（电力系统及其自动化专业论文）电力系统最优潮流问题研究.pdf

脾华大学硕士学位论文 t h er e s e a r c ho fo p t i o n m a i 。p o w e r f l o wp r o b l e mo np o w e rs y s t e m e l e c t r i cp o w e rs y s t e m sa n da u t o m a t i o ns p e c i a l i t y g r a d u a t es t u d e n tt a oy o n g - - h o n gt u t o rd a iy u - s o n g a b s t r a c t p o w e rs y s t e mo p t i m a lp o w e rf l o w ( o p f ) w a sf i r s ta d v a n c e db yf r e n c hs c h o l a r j c a r p e n t i e ri n 19 6 2 o p fi st or u np o w e rs y s t e mi n s e c u r i t ya n de c o n o m y n o w , w i t ht h ed e r e g u l a t i o no fp o w e ri n d u s t r yi n n o v a t i o n ，i ti sa na t t e n t i o n a lp r o b l e mt o u s et h eo p t i m i z a t i o nt h e o r yi n t op o w e rs y s t e md i s p a t c ha n do b t a i nt h em a x i m u m e c o n o m i cb e b e f i t t h i sp a p e rr e s o l v e sp o w e rf l o ww i t hn e w t o nr a p h s o nm e t h o d s ，u s i n go b j e c t o r i e n t e dp r o g r a m m i n g ( o o p ) v i s u a lb a s i cl a n g u a g et ow r i t ep o w e rs y s t e ml o a d f l o wc u r r e n c yc a l c u l a t i o np r o g r a m m i n g ，a n dt h r o u g ht h et e s td a t a ，t h ee x a c t i t u d eo f t h ep r o g r a m m i n gi sv a l i d a t e d i na d d i t i o n ，t h i sp a p e rs u m su pa n dc o m p a r e c o m m o nm e t h o d sf o ro p ef i n a l l y ，t h i sp a p e rc o m b i n e sm a t l a bw i t hm o d e r n o p t i m i z a t i o nt h e o r yt or e s o l v eo p fb ym e a n so fi n t e r i o rp o i n tm e t h o d ，a n dr e a l i z e s o p fs i m u l a t e dp r o g r a m m i n g w ec a nd r a wac o n c l u s i o nt h a ti n t e r i o rp o i n tm e t h o d c a na c c e l e r a t es p e e df o rr e s o l v i n gl a r g es i z eo fn o n l i n e a rs y s t e m s ，i t e r a t i o nn u m b e r i sn o ts e n s i t i v et os y