毕业设计（论文）-Matlab在状态变量分析法中的应用研究.doc

武汉工业学院毕 业 论 文论文题目：Matlab在状态变量分析法中的应用研究姓 名 学 号 院 （系） 数理科学系 专 业 电子信息科学与技术 指导教师 2011年6月11日目 录摘 要IAbstractII前 言1第1章MATLAB语言及其操作的基本介绍21.1 MATLAB语言简述21.2 MATLAB的优势和特点2第2章 连续时间系统的基本内容52.1 系统概述52.1.1 系统的概念及性质52.1.2 LTI系统分析方法概述52.2 连续系统的时域分析法62.2.1 LTI连续系统的响应62.2.2 冲激响应和阶跃响应72.3 连续系统的频域分析法72.3.1 连续系统的频率特性72.3.2 频率特性的表示8第3章 应用Matlab在时域中分析二阶连续时间系统103.1 概述及求解方法103.2 状态变量分析法103.2.1 状态变量分析法的定义与特点103.2.2 从电网络的基本方程来建立状态方程103.2.3 系统的可控性和可观察性163.3 二阶电路时域分析183.3.1 基于MATLAB的LC二阶低通滤波网络时域分析18第4章 应用Matlab在频域中分析二阶连续时间系统214.1 概述及求解方法214.2 简单实例求解224.3二阶电路频域分析23结束语26谢 辞27参考文献28摘 要二阶线性系统应用非常广泛，MATLAB语言是功能十分强大的工程计算及数值分析软件, MATLAB语言环境下的算法实现，比其它语言环境下的算法实现更简便、快速。它提供了高效的信号处理工具箱。本文介绍了利用MATLAB语言对二阶线性系统进行时域和频域分析方法,采用了状态变量分析法，尤其对系统稳定性的分析，并给出相关的例子、程序和相应的仿真结果。在本文中还应用状态变量分析方法在时域和频域对连续时间系统进行分析研究，特别是通过一个典型的二阶电路，应用MATLAB讨论其时域解和复频域解，并讨论其物理意义。 结果表明：MATLAB语言是集数值计算、符号计算及图形处理等强大功能于一体的科学计算语言，利用MATLAB分析简单灵活，加深对状态变量分析法和时域频域分析法的理解。 关键词MATLAB语言；二阶线性系统；时域；频域；状态变量分析法；稳定性；仿真AbstractThe linear system of two orders is widely applied to different fields. MATLAB language is an engineering calculation and analyses software with an effective signal process tool box in it. MATLAB language environment of the algorithm, than the algorithm language environment is more simple and rapid. The paper introduces the method of the simulation and analysis of the linear system of two orders through MATLAB in time and frequency domain, uses state variable analysis method specially analyses the stability of the system. The application gives out correlative instance, order and relevant figure. In this paper the state variable analysis is also applied in the time domain and frequency domain analysis of continuous-time systems, in particular through a typical second-order circuits, application of MATLAB discussed in time domain and complex frequency domain, and discuss its physical significance.The results show that: MATLAB language is a set of numerical computation, symbolic computation and graphics processing power in one of the scientific computing language. It is easy and flexible to analyze also deepened the concept of the linear system of two orders through MATLAB in time and frequency domain understanding. Key wordsMATLAB language ;linear system of two order ;time domain ;frequency domain、stability ;states variable analysis method; simulationII前 言由于MATLAB具有友好的工作平台和编程环境、简单易用的程序语言、强大的科学计算机数据处理能力、出色的图形处理功能、应用广泛的模块集合工具箱等优势，它广泛应用于信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面。