（电工理论与新技术专业论文）连续小波变换的bicmos对数域电路实现.pdf

垄堡尘鎏錾堡鱼呈l 坠坌塑墼垫鱼堕塞堡 a b s t r a c t t h ew a v e l e ta n a l y s i si sak i n do fas e l f - a d a p t e dt i m e f r e q u e n c yl o c a l i z e dm e t h o d ， w h i c ht u n et h et i m e - f r e q u e n c yw i n d o wa u t o m a t i c a l l ya n dh a sas t r o n gf l e x i b i l i t y i t s a p p l i c a t i o n sr e l a t et oal o to ff i e l d s ，s u c ha st h ec o m m u n i c a t i o ns i g n a l sp r o c e s s i n g ，t h e r a d a ri m a g e sa n a l y s i s f o ra d a p t i n gt h er e a l - t i m er e q u i r e m e n t so fs i g n a lp r o c e s s i n gi n p r o j e c t ，t h es t u d yo fu s i n gh a r d w a r et or e a l i z ew a v e l e tt r a n s f o r ma r ed e v e l o p e dr a p i d l y a tp r e s e n t ，t h ev l s i i m p l e m e n t a t i o n so fc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m c a nd i v i d ei n t oi n t i m e - d o m a i na n di nf r e q u e n c y d o m a i n i nt i m e d o m a i n ，t h em e t h o d st or e a l i z et h e c w th a v et h ea d v a n t a g e so ff a s ts p e e d ，s i m p l es t r u c t u r ea n di n t e g r a t ei n t e g r a t i v e l y s oi t i ss u i t a b l ef o rt h eo c c a s i o no fr e q u i r i n go ff a s tc a l c u l a t i o n o t h e r w i s e ，i ti sa g i l e rt o i m p l e m e n tt h ec w t i nf r e q u e n c y d o m a i nt h a nt i m e d o m a i n t h e r ea r em o r ek i n d so f i m p l e m e n t a t i o n si nt h i sw a y o n eo fp r o s p e c t i v ed e v e l o p i n gd i r e c t i o n so fv l s ii m p l e m e n t a t i o ni sl o w v o l t a g e ， l o w p o w e ra n a l o gc i r c u i t i n s t a n t a n e o u sc o m p a n d i n gc i r c u i t so f f e rt h ep o s s i b i l i t yo f w i d ed y n a m i cr a n g ea n dh i g hf r e q u e n c yo p e r a t i o no nal o wp o w e r s u p p l yv o l t a g ew i t h l o wd i s t o r t i o n l o g d o m a i nf i l t e ri sat y p i c a li n s t a n t a n e o u sc o m p a n d i n gc i r c u i t b i c m o s ( b i p o l