（理论物理专业论文）朗道能级相干态的berry相与3qubit纠缠度.pdf

! l 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 杨欠历 切b 男年了月膨日 年级： 专业： 研究方向： 指导教师： 二零零五级 一苓苓血驭 理论物理 量子信息 葛墨林院士 陈省身数学研究所天津 二零零八年五月 摘要 摘要 文章主要分为两个部分。第一个部分主要阐述了朗道能级相干态的物理意 义及其b e r r y 相。文章指出朗道能级的相干态可以看做是二维电子气系统中的出 现了一个附加的局域磁通。而这个磁通对2 维电子气单电子波函数的影响就是让 它变成朗道能级的相干态。朗道能级相干态的参数在参数空间的移动，相当于 这个局域磁通在平面上的移动。这个移动会最终使电子在平面上发生移动，产 生b e r r y 相。阐述这些之前，根据参考资料，文章对绝热定理进行了简单的说明。 并给出- j b e r r y 相的动力学本质。对于朗道能级的压缩相干态，文章指出这是一个 各相异性的系统。文章也给出了这个系统的b e r r y 联络以便于计算其b e r r y 相。文 章的第二个部分给了3 q u b i t 坌q 缠一个新的认识，也给了3 q u b i t s q 缠度的定义一个 新的思路。文章从2 q u b i t 的c o n c u r r e n c e 和投影测量得到了3 一q u b i t 坌q 缠不变量。揭 示出了3 q u b i t 坌t t 缠本质上与2 q u b i t 宝q 缠的联系。说明t 3 - q u b i t 坌q 缠与2 q u b i t 宝q 缠 本质上的一致性。同时文章给出了五个纠缠不变量是如何描述一个3 q u b i t 态的 纠缠性质的。文章提出为了描述3 q u b i t 窒q 缠，五个纠缠不变量都是很重要的，不 应该把它们组成某一个纠缠度来表示3 q u b i t s q 缠的所有性质。只有综合五个纠缠 不变量才能得到对3 q u b i t 态纠缠性质的完整描述。文章对五个不变晕的组合建立 3 3 一q u b i t 的纠缠坐标系，3 - q u b i t 态在坐标上的位置很好的描述了它的纠缠性质。 关键词朗道能级、相干态、压缩态、b e r r y 相、3 - q u b i t 坌q 缠度、3 - q u b i t 坌q 缠不 变量、3 - q u b i t 局域幺正变换不变量、c o n c u r r e n c e 、3 - q u b i t s q 缠坐标系 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e do ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ep h y s i c a ls i g n i f i c a n c ea n dt h eb e r r yp h a s eo fc o h e r e n ts t a t e so fl a n d a ul e v e li sd e m o n s t r a t e d i ts a y s t h a tt h ec o h e r e n tl a n d a us y s t e mc a l lb er e g a r d e d 鹪ac o n v e n t i o n a ll a n d a us y s t e mw i t h a l la d d i t i o n a ll o c a l i z e dm a g n e t i cf l u x t h em o v e m e n to ft h i sf l u xc o r r e s p o n d st ot h e m o v e m e n t so fp a r a m e t e r so fc o h e r e n ts t a t e so fl a n d a ul e v e l sa n dt h u sl e a dt oab e r r y p h a s e t h es q u e e z e dc o h e r e n ts t a t e so fl a n d a ul e v e li ss h o w nt ob et h ei n h o m o g e n e o u s l a n d a us y s t e m b e f o r et h e s e ，a ni n t r o d u c t i o nt oa d i a b a t i ct h e o r e mi sa l s og i v e nw h e r e t h ed y n a m i cn a t u r eo fb e r r yp h a s ei ss h o w n i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r , an e ww a y o fu n d e r s t a n d3 - q u b i te n t a n g l e m e n ti sp r e s e n t e da n dan e wp o i n to fv i e wt om e a s u r e 3 - q u b i te n t a n g l e m e n ti sg i v e n f i v e3 - q u b i te n t a n g l e m e n ti n v a r i a n t s ，o ri n v a r i a n t su n d e rl o c a lu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n ，a r eo b t a i n e db yp r o j e c t i v em e a s u r e m e n ta n d2 - q u b i t c o n c u r r e n c e t h i sr e l a t i o ns h o wt h a tt h e3 - q u b i te n t a n g l e m e n ta n d2 - q u b i te n t a n g l e m e n th a st h es a m eo r i g i n f i v e3 一q u b i te n t a n g l e m e n ti n v a r i a n t sa r eu s e dt od e m o n s t r a t e t h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e so f3 - q u b i ts t a t e s i nt h en e w l yd e f i n e de n t a n g l e m e n tc o o r d i n a t es y s t e m ，t h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e so fa3 - q u b i ts t a t ea r ee a s i l ys e e nf r o mt h e p o s i t i o no fi t k e yw o r d sl a n d a ul e v e l s ，c o h e r e n ts t a t e s ，s q u e e z e ds t a t e s ，b e r r yp h a s e ，3 一 q u b i td e g r e eo fe n t a n g l e m e n t ，3 - q u b i te n t a n g l e m e n ti n v a r i a n t s 。l o c a l - u n i t a r y t r a n s f o r - m a t i o ni n v a r i a n t sf o r3 - q u b i t ，c o n c u r r e n c e ，3 - q u b i te n t a n g l e m e n tc o o r d i n a t e 目录 目录 摘要i a b s t r a c t - i i 第一章引言1 第二章绝热定理与几何相的计算 4 2 i 绝热演化4 2 2 k f u j i k a w a 的量子绝热条件5 2 3 b e r r y 相7 2 4 自旋态在变化磁场中的绝热演化产生的b e r r y 相8 第三章朗道能级相干态的b e r r y 相的计算1 0 3 i 朗道能级的相干态1 0 3 2 朗道能级的相干态的b e r r y 相1 3 3 - 3 朗道能级的压缩相干态的b e r r y 相1 5 第四章2 - q u b i t 的c o n c u r r e n c e 与3 一q u b i t 坌q 缠不变量的关系1 7 4 1 2 - q u b i t 的纠缠度1 8 4 2 3 - q u b i t 的纠缠不变量及其与2 - q u b i t 纯态的c o n c u r r e n c e 的关系 2 0 4 3 在纠缠坐标系中的3 q u b i t 态2 3 第五章结论2 7 致谢2 8 参考文献2 9 个人简历3 2 第一章引言 第一章引言 量子力学是物理学中的重要部分，它的研究使我们对微观粒子的行为有了更 深一步的了解。而物理学从本身来讲是为了满足人们对求知世界的好奇，另一方 面它也是为了人们能更好的运用这些知识来促进技术的发展，进而提高人们的生 活质量。量子力学的研究从这两方面来讲都是很有意义的。量子力学的发展使我 们对世界的看法从确定性向非确定性转变。似乎上帝就在投骰子。而另一方面， 量子力学的发展也使我们有更大的硬盘，有更高性能的激光器，使现在的加工技 术逐步进入纳米时代。 