（生物医学工程专业论文）涡流场分析与功率检测控制的研究.pdf

a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h ef i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s ( f e a ) i sr e v e a l i n gi t sa d v a n t a g e sa n dp i c k i n gu pm o m e n t u mi nt h ea n a l y s i so f d i f f e r e n ts c i e n t i f i ca n de n g i n e e r i n gf i e l d s t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n a la n a l y s i si nf e m h a sm a d em u c hh e a d w a y ，i n c l u d i n gt h e s t e a d y s t a t ea n dt i m e v a r y i n gp r o b l e m ， n o n l i n e a rp r o b l e m ，a n dt h ed i s p o s i t i o no fm o v i n gm e d i a , a n dt h ec o r r e c tu n d e r s t a n d i n g o fr e g u l a t i o n ，e t c a tp r e s e n t , t h ea n a l y s i so ft h r e e d i m e n s i o n a le d d yc u r r e n tf i e l di s s t i l lo n eo ft h em o s tc o n c e r n e di s s u e s f i r s ta n df o r e m o s t ，b a s e do nm a g n e t i ci n d u c e dh e a t i n gt h e o r yo fi n d u c t i o n c o o k e r s ，t h i sd i s s e r t a t i o nm a k e st h ee s t a b l i s h m e n to fam a t h e m a t i cm o d e lo f t h r e e - d i m e n s i o n a le d d yc u r r e n tf i e l do fi n d u c t i o nc o o k e r s ，a n dt h e o r e t i c a la n a l y s i so f e d d y c u r r e n ta n d t e m p e r a t u r e f i e l do ft h em o d e l o nt h ei s s u eo f e l e c t r o m a g n e t o t h e r m o e l a s t i cc o u p l e ，a n s o f tm a x w e l l & e p h y s i c ss o f t w a r ei se m p l o y e d t om a k eas i n g l ea n a l y s i so fe d d yc u r r e n ta n dt e m p e r a t u r ef i e l d a n dt h e nt h i sp a p e r a d o p t ss e q u e n t i a lc o u p l i n gm e t h o di nt h et w of i e l d st oe s t a b l i s har e l e v a n tm a t h e m a t i c a n dp h y s i c a lf i n i t ee l e m e n tm o d e lo fe l e c t r o m a g n e t o t h e r m o e l a s t i cc o u p l e m e a n w h i l e ，t h ea u t h o rp u t sf o r w a r d san e ww a yo fp o w e rc o n t r o la n dt e m p e r a t u r e d e t e c t i o nw h i c hi m p r o v e st h ep r e s e n tt e c h n o l o g yo fi n d u c t i o nc o o k e r s k e y w o r d s ：f i n i t ee l e m e n te d d yc u r r e n t i n d u c t i o nc o o k e rp o w e rc o n t r o l t e m p e r a t u r ed e t e c t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人虢孵 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 本人签名： 导师签名： 日期：丝! 