（电力系统及其自动化专业论文）基于可信域内点法的最优潮流问题研究.pdf

a b s t r a ( 了 as t u d yo no p t i m a lp o w e rf l o wp r o b l e mb a s e d o nt r u s t - r e g i o ni n t e r i o rp o i n tm e t h o d a b s t r a c t s t u d yo fo p t i m a lp o w e rf l o wp r o b l e m s ( o p f ) ，c o m b i n i n gt h e e c o n o m i c d i s p a t c hw i t ht h es e c u r i t ys u p e r v i s i o np e r f e c t l y , h a sr e s u l t e df r o mp o w e rf l o w c a l c u l a t i o na n dc l a s s i c a le c o n o m i cd i s p a t c h t h es t r o n g l yc o n v e r g e n t ， p o l y n o m i a l - t i m ei n t e i o rp o i n tm e t h o di s ap o t e n t i a l l yp o w e r f u lo n ea m o n g m a n yt o o l sf o ro p eh o w e v e r , t h eg l o b a la s t r i n g e n c yo ft h ei n t e r i o rp o i n t m e t h o df o rn o n c o n v e xp r o b l e m si sd o u b t f u lt h e o r e t i c a l l y w i t i lt h ep e r s i s t e n t d e v e l o p m e n to ft h ep o w e rs y s t e m ，o p fm e t h o d sa r ei n c r e a s i n g l yb e c o m i n g d i f f i c u l ta n dn o n c o n v e xo n e sa m o n gt h el a r g e s c a l en o n l i n e a rp r o g r a m m i n g a l g o r i t h m t r u s t - r e g i o na n d l i n e - s e a r c hm e t h o d sa r et w os t r a t e g i e st oe n s u r et h e g l o b a lc o n v e r g e n c y o f t h eo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m c o m b i n i n gt h ei n e r i o rp o i n t m e t h o dw i t ht r u s t - r e g i o no r1 i n e s e a r c hm e t h o d h a sb e c o m eaf a s h i o ni nt h e m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g l n i sp a p e rd e a l sw i t ht w ok i n d so fo p fm e t h o d sb a s e do nt h em o d e m i n t e r i o rp o i n tm e t h o d f i r s t l y , a l li m p r o v e dt r u s t - r e g i o n i n t e r i o rp o i n tm e t h o di sp r e s e n t e d t 【1 i s m e t h o dn e e d n tc o o p e r a t ew i t hp o w e rf l o wc a l c u l a t i o nt oe n h a n c et h ec u r r e n c y t r a i ta n di n t r o d u c e sap a r a m e t e rv a r i a b l ei n t ot h et m s t - r e g i o ns u b p r o b l e mt o i n s u r et h ec o n t i n u i t y ；m e a n w h i l e ，t h em o d e lo ft h et r u s t - r e g i o