（电力电子与电力传动专业论文）多采样率鲁棒控制系统研究.pdf

西南交通大学研究生学位论文第1 l 页 r e s e a r c h e so fr o b u s tm u l t i - r a t ec o n t r o l s y s t e m s a b s t r a c t ： c o m p a r e dw i t h m u l t i r a t e s y s t e m s ，t h ea n a l y s i s a n d d e s i g n o ft r a d i t i o n a ls i n g l e r a t es a m p l e d d a t ac o n t r o ls y s t e m sa r e s i m p l e b u ti n m a n yo c c a s i o n s ，s u c ha st h et i m es c a l e sa td i f f e r e n tl o c a t i o n s d i f f e r l a r g e l yf r o me a c ho t h e r , w em u s td e s i g nt h em u l t i r a t es y s t e m s m u l t i r a t ed i g i t a lc o n t r o ls y s t e m sh a v em a n y s u p e rc a p a b i l i t y ，s u c ha s s i m u l t a n e o u ss t a b i l i z a t i o n ，s t r o n gs t a b i l i z a t i o na n dd e c e n t r a l i z e dc o n t r 0 1 i nt h i s p a p e r t h es t a t e s p a c ee x p r e s s i o n sa r eg i v e n ，a n di nt h ea i do f w h i c ht h er o b u s ts t a b i l i t y , r o b u s tp o l ea s s i g n m e n ta n dm u l t i r a t eo p t i m a l r e g u l a t o ra r es t u d i e d i n c h a p t e r1 ，t h e r e c e n t d e v e l o p m e n t so fm u l t i r a t ed i g i t a lc o n t r o l s y s t e m s a r ed i s c u s s e d ，a n db a s e do nt h er e l a t i o n so fs a m p l e p e r i o d sa t e v e r ys a m p l el o c a t i o nt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h e ma r ed i s c u s s e d c h a p t e r 2g i v e st h es t a t e 。s p a c ee x p r e s s i o n so fm u l t i r a t es y s t e m s i nc h a p t e r 3 ， t h er o b u s ts t a b i l i t yo fm u l t i r a t e i n p u td i g i t a lc o n t r o ls y s t e m ( m r i c ) i s s t u d i e d i nc h a p t e r4 ，t h er o b u s tp o l ea s s i g n m e n tw i t ho u t p u tf e e d b a c ko f m u l t i r a t e o u t p u t c o n t r o l s y s t e m ( m r o c ) i sd i s c u s s e d ，a n d t h e e q u i v a l e n c eo fm u l t i r a t eo u t p u tc o n t r o l l e r sa n ds t a t ef e e d b a c ka r ea l s o d e m o n s t r a t e di nc h a p t e r5 ，t h eo p t i m a lr e g u l a t o ro fm u l t i r a t es y s t e m si s d i s c u s s e d ，a n di n c h a p t e r6 ，t h e c l a s s i c a l p r o b l e m ，n a m e l yi n v e r