a rc m o s ) i st h et e c h n o l o g yt h a tc m o st r a n s i s t o r sa n db i p o l a rt r a n s i s t o r sa r e i n t e g r a t e do nt h es a m ec h i pa tt h es a m et i m e b i c m o sl o g - d o m a i ns y s t e m sc a nb e a d v a n i a g e o u s l yi m p l e m e n t e du s i n gt h ee x p o n e n t i a lc h a r a c t e r i s t i co fb i p o l a rt r a n s i s t o r s t of o r mt r a n s l i n e a rl o o p ，a n dm o st r a n s i s t o r sb i a s e di nw e a ki n v e r s i o nt or e a l i z et h e c u r r e n tm i r r o r sa n dt h ev o l t a g ef o l l o w e rh a v i n gh i g hc u r r e n tg a i n i n g f o rt h i sr e a s o n ，i t i sa t t r a c t i v et oa p p l yt h i st e c h n o l o g yi nd e s i g no fl o w v o l t a g e ，l o w p o w e ri n t e g r a t e d c i r c u i t s i nt h i sp a p e r , am e t h o do fr e a l i z i n gc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r mw i t hb i c m o s l o g d o m a i nc i r c u i ti sp r o p o s e d e a c hr e q u i r e db a n d p a s s f i l t e ri sr e d u c e dt ot w o l o w p a s sf i l t e r sw h i c ha r er e l a t i v e l ys i m p l ei nd e s i g nb yu s i n gc o m p l e xd e m o d u l a t i o n t h ed e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o na r c h i t e c t u r ea r ei n t r o d u c e d t h ed e c o m p o s i t i o n a n dr e c o n s t r u c t i o na r c h i t e c t u r ea r ei n t r o d u c e d t h ed e s i g na n di m p l e m e n t a t i o no f e l e m e n tc i r c u i t si n c l u d i n gc u r r e n t - c o n t r o l i n g o s c i l a t o ro c o ) ，l o g d o m a i ni n t e g r a t o r a n dg a u s sf i l t e ra r ea l s od e s c r i b e di nd e t a i l f i n a l l y , t h es o u r c eo fe r r o r sa n dt h e c o m p e n s a t i o nm e t h o d s a r ed i s c u s s e d a 1 lo fa n a l y s i s c a l c u l a t i o nr e s u l t sa n d s i m u l a t i o n sd e m o n s t r a t et h a tt h em e t h o d sp r e s e n t e di nt h ep a p e ra r ef e a s i b l e ，t h e a l g o r i t h mi se f f e c t i v e ，t h er e a l i z a t i o no fc i r c u i ti ss i m p l e ，t h ep r o c e d u r e so ft h ed e s i g n a r es t a n d a r d ，a n dt h es y s t e mc a l lb ea p p l i e di nl o w - v o l t a g e ，l o w - p o w e ra n da th i g h s p e e d 。 