（航空宇航制造工程专业论文）复杂曲面优化展开技术研究.pdf

西北工业大学硕上学位论文 摘要 本文以三维欧几里得空间曲面为对象，对其展开与优化问题进行了研究。 本文的工作可概括为以下几个方面： 1 、总结分析了近十余年来有关曲亟展开技术研究的文献，并对各种技术 方法进行了分类。 2 、利用经典微分几何学的理论对曲面在空间中的弯曲状态进行了分析， 定义了曲面弯曲的概念，指出了可展曲面的基本特征。根据g a u s s 球面映射的 方法，提出了一种可用于离散曲面可展特性分析的球面投影分析方法。 3 、根据曲面变形连续均匀的特点，提出了一种基于单元等变形的三角形 曲面网格拓扑等价映射算法，将可展曲面与不可展曲面的网格采用统一的形式 展开到平面上。对于可展曲面，利用该算法可以得到在一定误差范围内的展丌 结果；对于不可展曲面，则可得到与原曲面拓扑等价的展开网格。 4 、分析了曲面展开单元中的变形情况，提出了表示单元变形的l a g r a n g e 位移法。论证了用于展开优化的理想弹性应力应变关系，提出一种用于衡量 展开变形作用效果的等效载荷计算方法。根据有限元方法，引入网格结点结构 位移，建立了以单元结点l a g r a n g e 位移和结构位移表达的变形位能泛函，利 用变分法理论建立了使变形位能取极小值的优化模型。 5 、本文对所提出的各主要算法的复杂性及其解的收敛性分别进行了讨 论，并给出适当的算例以分析算法的效果。 关键词：复杂曲面，曲面展开，优化展开，毛料计算，钣金，有限元 西北工业大学倾士学位论义 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h eo p t i m a ld e v e l o p m e n to f c u r v e ds u r f a c e si n3 - d i m e s i o n e u c l i d e a ns p a c e t h em a j o rw o r k so f t h i sp a p e r i n c l u d et h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： 1ar e v i e wo ft h er e s e a r c h e so nc u r v e ds u r f a c e sd e v e l o p m e n ti sp r e s e n t e d t h e d e v e l o p m e n t m e t h o d sa r ec l a s s i f i e db a s e do nt h es t r a t e g i e sa d o p t e d 2 t h eb e n d i n gs t a t u so fc u r v e ds u r f a c e si sa n a l y z e dw i t h d i f f e r e n t i a lg e o m e t r i c a l t h e o r ya n dt h ec o n c e p tc u r v eo fas u r f a c e i sd e f i n e d a sar e s u l t ，t h ee s s e n t i a l f e a t u r e so fad e v e l o p a b l es u r f a c ea r ep r e s e n t e d an e wm e t h o dt h a tc a nb eu s e dt o a n a l y z et h ed e v e l o p a b i l i t yo f ac u r v e ds u r f a c e s m e s hi sp r o p o s e db a s e do ng a u s s i a n t h e o r yo fm a p p i n g ac u r v e ds u r f a c eo n t oau n i tg l o b a ls u r f a c e 3 an e wm e t h o di s p r o p o s e d t o h o m o - t o p o l o g i c a l l ym a pat r i a n g u l a r f i n i t e e l e m e n tm e s hi n t oa p l a n a rs h a p e b a s e do nt h e a s s u m p t i o n t h a tt h es u r f a c e d e f o r m a t i o ni sc o n t i n u o u sa n dh o m o g e n e o u s w n ht h i s m e t h o d d e v e l o p a b l e s u r f a c e sa n dn o n - d e v e l o p a b l es u r f a c e sc a nb ed e v e l o p e di nau n i q u ew a y t h