（电工理论与新技术专业论文）含均匀和非均匀传输线网络的灵敏度分析.pdf

声明尸叫 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文含均匀和非均匀传输线网络的灵敏度 分析，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期f r j ，在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：垄翌 日期：硼6 r ，7 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 互移 导师签名： 日期：型哆_ 7 华北电力火学硕十学位论文 1 1 课题研究背景 第一章绪论 在常规的电路研究中，我们总是理所当然地认为距离是可以忽略不计的，或者 等价的说信号的传输速度是无限的，这样就容许将选取的电压或电流处理成仅含时 间这一个变量的函数。在远距离传输的电缆中，很显然我们不能忽略距离的影响， 同样在近几十年发展迅速的大规模集成电路中，由于互连线的宽度以及线与线之间 的距离非常小，使得传输线对电路的影响同样不能忽略。 在早期的电子工业中，对大多数的电路系统而言，互连线尺寸远小于信号波长， 在这种情况下，由于逻辑门和晶体管所引起的信号延迟远远大于互连线所引起的延 迟，所以，互连线通常只被看作是简单的金属导体，它仅具有电连通的意义，这时， 整个电路系统的性能主要取决于电路的逻辑设计，只需利用传统的电路模拟工具就 可在时域内有效地对这一类电路系统进行分析与模拟。但是近些年来，随着电气电 子设备的发展，各种电力与通信线路越来越密集，印刷线路板越做越小，信号时钟 的频率越来越高，使电路中互连线的长度逐渐变得能与信号波长相比，互连效应在 整个电路系统中的作用随之变得越来越大，作为相互连接装置的传输线f 在扮演着 越来越重要的角色。一方面电气、电子设备工作时会产生畸变、串扰、耦合等现象 造成电气电子设备本身的故障或者影向信号的传输。例如：电气、电子设备可能对 电视等无线电接受装置形成噪声等干扰。电力系统中的电网输送容量逐步增大，电 压等级不断提高，电网的结构日趋复杂，变电站内一、二次设备的结构和布局f 向 小型紧凑化、集成组合化的方向发展。尤其是变电站内投切、切合高压空载母线等 操作，会在母线和输电线路上引起电压和电流频率的迅速上升，并形成较强的稳态电 磁场，对变电站内下放的二次设备造成电磁干扰，所以这些线路应作为传输线模型 来分析。另一方面在大规模集成电路和多芯片组件( m c m ) q a ，多导体传输线常被用 作信号连接线，随着半导体材料科学与信息产业的迅猛发展，大规模集成电路及 m c m 的系统规模越来越大，工作速度越来越高，特征尺寸同益减小，使电路中传 输线的长度逐渐变得能与信号波长相比，互连延迟在整个电路系统中的作用随之变 得越来越大。当互连线的长度能与信号波长相比时，在互连线终端将会出现较为明 显的信号延迟。对于现在的大多数高速集成电路系统而言，互连延迟在整个系统的 延迟中已占据主导地位。与此同时，其它的互连效应，诸如：时延、畸变、回波、 干扰等的影响也日趋明显，己经在很大程度上影响到电路的性能指标，严重时甚至 将影响电路系统的正常工作，互连效应的影响再也不容忽视。这时，传输线己不能 再视为简单的电连通，在设计高速集成电路时，必须将此因素连同电子元器件及单 1 华北电力火学硕+ 学位论文 元电路作为一个整体全盘地加以考虑。高速集成电路系统中的传输线网络的分析和 研究也因此成为保证系统f 常工作的必要环节，引起了人们空前的重视。 在微波高速电路互连线以及电力系统中的母线、输电线路等，其平行的线状结 构由于几何长度，和信号的波长五不能满足加五的条件，因此集中参数模型不再能 使用。一般情况下，可将其视为均匀传输线模型来分析计算，即按照均匀线理论要 有导线互相平行，与参考地线或地平面平行：导线附近的介质材料，沿导线应是均 匀的等要求。但是随着不断升高的信号频率和不断减小的电路尺寸，大量的非均匀 传输线在微波和高速电路中被采用，例如，p c b 上的互连线、m c m 芯片问的连接 线等。而在电力系统中，电力输电线可作为均匀传输线处理，但在表征一些特殊的 电磁环境时，需要采用非均匀传输线模型来分析，否则得不到精确的结果，例如， 对雷击杆塔模型、v f t o 作用下的变压器线圈、由于地形原因造成的具有弧度或坡 度的输电线模型等。所以能够更加准确地分析线路，这是发展的必然趋势。 同时随着电路网络的发展，电路系统的速度和集成度均进一步提高。在高速 v l s i 及多芯片组件中，如何准确、有效地对于信号经过互连线传输之后所产生的互 连效应进行定性、定量的分析、计算和控制已经成为高速电路系统设计中的主要问 题之一，它对于电路系统的优化设计至关重要。所有这些均将从客观上对分析、模 拟高速电路互连网络的工具的准确性及有效性提出越来越高的要求。为了准确、有 效地进行高速电路的模拟和设计，就需要各类传输线的精确模型，然后进一步地建 立一般的电路互连网络的模型。