k e yw o r d s ： c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ；l o w - v o l t a g e l o w - - p o w e r l o g d o m a i nc i r c u i t s ；b i c m o s ；c o m p l e xd e m o d u l a t i o n i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体。均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：就便履 日期：埘年够月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 履徒日期：u o j - 年2 月，上日 日期：r 盯年c p 月1 2 4 i t 蕻油 第1 章绪论 小波变换是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支。最近几年，它已广泛应用 于信号检测、特征提取、故障诊断与定位、数据压缩等方面，是多学科关心的热 点，是信号处理的前沿课题。我们知道研究稳定信号的理想工具是f o u r i e r 变换， 换句话说，稳定信号可分解为正弦波的线性组合；而研究非稳定信号的理想工具 是小波变换，其中瞬变事件不能事先知道在何时发生，与f o u r i e r 分析技术不同， 小波分析技术既适用于大多数具体的非稳定信号的分析，也适用于具有分形结构 的信号。目前，小波变换及重构工作大部分在计算机中进行，并且计算工作量大。 现在的问题是我们能否把小波变换及重构制成一种器件给使用者，即用硬件实现 小波变换及重构，以减轻他们的计算工作量。 1 1 小波变换的硬件实现 由于连续小波变换是分析非平稳信号的有力工具，并且连续小波变换的算法 在数据压缩方面的性能优于离散小波变换，因此它的应用倍受关注。用模拟或模 数混合电路实现连续小波变换相对于用数字电路实现离散小波变换而言有明显的 优势： 1 ) 、模拟电路实现连续小波变换不需要a d 和d a 的变换，处理速度因而加 快； 2 ) 、可以避免由于模数之间的变换和数字电路开关所引起的波形畸变； 3 ) 、采用模拟方法实现的连续小波变换处理信号的频率范围宽，可以达到高 频领域，而功耗却不因此而增加； 4 ) 、用模拟方法实现的连续小波变换电路便于集成。 但是从近年来国内外的研究文献来看，直到目前为止，连续小波变换的硬件 实现的研究却滞后于离散小波变换硬件实现的研究。这主要是由于用模拟或者数 模混合电路实现连续小波变换时，其结构要相对复杂，而且模拟电路的设计相对 于数字电路的设计而言难度要大得多，设计时有多方面因素需要考虑，设计的自 动化程度也不高，这些因素都制约了连续小波变换的硬件实现的发展【8 1 。 近年来国内外对连续小波变换的模拟或模数混合电路实现进行了研究，获得 了一定的进展，给出了几种不同的连续小波变换的实现电路，大致可以归纳为频 域实现和时域实现两个方面。 时域实现的基础是连续小波变换的时域表达式，它的基本定义如下： 设g o ) r 忸) ，y ( f ) 是母小波，a 为尺度因子，且口 0 ，r 反映位移，其值可 正可负，标号“ ”表示复数取共轭，x ( f ) 在时域中的连续小波变换式如下： ；4 7 t ；( a , r ) = 卜0 ) 1 竺l d t a 。 a 时域实现的优点在于其处理速度快，实现结构也相对简单，便于一体化集成， 适合于要求快速计算小波系数的场合。有一种典型的时域实现的方案就是幅度调 制技术。时域实现的难点在于小波函数发生器的设计，以及对系统中所采用的乘 法器、积分器等器件，要求它们的线性动态范围要宽、工作带宽要广。 