t e d p e n d u l u mo nac a r ti ss i m u l a t e dt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h e m e t h o d st h a tw e p r o p o s e d k e y w o r d s m u l t i r a t e d i g i t a l c o n t r o l s y s t e m s ；r o b u s t s t a b i l i t y ；p o l e a s s i g n m e n t ；o p t i m a lr e g u l a t o r z y g 1 9 9 9 1 2 嚣南交通大学研究生学位论文 第一耄多采样率数字控制系统的研究进展 1 。1 概述 近几十年来，数字控制器的发展十分迅速。有资料表明大多数控制系 统在不久的憋寒都会实现数字化，赊了极少数个男# 壤溅之终，如安全憾占 第一位的化工系统以及晌威速发极快的电力系统。传统鳇采样系绞绝大多 数都是针对单采样翠恧富的，因必单采样率数字控铝系统懿理论分板摹鞋实 际控铡系绞弱设诗郝毖较麓单。但是霄不少囡豢键使我嬲必须考虑多粟样 率数字控铡系绞。例如在缀爹麓况下，壶予系绞各处霹闯紫数相差较大， 我们往往必须采用多令采样速率n l ，否裂裁不能褥出耩要求酌控制系统。另 外，多采榉率数字控制系绕是溺期瓣交系绞，意可以实现许多线褴定常控 制系统辑不能实褒麴功能，翅改善系统钓增益裕量、嗣对稳定、强镇定戳 及分数控铡等。 旱在五十年代，k r a n g f 2 4 藏已经开始磷究多采祥率控翻系统，他的工 作主要楚健遴了采样器分解方法的发震。1 9 6 5 年c o f f e y 和w i l l i a m d 4 提 密了颓域分解方法。 也们( k r a n c 、c o f f e y 及w i l l i a m s ) 应用传递函数方 法分别给密了两种不同的计算系统特征多项式韵算法，以判定系统的稳定 性。1 9 6 7 年0 u r y 淄证明了这两种方法奁本质上是一致的。1 9 7 5 年b o y k i n 和f r a y e f 6 提出了矩阵算予描述法。并证鞠对某些特殊问题，c o f f e y 和 w i l l i a m s 的算法可以得到简化。j ur y 和m u l l i n i 7 则证明周期时变离散时 间系统如果从那些等于其周期的整数倍的采样时刻来看的话，是时不变 的。f r i e d l a n d l 8 迸一步发现多采样率数字控制系统实际上可以糈成是j u r y 和m u l l i n 所提出的周期时变离散时间系统的一种。而m e y e r 和b u r t u s ( 1 9 7 5 年) 对他们的结果进行了推广f 9 j ，提出了一种“分块处理法”来 表征周期时变离散时间系统。用这种方法很容易得出系统的传递函数特 性。 然而众所刷知，传递函数方法有很多不足之处，例如当采样速率超过 两个时其数学模型非常复杂，难以处理。面实际上早在1 9 5 9 年，k a l m a n 繁1 贸 甄南交通大学研究生学位论文 和b e r t r a m i ”】便首次提出了时域方法，即簇于状态变量的研究方法，但是 这一方法却一直被人们所忽视，直到b a r r y ”l ，a m i t ，b r o s s a r d 积 g l a s s o n ”l 将多速率采样控制引入最优控制系统的设计中，时域方法才弓l 起控制界的重视。但是仅仪在擐优控制系统中采用多速率采样控制大大地 限剁了这秘方法的魅力。1 9 8 6 年，a r a k i 秘y a m a m o t o 【1 4 1 愿出了竞整的多 速率采样控剁系统的状态空闻捞述，尽管其状态方程模型维数糖当裹，僵 对予矩阵寒谨，维数黪裹低并不妨碍冀理论的推导，饿们的结聚搜多涎撑 率数字控划系绞的疆究进入了一个崭毅的除段，叁此之露多采样率数字控 制系统鳇磷究变褥下予明朗起来，各秘现有豹单速率酵不变系绞鸵分撼 与设计方法基本上郯碟以搬广劐多速率采样控制系统。 1 2 多采样率数字控制系统的分类 对于多采样率数字控制系统，穰据各采样点静采榉躅籁之阕静关系， 可黻分成叛下三类”5 1 。 1 输入多采祥率数字控蒂口系统( m r i c ) 这类控制系统实际上相当予采用了一个广义保持捺( 关予广义保持器 下一章将作祥细说疆) 。它在一个瘸期t 0 内只时被控对象输出采样一次， 但楚数次改变被控对象的输入。从被控对象的角度来看，其第 个输入通 道的采样周期为t ，小于输出的采样髑期t o 。通常我们假定t 和下。之闰 成整数倍关系，即有瓦= n t ，其中n ，为正熬数。因为这类系统的输入 采样速率高于输出采样速率，故也称之为快一慢多采样率控制系统。当系 统为双输入双输出且，= 3 ，n z = 2 时其输入与输出信号如闺1 1 中所示。 2 输出多采样率数字控制系统( m r o c ) 与输入多采样率数字控制系统相似，输出多采样率数字控制系统可看 成是用一广义采样器( 关于广义采样器下一章将作祥细说明) 对被控对象 的输出进行采样。