在量子力学中，微观粒子的运动状态是由一个波函数来描述的。而波函数的 模的平方描述了这个粒子在某一运动状态下的几率。量子力学中最基本的假设之 一是态叠加原理。叠加原理定义了波函数的加法是波函数直接相加，而并非运动 状态的几率相加。由于叠加原理的这种性质就导致了：1 、波函数的相位在叠加中 是非常重要的；2 、粒子间的相互作用会产生纠缠态。而这两个问题都是非常令人 非常难以理解，也是从量子力学一产生就吸引了大量研究的问题。本论文正是针 对上述两个问题中的一个具体问题进行的研究。 量子力学波函数的相位通常来说包括两部分，一部分是动力学相，另一部分称 为几何相。在1 9 8 4 年以前，大家没有意识到几何相的存在，直到m vb e r r y 写了他 那篇著名的文章【l 】大家才开始意识到几何相的存在，而几何相也被称为b e r r y 相。 不过由于后来的发展几何相变成了l l b e r r y 相更广泛的一个称呼。m v b e r r y 的文 章一发表，几何相的就吸引了一批研究者。b e r r y 相是针对粒子的量子态的演化 路径闭合的绝热演化提出的。以后的研究者也大多是针对“闭合路径”和“绝热 演化”进行推广的。b s i m o n 找到 b e r r y 相的几何解释【2 】。ew i l c z e k 和a z e e 把b e r r y 相推广到了简并态的情况【3 】，并且得到了非对易b e r r y 相。ya h a r o n o v 和j a n a n d a n 通过另一种方法定义了一种几何相【4 】，之后这种相被称为a a 相，这种 几何相之所以不能称为b e r r y 相是因为b e 唧相是针对粒子状态的绝热演化提出的， 而a a 相是针对于粒子态的演化路径闭合的非绝热演化提出的，当然它也适用于 绝热演化。之后j s a m u e l 和r b h a n d a r i 又提出了非闭合路径的非绝热演化的几何 相【5 】。最近几年由于量子信息的发展，纠缠态的几何相【6 】和混态的几何相【7 】又 第一章引言 引起了某些研究者的关注。最近s d e g u c h i 和k f u j i k a w a 利用路径积分和二次量 子化的办法计算 b e r r y 相【8 】，这种方法的物理图像会更为清晰一些，它们发现其 实b e r r y 相的来源也是动力学相，只是在绝热近似中，这种动力学相并不是瞬时本 征态的能量带来的，而是绝热演化带来的。 本文推广了s c h a t u r v e d i ，m s s r i r a m 和vs r i n i v a s a n 所写的关于相干态 的b e r r y 相的论文【9 】的结论。由于l a n d a u 髓一, 级可以有相干态，而且l a n d a u n 。匕级是高 度简并的，所以本文相当于把【9 】推广到有简并的情况下，同时还说明t l a n d a u 能 级相干态的演化在这种情况下的物理意义就是另外一个版本的a b 效应【1 0 】。 由于b e r r y 相是由闭合路径的绝热演化得到的，所以绝热条件成了一个必须 要考虑的问题。最近几年有人提出传统的绝热条件在一次量子化的情况下并不是 绝热演化的必要条件也不是充分条件【1 l 】，所以对绝热条件的讨论又开始了。其 中k f u j i k a w a 1 2 从路径积分二次量子化的角度出发，得到了合理的结论。 至于纠缠态的问题，从量子力学发展初期，a e i n s t e i n ，b p o d o l s k y 和n r o s e n 就利用纠缠态来质疑量子力学的完备性 1 3 】。1 9 6 4 年j s b e l l 提出了一个可以验 证量子力学与经典纠缠的不同的不等式 1 4 】，量子力学的实验会破坏这个不等式， 而经典力学的实验会遵守这个不等式。这个不等式以后就被人们称作b e l l 不等式。 现在量子力学已经不断的被对实验证明是正确的。大家就不再满足于把b e l l 不等 式是否被破坏的而作为对量子力学的一种验证的水平，进一步了解对b e l l 不等式 破坏的多少就成了更重要的问题。由此也引出了纠缠度的概念。对于两个二能级 的体系( 2 一q u b i t ) 的纠缠，b e l l 不等式的最大破坏就对应于最大的纠缠度。而对于 三粒子体系，或是多能级的两粒子体系的纠缠度的定义一直没有满意的结果。本 文就是研究了三个两能级粒子的纠缠度的问题。 本文的研究从两个二能级体系的纠缠度开始。在这个问题在1 9 9 8 年就已经基 本解决了【1 5 - 2 0 】。其中本文要重点利用的结论正是w w o o t t e r s 所引入的c o n c u r r e n c e 的概念，c o n c u r r e n c e 定义了对任意的2 q u b i t 混态的纠缠度。本文正是通过2 q u b i t 纯态的c o n c u r r e n c e 的积分得到了3 q u b i t 的纠缠不变量的。