ns u b p r o b l e mi s i m p r o v e dt oh e i g h t e nt h ep r e c i s i o no ft h ec a l c u l a t i o na n dt h et o l e r a n c e sa r e a d j u s t e dt os p e e du pt h ec o m p u t a t i o n ；n em o d e mi n t e r i o rp o i n tm e t h o di s u s e dt or e s o l v et h et r u s t - r e g i o ns u b p r o b l e ma n dar e d u c e dc o r r e c t i o ne q u a t i o n i sd e r i v e dt or e d u c et h ee x p e n s e so ft h ec o m p u t a t i o n t w ok i n d so fo p f p r o b l e m sa r er e s o l v e db yt h ei m p r o v e da l g o r i t h m n u m b e r i c a lc o m p u t a t i o no n i e e et e s ts y s t e m st h a tr a n g ei ns i z ef r o m1 4t o3 0 0 ，h a ss h o w nt h ec o r r e c t n e s s a n dv a l i d i t yo f t h em e t l l o d m a i nf a u l to f t h em e t h o di st h a tb o t ht h es p e e da n d p r e c i s i o no f t h ep r o p o s e dm o t h o d a r en o ts a t i s f a c t o r yi nl a r g es c a l es y s t e m s 1 1 a b s t i t a c t s e c o n d l y , t h em o d e mi n t e r i o rp o i n tm e t h o db a s e d0 1 1l i n e s e a r c hs t r a t e g yi s p r o p o s e d n a m e l y , t h eo p t i m a ls t e ps i z ea c c o r d i n gt os o m ek i n do fm e r i t f u n c t i o ni sa s c e r t a i n e dd u r i n ge a c hi t e r a t i o no ft h em o d e mi n t e r i o rp o i n t m e t h o d 0 p fi sf o r m u l a t e di nr e c t a n g u l a rf o r ma n da l lt h ek k tc o n d i t i o n so f t h ep r i m a lp r o b l e m sa r ea d d e du pt og e tt h em e r i tf u n c t i o nw h o s e e x p r e s s i o ni s aq u a r t i cp o l y n o m i a lo nt h es t e ps i z e ；aq u i n c u n x - q u a r t i ci n t e r p o l a t i o ni s a d o p t e dt of i g u r eo u tt h ea n a l y t i ce x p r e s s i o no ft h em e r i tf u n c t i o na n dt h e c a r d a n - m e t h o di su s e dt ow o r ko u tz e r o e so ft h ed e r i v a t i v e so ft h ee x p r e s s i o n , a c c o r d i n g l y , t h eo p t i m a ls t e ps i z ei sa t t a i n e d f o u rk i n d so fo p fp r o b l e m sa r e r e s o l v e db yt h em e t h o d a c o m p l e t es u r v e y0 1 1i e e es y s t e m so f4t o3 0 0b u s e s a n dn s y s t e mo f1 0 4 7h a ss h o w nt h