（概率论与数理统计专业论文）分辨度Ⅲ的非对称最小低阶矩混杂设计.pdf

abs t r a c t f r a c t i o n a l f a c t o r i al d e s i g n s a r e w i d e l y u s e d i n i n d u s t r i al e x p e r i m e n t s a n d t h e r e a r e m a n y c r i t e r i a f o r g e n e r a t i n g a n d s e l e c t i n g o p t i m a l d e s i g n s . t o d e a l w i t h r e g u l a r d e s i g n s , w e u s u a ll y u s e m i n i m u m a b e r r a t i o n c r i t e r i o n . f o r n o n - r e g u l a r d e s i g n s , w e h a v e t h e g e n e r a l i z e d m i n i m u m a b e r r a t i o n c r i t e r i o n ( g m a , d e n g a n d t a n g , 1 9 9 9 ) . i n a d d i t io n , m i n i m u m m o m e n t a b e r r a t i o n ( mm a ) i s a ls o a n i m p o r t a n t a n d e f fi c i e n t c r it e r io n ( x u , 2 0 0 3 ) f o r b o t h r e g u l a r a n d n o n - r e g u l a r d e s i g n s . r e c e n t l y , f a n g , z h a n g a n d l i ( 2 0 0 7 ) p r o v i d e d a m e t h o d o l o g y o f g e n e r a t i o n o f f a c t o r i al d e s i g n s w i t h g m a . t h e p u r p ose o f t h i s p a p e r i s t o g e t t h e l o w e r b o u n d o f m i n i m u m m o m e n t a b e r r a t i o n f o r a s y m m e t r i c a l d e s i g n s o f r e s o l u t i o n - i i i a n d a l s o p r o p o s e a m e t h o d t o g e n e r a t e o p t i m al d e s i g n s . b a s e d o n t h e g i v e n al g o r i t h m, w e c o u l d e a s i l y f i n d o u t t h e o p t i ma l d e s i g n fr o m a ll p o s s i b l e c a n d i d a t e s . ke y wo r d s a n d p h r a s e s : f r a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n , m i n i m u m m o me n t a b e r r a r t i o n , l a g r a n g e a n al y s i s , u - t y p e d e s i g n , o r t h o g o n al a r r a y . ams 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s i f i c a t i o n s : p r i m a ry 6 2 k 1 5 ; s e c o n d a r y 6 2 k 0 5 . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以 赢利为目 的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 :淤-5 7 年 月 4 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 刘 砂 学位论文作者签名: 解密时间: ，肠 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密*2 0 年 ( 最长2 0 年， 可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: 2 0 07 1 年 y月) 夕 日 chapter 1 i n t r odu c t i o n f r a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n s ( f f d s ) a r e w i d e l y u s e d i n i n d u s t ry . t h e r e a r e t w o m o s t u s e f u l c r i t e r i a f o r u s t o s e l e c t o p t i m a l d e s i g n s , o n e i s m a xi m u m r e s o l u t i o n( 衍 b o x a n d h u n t e r , 1 9 6 1 ) , a n o t h e r is m i n i m u m a b e r r a t i o n ( 勿f r i e s a n d h u n t e r , 1 9 8 0 ) . n o n - r e g u l a r d e s i g n s a r e u s e d w i d e l y i n e x p e r i m e n t s d u e t o t h e i r r u n s i z e e c o n o m y a n d fl e x ib ili t y ( wu a n d h a m a d a , 2 0 0 0 ) . t h e s e d e s i g n s a r e d e s c r i b e d i n d e y a n d m u k e r j e e ( 1 9 9 9 ) , h e d a y a t , s l o a n e a n d s t u f k e n ( 1 9 9 9 ) a n d w u a n d h a m a d a ( 2 0 0 0 ) , i n c l u d i n g p l a c k e t t - b u r m a n d e s i g n s a n d ma n y o t h e r