MATLAB 是一套面向工程和科学运算的高性能软件。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境, 它的出现使利用计算机辅助学生完成“信号与系统”课程的数值计算、信号与系统分析的可视化建模及仿真调试成为可能。经过十几年的发展与完善，MATLAB 目前已成为科技界最流行的应用软件。通过撰写本论文熟练掌握MATLAB及其应用特点，特别是应用在常见的二阶连续系统的分析与计算中，包括系统的模拟，方程的求解，系统的稳定性分析、系统的频率特性、分析结果的物理解释和图形描述等。MATLAB在信号处理上的应用非常地突出，它可以实现对线性系统的时域或频域分析与仿真，利用的就是其工具箱中丰富的信号处理函数，而这些函数大部分都是M文件，可以直接调用。对于经典的连续系统，常用的分析方法有时间响应（阶跃响应、冲激响应、零状态响应）、频率响应、根轨迹等，这些表示形式都能很方便地进行计算并能以图形的形式表达出来，具有非常简单和直观的特点。本文通过对典型的二阶连续系统进行时域、频域及稳定性分析，很容易地就可以应用到高阶系统。第1章 MATLAB语言及其操作的基本介绍1.1 MATLAB语言简述MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模、仿真和实时控制等功能。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学，工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C、FORTRAN等语言完全相同的事情简捷得多。在新的版本中也加入了对C、FORTRAN、C+、JAVA的支持。可以直接调用，用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用，非常的方便。MATLAB(Matrix laboratory,即“矩阵实验室”)是集数值计算、符号算法及图形处理等强大功能于一体的科学计算语言。其编程效率高，扩充能力强，语句简单、易学 易用，是当今世界上最优秀的数值计算软件，也是目前工程界最广的科学计算语言。在电路、信号与系统、数字信号处理及自动控制原理等诸多方面已被广泛应用。MATLAB是由美国Mathworks公司于1984年正式推出的，从那时到现在已升级到6.x版本。随着版本的升级，内容不断扩充，功能更加强大。特别是在系统仿真和实时运行等方面，有很多新进展，更扩大了它的应用前景。MATLAB的基础是矩阵计算，但是由于他的开放性，并且也吸收了像maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。1.2 MATLAB的主要功能1数值计算和符号计算功能MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，还提供了十分丰富的数值计算函数。MATLAB和著名的符号计算语言Maple相结合，使得MATLAB具有符号计算功能。2.绘图功能MATLAB提供了两个层次的绘图操作：一种是对图形句柄进行的低层绘图操作，另一种是建立在低层绘图操作之上的高层绘图操作。3.编程语言MATLAB具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特征而且简单易学、编程效率高。4MATLAB工具箱MATLAB包含两部分内容：基本部分和各种可选的工具箱。MATLAB工具箱分为两大类：功能性工具箱和学科性工具箱。1.2 MATLAB的优势和特点1.友好的工作平台和编程环境MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。而且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。2.简单易用的程序语言MATLAB一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序(M文件)后再一起运行。新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C语言基础上的，因此语法特征与C语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。而且这种语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。3.