里：至：竺 e t 期：鲨丝：墨：兰 第一章绪论 1 1 1 电磁场数值分析概述 第一章绪论 1 1 课题背景 最近3 0 多年来，电子计算机技术的迅速发展促进了计算电磁学【l 】的前进。作 为计算电磁学的主体部分，电磁场数值分析的理论和方法得到了比较充分的研究。 目前已经发展起来的数值方法可以归结为积分方程法和微分方程法两大类。其中 积分方程法还可细分为体积分方程法和边界元法；而微分方程则可再分为有限差 分法和有限元法【2 】。有限元法是目前应用最广泛的一种数值方法，最初是在力学领 域提出并发展起来的。w i n s l o w t 3 】率先将有限元法应用于电工设备中电磁场的计算， 他用有限元法分析了加速器磁铁的饱和效应。s i l v e s t e r 和c h a f f 4 】贝0 提出了电机内 电磁场问题的第一个通用非线性变分表述。2 0 世纪7 0 年代，a n d e r s o n t 5 j 和o k r u d a t 6 l 等分别对变压器漏磁场和汽轮发电机端部磁场进行了开创性研究。而在8 0 年代， n a k a t a 7 1 等对电磁材料特性的数值模拟核试验研究以及m o r i s u e t 8 捌、b i r o 1 0 】等对规 范问题提出了新见解。 目前，有限元法已广泛应用子各种物理场分析中，如涡流场、温度场、力场 和流体场等。从数学角度讲，各类场问题的微分方程往往是相似的；从物理意义 上讲，对于不同性质的场，其微分方程中的物理参数是不同吲1 1 j 。 工程上研究热量的传递规律和温度在物体内的分布状况，即通常所说的温度 场。只要有温差就会有热量的流动，因此，需要研究两个问题：第一，温度在一 个区域( 或物体) 内的分布规律；第二，某场点处温度随时间的变化规律。很明 显，得之温度分布和变化规律后就可知温差，从而就可以着手解决提出的工程问 题。用有限元方法来解温度场时，场的变量是温度，温度是标量场，它的物理参 数是热传导系数【1 2 j 3 1 。因此，有限元法应用中剖分单元、求节点载荷列阵、求单 元刚度矩阵并构成总刚度矩阵、引入边界条件、求解方程组等一系列方法，都可 类比于有限元法在电磁场中的应用。 本文对相互耦合的动态涡流场和温度场进行了理论和数值分析，在一定程度 上，建立了统一的涡流场和温度场的f e m 模型，给出了电磁炉加热装置中电磁场 与温度场的理论分析。 有效控制和利用涡流场( 控制系统和涡流场的应用) 是工程技术应用中的一 个重要的研究课题，感应加热装置中动态涡流场以及与之相耦合的温度场是一个 2 涡流场分析与功率检测控制的研究 难度更大的工程物理问题【1 4 1 。 1 1 2 电磁炉的发展现状及发展趋势 电磁炉又名电磁灶，是现代厨房革命的产物，其无需明火，不耗氧，不产生 温室性气体，一改过去传导式加热的无火煮食厨具，完全区别于所有传统的加热 厨具。 电磁炉作为厨具市场的一种新型灶具，采用磁场感应涡流的加热原理，通过 电子线路板组成部分产生交变磁场，当用含铁质锅具底部放置炉面时，锅具即切 割交变磁力线而在锅具底部金属部分产生交变的涡流，涡流使锅具铁分子高速无 规则运动，引起分子互相碰撞、摩擦而产生热能，使锅具本身自行高温发热，用 来加热和烹饪食物，从而达到煮食的目的。所以说电磁炉煮食的热源来自于锅具 底部，而不是电磁炉本身发热传导给锅具。也正是因为如此，电磁炉的热效率要 比所有炊具的效率高出近1 倍。 电磁感应加热最早应用在冶金工业和其它一些重工业领域，在炼钢和其它的 一些金属热处理加工中，电磁炉被广泛的应用。早期的电磁炉由于没有大功率的 开关器件控制电路，所以它的工作频率很低，主电路和控制电路也很简单，用工 频也就是日常所说的工业电源不经开关电路转换，直接通过线圈产生工频交变磁 力线，传递给加热炉，使加热炉和炉内介质因磁力线的变化产生涡流而发热，用 来提炼矿石和稀有金属，当时的工业电磁感应加热炉的相对体积很大很笨重，效 率也很低。到了大功率电子管的出现后，开始有了频率较高的中频和高频加热炉， 用于冶炼和金属的热处理及表面处理，给现代工业生产带来了极大的便利。 到了二十世纪六十年代，随着电子技术的发展和新器件的出现，电磁技术才 开始逐步进入民用领域，进入了家庭的厨房。到了二十世纪八十年代，电磁炉从 日本经台湾流入国内市场，在国人的头脑中初步形成电磁炉概念，九十年代初， 国内开始有了电磁炉的生产，并曾掀起一股猛烈的“电磁炉”热潮，电磁炉以新 的技术形象一度成为万众瞩目的厨卫用品，特别是其轻巧、环保、节能、快捷和 多面手的良好形象，成为厨卫的新宠。可惜当时的宣传力度不够，价格也很高， 导致推广工作困难重重，再加上由于器件不过关，质量无法保证，很快就被市场 淘汰。 近几年来，电磁炉逐渐走进了千家万户，在一些发达国家，家庭普及率已超 过了8 0 ，我国家庭电磁炉的使用率也呈直线上升的趋势。告别烟火弥漫的厨房 战场，是现代主妇的一大心愿，目前部分都市的消费者开始倡导方便、快捷、无 烟、无味的“绿色厨房”概念。电磁炉被誉为具有时代前卫气息的绿色厨具，由 于其本身具有热效高、环保无污染、节能、使用安全等特点，而且功能齐备，可 第一章绪论 满足家庭主妇煎、炒、蒸、煮的多种需要，因此具有极强的实用性，受到越来越 多广大消费者的青睐。 