它的特点是在一个周期t o 内只改变次被控对象的输 入，但n j 次改变被控对象第1 个输出通道的输出。即被控对象输入通道的 采样周期t 。大于第i 个输出通道的采样周期t 。通常也假设一和t 。之阊 成艇数倍关系，即：t 。= n ；t i ，其中n l 为破整数。因为这类系统的输入采 纂2 页 嚣南交通大学研究生学位论文 样速率低于输出采样速率，故也称之为慢一快多采样攀数字控制系统。 y 2 u 2 k t 。( k + 1 ) t o( k + 2 ) t e y ( k t o )y 【融1 w j 鹫1 - 1 m r i c 系统输入输出俊号阐( 氓= 3 ，n ：= 2 ) 3 广义多采样率数字控制系统 这类系统不但输入向羹各分量和输出向量各分量的采样髑期不同，而 且各输入采样阉期和输出采样周期之间的关系也怒任意的。它可以看成是 一个周期时变的控制器对线性时不变离散时间系统作用下的结果。设输入 向量各分壤u 。的采样周期为t 。输出向量各分爨y i 的采样周期为 l ，k 1 ，2 ，p 。通常假定存在一基本采样周期t ，满足 k = q 。，t ，i = 1 ，2 ，m ，以及k = q y i t ，j = 1 ，2 ，p 。即备输入采样周期 和输出采样周期均为基本采样周期t 的整数倍。 第3 页 嚣袁交通大学研究生学位论文 第二章多采样率数字控制系统的状态空闻描述 2 。1输入多采样率数字控制系统( 联疑l c ) 2 。1 。1广义保持器 慑持器裁是攫攥系统在t = k t 对刻熬数德v ( k ) 米产生连续对耀信 号u ，( t ) 的撬构。传绞保掩器瓣公式为： “。器) = 驴状)k 薯t k + ) 墨：露= 0 , 1 , 2 ( 2 - 1 ) 其中了+ 是系统采撵溺期。躲暴考虑到系统的嚣果性，线健，戳及在离散 时阕意义下靛对不交栏霹噬将广义保持枧掏扩充魏下： u o ) = n ( f r l y ) ( 2 2 ) k = o 其中响应函数踅阵h ( t ) 为m 。xm 维，并且当t 0 辩，h 稻= o 。知巢h ( ) 只 在裔限豹对润肉不为0 ( 即存在l ，警t 盛o ，) 对h ( t ) = 0 ) ，羯称这种 傈持器为有限响应保持器。如采t o = n t ，莉称为n - 区间傈持器。其中t o 称为确应对闯( 包括瓦= 时的情况) 。并把其有保持函数( 2 - 2 ) 的1 区间保持器称为c h a m m a s l e o n d e s 广义保持器或简单媳称之为广义保 持器。藉m = m 。且保持函数h ( ) 满足： = 毙 t ( 0 。t o ) 其它 ( 2 3 ) 则广义保持器就退化为一般保持器，即满足式( 2 。1 ) 。 在控制系统设计中，我们可以将保持函数f ( t ) 作为一个设计参数来改 善系统的各项性能，使之能够实现许多在单采样率数字控制系统中难以实 现的功能，如改善系统的增益裕量、同时稳定、强镇定以及分散控制等。 设典型的计算机控制系统如图2 1 所示。 被控对象状态方程模型设为： f d x c ( t ) d t = 月。心o ) + 恁“。( f ) iy 。( f ) = c 。x 。( f ) ( 2 _ 4 ) 繁4 煲 殛藏交通大学疆究生学位论文 其中x 。r “。尺，y 。r 冉，共设( a o ，坟) 完全可控，( a 。c 。) 完全 参考 琏k ) v ( 瓣 辫 被 计 牺研 o o i 。，。，一 控 算 对 规 趔虹虱象 y c 毛蟹 数字控制器 盈2 数字控潮系统承塞鬻 可观。数字控制器( 酃计算机) 酶控铡律为： 孝( 舟+ ) = 口f 膏) 孝f 春) + 。( k ) w ( k ) + 廖f 膏) r ( 舟) ( 2 5 ) v ( k ) = r 承旁承) + f w 承) 彤承) + f r 承) r 积) ( 2 ，6 ) 其中掌r 4 ，w 最r “，r 仨r p r v 畦尺”。作为( 2 - 6 ) 式的特殊情况有时可 采弼输出直接反馈： v ( k ) = r 驭) 取) + f r ( 良) r ( _ f f ) ( 2 。7 ) 假定： p w 2 p c t m 2 p w + p 7 f w = f ，“，o 】1 ，= 【0 ，f 。】 相应地将h ( 1 ) 分记为【h 。( t ) ，hr ( f ) 1 式，则有： v ( k ) = 【v 。( f f ) 。v ，( 凡) 1 = 【w ( 丘) ，( 膏) 】1 从( 2 - 2 ) 式和( 2 9 ) 式可得： “。( f ) = h ( t k t , ) v ( k ) ( 2 。8 ) 并设补偿器具有( 2 - 5 ) 和( 2 7 ) 式的形 ( 2 9 ) = h w ( f k t , ) v w ( 七) + h ，( t 一詹) v r ( 艮) ( 2 - 1 0 ) k t , t ( k + 1 ) t f 以式( 2 1 0 ) 式作为控制律鳃状态方稷( 2 - 4 ) 式得： 第5 页 鼹枣交通大学研究生学位论文 x ( k + 邻= a x ( k ) + b v ( k ) = a x ( k ) + b 。