s t e m ss i z e ，a n dt h a ti n t e r i o rp o i n tm e t h o di sr e l a t i v ei d e a l m e t h o da n d e a s yt ow r i t e k e yw o r d s ：p o w e rs y s t e m o p t i m a lp o w e rf l o w , n e w t o nm e t h o d ，i m e r i o rp o i n t m e t h o d i l 两华大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 本课题研究的目的和意义 电力系统潮流计算是电力系统的一种稳态计算。它的任务是在给定的电 力系统负荷条件下，计算电力系统的运行状态( 线路功率分布、损耗及电压) 。 根据计算结果，可进行系统设计，或者评定这一电力系统运行方式的合理性 和经济性。它是电力系统运行、规划、安全性、可靠性分析和系统优化的基 础，也是暂态分析的基础和出发点。所以，电力系统潮流计算是电力系统分 析中较为广泛、基本、重要的项计算。 很多研究者把潮流计算应用于电力系统经济运行问题的研究，从而丌拓 了一个新的研究领域，通常称之为最优潮流问题。电力系统最优潮流的历史 发展可以回溯到上世纪6 0 年代。最优潮流问题就是寻求这样一种发电机输出 功率( 控制变量) ，在满足系统负荷需要以及满足系统运行约束的情况下，使 得系统运行的经济效益最高。法国的c a r p e n t i e r 首先提出建立在严格数学基 础上的最优潮流模型。该模型计及各种等式、不等式的约束，能够将电力系 统的经济性和安全性结合起来。由于最优潮流能协调电网中的可控设备，使 得全网处于最佳安全运行状态，因此它具有传统经济调度方法无法取代的优 点，在电力系统安全运行、经济调度和电网规划等方面得到广泛的应用。1 = ! 。 最近几年，我国向电力市场方向改革，许多新问题的解决仍依赖于最优 潮流，如能利用最优潮流解决电力市场中的传输拥挤问题、计算节点的实时 电价、电力转运费等等，尽管现有的最优潮流( o p f ) 算法对安全经济调度在 线应用很困难，但以上的各种计算还没有实时性要求，因此最优潮流在电力 市场中也将发挥很大的作用。 鉴于这个问题对电力工业和国民经济有重大的意义，能产生巨大的社会、 经济效益，以及国内研究的落后状态，特决定开展这一有意义的研究工作。 西华大学硕士学位论文 1 2 本课题主要研究工作 电力系统最优潮流算法常见的有牛顿法( 简化梯度法) ；线性规划： 二次规划；非线性规划；内点理论“”1 本文对几种主要算法进行了分析、比较，并优选合适算法进行程序设计。 采用牛顿法用v i s u a lb a s i c 语言编写了潮流计算的程序，然后采用内点法用 m a t l a b 软件进行了最优潮流仿真程序设计，通过实验网络来检验算法的正确 性和快速性，取得一定效果。并争取把开发的软件用于实际的电力系统工程， 提出实际系统数据采集和最优化操作指令系统实现的方案和技术线路，向实 际工程迈进。 西华人学硕士学位论文 第二章电力系统最优潮流的基本原理 2 1 最优潮流的数学模型州m 1 常见的最优潮流问题一般是多元函数的条件极值问题，可以用以下形式 表示： m i np ( u ，曲 ( 2 1 ) s ：t f ( u ，曲= 0 h ( u ，曲o ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中p 为目标函数，1 , l 为控制变量，x 为状态变量，为潮流方程即等式 约束条件，h 为不等式约束条件。f ( u ，x ) = 0 ，h ( u ，曲0 称为约束条件。s t 是s u b j e c tt o 的缩写，表示优化变量“，x 受约束条件的限制。 2 1 1 控制变量和状态变量 最常见的控制变量包括：电源的有功功率和无功功率、有载调压变压器 变比、并联电容器组或电抗器组等。 最常见的状态变量包括：节点电压幅值、节点电压相位角等。另外还有 负荷的有功功率和无功功率。 2 1 2 目标函数 目标函数可以是任何一个有意义的标量函数。 的目的来定义。