（电力系统及其自动化专业论文）模态级数法在交直流电力系统中的应用.pdf

i i i 作用。 关键词：模态级数法、交直流电力系统、非线性系统、向量场正则型、振荡模 式、模式交互作用、直流功率调制 a p p l i c a t i o no fm o d a ls e r i e sm e t h o di nh v d c a cs y s t e m s m a j o r ：e l e c t r i cp o w e rs y s t e ma n di t sa u t o m a t i o n g r a d u a t e ：z h e n gy u n h a i a d v i s o r ：l ix i n g y u a n w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h et e c h n o l o g yo fp o w e rs y s t e m sa n dt h ee c o n o m yo f o u r c o u n t r y , t h ep o w e rs y s t e m sw i l lb ei n t e r c o n n e c t e d ，w h i c hw i l li n e v i t a b l yr e s u l ti n f r e q u e n to c c u r a n c eo fs e v e r et r a n s i e n ti n s t a b i l i t y t h e r e f o r e ，t h e r ew i l lb eg r e a tn e e d f o rs t u d i e so ff a s te s t i m a t eo ft r a n s i e n ts t a b i l i t ya n de m e r g e n tc o n t r o lo fp o w e r s y s t e m s p o w e rs y s t e m sa r ei n h e r e n t l yn o n l i n e a rs y s t e m s ，e s p e c i a l l yt h o s ew i t h h v d cl i n e s w h e na p o w e rs y s t e mi ss u b j e c t e dt oad i s t u r b a n c e ，i te x h i b i t sc o m p l e x d y n a m i cb e h a v i o r t h ec o m p l e x i t yo ft h i sb e h a v i o rd e p e n d so nt h ep o w e rs y s t e m l o a d i n g ，t y p ea n dl o c a t i o no ft h ed i s t u r b a n c e t w oa p p r o a c h e sa r ec o m m o n l yu s e dt o s t u d yt h ep o w e rs y s t e md y n a m i cb e h a v i o r o n ei sn o n l i n e a rs i m u l a t i o na n dt h eo t h e r i sl i n e a rm o d a la n a l y s i s i ti sd i f f i c u l tt ou n d e r s t a n da n dg a i nag o o df e e l i n gf o rt h e p h y s i c a ln a t u r eo ft h ec o m p l e xd y n a m i cb e h a v i o rb yn o n l i n e a rs i m u l a t i o n o nt h e o t h e rh a n d ，t h ev a l i d i t yo fl i n e a rm o d a la n a l y s i si sr e s t r i c t e dt oas m a l ln e i g h b o r h o o d o ft h eo p e r a t i n gp o i n ta n dt h e r e f o r e ，w h e nas y s t e mi ss u b j e c t e dt ol a r g ed i s t u r b a n c e s a n di t ss t a t e sa r ed r i v e na w a yf r o mo p e r a t i n gp o i n t ，t h es i m i l a r i t yb e t w e e nr e a lt i m e r e s p o n s e sa n dl i n e a rm o d a ls i m u l a t i o ni