s y m m e t r i c a l a n d a s y m m e t r i c a l o rt h o g o n a l a r r a y s . a s y m m e t r i c a l d e s i g n s a r e t h o s e d e s i g n s w h o s e f a c t o r s d o n o t h a v e t h e s a m e n u m b e r s o f l e v e l s . m o s t s t u d i e s f o c u s o n s y m m e t r i c a l d e s i g n s , e s p e c i a ll y t w o- l e v e l s d e s i g n s . b u t i n s o m e s i t u a t i o n s , d i ff e r e n t f a c t o r s m a y h a v e d i f f e r e n t l e v e l s . i t w o u l d r e s u l t i n l o s i n g i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n i f t h e n u m b e r o f l e v e l s o f a f a c t o r w e r e c h a n g e d . i n t h i s c a s e , a s y m m e t r i c a l o r m i x e d - l e v e l d e s i g n s m a y b e a d o p t e d . r e l a t e d r e s e a r c h e s i n c l u d e y a m a d a a n d m a t s u i ( 2 0 0 2 ) , y a m a d a a n d l i n ( 2 0 0 2 ) , f a n g , l i n a n d l i u ( 2 0 0 3 ) a n d x u ( 2 0 0 3 ) o n m i x e d - l e v e l d e s i g n s . f o r a s y m m e t r i c a l d e s i g n s , y a m a d a a n d m a t s u i ( 2 0 0 2 ) d e f in e d x 2 ( d ) f o r e v a l- u a t i n g s u p e r s a t u r a t e d a s y m m e t r i c a l d e s i g n s , w h i c h w a s e x t e n d e d fr o m a v e 扩( d ) p r o p o s e d b y y a m a d a a n d l i n ( 1 9 9 9 ) . l i , l i u a n d z h a n g ( 2 0 0 4 ) r a i s e d t h e r e l a t i o n b e t w e e n 扩( d ) a n d m z ( d ) . f a n g , z h a n g a n d l i ( 2 0 0 7 ) d i s c u s s e d t h e l o w e r b o u n d s o f g ma f o r s y m m e t r i c al d e s i g n s o f r e s o l u t i o n - i i i . b a s e d o n t h e r e l a t io n s h i p o f m m a a n d g m a ( l i u , f a n g a n d h ic k e r n e ll , 2 0 0 6 ) ， 二c a n g e t t h e l o w e r b o u n d o f m m a f o r a s y m m e t r i c a l ( m i x e d - l e v e l ) d e s i g n s t h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o d e r i v e l o w e r b o u n d s o f mma f o r a s y m m e t r i c al d e s i g n s 场l a g r a n g e a n al y s i s a n d p r o p o s e a n al g o r i t h m t o c o n s t r u c t m m a d e s i g n s o f r e s o l u t i o n - i i i . chapter 2 b a c k g r o u n d a f a c t o r i a l d e s i g n o f n r u n s , m f a c t o r s a n d l e v e l s q 1 ， 二 ， q , i s d e n o t e d妙 d ( n ; q 1 , ， ) i f q 1 = 二二 =q , ， c a n d e n o t e i t b y d ( 二 ; q m ) a n d c a ll i t a s y m m e t r i c a l d e s i g n . o t h e r w i s e , w e h a v e a s y m m e t r i c a l d e s i g n s . a d e s i g n d ( n ; q j , ， q n ) is c a l l e d a n o rt h o g o n a l a r r a y o f s t r e n g t h s if i n a n y s c o l u m n s a ll p o s s i b l e l e v e l - c o m b i n a t io n s a p p e a r e q u a ll y o f t e n , d e n o t e d b y d ( n ; q 1 , . . . , q , ; t ) . a b a l a n c e d d e s i g n i s a n o r t h o g o n a l a r r a y o f s t r e n g t h 1 , w h i c h i s a l s o c a l l e d a u - t y p e d e s i g n a n d d e n o t e d b y u ( n ; g l ， 二， ) . d e f in e a d e g r e e o f s a t u r a t i o n b y s = 艺(q j 一 1 ) / ( 。 一 1 ) ( 2 . 1 ) 2 . 