1 1 3 当前电磁炉的精确测温与控温技术及其前景 电磁炉基本上可分为两部分来构成，一部分是将市电电压转换成频率约为 2 0 k h 州0 砌也的高频电压，并将此电压送给电磁炉用于能量交换的一个电子组件 “线圈”的模拟电路部分，这一部分就是电磁炉的“加热系统”；另一部分就是 电磁炉的控制部分“微电脑处理器”，也是我们常说的“单片机”。现代电磁炉 这两者缺一不可，“加热系统”输出功率的大小，以及何时开始加热，何时停止 加热等都受“单片机”的实时控制。另外，“单片机”还具备检测整个“加热系 统”的工作状态的功能，有针对性的对电磁炉进行保护。精确测温与控温技术的 实现，实际上就是靠“单片机”根据炊具表面的温度的大小来控制“加热系统”， 并改变输出功率的大小和控制加热的时间来达到自动烹饪的目的【l5 1 。 现代的测温技术主要分两方面：一是“遥测 ，即温度传感器与被测物有一 定的距离，通过测量红外线或其它对温度敏感的不可见光线或射线的变化的物理 量来作为判断被测物体的温度【l6 1 ，另一方面是直接测量，即温度传感器与被测物 体直接接触，通过热的传导原理来直接测量被测物体的实际温度。 从结构上来分析：要保证温度传感器能正确测量到被测物体的温度，也就是 温度传感器要能够紧紧贴住被测物体最能够反映温度变化的那个部位，但作为电 磁炉的测温技术，在结构上来说，要做好这一点，存在很大的困难，想要保证在 电磁炉内部不可能进水的情况下：让电磁炉内部的温度传感器直接来测量锅具的 温度，几乎是不可能的。当然，也有许多办法来解决这些矛盾，比如把温度传感 器和锅具做在一起，中间通过连接线从电磁炉的侧面与电磁炉内部电路相连接： 比如在电磁炉表面陶瓷板的中间挖一个孔，让温度传感器从孔中间伸出来直接接 触锅具来测量锅具的温度等。这些方法确实能够解决测量温度的精确性，提高烹 饪的质量，达到完善电磁炉的自动功能的目的。但这些方法都有局限性，例如第 一种方法：必须要使用与之相配套的专用的锅具才能达到良好的烹饪效果，而且 这种电磁炉的锅具或电磁炉本身会携带一根与电磁炉和锅具相连接的传感器连 线，使用时必须将连线插好，这就给用户的操作带来一些不方便的地方。第二种 方法也可以很好解决测温的精度问题，但这种方法最大的缺点是不方便用户清洁 电磁炉，和电磁炉内部容易进水或油等，影响电磁炉的稳定性和缩短电磁炉的使 用寿命。现在市场上普遍使用的电磁炉都是内藏式温度传感器来检测锅具的温度， 这个传感器也是非直接接触锅具的，是通过陶瓷面板后再测量锅具的温度的，这 种方法的优点是方便，易于生产，能用于电磁炉加热的任何锅具。从外观上是看 4涡流场分析与功率检测控制的研究 不到传感器的，因此也适合用户的清洁保养与使用，缺点是不能及时测到锅具的 温度，如果锅具的底部变形后，会导致测温的精度大大降低。 从材料上来分析，包括传感器本身的精度、陶瓷板的热传导的速度。以现在 的材料方面的技术，温度传感器本身的精度已经做到很高了，如果换算成测量温 度来说的话，误差的范围在1 以内。以这个误差用在烹饪上，已是绰绰有余了， 所以说温度传感器已不再是关键的问题。剩下的就是陶瓷板了，现在用在电磁炉 上陶瓷板的厚度大约在4 m m 左右，陶瓷板垂直方向的热传递能力远大于平行方向 的热传递能力，但陶瓷材料也是热的不良导体，热传递能力较差。因此，陶瓷板 底部的传感器所测量出的温度并不是锅具底部的实际温度，是与锅具的实际温度 有较大差值的温度，再一个，陶瓷板若将锅具底部的温度传递给温度传感器是需 要一定时间的，这个跟陶瓷板的材料本身具有很大关系外，还与陶瓷板的厚度分 不开，陶瓷板越薄热传递的速度越快，更能及时反映锅具底部的温度，但若陶瓷 板太薄的话，其机械强度达不到要求，容易损坏。 今后电磁炉精确测温的研究方向还是从两方面来发展：即材料与技术，材料 主要为锅具、陶瓷板、线盘；技术最主要的还是在于软件的测温技术技巧以及无 连接线短距离测温的研究与应用。现代电磁炉的测温技术还远远不能满足消费者 的需要，现在有很多消费者反映，为什么电磁炉煮出来的饭的口感没有电饭煲煮 出来的饭好? 为什么用电磁炉自动烧开水的时候，水开了要两三分钟才能停下 来? 但换另一个烧水壶烧水，有时水还没有烧开却就自动停止了呢? 这些实实在 在的问题，既然电磁炉是有微电脑控制的现代厨具，我们就得把她( 改为它) 做 好、做精，满足现代人们快节奏生活的需要。 1 2 本文主要完成的工作 本文是在建立了三位涡流场及温度场的数学模型的基础上，对电磁炉加热模 型中的热处理进行了分析。通过a ，西一a 法【l 7 】建立动态涡流场、时步法的瞬态场以 及温度场分析的数学模型，将涡流有限元原理应用于求解电磁炉线盘、锅底涡流 分布、场分布、温度分布、涡流场与温度场耦合设计等方面研究，据查阅文献可 知在国内目前尚未有系统的、理论上的研究，并用大型有限元软件a n s o f tm a x w e l l & e p h y s i e s 对其电磁热耦合过程进行数值分析与计算。 本文将对涡流有限元分析的基本概况、基本原理、基本步骤及其在大功率电 磁炉中的应用进行了初步的仿真、设计研究。 本文主要完成了以下几方面的内容研究： 1 市面上常见的矩形电磁炉的仿真研究，获取一些基本信息为后续研究做一 铺垫，经分析，研究结果和市面上的电磁炉产品吻合比较好。 第一章绪论 1 ) 磁条的数量，位置分布决定了线盘、锅底涡流分布，可以改变磁条数量、 位置来控制涡流分布。 2 ) 电磁炉输出功率随频率的增加而增加，基本呈线性增加趋势，但增加有限。 市面上的电磁炉主要靠单片机控制来调整电磁炉的功率。 3 ) 线圈电场储能为零，磁场储能很小。为研究电磁线盘工作效率提供了数据 依据。 4 ) 电磁炉有锅模型的温度场分布情况。 