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硕士论文 基于期望收益辜排序信息的投资组合选择 ab s t ra ct t h e s t u d y o f t h e o p t im a l p o rt f o l i o m o d e l h a s b e e n v e ry p r o f o u n d a n d w i d e s p r e a d i n m o d e m p o r t f o l i o t h e o ry , h o w e v e r , t h e r e s e a r c h o f t h e p r o b l e m t h a t h o w t o m a k e t h e p o rt f o l i o s e l e c t i o n w h e n l a c k i n g o f t h e r e a l n u m b e r o f t h e e s t i m a t i o n o f e x p e c t e d r e t u rn s , j u s t h a v in g t h e s o rt i n g i n f o r m a t i o n , i s r e l a t i v e l e s s f i r s t , t h e p a p e r g i v e s t h e r e a l i s t i c r e a s o n o f t h e s o rt i n g i n f o r m a t i o n o f t h e e s t i m a t i o n o f e x p e c t e d r e t u rn s , a n d g i v e s a n e x a m p l e t o s h o w h o w t o g e t t h e e f f i c i e n t p o rt f o l i o s . s e c o n d , t h e p a p e r g i v e s a e m p i r ic a l t e s t t o c o m p a r e t h e c e n t r o i d o p t i m a l p o rt f o l i o s e l e c t i o n m e t h o d a n d t h e ma r k o w i t z p o rt f o l i o s e l e c t i o n m e t h o d , t h i s e m p i r i c a l t e s t a l s o c a n b e r e g a r d e d a s t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e c e n t r o i d o p t i m a l m e t h o d i n h o m e m a r - k e t a t t h e e n d , u n d e r t h e c o n s t r a i n t o f t h e l o s s o f n e t r e t u r n s , t h e p a p e r s t u d i e s a s a f e - fi r s t p r o b l e m o n t h e b as i s o f t h e c e n t r o i d , a n d g i v e s t h e e x i s t e n c e o f c o n d i t i o n s o f t h e o p t i m a l s o l u t i o n . t h i s r e s u l t i s a n a t u r a l e x t e n d o f t h e c l a s s i c a l t s f mo d e l k e y w o r d s : p o rt f o l i o , e s t i m a t e s o f e x p e c t e d r e t u rn s , s o rt i n f o r m a t i o n , s a f e - f i r s t , 声明 本学位论文是我在导 师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以 标注和致谢的 部分外， 不包含其他人已 经发 表或公布过的 研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的 材料。 