e d e v e l o p a b l es u r f a c e s c a nb e d e v e l o p e ds u b m i t t e dt o c e r t a i ne r r o r ，a n dt h en o n d e v e l o p a b l es u r f a c e sd e v e l o p e dh o m o t o p o l o g i c a l l y 4 t h ed e f o r m a t i o nd i s t r i b u t e di nt h e d e v e l o p e d s u r f a c ei s a n a l y z e d ，a n d a l a g r a n g ed e f o r m a t i o nd i s p l a c e m e n ti sp r o p o s e dt o d e s c r i b et h ed e f o r m a t i o no fa n e l e m e n t t h e n ，a ni d e a le l a s t i cs t r e s s s t r a i nr e l a t i o nm o d e l i sd e b a t e dt ob u i l d u pt h e e q u i v a l e n t l o a df r o mt h e d e v e l o p m e n t d e f o r m a t i o n t h e p o t e n t i a le n e r g y f o n c t i o n e l l ei sb u i l tw i t ht h es t r u c t u r a ld i s p l a c e m e n t si n t r o d u c e d t h eo p t i m i z a t i o n e q u a t i o n sa r eb u i l tb ym a k i n gt h ev a r i a t i o no f t h ep o t e n t i a le n e r g yf o n c t i o n e l l eb e z e r o 5 t h ec o n v e r g e n c ea n dc o m p l e x i t yo fa l lt h ea l g o r i t h m sp r o p o s e di nt h ep a p e ra r e d e b a t e d e x a m p l e s a r eg i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so f t h ea l g o r i t h m s k e y w o r d s ：c u r v e ds u r f a c e s ，s u r f a c ed e v e l o p m e n t ，o p t i m a ld e v e l o p m e n t ，b l a n k s d e s i g n ，s h e e tm e t a l ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 两北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 在钣金制造、服装裁剪、制鞋等行业中，产品的一部分或者整体往往是具 有一定的曲面几何特征的薄壁结构。设计者在设计这些产品时，通常是根据零 件的功能、外观美学等方面的需求直接设计出产品最终的结构形状与尺寸，而 不是制造这些产品所需要的坯料。坯料的形状和尺寸是在生产时由制造工艺工 程师计算确定的，这是产品投入生产前的一个关键环节，其效率与质量往往直 接影响到整个生产过程的效率与质量。 根据制造手段的不同，一般可以将各种薄壁结构分为以下三类： 1 ) 由单块平面坯料经弯曲、局部拉伸、局部压缩等变形而成，如飞机机 翼上的分块蒙皮、整体壁板，船舶壳体的曲板，汽车的覆盖件等： 2 ) 由多块一定形状的平面坯料经简单弯曲后拼接而成，如服装中分片缝 合的布料，制鞋中分片缝合的皮革、布料等； 3 ) 由可流动变形的材料在模具型腔内注射而成，如各种塑料注塑件等。 以上第类、第二类薄壁结构的坯料计算可以抽象为个相似的过程，即 将薄壁结构所反映的空间曲面展开到一张平面上，从而得到加工这些薄壁结构 所需平面坯料的形状与尺寸，这个过程称为曲面展开。第三类薄壁结构的坯料 计算则转化为结构所占空间体积的计算，一般不需要进行展开计算。 传统的曲面展开方法是一种以法国数学家g m o n g e ( 1 7 4 6 1 8 1 8 ) 所创立 的画法几何理论为基础的放样法，其展开计算过程 1 1 一般分为放样和展开两 步：首先，工程师按一定的比例画出零件的投影图( 通常称为放样图) ：然 后，根据放样图及工程师自己的经验在二维图纸上计算展开得到产品的坯料 图。多年来，该方法在钣金、服装等行业中已发展成为一项比较成熟的专门技 术。 