2 电磁炉功率控制与检测 1 ) 对基本电磁炉的功率控制电路进行仿真，了解一般电磁炉的加热原理与功 率控制原理。 2 ) 提出了一种新的功率控制的方法，便于对电磁炉的实时功率进行检测并进 行反馈。 3 ) 对电磁炉面板的锅具进行检测的仿真。 3 电磁炉温度检测原理 本文论证了一种利用电磁感应原理进行远距离检测温度并判别的方法。提出 了两种可行的方案来对电磁炉锅体的温度进行检测。 第二章三维涡流场数学模型 第二章三维涡流场数学模型 2 1 有限元分析简介 有限元法( f i m l ee l e m e n tm e t h o d ) t 2 】是2 0 世纪6 0 年代出现的一种数值计算方法。 最初用于固体力学问题的数值计算，上世纪7 0 年代在英国科学家z i e n k i e w i c zo c 等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度场、电磁场，也包括 涡流场。 有限元分析( f e a ，f i i l i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) 的基本理念是利用较简单的问题来 替代复杂问题后求解。有限元分析将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连 子域组成，对每一单元假定一个合适的( 较简单的) 近似解，然后去推导求解整个域 总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际 问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，有限元不仅 能适应各种复杂形状，而且计算精度高，所以成为行之有效的工程分析方法i l 引。 有限元法( f e m ) 的基础是变分原理和加权余量法【l 卿。其基本求解思想是把计 算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求 解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选 用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离 散求解。 采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法 最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在 有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个 单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域 上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看 作是由所有单元上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限 元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最d - - 乘法和伽辽金法( g a l e r k j n ) ，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四 边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次 插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金 法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最d x - 乘法是令权函数等于余量本身， 而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选 取n 个配置点。令近似解在选定的n 个配置点上严格满足微分方程，即在配置点 上令方程余量为0 。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数 或指数函数组成的乘积表示，最常用的多项式插值函数。 涡流场分析与功率检测控制的研究 有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值， 称为拉格朗日( l a g r a n g e ) 多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求 它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特( h e r m i t e ) 多项式插值。单元坐标有 笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标 是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看 作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四 边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插 值函数为有l a g r a n g e 插值，直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函 数，面积坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数等瞄2 3 】。