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明确的说明。 研 究 生 签 名 权 1 1葬 w 年 月 7日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学 位论文的电 子和纸 质文档， 可以 借阅 或上网 公布本学位论文的全部或部分内 容， 可以向有关部门 或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。 对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研 究 生 签 名 : 一 支 ; 年 j a 7 日 硕士论文基于期望收益率排序信息的投资组合选择 1引言 1 . 1 理论背景 现代经典 金融理论 ( 包括资产组 合理论， 市 场有效性理论， 资产 定价理论， 套利 定价理 论) 都假设 人的 行为是 完全理性的， 因 此人的决 策完全能 够在理性选 择基础上 达到效 用最大化。 同 时， 市场竞争是完 全有效的， 在 市场竞争 过程中 ， 理性的 投资者 总是能 把握住每一个由 非理性的 投资 者创造的套利机 会， 使得非理 性的投资者 不断丧 失财富， 并 最终被市 场所淘汰。 因 此， 能够在市场竞争中 幸存下 来的 只有理性的 投资 者， 证 券市场的 投资行为 是由 理性投资 者主宰。 在这两 个假设前提 下， 经典现 代金融 理论试图 通过最优决 策模型来解释什 么是最 优决策， 通 过描述决策 模型来讨论 投资者 实际的决策过程。其发展过程大致如下: 美国经济学家马柯维茨 ( m a r k o w i t z )于 1 9 5 2 年在 财务学杂志” 上发表了题为 资产 组合的 选择的论文 ， 该 论文中 提出 的资产组合理 论是现代证 券投资理论 发展 的开端， 该理论使 用投资组合的收 益和方差来度量预期回 报和风险 ， 并 在此基础 上进 行组合 选择， 以实 现投资组合的收 益最大化或风险最小 化， 即 著名的 均值一方差模型 ( m -v 模型) ， 本人也因 此获得了 诺贝尔经济学奖。 托宾 ( j a m e s t o b i n ) 1 9 5 8 年在 经济研究评论杂志 上发表了 作为 处理 风险 行为的 流动性偏好 一 文， 阐述了 他对 风险收 益关 系的理解， 他意识 到马柯维茨的 模 型有缺 欠， 马柯维茨 假定投资者 在构筑投资组合时是在 风险 资产的 范围内 选择， 没 有 考虑无 风险资 产和现 金， 实际 上投资者 会在持 有风险资产的同 时持有国 库券等低 风险 资 产和 现金。 因此， 他 得出的 结论是: 各种风险资 产在风险资 产组合中的比 例与风险 资产组 合占 全部投资的比 例无关。 托宾的 理论使证券投资的 决策分 析方法更深 入， 也 更有效率。 威廉 夏普( s h a r p e , w . ) 和林 特纳( l i n t n e r , j . ) 分别 于 1 9 6 4 和 1 9 6 5 年 独立 地提 出了资 本资 产定价模型 ( c a p m 模型) ，为证券的风险 和价格 提供了 基本的数 量模型， 丰富了 证券投资理论。 资 本资产定价模型运用一般均 衡的原理 来描述所有投 资者的 投 资行为， 揭示了证 券投资风险与收益 之间的 关系在均衡状态 下的经 济本质， 至 今仍然 是证券 市场上最主要的 价格分析理论。 萨缪尔森 ( s a m u e l s o n , p . ) 在 1 9 6 5 年发表论文提出了 金融市 场有效性， 该论文 是金融 市场有 效性研究的奠 基性工作， 随后比 较有影响的 是法玛( f a m a , e . ) 的 研究。 该理论 对证券市场反映 信息的 程度进行了假设， 并以 信息集为 标准区 分了 三 种不同 类 硕 士 论 文 基于期望收益率排序信息的投资组合选择 型的市 场有效性， 该理论 和资本资产定价理 论基本同一时 代， 同 样是对证券 投资具 有 重大影响的投资理论。 罗斯 ( r o s s , s )在 1 9 7 6年提出了套利理论 ( a p t ) ，使证券风险的测定尺度更加 复杂，与c a p m 相比 ， a p t 所需 要的 假设 条件要少 得多， 它的 基本 假设是 ，当 存在不 增加风险的 前提 下提高收 益率的 机会时， 每个投资者都 会利 用这个机 会， 同 时， 证券 价格可以用因 子模 型描述。 综合而言， 现 代投资 组合理论是通过马柯 维茨，夏 普等为首的 经济学家的 努力， 在基本概念的 创新， 理 论体系的完善， 重要结 论的 实证和 理论应用 拓展上都 取得了重 大的进展，并且相信会有更多的成果不断的涌现出来。 