但是随着设计技术的不断发展，特别是计算机辅助设计( c a d ) 技术的出 现，设计者可以借助辅助设计工具轻而易举地设计出多种外形美观的高质量曲 面结构产品，但这给传统的坯料计算技术带来了几项比较突出的困难：一是曲 1 西北r 业大学硕士学位论文 面形状复杂化，多为不可展的复杂曲面，建立在投影理论基础上的坯料计算方 法难于处理该类问题；二是设计趋于无纸化，而采用传统的坯料计算方法需要 给出零件的放样图，使坯料计算工作变得更为繁杂，效率低下。 另外，随着制造技术的发展，出现了一些传统展开技术难以展开的薄壁结 构件。比如在计算飞机机翼的整体壁板件的坯料时，不但需要展开其曲面，而 且需要在所展开的平面上定位大量的结构信息【2 l ，【3 】。 在新的设计制造技术条件下，来自不同领域的需求使得有关曲面展开技术 的研究从2 0 世纪9 0 年代初期开始日见增多，但仍有不少问题值得深入研究。作 者有幸参与了一项与该技术相关的课题，于两年前开始对该项技术进行研究。 在导师的指导下以及前辈与同行工作的基础上，经过不断地学习与研究，形成 了一些新的见解，写成本篇论文。 作为论文的开篇，本章主要介绍复杂曲面展开技术研究的发展情况，并对 作者本人的研究内容及所做的工作进行简单的介绍。 1 1 复杂曲面展开技术 曲面展开是一个将三维空间中的曲面映射到平面上的过程。有关曲面映射 的性质，如等距、保积、短程、连续以及保形等，很早就为许多数学家所认识 到并有所论述【4 】。但有关如何在一定的物理意义下将不可展曲面近似展开为平 面的研究，则主要开始于2 0 世纪9 0 年代初期。文献 5 中记载了复旦大学数学系 的一些教师与学生所研究提出的一种将不可展曲面近似展开的方法，但该项研 究成果似乎只记在了这本教科书里。ts h i m a d a l 6 1 和b k h i n d s 7 】所各自公开发 表的独立研究工作则可以看作是有关该项技术研究高潮的一个开端：他们的研 究领域分别是制鞋和服装裁剪。此后，各个专业领域的曲面展开技术相继提 出，使该技术不断得到发展。 根据所采用的理论方法的特点，可以将曲面展开的方法从总体上分为几何 方法和力学方法两种类型。几何方法一般是从曲面的几何特性出发，按一定的 规则，例如保持面积不变，将整张曲面展开到平面上；力学方法则主要从分 析、模拟曲面材料中的应力与应变出发，计算曲面的展开形状和尺寸。下面对 2 西北工业大学硕士学位论义 这两种方法的发展情况分别予以介绍。 11 1 几何方法曲面展开技术 文献 5 】中所记述的方法是将不可展曲面到平面的近似展开归结为一个无约 束的极值问题，其目标是使展开前后衄面网格上对应结点与其相邻结点之间距 离差值的平方总和按权值达到最小。采用这种算法可将不可展曲面展开为平面 上一片连续的区域，研究者将这种方法用于船体曲板的展开。 b k h i n d s 7 】等人在1 9 9 1 年借助于曲面高斯曲率将复杂曲面划分成多条椭圆 形或双曲线形的区域，这些区域都近似为可展曲面。将各条形区域展开后按一 定方式排列起来，用近似的方法获得曲面的整体展开图。h i n d s 将该方法应用 于服装裁剪。与此相似，杨继新【2 0 1 等在2 0 0 1 年提出种在复杂曲面的两条空间 曲线之间构造可展面来逼近复杂曲面使复杂曲面可展化从而将其展开的方法。 杨的研究也是用于服装裁剪，与h i n d s 的不同之处在于杨首先用一种称为“刮 大白”的方法将服装曲面分割成几个分片，然后将各分片用可展曲面逼近并展 开。 l a x m ip a r i d a 年d s p m u d u r 8 1 在1 9 9 3 年提出了一种用于复合材料分层曲面展 开的方法。其做法是首先将曲面分片近似展开，然后调整展开的各平面片之间 的裂缝与重叠区域，使裂缝与重叠区域的走向符合复合材料设计的要求。 文献【9 中记述了一种正映射的曲面展开方法，将一定的曲面等面积地交换 为一定的平面图形，从而得到拉深件的毛料形状。康小明等口】对这种方法作了 进一步的阐述，并给出了确定定义于外形曲面上的零件结构信息在展开平面上 的位置的方法。 p h i l l i pn a z a r i a d i s 和n i k o sa a s p r a g a t h o s 0 0 l 在1 9 9 7 年根据测地线原理和高 斯曲率给出复杂曲面的初始展开形状。其初始展开的曲面片之间存在裂缝和重 叠，作者给出了一定的优化策略来消除这些裂缝和重叠区域。2 0 0 0 年 1 1 1 ， a z a r i a d i s 与a s p r a g a t h o s y 提出一种用于纹理映射的“导引条”曲面展开算法。 算法首先根据高斯曲率和测地曲率给出曲面的展开路径及合适的“导引条”， 西北工业大学硕士学位论文 使初始展开平面中条形区域之间的裂缝和重叠区域最小，然后在平面上以导引 条为参考将曲面上的其他条形区域展开。按该算法将不可展曲面展开所得到的 平面片之间依然存在裂缝和重叠，最后仍需采用一定的策略消除。2 0 0 1 年【l “， a z a r i a d i s 与a s p r a g a t h o s 进一步提出两种曲面展开全局优化算法。其第一种方法 是无约束的全局优化法，第二种则是可控制局部展开精度的全局优化法。