a tt h ea l g o r i t h mi sf a s t a n o t h e ra d v a n t a g e o ft h em e t h o di st h a ti tn e v e rv o l a t i l i z e sd u r i n gt h ec o m p u t a t i o na n daj u d g i n g s i g nw h e t h e rt h er o o to ft h e0 p fp r o b l e me x i s t si sp r o v i d e dt h r o u g ht h e s i t u a t i o nw h e r et h eo p t i m a ls t e ps i z ei s i n c l i n i n gt o z e r ou n d e rs o m e c o m p u t a t i o n a lc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：o p t i m a lp o w e rf l o w ；i n t e r i o rp o i n tm e t h o d ；n o n c o n v e x ；t r u s t - r e g i o n ； l i n e s e a r c h i l l 主要符号说明 a o , ，a f j ，a 2 t e 。， o ，d 岛 s c z s 6 s r ( ，( ) ，( 工) ( x ) ，g ( 工) ，u y ，z ，j ，w ，雨 l u ，z ，矿 p 声 v f ( x ) ，v h ( x ) ，v g ( x ) v 2 ，( x ) ，v 2 ( x ) ，v 2 9 ( 功 a x ，a y , a t ，a u ，a z ，a w s t e p e ，a t e p o 主要符号说明 ：火电厂i 的燃料费用系数 ：节点i 电压的实部和虚部 ：节点导纳矩阵第f 行第_ ，列元素的实部和虚部 ；节点f 的可调有功、无功电源 ：节点j 的有功、无功负荷 ：连接f 节点和_ ，节点之间的支路 ：支路o ，d 的有功功率 ；约束线路集合 ：发电机和无功源集合 ：不等式约束上下界 ：目标函数 ：等式、不等式约束函数向量 ：松弛变量向量 ：拉格朗日乘子向量 ：以，“，z ，w 为对角元的对角矩阵 ：单位向量 ：扰动因子 ：( x ) ， ( x ) g ( x ) 的梯度 ：( x ) ，厅 ) ，g ( x ) 的海森阵 ：迭代修正量 ：最大原始、对偶步长 1 v 主要符号说明 七。 a c t 以 m ( 功，4 ( x ) m k ，a k r 尸， s ，s l 五，五，五 h m a x f i p m f t r 鲈( ) 矿 ) ， ) ：最大迭代次数 ：中心参数 ：互补间隙 ；第k 次迭代可信域半径 ：第k 次迭代位移量 ：原函数、近似函数的评价函数 s 评价函数的真实下降量、近似下降量 t 近似系数 t 修正子问题、评价函数的惩罚系数 ：外、内层收敛精度 ：可信域半径调整系数 ：等式约束的最大不平衡量 ：内点法、可信域法求得的目标值 ：内点法、可信域法求得的目标值百分比 ：步长表达式 ：步长表达式的插值多项式 v 第一章绪论 第一章绪论 1 1电力系统最优潮流 电能是当今社会中最重要、最方便的能源。“经济发展，电力先行”，随着国家工 业化、现代化程度以及人民生活水平不断提高，电力工业在国民经济中的地位越来越 重要。 电力系统最优潮流问题( o p t i m a lp o w e rf l o w - o p f ) 是电力系统运行的重要组成部 分，它关系到系统运行的经济性、安全性及电能质量。o p f 就是当系统的结构参数及 负荷情况给定时，通过控制变量的优选，确定能满足所有指定的约束条件，并使系统 的一个或多个性能指标达到最优时的潮流分布，其目的就是要在保证安全，高质运行 的前提下实现电力系统的最优运行问题。数学规划和最优控制在理论上的发展以及计 算机的广泛应用大大推动了该问题的研究和应用。 1 i 1 最优潮流研究背景 2 0 世纪6 0 年代以前，人们对于o p f 问题研究的目的仅局限于提高系统运行的经 济性，随着电力系统规模不断扩大，对系统运行安全性和电能质量的要求也日益提高， 将运行的经济性和安全性、电能质量等要求加以协调统一，从而决定全系统的运行方 式，成为电力系统最优运行问题的重要内容【l 】。8 0 年代以来，在世界范围内进行的电 力市场化改革，又将电力系统运行的经济性提升到了一个新的高度，给o p f 研究带 来新的动力，电力市场环境下，适时电价、辅助服务定价、输电费用计算、网络阻塞 管理、可用传输容量估计等难以解决的的工作，都需要以o p f 作为其理想的研究工 具，同时，对其算法提出更高的要求【2 i 。 除了电力系统运行的需要，电力系统基本潮流计算和经典经济调度也为o p f 研 究奠定了坚实基础。 