3 q u b i t 的纠缠不变量是 指一个3 q u b i t 的态在局域的幺正变化下不变的一些量。对于3 q u b i t 的纯态，有五 个纠缠不变量【2 l 一2 6 】体文认为人们一直想找一个单独的量来定义3 q u b i t 的t q 缠 不很成功是因为描述3 q u b i t 的纠缠需要五个不变量，而一个量无法完全代替这五 个不变量。所以本文提出3 q u b i t 笆j e q 缠是这五个不变量共同定义的，这五个量是 缺一不可的。 2 3 第二章绝热定理与几何相的计算 第二章绝热定理与几何相的计算 微观粒子是很难控制的，因为它的状态是由波函数描述的，而波函数的演化 依赖于哈密顿量，而当哈密顿量是一个依赖于时间的任意函数时，波函数是很难 有精确解的。人们想随意的控制粒子，就好像在经典力学中，我们可以拿着小球， 让小球处于任意的运动状态一样。于是，人们想到了绝热演化。其中含时变化的 哈密顿量就好像是我们的手，这个粒子在绝热演化过程中，会一直随着哈密顿量 处于这个哈密顿量的瞬时本征态。当然这样说只是一种近似。那么这种近似在何 时成立就非常重要了。而且这种近似会对波函数造成什么其它的影响也是需要研 究的问题。这一章我们就会讨论这些问题，在第一节中我们讨论传统的绝热定理； 第二节中我们讨论由k f u j i k a w a 提出的绝热定理，这个定理比传统的绝热定理更 加明确；第三节中我们讨论由绝热演化，导致的有几何性质的相因子b e r r y 相；第 四节中我们会举一个自旋态在磁场中绝热演化的例子，具体计算一下b e r r y 相。 2 1 绝热演化 在量子力学中控制一个粒子的行为不像我们中经典力学中控制一个小球那样 简单。微观粒子的状态是从初始状态i 妒( o ) ) 开始，按哈密顿量进行演化的i 矽( t ) ) = t e x p ( 一i 疗( 丁) d 下危) l 妒( o ) ) 。其中t + 表示后面的积分是时序积分，当疗不显 含t 时，这个积分化为普通积分。可见，当疗显含时间时，这个系统的演化将是 非常复杂的。 绝热近似是一种解决这个问题的一种比较方便的方法。我们首先假设哈密顿 量通过某几个参数r ( ) 的含时变化而变化。薛定谔方程可写为， 丹 流羞l ( r ( ) ) ) = h ( r ( ) ) l ( r ( ) ) ) ( 2 1 ) 在演化初期一个量子态处于一个哈密顿量的本征态i 妒( o ) ) = i 吡( r ( o ) ) ) ， 日( r ( o ) ) i ( r ( o ) ) ) = r ( r ( o ) ) i ( r ( o ) ) ) ( 2 2 ) 绝热近似就是假设当r ( ) 随时间非常缓慢的变化时，系统处于这样一个态下 ，t i 妒( t ) ) = e x p 卜 既( r ( 下) ) 打】l ( r ( t ) ) ) ( 2 3 ) ，0 4 第二章绝热定理与几何相的计算 而这种绝热近似得以满足的条件早已有人给 2 7 - 2 9 1 ， ( 玩1 ) l 岛一日。i ，n m ( 2 4 ) 而在引言中已经提到这种绝热条件在一次量子化的情况下并不是绝热演化的充分 条件也不是必要条件。我们在下面一节中介绍k f u j i k a w a 定义的量子绝招条件。 2 2 k f u j i k a w a 的量子绝热条件 k f u j i k a w a 使用了二次量子化方法。首先把场量写成二次量子化的形式， 移( t ) = 如( t ) ( ，x ) ， ( 2 5 ) 兵中( ，x ) 是由f 式定义出的一组基。 - - i ( t ) v ( t ，x ) = 鼠( t ) ( t ，x ) ( 2 6 ) 我们使用上面的式子写出作用量。 s = z t 疵d 3 z 卜+ ( t ，x ) i 危爰移( t ，x ) 一移+ ( t ，x ) 詹( t ) 西( t ，x ) = o t d t 障6 艳嘲讯) - ， ( 2 7 ) 其中的氲，可以算出来， 盘，( t ) = 观( 扪- d 3 z 心( t ，x ) 疗( ) ( ，x ) 一破( t ，x ) i h o t v m ( t ，x ) k ( t ) = 善醍 r 矗m 一d 3 z 呶t ，x ) 地( t ，x ) 6 觯) ( 2 8 ) ， m l ， j 其中量子化算符满足等时对易关系窿( ) ，魂( ) 】千= 如，m ，其中正负号分别表示费 米与玻色统计，但在本文中系统符合哪种统计并不是很重要。 薛定谔方程的解可由下面方法得到。对于初态( 0 ，x ) = ( 0 ，x ) ，t 时刻的波 函数县 ( z ，x ) = ( o i 移( ，x ) 醴( o ) i o ) = o l 屯( t ) n ( t ，x ) 城( o ) i o ) 5 第二章绝热定理与几何相的计算 荨毗x ) ( 。