与第 一种方法相比，第二种方法不依赖于曲面参数，而是借助于成形分析中的三角 形网格。a z a r i a d i s 与a s p r a g a t h o s 所提出的曲面展开算法主要应用于图形纹理映 射和制鞋行业中的鞋样设计。 席平在1 9 9 7 年【l ”提出一种用于计算钣金拉深件毛料的曲面展开算法。席首 先将零件曲面划分为若干条状区域并将每一区域用一条直纹面逼近，然后将每 一条直纹面进行三角剖分并将所有的三角平面展开到同一平面上，得到有重叠 与裂缝的展开结果。她没有给出消除重叠与裂缝的方法。在同一年发表的另一 篇文章1 1 4 l 中，席给出了一种力学修正的方法，使初始展开面中的重叠与裂缝消 失，并用样条曲线拟合修f 所得图形的轮廓线，得到零件的展开面。1 9 9 8 年 ”，席又与另外几位研究者共同提出了一种几何修征方法，其基本依据是使毛 料与零件的面积相等，对展开在平面上的网格进行合并、旋转、变形等处理， 消除各带状区域之间的重叠与裂缝，从而得到完整的展开面。 w o n j o o nc h o 1 6 1 等在1 9 9 8 年提出了一种曲面网格近似展开的方法。c h o 通 过使映射函数的误差最小化得到参数化曲面片与其三角形区域之间的局部近似 等距映射，并给出了一种获取映射函数初始值的方法。c h o 通过直接移除平面 网格中自相交线的方法来保证三角形域与参数空间之间拓扑同构。 毛听1 1 7 j 在1 9 9 8 年提出了一种展开复杂曲面的“基带”方法，并给出衡量曲 面展开误差及曲面可展程度的方法。其曲面展开误差是通过相对面积误差和相 对网线角度误差的最大值来衡量的：其曲面可展程度是通过相对面积平均误 差、相对角度最大值平均误差和相对角度平均值平均误差三项数据来衡量的。 p h i l l i pn a z a r i a d i s 在2 0 0 0 年提出的“导引条”方法 1 l 】与毛的“基带”方法类 似。2 0 0 2 年【l 8 1 ，毛听与其合作者迸一步对可展度的衡量方法进行了修正，避免 了抛物点对可展度计算的影响。并利用可展度的概念与方法对“基带”曲面展 4 西北工业大学硕十学位论立 开方法进行了改进，使展开精度有所提高。 徐兆康1 9 1 在2 0 0 0 年对传统的手工求作外板展开图方法作了一定的修改和规 定，提出了一种称作“肋骨弯度法”的船体曲板展开方法。其做法是以曲面上 居中部位的测地线作为展开计算的轴线，在该轴线上按一定的间距取与轴线正 交的曲面测地线作为“肋骨线”，将轴线按其实长展开到平面上，肋骨线按其 弯度( 挠度) 展开到平面上，得到曲面的展开轮廓。 陈动人等【2 1 1 在2 0 0 3 年提出了曲面的伪直母线概念，并利用伪直母线对三角 形离散曲面网格进行分片。陈采用三角片旋转法将分片后的曲面网格展开到平 面上。很明显，将不可展曲面按这种方法展开所得到的结果中存在裂缝与重 叠，作者并没有对此作进一步的探讨。 i 1 2 力学方法曲面展开技术 ts h i m a d a 2 2 1 在1 9 9 1 年提出了一种复杂曲面近似展开的动态优化方法。 s h i m a d a 首先将目标曲面离散成条状区域，然后将每一块条状区域展开。曲面 的最终展开形状是通过解算一个多步决策过程得到的。作者给出了一种如何获 取一个较好初始形状的两阶段算法。 x c h e n 和r s o w e r b y 2 3 , 2 4 与其合作者在1 9 9 0 年根据滑移线理论提出了一 种用于计算拉深件毛料的算法。正如作者自己所指出的，其展开结果中存在与 h e n k y 方程相矛盾的地方。1 9 9 6 年，他们对展开滑移场中的平面应力进行优 化，使其符合h e n k y 方程，从而得到优化的毛料形状。 吴建军、马泽恩等 2 5 , 2 6 】根据势流原理提出了一种计算任意斜壁拉深件毛料 的边界元方法。作者将拉深件突缘材料的流动处理为势流问题，其突缘外缘为 等势线，沿外缘线金属切向流速为零，内缘法向速度相同。作者根据斜壁拉深 件的截面形状建立了零件的分层阶梯模型，并设计了一种从拉深件1 1 1 部至底部 逆向逐层展开的算法，最终求出合理的毛坯形状。在计算过程中，每展开一层 时，研究者用面积相等条件对展开的面积进行检验、修正。 j m c c a r t n e y ，b k h i n d s 等阻2 8 1 在2 0 0 0 年提出一种展开纺织物产品曲面的 西北工业大学颁士学位论文 算法，其目标是使从平面形状成形为空间形状时的能量最小。算法中需要着重 考虑曲面偏离可展曲面的程度、衡量能量的因素以及基于能量分布的织物几何 形状预测。最后得到的展开面应该使成形所需的总能量最小。曲面展开形状受 织物材料的特性影响。 g u o x i ny u 等【2 9 】在2 0 0 0 年提出一种复杂曲面展开的非线性优化方法，使从 曲面到平面的展开中只有拉伸应力，而从平面到曲面的成形只需要压缩。这与 线热成形的机理是一致的。对于其它成形工艺，只需对目标函数公式稍做修改 以考虑成形中的膨胀因素。文中提出了沿等参线和主曲率线展开的两种方法， 但最后的结果表明这两种方法之间并无多大的区别。g u o x i ny u 指出沿主曲率 线展开所给出的应变梯度更符合实际一些。