（计算数学专业论文）analytic+and+numerical+dissipativity+of+delay+functional+differential+equations+with+bounded+lag.pdf

苎丝些些塑墼一： ： ：= ： = 一：! ：一 摘要 滞时泛函微分动力系统在自然科学、工程技术和社会科学的许多学科中大量出 现，在核物理学、电路信号系统、生态学、环境科学、电力系统、神经网络及自动 控制等领域具有产泛韵茁罱i 自于许多根据安筒情况楗构滞时泛函微分动力系统 模型不能通过解析方法求解( 即解析解的具体表达式无法精确得到) ，数值模拟正 在成为获得滞时泛函微分动力系统动力学性质的主要手段之一。因此，有效可靠的 计算方法必须能够正确模拟滞时泛函微分动力系统的动力学性质。 本学位论文主要研究滞时泛函微分动力系统的耗散性，以及相应的单支口方法 的数值耗散性。首先，对于一类一般的滞时泛函微分动力系统，给出了一个滞时泛 函微分动力系统耗散的充分条件，然后构建了个单支口方法来求解此类耗散动力 系统，并证明当8 尚1 】时单支p 方法是数值耗散的。 其次，对于另一类滞时泛函微分动力系统，论文从不同于前的角度给出了动 力系统耗散的充分条件，并构建了求解此耗散动力系统的革支8 一方法，同时证明 当8 = 1 时单支8 方法是数值耗散的。 我们对不同类型的耗散动力系统给出了一些数值例子说明理论结果是正确的。 关键词：滞时泛函微分动力系统，单支日方法，耗散性，吸收集。 a b s t r a c t d e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m sh a v ea p p e a r e di nm a n yd i s c i p l i n e so f n a t u r a ls c i e n c e s ，e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ya n ds o c i a ls c i e n c e s t h e yh a v ee x t e n s i v ea p p l i c a - t i o n si nv a r i o u sf i e l d ss u c ha sn u c l e a rp h y s i c s ，c i r c u i ts i g n a ls y s t e m ，e c o l o g y , e n v i r o n m e n t a ls c i e n c e s ，p o w e rs y s t e m ，n e u r a ln e t w o r k sa n da u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r y m a n yr e a l l i f e p h e n o m e n a c a nb em o d e l e db yd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m sw h o s ea l l a l y t i cs o l u t i o nc a ns e l d o mo b t a i n e di ng e n e r a l s on u m e r i c a ls i m u l a t i o nh a sb e c o m eo n e o ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d st ou n d e r s t a n dd y n a m i c a lp r o p e r t i e so ft h ed e l a yf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m e f f e c t i v ea n dr e l i a b l ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d sm u s tm i m i ct h e d y n a m i c a lp r o p e a i e so ft h ed e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d yd i s s i p a t i v i t yo fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a ld i s s i p a t i v i t yo fo n e l e go - m e t h o d w ef i r s te s t a b l i s has u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hac l a s so fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r - e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m si sd i s s i l ，a t i v e t h e nw ec o n s t r u c tao n e l e g8 - m e t h o dt os o l v es u c h d i s s i p a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m sa n dp r o v et h a tt h eo n e l e go - m e t h o di sd i s s i p a t i v ei f o 曝1 j w ec o n s i d e r a n o t h e rc l a s so fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m sa n de s t u b - l i s has u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hs u c hd e l a yf u n c t i o n a ld i 雎r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m s a r ed i s s i l 7 a t i v e t h e nw eu s et h es a m eo n e - l e go - m e t h o dt os o l v es u c hd i s s i p a t i v ed y n a m i c a l s y s t e m sa n dp r o v et h a ti ti sd i s s i p a t i v ei f0 = 1 s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h et h e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：d e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ，o n e - l e g8 - m e t h o d ，d i s s i p a - t i v i t y , a b s o r b i n gs e t 关于学位论文使用授权的说明 y 9 3 1 8 s 8 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名扭 日期：递。