（概率论与数理统计专业论文）besov空间的小波刻划.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盘军j 屯日期：趁z 垒! 生 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) i “p 日期：kp _ 竺 摘要 摘要 b e s o v 空间包含许多常见的函数空间如s o b o l e v 空间，h b l d e r 空间， z y g m u n d 类以及l i p s c h i t z 空间等它的重要性在于描述函数的光滑性以及被 用做一些偏微分方程的解空间；由于b e s o v 空间的复杂性，也为了更好地理解它， b e s o v 空间的算子刻划受到了许多数学家的重视随着小波分析的出现，小波基 刻划b e s o v 空间成为重要课题本文是u r b a n ，b i t t n e r ，c o h e n ，d o n o h o 等人工作 的继续 2 0 0 7 年，b i t t n e r 和u r b a n 利用插值h e r m i t e 小波刻划了直线上的b e s o v 空间娣，。( r ) ，但没有证明小波系在该空间的稠密性本文第二章研究了投影算子 的一致收敛性，d o n o h o 范数下的收敛性以及b e s o v 意义下的收敛性作为推论， 我们得到了上述稠密性的结果由于h e r m i t e 样条光滑性的限制，b i t t n e r 和 u r b a n 的刻划对于b e s o v 空间光滑性指标的要求过分苛刻本文第三章应用j i a ， w a n g 和z h o u 给出的弱对偶b 一样条小波刻划了任意阶光滑指标的b e s o v 空 间从而弥补了他们的缺陷 因为区间( 区域) 上的小波在实际应用中的重要性，第四章中首先利用第二 章的结果，刻划了区间 o ，1 】上具有零边值的b e s d u 空间霹，口( 【o ，1 】) ；其次利用区间 上的h e r m i t e 样条小波刻划了不带零边值的b e s 伽空间b ；，。( 【o ，1 】) 在本文最 后一章，我们利用散度自由小波刻划向量b e s o v 空间首先应用双正交小波产 生的张量积刻划高维b e 5 伽空间露，。( 黔) ；其次给出由其生成的散度自由小波对 i n 量b e s o v 空间秀；，q ( r n ) 的刻划；最后利用区间上的h e r m i t e 样条小波生成 的散度自由小波刻划雹，q ( o ，1 】n ) 所有散度自由小波的构造都采用l e 仇o r i d ， 一t 一 北京工业大学理学博士学位论文 u r b a n 等人给出的方法本文所有刻划的主要任务是证明投影算子的收敛 性及给出下界估计在鼋，口( r n ) 的刻划中，投影算子在b e s d u 范数下收敛；而 在露，q ( o ，1 】n ) 中，我们仅得到了点态收敛性 关键词b e s o v 空间；1 3 - 样条小波；h e r m i t e 样条；散度自由小波；刻划；收 敛性 一i i a b s t r a c t a b s t r a c t b e s o vs p a c e sc o n t a i nm a n yf u n d a m e n t a ls p a c e s ，s u c ha ss o b o l e vs p a c e s ， h s l d e rs p a c e s ，z y g m u n dc l a s s ，l i p s c h i t zs p a c e sa n de t c t h e yc a nd e s c r i b e s m o o t h n e s so ff u n c t i o n sa n dc a nb et h es o l u t i o ns p a c e so fc e r t a i np a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s o p e r a t o rc h a r a c t e r i z a t i o n sf o rb e s o vs p a c e si n t e r e s tm a n y m a t h e m a t i c i a n s ，。