1 . 2研究 现状 投资者构建 证券投 资组合的目 的是 有效地降 低风 险， 即 在投资收益和 投资风险中 找到一 个平衡点。 投资 者在进行 投资时， 不但希望 投资 收益最 大化， 同时 也希望投资 风险最小 化。 投资 者通 过组合投资，可以 在投资收益和 投资风险中 找到一 个平衡点， 即在风险一 定的 条件下实 现收益的最大化， 或在收 益一 定的条 件下， 使风险达 到最低， 从这个理 念出 发， 在投资 组合理论的发展过程中 便产生了 一系列的 模型。 接下来介绍一下投资组合选择理论中的基本模型: 首先 是m a r k o w i t z 的均 值一方差模型: 1 9 5 2 年， m a r k o w i t z 最早以 收益率和 方差 来度量回 报和风险 来进行了投 资组合研究， 投资 者的投资理 念是在一定 的风险水平 下 追求收益最 大化或 者在收 益不低于某个水平的 前提下要求风 险最小化。 其次是对 数效用 模型: 在m a r k o w i t z 的 均值 一方差模 型基础 上， 投资 者不再用收 益 率而是用效 用函数来 衡量投资收 益， 而且效 用函数选择为 对数函 数， 并 且这时考虑 半方差的风险测度。 最后是安 全 一首要 模型: 该 模型中 包含三个主要 模型， r o y 提出了第 一个安全 一 首 要 模 型， 他 先 设 定 出 一 个 基 本 极限 q， 他 希 望 最 终 时 刻的 资 本 量 c a 小 于 或 等 于 资 本 极 限 q的 概 率 最小 化 ; k a t a o k a 提出 了 第 二 个 安 全 一 首 要 模 型 ， 他 定 义 了 一 个 a 值 ， 称 之 为 亏 损 概 率 ， 他 希 望 将资 本 极 限 q最 大 化 ， 使 得 最 终 资 本 量c - ， 低 于 资 本 极 限 q的 概 率 小 于 或 等 于a ; t e l s e r in ! 提 出 了 第 三 个 安 全 一首 要 模 型( t s f 模 型) ， 他同 样 事 先 设 定 了 一 个 亏 损 概 率a 值， 同 时 令 资 本 极 限 为 q。 t e l s e r 希 望 根 据 给 定 硕士论文 基于期望收益率排序信息的投资组合选择 的 亏 损 概 率 和 资 本 极 限 来 最 大 化 最终 资 本 量c, 的 期 望 值， 安 全 一 首 要 模 型 是 在标 准 的 均值一方差 模型基础上加了一 个投资者 亏损极限， 对所投资的 组合收益加强了 约 束， 从而找到 最令 投资 者满意的投资策略， 安全 一首 要模型 缩小了 均值方差的可 行集 范围， 约束性更强， 更符合投资者的实际 心理。 上面的 这三个基本模型以 及后来在它 们基础上发展的 模型大多都是建立 在对期 望收 益率做出 具 体估计值的基础上的， 然而对 缺乏期望收 益率的 具体实值时， 该如 何 进行投资 组合的 选择问 题研究的并不多， 而期望收益率 具体值的缺乏 一方面可能是由 于投资 者在一些 情况下缺乏足够的数据对期 望收益率的实 值做出 估计， 另一 方面可能 是投资者对通过估计得到的期望收益率的值缺乏信心。 但是大量研究者的研究表明在金融市场上存在一些对期望收益率具有解释能力 的 特征因 素， 这些特征因素能 够产生 关于期望收益率 大小的一个排 序， 先来 介绍这些 特征因素， 这些 特征因 素主要有: 动量效 应 ( m o m e n t u m e f f e c t ) 亦称惯性 效应， 是指 在较短时间 内表现 好的 股票 将会持续其 好的 表现， 而表现不好的股票也 会持 续其不好的 表现。 反转效 应 ( r e v e r s a l e f f e c t ) 是指在较长 一段时间内， 表现差的 股票有强 烈的 趋势在其后的 一段时间内 经历相当 大的好转， 而表现好的股票则 倾向 于其后的时间 内 出现差的表现。 此外还有一 月效应，周 末效 应等，同 时，公司 规模( m e ) ，市盈率的 倒数 ( e / p ) , 账面市值比 ( b e / m e ) ， 财务杠杆率 ( l e v e r a g e ) 或负 债权益比 ( d e b t / e q u i t y ) ， 现金 流与价格比 ( c / p ) 等与公司相关的因 素也具 有解释股票收 益的能 力。 其中 较为典 型 也是被广泛承认的是所谓的规模效应和价值型股票效应， 所谓价值型股票是指具有较 高b e / m e , e / p , c / p 的 股票， 反之则成为成长型 股票， 这些特征因素的 发现过程 大致 如下: b a n z , r . w . 