为提高算法效率，y u 建议将曲面划 分成定数量的分片，但由此而得到的最后结果未必是全局最优的结果。 兰箭等 3 0 , 3 1 在2 0 0 1 年根据形变理论及理想形变假设提出一种用于板料成形 设计的逆算法。其假设认为变形是在整体塑性功取得相对极值的条件下得到 的。 张其林等 3 2 , 3 3 1 在2 0 0 1 年提出一种将任意空间曲面近似展开为平面的准则， 并证明了这一准则与有限单元法中节点残余力向量等于零的等效性。其方法是 首先将空间曲面离散成为三角形网格，然后将网格展开到平面上。其展开准则 是使展开前后对应线段长度差的平方和最小。张与合作者将空间曲面和平面上 的线段、节点视为铰接杆件体系，从而将曲面展开的几何问题转化为具有曲面 上线段初始长度的平面铰接杆系结构的力学问题。该方法可将可展曲面精确展 开，将不可展曲面展开成与原曲面网格按总误差最接近的平面。 徐国艳、施法中【3 4 ，3 5 ，3 6 1 在2 0 0 2 年提出一种有限元逆算法，采用形变理论通 过非线性分析确定初始毛料中的节点位置，从给定零件的最终形状尺寸和过程 条件出发，沿着与冲压成形过程相反的方向求解毛料形状。其已知变量是零件 最终的几何形状和初始状态的厚度，未知变量是初始状态的形状和最终状态的 厚度。该方法能较准确、快速地求得冲压件的毛料外形。 王弘、王昌凌等 3 7 3 8 1 在2 0 0 1 年提出一种基于弹簧能量模型的曲面展开算 法。首先采用三角片模型来表达一个曲面，将平面三角形网格视为一个弹簧质 6 西北工业大学硕上学位论文 点系统，系统的物理量与某些几何量相对应，如力、弹性变形能及质量由网格 节点问的距离和三角片的面积确定。当前网格与展开后的形状差别可视为一种 贮存在弹簧质点系统中的弹性变形能。通过使弹簧质点系统变形，由初始平面 映射得到曲面展开的最终形状。作者用面积误差和形状误差来衡量展开结果的 精度。 p n a z a r i a d i s 等口9 1 在2 0 01 年提出一种任意曲面全局优化展开的进化式算 法。该算法首先将曲面展开到平面上，然后对其进行优化以达到某些标准，优 化的准则表达成方程则是在某些约束下的最小值问题。这些约束可用来控制曲 面展开的局部准确度。该优化的问题是用遗传算法解决的。该算法可用来解决 多维的最小化问题。 蔡中义等【4 0 1 在2 0 0 2 年提出了一种基于三角形网格的坯料计算方法。该方法 根据变形均匀原则及材料体积不变条件建立了正定的目标泛函，通过迭代格式 使泛函极小化，从而得到零件的初始坯料。由于考虑了材料体积不变这一条 件，因而计算结果更为合理。 1 2 小结 综上所述，复杂曲面展开技术在多个工业领域都有重要的应用价值，是一 项值得深入研究的技术。研究者采用各种不同的方法对该问题进行了深入的研 究并取得了丰富的成果。这些研究共同体现了以下几个方面的问题或者趋势： 1 与有限元技术的结合 有限元方法作为一种成熟的分析技术，已经实现与c a d 技术的良好集 成。基于曲面解析表示形式的曲面展开算法通常需要重新建立曲面的模型，这 不但使算法难于处理具有内部拓扑结构的曲面，而且使曲面展开计算的难度增 加，效率降低。而如果充分利用有限元技术，以有限元分析程序所建立的曲面 离散模型作为展开计算的对象将避免这些问题。 2 研究有效的曲面网格映射方法 无论是通过映射直接得到可展曲面的展开结果，还是先将不可展曲面的网 格映射到平面上然后对其进行优化，都需要一种能够将一定的曲面网格展开到 7 西北工业大学硕士学位论文 平面上的有效方法。理想的情况是，对于可展曲面，由这种映射可直接得到相 当准确的结果：对于不可展曲面，可得到与原曲面网格拓扑等价而且比较接近 于优化结果的平面网格一个合理的初始值对于提高优化计算的准确性与速 度是十分重要的。将曲面网格分片展开然后将其调整为一个连续的整片或者直 接以原曲面网格的正投影作为优化计算的初始值，这两类方法都有明显的不足 之处。 3 合适的展开优化策略 不同的优化策略将导致不同的优化结果，所采取的优化策略应该基本符合 物理实际。从前面对各种展开技术的介绍可以看出，基于变形能量的模型最 多。由于能量模型与纯粹的几何量相比更能反映变形问题的物理实际，这应是 未来曲面展开优化技术的发展方向。由于在许多情况下，比如金属塑性成形， 并不存在由成形件到毛坯的可逆过程，因此，欲建立一个合理的能量模型以更 加准确地描述展开变形并不是一件容易的事情，仍有待大量的深入实践与理论 研究。 综合以上各个方面，作者选择该问题作为研究课题，希望能取得一些有益 的研究成果。 1 _ 3 本文的主要研究内容 本研究的根本目的是给出一种将三维欧氏空间中的曲面展开为平面的有效 方法从而为钣金设计、服装裁剪等行业提供一种有效的毛料计算技术。针对 该问题，本文对以下三个方面的内容进行了研究： 1 空间睦面的可展特性 本文在这部分内容里利用经典微分几何学的理论对曲面在空间中的弯曲状 态进行了定义，并对曲面的弯曲特性进行了分析，从而得出曲面可展与不可展 的本质原因及其所表现出的基本特征。在此基础上，本文在这一部分里提出了 一种分析离散曲面可展特性的球面投影方法，提供了一种了解曲面几何特性的 技术。 