sl o s t r e c e n t l y ，t h et e c h n i q u eo fn o r m a lf o r m so fv e c t o r f i e l d sh a sb e e nu s e dt o a n a l y z et h ec o m p l e xb e h a v i o ro f t h ep o w e rs y s t e m s ad r a w b a c k t ot h i sm e t h o di si t s n e e df o rs t a t e v a r i a b l e s t h a td on o td i r e c t l yc o r r e s p o n dt op h y s i c a lo rm o d a l p h e n o m e n a ，n o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n a n ds o l v i n gn o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s a l s oi ng e n e r a li tf a i l st oo b t a i nac l o s e df o r ms o l u t i o n ，w h e nt h e r ei sas e c o n do r h i g h e ro r d e rr e s o n a n c ec o n d i t i o n m o d a ls e r i e sm e t h o di san e w l yu s e dm e t h o dt oa n a l y z et h en o n l i n e a rd y n a m i c b e h a v i o ro fp o w e rs y s t e m s t h i sm e t h o dc a nr e p r e s e n tt h en o n l i n e a rs y s t e mr e s p o n s e l v a n do b t a i na na p p r o x i m a t i n gc l o s e df o r me x p r e s s i o nf o rt h ez e r oi n p u tr e s p o n s eo f t h en o n l i n e a rs y s t e m ，w i t h o u tu s i n gn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n t h i sm e t h o de x t e n d s t h el i n e a rs y s t e mt h e o r yc o n c e p t st of a c i l i t a t et h eu n d e r s t a n d i n ga n da n a l y s i so f n o n l i n e a rs y s t e m s i nt h i sp a p e rt h em o d a ls e r i e sm e t h o dw i l lb ea p p l i e di nh v d c a cs y s t e m t h er e s u l tw i l ls h o wt h ee f f e c to fn o n l i n e a rm o d et ot h es y s t e md y n a m i cb e h a v i o r a n dm o r e o v e rt h ea u t h o re x t e n d st h em e t h o dt oh v d c a cp o w e rs y s t e m sw i t hd c a u x i l i a r yc o n t r o ls t r a t e g y h e r ed ca u x i l i a r y c o n t r o lo fp o w e rm o d u l a t i o ni s c o n s i d e r e d t h em o d a ls e r i e sm e t h o dw i l lb eu s e dt oa n a l y z et h et r a n s i e n ts t a b i l i t y o ft h es t u d i e ds y s t e m t h et y p e so fo s c i l l a t i o nm o d e s ，a n dt h ei n t e r a c t i o n so f o s c i l l a t i o nm o d e s i tw i l lb ea l s oa n a l y z e dw h e t h e rt h ea u x i l i a r yc o n t r o lo fp o w