b e c a u s et h e ya r ec o m p l i c a t e da n dn o te a s i l yu n d e r s t o o d w a v e l e t c h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h o s es p a c e sa r ei m p o r t a n t t h i sp a p e rc a nb ec o n s i d e r e da s s o m ee x t e n s i o n so fb i t t n e r ，u r b a n ，c o h e na n dd o n o h o s b i t t n e ra n du r b a nc h a r a c t e r i z eb e s o vs p a c e 睇，q ( r ) b yu s i n gi n t e r p o l a t o r y h e r m i t ew a v e l e t s ，b u tt h e yd on o ts h o wt h ec o m p l e t e n e s so ft h e i rw a v e l e ts y s t e m c h a p t e r2o ft h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h ec o n v e r g e n c eo fh e r m i t ep r o j e c t i o no p e r - a t o r si nt h es e n s eu n i f o r mn o r m ，d o n o h o sn o r m ，a sw e l la s 睇，g ( r ) n o r m a sa c o r o l l a r y , w er e c e i v et h a tc o m p l e t e n e s s s i n c es m o o t h n e s si n d e xo fh e r m i t es p h n e s a r er e s t r i c t e d ，b i t t n e ra n du r b a n sc h a r a c t e r i z a t i o na r ea sw e l l t or e m o v et h a t l i m i t a t i o n ，c h a p t e r3c h a r a c t e r i z e sb e s o vs p a c e sb yb s p l i n ew a v e l e t sw i t hw e a k d u a l s ，w h i c ha r ei n t r o d u c e db yj i a ，w a n ga n dz h o u b e c a u s ew a v e l e t so ni n t e r v a l s ( d o m a i n s ) p l a y si m p o r t a n tr o l e si na p p l i c a - t i o n s ，c h a p t e r4c h a r a c t e r i z e sf i r s t l y 睇，口( 【o ，1 】) w i t hz e r o - b o u n d a r yc o n d i t i o n s b yt h er e s u l t so fc h a p t e r2 ；t h e nh e r m i t ew a v e l e t so n 【0 ，1 】a r eu s e dt oc h a r - a c t e r i z e 睇，q ( 【o ，1 】) w i t h o u t t h ea s s u m p t i o no fa n yb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e l a s tc h a p t e ri sd e v o t e dt oc h a r a c t e r i z a t i o n so fv e c t o rb e s o vs p a c e sb yd i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t s ：a p p l y i n gt h et e n s o rp r o d u c t so