（课程与教学论专业论文）高等师范院校数学系大学生数学观现状的调查研究.pdf

摘要 数学观是人们对数学的本质、数学思想及数学与周围世界的联系的根本看法和认识。 高等师范院校数学系的大学生毕业后要从事数学教师这个职业，他们的数学观直接影响 着自身的数学教学观以及数学课堂操作，间接地影响着学生对数学的情感、态度和体验， 也就影响着学生的数学观以及数学学习，所以高等师范院校大学生的数学观不仅对自身 有影响，而且还对我国的教育事业产生着深远的影响。正是基于以上考虑，本研究对高 等师范院校数学系大学生数学观的现状展开了调查研究，并希望这样的研究能够有益于 数学教育的发展，这也可以说是本文研究的一个主要目的。本文主要采用的研究方法有 “问卷调查”和“统计分析”等。 研究数据表明，高等师范院校数学系大学生的数学观总体上来说还是比较正确的， 认为数学学习是一个动态的过程，认为数学在社会生活当中有一定的作用，并且认为做 数学除了有特定的内容以外，估算、测量及决定本身也为做数学；但仍有一小部分人的 数学观还存在着偏差，认为数学是一堆绝对真理的总集，对数学能够培养人的审美能力 以及数学能完善人的个性等较高层次的价值没有意识到，认为数学问题仅是与教材内容 相关的习题和考试中的试题，并且对数学学习不感兴趣，认为数学学习是学生被动接受 知识的过程，并且不同年级以及不同性别的大学生在对数学本质、数学价值以及数学学 习的认识上都存在着差异。 关键词：数学观；数学本质：数学价值；数学问题：数学学习 a b s t r a c t t h em “h e m a t i c s “e wi st h ev i e wa n do r i 百n a lu n d e r s t a l l d i go fm a t h e m a ：t i c se s s e n c e ， m a c l l e m a t i c a li d e a sa 1 1 dt h ec o n n e c t i o n sb e 帆e e nm a m e m a t i c s 趾dt l l es u r r o l l l l d i n g 、0 r l d t h e c o l l e g eg t i l d e n t sa tt h em a t l l e m a t i c sd e p a 眦1 e n ti nn o m l a is c h o o i sw i i ib e c o m et e a c h e r si nt h e f u t u r e ，t h e i rm a m e m a t i c sv i e 、sh a v ee f i b c to nn o to i l l ym a t l l e m a t i c st e a c h i n gv i e w sb u ta l s o m e i rs t i l d e n t s f e e l i n g sa 工1 da m m d e st o w a r dm a t h c m 矾c s ，s om e i rm a 山e m a t i c sv i e w sh a v e c r u e i a le 圩邑c to ne d u c a t i o b e c a u s eo fi t sj m p o r t a n c e ，id oas 1 1 r v e ya b o u tm em 劬e m a t i c s v i e ws i t i l a t i o n 锄o n gn o n a ls c l o o i 蚰j d e n t sm a j o r i n gi 1 1m a t h e m a d c s ih o p e 廿l i sr e s e a r c h c a l lb e n e m 也em a m e m a t i c a le d u c a t l 雨芦；l li l 垂i l 蓬霸轴览孬几粤塞墓l 薹差囊毳鬟u 朋 x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：舀：聋日期： 2 ! 。! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：_ 三奎堡指导教师签名：么丛基 日 期：( 2 ! 苎! ! ! 日期：垃左，：主2 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章、问题的提出 一、研究背景 数学是一门逻辑性、严密性比较强的学科，也比较抽象，是一门基础学科，但大部 分学生觉得学起来比较枯燥，对数学不感兴趣。进入大学以后，数学变得更加抽象，学 起来也就更加困难了，这就需要我们对数学有一个新的认识，来激发学习数学的兴趣。 在不同的历史时期，随着数学本身的发展与人们对数学认识的深入，对“数学是什 么”这一问题的回答有各种论述，数学是模式的科学；数学是科学，数学更是一门创造 性的艺术；数学是一种语言；数学是一种文化，数学文化是一种数字文化、量的文化和 计算机文化。美国数学教育家克莱因指出：如同音乐用符号来代表和传播声音一样， 数学也用符号表示数量关系和空间形式；恩格斯曾经断言，数学是关于现实世界的空间 形式和数量关系的科学。 柯朗在其名著数学是什么? 