于 1 9 8 1 年发现， 在美国 无论是总收 益率还是风险调节后的 收益率 都 与公司大小成负 相关关系， 即 股票的 收益率随着公司 规模的增大而减小， b a n z 是第 一 个发现规模效应的经济学家。 f a . 和f r e n c h 于1 9 9 2 年对1 9 6 3 到1 9 %年间每 年在纽约证券交易所， 美国 证 券交易所和纳 斯达克上市的股票按 市值进 行分类， 然后 算出 每一类股票下一 年的 平 均 收益，他们发 现在样本期内，市值最小的1 0 % 的股 票比 市值最大的1 0 % 的股票 年平 均 收益要高。 他们 还将如 上的 股票每年按账面市值比 进行分类， 然后计算出每一 类股 票 下一年的平均收 益， 他们发现b / m 最高的1 0 % 的股 票的 平均收益比b / m 最 低的1 0 % 的 股票要高。 将 市盈率 ( p / e ) 按同 样方法进行分类计 算， 发现市盈率最大与 最小 1 0 % 的两组股票组合产生每月0 . 6 8 % 的收益差。 硕 士 论 文 基于期望收益率排序信息的投资组合选择 f a m a 和f r e n c h 于 1 9 9 2 年在实 证的基础 上发现 股票的 特征因 素对资 产定价具 有 很大的影响并 提出了三因 素定 价模型， 其中 股票市 场指数的 收益， 小规模股 票组合与 大 规模股票组 合收益的差 额 ( s m b ) 以及高 账面价 值与 市场 价值比 率和低账 面价值与 市 场价值比 率的 股票组合 收益的差额 ( h m l ) 为影响 定价的 风险因 素， 并建 立的无条 件 f m 模型 c a m p e l l , g r o s s m a n 和w a n g ;4 于1 9 9 3 年 提 出 了 一 个 模 型 ， 指 出 伴 随 高 交 易 量 的 股票 价格变化 倾向 于反转， 当 交易量较低时， 价格 的这种 变化趋势则 未必存在， 该 模 型 直接考察了交 易量和股 票回报间的动态 关系。 d i n i e l 和t i t m a n e 于1 9 9 7 年提出 行为 解释观点: b e / m e 和规模代 表着上市公司 的 某种特征，简 称 “ 特征要 素” ， 特征代表投资 者偏好，并 决定股票收 益的高低。高 b e / m e 上市公司由 于基本 面较差而导致价值 被低估，故 称 “ 价 值股” ，低b e / m e 上市 公司由于基本面较好而价值被高估，故称 “ 成长股” 。由于投资者偏好于持有基本面 较好的成 长股， 而厌恶持 有基本面较差的 价值股， 结果导 致高b e / m e 上市公司 股票具 有较高的收益。 c h a n , l . k . c . 和 l a k o n i s h o k . j “ 二 在 2 0 0 4 年对这 些特征因素进 行t 总结并 给出了 一些新的实证检验和证明。 r o b e r t a l m g r e n 和.v e i l c h r i s s 0在 于2 0 0 4 年 介 绍 了 在 只 拥 有 关 于 预 期 收 益 率 排序信息的 情况 下如 何进行投资组合的 选择问 题， 他们从m - v 模型里暗 含的偏好 关系 出发进行延拓， 指出影响投资组合偏好关系的不是期望收益率的具体值而是期望收益 率的 方向， 然后 推广到不等式的 情况， 也 就是将影 响投资组 合偏好关系的 射线方向 推 广到一个 包含满足一 个排序的 所有期望收 益率形成的 锥， 然 后根据偏好关 系结合 一致 收益锥和预算约束集给出刻画有效投资组合的定理， 由于此时根据定理找到的有效投 资 组合不是唯 一的， 于是 便给一致收益锥 赋予了 一 个满足一定 条件的 测度 来重新定义 了偏好关系， 在重新得到的偏好关系下， 便可以得到唯一的一个有效投资组合， 也就 是形心最优投资 组合。 在 这个过程中 ， 会引 入一 个形 心的概念， 它是一 致收 益锥内 所 有点的 平均， 在最后寻找最 优投资组合就是 用它形 心来代替m a r k o w i t z 的 均值一方差 模型里的 期望收 益率来解优化问 题。 另 外r o b e r t a l m g r e n 和n e i l c h r i s s 2 0 0 5 年 又 对 该 方 法 进 行 t 归 纳 总 结 ， 在投资组合的 偏好关系上换了阐 述的角度， 主要是考虑两个投资组合向量的相 差部 分， 也可以看 成是一个新的 投资组合向 量， 相对 于一致于一 个排序的期 望收益率的 收 益情况。 硕士论文 基于期望收益率排序信息的投资组合选择 1 . 3本文主要工作 对于缺乏期望收益率具体值， 而只拥有关于期望收益率的排序信息的情况下该如 何 进行投资组合的 选择问 题， a l m g r e n , r . 