而基于优化含非均匀传输线网络是以分析电路的灵 敏度为基础的，因此掌握非均匀传输线的特性，从而建立其准确、有效的模型来分 析电路的灵敏度，对于更好地进行高速电路的优化设计、改善电路系统的性能具有 非常重要的意义，也因此成为目前电路系统领域人们所关注的焦点之一。 1 2 国内外的研究现状 传输线理论是一个一直都很活跃的研究领域。对于均匀传输线，如均匀同轴线、 平行双线、平行板波导等，所做的研究较多，且已有较为完善的理论【l 2 】。而对于非 均匀传输线来说，求解其变系数偏微分方程存在一定的困难，为此，人们提出了一些 不同的分析方法，主要有两大类方法，即时域方法和频域方法。下面对这两种方法 的现状和发展作一介绍。 频域方法主要是将电报方程转换成频域中的常微分方程后求解，得到传输线的 频域响应表达式，然后对表达式进行处理得到传输线频域模型，最后将求解结果转 换到时域，从而得到电路的时域瞬态响应。虽然频域分析模型容易建立，但是随着 电路系统规模的增大，其计算量会迅速增加，缺乏应有的效率。为了提高传输线频 域模型的分析效率，人们引入了有理逼近。开始人们利用矩匹配求得传输线传递函 华北电力火：学硕七学位论文 数或导纳矩阵的有理逼近 3 - 5 1 。为了进一步提高精度及稳定性，有人将p v l ( p a d e a p p r o x i m a t i o nv i at h el a n c z o s ) 算法引入了传输线分析当中【6 j 。最近，频域有理逼近 方法进一步发展为采用k r y l o v 子空间技术的各种降阶方法【7 8 】，以保证模型的高精 度及无源稳定性。其中由频域模型得到时域响应的主要方法有快速傅立叶反变换 ( i f f t ) 9 , 1 0 】，数值拉氏反变换( n i l t ) 1 1 - 1 4 1 等等。频域研究的理论相对时域已经相当成 熟和完善。 时域方法是建立传输线的时域模型，然后直接在时域中进行分析求解。其基本 做法大都是在时域中将时问和空间变量进行离散，得到传输线的离散模型。时域方 法又可细分为两种：一种是从频域电报方程出发，经过各种处理得到时域模型，从而 可在时域中直接求得传输线的时域响应。一般来说，这种方法都会牵涉到卷积。因 为递归卷积法利用了有理逼近，所以它的稳定性与精度不易保证。为了提高精度与 保证稳定性，文献 15 和【1 6 】从频域电报方程出发，经过一系列的变换与处理并结合 递归卷积得到了传输线的两端口时域模型。另一种时域方法是直接从时域电报方程 出发，建立传输线的时域模型【1 7 。2 6 1 。长期以来人们认为这样的方法效率低，没有太 大的实用价值，但最近在这种方法上又有新的突破，出现了时域有限差分法【1 7 , 18 ，微 分求积法( d q m ) 1 9 - 2 4 1 和精细积分法( p i m ) 2 5 , 2 6 1 等。 由于传输线的频域分析不能解决强非线性电路，时域分析不能解决频率相关效 应的问题，而时域分析适合解决强非线性电路，频域分析又适合解决频关问题，因 此提出了时频混合的分析方法。这类方法分别吸取了频域和时域分析的优点，或是 交替地在频域和时域进行分析，或是在频域首先进行预处理，为在时域进行高效分 析创造条件，具体的方法有波形松弛迭代法【1 6 】和渐进波形估值法【3 4 】等。 微分灵敏度分析已广泛应用于优化电路，已成为对不同的电路进行评价的必备 信息。求解灵敏度的主要方法有直接法( 扰动法) 【、符号网络函数法、增量网 络法( 导数网络法) 、伴随网络法【1 1 等。现在对大型网络的灵敏度计算主要采用 的是增量网络法和伴随网络法。增量网络法是一种求解多输出对单参数的灵敏度方 法：而伴随网络法的最大优点是通过对原网络和伴随网络的求解，可以求得任意输 出对任意网络元件的灵敏度。 对于有损或无损的均匀传输线灵敏度分析，自七十年代末到现在时有文章出现 2 7 - 3 5 】，方法已经成熟。但是涉及到非均匀传输线的灵敏度分析还不多见。主要包括 合同变换法( i n t e g r a t e dc o n g r u e n c et r a n s f o r m ) 2 7 - 31 】、科罗达( k u r o d a ) 等效法1 3 2 , 3 3 1 矛d 特征法【3 4 , 3 5 】等。这些方法中，只有合同变换可用于任意非均匀传输线，但对复杂的 多导体传输线计算量会很大，而特征法和科罗达等效法分别只能用于单导体传输线和 二次线型传输线。 综上所述，发展一种原理简单、计算量小、适用于均匀和非均匀传输线的一般 3 i 华北电力人! 学硕十学位论文 灵敏度分析方法势在必行，为此，基于伴随灵敏度方法，本文利用微分求积法，并 结合精细积分法或数值拉氏反变换，提出了一种可对各种类型均匀和非均匀传输线 进行灵敏度分析的方法，较好地解决了含均匀和非均匀传输线网络灵敏度分析的问 题，具有较高的学术价值和实用意义。 1 3 本文所作的工作 经过调查研究，在前人研究的基础上，本论文主要解决了如何分析各种均匀和 非均匀传输线的灵敏度的问题。本文的工作主要有下列三大部分。 