ib m ( 咿+ 唧一z 蝴叫弧o ) i 。) mv m ( t ，x ) ( m i 丁e x p 一砉z 甓e ，( t ) d t i 佗) ( 2 9 ) 返与一次量于化甲的、圾幽教布丑l 司， 螂，x ) = ( 们e x pk i z 2 肌) d t l 们) ) = 莓毗酬删丁+ 唧h iz 。肌，出m 亿 把这两个波函数做对比，我们发现， ( m i 丁，e x p - ；肛，( 叫m 却l t 唧一。觚) d t l 邮) ) ( 2 1 1 ) 其中等式左边的i m ) = 6 ( o ) i o ) ，等式右边的i m ( t ) ) = ( z im ( t ) ) 我们发现把也，中 的6 ( t ) 换成6 ( o ) 就可得到二次量子化后的薛定谔图象中的h 。，。这样做的好处就 是在哈密顿量中几何项- 厂d 3 z 壤( ，x ) i h o t v m ( t ，x ) 直接就出现了。而绝热演化就是 指如果一个态从( o ，x ) 开始演化，在时间t 时，演化的结果就应该是( t ，x ) 。这相 当于冗。，在演化过程中一直是对角的。于是，在二次量子化方法中，绝热条件就 是指h 。，的对角元是绝对大的量。也就是要求，对于任意的m m 7 ，礼礼有 陋( t ) i h o t 州t ) i l ( 既一p z 破i 砩嘣一 ( 既一如砒咖地咄) ) | ( 2 1 2 ) 同时，还有 m 咖h o t 咐| i 眦) 一f d 砒咖舰以t ) | ( 2 1 3 ) 这时，我们可以写出绝热近似后的有效哈密顿量， 蝴牡莓驰) 卜卜如呶删x ) 卜) ， ( 2 1 4 ) 和近似后的波函数 讥( t ，x ) ! ( t ，x ) e x p 一主z 。出 磊( t ) 一dz 口：( t ，x ) i ，遍( t ，x ) ( 2 - 5 ) 6 第二章绝热定理与几何相的计算 这样，我们就用二次量子化的方法得到了绝热条件。k f u j i k a w a 提到这种绝热条 件与原来的绝热条件的思想是一致的，只是使用了二次量子化的办法，使绝热条 件更加明确了。而且，我们发现b e r r y 相自然出现在哈密顿量中。其实这是很自然 的。因为当哈密顿量不随时间变化时，相位因子中有这样一项e x p ( 一i e t h ) ，也就 是能量对时间求导。现在哈密顿量随时间变化，在绝热近似中，我们需要更多的 能量来使这个态处于瞬时哈密顿量的本征态的同时还要转动一个角度。所以我们 说相位中应该有这样一项是来做这部分附加的工作。 2 3 b e r r y $ i 由上一节的推导可以发现，利用二次量子化的方法，可以直接得到含有几何 项的有效哈密顿量。可是由于此前的绝热条件是从一次量子化出发的，所以无法 直接得到几何相。下面我们就看一看，m vb e r r y 女h 何在一次量子化的薛定谔图 象下得到几何相的。 这里考虑的是一个路径闭合的绝热演化，也就是说参数r t ( t ) 缓慢的从初始值 变化，最终又回到初始值。m vb e r r y 假定绝热演化过程中，如果演化的初始时 刻波函数为l 妒( o ) ) = i 妒n ( o ) ) ，在演化过程中的波函数满足这样的绝热近似， 日( r ( t ) ) l ( r ( t ) ) ) = bi 饥f i t ( t ) ) ) ( 2 1 6 ) 同时，在演化过程中波函数的相位不像( 2 3 ) 中一样，而是含有另外一个几何部分。 i 矽( t ) ) = e x p ( i ( t ) ) e x p 【一 o 晶( r ( 丁) ) d 丁 i 饥( r ( ) ) ) ( 2 1 7 ) 把此式代入薛定谔方程( 2 1 ) ，得 ( t ) = i ( ( r ( t ) ) iv ri 饥( r ( ) ) ) r t ( t ) ( 2 1 8 ) 那么在演化结果时刻波函数就应该为 m 丁) ) = 唧( t ( c ) ) e x p 鲁z t 捌( r ( 啪 m 。) ) ( 2 1 9 ) 其中， ( c ) = i 蓼( 以( r ) lv ri 讥( r ) ) d r ( 2 2 0 ) j c 第二章绝热定理与几何相的计算 我们发现，相位( c ) 只与参数r 的演化路径有关，于是这个( c ) 就被称做几 何相。由于( 砂n ( r ) i 饥( r ) ) = 1 ，对它求导，我们发现( v r ( ( r ) i ) 饥( r ) ) + ( 讥( r ) iv r 饥( r ) ) = 0 。我们可以发现觑( ( 九( r ) lv ri 讥( r ) ) ) = 0 。( 饥( r ) i v ri ( r ) ) ) 是纯虚数就保证了( c ) 是实数。 b e h y 提供了一种不需要计算v ri 如) 来计算( c ) 的方法。利用斯托克斯定理 ( c )d s v ( 讥ivi ) d s ( v ( 讥i ) ( vi 以) ) d s ( v ( 讥i ) ) ( ivi 讥) ) ， ( 2 2 1 ) m n 其中v 是指v r ，i 饥) 指f 饥( r ) ) 而且上面推导用到了v vl ) = o 和 ( v ( l ) ) ( ( 饥ivl ) ) = 0 。