和c h r i s s , n 在文 献【 1 0 1 中 给出了 一种形心 最 优投资 组合方法。 但是 ， 1 ) .文【 1 0 1 没 有给出实例加以 说明; 2 ) . 在 1 0 , 1 1 中形心 最优组合选择问题最后也归结为解和 m a r k o w i t z的均值一方差模型一样的规划问题， 对于 更符合现实意义 和投资者心理的 约束条件( 如t s f ) 下的组合 选择尚 未进行讨论。 基于如上事实，本文将主要围绕这些问题进行展开讨论，本文的主要工作如下: 本文， 首先给出了期 望收益率 排序信息存在的 现实 理由 并以 实例说明了寻 找有效 投资组合的具体过程。 其次， 本文给出了一 个实证检验 对形心最优投资组 合方法和m a r k o w i t z 均值一 方 差投资组 合选择方法进 行了 直接的比 较， 该实证检验还可以 看成是形心最优投资 组合 方法在国内市场上适用性的一个检验。 最后在得到的形心向量的基础上研究了一种 “ 净收益”亏损约束下的安全一 首要 模型，该 模型 和以 前的 安全 一 首要 模型的 不同之处在于在 考虑亏损约束时不单单 考虑 投资组合的收 益低于给定生存 水平是个小概率 事件， 而在 投资组 合的收 益上扣除了一 个风险补 偿，得到 一个 “ 净收 益” ， 考虑这个 “ 净收益” 低于给定生存水平的这个事 件发生的 概率小 于一个小概率， 从而 对一部分投资者来说， 能够找到更 加符合自己 意 愿的最优投资组合，并结合图形给出了最优解存在的条件. 硕士论文 基于期望收益率排序信息的投资组合选择 2基于形心意义下的最优投资组合 2 . 1 排序定 义及种类 第一 部分里 提到在一些情况 下投资者有 可能 得不到期 望收益率的具 体值， 这一 方 面可能是由 于投资 者缺乏足够的 数据对期望收 益率的实值 做出 估计， 另一 方面可能 是 投资者对 通过估计 得到的 期望收 益率的 实值 缺乏 信心。 但是， 在金融市 场上存在一 些 对期望收 益率具有解 释能 力的特征因 素， 这些 特征因素结合 近期历史交易 数据能够 产 生 关于期 望收益率大小的 一个排序。 在这部分里 主要介绍排 序的定 义以 及几 种常见的 排序。 完 全 排 序 记s , ，一 ， s . 是 可 投资 空 间 里 的 n 个 资 产 ， 从 最一 般 意 义 上 来 讲， 一 个 投 资 组合排 序就是关于这 些资产期望收益 率之间 不等式关 系的一 个集 合。 最简单常 见的 就是 完全排 序， 也 就是将投资组合里的 所有资 产的期望收 益率按从大到小 排序 ， 如果 用r i ， 一 ， 表示这 些资 产的期望收益率， 那么可以 将完全排序 简单表示为: 石 r 2 . . .之r . 一个排序就是关于 收益联合分 布的一阶 矩的信念集合， 暗含的 假设 条件是 存在 一 个 明 确 合 适的 收 益 分 布 ， 该 收 益 分 布 的 一 阶 矩就 是预 期 收 益 率石 ， ， 。 从 这 个 角 度 来 看 ， 可 利 用 的 信 息 不 足以 产 生弓 ， 二 ， 的 实 值估 计 ， 但是 可 以 产生 关 于 它 们 排序 的估计。 一 个简单完 全排序还可以由 如下n - 1 个不等式 共同 表达: r, 一 r , 0 . r z - r ; 0 ,“ ，r . - i 一 气 0 这些关系中的每一个不等式都是齐次线性不等式， 将期望收益率的线性组合和零 做比较。 本文下 面会经常以 完 全排序为例说明问 题， 但 在现实 中不一定所有资 产都 有 这样 的完全序，下面介绍几种常见的情况 部 分排序 上面 介绍了 完全排序的 情况， 但不一定关 于所有资产会有一 个这 样的 完 全序， 但每一 行业 ( 如电 子工 业， 商 业) 中的 证券有 这样的序， 那么这时就 可以对 投资空间的资产进行分类，具体可以如下进行: 硕士论文 墓于期望收益率排序信息的投资组合选择 现 在将 资 产 投 资 空 间 分 成k 个 部 分 ， 数 量 分 别 为 m. . ,m k ， 可 以 表 示 为 (r , r, , . .动 ， (r , . . ., r , )， 二 ， ( r.a . ., ) 其 中 ， y; = , 、 二 叭十 、， 、= in , + - 二 + m k = n 。 在 每 个 部 分 里 面 都 有 一 个 完 全排序， 但是关于 每一部分相 互之间的收 益大小关系没有 任何信息， 即在每 一组里都 有而且仅有如下排序: r . . . 汽 ，气 a ) . . . 