1 di ffe r e n t c r i t e r i a f o r r e g u l a r f f d s , m i n i m u m a b e r r a t i o n c r i t e r i o n i s o f t e n u s e d . t h i s c r i t e r i o n l i m i t s t h e a d v e r s e e ff e c t s o f a li a s i n g e ff e c t s . f o r n o n - r e g u l a r d e s i g n s , a b e r r a t i o n h a s b e e n g e n e r a l iz e d ( t a n g a n d d e n g ; 1 9 9 9 , m a a n d f a n g ; 2 0 0 1 a n d x u a n d w u ; 2 0 0 1 ) . f o r a d ( n ; q 1 , . . . , q m ) , le t 为二( 峨) t o b e 七 h e m a t r ix c o n s i s t i n g a ll j - f a c t o r c o n t r a s t c o e f fi c i e n t , f o r j 二0 , . . . , m, a n d d e fi n e a j (d ) 一 豪 军 n 2n h kik is ( 2 . 2 ) t h e g m a c r i t e r i o n i s t o s e q u e n t i a ll y m ; n ; m i e 街( d ) f o r j =1 ， 二， m . f o r a d e s i g n d ( 心) ， a n in t e g e r t 0 , a n d w k =a q k 0 , d e fi n e 34 件(2 o =j ( d ) 一 艺w k b ij l , 人 =1 d : =d j k , 沉入 e r wx s e . 2 b a c k g r o v u d m t(d ， 一 击 1 f 。 a,j(d )t.1jn ( 2 . 5 ) t h e mm a c r i t e r i o n i s t o s e q u e n t i a ll y m i n i m i z e mt ( d) f o r j =1 ， 二， 二 f o r a n y t c o l u m n s o f a d ( n ; q 1 ， 二， ) d e s i g n d , d e n o t e d b y ( c , . . . . . . c lt ) , le t 槛: 契b e t h e n u m b e r o f 二 i n w h ic h ( 。 ; ， . . . , c 1, ) t a k e s l e v e l- c o m b in a t io n ( 。 1 ， ， a t ) . da fi n r x (c 1，一 、 ， 一 - ,1 ，、 rn (1,.de)a1,.,a1 一 忐) / 忐 ， (2.6) 叨 d x t2 ( d ) = ex z ( c i1 , ， 。 。 ) ( 2 .7 ) 1 夕1 二尸a n d e q u a li t y h o l d s i f a n d o n l y i f 凡( d ) d e f in e d i n ( 2 .3 ) is a c o n s t a n t (3 f o r a ll j ， wh e r e q=n 一 1x - / n 1 1 , w k l 一 一月 石y k = 内( 3 . 2 ) f o r a n y d e s i g n d( n ; q 1 , . . . , q - ) , a n d n a t u r a l w e i g h t s w k =a g k f o r i k二 l o w e r b o u n d is a t t a i n e d w h e n 丙=从 。一 s ) , e s p e c i a l l y f o r a s a t u r a t e d d e s i g n , 人 ( 。一1 ) . f r o m件9 ) a n d l e t w k =q k , w e c o u l d e a s il y g e t m z ( d ) : 周刃 (3侣 “ 一 导m z(d ) 一 2 。 一 1 )(m - s )a + 2 3 (一 :)n (。 一 1 ) a n d a o 0 20 二 m 2 ( d ) 一 w o 二 (， 一 8 ) 2 一 n s ( s 一 1 ) 一 4 . n o w l e t u s a i m a t t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m 们 1 1 们 刀 e d ( n p 9 1 . . . . , 9 + . . )f = eq % ( d ) , ( 3 . 5 ) 3 lo we r b o u n d s f o r mma d e s i g n s o f r e s o l u t i o n - iii u n d e r t w o c o n s t r a i n t s : o n e i s ( 3 .2 ) f o r po, t h e o t h e r i s ( 3 .4 ) f o r c o . 一 y ik (d ) 一 又w k b k ) : 1 k n ,( 3 . 6 ) b y ( 3 . 2 ) a n d ( 3 . 4 ) , w e g e t t h e b o u n d a r y c o n s t r a i n t f o r , 20 一 0 -02 ) 一 。 . t h e o b j e c t f u n c t i o n i s l (a , a , , a 2 ) 一 e)3 i3 一 : e(a i* 一 、 ) 一 a 2 e(o k 一 f to 一 - o ) . (3 .1 0 ) 云 k i 七 t h e n , 勿 l a g r a n g e a n a l y s i s , w e g e t t h e s e 3 瓜 一 2 a 2 ,6 i 、 一 a , , /” 、 一 戈 2 少 p o , i k , ( 3 . 1 1 ) 一 、 )， 一 ( n ) 2 0 ro m t h e fi r s t e q u a t i o n , w e h a v e q i k 二 a 2 士丫 , 22 十3 a 1 3 3 l o w e r b o u n d s f o r mma a s y mme t ri c a l d e s i g n s o f r e s o l u t i o n - ii i we s u p p o s e七 h e t w o r o o t s 几 _ l b . i _ a b . s i m i l a r l y , 醋e is t h e l a r g e s t o n e w h i c h i s s m a ll e r t h a n q b , t h a t i s 醋二 m a x a i k :5 q b . n o w w e c a n r e a c h t h e d i s t r i b u t i o n o f 庆* b e l o w 醋几 几 1一p i 一p 2 ( 3 2 1 ) n e x t , w e t ry t o d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f p i a n d p 2 .