1 ) 研究非均匀线传输线频域灵敏度的分析方法： 2 ) 研究非均匀线传输线时域灵敏度的分析方法； 3 ) 本文方法在微波高速电路和电力系统中的应用实例。 在以下的几章中具体安排如下：第二章介绍已有的非均匀传输线的分析方法和 灵敏度的分析方法。第三章主要介绍利用微分求积法和精细积分法分析非均匀传输 线。第四章介绍基于微分求积法的传输线频域灵敏度分析方法，并通过实例进行了 比较验证。第五章介绍两个非均匀传输线的时域灵敏度分析方法，方法一是在得到 频域灵敏度的基础上利用n i l t 得到时域灵敏度结果，方法二利用微分求积法和精 细积分法直接得到时域灵敏度，并举例验证。第六章是本文方法在微波高速电路和 电力系统中的实际应用。 华北电力人：学硕十学位论文 2 1 传输线的基本理论 第二章预备知识 弟一早 耿曰大u 以 对于高速集成电路系统中互连网络的传输线模型进行时域响应分析最为直接 的方法就是求解麦克斯韦方程组。这种方法从原则上讲可以将传输线系统的各种几 何、电磁参数的影响都考虑在内，也可以处理各种端接负载，但是它存在着明显的 缺点，那就是分析、计算过于复杂，而且对于计算机的速度、内存等方面的要求也 相当苛刻。因此，人们通常进行一定的近似，构造出传输线系统的近似模型，从而 简化了整个传输线系统的时域响应分析过程。 对于近似模型，一般有以下两个假设i j 6 j ： ( 1 ) 传输线的横向尺寸在其长度方向上是连续的，在两个端点处则可以接有 任意负载网络。对于传输线中存在有不连续点的情形，一般是将其分割成若干段连 续传输线，至于其中不连续点的影响则通过引入适当的网络来等效。 ( 2 ) 传输线上的电磁波为准横电磁t e m 波，即近似认为传输线上沿波传输方 向的电磁分量远远地小于其横向分量。严格地说，t e m 波只能在均匀介质中的无损 传输线上存在，对于非均匀介质和有损传输线的情形，线上所传输的电磁波实际上 是t e 波与t m 波的混合，一般不具有t e m 波的性质。但是，对于我们所要研究的 高速集成电路中芯片i 、白j 互连线的传输线模型而言，由于其横向尺寸比传输线最高频 率分量对应的波长小得多，因此，沿波传播方向的电磁场分量比横向分量小得多p 6 i ， 这种电磁波可以近似地认为是t e m 波，即准t e m 波。 目前，对于高速集成电路中芯片间互连线的研究，人们通常是先从静电场的角 度出发，得出传输线分布参数模型，然后再从电路的角度对其进行时域响应分析。 人们最早丌始研究的传输线是远距离的通信电缆，对这样的传输线，电流在导 线的电阻中引起沿线的电压降，同时又在导线周围产生了变动的磁场，这个变动的 磁场沿着全线产生感应电压。所以，导线间的电压是沿线连续改变的。另一方面， 两根平行的直导线构成了电容，两线间就存在位移电流( 特别是频率较高时就更不 容忽略) ；如果两线间的电压较高，则漏电流也不容忽视。这样，在沿线不同的地 方，导线中的电流就将不同。总之，为了计及沿线的电流和电压的变化，必须认为 导线的每一长度元都具有电阻和电感，而导线间则具有电容和电导，这种长度元可 以认为是无穷小的，也就是说把传输线看作是由一系列集总元件所构成的一种极 限，从而得到分布的电路模型。电路的参数是沿线分布的，这种电路称为具有分布 参数的电路。单位长度的电阻、电感、电导和电容沿线均匀分布的传输线，称为均 华北电力人学硕士学位论文 匀传输线。单位长度的这些参数沿线变化的传输线称为非均匀传输线。事实上，实 际情况中的传输线都是非均匀的。 2 2 非均匀传输线方程 非均匀传输线是一种单位长度的参数随着空间的变化而变化的传输线。假定单 位长度的线路参数与频率无关，则多导体非均匀传输线的时域电报方程可写成如下 矩阵形式【2 j ： 昙“( 彬) = 一( x ) 昙小，) 一只( x ) 如，r ) 瓦ai ( 础) = 一c ( x ) 詈“( 州) 一g ( x ) “( 刈) 其中，石为传输线中电磁能量的传输方向，i ( x ，) ，甜( z ，) 分别为线上x 点处的电 流和电压：r 、g 、c 、l 分别为单位长度的电阻、电导、电容、电感矩阵，且都 是长度x 的函数。 典型的非均匀传输线有指数型、垂直型和二次项型等几种。这几种非均匀传输 线的单位长度参数具有下列形式 r ( x ) = r o f ( x ) tc ( x ) = g o f 一( x ) ，l ( x ) = l o f ( x ) ，c ( x ) = c o l 一( x ) 相应的特性阻抗为z 【( x ) = z o f ( x ) ，式中z 0 = r + s 厶 、q + j c 0 对于指数型非均匀传输线 37 1 ，适合于描述水平形式的非均匀传输线，其特征可 用下式描述 r ( x ) = r 。e 2 h ，g ( x ) = g o e h ，l ( x ) = l o e + h ，c ( x ) = c o p h ，z c ( x ) = z o p h 式中r ，g o ，c o ，厶和z 0 都是z = 0 时的值，k 为常数。