e r m o d u l a t i o nc a ne n h a n c es y s t e ms t a b i l i t y k e y w o r d s ：m o d a ls e r i e sm e t h o d ，h v d c a cp o w e rs y s t e m ，n o n l i n e a rs y s t e m ， n o r m a lf o r m so fv e c t o rf i e l d s ，o s c i l l a t i o nm o d e s ，m o d a li n t e r a c t i o n s ， p o w e rm o d u l a t i o n v 一骂型查兰堡主兰垡望塞堡! ! 兰 第一章绪论 1 1 选题背景及研究意义 随着全国互联网和大容量的西电东送，对电力系统稳定性进行准确、快速 的估计越来越需要新理论支持和新技术的应用。电力系统稳定分析一直是电力 系统一个极其重要的研究领域，是为电网安全稳定运行提供参考及保障的重要 依托和工具。今天，随着负荷的增加，供电需求量的增加，发电机单机容量、 电网尺寸也相应地越来越大，再加上系统的快速控制设备的投入，使得今日电 力系统成为一个非常复杂的非线性很强的大系统，这就是应力( s t r e s s ) 系统，其 最大特点就是发电机间很强的非线性互相作用】。这种超大系统的规划、建设 与运行也变得极为复杂，新的问题和以往从未遇到的现象也频频出现。要认识 和理解这个非线性大系统所出现的新现象、新问题，预知这样一个复杂系统的 性能，协调、控制、保证整个系统步调一致稳定的运行，仍然仅仅依靠以往那 些传统的稳定分析的理论与方法，就显得不够了。 大型电力系统互联的目的是提高发电和输电的经济可靠性。跨区联网是大 电网发展到一定阶段的必然趋势。但是多个地区互联又引发了许多新的动态问 题，使系统失去稳定性的可能性增大f 4 】。在互联系统中，各地区的旋转备用容 量大为减少，系统的运行方式日益接近于稳定极限，致使其稳定性问题更加突 出。若大型电力系统的稳定性遭到破坏，就可能造成一个或数个大区域停电， 使其一时陷于瘫痪和混乱状态，对人民的生活及国民经济将造成灾难性损失 m 】。 跨区联网的方式主要有两种：高压交流和高压直流。高压直流输电作为开 发应用4 0 多年的输电技术不仅完善、提高了电力系统的动态性能，而且取得了 很好的社会效益1 7 , 8 1 。随着技术的进步，晶闸管设备价格下降和可靠性提高，直 流输电方式( 包括远距离输电和背靠背联接) 往往受到人们的青睐，尤其是在经济 体制改革并走向市场化过渡的今天更受到关注。但是当高压直流输电投入电力 系统运行后，电力系统的非线性将进一步复杂化。 长期以来，人们通过线性化处理来研究非线性系统的动态特性，并且取得 了一定的效果。基于线性化设计的电力系统稳定器( p s s ) 也得到广泛的应用。但 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 一_ _ - _ _ _ w h _ - _ - - - - _ - _ _ h _ _ _ - ，一 电力系统是一个典型的非线性系统，随着系统规模及复杂程度的不断增加，以 及随着高压直流输电的投入运行，线性方法日益暴露出其不足：对于复杂的电 网来说，即使在小干扰下，也会表现出强非线性特性。如果是应力系统发生大 的扰动，那么更是会呈现出非常复杂的非线性动态特性，这些动态特性如果用 线性化来处理，这些非线性动态特性几乎是无法分析的【9 1 。但是之前的研究人 员在分析线性系统解的时域和频域特性以及定义线性系统振荡模式和时间常数 上做了不少工作。因此需要一些方法能够将线性化的概念及分析方法应用到非 线性的系统，能够弥补已有的线性分析的不足，同时能够更准确地表示非线性 电力系统。该方法应满足如下要求【l 副： ( 1 ) 能分析大扰动后系统的振荡稳定情况，能识别系统的主导振荡模式： ( 2 ) 能识别系统振荡模式之间的非线性相互作用； ( 3 ) 能统一研究系统的静态失稳和周期振荡甚至暂态稳定问题； ( 4 ) 不但能应用于简单系统，也能应用于复杂的大系统。 模态级数法就是这样一种能够将线性化方法的概念和分析方法应用到非线 性系统的方法 9 , 1 4 , 1 9 】。它是一种新的应用到电力系统的方法。通过该方法就可以 利用成熟的线性系统理论来研究非线性系统，然后根据模态级数法分析的结果 来推知非线性系统的动态特性和稳定性。认识与理解以往稳定分析理论所解决 不了的应力系统的一些特征和特点，研究应力系统出现的一些新现象和新问题， 从另个侧面填补以往稳定分析理论所无法计及的空白领域，为电力系统的安 全稳定运行提供新的指导性意见，保障系统在各种条件下的安全稳定运行。该 方法适合于互联电网，尤其是含有h v d c 、f a c t s 等新型电力电子装置的电力 系统分析和各种控制器设计。 1 2 国内外研究动态及存在的问题 电力系统是非线性系统，特别是当高压直流投入电力系统运行后，给全系 统的运行性能带来相当大的影响【7 j 。为了研究其动态行为，有两种常用的方法： 线性分析及时域仿真i l “。 