苎：刻 导师签名：塑垄塑竭 日期：鲤：互曼 m a s t e rd i s s e n a t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 d e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 裂咖 崆0 ， a l eu s e df r e q u e n t l yf o rd e s c r i b i n ga n dm o d e l i n gm a t h e m a t i c a l l ym a n yr e a l - l i f ep h e n o m e n a i np h y s i c s ，e n g i n e e r i n g ，b i o l o g y , m e d i c i n ea n de c o n o m i c s ，e t c t h ef u n c t i o nu ( t ) r e p r e s e n t s s o m ep h y s i c a lq u a n t i t yw h i c he v o l v e si nt i m e i ti sa s s u m e dt h a tt h es y s t e mu n d e rc o n a i d e m t i o ni sg o v e r n e db yap r i n c i p l eo fc a u s a l i t y t h a ti s ，t h ef u r o r es t a t eo ft h es y s t e mi s i n d e p e n d e n to ft h ep a s ta n di sd e t e r m i n e ds o l e l yb yt h ep r e s e n lb u tt h i si sj u s taf i r s ta p - p r o x i m a t i o nt ot h ep r o b l e ma n dam o r er e a l i s t i cm o d e lm a yi n c l u d es o m ei n f o r m a t i o no f t h e p a s th i s t o r yo ft h es y s t e m i ns o m ep r o b l e m s ，i ti sm e a n i n g l e s sn o tt oh a v ed e p e n d e n c eo n t h ep a s t t h es o c a l l e dd e l a yf u n e t i o n a ld i f f e r e n f i a le q u a t i o ni sad i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nw h i c h t h ep a s td e p e n d e n c ei st h r o u g ht h es t a t ev a r i a b l eb ( t ) ，s a y ) b u tn o tt h ed e d v a t i v eo ft h es t a t e v a r i a b l e ( 讹) ，s a y ) s i n c em a n yp r a c t i c a lp r o b l e m sg i v er i s et od i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v i n g c o n s t a n tl a g so rl a g sw h i c h ，i fn o tc o n s t a n t ，a r ea tl e a s tb o u n d e d w eg i v eap r e c i s ed e f i n i t i o n f o rd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hb o u n d e d l a g l e tb d ，w ed e n o t eb yc ( b ，6 】，r “) t h eb a n a c hs p a c eo fa l lc o n t i n u o u sf u n c t i o n s m a p p i n g 【a ，b hr “f o ra n y c ( 【。，6 1 ，r ”) ，t h en o k l t lo f i sd e f i n e da si l 妒l l f 。m = s u p 4 j 9i i ( s ) l l ，w h e r ej | - i | i san o r mi nr ”w h e n 陋，6 】= 一r ，o j ，w h e r eri sap o s i t i v e c o n s t a n t ，w e u s u a l l y w r i t e e = c ( i t ，o 】，p ) f o r t r ，x c ( i t f ，亡】，p ) ，w e d e f i n ea n e w f u n c t i o n 0 ：卜- r ，0 】h 4 r “b y z ( s ) = x ( t + 8 ) f o r - - 7 s 0 a s s u m e q i sas u b s e t o f e ，f ：nh 舻i sag i v e nf u n c t i o n ，a n d fs t a n d sf o r t h er i g h t - h a n dd e r i v a t i v e t h e n w e c a l l 他) = v ( v )( 1 2 ) ad e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( d f d e ) o nn t h em a p p i n gfd e f i n e do nas e to f f u n c f i o n si ss o m e t i m e sc a l i e daf u n c f i o n a li n s t e a do faf u n c t i o n af u n c t i o nv ( t ) i sc a l l e das o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 2 ) o n 【t o 一7 ，卢) i fg c ( t o 一 i p ) ，呼) ，y na n d 矿s a t i s f i e s e q u a t i o n ( 1 2 ) f o r t 【t o ，卢) ，w h e r e 卢 t o 1 d e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o m p r i s ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) a n di n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( i d e s ) f o re x a m p l e ，c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd d e y 堪) = f ( t ，”( t ) ，y ( t 一7 ( t ) ) ) w h e r e 0 r ( t ) sr i f w ed e f i n e f ( t ，妒) ：= ( t ，妒( 0 ) ，妒( 一r 0 ) ) ) 矿( 一r ( t ) ) = y ( t r ( t ) ) ， a n dh e n c et h er i g h t h a n ds i d eo f ( 1 2 ) i s f ( t ，矿) = f ( t ，矿( o ) ，矿( 一下( t ) ) ) = f ( t ，v 0 ) ，y ( t r q ) ) ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) i ff ( t ，妒) = ，妒( s ) 如，t h e ne q u a t i o n ( 1 2 ) b e c o m e sas y s t e mw i t h “i n f i n i t e l ym a n y d e l a y s ，o，t 可俅) = y ( s ) d s 一y ( s ) d s t h i si sa ni n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b u ti tc a nb ed i f f e r e n t i a t e dt og i v eas e c o n do r d e r d d e 1 2 d e l a y1 9 | u n c t l o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m s t h ec l a s s i c a lt h e o r yo fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 1 2 ) w i t hb o u n d e dl a g i se x t e n s i v e l yd e v e l o p e d t h ef o l l o w i n gr e s u l t so ne x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a n dc o n t i n u o u s d e p e n d e n c ea r eq u o t e df r o mt h eb o o k sb yh a l ea n dl u n e l 【1 0 】a n dd r i v e r 【6 】 t h e o r e m1 2 1f e x i s t e n c e ) s u p p o s eq 括a no p e ns u b s e ti nca n dfi sc o n t i n u o u so nqi f 西qt h e nt h e r e 括as o l u f f o no f r j 2 jp a s s i n gt h r o u g h 在 t h e o r e m1 2 2 ( u n i q u e n e s s ) s u p p o s eni sa no p e ns u b s e ti nca n dfi sc o n t i n u o u so hq ， a n df ( 母) 括l i p s c h i t z i a ni n 咖i ne a c hc o m p a c ts e tgmq ， i i f ( 1 声) 一f ( 砂) | | k i i 妒一庐1 1 ，v ，g ， ( 1 7 ) t h e nt h e r e s 口u n i q u es o l u t i o no y e q u a t i o nl1 2 ) t h r o u g h 审 t h e o r e m1 2 3 ( g l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ) l e tf ：c ( t o r ，p ) ，舯) hr ”b e c o n t i n u o u sa n ds a t i s f yag l o b a ll i p s c h i t zc o n d i t i o n , t h e r kf o re a c h 西c ，e q u a t i o n ( j 2 j s u b j e c tt oy t o = 西h a s au n i q u es o l u t i o no n 脯ee n t i r ei n t e r v a l t o r ，卢) 2 t h e o r e m l 2 4 ( c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o n i n i t i a l f u n c t i o n s ) s u p p o s e q i s a n o p e n s u b s e t i nca n df ( ) i sc o n t i n u o u sa n d l i p s c h i t z i a ni n ( w i t hl i p s c h i 圯c o n s t a n t jo nq ，a s s u m e a n d 函a r eb o t hi nc ，a n d 爹a n d 口a r eu n i q u es o l u t i o n so f e q u a t i o nf j 2 ) w i t h 圯= 咖a n d 口。= 函矿a n d b o t he x i s t o n ，i 1 1 ) ，t h e n y ( t ) 一9 ( t ) f l s u p j 庐( s ) 一乒( s ) l l e 片( t 一抽 f o rt o t 0 ，盯0 ：( ，( 叫) ，叫) 盯一a 0 t i i l 2 ，v 叫妒 ( 1 9 ) a n dp r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e mf o rd i s s i p a t i v i t y ， t h e o r e m1 3 2 【1 3 】s u p p o s e ( ) i sas o l u f f o no f ，jw h e r e ，s a t i s f i e sf ，9 j t h e nt h e e q u a t i o n 1 1 ) w i t h ( 1 9 1 d e f i n e d ad i s s i p a t i v e d y n a m i c a ls y s t e m w i t ha l la b s o r b i n gs e t b = b ( o ，肝) y o r a n ye 0 f u r t h e r m o r ei n 【1 4 ，h u m p h r i e sa n ds t u a r ti n v e s t i g a t e dt h ed i s s i p a t i v i t yo fo d e sw i t h a n o t h e rs t r u c t u r ea s s u m p t i o n 3 r 0 ：( f ( w ) i w ) r ( 1 1 0 ) 3 女m a s t e rd i s s e r t a t i o n a n dg a v eat h e o r e m ， t h e o r e m1 3 3 【1 4 】s u p p o s ev ( t ) i sas o l u t i o no f r j j jw h e r efs a t i s f i e sr j 1 0 ) t h e nt h e e q u a t i o n ( i 1 ) w i t h l l 1 0 ) d e f i n e d a d i s s i p a t i v e d y n a m i c a l s y s t e m w i t h a n a b s o r b i n gs e t b = b ( o ，r + ) f o r a n ye 0 i n 11 】，h u a n gi n v e s t i g a t e dt h ed i s s i p a t i v i t yo fd d e s j 咏) = ，( ( t ) ，0 7 - ) ) ，t20 i9 0 ) = 妒( t ) ，- - 7 t 0 w h e r ev ( t ) 日，hi sar e