常用于电力系统中阿电力 传输线等。 垂直型非均匀传输线( 贝赛尔线) 【3 7 1 适合于描述垂直形式的非均匀传输线。其 单位长度的电阻、电导、电容、电感表达式为 r ( x ) = r ( x + x o ) 蛳，g ( x ) = g o ( x + x o ) ，三( x ) = 厶( x + ) 蜘，c ( x ) = c 0 ( x + ) 蚋 相应的特性阻抗为 乙( x ) = z o ( x + ) 式中r ，g o ，c 0 ，厶和z o 都是x = 0 时的值，k 为常数。这种线可用来表征电力系 统中的架空线杆塔等。 6 华北电力人学硕十学位论文 以上所介绍的非均匀传输线都有两种表达形式，z c ( x ) 表达式中取“+ ”时称为发 散型或单增型非均匀线，取“一”时为收敛型或单减型非均匀线。 二次项型非均匀传输线3 8 1 常用于各种微波电路中，二次项型非均匀传输线单位 长度的电阻、电导、电容、电感分别为 r ( x ) = r 。( 1 + p x ) 蛆”c ( x ) = g o ( 1 + 彤) 砣” c ( x ) = c o ( 1 + ) 砣”l ( x ) = l o ( 1 + 眇) + 2 ” 相应的特性阻抗为 z c ( x ) = z 0 ( 1 + ) 矗” 式中r ，g o ，c o ，l o 和z o 都是x = 0 时的值，p 为渐变率，7 为常数。当刀= 1 时， 称该线为抛物线型非均匀传输线。 2 3 非均匀传输线分析方法简介 传输线理论研究中对于均匀传输线所做的研究很多，且已有了比较完善的理论 【o 2 】。而对于非均匀传输线，现在f 处于发展阶段。众所周知，传输线分析存在于频 域和时域两种分析方法。但是对实际中存在的信号只能表示为时间函数的波形，因 此系统中的时域分析是本质的。所谓的频域是信号对时间，的一种积分变换，通过 变换将时间函数变为频率函数。根据傅立叶变换和拉普拉斯变换理论，时问变量，可 转化为虚频率变量肋或复频率变量j ，在肋域或j 域中可使电路分析的过程大为简 化，微分和积分将被代数运算所代替，复杂的卷积积分变为简单的乘法。因此，频 域分析也有其特有的优越性。现在关于非均匀传输线频域及时域的分析方法很多， 下面简介一下非均匀传输线常用的几种分析方法。 1 、直接时域法，是直接在时域用数值方法将传输线的偏微分方程通过时空变 量的离散，转化为常微分方程求解。这类方法一般可具有较高的计算效率，因为在 每一时间步长分析中可免除耗时的卷积运算，同时互连线的时域模型又可较好地和 互连线端接的非线性器件模型相衔接。但是用时域方法在处理频变参数互连线问题 时就较为困难，具体方法有： ( 1 ) 时域有限差分法( f d t d 法) u 7 , 18 】，应用一阶中心差分公式，对时域偏微 分方程进行离散，并结合端部条件进行数值求解。该方法简单直接，可以获得线上 任意点的电压、电流波形，处理非均匀传输线比较方便。 ( 2 ) 特征法【2 1 ，将具有时间t 和空间坐标x 的偏微分方程转换到两组特征线族 上以常微分方程的形式求解，具有较高的计算效率，但该方法适用于单导体传输线， 在处理多导体传输线的去耦问题存在困难，难以处理。 ( 3 ) 微分求积法【1 9 _ 2 4 1 ，取不同于将一个变量的微分转化为差分的方法将电报方 华北电力人学硕士学位论文 程变为常微分方程组以简化求解，方程组所包含的微分方程数可明显少于前述由差 分而转化成的微分方程组的方程数，在保持同样计算精度的条件下可明显提高效 率，而且不受各种约束条件的限制，可应用于具有任意尺寸，任意耦合情况，任意 分稚参数的多导体传输线。 ( 4 ) 精细积分法 2 5 2 6 1 ，通过将电报方程在空间差分离散而建立起对时f b j 的一 阶微分方程组，然后利用精细计算法对该方程解中的指数项p 7 进行精细计算。该方 法简单，精确，但不适合含有时变元件的网络分析。 2 、频域方法，频域方法的主要特点是首先在频域推导出频域网络函数或频域 的电报方程然后借助傅立叶变换或拉氏变换得出时域响应函数，具体的方法有： ( 1 ) 广义a b c d 矩阵级连法1 2 j 。这种方法将多导体分段，每一分段取广义a b c d 矩阵，将矩阵中各个分块矩阵展丌为矩阵级数，然后再将各分段的广义a b c d 矩阵级 连后得到整个线段的广义a b c d 矩阵，以f f t 转换至时域后进行时域响应分析。这 种方法适用于多导体非均匀线，但是为了得到高精度，需要足够多的分段数和级数 展丌项，计算量较大，计算效率不高。 ( 2 ) 波形松弛迭代法i l 引，特点是在一定的定义域内，对整体函数进行迭代， 主要应用于互连线时域响应求解中，需要在频域和时域之间多次往复变换的一种迭 代算法，变换方式采用f f t ，迭代过程直至收敛为止。 ( 3 ) 渐进波形估计法( a s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o n ，或a w e ) 3 , 4 1 。