一书中深刻而又简明地回答了“w h a ti sm a t h e m a t i c s ” 这一问题：数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的 推理、以及对完美境界的追求；它的基本要素是逻辑和直观、分析和构造、一般性和个 别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的互相作用 以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值【1 。 数学是科学的语言，计算的方法和人类思维与认识世界、改造世界的重要工具。 对计算机做出重大贡献的数学家冯诺依曼说，“数学处于人类智能的中心领域。” 作为一种先进的文化，数学不仅在人类文明的进程中起着积极的推动作用，而且是 人类文明的一个重要支柱。由于数学是从量的方面去探索和研究客观世界的，而客观 世界的任何对象( 或事物) 都是质和量的对立统一体，都有量的一面，这就从根本上 决定了数学在各门学科中有其特殊的普遍性和应用上的广泛性，决定了数学对人和社会 的发展，对人的世界观的影响，对促进人的思维的发展，对开发人的智力等等都有其不 可替代的作用。 作为一种精确的科学语言和一个有力的工具，数学在人们认识世界和改造世界的过 程中一直发挥着重要的作用；作为各门科学的重要基础，数学的影响和作用已深入到人 们的日常生活；如今各行各业都在数量化、数学化，用到的数学知识越来越多。数学科 学在科学研究、生产、服务和管理等方面，已发挥着关键性，甚至决定性的作用。数学 技术已经成为高科技的本质，成为先进生产力的一个突出标志和重要组成部分，成为国 家经济竞争力的关键。 数学观就是对“数学是什么”的看法和认识，数学观是数学信念的一个重要组成部 分，信念( b e l i e f ) 一词在汉语大词典上的解释是“坚信不疑的想法”在牛津英汉 词典上的解释是“被认为是正确或真实的东西”，而且还把它和宗教信仰联系起来解 1 释；而如果从心理学的意义上来看，信念则被理解为是个体对于有关自然和社会的某 种理论观点和思想见解的坚信不疑的看法，它是人们认识世界和改造世界的精神支柱， 是从事一切活动的激励力量。由此可见，信念对于一个人的生命活动有多么重要的意义。 那么，数学信念对于一个人的数学学习活动是相当重要的，学好数学首先要树立学生学 习数学的信念，不少研究指出，学生对数学的信念会影响他们的学习和学习成果，包括 他们对数学的认识、理解和表现。例如学生认为数学是真理的集合，学生会倾向于采取 较机械化的学习方式，而假如学生对学习及问题解决缺乏自信，甚至讨厌数学，认为自 己不是“学习数学的材料”，他们会渐渐减低学习数学的动力，削弱在数学上的表现， 数学观是数学信念的一个重要组成部分，数学观不只是“学习”与“数学表现”的中介 因素，它本身亦可被视作一种学习成果。换言之，纵使学生解数学题如何的快速、准确， 但没有一个完好的数学观，亦可以说是学习的一个缺失。当他进入高层学习和遇到“非 常规题”，也许会荆棘满途，数学观既是数学教育的一个“过程”( 学习与解数学题的中 介物) ，也是一个“学习成果”。“数学是什么? ”( 本质) ，“数学是如何习得的? ”( 学) ， 甚至“数学应怎样教授”教师的看法直接或间接地影响着学生数学方面的学习和学习表 现，也影响着他们学习的动机，他们解决数学问题的成败也往往与其对数学本质的看法 有关，数学观已成为近年中外数学教育的焦点口l 。 师范类院校数学系的大学生毕业以后要从事数学教师这个职业，不同的数学家关于 “什么是数学? ”的见解也往往不相同，甚至相互对立。作为数学教师应采取综合的、 辩证的观点来看待这个问题。正如郑毓信教授所说，“作为一个数学教师，如果连什 么是数学的问题都没有搞清，岂不是一个天大的笑话1 6 】。著名数学教育家国际数学教 育委员会( i c m i ) 执委张奠宙教授曾指出：师范数学教育和中学数学教育最根本的区别 是师范数学教育应更重视数学观的培养”l 。教师的数学观直接影响着学生的数学观和数 学学习，影响着学生学习数学的动机和兴趣，所以大学生具备良好的数学观是非常重要 的，大学生的数学观教育应成为数学教育的一个重要组成部分，大学生的数学观研究也 应成为数学观研究的一个重要方面，本研究拟通过实证的方法研究高等师范院校数学系 大学生所具有的数学观，以此来对我们的数学教育做一些有意义的探索。 二、研究的目的 就研究目的而言，现在我们也正进行着新一轮的教学改革，提倡素质教育，而且我 们的教育界也在不断扩大的对外开放和交流中积极地向国内介绍国外的各种教学理念， 体现到数学教育中，就有像“问题解决”、“大众数学”、“建构主义”等等，但我国在教 育中很少重视良好数学观的培养，尤其是高等师范院校大学生数学观的培养，师范类院 校关于培养大学生数学观的课程设置的很少，不太重视对大学生数学观的教育，实际上 这是非常有必要的，因此本文研究的目的只有一个：即通过调查的方式了解高等师范院 校数学系大学生数学观的现状，为我国的数学教育做一些有意义的探索。当然我知道， 由于本人的水平有限，仅仅想通过这一个调查研究来对数学教育改革的某些根本性问题 做很深入的研究是不现实的，我这样做是希望它能够起到一种抛砖引玉的作用，并希望 能唤起广大教育工作者对师范类大学生数学观培养的重视。 