1 基本潮流计算 潮流计算可以归结为：针对一定的扰动变量( 负荷情况) ，根据给定的控制变量 ( p q 节点的有功、无功出力，p v 节点的有功出力) 和状态变量( p v 的节点电压模值) ， 第一幸绪论 求出相应的状态变量( 各节点电压模值及角度等) 和待求的控制变量( 平衡节点的有 功、无功出力，p v 节点的无功出力等) ，这样通过一次潮流计算得到的潮流解决定了 电力系统的一个运行状态。这种潮流计算也可以称之为基本( 或常规) 潮流计算。 潮流计算【3 1 的结果主要满足了潮流方程式或变量间等式约束条件，但由此所决定 的运行状态，可能由于某些状态变量或者作为变量的其它函数在数值上超出了它们所 容许的运行限值，即不满足不等式约束条件，因而在技术上并不总是可行。对此，实 际工程中常用的方法是，调整某些控制变量的给定值，重新进行前述的基本潮流计算， 这样反复进行，直到所有的约束条件都能够得到满足为止这样便得到了一个技术上 可行的潮流解。 由于系统的状态变量及有关函数的上下限值间有一定的间距。控制变量也可以在 一定的容许范围内调节，因而对某一种负荷情况，理论上可以同时存在多个能满足要 求的可行潮流解。每个可行潮流解对应于系统的一个特定运行方式，且具有相应经济 上或技术上的性能指标( 如系统总燃料消耗量、总网损等) 。为了优化系统的运行，就 有必要从所有的可行潮流解中挑选出上述性能指标为最佳的一个方案。 这就是本文讨论的最优潮流所要解决的问题。最优潮流和基本潮流有以下不同： ( 1 ) 基本潮流计算中控制变量大部分是事先给定的；而最优潮流中的控制变量则 全部可变待优选。 ( 2 ) 最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约束条件之外，还必须满足与运行 限制有关的大量不等式约束条件，比如电源的功率约束、节点电压的幅值限制及系统 元件的安全运行条件，等等。 ( 3 ) 基本潮流计算求解的是非线性代数方程组，用的是普通的数值计算方法：而 最优潮流计算由于其模型从数学上讲是一个非线性规划问题，因此需要采用数学规划 的最优化方法来求解。 7 -w 。 。p ( 4 ) 基本潮流计算仅具有满足系统各节点正常功率平衡的功能，而最优潮流计算 则能够根据特定目标函数并在满足相应约束条件的情况下，自动优选控制变量，具有 指导系统进行优化调整的决策功能。 2 经典经济调度 电力系统是现代社会中最重要、最复杂的人工复杂大系统之一。它一方面供应着 2 第一幸绪论 社会生产和生活所需的绝大部分能量，而另一方面也消耗了大量的原材料如煤、石油 等。因此，电力系统经济调度问题一直受到电力工程技术人员和学者的重视。所谓经 济调度或经济功率分配，是指将系统的总负荷按一定的策略分配给预先已决定参加运 行的机组，以使全系统的燃料消耗量或费用为最小。 在2 0 世纪2 0 年代，机组间的有功功率分配采用两种策略： ( 1 ) 依次将效率最高的机组优先带负荷至最大容量； ( 2 ) 从效率高的机组开始，依次将各机组带负荷至其最低比热耗点。 实际上，按这两种方法进行机组间的有功功率调度，其效果都不理想，不能达到 经济调度目的。从3 0 年代起，又有专家提出燃料消耗微增率的概念，继而提出了按 照等耗量微增率准则分配负荷的方法由于此方法的研究及应用最早，为区别于更完 善的o p f 方法，通常将它称为经典经济调度方法。基于协调方程式的经典经济调度 方法虽然具有计算方法简单、计算速度快适宜于实时应用的优点，但协调方程式在处 理节点电压越界及线路过负荷等安全约束的问题上却显得无能为力，只能人为干预不 等式约束的处理，因此该方法随着电力事业的发展，系统规模的增大，暴露出越来越 多的弊端f 2 l 。 此外，经典经济调度仅仅考虑系统运行的经济性，没有顾及安全性因素。随着电 力系统不断扩展以及新技术、新措施的运用，系统中各部分的联系越来越紧密，这就 使得事故一旦发生，立刻会波及很大的范田，从而不可避免地造成系统运行的不安全。 1 9 9 6 年美国西部联合电网连续发生两次大面积停电，1 9 6 5 、1 9 6 6 、1 9 7 7 和2 0 0 3 年北 美( 美国东北部和加拿大) 电力系统相继发生的电网崩溃事故，此外，1 9 8 2 年瑞典南 部电网、1 9 8 3 年法国、1 9 8 7 年日本东京电网、1 9 9 9 年新西兰等都发生过大面积、长 时间停电。而类似的大面积停电事故，在世界各地时有发生，使国民经济蒙受巨大损 失。深刻的教训使人们认识到系统安全运行的重要性，也使人们逐步加深了对o p f 问题的研究和讨论。 1 1 2 最优潮流算法研究 建立在严格的数学规划理论基础上的o p f 模型首先由法国电力公司的c a r p e n t i e r 和s i r o u s 于1 9 6 2 年提出，从那以后o p f 问题就成为许多学者关注的热点，至今，对 o p f 算法的研究已经取得了丰硕的成果。近年来，内点法( i n t e r i o r p o i n t m e t h o d i p m l 被引入到电力系统优化问题中，并逐渐发展为现代原始对偶内点理论( p r i m a l d u a l 第一幸绪论 i n t e r i o rp o i n tm e t h o d p d i p m ) 。