fb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ，w eg i v ea i i i 北京工业大学理学博士学位论文 c h a r a c t e r i z a t i o no fh i g h - d i m e n s i o n a lb e s o vs p a c e sb 踟8 ( r n ) ；t h e n ，v e c t o rb e s o v s p a c e s 鼋，口( ) a r ec h a r a c t e r i z e db yd i v e r g e n c e f r e ew a v e l e t sg e n e r a t e db y t h o s e b i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ；f i n a l l y , w ec h a r a c t e r i z ev e c t o rb e s o vs p a c e s 雹，q ( o ，1 】n ) t h o s ed i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t sg e n e r a t e db yh e r m i t es p l i n ew a v e l e t so n 0 ，1 】 a l ld i v e r g e n c e f r e ew a v e l e t sa r ec o n s t r u c t e db yt h em e t h o d so fl e m a r i ga n du r b a n i nt h i sp a p e r t oh a v ec h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e m s ，t h em a i nw o r ki st op r o v e t h ec o n v e r g e n c eo fp r o j e c t i o no p e r a t o r sa n dt oe s t i m a t et h el o w e rb o u n d s f o r b e s o v s p a c e 露，q ( 舻) ，t h ep r o j e c t i o no p e r a t o r sc o n v e r g e i nb e s o v - n o r m ；b u tf o r 雹，q ( o ，1 】n ) ，w eo n l yr e c e i v ep o i n t w i s ec o n v e r g e n c e k e yw o r d s b e s o vs p a c e ；b s p l i n ew a v e l e t s ；h e r m i t es p l i n e s ；d i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t ；c h a r a c t e r i z a t i o n ；c o n v e r g e n c e 一一 符号表 = = = n ，z ，r n o ，z + z n r n a 焉b a 乏b a vb j = f 或j 、手一1 丰 v 7 r d 【a j s u p pf s 口 s 。 x n 符号表 “定义为”或“记为” 自然数集，整数集，实数集 非负整数集 n 维整数集，礼维实数集 a c b ，其中c 为独立的正常数 等同于b 焉a a 焉b 并且bsa ，的f o u r i e r 变换、逆f o u r i e r 变换 卷积 任给 小于或等于d 次多项式全体 等于或小于a 的最大整数 函数，的支集 速降函数类空间，紧支无限可微函数空间 s 的对偶空间：缓增分布空间 q 上的特征函数 一v 一 北京工业大学理学博士学位论文 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 符号表v 第1 章绪论 1 1 1 b e s o v 空间1 1 2小波4 1 3多小波 7 1 4 散度自由小波1 0 1 5 背景及主要结果1 3 第2 章h e r m i t e 投影算子的收敛性1 7 2 1 一致收敛性1 7 2 2 d o n o h o 范数下的收敛性2 0 2 3 一个命题2 3 2 4 