利用( 2 1 6 ) 我们可以求出 ( 妒m lvi 饥) = ( 妒m i 妒v 疗i 以) ( 玩一e 击) ， m 礼( 2 2 2 ) 于是，可以表示为 ( c ) 一上d s v 胆) ， ( 2 2 3 ) 其中 呻) _ ，m 丕地迅盟端糕舞掣燮型r n n 、“m “u n 工， ( 2 2 4 ) 我们将在下一节举一个例子来具体计算一下b e n y 相。 2 4 自旋态在变化磁场中的绝热演化产生的b e r r y 相 这是m v b e r r y 文章【l 】中的一个例子，以后几乎所有涉及到几何相的文章都 会举这个例子。我们考虑一个自旋8 的粒子与一个磁场的作用，其中s 为整数或半 整数。这个作用的哈密顿量是， h ( b ) = 托危b ，( 2 2 5 ) 8 厂止厂止厂止 ， 仇 仇 m 第二章绝热定理与几何相的计算 一一 其中k 是作用常数，是自旋算符，它有2 s + 1 个本征值死分别是从一s 到s 的整数。这 个哈密顿量的本征值就是 e k ( b ) = k 危b n ( 2 2 6 ) 当b = 0 时，是有2 s + 1 重简并的。在这个系统中，我们把b 作为随时间变化的参 数。在求出前，我们首先要求出v n ( b ) f l j ( 2 2 4 ) 可以知道 唧) = 百1 梳j 三幽型型警笋憋1 ( 2 2 7 ) 我们首先给出计算矩阵元的公式，在公式中，我们要注意，这里的色的本征态是 沿b ( t ) 的方向的。 ( x + l y ) i 礼，s ) = 【8 ( s + 1 ) 一n ( n + 1 ) 1 2l 礼+ 1 ，s ) ， ( x t y ) i n ，s ) = s ( s + 1 ) 一n ( n 一1 ) 】1 2i 佗一1 ，s ) ， z1 7 1 , ，8 ) = n i 佗，s ) ( 2 2 8 ) 由上式，可以得到矩阵元 伽士1 ，s i xi 礼，s ) = a s ( s + 1 ) 一n ( 礼士1 ) 】1 2 ， ( 扎士1 ，s l xl n ，s ) = 千丢【s ( s + 1 ) 一n ( 几4 - 1 ) 】1 2 ( 2 2 9 ) 这样，我们就可以算出v n 1 u 2 丽1 ，m 机i xi n + 1 ) n + 1 l yi n ) 一( h i yi n + 1 ) 机+ 1 i xi r 0 + ( 佗l x1 7 , 一1 ) ( 7 1 , 一1 i y 仃) 一( 佗i y1 7 , 一1 ) ( 7 , 一1 i xi 礼) 1 2 一b 2 ( 2 3 0 ) 现在转回到没有跟随b ( t ) 转动的转轴，我们得到 v n ( b ) = n b b 3 我们可以利用( 2 2 3 ) 可以算出 ( c ) = 一h a ( c ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 其中q ( c ) 是路径c 在b = 0 点伸开的立体角。这样我们就求得了这个系统的b e n y 相。 9 第三章朗道能级相干态i 约b e r r y 相的计算 第三章朗道能级相干态的b e r r y 相的计算 相干态是量子力学中的重要概念 3 0 1 1 3 1 1 ，从理论方面来说如果一个系统的 哈实顿量可以写成升降算符的形式，那么这个系统就可以有相干态。关键是我们 要找出这些相干态的物理意义。本章中，我们找至l j t l a n d a u 能级的相干态的物理 意义。并计算相干态的参数在绝热变化时带来的b e r r y 相。这些内容可以在我和陈 老师的文章中找到【3 2 】。 3 1 朗道能级的相干态 电子在一个有垂直静态的匀强磁场的二维平面的运动可以由下面的哈密顿量 描述， 日= 去【( m + e c a z ) 2 + ( 珊+ 差如) 2 】 ( 3 - 1 ) a 。和a 是磁场的的矢势，并且满足以月可一吼如= b 。我们假设电子自旋已经极 化，所以不考虑电子自旋。这个哈密顿量的本征态通常被称为朗道能级。 我们可以引入下面的算符， 亿= + 丢屯，= 珊+ c e a v ，丌士= 士i ( 3 2 ) 然后我们可以利用它们来构造升降算符b + 和6 ，并满足【6 ，b + 】= 1 ， 6 = 岳一= 岳0 - i p y + 差a z - i 渺 儿岳+ = 压0 z + 锄+ 主a x + i 缈 3 ， 利用这些升降算符我们可以把哈密顿量写成更简洁的形式， 凰= 鼬( 矿b + a 2 ) ， ( 3 4 ) 其中u = 鲁。b + ，6 是朗道能级间的升降算符6 + i n ) = 而l n + 1 ) ，h i - ) = 何i n 一1 ) 。朗道能级的能量是玩= 鼬( 扎+ ；) 。我们知道朗道能级是高度简并 的。