频域实现的基础是连续小波变换的频域表达式，其定义式如下： 设上如) 是x o ) 的f o u r i e r 变换，甲如) 是妒o ) 的f o u r i e r 变换，a 以及r 的定义 同上，则x ( f ) 在频域中的连续小波变换表达式如下： 厂二 l 0 r ) = 芸防白) 甲+ 0 脚) e ”7 如 上刀 频域实现的优点在于它能实现的小波函数种类较多，实现的方案也比较灵活， 且对于系统实现当中的一些关键部件，例如滤波器的研究都相对比较成熟。频域 实现的方法之一是复解调技术。频域实现的难点在于它的实现结构相对复杂，火 多数情况下都是一些数模混合的系统，且在高频运用的领域，些实现方法当中 对滤波器组的设计要求高，高精度以及宽动态范围的滤波器设计难度高。 1 2 对数域电路 模拟集成电路设计的一个主要研究方向是低电压、低功耗的电路实现。近几 年来在这一发展方向上出现的处理技术首推瞬时缩展技术。这种技术可以很好的 解决在低电源电压下，保持动态范围和高频率工作点的问题。瞬时缩展技术运用 的一个典型实例就是对数域滤波器。对数域技术能够在低电源电压情况下，对电 路中运行的电流进行最有效的利用，可以提高系统的功效，使得此项技术对低电 压、低功耗的集成电路设计非常具有吸引力。 我们在这里简单介绍对数域电路从电路性质到设计方法的独特优点，说明一 ”f 采用对数域电路来实现本文构造的连续小波变换系统具备有多方面的优点。 从对数域电路的结构来看，它是一种典型的采用非线性元件构造线性滤波器 的方案，这类方案要求利用反馈技术，以减少元件非线性性质的影响。在电路内 部，我们利用线性跨导元件提供的指数和对数的非线性性质构造系统，而这些非 线性性质又可以互相弥补，在电路的外部特性上表现为线性性质。正是由于电路 内部的高度非线性性质，使得对数域电路具备有一般线性电路所不具备的优点。 首先，内部的非线性使电路的抗噪性能增强，保持较好的信号噪声比( s n r ) ；其次， 内部的非线性性使得设计的电路有一个比较宽的信号处理的频率范围。 从对数域电路的运行特性来看，它是一种典型的电流模式电路，具备有电流 模式电路的工作特性。在理论上，对数域电路具有在一个低电压基准上提供宽动 态范围滤波的性能，并且在信号处理的过程中具备低失真特性。 从电路设计方案来看，对数域电路设计方法的复杂度要低于其它的一些设计 方案，且电路节点上产生的电压振荡非常小。对数域电路设计方案允许以单片集 成的形式实现非常高频的滤波函数。对数域电路的几个性质使得它们适合于在射 频段的应用：电路内部阻抗级较低，改善电路的噪声性能和高频响应；在理论上， 电路的外特性具有完全的线性性质；电路增益通过改变直流输入电流来加以控制。 连续压缩和扩展的工作状态、高频区工作特性、可调节性以及在低电源电压 下可扩展的动态范围，这些特点都使对数域电路从理论上和技术上都具有吸引力。 1 3 b i c m o s 工艺 近几年来，随着混合微电子技术的快速发展及其应用领域的不断扩大，特别 是在通信行业、计算机系统高速发展和应用领域，电予和通信业界对于现代电子 元器件( 例如大规模集成电路，即v l s i ) 、电路小型化、高速度、低电源电压、低 功耗和提高性价比等方面的要求越来越高。传统的双极技术虽然具有高速、电流 驱动能力强和模拟精度高等优点，但其功耗和集成度却不能适应现代v l s i 技术的 发展需要。而一直作为硅锗( s i g e ) 集成电路主要技术平台的m o s 器件及其电路虽 在高集成度、低功耗、强抗干扰能力等方面有着双极电路无法比拟的优势，但在 高速、大电流驱动场合却无能为力。可见无论是单一的c m o s ，还是单一的双极 技术都无法满足v l s i 系统多方面性能的要求，因此融合了两种技术优势的新技术 b i c m o s ( b i p o l a rc m o s ) 器件及其电路便是v l s i 发展的必然产物。 b i c m o s 是c m o s 和双极器件同时集成在同一块芯片上的技术，其基本思想 是以c m o s 器件为主要单元电路，而在要求驱动大电容负载之处加入双极器件或 电路。因此b i c m o s 电路既具有c m o s 电路高集成度、低功耗的优点，又获得了 双极电路高速、强电流驱动能力的优势。 用b i c m o s 实现的对数域电路，利用了双极型晶体管的精确的指数特性，以 形成跨导线性环。m o s 晶体管便于实现电流镜及电压跟随器，且有很高的电流增 益和比双极型晶体管更低的饱和电压，占用面积小等优点，使得此项技术对低电 压、低功耗的集成电路设计非常具有吸引力p 引。 1 4 本文构想 本项研究工作就是在上述背景下展开的，论文分为六个部分。 第一章绪论部分简略地介绍了硬件实现小波变换的研究情况以及本项工作的 意义。 第二章介绍了小波变换的基本理论，在f o u r i e r 变换的基础上讨论了小波变换 的定义及分类，给出了小波变投的主要特点及几种常用的基本小波。