在频域， 通过p a d e 逼近以及矩匹配将表示互连线传输特性的超越函数近似地表述为一定阶 次的有理分式或展丌为一定数量的部分分式和，再转换为时域。由于时域网格函数 为指数函数之和，因此在时域进行卷积运算时可采用递归卷积，可明显减少内存和 提高计算速度。这种方法进一步发展为阶数缩减方法，可以将规模很大的电路近 似简化为一个规模较小的电路进行分析。实质上就是用一个低阶模型来近似阶数很 高的原模型。 ( 4 ) 分段线性化法【j 圳，首先分析单位长度上r l g c 呈线性变化的非均匀无损 传输线，求得其精确的二端口传输矩阵，然后用级联的方法来逼近具有任意阻抗的 非均匀传输线。但这种方法计算代价较高。 ( 5 ) 等效电路模型法( 科罗达等效) 4 0 , 4 1 1 。依据等效变换定理对电路进行等 效变换，将复杂的分布参数电路化为较简单的由集中参数元件和均匀传输线组成的 电路进行求解。这种方法现仅常见在二次项型电路中。 此外，还有一些其他的方法【5 7j ，这里不再赘述了。 华北电力火学硕士! 学位论文 4 灵敏度分析介绍 在实际电路中的元件值都不可避免地存在着误差。元件值的误差可能是在元件 生产制造中所造成的，或者是由于温度变化、老化等环境条件变化引起的。元件参 数值的误差必然会引起电路输出特性的误差，这些误差一般不能忽略，因此在设计 电子电路时，研究电路中各元件参数的变化对电路特性的影响是很重要的问题。所 以引入“灵敏度”的概念来表示这类变化关系的一种度量。 设7 表示描述电路的特性参数，它可以是节点电位、支路电流等。x 表示电路 中的任意一个参数。当参数x 从它的标称产生一个微小改变量血时，使得7 也从 它的正常值不产生一个相应的改变量丁，称 d ，r ：l i m 坚：塑 1 缸- + o 缸d x 为电路特性函数7 对参数x 的微分灵敏度，有时又称为小改变灵敏度，而称 丁 s x t = l i m 。互t 。2 专d r 7 x 0 为电路特性函数7 1 对参数x 的归一化微分灵敏度，又称为相对微分灵敏度。相应的 d ，7 也称为绝对灵敏度。 灵敏度分析是计算灵敏度的方法。通过灵敏度分析不仅能直接得知网络参数变 化对网络特性的影响，最重要的是，灵敏度分析是电路优化设计的基础。灵敏度分 析的主要方法有直接法( 扰动法) 、符号网络函数法、增量网络法( 导数网络 法) 【、伴随网络法等。 灵敏度d ，r 的直接法就是稍稍改变参数x ( a xj0 ) 并计算输出丁的变化。这种方 法有一些严重的缺点。首先，因为它要在两个几乎相等的数之间取差值，所以精度 低；其次，需要在每个频率就每个参数x i 对网络进行一次分析，计算效率较低。 符号网络函数法，即在求得网络函数后，其中一些或所有网络元件值由变量 ( x x ，) 表示。然后以丁的表达式对每个x i 求导。符号网络函数法是应用较为广泛 的一种灵敏度求解方法，但是仅限于小网络电路中，在大网络中实现比较困难。 增量网络法是利用各种线性支路的增量电流和增量电压的特性方程，结合基尔 霍夫方程，唯一地求解支路的增量电流f 和增量电压“，由这些增量可获得一个 微扰网络，从而计算出感兴趣的输出增量丁。增量网络法是多输出单参数的求解 灵敏度方法。 伴随网络法是通过求解原网络和伴随网络方程，可得到网络的一个输出量对全 9 华北电力火学硕士学位论文 部网络参数分别变化的灵敏度值。 由于符号网络法的局限性，目前大量使用的是增量网络法和伴随网络法。除了 这些方法以外，还有一些其它针对于求解非均匀传输线灵敏度的方法，例如科罗达 等效电路法、合同变换法和特征法等。 1 i 合同变换法1 2 卜圳，最初运用阶数缩减的方法来分析非均匀传输线，是通过p a d e 逼近【45 j 的方法，但后来发现为提高阶数缩减的精度就必须提高阶数，由此会造成矩阵方 程规模增大而发生病态，更重要的不能保证系统的无源性1 24 | 。而文献 2 4 应用k r y l o v 子空i b j 变换通过将原来网络函数以高阶矩阵的特征值表示近似等效为低阶矩阵的特征 值表示，从而达到阶数缩减的目的，并且保证了系统的无源性。但该方法对于大系统在 构建f 交基时需要大量的计算量，处理复杂的系统效率不高。 2 、科罗达等效电路法 3 2 , 3 3 】，将二次线型无损非均匀线用科罗达( k u r o d a ) 等效方 法变换成无损均匀线及若干集中参数元件组成的等效电路，借助伴随网络法求出二次线 型无损非均匀线的频域灵敏度公式，然后采用类似拉氏反变换的方法，由频域灵敏度公 式推动出二次线型无损非均匀线的时域灵敏度公式。再以无损耗非均匀线的灵敏度公式 为基础，通过集中处理非均匀线的损耗，获得二次线型有损非均匀线的频域和时域灵敏 度公式，较好地解决了这类非均匀线的灵敏度求解问题。这样不仅可以避免求解复杂的 非均匀线方程，而且变换后的等效电路十分简单，便于使用通用的电路软件进行灵敏度 分析。 3 、特征法1 3 4 3 川，在文献 3 4 禾n 3 5 1 中提出了用特征法求解单导体传输线灵敏度，但 对多导体传输线灵敏度分析很困难，因为对单导体传输线用特征法求解时，最基本之点 是将电压和电流分解为入射波和反射波，且各具有波速，这只能由单导体传输线电报 方程得出，对于多导体耦合电报方程组来说显然不能。