强大的科学计算机数据处理能力MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C+ 。在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。4.出色的图形处理功能 MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。可用于科学计算和工程绘图。新版本的MATLAB对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使他不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了出色的处理能力。同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。另外新版本的MATLAB还着重在图形用户界面（GUI）的制作上作了很大的改善，对这方面有特殊要求的用户也可以得到满足。5.应用广泛的模块集合工具箱MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。一般来说，他们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码。目前，MATLAB已经把工具箱延伸到了科学研究和工程应用的诸多领域，诸如数据采集、数据库接口、概率统计、样条拟合、优化算法、偏微分方程求解、神经网络、小波分析、信号处理、图像处理、系统辨识、控制系统设计、LMI控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP与通讯、电力系统仿真等，都在工具箱（Toolbox）家族中有了自己的一席之地。6、实用的程序接口和发布平台新版本的MATLAB可以利用MATLAB编译器和C/C+数学库和图形库，将自己的MATLAB程序自动转换为独立于MATLAB运行的C和C+代码。允许用户编写可以和MATLAB进行交互的C或C语言程序。另外，MATLAB网页服务程序还容许在Web应用中使用自己的MATLAB数学和图形程序。1.4 MATLAB的应用MATLAB的一个重要特色就是他有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱的特殊应用子程序。工具箱是MATLAB函数的子程序库，每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而定制的，主要包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。 MATLAB的应用非常广泛,在电路、信号与系统、数字信号处理及自动控制原理等诸多方面已被广为应用。MATLAB中的变量与常量都是矩阵(标量可看做阶的矩阵,向量可看做或阶的矩阵),其元素可以是复数和任意形式的表达式,它具有元素群运算能力。MATLAB的这些优于其他语言的特色,有利于分析计算电路的各种问题,并且使编程更简便,运算效率更高。第2章 连续时间系统的基本内容2.1 系统概述2.1.1 系统的概念及性质1、定义：一般认为系统是指由若干个相互关联、相互作用的事物，按照一定的规律组合而成的具有某种特定功能的整体。 2、分类：系统按响应与激励的信号形式分为连续系统和离散系统。3、系统的数学模型：微分方程、差分方程。4、系统分析：主要研究对于给定的系统，在输入信号的作用下产生的输出信号，并由此获得对系统的功能和特性的认识。它一般包括三个步骤：建模、求解、根据结果进行分析，深化对系统功能和特性的认识。具体介绍如何分析一个系统：(1) 建立描述系统基本特性的数学模型 (2) 用数学方法求出它的解 (3) 对所得的结果赋予实际的含义5、系统的特性系统的特性表现为以下几点：（1）线性一个系统既是齐次的又是可加的，即满足：设和是任意常数，若，则称该系统是线性的。（2）时不变性 对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导致零状态响应在时间上有相同的平移，则称该系统为时不变系统，即若Tf(t)=y(t)，则y(t-)=Tf(t-)；否则称为时变系统。（3）因果性零状态响应不出现于激励之前的系统（或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值，而与将来时刻的输入值无关），称为因果系统。（4）稳定性若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的，则称次系统为稳定系统。也可以称为有界输出（BIBO）稳定系统。上述定义可由以下数学表达式说明：导出稳定系统的充分必要条件是 ，式中M为有界正值。或者说，若冲激响应h(t)绝对可积，则系统是稳定的。2.1.2 LTI系统分析方法概述1、系统分析就是建立表征系统的数学方程式并求解，还常称为时域分析法，此方法计算较复杂，但物理概念清楚。2、描述LTI系统的方法:输入输出法（侧重于系统的外部特性，适合于单输入单输出系统）、状态变量法（侧重于系统的内部特性，适用于多输入多输出系统，特别适合于计算机分析）3、变换域分析法是应用数学的映射理论，将时间变量映射为某个变换域的变量，使系统的动态方程转换为代数方程，从而极大地简化了计算。