v 。( k ) + b ，v ，( k ) 其中： ( 2 1 1 ) x ( k ) = x 。( 暂) ，a = e x p ( a 。一) ，b = 【b w ，群】 8 ，。f e 丸 再一r ) 嚣。打f ( f ) d f f ：w r 2 - 2 式( 2 - ) 积营逶采样器方程： w 髯) = y ( ；f ) = c 。x ( k ) ( 2 1 3 ) 梅液了被控对象在广义保持器鞫普逶采样器戳及爱续律为( 2 g ) 式下的 离毅化模登： x 良? 1 ) = 螽j b w c c ) x 蟊) + b r r ( 是( 2 - 1 4 ) w ( k ) = c 。x ( k 由予 a 。，8 。) 可控，我稍可以选择逡当的啊国( 江w ，r ) ，经褥8 ，( 江w ，r ) 为任意n 。p 维矩阵。实际上，对予任何8 ，都有无穷多个h f ( ) 满足( 2 1 2 ) 式。其中最小能量解为： n 。( f ) = b o r e 气棚。8 。 ( 2 。1 5 ) 式中是系统在区间【0 ，t 】上的可控往格兰薅矩阵。这一特性就是广义 保持器之所以舆有很多“越强”能力，如闻时稳定、强镇定等的原因。 上面我们假定h ( t ) 可阻是任意形式的有界可积函数矩阵。尽管这一假 设在理论上是可行的，但是在实际中要根拼各种不同的设计要求来产生具 有任意形式的波形，即使利用当前最先进的技术也难以办到，甚至根本就 不可能。幸运的是我们可以找刘一炎特殊的h ( t ) ，它们为分段常函数所构 成的矩阵，能够使8 。和b ，具有任意形式。即若： h j ( f ) = h at j i t t ，“1i = 0 ，1 2 n j 一1 ( 2 1 6 ) 其中n j 为正整数，0 ，垒i t , i n j ，并且( m ，n 2 ，。) 各元素分别大于或 等于( a 。b 。) 的可控性指数集，则容易证明：只要适当选择，l 。，就可使得 8 。和8 ，为任意指定的矩阵f 1 6 】。 我们将响应函数具有式( 2 1 6 ) 形式的保持器称为输入重数为，的 一致多速率保持器( 或简称为多速率保持器) ，将l = l ，f 称为第个 第6 页 鞭崴交通大学婿突生学健论文 输入通道的采梯周期，瓦为整个系统的循环周期，我们称之为系统周期。 因此，输入多采榉率数字控制系统( m r i c ) 也可以蓉戏是出一个磐邋采 样器积一令响应函数矩蹲必分段誉遁数验广义保持嚣艨搀成的数字控铡系 统。共且这稚广义保持器( 即多速率保持爨) 可以由周期为f 。的普通o 绫 转换嚣实现，濒以多这率保持器是一秘霹以在甥理上蜜现麴特殊的广义保 持器。 2 。 。2m r i c 系统豹状态空阀描述 本节给出m r i c 系统瓣状态空阔接述，设m r i c 系统如匿2 - 2 浙示。 ! - 数 ! l ! q 堡堡兰p 吣 被 石 字 控 控百气巾神 对 箭 二画鼬 象 器 u mt ml 二兰= = ju ” yt o 闺2 - 2m r i c 数字控制系统 y c 其中被控对象怒线性时不变连续时间系统，其状态方稷模型为： 膨( f ) = a c x c ( ) + a c u c ( ) ( 2 - 7 ) ly 。( f ) = c x 。( t ) 其中x 。r ”，u 。尺”y 。g r 9 ，y 是输出信号y 。的采样信号，其采样周 期为r 。而u 。的各分量分别为数字控制器的输出u ，通过采样周期为l 的保持器而得到的。我们称t 。为输出采样周期，而l 则称为第f 个输入的 采样周期。为简便超见，通常假定t 与瓦之间满足关系： n j = t o i t , _ _ 1 。2 ，m ( 2 - 1 8 ) 其中m 是正整数，令： 第7 疑 鼹南交通大学研究生学位论文 n o = l c m ( n 1 。：，一，n 。) ，n = n i ( 2 1 9 ) l 口， 其中l c m ( ) 袭示最小公倍数，最小公共采样周期t 定义为： t=tno(2-20) 我们穆t 为基本袋楼周期，差以t 为采糖周期势设鼹毒采佯器均为蛰逶 采样器，可将连续慰闻被控对缘离散化为： 胖炙+ 谰= 如x ( 艘) + 8 。“( 船)( 2 。2 1 ) iy ( k t ) = c x ( k t ) 其巾： a 。= e 丸7 。b 。= e 如b 。d f ( 2 2 2 ) 定义： g 是瓦) = 和晶( k t o ) u e 2 ( k t o ) u 。( 是瓦霹 “( k t o ) = 【“，( k t o ) u ( k t o + i ) u i ( k t o + 艇，一 ) i 粥7 ，= 1 , 2 ，+ ，m ( 2 - 2 3 ) 利辩l 魄+ 鼢j 霹绫得到被控对象在采样周期为t o 时韵离靛讫模垄： | x “蟊+ 1 ) t o 】= a x ( k t o ) + 8 甜e + ( 贸b ) y ( k t o ) = c x ( 勰o ) 其中a = a d 地蔓j n x n 维矩阵，b = 【b 1 b 2 块8 其有如下形式： b ，= f 划耻订d f 0 o ( 2 2 4 ) b 。】