给小波变换 的模拟电路实现提供理论蒸础。 第三章介绍了b i c m o n 工艺的结构、性能及发展趋势，分析了几种基本的 b i c m o s 电路。 第四章详细地讨论了对数域技术的理论基础，以b i c m o s 对数域积分器为例 介绍了对数域电路的设计与分析方法，对非理想因素对对数域积分器、滤波器的 影响及其补偿措施进行了探讨。 第五章在总结现有连续小波变换硬件实现方法的基础上提出了连续小波变换 的频域复解调技术实现方法，并给出了相关的硬件结构及p s p i c e 仿真结果，证明 了方案的可行性。 最后是结束语。 第2 章小波分析基本理论 小波分析，又称为多分辨分析，它是f o u r i e r 分析发展史上罩程碑式的进展， 是泛函分析、调和理论、数值分析、逼近论和时一频分析等多学科交叉的理论结晶。 它提供一种自适应的时一频局部化方法，可自动调节时一频窗，可聚集到信号时 段和频段的任意细节，具备有很强的灵活性。小波变换以f o u r i e r 变换理论为基 础，但在许多性质上又要优于f o u r i e r 变换。它不仅同时具有时域和频域的良好 的局部化性质，而且随着信号不同频率成分取样的疏密可以进行自动调节，以达 到频率高、质量高的分析效果。原则上来说，传统上使用f o u r i e r 分析的地方都 可以采用小波分析来取代【“。 2 1f o u rio r 变换 从物理意义上说，一个函数的f o u r i e r 变换就是把它分解成许多不同频率的正 弦波的加权和，如果这些正弦波叠加起来可恢复为原来的函数波形，那么我们就 确定了这个函数的f o u r i e r 变换。一旦求得了该函数的f o u r i e r 变换，我们就可以 把对原函数f ( t ) 的研究转化为对组成该波形的各正弦波权系数的研究。所以， f o u r i e r 变换的本质在于用不同频率的正弦波来逼近待分析的函数，数学上看就是 选取正交规范基e l ”，求信号f 在这组基上的投影一一信号与e 】”作内积。f o u r i e r 变换的定义简述如下： 设f ( t ) l l ( r ) ，则f ( t ) 的连续f o u r i e r 变换为 m坤 f ( c o ) = i 厂( r ) ( p 。“) + d t = if ( t ) e 1 “d t ( 2 1 ) 其中：“一表示复共轭；l l ( r ) 表示由可积函数组成的函数空间。 由f o u r i e r 变换的定义可以看出它是有界的，而且可以证明它是变量的连续 函数。如果f ( t ) l 1 ( r ) 且f ( ) l 1 ( r ) ，则逆f o u r i e r 变换为： 1i ” f ( t ) = - 圭if ( c o ) e 倒d o ( 2 2 ) 从式( 2 2 ) 可以看出，函数f ( t ) 被分解成为幅度为( 1 2n ) f ( 。) dc a ) 的无限多个正 弦波之和。如果“t ) 属于平方可积函数组成的函数空间l 2 ( r ) ，即f ( t ) l 2 ( r ) 但f ( t ) 鞋 l 1 ( r ) ，则f ( t ) 的f o u r i e r 变换不能用式( 2 1 ) 来计算，因为“t ) e 州不可积，但可 以利用l 1 ( r ) n l 2 ( r ) 中函数的f o u r i e r 交换之极限来定义“t ) 的f o u r i e r 变换，从而把 f o u r i e r 变换稠密扩充到l 2 ( r ) 。同时，可利用内积的概念：f ( t ) l 2 ( r ) ，g ( t ) l 2 ( r ) ， 则f ( t ) 与g ( t ) 的内积为： 第2 章小波分析基本理论 小波分析，又称为多分辨分析，它是f o u r i e l - 分析发展史上罩程碑式的进展， 是泛函分析、调和理论、数值分析、逼近论和时一频分析等多学科交叉的珲沧结晶。 它提供一种自适应的时频局部化方法，可自动调节时频窗，可聚集到信号时 段和频段的任意细节，具备有很强的灵活性。小波变换以f o u r ie r 变换理论为基 础，但在许多性质上又要优于f o u r i e l 变换。它不仅同时具有时域和频域的良好 的局部化性质，而且随着信号不同频率成分取样的疏密可以进行自动调节，以达 到频率高、质量高的分析效果。原则上来说，传统上使用f o u r i e r 分析的地方都 可以采用小波分析来取代【1 1 。 2 1f o u ri e r 变换 从物理意义l 说，一个函数的f o u r i e r 变换就是把它分解成许多不同频率的_ _ f 弦波的加权和，如果这些正弦波叠加起来可恢复为原来的函数波形，那么我们就 确定r 这个函数的f o u r i e r 变换。