( 3 . 1 1 ) , 加一 p i 一 ” )q + p 1# 6 + p 2# 8 = * ，、。 l ( 1 一 p 1 一 p 2 ) ( 13 a 一pb) + p i ( o n 一 /4 0 ) + p 2 ( 15一 11 9 ) =17 6 - a n d w e c a n g e t p 1 a n d p 2 p 1二 勿二 二 笼 + 峪+ 6 . 9 0 ( 9 a + 解) ( 3 . 2 2 ) ( 6 ; ) 2 - w a 即十 0 口 o il - 叶凡 b a s e d o n ( 3 .2 1 ) a n d ( 3 . 2 2 ) , w e c a n 脚 t h e l o w e r b o u n d o f t h e o b j ec t f u n c t i o n ( 3 . 5 ) , i t is : ) m 3 (d )一 i v , j , +k =1 ,. ， ( 8 i ) , * 一 1 ， 二 、 7 飞 ， . , l a n d g = ， t, rii= 1 ( s;r; ) 丸/.几、 =n闺 s t e p 3 f o r v =1 , . . . ,c o i n c i d e n c e m a t r ix o f e a c h s u b - d e s ig n 衍( 瓜) =e g c h e c k 瓜， i f j e 口。 1 q ik f o r k a r e a ll t h e s a m e , 2 兔 七 a k e s t w o d i ff e r e n t in t e g e r v a l u e s , a n d t h e s m a l l e r o n e i s m a x 1 0 , 从 。一 8 ) 1 , 3 am t a k e s t h r e e d iff e r e n t i n t e g e r v a l u e s . t h e s m a ll e s t o n e is m a x 0 , a ( 二 一 。 ) ， o t h e r s a r e t w o i n t e g e r v a l u e s i nw h i c h a r e a d j a c e n t . 8 4 s t e p s o f d e s i g n i f s o , s t o p t h e s e a r c h i n g p r o c e s s a n d o u t p u t t h e s u b - d e s i g n w i t h w e c o m p u t e t h e p o w e r m o m e n t s 玩二( 艺瓜， ， 兄姗) ， b e u p d a t e d t h e b e s t r e c o r d场。 = 氏 i f t h e f i r s t i 介i k n o n - z e r o e l e me n t o f g . o t h - i t wo u l d b , ; 场。 i s n o w , 勿t h e s t e p s a b o v e , w e c o u l d g e t t h e mma m i x e d - l e v e l d e s i g n o r g e t t h e b e s t s u b - d e s i g n i n a ll t h e p o s s i b l e c a n d i d a t e s w h i c h h a s t h e s m a ll e s t 氏. h e r e i s a n e x a m p l e s h o w i n g h o w t h i s a l g o r i t h m w o r k s . w e u s e t h e o a ( 1 6 ; 2 8 8 1 ) i n h t t p : / / s u p p o rt. s a s . c o m / t e c h s u p / t e c h n o t e / t s 7 2 3 d e s i g n s . t x t a s a s u p e r d e s i g n d o ( 1 6 ; 2 8 8 1 ) ( s e e t a b l e 4 . 1 ) , a n d s e l e c t a d ( 1 6 ; 2 8 1 ) fr o m i t . a r e s u l t i n g d ( 1 6 ; 2 3 8 1 ) o b t a in e d t h r o u g h t h e a l g o r i t h m i s g i v e n i n t a b l e 4 . 2 . i t h a s t h e s m a ll e s t 凡 a m o n g a ll t h e p o s s i b l e c a n d i d a t e s . t a b l e 4 . 1 : d o ( 1 6 ; 2 8 8 1 )t a b l e 4 .2 : d ( 1 6 ; 2 3 8 1 ) 1 . b o x , g .e . p . a n d h u n t e r , j .s . ( 1 9 6 1 ) . t h e 2 k - p fr a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s ig n s . t e c h n o m e t r i c s 3 , 3 1 1 一5 2 &4 4 9 - 4 9 1 . 2 . d e y , a . a n d m u k e r j e e , r ( 1 9 9 9 ) . f r a c t i o n a l f a c t o r i a l p l a n s . wi l e y , n e w y o r k 3 . d e n g , l .y . a n d t a n g , b .x . ( 1 9 9 9 ) . m i n i m u m g 2 - a b e r r a t i o n f o r n o n r e g u l a r fr a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n s . t h e a n n a l s o f s t a t i s t i c s 2 7 , 1 9 1 4 - 1 9 2 6 . 