线性分析技术是从二十世纪7 0 年代早期开始，广泛地用来研究电力系统的 动态性能的方法。这些技术被应用于电力系统工程的许多领域，包括模态分析 和控制系统设计。线性分析技术的实用价值在于它们能够提供对电力系统特性 一一婴型盔兰堡主堂垡坠塞堡塑墅 的深入洞察，而这些是单独从时域仿真所不易得到的。这些性质也使线性分析 技术成为传统非线性时域仿真程序的非常有价值的补充。通过小信号分析、线 性化处理来研究电力系统动态特性已经取得了一定的效果。文献【1 l ，1 2 】介绍了 基于线性化设计的电力系统稳定器( p s s ) 。但是这种方法是将动态方程线性化， 忽略了系统的非线性。该方法是基于系统在运行时受到的扰动较小，可以将系 统线性化，其本质是一种稳态分析方法。当电力系统在运行中受到大的扰动而 发生振荡时，这种方法就会带来很大的误差。而且研究结果表明，电力系统的 各种振荡模式之间存在非线性相互作用，在一定条件下，这种非线性相互作用 会引起参数谐振而引发大幅度振荡【l 引。线性分析无法分析振荡模式之间的非线 性相互作用，也就不能把握非线性本质。 对于大干扰下的稳定研究，由于要解非线性方程组，目前几乎无例外地采 用时域仿真法，即用各种数值积分的方法。时域仿真法的扰动分析是以数值分 析为基础的，通过计算机仿真出时域的变化曲线。能模拟出系统受到扰动后各 个系统变量随时间变化的具体过程。该方法利用系统非线性微分方程组为仿真 模型，该模型对大扰动和小扰动都适用，可以把大小扰动方法统一。它的结果 是得到仿真曲线。时域仿真的关键：、求取仿真曲线；二、从仿真曲线中获 取相关稳定信息。 求取仿真曲线有多家商用软件，如b p a 、n e t o m a c 等。在求取仿真曲线 时主要问题是对大系统仿真时间太长【2 5 】。从仿真曲线中获取稳定信息的方法主 要有e e a c 方法以及各种谱分析算法，如：快速傅立叶变换( f f t ) 、小波变换和 p r o n y 算法。e e a c 方法主要是将多机系统轨迹利用保稳变换将轨迹聚合为两机 系统，并进步划为单机无穷大系统，在相平面或扩展相平面中判断系统稳定 与否，并估计其稳定域度。傅立叶变换、小波变换和p r o n y 算法这三种方法都 是基于数学变换，即把时域信号分解为基本信号叠加。 时域仿真的优点是可以表示出系统的非线性，对系统规模没有限制。但其 缺点也很明显：其扰动是人为设定的特定形式特定地点的，不能保证激发所有 关键模式；仿真时间长，计算量大：所提供的关键模式信息量小：不能提供有 价值的频域信息，很难从中得到系统复杂动态行为的物理本质批”j 。目f i 时域仿 真法有两大障碍【2 5 】：如何保证特定的扰动能激发起关键模式；如何从仿真曲线 中获取更多的关键模式的信息。如果这两个问题得到较好的解决，将可以把小 一 婴删查堂堡主堂壁笙兰堡唑塑 扰动和大扰动问题得到进一步统一化，在现场可以共享数据，提高资源利用率， 并且可以摆脱建模时不可避免的误差，利用故障录波和全球定位系统( g p s ) 对多 机曲线直接分析，提取现场数据。目前g p s 在电力系统中的应用正在积极研究 之中，相角测量单元( p m u ) 在很多系统中都得到应用。它可以根据所测得的电 压电流的相角变化直接判断系统是否发生振荡。 向量场正则型方法【3 , 4 , 1 0 , 1 3 , 1 3 - 1 8 , 3 7 - 4 0 , 4 3 1 是种将线性系统的概念和方法推广到 分析非线性系统的方法。正则型理论是简化常微分方程和微分同胚的重要工具， 其内容是，对于给定的向量场或映射，在给定的等价类中找到其简单的形式以 便于研究。从h 。p o i n c a r e 开始，一百多年来正则型理论得到很大的发展，特别 是近年来，由于这一理论在h i l b e r t 第1 6 问题、分岔理论等领域的广泛应用， 它已越来越受人们的关注【i 引。最近十几年来正则型理论在电力系统稳定分析与 控制中得到了很大的发展。文献 1 6 1 q b 用正则型方法来分析电力系统各个非线性 振荡模式之间的相互作用。文献 4 ，1 3 】介绍了正则型方法在互联电力系统低频振 荡研究中的应用，详细讨论了其数学模型和处理过程，并介绍了非线性模式相 关性对系统动态的影响。在文【1 8 】中，这种方法被应用于交直流系统的稳定分析。 但这种方法的不足之处在于它的状态变量不能直接反映物理的或者模态现象， 不能直接反映非线性变换f 9 1 。而且当非线性系统发生二阶或者更高阶的谐振时， 通过正则型方法是无法得到系统的闭式解的。 文f 9 ，1 9 】介绍了一种新的应用于电力系统非线性分析的方法一模态级数法。 这种方法是基于泰勒级数展开和状态空间的线性变换，将原先的非线性系统的 状态空间转化到新的状态空间。这种方法可以用来描述非线性系统，并得到非 线性系统零输入响应的封闭解。该方法将线性系统和非线性系统有机地联系在 一起，将线性系统理论的概念推广应用到非线性系统。相对于向量场正则型方 法，这种方法不需要作进步的非线性变换，而且在谐振条件下仍然可以求解。 相对于非线性时域仿真，该方法特点是其结果仍然包含系统各种模式的频域信 息。