一旦求得了该函数的f o u r i e r 变换，我们就可咀 把对原函数f ( t ) 的研究转化为对组成该波形的各正弦波权系数的研究。所以， f o u r i e r 变换的本质在于用不同频率的正弦波来逼近待分析的函数，数学上看就是 选耿正交规范基e l ”，求信号f 在这组基上的投影一一信号与e j “作内积。f o u r i e r 变换的定义简述如下； 设f ( t ) l i ( r ) ，则“t ) 的连续f o u r i e r 变换为 f ( c o ) = 厂邝) o 埘) d t = 广f ( t ) e - j “d t ( 21 ) 其中：”表示复共轭；l j ( r 1 表示由可积函数组成的函数空问。 由f o u r i e r 变换的定义可以看出它是有界的，而且可以证明它是变量m 的连续 雨数。如果f ( t ) l l ( r ) 且f ( ) l 1 ( r ) ，则逆f o u r i e r 变换为： 1 ” f ( t ) = - 圭if ) e j “d o ) ( 2 2 ) 万7 从式( 22 ) 可以看出，函数f ( 0 被分解成为幅度为( 1 2n ) f ( u ) d u 的无限多个币 弦波之和。朝j 果“t ) 属于平方可积函数组成的函数空间l 2 ( r ) 即f ( t ) l 2 ( r ) 但“t ) 岳 r 。( r ) ，则f ( t ) 的f o u r i e r 变换不能用式( 2 1 ) 来计算，因为f ( t ) e o 不可积，但可 以利用l 1 ( r ) n l 2 ( r ) 中函数的f o u r i e r 变换之极限来定义“t ) 的f o u r i e r 变换从而把 f o u r i e r 变换稠密扩充到l 2 ( r ) 。同时，可利用内积的概念：f i t ) e l 2 ( r ) ，g ( t ) l 2 ( r ) ， 则f ( t ) 与g ( t ) 的内积为： 则f ( t ) 与g ( t ) 的内积为： ( f ，g ) = d ( f ) g ( t ) d t ( 2 3 ) f ( t ) l 2 ( r ) 的范数为： 2 = ( ，) = e 帅) l 2 d t ( 2 4 ) 并且有p a r s e v a l 等式：如果f ，h l l ( r ) n l 2 ( r ) ，则 e ，( f ) ( t ) d t = i 1e r ( o ) - + 白如 ( 2 5 ) 及p l a n c h e r e l 等式：如果f = h l 1 ( r ) n l 2 ( r ) ，则有 妇( f ) 1 2 d t = 去3 f 如】2 d o ) ( 2 6 ) 在f o u r i e r 变换扩充到l 2 ( r ) 后，p a r s e v a l 等式和p l a n c h e r e l 等式仍然成立。 e ”是所有线性时不变算子的特征向量。若我们把一个线性时不变系统看作一 个算子并用l 表示，而输入、输出信号分别构成两个空间，则该系统对信号的处 理可以看作是浚算子作用于输入信号而把它映射到输出信号空间的过程。数学上， 这个过程就是用这个算子与信号作内积。该算子完全由其特征值h ( u ) 刻划，而实 际上h ( ) 就是系统冲激响应的f o u r i e r 变换： v 国r ，le a w = h ( o 、e j w ( 2 7 ) 设f 是系统的输入，要计算输出l f ，首先将f 分解成正弦波 e l ”) m r 之和：即 式( 2 , 2 ) 。若将l 作用于f ，利用线性时不变系统的性质和式( 2 7 ) 可得： 1蜱 l f = - if ( o ) h ( o ) e 删矗 ( 2 8 ) 二万卜 由上式可见，算予l 将组成f 的各个正弦波分量依放大或缩小h ( u ) 倍，这一 过程可看作是对f 的频率滤波。 虽然f o u r i e r 变换能够将信号的时域和频域特征联系起来，能分别从时域和频 域观察信号，但却不能把两者有机地结合起来。这是因为：为了通过f o u r i e r 变换 研究一个信号的谱特性，必须获得该信号在时域中的全部信息，甚至包括将来的 信息。如果信号在某个时刻的一个小的邻域中变化了，其整个频谱都受到影响。 实际上，信号的时域波形中不包含任何频域信息。f o u r i e r 频谱是信号的统计特性， 从其表达式( 2 1 ) 中可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号 的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于f o u r i e r 频谱中的某一频率，不知 道这个频率是什么时候产生的。 