在简并空间，我们可以再定义一对升降算符，而这对升降算符应该是与哈密 1 0 第三章朗道能级相干态的b e r r y 相的计算 顿量对易的： 口= 压- p ：。- i 巩+ 和引， n + = 压( 一州m + 三z z ii 黔 我们使用对称规范如= 一；男和如= 詈b 。这样一来o ，o + 也与6 ，6 + 对易了， 同时还满足升降算符的对易关系a ，口+ 】= 1 ，哈密顿量自然也与。和口+ 对易。有 了升降算符，降算符作用在基态上等于零，于是我们就可以算出基态i o ，0 ) = 磊e x p 一旦 e ( z 4 2 c h + ! ，2 ) 1 j 。其它的态都可以通过把升算符作用在基态上得到， n ，m ) = 焘6 4 - n a + m i o , o ) n ，m ) 2 了丽6 ) ( 3 5 ) 这样，我们就得到了这个系统的一套，正交基i 凡，m ) 。有相同礼的态处于同一个能 级，佗相同7 1 , 不同的态代表同一能级中不同的简并态。 参照文献【9 】我们这样生成l a n d a u 能级的相干态， 礼( q ) ，m ) = e x p ( a b + 一o t + b ) i n ，m ) ， ( 3 6 ) 其中q = x l + i x 2 。这个体系的哈密顿量为， 肚d ( q ) 风矿( a ) = 如p 咖) ( 6 _ a ) + 互1i ， ( 3 7 ) 其中d ( a ) = e x p ( a b + 一q + 6 ) 。由于l a n d a u n = 级的简并的性质，这个哈密顿量的本 征态通常也是简并的。 l 佗( a ) ) = 厶i n ( q ) ，m ) ， ( 3 8 ) 其中工n 是任意的一些虚数，同时要保证i 行( a ) ) 是归一化的。我们把( 3 3 ) 代入到 ( 3 7 ) ，这样朗道能级的相干态的哈密顿量的物理意义会比较明显， 日= 孙霉一、警剐2 巾+ v 掣研 9 ， 我们发现相干态参加的加入相当于把磁矢势加上了一个常数。这可以认为是把垂 直于平面的磁通量从无穷远绝热的移动到某一位置所产生的结果。我们现在用一 个具体的例子来说明这个结果。 第三章朗道能级相干态的b e r r y 相的计算 我们假设另加入一个三维平面上强度呈高斯分布的磁场，这个磁场的中心 是( z 。，珈) ，磁场大小是b 7 = 象e x p 一垒竺嘎铲二型正 。同样，我们选择对称规 范，并得到这个新加入的磁场的磁矢势。 a ：坐蒜蔫蔫掣， a ：，：一塑慌鬻甍葛产 姗 我们发现，当z o ，y o 一。时，b 7 并不影响这个系统的哈密顿量( 3 1 ) 。现在我们假设 电子在平面上处于某一朗道能级如i o ，0 ) 这时电子波函数分布在原点附近。( z ) = ( o ，0 lz1 0 。0 ) = ( y ) = 0 ，( r 2 ) = 譬。这时，一个新加入的磁场从无穷远绝热的 移动到一个离电子不是那么远的地方( 黝，y o ) ，但仍然满足。o ，y o ( r ) = 、瓦2 c h 。 令 ( r ) ，这样我们认为，电子仍然分部在原点附近，原点附近的a ：，码可以被 认为是一个常数。于是我们假设( 。，可) _ ( o ，o ) ，这样哈密顿量就是( 3 9 ) 的形式， 并且此时，我们可以得出x 1 和恐的量， y 二f 西。珈【e x pl 一节x 2 + 2 - 1 1 血2 v 一2 h b c 菰虿瓦r 咒：压型芸磊x24_2型2hbc 尥2 v 一玩虿再广 u 1u 对哈密顿量的这种变化相当于， ( z ，y ) _ ( z + 6 z ，y + 6 y ) ， 其中， 沁掣群2 2， 驴掣群2 2 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 所以砂( z ，y ) = i o , o ) 会变成( z + 妇，秒+ 曲) 。但是我们已经假设电子仍然分布 于原点附近，所以我i f g , 须得保证如x o ，5 y y o 。 我们发现朗道能级的相干态相当于把原来的本征态在相空间中移动了一段距 离，我们也可以认为这一段距离是真实空间中发生的( z ，y ) _ 妒o o ( z + 5 x ，y + 1 2 第三章朗道能级相干态的b e r r y 相的计算 曲) 。这个新加入的磁场b 7 会使电子在平板上发生一个比较小的位移。从( 3 1 3 ) 可以看出，b 7 的符号也就是圣。的符号是与这个位移的方向有关的。当圣o 0 时， 位移是朝向新加的磁场的。我们发现，如果新加的磁场绝热的绕电子转一圈，电 子也会绕原点转一个更小的圈。这就是下面朗道能级b e r r y 相的真正来源。 3 2 朗道能级的相干态的b e r r y 丰f l 我们知道朗道能级是高度简并的，所以朗道能级的相干态也是高度简并的。 简并态的b e r r y 相是被称作非对易b e r r y 相，具体计算可以参考【3 】。