b i t t n e r u r b a n 范数下的收敛性2 6 2 5 本章小结2 9 第3 章b e s o v 空间的弱对偶小波刻划3 0 3 1 具有弱对偶的b 一样条小波一3 0 3 2 范数等价性：j3 3 3 3 b e s o v 空间的刻划3 9 3 4 本章小结4 1 第4 章区间上b e s o v 空间的小波刻划4 3 4 1 零边值b e s o v 空间的刻划4 3 4 2 区间f o ，1 e b e s o v 空间的刻划4 7 4 3 本章小结5 3 第5 章向量b e s o v 空间的小波刻划5 4 5 1 高维b e s o v 空间的小波刻划5 4 5 2 n n b e s o v * _ r 司b ；，口( 即) 的小波刻划5 8 一i 一 北京工业大学理学博士学位论文 5 3 霹，g ( o ，1 】n ) 的小波刻划6 4 5 4 本章小结7 2 结论7 3 参考文献7 4 攻读博士学位期间的研究成果8 5 致谢8 6 一i i 第1 章绪论 第1 章绪论 本文研究b e s 铡空间的小波刻划在绪论部分，给出相关研究背景及本文主 要结果为此，我们引进必要的概念及准备知识，包括b e s d u 空间，小波，多小波， 散度自由小波以及主要结果 1 1b e s o v 空间 连续函数空间c m 及经典的l e b e s g u e 空间l p 是分析数学中两类基本空间， 其它许多重要的函数空间都是在此基础上发展起来的，例如h s l d e r 空f b - - - j 1 一s lc s 可以看作是对c m 空间的空隙填充，z y g m u n d 类f 4 】( s 0 ) 是对h 6 l d e r 空间 的推广；s o b o l e v 空间5 一踟叼是l p 的a r ( w o = l p ) ，n b e s o v 空间p t 口8 可以看 作是叼的空隙填充【9 1 6 i b e s o v 空间的重要性表现在函数的光滑性描述【1 7 2 0 】 以及作为有些偏微分方程的解空间，它们不在传统的函数空间中【2 2 1 这一空间 的定义通常基于连续模的概念f 2 3 2 6 j ： 设a 为一阶差分算子， ，( ) ：= ，( + h ) 一，( - ) ；d 阶差分算子由递推 方式定义我们用l p ( q ) 表示q r n j ：的l e b e s g u e 空间，0 o ， 其中q ，d ：= z q ：z + l h q ，0 2 d ) 当q = r n 时，简记为u ：( 厂，t ) = s u pi i a a h f ( ) il l , i h t t 设0 8 d n ，0 p ，q o 。，则q 上的b e s o v 空间定义为 睇，。( q ) ：= s l p ( q ) ：i ，b 。( q ) 0 ， 【s j 一n o ，0 s 】+ l 且s = 【s 一+ 5 ) + ，1 p ，g ， 露，。：= ，l p ：i l y i i b ；，。：= i 叫圹+ - s ) + i | ；产5 j i i p i f “r ，击训 。o 当o 0 定义为：= a = ( a k ) ：i l a l l t , o o ， 忆，：螺掣= ； 若a 1 ( z ) ，它的f o u r i e r 变换a 定义为 ：= q u ) e 训，f r j e z 1 9 6 7 - 1 9 7 5 年，zp e e t r e 3 2 1 【3 6 1 ，e m s t e i n ，g w e i s s 3 j 7 】及c f e f f e r m a n 3 s 3 9 研究了用f o u r i e r 变换定义的b e s o v 空间： 设妒o s ，当h l ，q o o ( x ) = 1 ，当2 ，q o o ( x ) = o ；且奶( z ) ：= 妒o ( 2 一j z ) 一 伽( 2 一j 十1 z ) 满足j n 。 ) = 1 对o p ，口o o ，s r ， 乓孑：= f s ，| i f l l b ：f ：= 1 1 ( 2 j 3i i 广1 妒j y f l l p ) j n 。