文献f 9 】详细介绍了模态级数分析的理论，以及将其用于电力系统稳定分析 的结果与正则型方法的结果的差别。在文 1 9 1 0 0 分析了线性和非线性仿真的本质 区别，并选用一些参数因子来从数字上解释这种区别。但是现有的模态级数理 论应用于电力系统时，大都是基于简单系统，或者是纯粹的交流系统，对于多 机系统以及含有高压直流输电线路的交直流系统还需进一步研究。 堕型丕堂堡主堂垡笙兰垡塑旦 1 3 用模态级数法所能分析的问题 从现有的资料看，将模态级数理论应用到电力系统时所能分析的问题主要 集中在这样几个方面f 3 g 1 3 , 1 4 , 1 9 1 ： ( 1 ) 估计电力系统暂态稳定域。按照动力系统理论，故障后系统不稳定平衡 点的稳定流形的并集组成了系统的稳定边界。将故障后系统的微分方程组经模 态级数法变形后，求出系统在主导不稳定平衡点处的稳定流形，就可以估算故 障后系统的稳定域。 ( 2 ) 电力系统的预测解列分析。可以应用模态级数法分析系统在故障后的稳 定结构，识别出系统的失稳模式，从而预测失稳的发电机群，决定解列措施。 ( 3 ) 电力系统区域间振荡分析及振荡模式间的非线性互相作用分析。研究表 明：在重负荷、弱联系、快速励磁、低阻尼的情况下，电力系统受到扰动时， 极有可能出现区域间机电振荡并导致系统失稳。用模态级数法分析系统的振荡 模式，可以识别主导振荡模式并计及各振荡模式之间的非线性互相作用，更好 地理解系统振荡的机理和选择抑制系统振荡的措施。 1 4 论文思路与结构 交直流电力系统是高度非线性系统，本文主要研究的是模态级数法在这样 的非线性系统中的应用。 首先，在第二章中介绍了模态级数法的理论基础，为将该方法用于交直流 系统铺垫理论基础。首先介绍线性化分析、向量场正则型方法的理论，然后比 较详细地介绍了模态级数法的推导过程及其结果，介绍了分析二阶模式交互式 作用的参数。 第三章主要是介绍了将模态级数法运用于交直流互联电力系统时如何对系 统建模。要将模态级数法用于交直流互联系统的动态特性分析，首先很重要的 步骤就是得到交直流系统的动态方程，就需要为交直流系统建模。对于交流系 统将采用发电机经典模型，而h v d c 系统我们采用准稳态模型，其故障后的基 本控制采用整流侧定电流逆变侧定电压控制，接着介绍了a c d c 接口方程，以 及如何将得到的系统方程进行模式转化，使其称为适用于模态级数法的形式。 在第三章最后分析总结了将模态级数法运用于交直流互联系统的难点和技术关 堕业查堂堡圭兰垡笙壅塑! 旦 键，以及讨论了采用二阶经典模型所存在的一些局限性。 第四章首先对所要分析的暂态稳定的概念以及影响它的因素做了一个简单 的归纳，然后对本文所要用到的时域仿真程序n e t o m a c 做了简单介绍。接着 在前文已经介绍了模态级数的理论以及如何对交直流系统建模的基础上，将模 态级数法用于电力系统，特别是交直流系统的暂态稳定分析。 在第五章中首先介绍了h v d c 系统主控制及其附加控制的概念和种类，接 着介绍了有功功率调制和无功功率调制的理论基础。最后对一个带直流功率调 制的交直流系统运用模态级数法进行非线性特性分析。通过带功率调制和不带 功率调制的系统的仿真结果相比较分析直流功率调制控制是否能够改善该系统 的稳定性。同时通过特征值分析，分析了功率调制控制改善系统稳定性的根本 原因。通过基于模态级数法的分析，可以更好地了解和分析电力系统，并为控 制系统设计提供有价值的频域信息，达到改善系统稳定性的目的。 论文第六章是对全论文所作研究的总结，另再进行了一些局部的引申讨论。 1 5 论文所做的工作 本论文所做工作主要有以下几点： 1 通过m a t l a b 编程实现模态级数法算法的程序化： 2 将模态级数法用于交直流系统故障后的暂态稳定分析，分析系统的振荡 模式，通过计算非线性交互作用的参数，分析各模式之间的非线性交互 式作用的大小以及对仿真结果的影响： 3 运用模态级数法对带附加控制的交直流系统分析，分析如何结合模态级 数法选择附加控制的参数，如何分析所选附加控制对于交直流系统是否 有改善稳定性的作用。 一婴型盔兰堡主堂垡堕奎堡! ! 墅 第二章模态级数法的理论基础 2 1 系统模型、t a y io f 级数展开及j o r d a n 型变换 象电力系统这样的动态系统的行为可以描述为如下的n 阶非线性常微分方 程组表示： x = g ( z )( 2 1 ) 其中，z 是维状态向量，g ：尺”- 9 , r ”是一个光滑向量场。为系统( 2 1 ) 的总阶数。状态变量可能是系统中的各种物理量，如角度、速度、电压或者是 与描述系统动态的微分方程组相关的抽象物理变量。状态变量的选择不是唯一 的。但这并不意味着任何时间系统的状态不是唯一的，而仅仅是表示系统状态 信息的方式不是唯一的。可选择的任意组状态变量都能提供同样的系统信息。 通常我们希望得到的是稳定平衡点附近的系统动态行为。平衡点是当所有的微 分x ，x ：，同时为零的点：它们定义了轨迹上速度为零的点。相应系统 处于静止状态，因为所有变量都是恒定的而且不随时间变化。将式( 2 1 ) 在一 个稳定平衡点x 。