最常见的目标函数有： ( 1 ) 发电机运行费用极小化 n g m i nc = c j ( p g ，) 其中n g 是发电机组的台数。 ( 2 ) 有功网损极小化 只。= p o ，一 不同的目标函数可按特定 ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 西华大学硕士学位论文 也可以写成 圪。为节点i n 口- i n 度的有功； b ，为节点i 的有功负荷； 珞为平衡节点发电机的有功功率。 对于负荷节点，其相应的屹，和q g ，都黄成零。 ( 2 - 6 ) 2 1 3 等式约束条件 最优潮流的等式约束条件就是节点电压方程推出的非线性方程： 采用直角坐标时，假定系统中的第1 ，2 ，m 号节点为p q 节点，第i 个 节点的给定的功率设为足和级，对该节点可列写方程 蜩= 尸，一只= 只，一q ( g 。e ，一b o 乃) 一：( g f 乃+ 岛e ，) = 0 n q = q 。一q ，= 级一，( g 。g ，一嘎正) + q ( g 。+ 岛p ，) = 0 ( f = l ，2 ，m )( 2 - 7 ) 假定系统中的第m + 1 ，m + 2 ，n 号节点为p v 节点，则对其中每一个节点 可列写方程： nn p t = p r p ? = p re ? 岭 一b ，f i 、一f ( c o f _ ，+ bu e i ) = 0 j lj ；i 2 = ，2 一2 = 嘭一( e ? + ，2 ) = 0 ( i = m + 1 ，m + 2 ，n 一1 ) ( 2 - 8 ) 第n 号节点为平衡节点。 最优潮流等式约束条件，采用节点极坐标形式的节点功率方程可写成： 一 + ) 一 吃 ，2 j l 、j昂 一 喀，l = 盯 吃 砖华火学硕士学位论文 只= q ( 嚷c o s e j + b 0s i n a i ) j = 1 n q = u 。u j ( g s i n 0 , 一b , jc o s 乞) j = l 或= 只一0 j ，是i 、_ ，两节点电压的相位角差。 2 1 4 不等式约束条件 ( 1 ) 所有电源节点有功功率上、下限： 尼r a i n 尼f 弓。 ( 2 ) 所有电源节点无功功率上、下限： q o 。1 2 a q b ，。 ( 3 ) 有载调压变压器变比上、下限： t k m i 。- - 气m 为变压器变比； ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 4 ) 所有节点电压幅值上、下限： 巧 ( 2 1 2 ) ( 5 ) 输电线路或变压器等元件中通过的最大电流约束： ( 6 ) 线路通过的最大有功潮流或无功潮流约束； ( 7 ) 线路两侧节点电压相角差约束。 2 2 牛顿法最优潮流2 3 7 m 帅3 牛顿法优化潮流计算的数学模型见( 2 - 1 ) 一( 2 - 3 ) 式的描述，牛顿法中将等 式约束由l a g r a n g e 乘子 引入到目标函数中，构成如下的扩展l a g r a n g e 函 数： 3 l ( x ，a ) = f ( x ) + 咒7 g ( x ) ( 2 一1 3 ) 西华大学硕士学位论文 为l a g r a n g e 乘子，g ( x ) 为v f ( x ) ，为函数( x ) 在x 处的一阶导数 或梯度。 式( 2 - 1 3 ) 是一组以矢量x 和2 为变量韵无约束的非线性方程组，用牛顿 法求解式( 2 1 3 ) 的迭代方程为： 黔0 7 ：i _ 一 嬲 上式中的爿【z ，叫为v2 ( x ) 即( x ) 在x 处的二阶导数或海森( h e s s i a n ) 阵，t 副为等式约束的j a c c o b i 矩阵。以( 2 一1 4 ) 式求出的结果对各变量进行 修正，将修正后违约的变量或函数以罚函数的形式引入到增广的目标函数中， 由于引入的罚函数只对h e s s i a n 阵的部分对角元素有影响，因此对违约不等 式约束的处理，在牛顿法中多采用试验迭代处理，对违约变量进行修正。 自从1 9 8 4 年d a v i ds u n 等人提出以牛顿法解最优潮流到现在，已经有多位学 者对该方法做出了更全面的研究和改进，而不同文献对牛顿法最优潮流0 p f 中不 等式约束处理提出了不同的处理方案。 