忆 o o 】 值得指出的是不同的妒给出的范数是等价的，所以可略去指标妒 由于b e s o v 空间的复杂性，也为了更好地理解该空间，b e s o v 空间的各种 刻划受到了数学家的重视在p e e t r e 等人给出的定义中，通过重新定义伽，仍， f q t a u b e r i a n 条件便给出了新的刻划f 1 8 】这里特别介绍由解析函数及逼近方 法给出的的刻划【4 】【9 】【1 6 】【1 8 】 一2 一 第1 章绪论 设b ( r ) 为r n 上以原点为球心半径为r 的球，记：= b ( 2 j ) ，a o ：= b 1 ， a k ：= b k + 1 b 七一，七n 定义函数序列空间 ：= a = _ b n o ：a j l p ，s u p p 白) ， 岛：= 6 = b b n 。：b l p ，u 即瓦b j 当0 0 ，定义离散空间 瑶：= a = ( ) j z ，( 5 a j ) 岛) ， 一3 一 北京工业大学理学博士学位论文 范数为l l 口| i 备：= 1 1 ( 2 j 8 q ) i | 勺，显然，铝= 岛h q 7 咖不等式由下述引理给出： 引理1 1 1 ( 5 0 】) 设o = ( q ) 和6 = ( 6 j ) ，j z ，若存在岛 o ，p 7 0 使 得j 6 j i c o ( i a r i p ) 声，那么俐i t 焉i l a l l t ：，其中s 7 o ，0 g ，0 0 r ! ie l ， 1 2 小波 小波分析产生于二十世纪八十年代中后期，它可以看成是c a l d e r o n 表示定 理【5 1 】和原子分解【5 2 】等的进一步发展1 9 8 6 生g ，法国著名数学家ym e y e r 5 3 发现 了第一个现代意义上的正交小波基此后，他与s m a l l a t 5 4 一起提出了多分辨率 分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简记为m r a ) 的概念，1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 5 5 利用这一概念构造了具有紧支集的正交小波多分辨率分析的思想是一串具有不 同分辨率的子空间对l 2 ( 豫) 的逼近 定义1 2 1 【5 6 】 设 巧) j z 是l 2 ( r ) 的闭子空间序列且满足以下条件，则称 巧b z 为l 2 ( r ) 的m r a ( 1 ) 巧ck + l ，j z ； ， ( 2 ) f ( x ) k 当且仅当，( 2 z ) 巧+ 1 ，j z ； ( 3 ) n = o ) ，u 巧= l 2 ( r ) ； j e z j e z ( 4 ) 存在函数( z ) v o 使得 加k ( x ) ：k z ) 构成子空间的瞰e s z 基，其 中九七( z ) ：= 2 j 2 ( 2 j x 一尼) ，j ，k z 函数妒 ) 称为尺度函数，k 为尺度空间当 西o ，七( z ) ) 为标准正交时，称为 正交的由( 1 ) 可知，存在 七 - 2 使 纰) 2 砺1 莩榔一n 上述方程称为细分方程，m o ( ) ：= 击七k e 一k 称为的符号 从m o ( ) 出发，利用f o u r i e r 变换的技巧，i d a u b e c h i e s 5 7 构造了紧支正交 小波d n ( x ) ，耳p 2 d n ( 2 j x 一七) 】生成l 2 ( r ) 的标准正交基d a u b e c h i e s 小波d 一4 一 第1 章绪论 的一个缺陷是它的非对称性事实上，正交小波的对称性与紧支性不可兼 容( h a a r t j 、波除外) ，这直接导致了双正交小波的研究c o h e n 和d a u b e c h i e s 等人 从一对双正交m r a 出发，即相应的尺度函数满足( ，血) = 5 0 ，构造了双正交 小波 5 s - 6 0 】设，西的符号分别为m o ( ) 及诋( 亭) ， 帐) 2 了1 二e hke-ikkez及州扣去k e z 瓦e k v 厶v 则及2 ) ：m o ( ) 虱) ，虱2 ) = m o ( ) 虱) 记妒和万分别是上述两个m r a 对 应的小波函数，则存在t 2 ( z ) 中的序列 鲰) 和( 磊) 满足砂0 ) = g k l ，k ( z ) 及识z ) = 虱五，七( z ) 从而万( 2 ) = 伽( ) 虱) ，万( 2 ) = ( ) 氟专) 这里， 伽 ) 2 壶篆9 妒础巧o ( 95 壶弛一k - 进一步，下述双正交关系成立： 佗o ( ) 壳o ( ) + 伽( + 丌) 元o ( + 丌) = 1 仇o ( f ) 元o ( 专) + m o 传+ 7 r ) 元o + 丌) = 0 伽( ) 而o ( ) + 