三、研究的意义 诚如前述，观念是最重要的，它会影响到一个人的行为决策，高等师范院校数学系 的大学生毕业以后要从事数学教师这个职业，教师的数学观及数学的教与学，直接影响 着教师的教学方法以及对课堂事件的处理，当然也就影响着学生的数学观以及数学学 习，即影响着学生的学习成就。如果从这一方面看，本文的研究是很有意义的，它不但 有理论方面的意义，而且还有实际需要方面的意义。从理论方面来看，虽然关于大学生 数学观的研究已日益引起广大教育工作者的关注，但关于这方面的研究还很少，而本文 恰恰是在国内的高等教育领域里，通过理论与实证的结合，来研究高等师范院校大学生 的数学观的问题。从实际需要方面来讲，意义也是十分重要的，正如前面所说：高等师 范院校的大学生毕业后要从事教师这个职业，教师的数学观直接影响着自身的数学教学 观和数学课堂教学，也同时影响着学生的数学观和数学学习，影响着学生对数学的兴趣。 从这一方面来说，对高等师范院校数学系大学生数学观的研究显然还具有指导实际教学 的意义和作用。 第二章、有关数学观的研究以及数学观的界定 一、数学观的研究现状 数学观是一个复杂的信念系统，国内外关于数学观做了许多研究。 ( 一) 国外关于数学观的研究 国外关于数学观做了许多研究，主要有： 1 1 7 世纪英国经验论哲学家洛克嘲( 1 6 3 2 一1 7 0 4 ) 在批判笛卡尔的天赋观念中建立 起他的唯物主义经验论，表述了数学经验论观点。 2 德国哲学家、数学家莱布尼兹f 9 1 ( 1 6 4 6 1 7 1 6 ) 在建立他的唯理论哲学中，阐述 了唯理论的数学哲学观。他认为：“全部算术和全部几何学都是天赋的。”数学只要依靠 矛盾原则就可以证明全部算术和几何，数学属于推理真理。他否认数学知识具有经验性。 3 德国哲学家康德( 1 7 4 2 1 8 0 4 ) 为了克服唯理论与经验的片面性，运用它的先 验论哲学，从判断分类入手，认为数学是“先验综合判断”。 康德以后，数学发展进入一个新高潮，主要特点是公理化倾向。这一趋势使大多数 数学家形成一种共识：“数学是一门演绎科学。”这种观点的典型代表是数学基础学派中 逻辑主义和形式主义。逻辑主义学派，代表人为罗素( b r u s s e l l ) 。逻辑主义的目标是 企图化数学为逻辑。它有两点假设：( 1 ) 所有数学概念最终归结为逻辑概念；( 2 ) 所有数 学真理都可以由公理和逻辑规则来推证；形式主义学派( 又称公理化学派) 代表人物是希 尔伯特( d h i l b e r t ) 。形式主义认为数学本身是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑， 同时建立自己的数学，其主张为：( 1 ) 纯数学可表示为不予解释的形式系统，在此系统 中数学真理由形式定理来实现；( 2 ) 可用元数学的方法，借助摆脱不相容性来证实形式 系统的可靠性。 4 拉卡托斯( i r i l r el a k a t o s ) 在1 9 7 8 年提出“拟经验”的数学观。该观点认为， 数学是数学家做的或做过的事情，它具有任何人类活动或创造所固有的不完善性。它包 括相互联系的两个方面的内容：数学的拟经验论和证明分析法的数学方法论。 拉卡托斯的数学哲学的主要观点是：尽管数学与经验科学存在巨大的差别，但就其 理论的真理性质而言，数学理论与经验科学理论一样，也是一种猜测，易谬的，可证伪 的：数学发现不仅是一个心理学的范畴，同时也需要理性分析，即存在传统意义上的“发 现的逻辑”。 5 戴维斯和赫斯f 1 2 1 在1 9 8 1 年给出了数学观的一个分类：柏拉图主义的观点，形式 主义的观点和建构主义的观点。柏拉图学派认为，理念是一种客观的精神实体，只能通 过心智活动加以理解，数学哲学探索的正是这个“理念世界”，因而数学观念是先验的， 数学真理具有必然性、唯一性【l3 】；社会建构主义承认人类知识、规则和约定对数学真理 的确定起着关键性作用，它汲取了拟经验主义与可误主义的认识论，即数学知识和概念 4 是发展变化的思想【1 4 】。 6 利曼】采取了另一种分类方法，他认为欧基里德的绝对主义观点与拟经验的可误 主义的观点构成了两个极端，在这两个极端的一维连续区域里，还有四种观点：逻辑主 义的、形式主义的、直觉主义的和拟经验的。直觉主义学派( 又称构造主义学派) 代表人 物是布劳威尔( b r o u w e r ) ，本学派认为数学真理和数学对象的存在性都必须通过有限个 步骤按固定构造方式加以确定，否则是不可能的【1 6 】；经验主义的数学观，即认为数学是 拟经验的，数学真理可以纠正，数学知识不是绝对的真理，没有绝对的有效性。 7 欧内斯特【1 7 】在1 9 8 9 年综合分析前人工作的基础上将数学观分为以下三类：问题 解决的观点( t h ep r o b l e m s 0 1 v i n gv i e w ) 、柏拉图主义的观点( t h ep 1 a t o n i s tv i e w ) 和工具主义的观点( t h ei n s t r u m e n t a l i s tv i e w ) 。