2.2 连续系统的时域分析法 时域分析是指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。2.2.1 LTI连续系统的响应1、微分方程的经典解一般而言，如果单输入单输出系统的激励为f (t)，响应为y(t)，则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程，它可写为：即： 其中：该方程的全解由齐次解和特解组成，即 。齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。特征方程的根称为系统的“固有频率”，它决定了系统自由响应的形式。特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。 2、零输入响应：指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用表示。在零输入条件下，微分方程式右端为零，化为齐次方程。若其特征根均为单根，则其零输入响应为：，其中为待定系数。3、零状态响应：指初始状态为零，仅由激励所引起的响应，用表示。零状态响应是若方程的特征根均为单根,则,其中为待定系数。4、全响应系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，两种分解方式有明显区别。虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但二者系数各不相同， 仅由初始状态所决定，而 要由系统的初始状态和激励信号共同来确定。在初始状态为零时，零输入响应为零，但在激励信号的作用下，自由响应并不为零。也就是说系统的自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。2.2.2 冲激响应和阶跃响应1、冲激响应 一个LTI系统，当其初始状态为零，输入为单位冲激函数 时所引起的响应，简称为冲激响应。用 h(t) 表示，即冲激响应是激励为 时的零状态响应。2、阶跃响应一个LTI系统，当其初始状态为零、输入为单位阶跃函数时所引起的响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。用g(t)表示。阶跃响应是时，系统的零状态响应。冲激响应h(t) 与阶跃响应 g(t)的关系：因为 ，所以，同一系统冲激响应及阶跃响应的关系为：h(t)= ，g(t)=2.2.3 卷积积分 LTI系统的零状态响应等于激励与系统冲激响应的卷积积分，即：2.3 连续系统的频域分析法频域分析法即傅里叶分析法，它是变换域分析法的基石。其中，傅里叶级数是变换域分析法的理论基础，傅里叶变换作为变换作为频域分析法的重要数学工具。具有明确的物理意义，在不同的领域得到广泛的应用。2.3.1 连续系统的频率特性 一、频率特性的基本概念变换域分析的基本思想：将复杂信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求出系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。图2-1任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。具有一定幅度和相位，角频率为w的虚指数函数作用于LTI连续系统时，所引起的响应（零状态响应）是同频率的虚指数函数，可表示为： 系统的影响表现为频率响应函数H(jw)，它是信号角频率w的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变量为w，故称之为频域分析。可推出：Y(jw)=H(jw)F(jw)。2.3.2 频率特性的表示频率特性有三种图示法：1、幅相频率特性：可以表示成代数形式或极坐标形式。 极坐标图Nyquist图（奈奎斯特图、简称奈氏图）。设系统或环节的传递函数为 A（w）幅频特性；G（jw）的模相频特性；G（jw）的幅角 U（w）实频特性；G（jw）的实部 V（w）虚频特性；G（jw）的虚部 都是w的函数，之间的关系用矢量图来表示图2-22、对数坐标图（伯德图简称伯氏图）3、复合坐标图（尼克尔斯图，简称尼氏图）一般用于闭环系统频率特性分析的例：无源RC网络，如图2-2所示，输入：r(t)=Asinwt 图2-3解：电容C的等效复阻抗为，则输出量： 式中：电路输出电压与输入电压的复数比： （RC）这就是无源RC网络的频率特性。第3章 应用Matlab在时域中分析二阶连续时间系统3.1 概述及求解方法 二阶连续时间线性非时变系统（LTI）可以用如下的线性常系数微分方程来描述：系统的初始条件为系统的响应一般包括两部分，即由当前输入所产生的响应（零状态响应）和由历史输入（初始状态）所产生的响应（零输入相应）。对于低阶系统，一般可以通过解析的方法得到响应。但是，对于高阶系统，手工计算比较麻烦，也比较困难，这时MATLAB强大的计算功能就能比较容易地确定系统的各种响应，如冲激响应、阶跃响应、零状态响应、零输入响应和全响应等。