牛顿法最优潮流的特点： ( 1 ) 充分利用了电力系统元素的稀疏性，计算量大大减小； ( 2 ) 用试验迭代确定有效约束集，编程实现困难； ( 3 ) 对应控制变量的h e s s i a n 阵对角元素易出现小值或零值，造成矩阵奇异： ( 4 ) 引入的l a g r a n g e 乘子的初值对迭代计算的稳定性影响大。 牛顿法具有二阶收敛性，在收敛性方面比非线性规划的梯度法好，但在 解晟优潮流时须解h e s s i a n 矩阵，这使问题变得复杂。 有关牛顿法求解潮流的算法及计算机程序说明详见第三章。 2 3 简化梯度法最优潮流3 2 3 1 简化梯度法最优潮流 在最优潮流计算中，最常用的梯度类算法是简化梯度法。简化梯度法是 在控制变量空间，采用k t 罚函数法进行梯度类寻优的方法。 ( 1 ) 将不等式约束引入目标函数。对于有功网损极小优化问题，用罚函数 将函数不等式约束引入目标函数： 6 西华大学硕士学位论文 m i n p ( 训) = 只( 训) + 扛2 ( 础) ，e n j r f ( x ，”) = 0 ( 2 - 1 5 ) 式中q 是越界的约束集合，q 是罚因子，是一个很大的正数。 ( 2 1 5 ) 式中用拉格朗日乘子矢量五将等式约束引入，建立拉格朗日函数： l ( r ，“，丑) = p ( x ，“) + 7 厂( z ，“) ( 2 - 1 6 ) 就把最优潮流问题转化为求取( 2 1 6 ) 式的拉格朗日函数的极小值问题。 即找一组合适的x ，u ，旯使( 2 - 1 6 ) 式取极小。 用经典的函数求极值的方法求解。 鲁嬖阵 _ l 嬖：o 抛锄i 良i & f ( x ，“) = 0 ( 2 - 1 8 ) 实际上( 2 1 7 ) 式就是控制变量u 和目标函数之间的灵敏度关系。 v 沪a , f _ c 3 p 一婺箪1 - 娑 ( 2 - 1 9 ) ”抛抛j 玉l 舐 v 。是目标函数对控制变量的全导数。 “= u “一钾。“ ( 2 2 0 ) 用( 2 2 0 ) 式求出修正后的控制变量。 其中，口是标量，决定修j 下步长，上角标k 表示迭代次数。求得新的控 制变量”“”，将它代到( 2 1 8 ) 式中计算潮流得新的状态变量x “”，用“ 和x f k + 1 ) 代入( 2 一1 9 ) 求新的梯度，直到最后梯度足够小为止。 ( 2 ) 确定修正步长。 在简化梯度法解算最优潮流中，我们采用的是黄金分割法即o 6 1 8 法确定 最优步长。该方法直观、简单，具有一阶收敛性。但是该方法存在锯齿现象， 在接近最优解的时候，梯度基本为零，收敛很慢。 西华大学硕士学位论文 2 3 2 共轭梯度法最优潮流 共轭梯度法是逐次利用一维搜索所得的极小点处的负梯度方向生成共轭方 向的一种比较有效的共轭方向法。在迭代的第一步，取负梯度方向作为搜索方 向，即s o = 一v f ( x o ) ，而以后各步其搜索方向取为 s = 一v f ( x 4 + 1 ) = a s 式中孱= 需黼( 2 - 2 1 ) 共轭梯度法迭代步骤： ( 1 ) 给定初始点x “，并令s o = 一w ( x o ) ： ( 2 ) 对于k = o ，1 ，2 ，n 一1 若ij 可y ( x 冲1 ) | | 占，否则 令x ( + 1 = x + s 式中五使x + 五5 取极小值。 当k n 一1 时，令s “1 1 = 一v f ( x 冲“1 ) = p , s 。 式中，展出式( 2 - 2 1 ) 确定。 ( 3 ) 以x ”代替z ( ”，并回到第一步。 2 3 3 改进的简化梯度法最优潮流 改进简化梯度法解算最优潮流，就是用简化梯度法和共轭梯度法的组合 算法解算最优潮流。 ( i )共轭梯度法是一个二阶收敛的算法，在目标函数二次性较强时有较好的 收敛性。而简化梯度法却在非二次性较强的地方能使目标函数下降较快。 这就是说，简化梯度法在初始点远离极小点时，开头几步下降是比较快的， 可在计算初始阶段用最速下降方向进行寻查，只是到了接近极小点时，h 标函数的性态近似于二次函数时，再用二阶收敛算法一共轭梯度法，这样 可以缩短计算过程。 ( 2 ) 在实际运用二阶收敛算法时，可以采取再开始的办法，即在计算进行 棚华大学硕士学位论文 步( 或n + i 步) 时，以所得的近似极小点x 。