问题解决的观点是把数学看成是一个 动态的、由问题而推动发展的学科，数学是体现人类的发明与创造，它不是一个一成不 变的成品，因为它的结果是开放的，仍然会发生变化的；柏拉图主义的观点是把数学看 成是一个静态的永恒不变的学科，它通过逻辑而将知识组织成一个彼此联系的结构，数 学是发现而不是发明；工具主义的观点则把数学看成是由事实、法则、技巧构成的一套 工具，受过训练的工匠熟练地利用它达到一些外在的目的，数学是一堆彼此无关但却很 有用的事实和法则 从以上我们可以看出，在不同的历史时期人们对“数学是什么”的认识是不同的， 对数学的认识有以下的变化趋势： ( 1 ) 数学观经历了由远古的“经验论”到欧几里德以来的“演绎论”，再到现在的 “经验论”与“演绎论”二者结合的“拟经验论”的认识转变过程 ( 2 ) 数学认识的基本观念发生了根本性的变革，由柏拉图学派的“客观唯心主义” 发展到了数学基础学派的“绝对主义”，又发展到托卡拉斯的“可误主义”、“拟经验主 义”即后来的“社会建构主义” 关于“数学是什么”的问题是一个时代性、发展性、综合性的数学哲学核心问题【1 9 1 ， 在数学的任何发展阶段都不可能有固定的、永恒不变的答案，人们的数学观随着数学以 及社会的发展不断发生着变化。 ( 二) 国内关于数学观的研究 国内关于数学观的研究大部分都是在基础教育领域，都是把它与教学结合起来，主 要是有关教师的数学观和学生的数学观。 学生对“什么是数学的? ”的认知直接影响他们学习数学和解数学题的方式，教师 对“数学是什么”和“数学是如何习得”的认知也影响着数学的教学和数学课堂经验空 间的塑造。 教师的数学观不仅影响教师的数学课堂教学行为，也是影响学生数学观的重要因 素，教师的数学观主要有以下几个方面：运算是数学中的重要元素、有特定的数学内容 才是做数学、数学训练思考、促进思维发展、数学离不开应用、数学是难的等等9 j 。 不同阶段的学生所具有的数学观是不同的，随着年龄的增长他们的数学观发生着变 化。 小学生的数学观基本上是不自觉和无意识的，他们对数学的看法受老师和家庭的影 响很大。在他们看来，数学是在学校必须学习的一门课程，不管从老师还是从家长那里 他们都感觉到数学很重要。他们的数学学习是完成任务，因而大部分学生只听老师的， 完成老师布置的作业，很少主动做额外的数学题，严格按照老师讲的方法而排斥他人的 新方法【2 0 j 。 中学生对数学学习基本有了自己的思想，他们既依赖于老师，同时也开始评价和选 择老师，但他们对数学的学习行为很难与他们对数学的认识直接联系起来，因而学习的 主动性还不够，对数学的学习还多停留在记、背和模仿上，对数学问题的解决仅局限于 把题目做出来，以获得正确答案为目的。做数学就是如何按照老师所教的法则，运用这 些法则正确地获得答案。数学地理解问题明显缺乏，在数学学习上有较大依赖性，容易 遇难而退和丧失信心。他们的数学观带有明显的感性色彩和不确定性口”。 高中阶段的学生对数学有了自我见解，他们的这种见解支配着他们对数学的态度和 选择。在他们看来，如果数学是抽象的、困难的，那么他们就会选择对数学要求不太高 的文科方向。他们认为数学运算和数学证明是复杂的，对难题不愿下手并非常厌烦，而 选择题是他们所喜欢的。如果认为数学就是运算、证明、做题，则他们定沉溺于题海 之中，对数学考试情有独钟且每每得手，但诸如应用数学解决实际问题、操作等方面的 能力则明显滞后，这就是通常提及的高分低能现象。只有他们认为数学既是重要的、有 用的，又是有趣的，他们才会具有来自自身的动力，并且轻松地、主动地、自觉地、高 效率地学习数学。但高中生的数学观带有较明显的功利目的直接指向高考，这也是 数学课程标准下，数学教育所要改革的观念1 2 2 】。 大学数学专业的学生，能主动的学习数学，会在对数学的认识或者认识数学对社会 的价值方面理智地确定自己的专业方向，深入到该方向的研究与发展之中。 二、大学生数学观研究的现状及其影响因素的分析 ( 一) 大学生数学观研究的现状 在我们的教学实践中，存在着这样一种现象：很多学生只有在各种场合的考试时才 体会到数学的价值，学生经常抱怨学数学有什么用，离开教室和考场就感觉不到数学的 价值，许多大学生学习高等数学，以顺利通过考试关作为最终目标；有不少学生认为数 学学习就是解题，解题就是为了求出正确答案。上述种种现象从一定的层面上反映了大 学生的数学观存在偏差。 学生所具有的数学观是比较具体的，不同阶段有不同的数学观，大学生有其不同于 中小学阶段的数学观，他们基本对数学有明确的看法，能上升到理性的程度，能自觉地 从事数学学习，主动地进行数学问题的探索，具备独立思考与合作交流的素质，他们基 本能够在其数学观念下进行数学学习。大学生的数学观在向素质性过渡，他们开始关注 自己的能力培养和情感方面等。 大学生的数学观主要有以下几方面的内容：1 对数学的总体认识；2 对数学研究对 象的认识；3 对数学价值的认识：4 对数学发展的认识 1 对数学的总体认识吲：大部分学生认为数学是运算的学科；数学是关于图形的学 科；数学必涉及“正规的”数学概念、数字、符号、术语、结论、工具；数学必涉及数 学思维，有数学操作，包括比较大小、测量、计算、数数、作图等和严密的逻辑推理； 数学课程中有的内容才是数学 2 对数学研究对象的认识：绝大部分大学生都认为数学是研究现实世界中数量关 系和空间形式的科学，数学来源于实际，是为现实服务的，学数学主要是为了应用，这 说明注重实用的中国数学传统已体现在了大学生身上。