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为【2 4 】： ( 1 ) 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与 微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 ( 2 ) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖 分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备 工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的 关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节 点序号和相应的边界值。 ( 3 ) 确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满 足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中 选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。 ( 4 ) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进 行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定 系数( 即单元中各节点的参数值) 的代数方程组，称为单元有限元方程。 ( 5 ) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程 按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。 ( 6 ) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件( 狄里 克雷边界条件) 、自然边界条件( 黎曼边界条件) 、混合边界条件( 柯西边界条 件) 。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界 条件和混合边晃条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。 ( 7 ) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定 未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建 有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简提 取信息，了解计算结果瞄也6 j 。 有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面 第二章三维涡流场数学模型 9 边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种边界条件；离散方程的形式规范， 便于编制通用的计算机程序，在固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。 但是在应用于流体流动和传热方程求解的过程中却遇到一些困难，其原因在于， 按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似。当处理 流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩条件等方面的要求时，有限元离散 方程中的各项还无法给出合理的物理解释。对计算中出现的一些误差也难以进行 改进 2 7 - 2 9 。 2 2 三维涡流场分析 近1 0 年来，三维电磁场的数值计算有了很大发展。在位函数的选用方面，出 现了多种不同的组合；在大型稀疏方程组的求解方面，出现了并行算法和系数矩 阵的各种预处理技术；数据前、后处理软件的功能也在不断完善；特别是新的高 速、大存储量的计算机不断出现，使三维涡流场的数值计算得以逐步应用到工程 领域。 2 2 1 a ，毋一a 法表述的三维涡流场数学模型 把三维正弦电磁场的求解区域分成涡流区和非涡流区两部分，在涡流区q ， ( 仃0 ) 内，既要计算磁场，又要计算电场，所以同时采用矢量磁位a 和标量电 位妒来表述；在非涡流区q ，( 仃= 0 ) 内，只需计算磁场，故用矢量磁位a 来表 述，这就是a ，咖一a 法【3 0 j 。 图2 1 表示一个涡流问题的典型求解区域q ，其中为涡流区q ，含有导电媒 质，但是不含有源电流；q ，为非涡流区，其中可包含给定的源电流；r 1 ，为q ，和q ， 的内部分界面。q 的外边界分为k 和l 两部分，在k 上给定磁场强度的切向分 量；r 且上给定磁场强度的法向分量。 