现代原始对偶内点理论具有多项式时间复杂性、收敛 迅速、鲁棒性强对初值的选取要求不高且处理简单等优点，另外其迭代次数与系统规 模关系不大，便于求解大型问题，因而近年来受到众多学者青睐1 4 ，成为当今非常有 潜力的一类算法。 - 近年来，随着计算机和人工智能等技术的发展，新的方法不断涌现，模拟进化规 划、模糊集理论、模拟退火算法等方法先后被用于电力系统o p f 计算。 总之，从上世纪6 0 年代以来，人们一直在为求解o p f 问题寻求更好的方法，随 着数学规划理论的不断发展，必将涌现出更多、更优秀的o p f 算法。 1 1 3 最优潮流研究意义 电力工业是国民经济的命脉，随着国家工业的逐步发展和人民生活水平的提高， 对电能质量的要求也不断提高。除此之外，从经济角度出发，以降低燃料消耗、减少 生产和输送中的电能损耗从而提高电力系统运行效率为目的的电力系统经济运行，也 一直是电力工业研究的热门话题。 同时，经济和安全也是一对矛盾，在经济运行的同时必须兼顾电力系统的安全性。 电力系统规模的日益扩大以及一些特大事故的发生，使得人们深刻体会到不能脱离安 全可靠的要求，单纯去追求经济效益，从而把电力系统运行安全性问题提到一个新的 高度上来加以重视。因此，人们越来越迫切要求将经济和安全问题统一起来考虑。 o p f 问题就是基于上面的要求，综合体现了电力系统运行的经济性、安全性和电 能高质量，因此，o p f 从其诞生之日起，便是一个有前景的发展领域，受到广泛关注。 o p f 指在满足各节点正常功率平衡及各种可靠性不等式约束条件下，求以发电费 用( 或耗量) 或网损最小为目标的潮流分布，它是数学规划的最优化方法在电力系统的 运用，相对于经典经济调度方法来说，它具有统筹兼顾、全面规划的优点，不但考虑 系统有功负荷而且考虑无功负荷的最优分配；不但考虑各发电单元的有功上、下限， 。还考虑各发电单元的无功上、下限，并兼顾各节点电压幅值的上、下限等；为进一步 反映系统可靠性限制，还可以考虑联络线功率限制，节点间的功角差限制垆】，等等。 可见，以数学规划问题作为基本模式的o p f 能够在模型中引入所有能表示成变 量或变量函数的各种不等式约束，能够将电力系统对于经济性、安全性以及电能质量 三方面的要求统一起来，将可靠性运行和最优经济运行的问题，用统一的数学模型来 表述，从而把经济调度和安全监控完美结合起来。 4 第一幸绪论 1 2 最优潮流研究现状 1 2 1 国外研究现状 自从法国电力工程师c a r p e n t i e r 提出基于严格数学规划的o p f 问题模型以来，该 问题的研究一直是一个具有吸引力和挑战性的课胚，广大学者对其进行了大量的研 究，除了提出由于目标函数和约束条件不同而构成应用范围不同的o p f 数学模型之 外，更多的是从改善算法的收敛性能、提高计算速度等目的出发，提出了o p f 计算 的各种方法，取得了不少成果，其i 、日j 应用于o p f 的最优化方法主要有逐次线性规划 ( s u c c e s s i v el i n e a rp r o g r a m m i n g - s l p ) 方法、序列二次规划( s e q u e n t i a lq u a d r a t i c p r o g r a m m i n g - s q p ) 方法、非线性规划的简约梯度法和牛顿法等【6 l 。 1 9 8 4 年，美国贝尔实验室的k a r m a r k a r 博士针对线性规划问题的求解，首先提出 了一个具有多项式时间复杂性的线性规划内点法，他声称该算法的求解时间比传统的 单纯形法快5 0 倍左右；1 9 8 6 年美国斯坦福大学的g i l l 等人证明了k a r m a r k a r 投影算 法和n e w t o n 障碍法具有等价性，于是内点法被推广应用于非线性规划领域，很快成 为优化算法领域内备受关注的热点。 内点法直到上世纪9 0 年代才开始应用到电力系统优化计算中，1 9 9 2 年m o m o h 等人第一次将其用于o p f 问题研究，用实例证明了该方法的优良特性，从此内点法 4 套o p f 领域中脱颖而出，成为研究热点。迄今，内点法所涉及的领域主要有最优潮 流、状态估计、水火电力系统协调、最大载荷能力计算、电压崩溃点和可靠性计算， 等等内点法的主要缺点是不能准确处理离散变量问题，对于非凸的非线性规划问题 也不具有全局收敛性。 9 0 年代以来，随着计算机和人工智能等技术的发展，模拟进化规划方法、模糊 集理论、模拟退火算法等人工智能方法先后应用于电力系统o p f 问题。模拟进化规 划方法主要包括进化规划和遗传算法，它是模仿生物进化过程得到的一类优化方法， 其主要特点是擅长处理离散变量，具有全局收敛性、并行处理性、通用性及鲁棒性： 模糊集理论适合于解决具有可伸缩约束的多目标优化问题：模拟退火算法足通过模拟 金属退火过程来寻优的一种算法，该算法原理简单，可以得到全局最优解。