沙 执，“ ，气 +1 之 “ 练 也 就是说 此时投资者 在每一组里都 有一 个完 全排序， 这些组 可能 是因为不同 行业 性质等原因 造成的， 但投资 者关于投资 空间 内所有的资 产没有一个 全局的排 序。 带有做多做空 信念的 完全排序 有 时投资者 不但对投资空间内所 有资 产有一 个全 局的完全排序， 同时他们对投资空间内资产的价格走势也有一定的预测， 会认为一部 分资产的价格 将会上涨， 还有 一部分的 将会下跌。 在 这种情况下， 就 可以 在完 全排序 的基础上加上做多和做空的信念。 在这里投资资产被分成两组: 一组是被认为会上涨的 “ 多头”组， 一组是认为会 下降的 “ 空头” 组， 在每一组里都 有排序信息， 如果k 是多 头资产数目 ， 那么这 些信 息可由如下。 个不等式表达: r 2 : . . . ? r , _ 0 r m j . . . n 这也暗含了 两种特殊的 情况:一是当投资者认为所有的资产都有正的收 益时 有 i = n ，另一个是当投资者认为所有的资产都将有负的收益时有 q = 0 0 相对于某一指标的 表现 当 我们不 考虑投资资产 之间 相互期望收益 率的 大小关系 而是考察它们相 对于 某个指标的 表现时，便 可以 进行如下定 义: 定义如下一 个由资 产线性加 权的指标: i 二 k 凡 + p, 又+ . .p . 凡 ， 其 中 巧 0 且 h , + a+. 二 + ,u . = 1 投资者认为前p 个资产的收 益率会有比 这个指标好的 表现， 而后n - p 个资产的收 益率则会有比 这 个指标差的 表 现， 并且0 w 当 且 仅当 俨 p r wp ( 2 . 2 . 1 . 1 ) 这 样m a r k o w i t z 投 资组合选择问题就从 在一定 的方 差水平下寻 找具有最高期 望收 益的 投资 组合转化为寻找 满足最大偏好的投资 组合: 具有最高期望收益- 奋满足最大偏好 这个 观察角 度的 变化允 许了 后面的 推广分析， 现在就 要从这个偏 好关系出 发 对问 题进行拓展，在拓展之前先来介绍两个新的概念: 定 义 2 . 2 . 1 . 1 0 期 望 收 益 锥: 一 个向 量 空 间 的 子 集q 是 一 个 锥， 如 果 对 每 个 ; 。 q 和 ; 。 都 有 a r e q 。 令西 一 助卜 _ 0 ) 是 包 含 p 的 最 小 锥 。 有了 期 望 收 益 锥q 后 ， 就 可 以 重 新 给 出 偏 好 关 系 : v w 当 且 仅 当 对 所 有的 ; 。 西 都 有v r : 矿，( 2 . 2 . 1 . 2 ) 从 式 ( 2 . 2 . 1 . 1 ) 和式 ( 2 . 2 . 1 . 2 ) 可以 看出， 在描 述投资者 偏好关系方面，一 个具体的期望收益率向量可以和包含该向量的最小锥交换使用， 也就是说， 决定投资 者偏好的不是预期收益率向量的实值大小而仅仅是预期收益率向量的方向。 定 义 2 . 2 . 1 . 2 0 “ 内 向 法 线 为 p 的 半 空 间 : q = (r e r p r r 2 0 ) 将在后面的 部分 里看到从 投资者 信念角 度来讲， 这个半空间 和向 量p 或者 和射线 锥 面q 包 含 相 同 的 信 念 信 息. 定义 2 . 2 . 1 . 3 0 相 关和不 相关的 投资组合方向: 对于一 个给定的期望收 益率 向量p ，对投资组合空间定 义一个分解，分成相关的 和不相 关的 方向: r l = ( r r i p t r = 0 ) 这 个子空间 是由 所 有和p正交的向 量形成的完 全集合。令 r = ( r 勺 1 = 扭e r ! 记 ; = 。 对 于 所 有的 ; e r l ) 这是r 上 的正 交子空间 ， 这个子空间包含p 但是比p 更大， 尤 其是它包含了基 础 向 量p 的负倍 数。 有了定义2 . 2 . 1 . 3 ，对于一个投资组合w 现在可以 将它 写成 硕 士论 文 基于期望收益率排序信息的投资组合选择 w = w o + w y 其中 w , e r 且 w , e r , r是由 信念定 义成的“ 相关” 子 空间，由 期望收 益向 量p 表达。 它是相 关的是从 它 的 互 补 分 量w 1 有 着 为 零 的 期 望 收 益 这 个 意 义 上 来 讲 的 。 有了上 述定义， 那么 前面定义的 偏好关系可以 重新写为: v r w 当 且 仅 当 对 于 所 有 的 ; 。 c 都 有可 r - 可;( 2 . 2 . 1 . 3 ) 其 中% 和v o 分 别 是w 和， 的 相 关 分 量 。 注意 到 现 在 对 于 投 资 组 合 空间 同 样 的 偏 好 关系有了( 2 . 2 . 1 . 2 ) 和( 2 . 2 . 1 . 