a lo rc o m p l e xh i l b e r ts p a c e ，f ：x xh 日，xi sad e n s e c o n t i n u o u s l yi m b e d d e ds u b s p a c eo fh ，ri sap o s i t i v ed e l a yt e r m ，妒( ) i sc o n t i n u o u s ，fi s a l o c a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u sf u n c t i o n d e f i n i t i o n1 3 4t h ee q u a t i o n i 1 1 ) i sd i s s i p a t i v ei nhi f t h e r ei sab o u n d e ds e tbch s u c ht h a t f o ，a l lb o u n d e ds e t s 垂cht h e r ei sat i m et o = t o ( c a ) s u c ht h a t f o ra l li n i t i a l f u n c t i o n s p 0 ) c o n t a i n e di n 雪f o ra l lt 0 ，t h ec o r r e s p o n d i n gs o l u t i o ny ( t ) i sc o n t a i n e di n b 如r a l l t t o t h es e t b i sc a l l e d a n a b s o r b i n gs e t i n h h u a n gi n t r o d u c e dt h ed i s s i p a t i v i t yo f d d e ( 1 1 1 ) s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gs t r u c t u r ea s s u m p t i o n j 盯0 ，a t + ， i l y ( 0 1 1 2 。忐托 h e n c et h es y s t e mi sd i s s i p a t i v e , t h eo p e nb a l lb2b ( o ，一霜_ + e ) i sa na b s o r b i n gs 鲥 ，d ，a n ye 0 i n 【1 9 】，t i a ns t u d i e dt h ed i s s i p a t i v i t yo f n o n a u t o n o m o u sd d e sw i t hab o u n d e dv a r i a b l e l a g ， 。宁，唧帅( 一丁( 枞。t o ,( 1 1 3 ) ly ( t ) = 妒0 ) ，t o 一7 _ t t o w h e r e0 下( t ) 7 - + ，ri sac o n s t a n t , ，：豫+ 兰 t o ，。) c p c ph 呻c p ，a n d v ( t ) ：豫+ h 口，妒( t ) i sc o n t i n u o u sf u n c t i o n d e f i n ec a ，叫t h es e to fa l lc o n t i n u o u sf u n c t i o n so ni n t e r v a l 【a ，6 】e q u i p p e dw i t h m a x i m u mn o r ma n d b ( o ，r ) 兰 。c p ：j | z i i 0 d e f i n i t i o n1 3 6ad e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nf j 1 3 ji ss a i dt ob ed i s s i p a t i v ei ft h e r ei sa b o u n d e d , p o s i t i v e l yi n v a r i a n ts e tb c pw i t ht h ep r o p e r t yt h a t f o ra n yb o u n d e ds e t e c t o r ，t o ，t h e r ee x i s t st + = 圹( b ，e ) t o s u c ht h a tu ( t ) b f o ra l lt t + a n d f o ra n y f u n c g o n s 妒( t ) e t h es e tb 扛c a l l e d a na b s o r b i n gs e t , t i a nc o n s t r u c t e dt h es t r u c t u r ea s s u m p t i o na sf o l l o w s ，j 凸幻 0 ，0 q 0 ：0 7 ( t ) 0 1 4n u m e r i c a ld i s s i p a t i v i t yo fo n e - l e g0 - m e t h o d al i n e a r0 - m e t h o df o rn u m e r i c a l l ys o l v i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 1 1 ) m a yb e w r i t t e na s + l = 弧+ h ( i 一日) ，( 鲰) + h o f ( y 。+ x ) ( 1 1 5 ) t h eo n e - l e g0 - m e t h o da p p l i e dt o ( 1 1 ) t a k e st h ef o r m y n + 1 = + h f ( ( 1 一目) + 日+ 1 ) ( 1 1 6 ) h e r ey n ，n = 1 ，2 ，a r et h en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nt oy ( n h ) ，hi st h eu n i f o r ms t e p - s i z e w ea s s u m e t h a t t h e f i x e dp a r a m e t e r0 i sc h o s e ns o t h a t0 0 1 f o r0 0 t h e f o r m u l a ( 1 1 5 ) i si m p l i c i ti nt h eu n k n o w ny n + 1 n o t et h a t0 = 0i n ( 1 1 5 ) g i v e st h ef o r w a r d e u l e rm e t h o d ，口= g i v e st h et r a p e z o i d a lr u l ea n d0 = 1 g i v e st h ei m p l i c i tb a c k w a r de u l e r m e t h o d i n 【1 3 ，h u m p h r i e sa n ds t u a r td i s c u s s e dt h en u m e r i c a ld i s s i l ：l a t i v i t yo fr u n g e - k u t t a m e t h o df o ro d e ( 1 1 ) w i t ht h es t r u c t u r ea s s u m p t i o n ( 1 9 ) a n dp r o v e dt h a tt h en u m e r i c a l s o l u t i o nd e f i n e db ya na l g e b r a i c a l l ys t a b l er u n g e - k u t t am e t h o di sd i s s i p a t i v e 。 