人工智能 方法解决了寻找全局最优解的问题，能精确处理问题中离散变量，但由于此类方法均 属于随机搜索方法，其先天缺陷是计算速度慢，难以适应在线计算及电力市场的要求。 总的来说，虽然这些方法在o p f 领域一度产生过辉煌的成果，但都不能圆满解 第一章绪论 决电力系统o p f 问题，主要原因有下面几点： 1 o p f 问题的特殊性：多目标，多变量，多约束，高度非线性，非凸性等； 2 现有各种优化算法自身的缺点和局限性； 3 电力系统不断发展，如规模的扩大，电力市场化以及对电力系统运行及电能 质量要求的提高，等等。 简言之，现有的优化算法无法兼顾最优问题的特殊性和电力系统的发展要求，并 且无法从根本上克服自身的局限性，如何提高o p f 问题求解的速度和可靠性还有待 于进一步的研究和探索 1 2 2 国内研究现状 众所周知，电力系统中的许多研究课题都涉及到优化算法，如传统的电力系统规 划、经济调度、检验计划和控制器的设计，等等。随着我国电力系统快速发展及电网 规模不断扩大，对电力系统经济安全运行的要求也越来越高。特别是近年来，世界范 围内的电力工业改革，建立了各种形式的电力市场，在这种新的形势下产生了一系列 经济性和技术性相互制约的优化问题。为此，国内许多学者应用了一系列基于o p f 的优化算法来解决大规模电力系统以及电力市场环境下的优化问题。采用过的方法所 涉及的传统数学规划方法有线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划，网络方法 等。近年来，更是对一些现代优化算法抱以极大的热情和希望，包括禁忌探索、模拟 退火、遗传算法、人工神经网络、随机优化、模糊规划、拉格朗日松弛算法以及多代 理技术等，涌现了许多优秀的成果。 原始对偶内点法是解决o p f 问题的新一代算法。它很好地继承牛顿法的优点， 在处理o p f 问题不等式约束以及迭代收敛方面显现出较明显的优势。文献【7 】、【8 】提 出将原始对偶内点法应用于大型水火电力系统o p f 问题的算法及程序实现；文献【9 】 基于原始对偶内点法提出了解决电压稳定临界点的算法；文献【l o 】建立了基于时域计 算的含多个预想故障暂态稳定约束的o p f 模型，并与原始对偶内点法相结合形成了 新的算法。 内点法的主要缺点是不能准确处理离散变量问题，对于非凸的非线性规划问题也 不具有全局收敛性，目前国内已有学者将内点法与其它方法结合来求解o p f 问题。 就目前来讲，对于求解含离散变量的整数规划问题有割平面法、分支定界法和b e n d e r s 分解法等，文献【1 1 】和【1 2 】分别尝试了将内点法与分支定界法、割平面法相结合求解 6 第一幸绪论 o p f 问题，取得了令人满意的效果。文献【6 】将可信域方法( t r u s t - r e g i o n a l g o r i t h m t r a ) 和内点法相结合提出一种新的基于可信域内点法( t r u s t r e g i o n i n t e r i o rp o i n t m e t h o d t r i p m ) 的o p f 算法，对较大规模实际系统的计算结果表明，该算法具有较 高的稳定性和快速收敛性。 总之，近年来国内学者在o p f 问题研究领域做了大量的工作，取得了丰硕成果， 。徽至所述仅见一斑。 1 3 课题研究目的 电力系统o p f 问题在数学上可描述为一个复杂的非线性规划问题，要求在满足 特定的电力系统运行和安全约束条件下，通过调整系统中可利用的控制手段实现预定 目标最优的系统稳定运行。迄今，o p f 问题的应用领域已十分广泛，针对不同的需要， o p f 模型可以选择不同的变量、不同的目标函数及不同的约束条件。o p f 模型可以 用简洁的数学形式统一描述如下： m i n ，( 力 j j 厅( 工) = 0 ( 1 - 1 ) g s g ( 吾 式中，x 为决策变量，包括发电机有功出力、无功出力、变压器变比、节点电压幅值 和相角等；f ( x ) 是标量目标函数，在电力市场环境下常为系统购电成本或网损；h ( x ) 是潮流方程或其他等式约束；g ( x ) 是不等式约束，分为变量不等式和函数不等式， 常为系统的安全约束和元件的运行限值约束。 由于电力系统规模日益扩大，其节点数可以成百上千，所以o p f 计算模型中包 含的变量数及等式约束方程数极大，至于不等式约束的数目则更多，变量之间又存在 着复杂的函数关系，这些因素都导致o p f 计算跻身于极其困难、非凸的大规模非线 性规划行列【1 】。虽然经过了4 0 多年的努力，寻找能够快速有效地求解各种类型的大 规模o p f 问题的方法，对广大研究者来说，仍然是一个巨大的挑战。 8 0 年代k a r m a r k a r 提出内点法，随后g i l l 等人将内点法研究引向j 线性舰划领域。 9 0 年代初，m o m o h 等人将内点法应用于o p f 问题求解中，掀起了内点法在o p f 领 域的研究热潮。