为门n 维矩阵，其第j 。o 0 f e c r o 一n j “一叫b c i d f 旬 - ( 2 2 5 ) 其中b d 为嚣。的第，列。由式( 2 2 4 ) 可以看出，由于对系统输入多速率 采样的结果，系统的实际输入量已由原来的m 个增加到了n x m 个，从而 增加了系统控制的自由度。进步思考可知，对于单采样率控制系统，仅 第8 疆 o ；fd 每 8 叶 g t珞屯 e l 嚣奄交通大学研究生学位论文 在采样瞬阕实现反馈控制，丽除此之步卜在整个采样周期时阈内系统可以说 是开环控制的。两竣入多采样率数字控制系统则可根据控制的褥要，在采 样嬲矮内毂一些点上逃一步实现反馈控制，从两增秀珏了控割器的控制能 力。 2 。2输蹬多采样率数字控割系统( 瓤r o c ) 2 。2 。广义采样器 仍然考虑罄2 2 中憝数字控制系统，设被控对象躲状态方程必( 2 。1 7 ) 式。并基( 砖。，畿；) 竞金霹控裁完全熊理。銎中采样器豹作爝是将连续对 闯信号y 。 ) 转换受离教时闷信号w ( k ，与广义保持嚣楗似，在考虑到系 统为线性，对不变及满足因采关系的前提下，可绫将瞽逶采样器扩充为广 义采样器： w ( 良) = e g ( 妈一r ) y 。( r ) d f ( 2 2 6 ) 其中权函数g ( f ) 满足当f o 时g ( t ) = 0 ，假定g ( t ) 为一系弼艿函鼗之和。 若g ( t ) 哭在徊，i 醒间沟不为0 ，则将稻应鹣采样器称为有限积分采样器， 若瓦= n t , ，砌称相应的采样器为n 区间采祥器。t 0 称为积分时间。权 函数为一般形式的采样器称为广义采样器。若g ( t ) = 8 ( t ) 潮广义采样器退 化为普通采样器。 令为整数，0 + 满足o s 如st ，矗t q i = 珥，+ q + ，如采 g ( t ) 的第q 列满足： g 口( f ) = g q o s ( t r q o ) + g q l 8 ( t f 。1 ) + 。十g q , u q 、1 万( f t q , v # - 1 ) ( 2 2 7 ) 则可将w ( k ) 表示为： “一1 撑是= 铷y 。臻一，) ( 2 2 8 ) q = 1 1 = 0 其中y 。为y 。的第q 个分量，我们将具有( 2 2 8 ) 式形式权函数的采样器 称为输出采样羹数为的一致多速率采样器( 或简称为采样器) 。口。称 为观测延时，而第q 个输出的采样周期k = t ，v 。，系统周期丐的定义 与广义保持器相似。 第9 页 西南交通大学研究生学位论文 2 2 2m r o c 系统的状态空间描述 m r o c 系统可以看成是m r i c 系统的对偶形式，它在系统周期t o 内 只改变一次输入而用均匀采样的方式在t o 周期内m 次检测第i 通道的输 出，设输出多采样率数字控制系统如图2 - 3 所示。 r c l r c 2 r c d y c l y c 2 y c p y p i p 图2 - 3 输出多采样率数字控制系统 线性时不变受控对象的状态方程设为： 文c ( ) = a c x c ( j ? c “c ( ) ( 2 - 2 9 ) 【y 。= c x 。( t ) 其中状态向量x 。，输入向量u 。，输出向量y 。分别为几，m p 维，令第f 个 输出通道的采样周期与输入采样周期t 0 之间满足： n ，= t 0 ，t i = 1 ，2 ，p ( 2 - 3 0 ) 其中n f 为正整数，我们将( ，：，。) 称为输出重复度，令： n o = l c m ( n 1 ，2 。，n p ) ，n = n ， ( 2 3 1 ) 则基本采样周期t 定义为： t = t o i n o ( 2 3 2 ) 通过与m r i c 系统状态方程模型的推导相似的步骤，我们可以得到m r o c 系统以t o 为采样周期的离散化模型如下： 第1 0 页 西南交通大学研究生学位论文 其中 i x 【( 七+ 1 ) t o 】= a x ( k t o ) + b u ( k t o ) 【y e ( k r o ) = c e x ( r o ) + d e u ( k t o ) a = e a c t o , b = f 。e a o , b 。d r y ；( ) = y 1 ( k r o ) y ，( k t o + t ) y 1 ( k t o + ( n ，一1 ) t 1 ) y 2 ( k r o ) y 2 ( k r o + ( n 2 1 ) t 2 ) y 。( k r o ) y p ( k t o + ( n ，一1 ) k ) c 1 c e t c e 凡( 1 1 ) _ c 2 c 2 e a , ( n 2 1 ) t 2 c p c p e 凡( 心一1 ) l d e = ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 0 c 1r l e 州b d t c 、r e b d t 0 c 2r m e 掣b d t 0 c pr 帅e b d t ( 2 3 5 ) 其中c i 为c 的第，行，= 1 , 2 ，p ，c e r n ”n d e r n x m y e ( k t o ) r ”。 