礼o ( 亭+ 丌) 而o 十7 r ) = 0 给定l 2 ( r ) 上的双正交m r a ，构造双正交小波的最简方式【6 1 】是取 g 知：= ( 一1 ) 七一1 元1 一知和硫：= ( 一1 ) k 一1 瓦：i ( 1 - 1 ) 设：= 否丽而 咖，七) ，：= 丽 吻，知】，那么从l 2 ( r ) 到，的投影算子分别由 下式给出： 弓，= ( ，秀，七) 妒m ，锄厂= ( ，访，七) 奶扣 ( 1 2 ) 七 七 双正交小波的一个重要例子是b 一样条小波i 6 1 一删设拆是r 阶b 一样条函数， 它的f 讹疵e 7 变换五由下式给出： 一5 一 厂 堕； 丝。i i 如 北京工业大学理学博士学位论文 其中当7 是偶数时，k = o ；当r 是奇数时，k = 1 特别地， 见图1 1 ， i1 ，0 z 1 - ( z ) = 一 ， l 0 ，o w 、 2 ( z ) = + z ，- i z 0 一z ，0 z 1 ，o w ， m i - i b 样条尺度函数l 和毋2 f i g 1 - 1b s p l i n ef u n c t i o n s 1a n d 2 设f 1 且r - 4 - f = 2 l ，则拆的对偶函数中支集最短的是【6 l 】 ( 西，力 ( f ) = ( 2 丌) 一，r - m 。( 2 一) j = i 这里，赢( ) = e 一警( c 。5 1 ) 芦l - 1 l 曜。+ n ( s 饥1 ) ，相应的双正交小波函数诉，f ，嚣，f 满足 再删= e 一誓，赢( 妻+ 丌) 岙( 丢) 和菇( 荨) = e 一萼r 仇o ( 薹+ 丌) 菇( 丢) 由于双正交样条小波对偶的复杂性，文献 6 5 】研究了弱对偶b 一样条小波：设 紧支函数，9 l 2 ( r ) ，定义 i f , 9 ：= ( ，夕( - j ) ) e 喇= 永+ 2 腩) 丽瓢丽，比r j e z k e z 若i f ，9 】( ) 0 ，比r ，则称f ，g 满足弱对偶条件【6 6 1 文献 6 5 】通过定义尺度函数及其弱对偶据，构造了小波妒( ) = j ( 一1 ) 可r i 秘，( 2 - j ) 及其弱对偶识) = 邑( 一1 ) i v ( 1 - j ) 僻( 2 一歹) ，其 中u ( 歹) = ( 妊( ) ，拆( 2 一歹) ) ，v ( j ) = ( ( ) ，靠( 2 一歹) ) i r + 是偶数结果表 一6 一 第l 章绪论 明 奶，七) 及 奶，七) 分别是l 2 ( r ) 的弱双正交r i e s z 基由于弱对偶不是传统意义上 的对偶，故从l 2 ( r ) 到尺度空间巧的投影算子表示复杂一些( 见3 1 节) 1 3 多小波 9 0 年代中期以来，因为相对小的支集和对称性，多小波( m u l t i w a v e l e t s ) 的 研究引起了人们的极大兴趣【6 7 】【吲由于本文第二，五章只用到- 了h e r m i t e 多小 波，故只介绍具有两个生成元的情形m r a 的概念类似于定义1 2 1 ，只是要 求 1 ( z n ) ，2 ( z n ) ，n z ) 构成v o 的r i e s z 基设圣= ( 1 ，妒2 ) 和垂= ( 妒1 ，妒2 ) 为两个双正交向量尺度函数，即( 继k ，风。) = 6 七n 如，细分方程分别为 圣( z ) = 巩圣( 2 z n ) ，丕( z ) = 鼠丕( 2 z 一住) ， n e z n 6 z 其中巩，以为2 2 矩阵频率域上的表现形式为圣( 2 ) = 日( f ) 垂( ) 及垂( 2 毒) = h ( ) 中( ) ，其中日( ) = 互1 e _ 嵋，h ( ) = ；以e 一嘶相应的多小波皿，皿 满足毒( 2 亭) = f ( ) 毒( ) 及面( 2 ) = 膏( ) 面( ) ，其中f ( f ) = 互1 r e 一吣，芦( ) = r e 一心双正交关系由下述四个等式确定： n 6 z 日 ) 日( ) + h ( + 丌) h + 7 r ) = i f ) f ( ) + f ( 荨+ 7 r ) f ( + 7 r ) = ， 和单小波理论相比，因为矩阵乘法没有交换律，所以多小波没有类似于( 1 1 ) 的简 单公式 h e r m i t e 样条是研究多小波的重要工到6 8 】【制，两个3 次h e r m i t e 样条 函数 ( z ) ：= ( 1 3 2 2 2 2 3 ) 一1 ，o ) ( z ) + ( 