虽然对于一些特殊情况提出了一 些解耦的方法，但还是有所限制的。 由上讨论可知目前对于集中参数电路和均匀传输线的灵敏度分析方法己较完善，但 对于非均匀传输线灵敏度分析的方法较少，而且仅有的这些方法却具有一定的局限性， 使得对非均匀传输线灵敏度的分析还没有一种成熟的适用于各种类型传输线的方法。为 此，本文基于微分求积法，并结合精细积分法提出一种适用于均匀和各种类型非均匀传 输线灵敏度分析的伴随方程法，并通过实例验证了所提方法及公式的正确性。所提方法 的优点是对均匀和非均匀传输线灵敏度的分析方法是相同的，原理简单并且计算量小。 1 0 华北电力入学硕十! 学位论文 3 1 微分求积法简介 第三章微分求积法 d q m 是一种特殊的差分方法，通过将电报方程由偏微分方程组变为常微分方 程组以简化求解，方程组所包含的微分方程数可明显少于由有限差分而转化成的微 分方程组的方程数，在保持同样的计算精度的条件下可明显提高计算效率。 作为一种数值方法的d q m ，相对于特征法来说，不受各种约束条件的限制， 应用范围可以拓宽。例如可应用于任意尺寸、任意耦合情况、具有任意分布参数的 多导体传输线，而在应用特征法时就要受到相当的限制。微分求积法和有限差分法 有所不同，后者是将微分算子近似为差分格式，实际上是将莫点处的微分算子以该 点附近的函数值进行逼近，而d q m 的主要思想是将某点对坐标的微分算子以该坐 标全部定义域中一系列离散点的函数值加权逼近，将偏微分方程化为常微分方程求 解。其主要的环节在于利用组试验函数确定微分求积逼近式中的线性加权系数。 这种方法能在较少离散点的情况下得到较高精度的结果。 3 2 微分求积法的基本原理 微分是积分的逆运算，对于积分已经有一套成熟的方法，我们可以借助这些方 法使数值微分的问题得到类似的解决。g a u s s 型求积公式是具有最高代数精度的求 积公式，同样我们可以考虑将微分算子用函数上各个离散点的函数值与一定的权系 数来逼近表示，将偏微分方程化为常微分方程或代数方程求解，这就是d q m 的基 本思想。 d q m 是由b 邑l l m a n 等人在上世纪6 0 年代提出的一种微分方程的逼近方法，其 关键是确定任意阶导数离散的权系数。b e l l m a n 等人对一阶导数提出了使用幂函数 做为试验函数来确定权系数的方法【4 2 1 。从一些文献可以看出，以前工程中d q m 的 应用经常采用b e l l m a n 的方法，因为这种方法的离散点可以任意选取。但是当代数 方程的阶数增高时，矩阵呈病态，这样对数量较多的离散点很难得到权系数。为了 克服原始d q m 计算权系数的缺陷，c s h u 提出了广义微分求积法( g d q ) ( g e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r e ) 4 3 】。首先该方法假定偏微分方程的解用个高 阶多项式来逼近，该多项式可形成一个线性多项式向量空间。然后利用线性向量空 间的性质，通过在线性空间中选择适当的基多项式来获得d q m 的权系数。对给定 的问题，d q m 的性能取决于权系数的确定方法，即测试函数的选取，最初常选用 幂函数，但这种方法容易得到近于病态的方程组，而采用正交多项式就可以解决这 一问题。 1 l 华北电力火学硕士学位论文 假设函数f ( x ) 是足够光滑的，微分求积法的数学表示为 n 厂( x ) ，= 厂( o ) ( 3 - 1 ) - - 式中为微分算子，一为定义域中的离散点，厂( 0 ) 为离散点相应的函数值，a , j n - 与 函数值相关的权系数。为了确定加权系数，上式要求对小于等于n 一1 阶的多项式是精 确的。 b e l l m a n 等人提出的方法即是用幂函数作为试验函数，其形式为 s ( x ) = x k - ik = 1 ，2 ，n ( 3 2 ) 如果算子三表示，2 阶导数，则幽式( 3 1 ) 和( 3 - 2 ) 可得 x 卜1 - - ( k 一1 ) ( 七一2 ) ( 七一船) x p l f ，k = l ，2 ，n = l 以上得到的是组线性方程组，通过解方程就可得到全部加权系数。当离散点的位置确 定后，则d q m 的各阶导数的系数矩阵就可以确定了： 五 x ? ： x ? 一 x n ， x 寻 ； x 甚一 a i l a i 2 a i 3 ： a ，n o 1 2 z ( 一1 ) x ，2 f = 1 ，2 ， 求解这个方程组，即可求出用幂函数作基函数的微分求积方法来近似一阶微分的加权系 数a 俨 由于d q m 的准确性是由系数a ，来确定，在方程( 3 1 ) 中用n 阶d q 逼近一阶偏 微分存在一个误差项e j = e ( x i ，f ) ，- i p 目下式表示 昙v ( v ) = 荟n 啪m ， 如果v ( x ，f ) 满足下面两个条件 a ) v ( x ，f ) ，v 2 ( x ，f ) ，v ( x ，f ) 是连续的； b ) v ( x ，f ) k ； 误差项可用多项式巳k 石h f n 面- i 来计算。