由此状态方程可以看出，输出多速率采样相当于在维持系统的采样周期仍 是t o 的前提下，扩充了系统有效输出的个数。从而在采用输出反馈时就 给控制系统的设计带来了极大的灵活性。关于这一点将在第四章作详细说 明。 2 3 广义多采样率数字控制系统的状态方程描述 设广义多采样率数字控制系统如图2 - 4 所示。其中被控对象为线性定 常连续时间系统，其状态方程描述设为： f 戈( f ) = a 。x ( f ) + b 。“( f ) 【y ( f ) = c x ( t ) + d u ( t ) ( 2 3 6 ) 第1 1 页 西南交通大学研究生学位论文 图2 - 4 广义多采样率数字控制系统 y 1 其中x ，u 和y 分别是被控对象的门维状态向量，r 维输入向量和p 维输出 向量，假定输出向量y 的采样周期为r , j ，= 1 , 2 ，p ，m 维外部输入向量 r 的采样周期为乃，= 1 , 2 ，m 。输入向量“是由数字控制器的输出向量 u + 通过零阶保持器而得到的。设各保持器所对应的采样周期分别为 l ，= 1 , 2 ，r 。假定l ，l t o j 满足以下关系： l = q y j t j _ 1 ，2 ，p ( 2 3 7 ) b = q d t j _ 1 ，2 ，m( 2 3 8 ) l ，= q 。tj = 1 。2 ，r ( 2 3 9 ) 其中q 。，q d ，q 。等都为正整数。t 称为该多采样率数字控制系统的基本采 样周期。设( 2 3 7 ) 式一( 2 3 9 ) 式所定义的q y i , q d 和q w 的最小公倍数 为q ，令t o = q t ，则t 0 是整个系统的循环周期，我们称之为系统周期。 以t 为采样周期，并设保持器为零阶的，可以将被控对象离散化为： ) c 【| ：2 t 】_ 触终) + 8 u ， ( 2 圳 iy ( 舸) = c x ( k r ) + d u ( k t ) 第1 2 页 西南交通大学研究生学位论文 其中a = e a c tb = r e 缸b 。d f ( 2 4 1 ) 与m r i c 和m r o c 系统状态方程的推导过程相似，我们可以采用如 下的“提升”过程以避免采用以t 0 为采样周期时所引起的系数矩阵的时 变性。 令： y e ( k t o ) = y ( k t o ) y ( 帆+ t ) y 【帆+ ( q i ) t 】 u e ( t o ) = u ( k r o ) u ( e o + t ) u ( k t o + q 一仃) x ( k 一下r o + t ) x ( k 一仃0 + 2 t ) u e + ( k t o ) = x ( 砜) u ，( ) j ，( _ f ( t o + t ) u 1 ( k t o + q i t ) u ：( 砜) u 2 ( 巩+ q 一仃) ，( k t o ) u ，( k t o + q 一下r ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 其中u e + ( ) 由u e ( k t o ) 经适当的行置换而得，利用x e ( ) ，u + ( 帆) 以及y e ( k r o ) 我们可以得到以磁 ( 七十1 ) t 0 】为扩展状态向量的被控对象式 ( 2 - 3 6 ) 的离散化模型： 。滗：篇麓鼎：?：曼：讯，(2-44)y k r o cxcdu l e ( ) = e ，e ( r 0 ) + 岛x e ( 足+ 1 ) t o 】+ e + e + ( r 。) 其中： 第1 3 页 西南交通大学研究生学位论文 a e = 00a !a 2 0 0a 4 b ；+ = b 1 + ，b 。+ ，b 。】 其第i 块e + 具有以下形式： b ；+ = b0i0 b ，+ a b ， 1 0 a ，0 a 2 爵0 b ， d 。+ 肖6 a 亭， a q - q “白0 0 j a q - 2 q 喜0 0 其中b 为b 的第i 列， | = b i + a b i + 一 而向量手，则由下式给出 + a q - 1 b f ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) i0 ；0 10 10 o io i0 ：o ；0 jo 10 io 0 b ：0 b f + a b ，o ：0 眚 0 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 第1 4 页 西南交通大学研究生学位论文 d 。+ = f d ，+ ，d 2 + ，d r 】 其第f 块口具有如下形式 d i 其中d ；为d 的第i 列。 