1 3 2 2 + 2 x 3 ) ) ( 【0 ，1 ) ( z ) ，昆( z ) ：= ( z + 2 2 2 + x 3 ) x 【一1 ，o ) ( z ) + ( z 一2 x 2 + p ) x t o ，1 ) ) ( 见图1 2 ) 满足细分方程 r ( z ) = a + ( 尼) r ( 2 z 一忌) ， 知z 一7 北京工业大学理学博士学位论文 其中+ ( z ) ：= ( 对( z ) ，管( z ) ) t ， o + ( 一1 ) = 对 图l 一2 f i g 1 - 2 h 矿( o ) =，口+ ( 1 ) = 日e r 删把样条函数对和劈 ，l3 、 e ) l 8 8 e r m i t es p l i n ef u n c t i o n s 对a n d 毋 类似地，两个2 次h e r m i t e样条函数f ( z ) ：= ( - 6 x 一6 x 2 ) x l - 1 ，o l ，钉( z ) ：= ( 1 + 4 x + 3 x 2 ) x 【一1 ，0 】+ ( 1 4 x + 3 x 2 ) ) ( 【0 ，1 ) ( z ) ( 见图l 一3 ) 满足细分方程 其中一 ) a 一( 一1 ) 一( z ) = a - ( 七) 一( 2 z 一后) ， k e z ( ；：) ，口一c 1 ，= ( ；_ ! ：) ，n c 2 ，= ( 三兰) 易见铸m = 1 ，2 ) 是连续可微的且 a x 笔赫( 后) = 以，。如一1 p ，后z ， 【o ，1 ) ，m l ，2 ) ； 矗是连续的且 矗( 七) = 以。o ，2 ， ，俺 矗( z ) 如= 以，o - 1 k z ，m j k - 1 _ 【l ，2 定义垆：= c f d s 如印。他【蒜( 2 j 一七) ：m 【1 ，2 ) ，k z ) ，则 v j 士 i 为l 2 ( r ) c p 两+ m r a ，且哼在嘻1 中的直交补咛= c f d s 如s p o n 叩袁( 分- k ) ：m 1 ，2 ) ，k z ) ，这里 砖：= 繇( 2 - 1 ) ，m = l ，2 ；盯：= 盯( 2 一1 ) f i - ( 22 ) ；石：= 钉( 2 一1 ) 【鹞】 一8 一 、l u 1 2 1 0 ，一 、li 3 4 。一。1 三8 l 一2 一 ，、 八 j二l o 4 7 1 互 = 耀 z 一 ，k z 默 m 怎) 、三p o o 。一。淞墨。 ，l 1 _ - 叫i 第1 章绪论 a 名 7 。l 图l - 3 h e r m i t e , 样条函数钉和筇 f i g 1 - 3 h e r m i t es p l i n ef u n c t i o n s 钉a n d 百 易见小波函数具有下述插值性质 瞩( 鲁) = 以一邮，以字瞩( z ) 出= 丢如“氓。一民1 ) 嘉砖( 鲁) 甜氏- 朋 0 ，1 ) ，后z 为得到双正交分解，b i t t n e r 和u r b a n 利用广义函数定义它们的对偶【4 8 j ： - = 如，劈= 一酤，f = x 【一1 ，o ) ，笥= 如； 衬：= j 一三如一去6 z + 丢晶一言6 i ，讨：= 差如一差6 一丢d ：一言醅一言6 i ； r l l - - ：= x p 瑚一x 。 川一丢如+ 丢j 。，豸：= 6 ；+ 去如+ 丢6 。一兰x 【o ，- 】 这里，( ，菇诎) ：= ( ，( 喾) ，菇) ，g 取铸或砖，于是投影算子定义为 峙，：= ( ，砖：舭) 蘸啪，财，：= ( ，砖：舭) 砖：舶 m ，血m ，k 由于本文第四章要刻划区间上的b e s o v 空间，因而区间上的小波是必要的 1 9 9 8 - 2 0 0 0 ：年，d a h m e n 等人基于区间上的m r a 【7 0 】【7 1 】构造了区间上的双正交小波， 由于涉及到妥善处理边界小波及冗繁的矩阵计算( 7 2 】【7 3 】) ，区间小波构造是复杂 的另一方面，由于h e r m i t e 样条小、波【6 9 】【7 4 】具有短支集及对称( 反对称) 性，本文 定义区间上的h e 7 m 乱e 尺度及小波函数分别为 范七( ) ：= 镜( 分一七) ) ( 【0 ，1 】，k 七：s u p p 铸( 矽一七) n 【o ，1 】o ) ； 7 麓七( ) ：= 砖( 一七) ，k 0 ，1 ，2 j 一1 ) 一9 一 北京工业大学理学博士学位论文 类似定义醮七，磁凫以及投影算子譬士 