这里h = m a x ( 。+ 。一_ ) ，= 1 ，2 ，。 由于b e l l m a n 等人提出的最初的求权系数的方法存在病态方程组的问题，c s h u 又 提出新的方法【4 3 1 ，这种方法是在一个线性多项式的向量空问中来分析高阶多项式的逼 1 2 华北电力人学硕十：学位论文 近。将这一方法用到传输线，电压和电流v ( x ，) = u ( x ，f ) ，i ( x ，) 可以用下面的插值多 项式来逼近： v ( x ，) 兰v ( x ，) = 厶( z p ，( ，) x o ，1 】 ( 3 3 ) ，- l 这里u ( f ) = v ( _ ，t ) ，厶( x ) 为插值函数在誓点的函数值。则方程( 3 1 ) 中的系数为 = 夏d 厶( x ) ( 3 - 4 ) 在g d q ( 广义d q ) 算法中有下面几种常用的试验函数。 1 ) 多项式微分求积法( p d q ) 如果式( 3 3 ) 中的厶( x ) 是形如下面的拉格朗同( l a g r a n g e ) 多项式 兀( x x k ) 纵功2 褊 根据方程( 3 - 4 ) 可得 ，兀( _ 一) l k ， 2 雨了前瓦习川纠 铲吾去 i t j 。、i。、i 选定一个n 阶契比雪夫多项式瓦( ，) ，自变量的定义域取为，卜1 ，1 ，在定义域 中其n 个零点为 ：c o s ( 2 i 了- 1 ) 7 r f _ 1 ，2 ，j v 2 。 对传输线的长度进行归一化处理，其长度定义域取在0 和1 之间，将作以下变换 x i ：土玉i ：1 2 一，n 一 则x o ，1 。将此n 个分点作为d q m 的分点，称为契比雪夫分点，根据前述可推导 出相应的全系数公式 圹掣 铲精 ，l j 华北电力人! 学硕+ 学位论文 2 ) 谐函数微分求积法( h d q ) 对于一个电路系统，用傅立叶级数( f o u r i e rs e r i e s ) 可能比多项式展丌要更能 逼近真实解。一个n 阶的傅立叶级数是一个n 维线性子空间的线性组合，这个n 维线性子空间的基为 g ( x ) ： 1 ，s i nr e x , c o s7 r x , s i n2 r x , c o s2 哪，s i n 掣7 x , c o s 掣7 x zz n 为分点数，一般耿奇数，且有 q u2 万2 1 脯- i s i n ( ( x 一坼) 刀7 2 ) s i n ( ( x , 一x j ) ；r 1 2 ) 兀s i n ( ( x , 一x k ) ；, r 2 ) k 一 七暮i d q m 的线分段数n 可按下列经验公式计算u 9 ：2 旦+ 2 以。i 。 式中，d 为线长，矗椭为输入激励的最短波长，且有 一石1 一 其中v = 3 x1 0 8 m s ，为输入信号的上升时间。 3 3 微分求积法在传输线中的应用 用微分求积方法来进行传输线的瞬态模拟，其主要思想是将传输线长度坐标方 向上的微分算子用一系列的离散点的函数值加权逼近，将偏微分方程转化为常微分 方程或代数方程求解。该方法用了高阶多项式逼近，能在取较少离散点的情况下得 到较高的精度。d q m 可以很容易地应用于非均匀传输线的情况。 传输线上电压、电流沿长度的一阶微分的微分求积法可用下式表示【2 1 ： 丢“列) _ 荟啪) ( 3 - 5 ) 而阶微分可以表示成： 。 参v c 咖耖 其中0 = x i x 2 x ，= 1 ， i = 1 ，2 ，n 。 1 4 华北电力人学硕十! 学位论文 这早v ( x ，t ) 代表传输线上的分布电压u ( x ，) 或电流i ( z ，f ) ，而v ，( ，) = v ( z ，) 。 x ，x ：，h 为沿传输线上的离散点归一化后的结果。 对于给定的问题，微分求积法的性能取决于测试函数的选择。选择幂函数作为 测试函数时，当阶数很大时，得到的系数方程组近于病态，求解加权系数时对计 算机的舍入误差极为敏感。如果选择的测试函数相互f 交，则可解决这一问题。本 文采用谐函数作为测试函数的方法，取测试函数组为： 贴) ： l s i n7 x , c o s2 x ，s i n 2 2 1 x , c o s 2 矾，s i n 掣眠c 。s 掣7 r x ，o 工l ， l zz j 为分点数且为奇数。当利用谐函数微分求积法处理非均匀传输线问题时，在长度 上的分点常为均匀间隔。 传输线的时域电报方程为【2 j _ o u ( _ x , t ) ：一( ) 掣一尺( x ) 如，f ) o xo t o i ( i x , t ) ：一c ( 工) a u ：( x _ , t ) 一g ( x ) z ，( x ，f ) o x8 t ( 3 6 ) 边界条件： f ( u ( o ，) i ( o ，) ) = 磊( f ) ，f ( u ( 1 ，吐i ( 1 ，f ) ) = i ( f ) 式中，r ( x ) ，g ( x ) ，( x ) ，c ( x ) 为传输线分布参数，u ( x ，t ) ，i ( x ，) 分别为线上电 压和电流，x ( 0 x 1 ) 为长度上空间坐标，f 为时间变量。 