1 0涡流场分析与功率检测控制的研究 图2 1a ，西一彳法的典型求解区域 根据m a x w e l l 方程组，在区域q 内，用矢量b ，日，e 表示的涡流控制方程 的边界条件为： v h = e r e v x e + 塑：o 西 v b = 0 在q l 内 ( 2 1 ) v h = j ， v b = 0 b 刀= 0 h x 刀= 0 在q 2 内 在l 上 在上 ( 2 - 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 尽2 = 如2 ：2 ，2 1 2 在r l ：上( 2 5 ) 式中，以为源电流密度；以为f 的单位法矢量；，l i ：为r l z 的单位法矢量，方向 从q - 指向d 2 。若q 为单连域，对于确定的初始条件，可以证明定解问题式( 2 1 ) - - 式( 2 5 ) 将使b 和e 具有唯一解【1 6 1 。 所谓a ，妒一a 法，指的是把三维涡流场的场域分成涡流区和非涡流区两部分， 在涡流区采用矢量磁位彳和标量电位作为未知函数，在非涡流区只用a 作未知函 数。 将b ：v 么和e ：一罢一v 代入式( 2 1 ) - - - ( 2 5 ) ，可得： v ( o v x a ) = 町詈一田 在q 。内( 2 - 6 ) 第二章三维涡流场数学模型 v x ( v v xa ) = j 。 刀v a = 0 u v x a x n = 0 在q ，内 在k 上 在上 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 啊2 v a 1 = 惕2 v xa 2 ( d l v 么) ，2 1 22 ( v 2 v x a ) 啊2 在r 1 2 上( 2 1 0 ) 从数值计算的观点看，若彳连续，则式( 2 9 ) 中的第一式将自动满足。 根据矢量场唯一性定理，上述控制方程和边界条件还不能保证矢量磁位彳的 唯一性，因为a 的旋度虽已确定，但么的散度尚未规定。a 的散度的规定有多种 选择。不同的散度规定称为不同的规范。在经典电磁场理论中，解析法常用的规 范有洛伦兹规范和库仑规范，本文介绍库仑规范。 采用库仑规范时，规定彳的散度是零，即 v a = 0 ( 2 1 1 1 在边界r 上给定下列其次边界条件 力a = 0 在k 上( 切向边界条件)( 2 1 2 ) v 彳= o 在。上( 法向边界条件) ( 2 1 3 ) 么的旋度和散度都已确定，在边界r 上a 的切向和法向边界条件也已分别给 定，在区域q 内么的解将成为唯一。彳确定以后，v 也就确定，从而得解，将 具有互差一个任意常数的唯一性。只须在区域q 或边界r 上给出某一点的驴值进行 参考，西值就被唯一的确定。 可以证明，式( 2 1 2 ) 隐含了式( 2 8 ) ，因为 n v xa = a ( v x 玎) 一v ( nxa ) ( 2 1 4 ) 若n za = 0 ，则么只有法向分量，即a = n o a 。，n 。为l 上的单位法向失量， 显然，上式右端第二项为零。由此( 因此) 在l 上，上式将成为 刀v x a = a 。( v x n ) = 彳。n o ( v x n o ) = 0 ( 2 1 5 ) 由此可知，在边界10 上，列出边界条件刀a = 0 后，就不需要再列出 刀vxa = 0 。 接下来的问题是，如何将库仑规范引入式( 2 2 ) 。为达到这一目的，可在式( 2 6 ) 的第一式和第二式中都加一项一v ( v v 彳) ，再把描述电流连续性的方程同时列出。 由此式( 2 6 ) 将改写成下列形式： 在q ，内： v ( u v 么) 一v ( d v 彳) + d 譬+ a v = 0 ( 2 1 6 ) 1 2 涡流场分析与功率检测控制的研究 v ( 可詈一四妒) = 0 ( 2 - 1 7 ) 在q ，内： v ( v v xa ) 一v ( v v a ) = 以 ( 2 1 8 ) 不难看出，对式( 2 1 6 ) 1 拘第一式和式( 2 - 1 8 ) 耳x 散度，并考虑到源电流密度以的散度 为零，可知在整个q 内，v v a 满足拉普拉斯方程；即 v 2 ( o r 彳) = 0( 2 - 1 9 ) 若能在边界1 1 上给定齐次第一类边界条件或齐次混合边界条件，由调和函数的 性质可知，u v 彳在q 内将处处为零，即可保证彳满足库仑规范。 取式( 2 - 1 8 ) 在边界l 上的法向分量，并考虑到行以= 0 ，可得 拧vxo v a 一导u v a = 0 在上( 2 2 0 ) 将上式中的第一项展开，并考虑到l 上的皿= 0 ，h = h , n 。，有 以vxv v a = v v a ( v ) 一v ( 刀v v a ) = h 。n o ( v n o ) = 0 ( 2 - 2 1 ) 从而可得 导u v a = 0在l 上( 2 2 2 ) 这是u v 彳在上的齐次第二类边界条件。如能在k 上再给定齐次第一类边 界条件；即 u v a = 0 在l 上( 2 - 2 3 ) 另外，在内部交界面上v v a 为连续，则v 彳就满足库仑规范。 归结起来，彳，妒一彳法表述的三维涡流场数学模型为 在q 。