内点法众多变型中，原始对偶内点方法具有优良的局部收敛性能 1 1 3 - 1 5 l ，但它的主要缺点是不能准确处理离散变量问题，对于非凸的非线性规划问题也 不具有全局收敛性，目前有很多学者将内点法与其它方法结合有效求解o p f 问题， 7 第一章绪论 并得到满意的计算效果。 内点法在求解非凸问题时，其收敛性能在很大程度上受到以下几个因素制约1 1 6 j ： 1 处理非线性等式约束的措旅； ， 2 加速迭代收敛的措施； 3 求得牛顿方向的线性方程及其相应的求解方法； ” 4 对最优化问题非凸性的处理。 可信域方法或信赖域方法，又称为限制步长法，是近年兴起的一种新方法，该方 法可以看作是对线性搜索方法和牛顿型方法的发展。数学规划理论已经证明了可信域 方法具有良好的收敛性和有效的计算性；可信域方法另一优点是，该方法在求解非凸 问题时表现出独特的优良性能。 如何高效求解可信域予问题是该方法最关键的部分，以前所使用的方法通常仅能 求出它的局部最优解，从而造成理论结果和实际计算不匹配。为克服这一困难，人们 尝试把内点法与可信域方法结合起来求解优化问题，从而得到一类称之为可信域内点 法的方法。目前，将可信域、线性搜索技术或者两者结合起来，有机地融入到内点法 中，构造更加可靠的算法，是内点法的重要发展【l 6 】。 本文就是要研究可信域内点法，并将其应用于o p f 问题计算。 、 1 4 本文主要工作， 本文将现代内点法【4 l 和可信域、线性搜索方法有机结合，提出两种求解o p f 问题 的新算法： 1 改进的可信域内点方法 ， o p f 研究涌现出的众多成果中，逐线性规划( s l p ) 具有不需形成海森阵、收敛精 度处理灵活等特点，在当时求解非线性规划问题的计算方法有限的情况下，曾经获得 ”非常广泛的研究1 1 7 1 9 1 。s l p 存在步长约束与近似模型拟合程度及算法收敛速度配合困 难的问题，采用动态步长约束方法【1 哪可以克服这一困难，但这种处理缺少严格数学理 论支持，算法通用性受到限制。文献 6 】基于可信域思想2 0 1 解决s l p 的步长调整问题， 开创性提出一种可信域内点算法，并成功求解了电力系统最小有功网损问题。 本文在文献【6 】算法基础上，提出一种改进的可信域内点算法。将参数变量引入 到可信域子问题模型中提高计算的稳定性，并且可以确保计算的连续性，这是改进方 8 第一幸绪论 法的核心工作。用改进算法求解目标函数由控制变量构成的两类o p f 问题( 系统总发 电量和总发电费用) ，在i e e e l 4 3 0 0 测试系统进行数值实验。 本文研究工作旨在提高内点法求解o p f 问题时的收敛可靠性。 2 基于线性搜索的现代内点方法 现代内点法的实质就是用我们熟知的牛顿法求解o p f 原问题的k k t 条件表达 式，得到迭代方向，并在迭代中运用步长限制，使所有迭代点满足转化后的简单不等 式约束( 称这样的点为内点) ，直至达到收敛条件。 线性搜索方法中，选择合理的评价函数是很重要的环节。带最优因子的牛顿法潮 流计算，将待求解的功率平衡方程式的平方项相加，得到作为评价新点好坏依掘的评 价函数，这给我们在内点法中寻求新的评价函数提供重要启迪。基于这种思想，本文 在现代内点法每次迭代中，按照某种评价函数进行线性搜索，确定最优步长，构造新 的算法，并用新方法求解四种目标函数的o p f 问题，在i e e e 4 - 3 0 0 和n 1 0 4 7 测试系 统进行数值实验。 理论上，可信域和线性搜索是提高最优化方法总体收敛特性的两类技术。因此， 本文所提出的算法可以提高内点法收敛的可靠性。 9 g _ - 幸电力系统最优潮流算法 第二章电力系统最优潮流算法 2 1 最优化方法数学基础 最优化理论和方法是- f - j 应用性很强的年轻学科。它研究的是数学上定义的某些 问题的最优解，即对于给定的实际问题，从众多的方案中选出最优方案【2 1 1 虽然最优化思想可以追溯到十分古老的极值问题，然而，它成为一门独立学科的 标志，却是在本世纪4 0 年代末，1 9 4 7 年d a n t z i g 提出的求解一般线性规划问题的单纯 形方法。现在，关于解最优化问题的理论研究发展迅速，新方法不断涌现。在电子计 算机的推动下，最优化理论与方法在经济计划、工程设计、生产管理、交通运输等方 面得到了非常广泛的实际应用，成为一门十分活跃的学科。 2 1 i 最优化问题基本概念 最优化问题的一般形式为 m i n f ( 功 s t q ( 力= 0 ，f e( 2 1 ) c 。o f i 其中，工是决策变量，八功是目标函数，q ( 力是约束函数。e 和j 分别是等式、不等 式约束的指标集，e 和，的交集构成最优化问题的可行域。当目标函数和约束函数均 为线性函数时，则称式( 2 一1 ) 为线性规划问题；反之，如果在这些函数中至少有一个是x 的非线性函数，则称式( 2 1 ) 为非线性规划问题。此外，根据决策变量、目标函数和要 求的不同，最优化还分成了整数规划、动态规划、网络规划、非光滑规划、随机规划、 几何规划、多目标规划等若干分支 ， ，2 1 2 最优化方法基本步骤 现实生活中，大量的最优化问题都不能给出问题的显式表达式，因此，求解最优 化问题一般用迭代的方法。