另一方面，大学生对数学中在逻 辑上各种可能的、在其已知形式和关系的基础上定义出来的形式和关系，那些既非数又 菲形的“纯粹的量”，以及现代数学中的各种抽象结构作为数学的研究对象认识不足。 这种结果表明，在形成现代数学观的关键时期高等教育阶段，在数学教学和数学观 教育方面存在某些问题 3 对数学价值的认识：学生普遍将数学的价值认定于两方面：一是工具作用；二是 训练人的思维作用。这表明大学生只认识到了数学的较低层次的价值，而对数学能以其 独特的性质促进人类品德的完善、人格的健全、人类思维的不断创造等文化价值以及数 学对现代科技的推动与提高，对经济建设发展的巨大贡献等更高层次的价值提到的人很 少 4 对数学发展的认识：绝大多数高等师范院校的大学生对数学发展的认识较好，认 为数学的发展依赖于数学家个体和群体的共同努力，是一个社会化的过程，认为数学在 发展过程中难免有错，需要依靠假设、尝试、证明和反驳、检验和改进等一系列复杂的 过程来建立结论。但是，对直觉和想象、猜测和反驳对于数学发展作用的认同以及数学 本身对数学发展的推动作用的认同人数还较少 通过以上研究发现，大学生基本对数学已经具备了一定的认识，但还是不能上升到 一定的高度，在某些方面的认识还不足，对数学研究对象的认识还比较肤浅；对数学的 价值仅仅定位于工具和训练思维上；对数学的发展的认识较好，但其中对数学研究方法 和发展动力的认识还有待提高。大学生毕业后，要在中小学从事教育工作，他们的数学 观直接影响着学生的数学观，所以现在的大学生应建立良好的数学观，为以后的教育事 业打基础。 ( 二) 影响大学生数学观的因素 影响大学生数学观的因素主要有以下几个方面： 1 课程设置 在师范院校中与数学观教育相关的课程开设较少，教学地位不高f 2 5 】。 2 数学教材存在缺陷 目前师范院校使用的教材大都是以学术专著的形式呈现，以纯数学的逻辑体系编 写。表现在：其一、在理论的展开中偏重于逻辑推理，强调演绎和证明；其二、缺乏相 应的现实模型，很少以其现实背景、数学事件和问题引入，并应用于现实实践中；其三、 缺少本学科有争议的内容，缺少与教学内容相关的数学史的介绍，有关教学内容在数学 7 中的地位及作用很少出现；其四、没有及时加入本学科的前沿内容；其五、例题和习题 的选择和编排侧重于纯数学的形式训练，且针对性较强，缺少开放性、探索性、应用性 和综合性问题1 “) 。 3 教师方面的因素 教师的教学设计：首先，在教学目标的设计上，一部分教师还不能确立数学教育 的多重目标。因此，教学实施中往往注重显性的数学基础知识和基本技能，而隐形的数 学思想方法、学科的主要问题、有关的数学史、相应的数学文化价值、对数学的情感态 度等处于教学设计的边缘。其次，在教学过程的设计上，有相当数量的专业课教师忽视 对教学内容进行教学法的加工，往往直接将数学的学术形态和盘托出。再次，在练习题 的设计上，教师给学生布置的多是教材中的常规性的纯数学问题，而这些问题一般是答 案唯一、方法单一、缺乏需要经过观察、归纳、类比、猜想甚至动手操作等手段解决的 问题的训练1 2 7 】。 教师的数学观水平，长期受传统教育影响的师范院校教师的数学观也存在着不同程 度的偏差，大学生数学观的形成与这些教师的数学观有一定的渊源。 4 中小学应试教育的后遗症 迫于升学的压力，中小学应试教育仍然十分盛行，应试教育在数学教学上表现为静 止地、孤立地看待数学知识；只关心考试大纲内的知识，反对学生对考试大纲外的知识 进行思考与探索：僵化地看待考试大纲的要求，对考试大纲内的知识进行十分复杂的组 合，甚至是不必要的严谨和牵强的联系哪j 。 5 数学认知的特殊性的影响 数学特别是现代形态下的数学是一种很抽象的学科，数学是一种无物质内容的符号 系统，在一定公理规则下的推演技术，它与人们的直觉经验相距很远，加上它那曲折而 奥妙的逻辑推演术，造成数学在认知上的特殊难度，正是这个特殊的难度，影响了人们 对数学的认识1 2 9 1 。 6 数学教育目标和教学评价 长期以来，基础教育中的数学教育强调双基和三大能力，较少考虑数学的过程、方 法、情感态度和价值观；高师数学教育实际上强调的是数学的学术性，注重的是数学教 育中的数学目标，较少关注数学的人本主义目的。其次，考试内容往往侧重于教学的认 知目标，忽视其他教学目标，强调知识的记忆和再现，导致教学跟着考试走。 上述情况表明，对高等师范院校大学生数学观的研究尽管起步较晚，但现在已经f i l 益受到教育工作者和研究者的关注，对它的研究是具有一定意义的，因为师范类院校的 大学生毕业后要从事教师这个职业，教师的数学观会直接影响着他本身的教学观和数学 课堂教学，还会影响学生的数学观以及数学学习。 三、数学观的界定 一般认为数学观是人们对数学的本质、数学思想及数学与周围世界的联系的根本看 8 法和认识，它是科学世界观的重要组成部分口”。辨证唯物主义认为什么样的世界观就会 有什么样的方法论。同样地，一个学生的数学观支配着他的数学学习活动，决定着他用 数学处理实际问题的能力，影响着他对数学乃至整个世界的看法。王梓坤院士指出，数 学对整个科学技术( 尤其是高新技术) 水平的推动与提高，对科技人员的培养与滋润，对 经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维的哺育，这四方面的作用是极其巨大的，也是 其它科学所不能比拟的。同时人们也认识到数学学习不仅仅是知识的接受，也是一种观 点、信念和态度的形成过程，数学精神、思想方法的启发、锻炼、体验对无论今后从事 何种职业的人来说都是必需的。