2 曲面网格映射算法 8 西北工业火学硕士学位论文 本文在这部分内容里以材料变形的连续均匀特性为假设，研究提出了一种 空问曲面三角形网格展开到平面上的拓扑等价映射算法。研究中对该算法提出 的目标是采用统一的形式将各种网格展开，并且如果曲面是可展曲面，则应得 到准确解；如果是不可展曲面，则应得到符合变形均匀假设且与原网格拓扑等 价的展开结果。 3 展开结果优化技术 对于任一空间曲面，特别是不可展曲面，通常难以找到一种直接得到一个 合理的展开结果的方法，因此很有必要研究优化技术。前面介绍的各种有关优 化展开算法研究的文献也充分说明了这一点。本文对由映射算法所得到的平面 网格中的变形进行了分析，提出了描述单元变形的l a g r a n g e 位移方法，论证 了用于展开结果优化的理想弹性应力一应变关系，建立了衡量展开变形作用效 果的等效加载表达形式。在此基础上，进一步利用有限元方法建立了使展开变 形能取极小值的优化模型，实现了展开优化。 本文内容安排如下：第二章利用经典微分几何理论分析了曲面的可展特 性；第三章提出了曲面网格映射算法，并给出三个典型算例：第四章提出了曲 面展开的有限元优化法，并以第三章中的展开结果作为算例进行了优化；第五 章为结论部分，总结了本文的研究结果，指出研究中的问题以及有待进一步研 究的问题。 西北工业大学硕士学位论文 第二章复杂曲面可展特性分析 在三维欧几里得空间中，曲面作为一种只有径向尺寸而无厚向尺寸的几何 体的抽象，是一个与平面相对的概念。曲面的性质是通过平面刻画出来的。在 通俗的意义上，曲面在空间中是弯曲着的。在弯曲着的曲面中，有一些是可以 像卷起来的纸张( 此处假定纸张是一种不可伸缩的材料) 一样铺平到平面上 的，通常称为可展曲面：而其它的曲面则无法做到这一点，称为不可展曲面。 本章将对空间曲面在空间的弯曲状态及其可展特性进行研究，并给出离散情况 下探测曲面是否可展的一般方法。 2 1 曲面在空间中的弯曲 空间曲面能否“铺平”到平面上必然与曲面在空间中的“弯曲”特性有 关，本节对曲面在空间中的弯曲形状进行分析与研究，给出了曲面“弯曲”的 定义。 设有一张正则的三维欧氏空间曲面s ，其参数化方程为 ，= r ( u ，v ) ( 2 - 1 ) 且设r ( “，v ) 存在连续的二阶偏导函数m ，r m , ，。 设点j d ( “，v ) 为曲面s 上的一点，丌为曲面s 在p 点处的切平面。显然， 在一个微小的范围内，曲面上尸点周围各点与切平面石之间的距离关系可以反 映出曲面在该点处的弯曲程度。设尸t 是s 上与j p 点邻近的一点，a 到切平面 丌的有向距离为占( 其正负情况与向量疗和胛- 夹角余弦的正负有关) ，c 为 s 上一条经过尸和a 点的曲线，其参数方程为 c ：，= r ( ( j ) ，v ( 5 ) ) ( 2 2 ) 其中s 为自然参数，并设对应于p 和p 一的自然参数分别为s 和s + 缸，如图2 1 所示。 1 0 西北工业大学硕上学位论文 图2 1 空间曲面在一点的形状 则从点p 到p i 的矢量为 - p p i = r ( s + a s ) 一，( s ) ：，血+ 昙( m ) ( 厶) z 2 3 其中，当血_ 0 时，占_ + 0 。 设月为曲面s 在p 点处的单位法向量，则有肼：0 ，因此 万= 鬲门= p ( s + 厶) = 三( 彬+ n s ) ( s ) 2 当彬0 时，无穷小量占的主部是 扣( 埘= j 1 础2 对 胁2 进行推演，可得如下表示形式 n k d s 2 ：i = i i ( 2 _ 4 ) 其中 i = d s 2 = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ( 2 5 ) i i = l d u 2 + 2 m d u d v + n d v 2 ( 2 6 ) 其中， e = 寸，f = ，g = # 三2 n r “，m = n r ，n = n 。 在微分几何学中， ( 2 5 ) 式称为曲面的第一基本形式，其系数e 、f 、 g 称为曲面的第一类基本量；( 2 6 ) 式称为曲面的第二基本形式，其系数三、 西北工业大学硕上学位论文 m 、称为曲面的第二类基本量。显然，在给定的点处，这6 个基本量是确 定的。从而 j ：土i i + l n 6 ( 曲2 ( 2 7 ) 2z 上式表明，曲面的第二基本形式在p p 方向的取值近似地等于曲面s 上p 点周围微小邻域内的点p t 到切平面7 的有向距离的两倍。因此，曲面的第二 基本形式刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空间中的弯曲特 性。从而有关曲面的弯曲可得出如下结论： 结论1如果曲面的第二基本形式在曲面上不恒为零，则曲面是弯曲 的；反之，如果曲面的第二基本形式在曲面上恒为零，则曲面是平面。 图2 2 曲面上的曲线 直接利用曲面的第二基本形式进行曲面弯曲程度的分析并不方便，现在考 察经过p 点的曲线，通过分析研究曲线在尸点附近的弯曲特性来分析研究曲面 的在p 点处的弯曲特性。在曲面s 上，设曲线c 在p 点的切向单位向量为 ，法向单位向量为卢，口为和n 的交角( 0 口石) ，k 为曲线c 在p 点 的曲率，如图2 2 所示。