内： v ( v v x a ) 一v ( v v a 加詈+ 田= 0 ； v ( 可詈一四) = o 在q 2 内： v x ( v v 彳) 一v ( v v a ) = 以 在l 上： 丹a = 0 v v a = 0 在k 上： ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 第二章三维涡流场数学模型 1 3 1 a = 0 ( o r 彳) 胛= 0 ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 在r l ：上： a 1 = a 2( 2 - 3 1 )j、 u 】v a l = 0 2 v a 2 ( 2 - 3 2 ) u 1 v xa l n 1 2 = u 2 v a 2 1 2 ( 2 3 3 ) 州可鲁一c r v ) = 0 ( 2 - 3 4 ) 随着积分方程和边界元技术的发展，非涡流区的微分方程可化为涡流区边界 积分方程进行求解，a ，砂一a 法在处理非涡流区的源电流积分方程和涡流区边界 积分方程耦合方面比较方便。因此，计算开域涡流场采用a ，妒一a 法求解有限元 和边界元耦合方法是一种实用有效的算法。 2 2 2 矢量电位和标量磁位t ，y y 法 将求解区域q 分成涡流区q 。和非涡流区q ：，并将源电流归入非涡流区，将电 流密度表示为 3 = j e 七jsm 3 5 ) 其中，以是涡流电流密度；以为源电流密度。 在涡流区，由电流密度的无散性，即v 以= 0 ，可引入矢量函数r ，使 以= v x t ( 2 3 6 ) 由于r 表示电流密度，因而r 称为矢量电位。再将麦克斯韦第一方程式写成如 下形式 v x h = j 产js = je + v hsq - 3 7 ) 日，表示源电流密度在无限大空间中所产生的磁场强度。综合可得 v x ( 日一t h 。) = 0 ( 2 3 8 ) 因而可以取 h = t v y + h ， ( 2 3 9 ) l f ，为标量磁位，它可以看作静磁场中标量磁位在涡流场情况下的推广。 在非涡流区由于以= 0 ，以则为已知函数，因而不需要引入矢量电位，所以 磁场强度按下式计算 h=h，一vlf，(2-40) 这样，在涡流区用丁与y ，在非涡流区用y 作为未知函数，就构成了t ，y y 1 4 涡流场分析与功率检测控制的研究 法。 图2 2t ，y y 法的典型求解区域 图2 2 表示一个典型的求解区域，设给定的边值仍为混合边值，从而图中、 k 、r l ：和：的含义与图2 1 相同。从矢量场所表示的问题式( 2 1 卜( 2 5 ) 出发，f h 式( 2 3 9 ) 、式( 2 - 4 0 ) 可导出t 和l f ，满足的场方程： 在q ，中 v 印小v p v t + 型o t = 一警( 2 - 4 1 ) v u ( r v y ) = - v 胆， ( 2 - 4 2 ) 在q ，中 v v v ，= v 胆， ( 2 4 3 ) 在外部边界上，有 罢= 0 在l 上( 2 4 4 ) 锄 一a 一 l f ，= l f ，。在l 上 ( 2 - 4 5 ) 在内部媒质分界面上有 y l = y 2( 2 - 4 6 ) p 1 ( 丁一v l f ，1 ) 一p 2 ( t - v y 2 ) 】甩1 2 = 0( 2 4 7 ) p v t = 0 ( 2 4 8 ) n 1 2 t = 0( 2 4 9 ) 式( 2 - 4 1 ) 式( 2 4 9 ) ( 对于瞬态问题，再加上初始时刻的位置值) 就是丁，杪一l f ， 法的完整表述，其中p 是电阻率。 第二章三维涡流场数学模型 2 2 3 时步法求解瞬态涡流场 时步( t i m e s t e p p i n g ) 法广泛用于求解瞬态涡流场。本节以t ，少一l f ，法为例 说明时步法的原理和步骤【3 1 3 2 】。 电量失位和标量磁位所满足的方程式 v 印小v p v n 牮= 一百a v , ( 2 - 5 0 ) v v ( t - r e ) = - v 以( 2 - 5 1 ) v t ( t - v $ ) = v 以 ( 2 - 5 2 ) 为了使有限元离散化方程组的系数矩阵成为对数矩阵，分别对式( 2 4 1 ) 、( 2 4 2 ) 取时间导数，将场的方程重写为： 涡流区： v 小v 缈f + 下0 v ( t - 妒) = 一等 ( 2 - 5 3 ) 非涡流区： ：一v 塑生 a ta l v 塑旦：一v 塑l 8 t氆 ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 由于瞬态场的计算不仅是边值问题，而且是初值问题，因此还需要加上初始 条件： t = r o ( x ，y ，z ) = 九( x ，y ，z ) 可以推出相应的伽辽金弱表示【1 7 】 在涡流区 ( 2 - 5 6 ) 在整个求解区域 ( 2 - 5 7 ) ，q l v 吁p v m n j v t + m 半冲 ( 2 - 5 8 ) = ，q 。叫警西 一 ，q 哪华= 卜哪警咖 ( 2 - 5 9 ) ，玛哪笺黝= ，q ：一哪警西 ( 2 - 6 。) 1 6涡流场分析与功率检测控制的研究 分方程组，其矩阵形式为 脚) 詈+ 砌一脚) 警 初始条件则可以表示成 u = u o ( x ，y ，z ) ( 2 - 6 1 ) ( 2 6 2 ) 式中表示解向量，且 甜= 【乙。乃z 乙，屯t + - 屯，+ - “】 ( 2 - 6 3 ) 式中，瓦= 瓦乙艺咖】r ；n l 为涡流区节点数。 对瞬态初值问题进行时间域的离散，可采用加权余量法建立两点差分格式。 考察如下的微分方程 m z ，+ k u + f = 0 ( 2 6 4 ) 上式是一个常微分方程。