正因为如此，世界各国都很重视学生数学观的培养，并 把它作为数学教育的重要目标，为造就具有创新意识的人才打下基础。数学观的演变正 是促成数学教育现代发展的重要原因。 数学自上古时代起源，经历了一个漫长的、艰辛的过程，发展成为今天一门体系庞 大、分支众多的学科。随着数学内涵的不断丰富，人们对数学的认识也趋于完整。因此， 不同历史时期人们对数学有着不同的认识，即有着不同的数学观。如古希腊数学家毕达 哥拉斯的神秘主义数学观、在历史上有着长久影响力的柏拉图主义的数学观以及与其它 科学思想建立密切关系的亚里士多德的数学思想m 1 等等。 进入1 9 世纪，数学家对数学本身的兴趣空前增长，产生了许多新的学科。这促使 他们对数学的本质进行新的思考。集合论的创始人康托尔提出；“数学是绝对自由发展 的学科，它只服从明显的思维。”也就是说，数学可以不必从实践中来，只要公理定得 合适、提出的命题合理，逻辑推理正确，整个数学大厦就建立起来了。这种“无需实践 检验，只要公理体系”的主张称为绝对主义的数学观。他们对数学持静止的观点，认为数 学的真理是绝对可靠的，是一种确切的、不容质疑的客观知识领域。但是，1 9 0 2 年罗素 悖论的提出又迫使数学家们开始重新探讨数学本质的问题。这就直接导致了由静态的、 绝对主义的数学观向动态的、经验主义数学观的转变。所谓动态的数学观，即是指数学 不应被静止地看成仅仅是数学知识的汇集，而应被看成是变化的，和其它知识一样都是 人类创造性的产物。所谓经验主义的数学观，即认为数学是拟经验的，数学真理可以纠 正，数学知识不是绝对的真理，没有绝对的有效性。对数学的这种新的认识与传统的数 学观是直接相对的，因此统称为现代的数学观。这种新的数学观为深刻的认识数学的本 质提供了新的视角。原先人们把数学看成一幢静态的、凝固的、层层叠叠的建筑物，现 在则将它描述为一条动态的、不断流动的河流m l 。 近二十年来，有关数学观的研究得以迅速增长并采取了诸多不同的研究角度，其中 一个焦点就是对较为具体的数学观的研究，但已有不少文献对教师和学生的数学观进行 了较为深入的探讨，但其中仍有一些问题没有得到较好的解决和实质性的关注，比如说 高等师范院校数学系的大学生具有什么样的数学观以及应该采取什么措施来改善他们 的数学观等等。 数学观是一个复杂的信念系统，尽管对数学观没有一个明确的定义，人们还是从不 同角度发展和使用了关于“数学观”的各种界定或者理解，以确定“数学观”的涵义， 在探讨数学观问题的过程中，研究者对数学观涵义的界定主要有以下几种： q 1 数学观是人们对数学的本质，数学思想以及数学与周围世界联系的根本看法和认 识 2 数学观是学生对自己或他人数学行为理解和感知的观念建构 3 数学观是关于“什么是数学? ”的问题的认识岬】 4 数学观是人们对数学的总的看法和认识，其主要内容涉及数学的研究对象，数学 的特点，数学的地位和作用等叫1 对上述定义稍作分析，我们可以发现，这些定义多是对“数学观是对数学的根本( 总 的) 看法”这一笼统界定的解析和发展。 应注意到的是，不同于其他的认知，数学观的认知主体虽也是人类，但客体却是数 学这样一个本身存在着本体论问题( 即数学对象的实在性问题) 和认识论问题( 即数学 的真理性问题) 的对象。 根据以上几种对数学观的不同界定，可将数学观定义为： 数学观是人们在做数学的过程中形成的对“什么是数学? ”这一问题以及对数学的 基本特征的根本看法和认识。其主要内容涉及数学的本质、数学的对象、数学的特点、 数学的地位和作用等等。 在此界定中： 1 “主体”是“人们”，而不限于数学哲学家、教师和学生，或与数学紧密相关的 人群。事实上，现代社会数学已渗透到几乎所有的领域，任何一个入，不论他做或学过 多少数学，他与数学的关联是无所不在的，因而他对数学的看法是无条件存在的。 2 主体达成“数学观”认知结果的认知过程是“做数学”。根据已有的一些研究( 例 如，m g j o n e s v e s i l i n d l 3 “，1 9 9 6 ；m c d i a r m i d 【3 ”，1 9 9 0 ) ，观念的外部“灌输”并 不会实质性地改变主体的数学观，“做数学”才是数学观形成与发展的“载体”。在这里， “做数学”包括了学数学、教数学、数学问题解决，以及在现实中应用数学的活动。 3 对数学观的“客体”作一个明确的界定是极为困难的，本文所给出的界定对此 只是作了一个相对狭窄的限定，即“客体”强调了对数学本质、数学对象以及数学的地 位和作用以及数学问题的认识，数学观问题的核心在于关于数学本质的认识，其他的观 念在很大程度上由数学本质观所决定。 4 数学观作为一种认知的结果，未必是一种系统的理论观点，而也可能是一些朴素 的认识，其持有者更未必对此举有清醒的自我意识。基于此，我们将数学观表述为“对 数学的基本特征的根本看法和认识”。因为“看法”往往是浅表的、零碎的、感性的， 而“认识”则一般是深入的、系统的、理性的。 第三章、高等师范院校数学系大学生数学观现状的调查及分析 诚如前文所述，本文的研究目的是希望通过调查来了解我国现阶段高等师范院校数 学系大学生数学观的现状，并希望以此来对我国的数学教育做一些有意义的探索。