c e l = o 0c 0 00 c e 2 = d ，0 d ，0 ： _ d f 0 ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 一般说来我们希望得到由状态向量u e ( 船i ) 而不是u e 。( k w o ) 所表示的系统 模型，为此我们只要适当地重新安排b f + 和d ；+ 的行就行了，假设重新 安排后所得到的矩阵为b ；和d ；，则可将状态方程式( 2 - 4 4 ) 变为： y ；。掣c 等x ? 臻：窭鼎：番t u o i d e u 。砜， t 2 引， i y e ( ) = 黾；( ) + c e ，砖f ( k + 1 ) 】+e ( 砜) + 7 上式中状态向量x e ( 舰j ) 的维数高达几q ，这在实际中使用很不方便，应 想办法降低其维数。实际上由a e 的结构易知其n q 个极点中有n ( q 一1 ) 个 位于原点，它们对应着系统的不可观模态，在求传递函数矩阵的时候这些 模态将不会出现。实际上这些模态相应于系统在 第1 5 页 h 0 ；oo；0d ；d 0 ；o 一 0 o 哦4 0o c c ；| 0 c ；0 西南交通大学研究生学位论文 ( 巩+ ，r ) ，= 1 , 2 ，( q 一1 ) 时刻的状态，它们并不是在系统周期r 下的状 态值，只是为了建模的方便而将它们包括在状态中的，我们可以删掉这些 状态使系统维数得到降低以便于对系统进行设计。具体作法见第五章。 接下来，考虑控制器的状态方程描述。若采用基本采样周期t ，则控 制器的状态方程模型为： 善( 七+ 仃) = f ( t ) 喜( 舸) + g ( t ) ( 灯) + 。h ( t ) y ( k t )( 2 5 2 ) 【u ( k t ) = j ( t ) 孝( 舸) + k ( t ) r ( k t ) + l ( t ) y ( k t ) 由于系统循环周期为t 0 ，因此上式中各系数矩阵均为以t 。为周期的时变 矩阵，时变控制器的设计与计算均比较困难，我们使用前述a r a k i 和 y a m a m o t o 所提出的“提升”方法，即利用以t 。为采样周期的离散化模 型。最后可得与式( 2 5 1 ) 类似的状态方程： j孝。( 七十1 i j ) = f e 磊( r 0 ) + g e r e ( r o ) + h 。y e ( r o ) 【“e ( r 0 ) = j e l 靠( k t o ) + j e 2 善e ( 詹+ 1 0 ) + k e r e ( k t o ) + l e y e ( k t o ) ( 2 5 3 ) 其中各扩展向量靠( k t o ) ，r e ( n ) ，l i e ( k t o ) ，y e ( k t o ) ，扩展矩阵 足，g e ，h e ，j e j e 2 1 k e ，l 。的定义与从前完全类似，不再赘述。 最后联合式( 2 5 1 ) 和( 2 5 3 ) 可得扩展的闭环系统状态方程模型为： 砟( ? ：i ：仃0 ) 2 气( 砜) + r e ( ) ( 2 _ 5 4 ) 【y e ( ) = c d 甏( k t o ) + d d r e ( k t o ) 其中： 稚( 飞x 。e ( ( t o ) ) l ( 2 - 5 5 ) a 。= ia e + h b 。e m m s ，n m lb e m 足3 + + b e h 。m n m 5 ；! m m ：m 3i c 2 。5 6 ， 2 im 1f e + 。，。i 旺曲 8 d ：b h m + b e m s m 2 m 4i(2-57) “lg e + h e n m 2 m 4j c d = n m l n m 2 m 3 】( 2 - 5 8 ) d d = n m 2 m 4 ( 2 5 9 ) 第倡页 西南交通大学研究生学位论文 以上各矩阵的维数分别为：( n + 门。) q ( n + 门。) q 。( 门+ 门。) q x m q ， p q ( n + n 。) q ，p q x m q 。而矩阵m 1 ，m 2 ，m 3 ，m 4 ，m 5 及n 分别由以 下式子给出： m 1 = c e l + c e 2 a ( 2 6 0 ) m 2 = d e4 - c e 2 b e ( 2 6 1 ) m 3 = j e l + e 2 f e ( 2 6 2 ) m 4 = k e + j e 2 g e ( 2 6 3 ) m 5 = l e + j e 2 h e ( 2 6 4 ) n=(f-m：m5)。1(2-65) 其中i 为适当维数的矩阵。以上模型包括了决定输出向量在各个基本采样 时刻的值所需要的全部信息。一般说来，可实现的控制器应满足因果约束， 具体在本例中，应要求j e l j 。l 。均为分块下三角阵。另外，我们还可以 用以上状态方程模型来得出系统在基本采样周期及系统周期下的传递函数 特性，具体内容见下节。 2 4广义多采样率数字控制系统的传递函数描述 首先定义系统在基本周期下的z 域算子为z ，而在系统周期下的z 域 算子为z 0 ，即分别有： z = e ” ( 2 6 6 ) 及 z o = e , t o ( 2 6 7 ) 故： z o = z 4 ( 2 - 6 8 ) 在式( 2 5 4 ) 的输出方程两边取z 变换得： y e ( 2 。) = 刚j 。