经过计算，我 们得至u3 b e r r y 联络， ( n ( a ) ，m i6 k li ( q ) ，m ) = ( 一i x 2 ) 6 n ，n ，6 m ，m ， + ( 、矛可如。n ，+ 。一届如, n i - - 1 ) 晶。，。， ( 几( a ) ， l lo x 2l 礼7 ( q ) ，丌1 7 ) = i x x “，n ，m ， + ( z 、瓦可以，嵋+ l 、矛矗，n ，一1 ) 如，m ， 1 ( n ( q ) ，m lo i n 弘) ，m 7 ) 5 去( 口而7 n 一 一a + 1 6 m , m + 1 ) 如 1 + 去 n ，m ，岫一1 h 一1 一去 ( 礼7 + 1 ) ( m 7 + 1 ) “+ l 如m ，+ l ( 3 1 4 ) 在推导中，有一些有用的公式，现在把这些公式列在这里，可以方便推导， 6 = 杀 6 + 一高， d + ( o l ) b d ( o r ) = e - a b + + a * b b e 曲+ 一矿6 = o t + b ， d + ( n ) 6 + d ( q ) = e - a b + + a * b b + e q 矿一a 6 = o l + b + ， d ( o r ) b d + ( 口) = - - o r + 6 ， d ( q ) 矿d + ( 口) = 一q + 矿， 堡=，堂=旦，丝=竺，鲨=一b013 2 b0 b2 bo b2 b0 b2 b ( 3 1 5 ) 一= 一一= _ - _ = 一一= 一i 】- ， 、。， 在同一个能级内，或者说是在一个简并空间内，( 3 1 4 ) 简化为 a t x ；t l i t n * 7 = 一i x 2 6 m ，m ，a t 拖n ，y n 7 = i x l 靠，m ， 1 3 式中的c 是指( x 1 ，托) 在x 1 一磁平面的演化路径，s 是路径c 的面积。这个结果 与【9 】中非简并的相干态的几何相结果相同。同样也与 3 5 1 这篇文章结果相同。只 不过在我们的例子里，变化的参数是一个磁场，而在他们的例子里，变化的是一 个势阱的位置。 利用上一节的讨论，从( 3 1 1 ) 我们知道当后加入的磁场绕电子转一圈的时 候，( x 1 ，x 2 ) 也经历了一个闭合的路径，于是也会给出b e r r y 相。例如令( z o ，珈) 绕 原点绕一个半径为r 的圈，b e r r y 相为 7 = 一2 s 7 = 一e f f g 面( 1 - 砸e - 潭r 2 一d 2 ) 2 ( 3 1 8 ) 这很像a h a r o n o v b o h m 效应。a b 效应中，电子绕磁通量一圈会得到一个相位的 变化。在这里磁通量围绕电子一周，电子也会得到一个相位的变化。不过这两种 过程带过的相位变化是不同的。 我们可以从( 3 1 4 ) 式发现a 嚣是非对易的。所以如果背景磁场b 变化的化， 会导致非对易b e r r y 相。下面我给具体计算一个非对易b e r r y 相的例子。在这个例 子中，我们令x l = 0 ，其它两个参数依照图( h g 3 1 ) 中的路径进行缓慢的变化。 于是我们得到a 嚣m 。的本征值q ( 2 b ) 及其相应的本征态l n ( q ) ，) 。这些态( 3 8 ) 可以用新的基写出来， i n ( i x 2 l ，t = o ) ) = ( n ( i x 2 1 ) ，| n ( i x 2 1 ) ) i n ( i x 2 1 ) ，毒) ( 3 1 9 ) 当系统按图( f i g 3 1 ) 演化后，这个态会变成 i n ( i x 2 l ，t = 7 _ ) ) = e 谁e ( n ( i x 2 1 ) ，in ( f x 2 1 ) ) i n ( i x 2 1 ) ，f ) ， ( 3 2 0 ) f 1 4 第三章朗道能级相干态的b e r r y 相的计算 图3 1 这是参数空间x 2 一l n ( b ) 的绝热演化路径。磁场b 在b e n y 相中以对数形式出现。 其中是图( f i g 3 1 ) 中恐与l n ( 男) 围起来的区域。但是如果x 1 0 ，那么计算 就会需要引入与路径相关的积分，计算起来会非常费劲。 3 3 朗道能级的压缩相干态的b e r r y 卡 t 以朗道能级压缩相干态为本征态的哈密顿量是 h = d ( a ) s ( 3 ) h o s + ( p ) d + ( 口) ， 其中凰如( 3 4 ) ，p = 7 e 硒，并且 s ( ) = e x p ( 专矿2 一吉3 b 2 ) 11 这个哈密顿量的本征态，也就是朗道能级的压缩相干态是 l n ( q ，p ) ，仇) = d ( q ) s ( p ) i 竹，m ) 同样把( 3 3 ) 带入( 3 2 1 ) 我们得到 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) h = d ( a ) s ( 3 ) h o s + ( p ) d + (