少位置存在奇异点位置( 模极大值位置) 与原信号不 单尺度方法用于电子器件噪声分析 符的情况。为了能准确的确定奇异点的实际位置，设计了再次搜索以更准确 的确定奇异点位置的步骤。实际检验发现当卢与该奇异点的实际l i p s c h i t z 指 数值比较接近( 比如差值不超过2 而大于0 5 ) 时，奇异点位置确定比较准确。 因此把初步算出的l i p s