3 ) 两 种不同 的表达方法。 一方面 可以 相 对于期 望收 益锥 q内 期望收 益率来比 较v 和、， 另一 方面相对于半空间q内 所 有的期望收 益率来比 较 每个投资组合的 相关部分、和v o , 可; 二 可( r. 十 动二 可 r, = w o ra + r , = 记， r . q ro - q 其中 ro , 几 是 对: 做 的 和 w 类 似 的 分 解， 该 式 表 明 了 在由 这 两 种 表 达 产 生 的 偏 好 关 系方面 来讲这 两种陈述 是等价的。 但是 在后 面的 部分里 将会看到 半空间 的陈述 更容 易被推广到从投资组合排序信息产生偏好关系的情况。 2 . 2 . 2一致收益锥 在这部分里更 加深刻的 来体 会投资组合排序的 概念并且形 成一些记号。 所谓投 资 组合排序是指一致于一个排序的期望收益率的集合， 直觉上来讲， 一致收益锥就是一 个由 所有 可能 是合乎 投资者 信念，即 满足排序信息的期 望收益 率所形成的集合。 假 设 一 个 投资 者 拥 有一 组 期 望 收 益 率 为r = ( r ,. . . 动， 协 方 差 矩 阵 为v 的 n 个 资 产， 并且假设 这个投资 者不知 道: 的具体 值， 但是 关于; 的 分量之间的关 系拥有脚不 同的信念， 通过m个不同的数学也不等式来共同表达。 从这个意义上来讲， 每个信念 都 是 期 望 收 益 率 之 间 的 线 性 不 等 式 。 例 如 : 一 个信 念 可以 是 之 的 形 式 或 者 也 可以 是4 2 + 2 r3 _ r4 的 形 式 ， 这 里 限 制 齐次 线 性 关 系 的 表 达 ， 不 允 许 出 现 常 数 项 。 每一个信念都 可以 用一个数 学式来表达， 作为关 于期望收 益率的一个 线性组 合要 大于 或 等 于0 ， 例 如 : 4 r2 十 2 r - r , ? 0 ， 按 照 这 种 方 法 将 这 些 不 等 式 的 系 数 置 于 一 个 列向 量d , 中 并 且 将不 等 式的 形 式写 成d ,r _ 。 的 形式。 在上 面的 例子中 我 们 就有 1 0 硕士论文 基于期望收益率排序信息的投资组合选择 d , = ( 0 ,4 ,2 , - 1 ,0 ,.,0 ) 。 我 们可 以 和 前 面 一 样 用m 个 列向 量几 ， ， 氏将 所 有的 信 念 收 集 在 一 起， 称 每 个向 量d i 为 一 个 信 念 向 量 ， 我 们的目 的 就 是 从 整 体 上 考 虑 它 们。 总 的 信 念 集 合 可以 简明 的 表 达 成d r _ 0 ， 其中 d 是 行 为耳，一 的 m x 。 阶 信 念 矩阵，并 且说一 个向 量大于等于0 ， 当且仅当 它的 所有分量 都是 非负的。 这里并不 要 求 信念向 量之间 是不 相关的， 即 允许。 ， 也就是 说相对于资 产数目 可以 有任意 个不 等式的 数目 ， 唯一的要求就是一 致收益锥要有非 空内 点， 这样 就 排除了 利 用某些相反的 不等式产生了 等式的 情况。 一个期望 收益率向量r 满足给定的不等式条 件， 那么这个期 望收益率向 量就 是一 致 于d的， 称为一 致于排序的 ，记: q = r e r i d r 2 : 0 1 = r e r i 可r ? 0 对 于 每 一 勿= 1 , .， 二 为一致期 望收益率向量的 集合，即一 致收益锥。 这是一个r 空间内 所有可能期 望收 益 率 形 成 的 锥 ， 并 且 它 是 前 面 提 到 的 q = a p 卜 。 到 不 等 式 情 况 的 自 然 推 广 . 任 何 一个属于q的; 都 有可能 是真正的期望收 益率向 量。 下面 这个简单的图 形就表明了 二维平面内d和q 的集合关 系， 此时 关于的 期望收 益率的不等式 关系只有 两个。阴 影部分就是由不等式d d 2 形成的一 致收益 图2 . 2 . 2 . 1刀和q的关 系 锥q ，如图2 . 2 . 2 . 1 所示。 这个 一致收益锥q 具 有如下 性质: 硕 士 论 文基于期望收益率排序信息的投资组合选择 性质2 . 2 . 2 . 1 一 致收益 锥q 是一个过原点的凸 多面 锥。 证 明 : 从q = r rz r j d r _ 0 二 r e r i 可r ? 0 对 于 每 一 勺= 1 1 .1.1 m 可 以 知 道 ， q 是由 线 形齐次 不等式 组定义的凸锥，所以q 是多 面锥。 有了 一 致收益 锥q 后， 从前面2 . 2 . 1 部 分的 构 造出 发的 一个直 接推广就是: v - w 当 且仅当 对所有的; e q 都有v r r _ 矿， ， 然而下面即将看到这不是一个最有用的定义因为它包含了垂直的成分。 