f u r t h e r m o r e ，i n 1 4 1 ，h u m p h r i e sa n ds t u a r ts t u d i e dn u m e r i c a ld i s s i p a t i v i t yo f0 - m e t h o d f o ro d e s ( 1 1 ) w i t ht h es t r u c t u r ea s s u m p t i o n ( 1 1 0 ) a n dp r o v e dt h a tt h eo - m e t h o di sd i s s i - p a t i v e i f 0 晦1 t h el i n e a r0 - m e t h o df o rn u m e r i c a l l ys o l v i n gd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 1 11 ) m a yb e w r i t t e na s + 1 = y 。+ h ( 1 一口) ，( 口。，口。一。) + h o f ( y 。+ 1 ，可。一。+ 1 ) ( 1 1 7 ) 5 m a s t e rd i s s e r t a t i o n t h eo n e - l e go - m e t h o da p p l i e dt o ( 1 1 1 ) t a k e st h ef o r m 骱+ 1 = y n + h f ( ( 1 一口) 鲰+ o y n + 1 ，( 1 一目) 蜘一。+ 印h m + 1 ) ( 1 1 8 ) h e r e ，n = 1 ，2 ，a et h en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n o 挈( 访如) ，a n dt h eu n i f o r ms t e p s i z e hs a t i s f i e st h ec o n s t r a i n tr = m hw i t hap o s i t i v ei n t e g e rm i n 11 】，h u a n gp r o v e dt h ed i s s i p a t i v i t yo fr u n g e - k u t t am e t h o d sf o rd d e ( 1 11 ) s a t i s f y i n g ( 1 1 2 ) a n ds h o w e dt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nd e f i n e db ya na l g e b r a i c a l l ys t a b l e r u n g e k u t t am e t h o d sc o m b i n e dw i t hal i n e a ri n t e r p o l a t i o np r o c e d u r ei sd i s s i p a t i v e i n 【7 ，f a n ，z h a n g ，x i a n ga n dt i a ns t u d i e dt h ed i s s i p a t i v i t yo fl i n e a r0 - m e t h o df o ra u t o n o m o u s d d e ( i i 1 ) s a t i s f y i n g ( 1 1 2 ) a n d p r o v e d t h a t t h e l i n e a r 8 - m e t h o d i sd i s s i p a t i v e i f a n d o n l y i f 0 【 ，1 i n 1 9 ，t i a ni n v e s t i g a t e dt h en u m e r i c a ld i s s i p a t i v i t yo fo - m e t h o df o rn o n a u t o n o m o u s d d e s ( 1 1 3 ) s a t i s f y i n g ( 1 1 4 ) a n dg m n e dac o n c l u s i o nt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nd e f i n e d b ya0 - m e t h o d ( 口= 1 ) c o m b i n e dw i t hal i n e a ri n t e r p o l a t i o np r o c e d u r ei sd i s s i p a t i v e 1 5t 1 l es t r u c t u r eo ft h et h e s i s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h ed i s s i p a t i v i t yo fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l d y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gn u m e t i c a ld i s s i p a t i v i t yo fo n e l e g0 - m e t h o d i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h eb a c k g r o u n do fd f d e sa n dt h eo n e - l e g0 - m e t h o d an u m b e r o fw o r k so nt h ed i s s i p a t i v i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d sh a v eb e e nc a r r i e do u ti nt h ec o n t e x to f 0 d e sa n dd d 函 i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s has u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hac l a s so fd e l a yf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m sa r ed i s s i p a t i v e t h e nw ec o n s t r u c tao n e l e g8 - m e t h o dt o s o l v es u c hd i s s i p a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m sa n dp r o v et h a tt h eo n e l e g0 - m e t h o di sd i s s i p a t i v e i f 日b 11 】o n en u m e r i c a le x a m p l e i sg i v e nt oi l l u s t r a t et h et h e o r e t i c a la n a l y s i s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e ra n o t h e rc l a s so fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s - t e r n