为初始点，重新进行迭代。由于 算法的初始阶段寻查方向为最速下降方向，也有利于突破目标函数的非二 次性，同时减小误差的积累。 改进梯度法最优潮流的特点： ( 1 )改进简化梯度法采用快速分解法解算潮流方程，克服了简化梯度法采用 牛顿法解算潮流方程计算复杂、速度慢的不足，从而使计算速度得到进一 步提高。 ( 2 ) 采用改进简化梯度法，充分发挥了简化梯度法起步阶段收敛速度快的优 点，并在接近最优点处运用共轭梯度法具有二阶收敛可靠性的特点，从而获 得了良好的收敛性，尤其是在接近最优点处。 2 4 线性规划法。1 线性规划是研究在一组线性约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值 的问题。 线性规划用非负变量的线性化形式来处理问题的目标函数和约束条件，其 标准形式为： r a i n f ( x 1 = c 7 x s ，h ( x ) = a x b = 0 ( 2 - 2 2 ) x 0 线性规划方法对严格的凸函数优化很有效，但对有功无功耦合的目标函数 优化，尤其是对以网损最小化为目标的优化效果不好，加之在最优潮流问题中， 要考虑的等式约束方程，即每个节点的有功和无功功率注入平衡方程是典型的 非线性方程，因此在耦合的最优潮流问题中较少使用线性规划法求解。但由于 有功潮流可以以很好的精度线性化，而电力系统经济调度主要对发电厂有功进 行调配，因此线性规划方法能够在安全约束经济调度中广泛地应用。”“而电力 系统无功优化非线性较强，线性化后的优化效果较差，所以在最优潮流中，线 性规划方法多数用在解耦最优潮流的p o 迭代中。它的优点是计算速度快、收 敛可靠，便于处理大量的约束，因此适合对大系统进行优化计算。 线性规划的缺点：“2 3 蝤华人学硕士学位论文 ( 1 ) 电力系统的最优潮流问题在数学上可表现为非线性规划问题，是很复杂 的，将其线性化只是一种简化过程，会使问题考虑不周全； ( 2 ) 处理线性规划问题最有效的方法是单纯形法。但单纯形法是一种幂指数 时间算法，迭代次数会随约束条件和变量数目的增加而迅速增加，一旦规模扩 大，求解矩阵会变得非常庞大、占用内存多、计算时间长，无法满足实际应用 的需要。 2 5 非线性规划法 非线性规划法处理在等式约束和不等式约束条件下优化目标函数，其中等 式约束、不等式约束或目标函数至少有一个为非线性函数。 其中二次规划法、牛顿法、惩罚函数法以及内点法都属于非线性规划法。 由于最优潮流问题中的等式约束是典型的非线性等式，因此非线性规划法也就 成为解决最优潮流问题的常用方法。 用同一种方法处理解耦最优潮流中的有功、无功子问题，往往是有功子问 题收敛效果好，而无功子问题的优化收敛很慢，针对这一现象，可用线性规划 法求解有功优化子问题，用非线性规划法求解无功优化子问题。用解耦法可以 降低矩阵的维数，采用不同的方法，可以达到节约内存，提高计算速度的目的。 2 6 二次规划法”1 二次规划法是一种特定形式的非线性规划，其目标函数是二次实函数，约 束是线性的等式、不等式。其标准形式为： 1 m i n f ( x ) = 妄x g x + g 7 z z s f a x = b f e( 2 - 2 3 ) a x = b i i 其中：x r ”，g r ，e = 1 ，2 ，m 。) ，i = m 。+ l ，m ) ，b r ”，4 r 7 。 由于二次规划可以由泰勒级数展开转化为线性规划，因求解简单而近年来 得到了人们的青睐。且二次规划法和牛顿法都是二阶的方法，用这两种方法解 决最优潮流问题收敛精度较好，同时非线性规划法能克服线性规划的毛病，能 很好地解决耦合的最优潮流问题，但这类方法的缺点是计算l a g r a n g e 函数的二 西华大学硕士学位论文 阶偏导数，计算量大、计算复杂。 2 7 内点法1 町2 0 3 3 1 9 8 4 年，k a r m a r k a r 提出了线性规划的一个新算法，即内点法。内点法0 p f 从初始内点出发，沿着最速下降方向，从可行域内部直接走向最优解。