则有= 口，= d = 卵，加= c o s 0 。因此有 = 坳= k c o s 0( 2 - 8 ) 在上式中，如果和n 的夹角能够通过某种方式固定下来，则可以通过分 1 2 西北t 业大学硕士学位论文 析曲线c 在p 点的曲率k 来分析曲面在p 点的弯陆特性。 由( 2 - 8 ) 式与( 2 - 4 ) 式，可以建立曲线在曲面一点处的曲率与曲面第 一、二基本形式之间的联系 kcos0：里：-ldu2+2mdudv+ndvz ( 2 9 ) ie 如2 + 2 f d u d v + g d v 2 由于在固定点p 处两类基本量都有确定的值，所以曲线c 在p 点的曲率k 完全取决于它的切线方向d u ：d v 和它的主法线向量口与曲面法向量行之间的交 角0 。又由于主法向量口和切向量a 所确定的平面又称为曲线c 的密切面，所 以曲面s 上所有经过尸点且在p 点处与曲线c 有相同的切线和密切面的曲线 都有相同的曲率七，即曲线c 在p 点的曲率总等于曲线在p 点的密切面与曲面 s 的截线在p 点的曲率。由此，对于曲面曲线曲率的研究可以转化为对于该曲 面上一条平面曲线的曲率的研究。分析研究一条平面曲线在某一点处的曲率会 更为容易一些。 由上面的分析知，欲考察曲面s 上经过p 点且在p 点的切线方向为 ( d ) = d u ：d v ( 其单位向量为口) 的曲线的曲率，只需考察经过方向( d ) 和p 点 的所有平面与曲面s 的截线在尸点的曲率即可。当平面以切向量a 为轴旋转 变化时，截线c 的主法线向量口与曲面法向量n 之间的交角0 也随之变化。其 中有一种特殊的情况，即0 = 0 或0 = ，此时l c o s 0j = 1 ，曲线c 的密切面经过 曲面s 在尸点的法向量”。在微分几何学中，这种情况下的截线c 被称为曲面 s 在p 点沿方向( d ) 的法截线，曲率k 被称为曲面j 在p 点沿方向( d ) 的法曲 率，通常记为k 。，且有 k = 孚= 面l d u 万2 + 函2 m 瓦d u d 而v + 石n d 矿v 2 ( 2 1 0 ) “ i 五巩2 + 2 凡批如+ g 咖2 。一4 至此，曲面s 在尸点沿方向( d ) 的弯曲特性的分析问题转化成为曲面s 在 p 点沿方向( d ) 的法曲率的分析问题。关于曲面在空间是否弯曲又可给出如下 西北丁业大学硕上学位论文 结论： 结论2如果曲面的法曲率不恒为零，则曲面是弯曲的；反之，如果曲 面的法曲率恒为零，则曲面是平面。 ( 2 1 0 ) 式表明，对于给定的一点，曲面s 在该点处的法曲率t 是方向 ( d ) 的函数，随着方向( d ) 的变化，吒应该有极值。为此，将( 2 - l o ) 式改写 为如下形式 k。一lt。2+2mt+n ( 2 1 1 ) n e t 2 + 2 f t + g l 2 。i lj 其中f = 掣。显然，方向( d ) 对法曲率吒的影响是通过参量的增量比值幽：d r d v 来实现的，这个比值的取值范围应该覆盖参量增量的所有方向，故 。r + o o 。 为便于分析丸的极值，将( 2 - 1 1 ) 式转化为如下的二次方程形式 ( e 吒一l ) t 2 + 2 ( f k 一m ) t + g k n = 0 ( 2 1 2 ) 根据警= 。即可求出可能使k 取得极大值或极小值的方向f 以及对应的 k 。关于，对( 2 - 1 2 ) 式进行微分，并将所得的极值条件代入( 2 - 1 2 ) 式，可 以得到取得极值时屯和，应满足的方程组： (熙ek。,一-l)t+(fgk,。-一m拦)=m)t n0 ( 2 1 3 ) ( 熙。一+ ( g 。一) = 一 从上式中消去k 。可得 ( e m f l ) t 2 + ( e n g l ) t + f 一g m = 0 ( 2 1 4 ) 它所决定的两个方向t 。与t ：即为k 。取得极值的方向，称为曲面s 在p 点处的主 方向。 从( 2 一1 3 ) 式中消去f 可得 ( e g f 2 ) 丸2 一( e n 一2 f m + g 上) 也+ l n m 2 = 0 ( 2 1 5 ) 一1 4 两北工业大学硕上学位论j ：= 【= 它的两个根。与：即为法曲率的极大值与极小值，称为曲面s 在p 点处的主 曲率。 根据二次方程根与系数的关系，可得 岛2 筹 协 h = l ( k t + k 2 ，= 筹半 式中，k 又称为总曲率或g a u s s 益率，最初见于g a u s s 的工作( 1 8 2 3 ) ： 又称为平均曲率，最初由s o p h i eg e r m a i n ( 1 8 3 1 ) 发现【4 2 1 。 又由欧拉定理【4 2 1 ，曲面s 在p 点处一般方向上法曲率与两个主曲率之间 的关系为 以= k ic o s 2 妒+ j 2s i n 2 妒 ( 2 1 7 ) 其中c 唧：挚，s i n ( a = _ , - g d v 。 a s珊 由( 2 - 1 7 ) 式可以得出如下关系式 k l = 如= 0 铮k 。s 0( 2 - 1 8 ) 综合( 2 1 5 ) 式与( 2 1 7 ) 式可得如下结论： 结论3 如果在曲面任一点处皆有k 。