处用t a y l o r 级数展开，再次使用x 和一作为新的状态向量和 状态变量，产生下列表达式： 1nn1nwn i ，= a , x + 专娥v ，+ 去v 出扣 ( 2 - 2 ) 厶k = lf t ”p - t | f 2 - 1 月= i z 属于t a y l o r 级数的收敛域u r ”，i = l ，2 ，。其中a ，是j a c o b i a n 矩 阵a 的第i 行，月= ( a g 0 x i 垴，是h e s s i a n 矩阵，h 。( 0 2 g 。，甜2 ) l x s e e ， = ( 扩g ，o x ，凹9 0 x ，) l ，依此类推。设系统有n 个不同的特征值 d i = 1 , 2 ，n ，分别用u 和y 表示a 的右特征向量和左特征向量。用变换x = u y 得到( 2 2 ) 的等值微分方程组如下： wwnnw n = 乃乃+ c 轨y ，+ d 南，y ，y 。y ，+ _ ( 2 3 ) k = 1 1 = 1p = tq = l ，- l 其中y 属于u 的线性映射v ，v c c “，j = 1 , 2 ，。 婴型查兰堡主堂垡笙壅塑墅 c = 瞬u 7 h 9 u 】= 【c o 】( 2 4 ) - p = 1 ，= 去哆呼矽 ( 2 5 ) vp = 1 0 = - 1r = l 嘭是矿7 的第p 列的第，个元素；嘭是第，个左特征向量的第p 个元素， 曙、依此类推。 2 2 线性模态分析 在线性模态分析方法中，只保留( 2 3 ) 式中的第一项，得到 ) i 2 i y s ( f ) = 乃。p 逆变换得到： ( 2 6 ) ( 2 7 ) nn 删= 艺y j 。e 夸= 学7 e 夸扣1 ；2 ，n ( 2 8 ) = i尸l 其中y j o 是k = u x 。的第j 个元素，x 。是初始条件，学= u , y ，。 在线性系统中，p 叫被称为系统的模式。它是物理系统的一个性质，这些特 征值，当为复数时，以一盯i c o 的形式成对出现，并产生形如e 。c o s ( c o ，+ 0 ) 的 响应。t = l 盯被称为时间常数，m 为模态振荡的频率。 当非线性微分方程( 2 2 ) 或( 2 3 ) 的右侧用其前r 项来近似时，除了8 1 0 项， 具有p 己一”形式的其他模式也出现在它的解中，其中m 为整数。这被称为模 态交互作用。如果：m ， = - 且：m ，= s ( s 2 2 ) ，则这样一组系统模式被 称为s 阶谐振。 虽然线陛模念分析给出了系统行为的物理洞察，但它只在平衡点的一个小 的邻域内有效，而且它不能说明二阶或更高阶的模态交互作用现象。特别地， 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 这种分析方法不能描述遭受大扰动时的应力系统的行为。忽略了t a y l o r 级数展 开中的高阶项是它的这个弱点的根源。 2 3 向量场正贝l l 型理论 向量场的正则型是局部地反应本质上特性相同的一组等价向量场。为了获 得正则型，还需进一步的非线性多项式变换。通过这些变换，在不发生谐振的 情况下，在新的坐标系中，非线性项的最小次数增加了。为了获得闭式近似解， 这些非线性项在新坐标系中被忽略，从而得到一个线性系统。这种线性系统的 形式是z = a z ，其中人= d i a g ( 1 l ，五2 ，旯一，五) ，旯。是原始系统的线性模式。 通过计算初始状态为z n 的线性系统的响应，以及连续的反变换，就可以得到在 初始坐标下的系统的闭式解。因而，正则型技术也被归为一种线性化技术。为 在一定条件下将较高阶数的微分方程变换成一个较简单的形式提供了系统的手 段。忽略( 2 3 ) 式中三次及以上的高次项，并考虑无二次谐振的情形，正则型 技术给出如下变换： y = z + h 2 ( z ) ( 2 - 9 ) 其中： 2 ( z ) = 2 ：z i z j ( 2 _ l o ) 圯o2 瓦翻( 2 - 1 1 ) 在z 坐标系中，系统( 2 - 3 ) 具有如下形式： j ，= z ，+ o r d e r ( i z l 3 ) ( 2 1 2 ) 忽略( 2 1 2 ) 式中的高次项，可以得到系统在不同坐标系下的显式二次近 似解【9 】： z ，0 ) = 2 扣e 4 7 ( 2 1 3 ) _ y ，( f ) ：z j o e 。+ 艺 2 0 z 。z f 。p 2 + 2 ” ( 2 1 4 ) 9 里业奎兰型垡笙塑! 塑塑 ( ，) ：善n 知。+ 兰。，f 兰兰 ：铴毛一1 j 5 = l l = lf = l j = 姜咒，e - + 善蕃n 气n 。o r m “+ ” c 2 。， 其中， = 搿。2c ，。五 ( 2 1 6 ) = z 0 + h 2 ( z o ) f 2 1 7 ) 冒“。孙( 2 - 1 8 1 蹭甜羔。u o h 2 0 孙铂 ( 2 1 9 ) 2 4 模态级数法 2 4 1 非线性系统的模态级数表亲 对于式( 2 3 ) ，只保留次项和二次项忽略更高阶的项，得到： , t y ， y = ，y j 十一c “j 儿 ( 2 2 0 1 对于初始状态为r o = p 。，y 。