4 . f a n g , k .t . , l i n , d .k . j . a n d l i u , m q. ( 2 0 0 3 ) . o p t i m a l m ix e d - l e v e l s u p e r s a t u - r a t e d d e s i g n . me t r i k a 5 8 , 2 7 9 - 2 9 1 . 5 . f a n g , k . t . , z h a n g . a . a n d l i , r . ( 2 0 0 7 ) . a n e ff e c t i v e al g o r i t h m f o r g e n e r a t i o n o f f a c t o r i a l d e s i g n s w i t h g e n e r a li z e d m i n i m u m a b e r r a t i o n . s u b m i t t e d . 6 . f r i e s , a . a n d h u n t e r , w. g . ( 1 9 8 0 ) . m i n i m u m a b e r r a t i o n 2 1 - r d e s i g n s . t e c h n o - me t r i c s 2 2 , 6 0 1 - 6 0 8 . 7 . h e d a y a t , a . s . , s l o a n e , n . j . a . a n d s t u f k e n , j . ( 1 9 9 9 ) . o r t h o g o n a l a r r a y s : t h e - o r y a n d a p p l i c a t i o n s . s p r i n g e r , n e w y o r k 8 . l i , p .f， l i u , m q. a n d z h a n g , r .c . ( 2 0 0 4 ) . s o m e t h e o ry a n d t h e c o n s t r u c t i o n o f m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . s t a t i s t i c s &尸 r o b a b i l i t y l e t t e r s 6 9 , 1 0 5 - 1 1 6 . 9 . l i u , m 及. ， f a n g , k .t . a n d h i c k e r n e ll , f .j . ( 2 0 0 6 ) . c o n n e c t i o n s a m o n g d i ff e r e n t c r i t e r i a f o r a s y m m e t r i c a l fr a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n s . s t a t is t i c a s i n i c a 1 6 , 1 2 8 5 - 1 2 9 7 1 0 . ma , c .x . a n d f a n g , k . t . ( 2 0 0 1 ) . a n o t e o n g e n e r a l i z e d a b e r r a t i o n i n f a c t o r i al d e s i g n s . me t r i k a 5 3 , 8 5 - 9 3 . 1 1 . m u k e 巧 e e , r . a n d w u , c .j .f . ( 1 9 9 5 ) . o n t h e e x is t e n c e o f s a t u r a t e d a n d n e a r l y s a t u r a t e d a s y m m e t r ic a l o rt h o g o n al a r r a y s . t h e a n n a ls o f s t a t i s t i c s 2 3 ( 6 ) , 2 1 0 2 - 2 1 1 5 . 1 2 . wu , c . j . f . a n d h a m a d a , m. ( 2 0 0 0 ) . e x p e r i m e n t s : p l a n n i n g , a n a l y s i s a n d p a r a m e t e r d e s i g n o p t i m i z a t i o n . wi l e y , n e w y o r k . 1 3 . x u , h . q . ( 2 0 0 3 ) . m i n i m u m m o m e n t a b e r r a t i o n f o r n o n r e g u l a r d e s i g n s a n d s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . s t a t i s t i c a s i n i c a 1 3 , 6 9 1 - 7 0 8 . 月 比 昆r e n ces 1 4 . x u , h .q . a n d wu , c . j .f . ( 2 0 0 1 ) . g e n e r a l i z e d二a b e r r a t i o n f o r a s y m - m e t r i c a l fr a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n s . t h e a n n a l s o f s t a t i s t i c s 2 9 , 1 0 6 6 - 1 0 7 7 . 1 5 . y a m a d a , s . a n d l i n , d .k .j . ( 2 0 0 2 ) . c o n s t r u c t i o n o f m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n . me t r i k a 5 6 , 2 0 5 - 2 1 4 . 1 6 . y a m a d a , s . a n d ma t s u i , t . ( 2 0 0 2 ) . o p t im a l i t y o f m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . j . s t a t i s t . p l a n n . i n t e 咖 c e 1 0 4 , 4 5 9 - 4 6 8 . 1 7 . z h a n g , a . , f a n g , k . t， l i , r . a n d s u d j i a n t o , a . ( 2 0 0 5 ) . f o r b a l a n c e d l a t t i c e d e s i g n s . t h e a n n a l s o f s t a t i s t i c s ma j o r i z a t i o n fr a m e w o r k 3 3 ( 6 ) , 2 8 3 7 - 2 8