内点法 一般是以对数障碍函数为基础的，针对不等式约束，引入松弛变量将不等式约 束转化为等式约束，引入l a g r a n g e 乘子将等式约束( 2 - - 2 ) 和由( 2 - - 3 ) 式转化成 的等式约束引入扩展的目标函数，同时在原目标函数中对各松弛变量引入对数 障碍的数，形成如下的扩展目标函数： m i n f = 厂( x ) + r 1 【h ( x ) + s x h + “1 矗( x ) 一s d h 】+ 卢【l i l ( s ，) + l n ( s d ) 】 ( 2 2 4 ) 对无约束( 2 2 4 ) 式的优化，用下面的方法求解： 眇j ( x _ 蚪一 z s ， 其中( 2 2 5 ) 式与( 2 2 4 ) 式相比大大降低了问题的维数，同时也可以借鉴牛顿法 最优潮流的计算方法，系数矩阵也是高度稀疏的，可以充分利用电力系统的稀 疏性，而且内点法不需要试验迭代，因此编程比牛顿法要简单，易于实现。 内点法的特点： ( 1 ) 其迭代次数与系统规模或控制变量的数目关系不大； ( 2 ) 数值鲁棒性强； ( 3 ) 没有识别起作用约束集的困难。 关于内点法的详细叙述见第四章。 2 8 其它算法 最优潮流具有不等式约束众多的特点，因此影响求解最优潮流算法成功 主要有两个障碍，一是如何快速计算处理大型系统问题；二是如何处理各种 不同类型的函数不等式约束问题。 其它算法有二次规划和线性规划混合法、线性规划和整数规划混合法、 遗传算法、人工智能算法等等。”7 两华大学硕士学位论文 第三章电力系统潮流计算程序实现 3 1 计算机潮流计算的基本原理“盯 这里只讨论牛顿一拉夫逊法潮流计算的基本原理，并用直角坐标表示时的 牛顿一拉夫逊法来实现潮流计算的程序。 设有单变量非线性方程 厂( x ) = 0 ( 3 - 1 ) 迭代计算的通式为x “1 = x “一厂( x ) f ( x ) ( 3 2 ) 迭代过程的收敛判据为l 厂( x ) l s ， ( 3 - 3 ) 或i a x 忙i o ，w o ，y = 1 7 ，原始变量x 为适当值； 计算初始互补间隙g 印= ( ，一“w ，) 。 j = l ( 2 ) w h i l e ( k = e ) d o a 计算扰动因予口tc r g a p 2 r ；式中r 为松弛变量维数 b 懈修正方程，求出 血，妙】， ，a u ， a z ，a w 】； c 分别在原始和对偶空间进行可行性检验，以确定原始和对偶步长s t e p 。 d s t e p d 。 s 坼- - - 0 9 9 9 妣呼i 唔：越 。；吾：挑 嘁 s 蚺，= o 9 9 9 5 m i n 删n 譬- - z ：& ， 0 ，- - 舢1 4 z 。：她 = k 。计算不收敛，停止。 ( 4 ) 如果( g a p 占) ，输出最优解，计算结束。 4 2 内点法最优潮流的符号计算口司“” m a t a b 是m a t h w o r k s 公司开发的新一代科学与工程计算软件包，其强大的矩 阵运算和数值分析能力类似于c 语言的编程环境，为大规模工程数值计算程序的 开发提供了强有力的工具。 另外，m a t l a b 以m a p l e 内核为计算引擎内建了符号计算工具箱，使其强大的 矩阵运算功能扩展为符号计算，增强了m a t l a b b 的理论分析能力。 通过对路径跟踪内点算法的分析不难发现，算法的困难之处主要在第( 2 ) 步中反复形成众多函数的海森矩阵并按系数累加及最后修正方程( 4 - 6 ) 和( 4 7 ) 的求解上。 内点法最优潮流的主要工作量在于针对不同的优化模型，需要对其中大量 的海森矩阵公式进行推导和编程实现，这点可以利用m a t l a b 的符号计算工具箱， 设置所需的符号变量，通过编程实现。 而一旦得到式( 4 7 ) 的符号结果： 豳= 嚣钾= 隅 c 。叫 这将极大简化了编程的复杂程度，并使程序代码非常清晰，易于维护。 需注意的是符号结果可以以文件的形式保存下来，供以后计算多次使用。 为此内点最优潮流的计算流程可作如下改进： ( 1 ) a ：设定所有原始和对偶变量的符号变量s y m b o l ( x ，u ；y ，y ，z ，m ，) 及导纳 矩阵各元素的符号变量s y m b o l ( g 。) ； b ：根据式( 2 一1 ) ( 2 5 ) 形成等式约束的符号表达式s y m b o l h ( x ) 、不等 式约束的符号表达式s y m b o l g ( x ) 及目标函数的符号表达式s y n t b