尽管最优化问题的类型和求解的方法千差万别，但所有的 算法都具有下述的基本迭代格式： s t e p l ：给定初始x o ，令七= 0 ； 1 0 第二章电力系统最优潮流算法 s t e p2 ：确定一个改善x 。的搜索方向巩； s t e p3 ：决定步长口女或最优步长( ) ； s t e p 4 ：得到最优解的一个更好估计扎“= 以+ 吼d t 或+ i = 以+ 口“。) 以； s t e p 5 ：进行收敛判断，如已收敛，则吒。便是最优解。停止计算，否则到下一步： s t e p6 ：令t = e + 1 ，返回s t e p 2 。 从上面的解算过程可以看出，在多变量函数最优化问题算法中，基本迭代格式为 x k + = 以+ 嘶d 。，因此，求解的关键问题在于如何决定搜索方向矾和步长吼。而根据 不同的原则选取不同的搜索方向，就可得到各种不同的算法。 2 1 3 最优化方法基本性质 由上节求解最优化问题算法的基本迭代格式，可见每种最优化算法都涉及初始点 的选取、迭代点好坏的判定、迭代的终止条件和收敛速度、以及最重要也是最关键的 修正量的确定，这些就是最优化方法的基本性质，下面对这些内容分别加以简单讨论。 1 初始点的选取 初始点的选取局限于算法的收敛性能。一个算法如果对于任意给定的初始点都能 够收敛，就说这个方法全局收敛或整体收敛；若只有当初始点接近或充分接近最优解 时才有收敛性，称这样的算法为局部收敛的方法。因此，对于全局收敛的算法，初始 点的选取可以没有任何的限制，而对于局部收敛的算法，则要求初始点尽可能接近最 优解。然而由于最优解是未知的，选取一个好的初始点也是一个困难的问题，对于大 量实际的最优化问题，可以从以前的实践经验确定合适的初始估计。 2 迭代点好坏的判定 在最优化方法中，一般要选用一个评价函数( m e r i tf u n c t i o n ) 束评价一个迭代点的 好坏。对于无约束最优化问题，由于没有约束条件，通常就用目标函数f ( x ) 作为评价 函数；对于约束优化问题，采用的评价函数一般要兼顾目标函数和约束条件。 3 迭代的终止条件 迭代的终止条件在不同的最优化算法中是不同的。设有向序列i x 。) c r ”收敛于 矗，一个理想的算法终止准则为：0 屯一x o 临f ，然而由于矗是未知的，这样的准则 并不具有实用价值，实际中常采用此准则的一个估计：i ih + 一h 临占作为算法的收敛 准则。 第二幸电力系统最优潮流算法 同样，用评价函数值序列来确定终止条件，也是一个相当有效的办法而在原始一 对偶方法中，往往采用对偶间隙值作为算法的终止准则。 。 4 迭代的收敛速度 迭代速度是迭代方法的又一重要性能指标，如果存在常数c 和，使下式成立： ! i 罂将生二掣= c ( 2 - 2 ) h * 0 - - x 旷 则序列k ) 以c 为因子，阶收敛于矗且在( 2 2 ) 式中：， ( 1 ) 当，= 1 , 0 0 的 区域内达到极小值的口数值。如图2 1 所示。 设妒缸) = f ( x k + 峨) ，这样，从坼出发，沿搜索方向嘶，确定步长因子吼，使 伊( 听) 妒( 0 ) 的问题就是关于口的线性搜索问题。理想的方法是求得吼，使目标函数 沿方向矾达到极小，即使得： 第二章电力系统最优潮流算法 0吒g k ( o p l ) 图2 1 最优步长示意图 f i g 2 - 1s k e t c hm a po f t h eo p t i m a ls t e ps i z e f ( x k + 口t 矾) = r a 。，o i n f ( x k + 拓矗) = m 。i n k “( 口) ) ，或；伊( 口t ) = m 。i n 0 是用户可接受的，则称 这样的一维搜索为近似一维搜索，或不精确一维搜索。 2 2 最优潮流数学模型 o p f 模型1 2 1 是在以下前提条件下提出的： 1 各火电( 核电) 投入运行的机组已知( 不解决机组丌停问题) 。 2 各水电机组的出力己定( 由水库经济调度确定) 。 一 3 电力网络结构确定( 不受接线方式影响，不考虑网络重构问题) 。 o p f 问题在数学上是一个带约束的最优化问题，其中主要构成包括变量集合、目 标函数和约束条件，采用不同的目标函数并选择不同的变量，再与相应的约束条件相 结合，就可以构成不同应用目的的o p f 问题，现在分别介绍如下。 2 2 1 最优潮流变量类型 o p f 模型中，交鼍主要分为两大类：一类是摔制变量，通常包括各火( 核) 电机组 有功出力、各发电机同步补偿机无功出力；移相器抽头位置，可调变压器抽头位冒、 并联电抗器电容器容量；在某些紧急情况下，水电机组快速启动、某些负荷的卸载也 可以作为控制的手段。另一类是状态变量，即控制变量的因变量，通常包括各节点电 压和各支路功率。 第二幸电力系统最扰潮流算法 2 2 2 最优潮流目标函数 最优潮流有各式各样的目标函数，最常用的形式( 本文的电压交量均采用直角坐标 形式) 有以下四种： 、 1 系统最小发电量 r a i n 兄 e s g 2 系统最小发电费用 r a i n ( 口2