骘士，便可给出区间 o ，1 】i - _ b e s 0 7 3 空间的小波刻划( 见4 2 节) 1 4 散度自由小波 本文第五章利用散度自由小波刻划向量b e s o v 空间事实上，这 类小波不仅被成功应用到微分方程的数值j 辑 t s 7 8 1 也被用来分析湍流 等f 7 7 - - 8 0 】其它领域首先介绍高维张量积小波的构造【6 9 1 8 1 1 ：设( 1 ，妒1 ) ，( 五，访) 以及( ，咖) ，( 如，妒o ) 是l 2 ( 酞) 中两对双正交尺度函数和小波，：= 1 ，2 ，佗) 对任意子集，7 j ，定义妒，( z l ，x 2 ，z n ) ：= i - i 彤( z ，) ，这里 ，： l ， l o ，二，甓，7 ， 则妒7 7 是l 2 ( r n ) 上的尺度函数进一步，记鹾：= o ，1 ) n 可) ，则得到l 2 ( r n ) 上 的2 n 1 个小波函数以7 ( z z ，x 2 ，z n ) ：= n 毋，( z ，) ，其中 吃，= e v 乩- = o 。 尺度函数和小波的对偶可以由同样的方式定义最后 妒妊，妒为，七：e e ，歹 0 ，k 牙) 或 虼，七：e 联，j z ，k 舻，构成l 2 ( r n ) 的崩e s z 基其 中焰，k 0 ) ：= 2 等妒；( z 一七) 类似地，由一维多小波通过张量积得到高维多小波f 6 9 】：设( 对，对；矽产，坩) ， ( 开，磅；订，诃) 和( f ，短；町，町) ，( 开，面；妒i - ，谤) 是l 2 ( r ) 上的两对双正交 多尺度函数和多小波，m = ( m l ，m 2 ，) 1 ，2 ) “对任意子集，7 ，定 义妒( z ，x 2 ，z n ) ：= n ，。p ( z p ) ，这里 ：卜，v 6i , i i 螺。，譬，7 ， 第1 章绪论 则 妒，m 1 ，2 ) n ) 是l 2 ( 舯) 上的2 几个多尺度函数进一步，定义 妒c z - ，z z ，z n ，：= 垂秽：，m 。c z p ，其中移，m ，2 象二：三； 那么 妒厶，e 联，m ( 1 ，2 ) n ) 是l 2 ( 舯) 上的2 n ( 2 n 一1 ) i - 多j 、波函数多尺度 函数和多小波的对偶类似给出作为特例，h e r m i t e 样条姥及多小波砖定义 的高维张量积小波如下：记 ：。 ；喜u 隹e ，i ，, 及秽己：2 毫：三。1 2i 审隹，7 ，i 磁。z = ， 则l 2 ( 瓞n ) 中的张量积尺度函数和小波分别为 妒( 钆，z n ) = g ( z ，) 和妒主仇( ，z 。) = 秽胁，( z ，) ， 其中e e ：= o ，1 ) “ 育 ，m = ( 仇- ，m 2 ，m 礼) 1 ，2 ) n 类似定义兹 反殇 1 9 9 3 年，g b a t t l e 和p f e d e r b u s h 首先构造了正交散度自由小波【8 2 1 ，并分 析了稳定的( s t a t i o n a r y ) 不可压缩n a v i e r s t o k e s 方程【8 3 1 但这类小波没有紧支 集，事实上，p g l e m a r i 6 一r i e u s s e t s 4 证明不存在正交且紧支的散度自由小 波因此，k u r b a n s s 和p g l e m a r i 6 一r i e u s s e t s 6 】构造了紧支双正交散度自 由小波并用于n a v i e r s t o k e s 方程的分析【8 1 7 】【8 8 1 以及矩形区域上的s t o k e s 方程 的数值模拟 s s l i s g 多小波情形可参见文献 9 0 ，9 1 】 区域上双正交散度自由小波构造是复杂的【9 2 - 9 s 1 注意至u h e r m i t e 样条具有 插值性【6 9 】【9 9 1 ，b i t t n e r 和u r b a n 6 9 】利用它们构造了插值散度自由小波，并刻画了 相应的b e s o v 空间目前，大多数散度自由小波的构造都遵循l e m a r i d 1 0 0 的思 路，它以下述定理为基础本文用日1 ( q ) 表示区域q r n 上的s o b o l e v 空间，即 日1 ( q ) ：= - fel 2 ( q ) ：、瓦a f l 2 ( q ) ，江l ，2 ，n ) ， 其上的范数为i i 刘日t ( n ) ：= i l f l l 如( a ) + ( i i 差l l 羔。( q )