在此只是从二阶系统开始应用MATLAB来进行时域分析，然后可以扩展到高阶系统。涉及到以下MATLAB函数：1、impluse函数：计算并画出系统的冲激响应。2、step函数：计算并画出系统的阶跃响应曲线。3、lsim函数：计算并画出系统在任意输入下的零状态响应。3.2 状态变量分析法3.2.1 状态变量分析法的定义与特点状态变量分析法是分析电路与电系统的一种系统化的方法。系统的状态是指一个系统的过去。现在和将来的状况。从抽象的意义上讲，状态变量是指一组描述系统状态的最少独立变量x(t)= 它具有以下的两个特点：(1) 在任何初始时刻，状态变量x确定了系统的初始状态，此处T表示转置。(2) 若已知系统的初始状态，当t后，系统施加的输入为u(t)，则可以完全确定系统的未来的性能变化。3.2.2 从电网络的基本方程来建立状态方程例3-1 研究图3-1所示的电路，试建立该网络的状态方程。 图3-1解 ：如图3-1所示，电路中有两个储能元件，可选取电感电流和电容电压为状态变量，记为x=，在节点B处列写KCL方程：C+=0 （3-1a）在该图中间的回路中列出KVL方程（在图中所示的规定的正方向下） （3-1b）式（3-1a）和（3-1b）是两个描述电路性能的基本微分方程，也是我们导出状态方程的出发点。将元件参数代入（3-1a）可得此处，为非状态变量，可以进一步找到它与状态变量的关系故有 （3-2）从式（3-1b）有 （3-3）此处又是一个非状态变量，我们设法将其用状态变量表示将上式代入（3-3）有 （3-4）于是我们从式（3-2）和（3-4）可整理得到下列一阶微分方程组：写成规范化得状态方程为式中 A= B= u=从这个例子中可以看出，在建立状态方程中较困难的一步是如何地将非状态变量用状态变量来表示。例3-2 已知系统的状态方程为 (3-5)，试建立该系统的状态方程。解：设第一个状态变量为x 则 y=x1+b2u (3-6)将式（3-5）带入上（3-6）得即得 令第二个状态变量为 则 (3-7a) (3-7b)将式(3-7a)和(3-7b)代入式（3-6），加以整理得 （3-8）从(3-7a)和式（3-8）便可导出规范型的状态方程，即有 （3-9）本例中状态变量是取y与u的线性组合，是取线性组合，即 因此，状态变量的选取有多种多样的方式，当选取不同的状态变量后，所导出的状态方程也互不相同。3.2.3 MATLAB在系统状态变量分析法中的应用1、系统微分方程到状态方程的转换MATLAB提供了了一个tf2ss函数，它能把描述系统的微分方程转化为状态方程，调用形式如下A.B,C,D=tf2ss(num,den)其中num,den分别表示系统函数H(s)的分子和分母多项式，A，B，C，D分别为状态方程的矩阵。例3-3一系统的微分方程为 解：该系统的H(s)为 H(s)= 由A.B,C,D=tf2ss(1，1 5 10)可得A= B= C=0 1 D=0 所以系统的状态方程为 2、系统状态方程系统函数矩阵H(s)的计算 利用MATLAB提供的函数ss2tf，可以计算出由状态方程得到的系统函数矩阵H(s)，调用形式如下： num,den=ss2tf(A,B,C,D,n); 其中A,B,C,D分别表示状态方程的矩阵；n表示由函数计算的与第n个输入相关的系统函数，即 H(s)的第n列。num表示第n列的m个元素的分子多项式，den表示H(s)公共的分母多项式。 例3-4已知某连续时间系统的状态方程和输出方程为用MATLAB计算该系统的函数矩阵H(s)。解：由A=2 3; 0 -1；B=0 1; 1 0；C=1 1; 0 -1；D=1 0; 1 0； 可得 Num1= 1 0 -1 1 -2 0 den1= 1 -1 -2 num2=0 1 1 0 0 0 den2= 1 -1 -2 所以系统函数矩阵H(s)为=3、用MATLAB求解连续时间系统的状态方程连续时间系统的状态方程的一般形式为首先由sys=ss(A，B，C，D)获得状态方程的计算机表示模型，然后再由lsim函数获得其状态方程的数值解。Lsim函数的调用形式为Sys表示由函数ss构造的状态方程模型；t表示需计算的输出样本点，t=0:dt:tfinal；f(:,n)表示系统第n个输入在t上的抽样值；0表示系统的初始状态（可缺省）；y(:,n)表示系统的第n个输出；To 表示实际计算时所用的样本点；x表示系统状态。例3-5用MATLAB计算例3-4的数值解。解：A=2 3 ; 0 -1； B=0 1; 1 0；C=1 1; 0 -1；D=1 0; 1 0；dt=0.01；t=0:dt:2；fsys=ssy=lsim;subplot(2,1,1);plotylabelxlablesubplot(2,1,2);plot;ylabelxlable其数值解如图3-2所示图3-2 连续时间系统状态方程的数值3.2.4 状态变量分析法的优点描述电路或系统的动力学方程都具有统一的规范化的表达形式，即状态方程可以表示为 ，输出方程可以表示为y=的形式；(1) 从本质上讲，它是一种时域分析法，因为状态方程和输出方程均为一阶常微分方程组，而求取它们的解析解和数值解均有成熟的方法可供使用；(2) 状态变量分析不仅揭示了网络和系统中的响应和激励之间的关系，而且还揭示了系统内部的各种物理量（各个状态变量）的变化规律，或者在n维空间中反映系统的一种特有规律，从而使人们对系统的性能有更深入与本质的理解，并能够采取一定的措施来改善系统的性能；(3) 状态变量分析法是统一的分析方法，它可用复频域的方法和时域的方法来分析和处理连续或离散系统。