由式( 3 5 ) 和( 3 - 6 ) 可得 4 u ：一旦，一r i d f 。a l ：c 坠u g u d f 式中 ， 4 = r 肌 j = f ( x l ，f ) ，i ( x 2 ，f ) ，i ( x ，v ，f ) r g = d i a g g ( x 1 ) ，g ( x 2 ) ，g ( x ) r = d i a g r ( x 1 ) ，r ( x 2 ) ，r ( x ) ) 。 ， u = “( _ ，f ) ，“( x 2 ，f ) ，u ( x ，f ) 7 l = d i a g l ( x 1 ) ，l ( x 2 ) ，l ( x _ ) ) c = d i a g c ( x i ) ，c ( x 2 ) ，c ( x ) ) 将上面的方程组写成矩阵形式可以得到： 风k + 甄导= o ( 3 7 ) 其中：x 。= c u 7 ，7 ，风2 三矣 ，甄2 荔兰 式( 3 7 ) 中a 为列线性相关的【19 1 ，通过代入边界条件，可以破坏a 的线性相 华北电力大学硕士学位论文 关性。如果传输线所接负载为纯电阻性，则将边界条件代入式( 3 7 ) ，消掉变量 u ( x ，t ) ，j ( h ，t ) ，同时去除式( 3 7 ) 中的首木两个方程，得到 旦x + 月x ：q ( 3 8 ) d ， 如果所接不是纯电阻性负载，则将边界条件直接替换式( 3 - 7 ) 首术两个方程。 通过上面处理方法可以保证得到的式( 3 8 ) 中的和仍然是对角矩阵，由式( 3 8 ) 可得 坚：删+ f ( 3 - 9 ) d f 其中b = 一k h ，f = k q 。 式( 3 - 9 ) 的解为 1 8 1 x ( 归p 层7 x ( o ) + f p 叭( f ) d 孝 以f 为时间步长，f ( f = 门r + r ) 时刻有、 x ( n r + r ) = p b ( ，i r ) x ( ，2 r ) + f - e b c f ( t 一孝) d 孝 ( 3 1 0 ) 在h - j f 白j 步长内，可以认为非齐次项是线性的或可以线性化的，即可以表示为 f ( t ) = r o + ( f f ，) 其中州( ，t ) = 差。 将式( 3 11 ) 代入式( 3 1 0 ) ，可以有 x ( 门+ 1 ) = e b re x ( 门) + b 一( r o + b 一) 一b 一( r o + b 。1 + r ) 式中x ( n ) = x ( n r ) 该算法关键在于计算e 所。在此利用精细积分法进行计算，令 t = e 所，聊= 2 ，n = 2 0 ，a t = r m ； e 爿必f l + b 出r + 圭 曰隧r 2j 1 _ i 【b 隧r 】3 + 丽1 曰吆纠4 = 1 + 瓦 进行分解得 丁= p b 凸= p b ! 2 、= j + 瓦】2 。_ j + 瓦 2 小1 j + 乙】2 ”“ 这种分解共进行n 次。而 【j + 瓦】 j + 瓦】= l + 2 t , + 瓦l 精细计算可用下列语句实现： ( 3 11 ) 华北电力大学硕+ 学位论文 f o r ( j = 0 ；j u ( x ，f ) 2l “( x ) ，甜( 屯，f ) ，“( ，f ) j i ( x ，f ) i ( x ，f ) 21 0 ( x ，f ) ，i j ( 屯，) ，t ( h ，f ) j l j kjl = d i a g ( _ ) ，k ( x 2 ) ，皇，女( h ) c j kjc = 扰昭 c j k ( _ ) ，( t ) ，( h ) r = d i a g r ：( x 1 ) ，( x 2 ) ，( h ) 吒jg = d i a g g 肚( _ ) ，啄( x ：) ，吒( h ) j ，k = 1 ，2 ，m 经分点变换后，多导体传输线的电报方程变为： i 么o “d ：一f 旦f o r d i d 。 砒 h d ：- c d 鱼止幽。 。1 2 【 衍 。 矩阵的上标“d ”意味着矩阵的维数成倍增加，在e 式中 华北电力火学硕十学位论文 。 u 6 = 时，坞t ，】7 i 8 = i l r , ，乇】 = 匕k r ( m x j v ) 舭 c o = 巳k f l ，】 r 。= r j k h 舭，1 g o = 啄】似e l l 川 a o = d i a g ( a ，a ，4 ) ， ， 在加入边界条件后，即可仿照单导体情况求解式( 3 1 2 ) 。 3 4 微分求积法在含传输线网络中的应用 在已有的文献中，d q m 大都应用于规模较小的传输线电路，对含有集中和分 布参数混合元件的大规模的电路没有涉及到。对大规模的电路，电路中除含有传输 线这样的分布参数外还含有大量的集中参数元件，这样传输