o 7 的情况，分解( 2 2 0 ) 的解为如下形式： y j ( t ) 。y u ( t ) + y 2 j ( ，) + y “( f ) + ( 2 2 1 ) 式中，y w ( f ) 包含初始状态中m 阶的所有项。例如，当m = 3 时乃，包含了形 如( y 户。蜘y r 。) 的所有项，p ，q ，r = 1 ，n 。因为式( 2 2 1 ) 必须满足式( 2 2 0 ) ，所 以得到： y l j + y2 j + y ”+ = ( y t j + y 2 + y 3 + ) + 艺艺“( y 。+ 儿。+ ) ( y 。，+ y ：，+ 儿，) + k= l = 1 y 2 k + 一。( 2 - 2 2 ) 如果初始状态为h ，( 0 ) = 乃o ，0 ( o ) = 0 ( m ) 1 ) ，式( 2 2 2 ) 的解可以通过解 1 0 嬖坐塑堕墅垡垫! ! 墅 下列的微分方程组得到： y 。，= 锄， ；：，：五，y ：，+ n a tq y 。， 。1i - 1 f 2 2 3 ) ；，：l y y 3 j + n nq ( y 挑+ y ：崩，) 。 通过解式( 2 2 3 ) 的第一个式子将得到系统的线性近似解，其l a p l a c e 变换和 时域解分别是： = 兰 ( 2 2 4 ) y u ( ，) = 蜘e 。”( 2 2 5 ) 式( 2 - 2 3 ) 的第二个式子的解考虑了系统的二阶非线性，因此是对线性近似解 的修正项。通过二维l a p l a c e 变换可以得到解： k 如一：) = 善善南q e 小。峨( 啪 ( 2 2 6 ) 通过对式( 2 - 2 6 ) 进行l a p l a c e 反变换得到时域解： y ：，( r ) = 艺“瓯( r )( 2 2 7 ) 其中，当代i ，) 薯r 2 时， 跏) = 矗筹暑( e u “) ( 2 - 2 8 ) 当( k ? l ，移r2 时， s 0 ( ，) = 儿o y t o fe 3 ( 2 2 9 ) r 2 包含所有可能造成二阶振荡的集合，比如满足2 t + 五f - 五的情况。y 丑 及更高阶项可以用类似的方法得到。我们把b 。五，一五，i 0 0 0 1 1 2 ，j 的情况称为 i ! ! tjw l 大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 一阳i 。准甫弧开用集苗r ；农不。忍峪y 可皮曼向惭r 坝，j 以得剑* 的表达式： y ，9 ，= y 。，c 。+ y ：，c 。= - ，。一 善善一z 。儿。y 。) 。“。啦 e z f +：l：兰z。，i。y，。e(i+it)f)。，。焉+f善善c?。，。，。k，)。，；(2-30)k-i i = 1 u , k ) e r + 2 n 。m 。e 一“”+ l q n 。y 。k 。 l j i j ，) t 焉 ；lf 1 1 j 伸f； 其中， = 志 ( 2 - 3 1 ) 式( 2 3 0 ) 由x = u y 变换就可以得到x 。的表达式1 9 】： ，c c ，= = 蔷n “，p ，。k - il = 1 - t z zh 2 ；t y。，r，。，。； 删= k肌 j ；l、j “，j 、- p ：， + f ：l ：l ：! ：u o h 2 。y 。，。t z 。+ 一，。 + 芸( 善；| ；q 陀l c ：，z ， u 。( k , i j ) 芒吗 l n nnf1 乏三二u , j h 2 0 y 。m 。p 山”= ln 幽。 2 0 一山” l 川。2 1 j ( 啪) 吣。2 。1 。1 j ( k j , i ) t 避 ( 2 - 3 3 ) 定义新的常量e ，聪，以及m j ： c ：= - 。 善薯。一2 。，。，。) 。，。：j c z ，。， 7n、 m ；- - i ”f “m 。j ( 2 3 5 ) 、k = li = l ( j ) 母 k ：= _ y i 。y f 0 “。 2 0 ( 2 3 6 ) j e j i d 型查兰堡主堂堡笙塞垡! ! 墅 其中厶= d i ( 七，- ，) 盛匙 。 由此模态级数结果的二阶近似响应可以用更简洁的形式表示出来： t ( ，) ：兰易。+ 兰m ；阳+ 兰兰霸一巾 户1j = l k = l1 = 1 nn = ( e + m ：，) p + 氍p 讪”( 2 - 3 7 ) 一li l1 = 1 将模态级数法的结果与向量场正则型方法的结果式( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 做比较，发 现二者有相似之处。两者都是对非线性系统进行分析的方法，分析时除了考虑 线性部分，还考虑了非线性项对结果的影响，考虑了非线性项之间的模式交互 作用。而两种方法的区别主要有以下三点【1 9 】： ( 1 ) 式( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 的系数都和z o 相关，而z o 和x o 只存在非线性关系。式 ( 2 - 3 0 ) ( 2 3 2 ) 中的y o 和x o 是有线性关系的。 ( 2 ) 在谐振或者准谐振的情况下，正则型方法的系数计算没有模念级数法直 接。 ( 3 ) 模念级数法对于非线性系统分析的结果能提供比f 则型方法更精确的 近似，因为二阶模念级数能更好反应非线性项的作用。 2 4 2 二阶模式交互作用参数 比较( 2 8 ) 式和( 2 3 7 ) 式，可以看出两个不同点。一个是( 2 3 7 ) 式中的第三项， 它给出了线性近似解的显式的校正项。它包括二次模式即p 讪”，丑和a 为所 有( 女，) 正r ；的特征值对。另一个是线性近似解和( 2 3 7 ) 式的前两项之间的差 别。这个差别说明线性模式在谐振或被更高次非线性作用激励的情况下可能被 时间调制。通过应用( 2 3 7 ) 式可以将线性参与因子的概念扩展到包括二次模式。 在式( 2 3 7 ) 中，二阶模式时间响应项x b e ”“”受两个参数影响。常数k j 的 绝对值决定了最大振幅。世：，越大，这个二次模式交互作用的作用就会越明显。 时间常数r 。，= 一1 r e a l ( 兄t + a ，) 决定了这个响应多久会结束。时间常数越大，这 个模式的作用就会持续越久。因此，在文献1 1 9 中用参数1 2 k , 来定义二次模式交 互作用： 一一 婴型奎兰堡主堂堡堡奎堡塑兰 - 磁= l r e a l ( - 筹k + i t ) f 同样地，分析非线性模式对 可以使用如下参数： 叫= j i 上r e a l ( l l j ) l i = 1 ，”： ( 2 3 8 ) 于线性模式的时间调制、激励以及松弛效应时， q = 塑m a x 搿 。 i d ，l “y i ) ( 2 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) q 反映了非线性模式对于线性模式的作用， q 而反映了二次谐振对于线性 模式的作用。式( 2 3 7 ) 的第二项中的模式t e 的包络线的最大值是 2 e 。m j r e a l ( ) ，) i ，n 出6 m i ：用来描述这部分的作用的大小，它与所有的二次 谐振模式有关。在时间正。= 一1 r e a l ( a ，) ，t e 的包络线到达最大值。这个最 大值可能会比较大，但是由于。可能不在仿真时间段内，因此最后它在仿真 结果中的作用会不明显。 在线性模式分析时状态i 中模式p 以的激励水平由iu # y ，。l 决定。从式( 2 3 7 ) 可以看到，在非线性系统中由于非线性作用这种激励水平变成了i el 。因此很 自然地，在计算非线性模式对线性模式的影响时会使用参数1 e “f y 砷l 。但 使用这种参数的缺点是，即便l e i 的值较小，但如果iu o y ，。l 很小，参数 ti u q y j 。l 也可能变得很大，表明在状态f 里非线性特性对模式，的影响很大。 这就说明我们将得到一个很大的参数，但是由于lel 的值较小，其实际影响将 不明显。为了弥补这种情况下的不足，最好采用参数。l ：能够很准确地近 似于每种线性模式实际的激励水平，不管iu o y 扣l 是大是小。1 1 ：中的6 表示一个 婴查堂堡主兰垡塑塞垡塑墅 很小的正数，比如0 1 m a x “。 。1 ) 。在本文中，6 选定为0 1 。因此当参数，1 7 接近1 时，说明线性模式_ ，的激励水平并没有因为非线性特性而发生很大的变 化，或者即便改变了，但在状态i 中这种变化也不明显。 图2 1 模态级数法流程图 是 婴型查茎堡主堂垡堡壅堡! ! 竺 2 4 3 编程实现模态级数分析 基于以上对模态级数法的介绍，可以归纳出用该方法解微分方程组的步骤 的要点如下： 对某一扰动，得到扰动结束时的状态k 。 z i ，- z 。- 点状态j 0 。 列出系统的状态方程( 2 1 ) 。 由系统状态的微分方程以及平衡点状态得到j a c o b i a n 矩阵a ，h e s s i a n 矩 阵，j = 1 ，n 。 得到j o c o b i a n 矩阵的特征值 ，以及左右特征向量u ，v 。 由( 2 - 4 ) 式计算矩阵c ，j _ 1 ，n 。 使用= u - 1 托把初始值= 肖d x s e p 变换到r 0 。 判断( k ，l j ) 是否属于r ；，分别计算式( 2 - 3 2 ) 中的各项，得到模态级数分析。 从以上的介绍可以看出模态级数法的一大优点就是方便于计算机编程实现程序 化。由于m a t l a b 强大的计算功能极其语言的便于识别，本文采用m a t l a b 实现模态级数法。其流程图如图2 1 所示。 2 5 数学算例 本节将通过两个性质不同的数学算例来说明线性分析、向量场正则型方法 以及模态级数法之间的差别，同时验证编程实现的模态级数法是否准确。 首先分别运用m a t l a b 工具箱中直接求解微分方程的命令、线性化方法、 向量场正则型方法以及模态级数法分别求解如下的微分方程： x i = o 2 x l + 0 5 x 2 0 3 x 2 = - 0 8 x l 一0 i x 2 + 0 0 7 工，( 0 ) = 3 ，x 2 ( o ) = 3 ( 2 _