；0 ，则曲面是平面；对于一般的空 间曲面，在其一点处的两个主曲率k 与：是过该点的所有法截线在该点处的 曲率的最小值与最大值，一般地说，k ，与岛中至少有一个不为零。 显然，可以铺平到平面上的卷纸在某些区域的点上，两个主曲率k ，与 中至少有一个不为零。文献【4 3 证明了曲面s 为可展曲面的充要条件是它的 g a u s s 曲率恒等于零。g a u s s ( 1 8 2 6 ) t 4 2 l i i e n ：单由第一类基本量e ，f ，g 及 其导数便可表示g a u s s 曲率k ，即g a u s s 曲率是一个由第一类基本量决定的几 何量。由曲面的第一类基本量决定的几何量、几何性质在趋面发生简单弯曲 的变形中保持不变”1 。所谓简单弯曲( 又称等距映射 4 3 , 4 4 1 或保长映射【4 4 1 ) ， 西北工业大学倾士学位论文 是指保持曲面上所有曲线的弧长不变的曲面连续变形，且变形前与变形后两个 曲面上的点之间一一对应。g a u s s 曲率处处为零的曲面( 可展曲面) 可以通过 简单弯曲展开到平面上，而且各点处的g a u s s 睦率仍保持为零；g a u s s 曲率不 恒为零的曲面( 不可展曲面) 在简单弯曲中仍保持其各点处的g a u s s 曲率。由 于平面的g a u s s 曲率显然处处为零，故不可展曲面不能通过简单弯曲展开到平 面 二。 2 3 曲面可展特性分析的球面投影法 在曲面5 的各点处作其指向同- - n 的单位法向量并将该向量平移到坐标 原点，则单位向量偏离圆心的端点就决定了单位球面上的一点。采用这种方法 能将张空间曲面映射到球面上。这个方法是g a u s s 发明的【4 4 】，叫做曲面s 的g a u s s 映射，本文又称之为曲面s 的球殛投影。在这一节中，本文将给出 分析曲面及其离散情况下的可展特性的球面投影方法。 设曲面5 ：，= r ( u ，v ) 的g a u s s 曲率处处为零，即曲面s 为可展曲面。j d o 为s 上任意点，在n 点处的主曲率k 。= 0 ，对应曲率线c o 的参量增量之比 为t l = 6 u ：函，c o 在p o 点的单位切矢量为；主曲率k 2 0 ，对应曲率线q 的参量增量之比为t 2 = d u ：d v ，c ；在j p o 点的单位切矢量为；曲面s 在r 点 处的法向单位矢量为，平面石是曲面s 在p o 点处的切平面，如图2 3 所 示。结合( 2 一1 4 ) 式以及二次方程根与系数的关系，可知曲率线c 。与q 在p o 点处的切矢量有如下关系 ( 吒百h + r f l v ) ( ，d u + r , d v ) = = ( e r l t 2 + f ( ，l + f 2 ) + g ) o v a v 。丽翻( e ( 刷一g m ) - f ( e a r g l ) + g ( e m 一儿) ) = n ，1 6 一 ( 2 1 9 ) 西北工业大学硕士学位论文 故曲率线c o 与q 在j d 。点处的切矢量相互垂直，相应的其单位矢量与a ；也 相互垂直。 图2 3g a u s s 曲率处处为零的曲面 在曲率线c o 上沿其切向量方向取无穷小自然参数增量a s ，对应曲率线 c 0 的参量增量为( 出，函) ，并将所得到的点标记为p i ，如图2 3 所示。显然点 p l 在曲率线c 。和曲面s 上。设p 0 点对应的自然参数为s ，则a 点对应的自然 参数为s + a s 。由( 2 4 ) 式、( 2 7 ) 式及( 2 8 ) 式可知，p 【点到切平面丌的 距离的主部艿为 万= k l ( 缸) 2 = 0 ( 2 2 0 ) 因此，p 点在平面丌上，即直线段r 只在平面7 1 上。 如果设曲面s 在p i 点处的法向单位矢量为h 。，则过向量n 【和线段r # 可 以作曲面s 的法截线c l ，而直线段只e 是法截线g 。的一部分。考虑曲面s 在 p t 点处的空间形状，由曲面的光滑连续性假设以及点p 0 与p - 之间的增量关系 可知，法截线c 是曲面s 上在p i 点的曲率为零的曲率线。 在曲面s 的p t 点处，按照由p o 点确定p l 点的方法，可以得到邻点p 1 ； 依次类推，可确定一系列点最，弓，是只，并由此得到一条贯穿曲面s 的直 线。由p 0 点的任意性，可得如下结论： 结论4任一g a u s s 曲率处处为零的曲面皆可看成是由直线的轨迹所生成 1 7 西北工业大学硕士学位论文 的曲面，这种曲面称为直纹面，其中的直线通常称为直母线。 因此，曲面s 又可表示为如下参数方程 r ( u ，v ) = p ( u ) + v c t ( u ) ( 2 - 2 1 ) 其中，c ：p = p ( u ) 是曲面s 上一条与所有直母线都相交的曲线，a ( u ) 为经过 p ( u ) 点的直母线单位方向矢量。显然，当参数固定n = 时，即可得到曲面s 的一条直母线 r ( u o ，v ) = p ( u o ) + v a ( u o ) ( 2 - 2 2 ) 根据( 2 - 5 ) 式、( 2 6 ) 式以及( 2 1 6 ) 式可以得到以( 2 2 1 ) 式所表示 的曲面s 的g a u s s 曲率为 彤= 一燃( e g f ( 2 2 3 ) 一