7 _ a “) 。b “+ d c j ) 尺e ( z 。( 2 - 6 9 ) = a ( z o ) r e ( z o ) 其中： 第1 7 页 西南交通大学研究生学位论文 y e ( z o ) = y ( z o ) z o y ( z o 1 l q ) z o y ( z o ，2 1 q ) z o y ( z o ，q l l q ) 而外部输入向量飞( 舸j ) 的z 变换则为 尺e ( z 。) = r ( z o ) z o r ( z o ，l l q ) z o r ( z o ，2 1 q ) z o r ( z o ，q l l q ) ( 2 7 0 ) ( 2 7 1 ) 注意式( 2 - 7 0 ) 和( 2 - 7 1 ) 中所给出的量分别是系统输出向量y ( 帆) 及 输入向量r ( k t 。) 的z 变换以及广义z 变换【1 7 】。定义式( 2 6 9 ) 的传递函 数矩阵为： a ( z o ) = 刚( z o )a q 2 ( z o ) 口口( z o ) ( 2 7 2 ) 由式( 2 6 9 ) 一( 2 7 2 ) 可得系统输出y ( k t 。) 的广义z 变换为： y ( z 。) = a u ( z o ) 尺( z o ) + z o a u + 1 ( z o ) 尺( z o ，j q ) ( 2 7 3 ) 其中： y ( z o ，i q ) = z ，a 1 1 ( z o ) 尺( z o ) + f “，“( z o ) 尺( z o ，j q ) ( 2 7 4 ) 进一步可得【1 8 1 ： y ( z ) - y ( z o ) + 蔷q - 1 z ，字牝。( 2 - 7 5 ) 将式( 2 7 3 ) 和( 2 7 4 ) 代入( 2 7 5 ) 可得输出向量y ( 舸) 的在基本速率 t 下的z 变换为： 第1 8 页 西南交通大学研究生学位论文 口一1 口 y(z)。萎善zq-j+iaji+l(zo)尺(z0,0 叫纠。 ( 2 - 7 6 ) k _ 1 ” 其中： r ( z o ，0 ) = z - q r ( z 。) = z o r ( z o ) ( 2 7 7 ) 多速率系统的闭环极点即为矩阵a 。的( n + n 。) 个特征值。矩阵a 。的结构 如下： 九= ( 2 7 8 ) 其中各予矩阵u j ，_ ，嵋及z ，分别为n x ，7 ，n 门。，n 。，7 及仃。门。维 j = 1 , 2 ，q 。因此这( n + n 。) 个闭环极点为以下方程： 瞄一u 。i i z 。一z 。一嵋( z 。i u 。) 一1 k 卜0 ( 2 。7 9 ) 的根。上式中i 表示求行列式。容易看出上式中没有包括位于原点的 ( n + n c ) ( q 一1 ) 仑极点，因为它们是不可观的，这是由于为了建模的方便， 在闭环模型( 2 5 4 ) 中也包括了其状态变量在非系统周期时刻的采样值。 第1 9 页 屹； o0 0o 叱； 0；0 o；0 乙乙乙 o ；0 o：d 嵋： 0，：0 0；0 西南交通大学研究生学位论文 第三章m r i c 系统的鲁棒稳定性 3 1鲁棒控制简介 经典的反馈控制系统设计需要己知被控对象的精确模型( 包括模型的 结构和其中所含的参数) ，但在工程实际中这一点往往很难办到。由于被 控对象的复杂性，常常要用低阶的线性定常集中参数模型来代替实际的高 阶的非线性时变参数系统。这样势必要引入系统模型的不确定性。另外， 除了数学模型不精确以外，在控制系统的运行过程中还会出现环境变化、 元件老化等问题。因此，在控制系统的设计过程中一个不可避免的问题是： 如何设计控制器，使得当一定范围的参数不确定性及一定限度的未建模动 态存在时，闭环系统仍能保持稳定并保证一定的动态性能品质。这样的系 统我们称它具有鲁棒性。关于系统鲁棒稳定性的各种文献在国内外刊物上 都屡有发现 1 9 - 2 2 l 。 研究系统鲁棒性离不开系统的不确定性。为了便于研究我们通常要 用一定的数学模型对系统不确定性进行刻划。在控制系统中，常见的不确 定模型有以下几种： 1 ) 随机模型这种不确定性可以用某种随机分布( 例如高斯正态分布) 来描述，在许多关于随机控制的专著中对这种不确定性都有详细的讨论 1 2 3 】。 2 ) 统计模型这种模型与上一种很相近，两者的区别在于统计模型是 建立在抽样实验的基础上的。由于实验的次数和样本的长度都受到限制， 而且实验过程往往会受到随机干扰的影响，我们只能得到不确定因素的估 计值及其统计特性( 如期望、方差等) 。这种模型通常是根据实验数据用 回归的方法得到的，因此也称做回归模型。自适应控制是这种不确定系统 的最主要的控制方法 2 4 , 2 5 】。 3 ) 模糊不确定模型这种模型通常可用来描述由自然语言而产生的不 确定性，如“远大于4 ”，“接近1 0 ”等等。描述这种不确定性的方法一 般是定义某个集合而假