3.2.3 系统的可控性和可观察性 可控制性与可观测性是线性系统的两个基本问题，它与系统的稳定性一样，从不同侧面反映系统的特性。系统的可控制性反映着输入对于系统状态的控制能力； 可观测性反映着系统的状态对于输出的影响能力。对于一个线性时不变系统而言，如果其输入能够激发出系统的所有固有频率，就称它是可控制性的；如果其输入为零，在零输入响应，它的全部固有频率项在输出中都可以观察到，则称为可观测的。 3.3 简单实例例3-3 求系统的冲激响应和阶跃响应MATLAB程序如下：a=1 6 8;b=3 9;t=0:0.1:10;sys=tf(b,a);y1=impulse(sys,t);subplot(2,1,1);plot(t,y1);xlabel(时间(t);ylabel(y1(t);title(单位冲激响应);y2=step(sys,t);subplot(2,1,2);plot(t,y2);xlabel(时间(t);ylabel(y2(t); title(单位阶跃响应);程序运行结果如图所示：图3-3例3-4 求系统的全响应。MATLAB程序如下：a=1 0 1;b=1;t=0:0.1:10;x=cos(t);sys=tf(b,a);y1=lsim(sys,x,t); %求系统在正弦激励下的零状态响应subplot(2,2,1);plot(t,y1);xlabel(时间（t）);ylabel(Yzs(t);title(零状态响应);zi=-1,0;y2=lsim(sys,x,t,zi); %求系统的全响应subplot(2,2,2);plot(t,y2);xlabel(时间（t）); ylabel(Y(t);title(全响应);运行结果如图3-4所示：图3-43.3 二阶电路时域分析3.3.1 基于MATLAB的LC二阶低通滤波网络时域分析如图3-4 所示为一个LC 二阶低通滤波网络。 图3-5电路在信号处理过程中，电路参数的选择相当重要，它决定了信号处理的正确性和质量好坏，从数学角度上来看，信号处理过程其实是微分方程求解转化为差分方程的过程，而模拟信号是一个物理过程，可以等价于微分方程，首先对LC二阶低通滤波网络输入与输出信号之间的关系进行了数学建模，得到了一个带初始条件的微分方程，然后对微分方程进行变换，得到了LC二阶低通滤波网络信号的传递函数，基于MATLAB对它的时域进行仿真和分析。1、 LC 二阶低通滤波网络数学建模由则 所以若初始时刻，电路两端无电荷积累，即： 则LC 二阶滤波网络可以归结为一个带初始条件的二阶微分方程： 2、 LC 二阶低通滤波网络传递函数的获得先对微分方程作拉普拉斯变换得：传递函数：令S=jw 则而则3、利用MATLAB 对LC 二阶低通滤波网络的时域进行仿真分析，分别得到了当=5 时的单位阶跃曲线（阻尼响应曲线）；=2，4，6，8，10，12 时的单位阶跃响应曲线。 执行以下程序得=5 时的单位阶跃响应曲线（阻尼响应曲线）： =5; Q=0.1:0.2:2; figure(1); hold on; for i=1./Q;num=wc.2;den=1,i*wc, wc.2;step(num,den);End图3-6 =5 时LC 二阶低通滤波网络的阻尼响应曲线由曲线可以看出，过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应最快，在过阻尼响应曲线中，阻尼系数()越小，超调量越大，上身时间越短，根据工程 实践，一般取Q=0.7 左右，这时的超调量适度，上升实践也短。执行以下程序得wc =2，4，6，8，10，12 时的单位阶跃响应曲线： w=2:2:12; Q=0.707; figure(1); hold on for =w;num=wc.2;i=1.0/Q; den=1,i*wc,wc.2; step(num,den);END图3-7 Q=0.707，wc =2，4，6，8，10，12 时的单位阶跃响应曲线由上图可知：在品质因数Q 一定时，wc越大，系统的响应时间就越快4、 小结 一般地，一个n 阶信号处理系统都对应着一个n 阶常系数微分方程，一个n 阶微分方程通过拉普拉斯变换可以得到信号的传递函数，由于传递函数的获得，可以用相关软件对电路进行分析、设计与验证，本文用到的MATLAB 软件提供了大量分析控制系统时域特征的工具函数，这些函数不仅适用于分析连续系统和离散系统，而且也适用于分析传递函数或状态空间表示的系统模型，正因为如此，才使得各种信号处理系统地开发及应用有了快速的发展。