因此 本文在研究方法上主要采取问卷调查和统计分析等方法，而在研究程序上依次经过了 “问卷设计”、“取样调查”和对调查结果进行“统计分析”等几个步骤，下面笔者将以 此对这几个研究步骤说明如下： 一、问卷设计 数学观是一个复杂的信念系统，本文通过问卷调查来收集原始数据，然后对高等师 范院校数学系大学生的数学观进行尽可能深入细致的探讨。 问卷调查表由3 7 个问题组成，可见附录。问卷设计依次参照了第二次国际数学研 究( s i s m ) 的问卷、斯潘格勒、托纳f 3 9 j 、香港中文大学黄毅英教授“”p 1 1 以及王林全编 制的数学观调查量表。为了避免问卷受研究主观认识的左右，以及保证所给问题能被明 确的回答，问卷设计过程中还向数名专家作了技术性的咨询。 二、问卷调查 ( 一) 问卷调查的内容 在理念上，整个问卷设计以第二章中对数学观作出的界定为基础，将数学观分成了 六个调查维度：1 对数学本质的认识；2 对数学对象的认识；3 对“做数学”的认识； 4 对数学价值的认识；5 对数学问题的认识：6 对数学学习的认识。 问卷的设计主要采用结构型封闭式问卷，少数问题为结构型开放式，部分问题采用 李克特式五级量表，共计3 7 个问题。具体说来：第一部分：问题1 到4 是为了获得有 关的背景资料，以帮助理解和分析被调查者对问卷的回答；第二部分由3 3 个问题组成， 其中问题l 到2 9 为封闭式问题，这些封闭式问题的设计是采用李克特的五级态度量表 的形式并且按照横向设计的方案的要求来进行的，这些问题在格式上采用了强迫式的选 择方式，即对每一道题所提出的观点都给出了一个从“完全赞同、基本赞同、不确定、 基本反对、完全反对”的五级李克特答案，然后要求被试者在每一个题后的这五个备选 答案当中选择一个与自己的观点最接近的答案；瞄题3 0 到3 3 为开放式问题，这五个问 题是让被调查者按照自己的意愿去答，整个问卷主要是想了解被调查者对数学的认识和 看法。其中第二部分的问题1 到8 是为了调查大学生对数学本质的认识，问题9 到1 1 是为了了解大学生对数学研究对象的看法，问题1 2 和1 3 是为了调查大学生对“做数学” 的认识，问题1 4 到1 8 是为了了解大学生对数学的地位和作用的看法，问题1 9 到2 2 是 为了了解大学生对数学问题的看法，问题2 3 到2 9 是为了了解大学生对数学学习的看法。 ( 二) 问卷调查的目的 正如前文所述，高等师范院校的大学生毕业后要从事教师这个职业，他们的数学观 直接影响着自身的数学教学观，也就间接影响着学生的数学观以及数学学习，因而本问 卷调查的主要目的就是为了较好的了解我国现阶段高等师范院校数学系大学生数学观 的现状，然后运用理论研究和实证研究对这些观念展开深入研究，得出研究结果，最后 对这些研究结果进行了较为深入的分析，希望这个研究能对我国的数学教育有所帮助。 ( 三) 问卷调查的对象和范围 问卷调查的主要对象是高等师范院校数学系的学生，之所以选择师范院校是因为它 比别的高校更加重视和讲究对教育教学规律的探索。本问卷调查研究的对象是东北师范 大学数学系的本科生，本问卷调查的总样本数为2 3 5 份，总有效样卷为2 2 0 份，有效率 为9 3 6 ，其中大一的1 4 1 份，占总人数的6 4 1 ，大三的7 9 份，占总人数的3 5 9 ；男生的总人数为7 1 人，占样本总数的3 2 3 ，女生的总人数为1 4 7 人，占样本总 数的6 6 8 。答卷过程十分简单，对封闭题的做答，只要在每个题后的五级李克特答案 中选择一个与自己观点最接近的一个即可。对于开放题，只要把自己的观点写上即可。 ( 四) 问卷分析方法 由于问卷主要是为了测量被测者对问卷中所提出的观点是否赞同，是属于一种测量 态度的问题，因而笔者首先对闻卷中的李克特量表的每个等级观点进行了从l 到5 的赋 值：1 = 完全赞同、2 = 基本赞同、3 = 不确定、4 = 基本反对、5 = 完全反对；如此赋值的最大 好处就是把最后的答案都进行了量化处理以便于用统计的方法进行定量分析，从而使对 问卷的分析建立在比较客观的基础上。然后再运用有关统计分析法进行了统计分析，用 到的主要统计分析方法有描述统计法，还用e x c e l 做出了对比分析图。 在对本问卷中的李克特量表的每个等级观点进行了赋值以后再将问卷依次按照“总 的情况”、“2 0 0 3 级与2 0 0 5 级”、“男生与女生”进行了归类统计，最后将这些数据都录 入s p s s l l 5 数据库，并运用该软件包对数据进行了统计处理”“。 三、调查结果及分析 本文首先运用描述性统计对各个部分的数学观进行了具体的研究，然后运用e x c e l 做出了不同年级以及不同性别大学生数学观的对比图，并对此进行了比较分析。 ( 一) 大学生数学观总体水平的现状分析 本文是从六个维度来对数学观进行调查研究的，包括1 对“数学本质”的认识：2 对“数学对象”的认识；3 对“做数学”的认识；4 对“数学价值”的认识；5 对“数 学问题”的认识：6 对“数学学习”的认识，被调查研究的对象是东北师范大学数学系 0 3 级与0 5 级的本科生，调查研究结果如下： 1 对“数学本质”的认识 数学，其英文是m a t h e m a t i c s ，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、 几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古 以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理 论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了 人们对“可能的量的关系和形式”的认识。 