式中舀表示甜的阶时间导数害，“为解向量。为 a 【 已知向量。现在以时间f 作为独立变量进行离散化。令场方程的余量在时间域上的 加权积分为零，有 【( m u + k u + f ) w d t = o ( n = o ，1 ，2 ，) ( 2 6 5 ) 将连续的时间变量划分为一维的时间单元，每个单元n 的长度为出，共有两 个节点，其对应的时间坐标为乙和乙+ 。设权函数呢具有以下性质 呢= 0 ( 当f 乙+ l 时) ( 2 6 6 ) 则式( 2 6 5 ) 可改写成 r ( m “+ 勋+ 厂) 呢西= o ( 2 6 7 ) 上式表明，加权积分可仅在一个时间段内( 即单元刀) 进行。 设u ，为时间节点i 上的一个解向量，亦u 即在时刻i 的一组节点值。 间单元内： n + l 材= j 嘶= 1 v o u 。+ m + l “州 材27 “i = 。+ 。1 “。1 j _ _ 。 一一 式中，m 为时间单元的差值基函数，其表达式为 m = 1 一考 m + ，= 考 ：导( o 考1 ) 。 & 在一个时 ( 2 - 6 8 ) ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) 第二章三维涡流场数学模型1 7 考为时i 司单兀上的局部坐标。 由式( 2 6 9 ) 和( 2 7 0 ) 可以求出 m 一古( 2 - 7 1 ) m + l2 二at(2-72) 将式( 2 6 8 ) 代入式( 2 6 7 ) ，有 f 【m ( 喊u n + 板+ 。+ 。) + k ( m + n n + i z l n + 1 ) + ( m z + m + 。z + 。) 必= 0 ( 2 - 7 3 ) 其中己知向量也采用与未知解向量同样的方法差值。矩阵和在时间段内为常 数矩阵，则上式可迸一步写成 ( r i o w 丹毒d + mj 3 形行d 毒f ) “刀+ l + ( k 1 6 w 刀( 1 一号) j 毒( 2 - 7 4 ) 一膨3 形刀d 喜a t ) ”刀) + ( 培形刀( 1 一考) d 考) 厶+ ( 玷形甩考d 考) 厶+ 1 = 0 取不同的权函数，将得到不同的离散化格式。用f 髟去除上式两边可得 啮m + k o ) 甜川+ ( 一丝a t + k ( 1 一p ) ) “。+ z + 。口+ l ( 1 一p ) = o ( 2 - 7 5 ) 。：罂 ( 2 - 7 6 ) 土n 钙 采用式( 2 7 6 ) 但不处理瞬态涡流场的方程，得到 ( 訾+ k o ) ，= 学一k ( 1 嘞。一【警以“警k 】 0 = 0 , 1 ，2 ，)( 2 - 7 7 ) 即为瞬态涡流场的时步法计算步骤。 2 3 温度场理论 在稳态温度场中利用下式求解温度的分布 一v ( 陋】v 丁) = q( 2 7 8 ) 式中，q 是体积或者表面温度负荷，通过热源创建或者从静磁场、传导或者 涡流求解器中所得的及电磁损耗中导入。 k 】是导热系数张量，随着空间而变化。 为了正确的建立并求解稳态温度场，温度、热传导、对流及热辐射4 种边界条件 中至少要定义一种【3 5 1 。 确定温度丁后，通过下式计算热通量密度矢量 涡流场分析与功率检测控制的研究 幻) = - k 】v 丁( 2 - 7 8 ) 如果热载荷是从静磁、传导、涡流求解器导入的，就应将电磁损耗分布映射 到温度场网格。这种映射可以自适应进行，即网格可以细化直到映射精度满足适 应误差为止。 如果温度场求解有静磁、传导相耦合，只考虑导体的欧姆损耗。欧姆损耗用 下式计算 ，2 q = 二-( 2 - 7 9 ) o 式中，j 2 = ，j ，j 是电流密度；仃是电导率。 如果温度场求解与涡流场相耦合，则既要考虑涡流损耗又要考虑铁耗，即 q = 二，j + 二叫”日日。( 2 8 0 ) 一 、， 二盯么 式中，j 是复电流密度( 上标“秽表示复变化) ；叮是电导率；c o 是角频率； ”是复磁导率的虚部，p = p 7 一j u 厅 h 是复磁场强度。 通常，用下式定义传热边界条件 a ，r g 门= - - k _ i 1 = h ( t ，x ，y ，z ) ( 丁一乃)( 2 - 8 1 ) a 玎 式中， k 】是导热系数张量；t 是表面温度；乃是环境温度；n 为物体表面法 向矢量；h 是换热系数。 换热系数可以使常量、空间函数、温度函数并随空间和温度的变化而变化。 为方便起见，在边界条件管理器中，温度函数是传导、辐射边界条件，即 q n = c i r 一瓦i f e x p ( 丁一) + f b ( t 4 一f )( 2 8 2 ) 式中，为冷却液的环境温度；c 为对流换热系数，常数；f e x p 为对流指数， 它的数值为0 到1 之间；z 为热辐射参考温度；召为史蒂芬波尔兹曼常数，它是 个自然常数，其值为5 6 7 x1 0 8 w ( m 2 k 4 ) ；f 为发射率，它的数值在0 到1 之间。 很多机电问题在理想绝缘界面或者边界处都涉及很薄的绝缘层。有些情况， 静磁场或者涡流模型中不包括这些壳结构，例如，薄绝缘层和涂层这些壳对象， 在温度场求解中起着重要的作用，在大多数情况下需要考虑。然而，把这些壳结 构作为实体添加到模型中去是不现实的，原因是添加后离散化的代价非常大。 更有效的方法是定义这种界面条件，称为阻抗壳( r e s i s t i v es h e l l ) ，来考虑 这种结构而不需进行体积网格划分。如果壳厚度d ，同