现在给出 一个简 单的完 全排序的 例子: 完全排序 一个完全排序的最简单的例子就是关于资产收益率有如下排序: r r . 之 . . . n 我 们 拥 有 m = n - 1 个 形 如 r , 一 r, . 1 - 0 的 信 念， i = 1, 2 , . .， n - l a 这 个 信 念 向 量 具 有 几= ( 0 ， 二 ，0 ,1 ,- 1, 0 , 0 ) t 的 形 式， 并 且 矩 阵d 为 这个一致 锥是r 空间 里一个三角木形状， 大致图形如图2 . 2 . 2 . 2 所示: 图2 . 2 . 2 . 2 满足完全排序的三个资产形成的一致锥形状 硕士论文基于期望收益率排序信息的投资组合选择 2 . 2 . 3由 一个 投资 组合排序产生的 偏好关系 在这部分 里将看到和 一个投资组合 排序相联系的有一 个唯一的偏好 关系。 这个偏 好关 系用某 种方法将 在2 . 1 部分里的 偏好关 系兰 延拓到不等式信念的 情况。 这里的主 要工 具是将收 益空间和 投资 组合空间分别正 交分解成两个线形子空间。 重新 修正定义 2 . 2 . 3 的说 法， 我们令 r l = ; e r ! d r = 0 = q n ( - q ) r = ( r 1 ) 1 = w e r j 矿 ; = 0 对 于 所有 ; e r ) 由 标 准 线 性 代 数 知 ， r = s p a n ( q ， ， 凡) = d t x i x e r ) ， 是由 d的 行 张 成 的 子 空间。同样，r是 “ 相关”子空间。 对于任何 投资 组合， 我 们可以 再一次的 将它写成 w = w 0 十 、其 中 w o e r , 吮 r l 现 在想 从 和 信 念 相关 的 分 量w o 角 度 来 定 义我 们的 偏好 关 系 而 忽 略其 垂 直 分 量 wl 。 如果w和v 是两个投资组合，将它们分解成平行部分: w , . v a e a w 1 , v 1 e 矛。 然后定义: v r w 当 且 仅 当 对 于 所 有 的 ; e q 都 有 可 r - 可;( 2 . 2 . 3 . 1 ) 因 为 对 于 任 意 的 候 选 收 益 率向 量 都 可以 被 同 样 的 分 解; = r o + r1 ， 且 有 x 7 r = w o ra + w i r ， 从 而 一 个 等 价的 刻 画 是 v _ w当 且 仅 当 对 于 所 有 的 ; 。 酗有 v r - 矿 ;( 2 . 2 . 3 . 2 ) 其中 西 = q n r ， 和 前 面2 . 2 . 1 里 的 说明 一 样， ( 2 . 2 . 3 . 1 ) 和( 2 . 2 . 3 . 2 ) 这 两 种 刻画 也是等价的。 再来进一步定 义严格偏好关系 : v - w 当 且 仅 当 v r w 且 w * v 或者 v - w当 且 仅 当 对 于 所 有的 ; 。 酥俨 r 少 r 且 对 于 至 少 一 粉。 酥俨 r 矿 ， 1 3 硕士论文基于期望收益率排序信息的投资组合选择 偏好关系 的这种记法并不意味着对于每一个一 致收益向量; 投资组合w 都比 投资 组 合向 量， 有 更高的 收益，这个定 义是弱的因 为并不是每 对投资组合w , v 在 这里都可以 被 比 较 ， 对 于 一 些; e q 有可 r _ 可 ; 而 且 也 有 一 些 ， e q 有可 r _ 可 ; ， 那 么 就 既 没 有 v w也没有， r v 。 在第四 部分里将重 新做出 定义来保证 这样的比 较，但是目 前将这 个先当作是无争议的来拓展我们的结果。 2 . 2 . 4有效 投资组合 及实 例 在现 代投资理论中 投资者总是 寻找对于给定的方 差水平拥有最高收 益水平的投 资 组合， 这样的 投资组合被 称之为有效的。 在前面2 . 1 部分 提到的偏 好关系下 看有效 投资 组合就 是那些 满足最大偏好的， 现在我 们的目 标就是在一定的 约束限 制下， 在式 ( 2 . 2 . 3 . 1 ) 或式( 2 . 2 . 3 . 2 ) 所描述的 偏好关 系下来辨别出 那些“ 最大 偏好” 的 投资组 合，这些约束条件在构造最优投资组合过程中和对偏好的定义一样重要。 令mcr 代表预算约束集，这是个满足约束的投资组合向量集合。我们认为如 果 在m中 没有v 使得v - w， 则w 在m中 是有效的， 也就是说， 如果没 有其它可以占 优 w 的可 行投资 组合， 则、 在m 中 是 有效的。这并不 意味着对于 所有的v c m都有 v w， 因为 有可能 对许多， 既没有w v 也 没有v r w e 现在来定义有效集: m= w e mi w j e m 中是有效的 这里的有效投资组合离唯一