在对“你认为数学是什么”的回答中，大学生对“数学是什么”作了许多新的定义， 主要有：数学是一门将形象的事物通过抽象的语言符号更深刻地反映事物内涵的自然科 学，是一门在实际生活中能够广泛应用并能够解决许多问题的有逻辑性的和探索未知领 域的基础学科，它可被广泛应用于其他科研领域，可推动社会科学技术的发展，是高科 技的本质，是第一生产力；数学能够培养人的逻辑思维能力；它以逻辑性、抽象性、严 谨性为主要特征，是一门充满猜想并且与生活结合紧密的学科；数学既可以来自现实世 界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造等等。 数学家们对“数学是什么”也作了许多不同的阐述【4 3 】，比如： 波利亚( gp o l i v a ，1 8 8 8 1 9 8 5 ) 认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严 谨科学，但也是剐的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎 科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学”。 弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动”，这种观点是区别于“数学作为印在 书上和铭记在脑子里的东西”。他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成一种 “组织得很好的状态”，也即“数学的形式”是数学家将数学( 活动) 内容经过自己的 组织( 活动) 而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没 有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习 数学的内容，从而学会相应的( 应用数学的) 活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数 学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。 菲茨拜因( e 舶i n lf i s c h b e i l l ) 说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、 具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程；数学本 质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个 基本成分之间的相互作用构成。 库朗和罗宾逊( c o u m n ir o b b i n s ) 也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意 愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构 造、一般性与个别性。” 不同的人对“数学是什么”有不同的理解，如第二章所述，静态的数学观是把数学 看成是仅由知识汇集而成的；绝对主义的数学观认为数学是真理，是绝对可靠的，是一 种确切的、不容质疑的客观知识领域；动态的数学观是指数学不应被静止地看成仅仅是 数学知识的汇集，而应被看成是变化的，和其它知识一样都是人类创造性的产物：所谓 经验主义的数学观，即认为数学是拟经验的，数学真理可以纠正，数学知识不是绝对的 真理，没有绝对的有效性。所以动态的、经验主义的数学观与静态的、绝对主义数学观 是对数学完全不同的两种看法。 表】“数学本质”部分的描述性统计 缉 序 完全赞同基本赞同不确定基本反对完全反对 问题 数学是绝对真理的总集 5 9 1 5 9 3 1 8 3 0 o 1 6 4 数学是一种活动 4 9 1 3 4 5 1 2 3 2 7 1 4 数学是一个动态的过程 3 4 9 4 9 5 1 2 8 1 8 o 9 在对问题“数学是一堆绝对真理的总集”的调查中发现，有4 6 4 的人反对这个观 点，而只有2 1 8 的人赞同这个观点，将近有五分之的人认为数学是一堆绝对真理的 总集，而有一半的人认为数学不是一堆绝对真理的总集。可见，大部分人还是比较反对 这个观点的，认为数学不是堆绝对真理的总集。 在对问题“数学是创造和再创造的活动”的调查中发现，有8 3 6 的大学生赞同这 个观点，而只有4 j 的人反对这个观点，可见大部分人都认为数学是一种创造和再创 造的活动，而不是静止的、一成不变的；在对问题“数学是在学习者的环境中动态的探 索规律和秩序的过程”的调查中有8 4 4 的大学生赞同这个观点，而只有2 7 的人反 对这个观点，可见大部分人比较赞同这个观点，认为数学是种动态的过程。 在对“数学是什么”的回