第4章 应用Matlab在频域中分析二阶连续时间系统4.1 概述及求解方法 设线性时不变（LTI）系统的冲击响应为h(t),输入的激励信号为f(t),由信号与系统时域分析理论可得该系统的零状态响应y(t)为y(t)=h(t)*f(t) 又设f(t)*h(t)及y(t)的傅里叶变换分别为F(jw)H(jw)及Y(jw)在频域上的关系为Y(jw)=H(jw)F(jw) 连续系统的频率响应H(jw)定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(jw)与系统激励信号的傅里叶变换F(jw)之比，即H(jw)= 若将上式中各项用模和相角的形式表示，则有 通常，H(jw)可表示成两个有理多项式B(jw)与A（jw)的商，即H(jw)= 系统频率响应H(jw)的模|H(jw)|了系统响应与激励信号频率分量的幅反应度之比，称之为系统幅频特性（或幅频响应）。系统频率响应H(jw)的相角反映了系统响应与激励信号频率分量的相位之差，称为系统的相频特性（或相频响应）。 若以频率w为横坐标，以|H(jw)|为纵坐标，可以绘出系统幅频响应|H(jw)|随频率的变化曲线，该曲线直观的反映了系统对激励信号不同频率分量幅度的处理情况，称为幅频特性曲线。同理也可绘出系统相频响应随频率的变化曲线，该曲线直观地反映了系统对激励信号不同频率分量相位的处理情况，称为相频特性曲线。 当周期信号的周期无限增大时，周期信号就转化为非周期信号。对非周期信号（T），由于其各次谐波幅度将趋近于无穷小，各谱线之间的间隔也将趋近于0，因此不能再采用周期信号的频谱表示方法来分析。为了有效地分析非周期信号的频率特性，可引入“频谱密度函数”的概念，即通过傅里叶变换来分析非周期信号的频谱。 信号f(t)的傅里叶变换定义为F(jw)= 傅里叶逆变换的定义为f(t)= 如果连续时间信号f(t)可用符号表达式表示，则可用MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供的fourier函数直接求出其傅里叶变换。该函数常用的调用格式有三种。 F=fourier（f) F=fourier（f,v) F=fourier（f,u,v)说明： 格式中输入参量f时间信号f的符号表达式，输出参量F为返回符号表达式f的关于w的傅里叶变换表达式。如果f=f，则fourier函数返回关于t的函数。 格式中的输入参量f与格式的含义是相同，输出参量F为返回符号表达式f的关于V的傅里叶变换表达式，V是符号变量。即F= 格式中的输入参量f是关于符号变量u的符号表达式，输出参量F为返回符号表达式f的关于v的傅里叶变换表达式，V是符号变量。即F（v)=注意：在调用fourier函数之前，要用syms命令对所用到的变量，如t，u，v，w等进行说明，即将这些变量说明成符号变量。4.2 简单实例求解例4-1 利用MATLAB的Symbolic Math Toolbox求单边指数信号f(t)= 的傅里叶变换，画出f(t)及其幅度谱和相位谱图（图4-1）。 MATLAB程序如下： sysms t v w x phase im re; %定义符号变量f=exp(-)sym(Heaviside(t); %f(t)=exp; %求傅里叶变换 subplot(3,1,1); ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis(-1 2.5 0 1.1); subplot(3,1,2); ezplot(abs(); %绘制幅度谱 im=imag; %计算虚部 re=real; %计算实部 phase=atan; %计算谱相位 subplot(3,1,3); ezplot(phase); %绘制相位谱 End图4-14.3 二阶电路频域分析例4-1 图4-2是常见的用RLC元件构造的二阶高通滤波器，用MATLAB求其频率H（jw）并绘制幅度响应和相位响应曲线。图4-2解：电路的频率响应函数为 设R=,L=0.4，C=0.05F, 则R=，且截止频率为 =7.0711|H(jw)| = 将L，C，R的值代入H（jw）的表达式，得H（jw）=实现以上分析的MATLAB程序如下：%dm10502%二阶高通滤波器的频率响应b=0.04 0 0; %生产向量ba=0.04 0.4 2; %生成向量ah,w=freqs(b,a,100); %求频率响应函数H(jw),设定100个频率点 %求幅频响应 %求相频响应subplot(2,1,1);plot(w,);hold onplot(7.0711 7.0711,0 0.707,:); plot(0 7.0711,0.707 0.707,:);axis(0 40 0 1.1);gridxlabel(角频率(omega);ylabel(幅度);title(H(jomega)的幅频特性);subplot(2,1,2);plot(w,pi);axis(0 40 0 200);gridxlabel(角频率（omega）);ylabel(相位（度）);title(H(jomega)的相频特性);End程序运行结果如图所示 图4-3由上图可以看出，当w从0增大时，该高通滤波器的幅度从0开始上升，当时，幅度等于0.707，w后进入通带。结束语 在撰写本次论文时，从最初的一步步收集资料书籍到现在论文的完成，收获很多，首先让我对MATLAB语言有所认识，觉得MATLAB语言是功能十分强大的工程计算及数值分析软件，它提供了高效的信号处理工具。学会了用MATLAB语言编写简单的程序，然后再次重新学习连续时间系统，学习这