在实际的信号处理过程中，尤其是在非平稳信号的处理中，信号在任一时刻 附近的频域特征都很重要，或者说信号伪频谱是随时间而变化的。对这种信号仅 从时域或频域上来分析是不够的。因此，如何找到一种新的方法，能将时域和频 域结合起来描述所观察信号的时频联合特征而构成信号的时频谱就成为解决问题 的关键。这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化方法。 2 。2 短时f o u rie r 变换 从f o u r i e r 变换选取的基e i ”来看，它本身的f o u r i e r 变换是个冲激函数。因 此，f o u r i e r 变换只具备频域局部化的能力。为了得到时频的局部化，最先想到的 是在时域开窗。d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了短时f o u r i e r 变换，短时f o u r i e r 变 换的基本思想是：把信号划分许多许多小的时间间隔，用f o u r i e r 变换分析每一个 时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 若w ( t ) l 2 ( r ) 且是有紧支集的函数( 即函数w ( t ) 集中在时间轴上的某一邻 域，在此邻域外函数值几乎为零) 而且还有t w ( t ) l 2 ( r 1 ，则可用式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 来定义该函数的时域中心、半径： 卜两1 肌f ) l 2 衍 咿恃即m 叫j 如果w ( t ) 的f o u r i e r 交换也满足w ( ( 】) l 2 ( r ) 和w ( ) 和( 2 1 2 ) 来定义频域中心与半径： 山5 卉尉矽。】2 如 铲 者胎耐2 如 - 则函数f i t ) l 2 ( r ) 的短时f o u r i e r 变换为： s ( 国，f ) = f f ( t ) w ( f r ) e 一，“出 ( 2 ，9 ) ( 2 1 0 ) l 2 ( r ) 则可用式( 2 1 1 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中：“一表示复共轭，w ( t ) 是有紧支集的函数，即窗函数；t 是位移因子， 是频率，式( 2 1 ，2 3 ) 也就是f ( t ) 与w ( t f ) e l ”的内积。由于f o u r i e r 积分局限在 t = f 的一段短暂的时间邻域内，短时f o u r i e r 变换因此而得名。 在短时f o u r i e r 变换中，e i ”起着频限的作用，w ( t ) 起着时限的作用。随着时间 的t 的变化，w ( t ) 所确定的“时间窗”在时间轴上移动，使“t ) “逐渐”进行分析。 因此，短时f o u r i e r 变换大致地反映了“t ) 在时刻t 时，频率为m 的“信号成分” 的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在时域区间旷+ f ot 。 t 4 + f 十o 。】，频域区间【+ + o 。，u 一d 。】构成的区域内的状态，并把这一区域称 为窗口，2 ot 和2 o 。分别称为窗口的时宽和频宽，它们表示了时频分析中的分辨 率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，我们希望o 。和o 。都非常小，以便有更 好的时频分析效果，但由海森堡( h e i s e n b e r g ) 测不准原理指出o 。和o 。是相互 制约的，两者不可能同时都任意小。此外，当窗函数确定后，由i t + f o ， t + r + ot 】， m + o 。，( i ) 一o 。1 构成的矩形窗口的形状就确定了。图2 1 表示了窗 函数的频率中心由u 。2 变化到2 u 。，时域中心由t 。变化到t 。时，相应的时频分 辨率的变化。从此图中可以看出，r 和m 只能改变窗口在时间一频率平面的位置， 而不改变窗口的形状，亦即时频分辨率是不随f 和国改变的。 f 0 z l r ( s ) 图2 1短时f o u r ie r 变换窗函数分析单元时一频示意图 以上讨论说明短时f o u r i e r 变换的分辨率是单一的，若要改变分辨率，则必须 重新选择窗函数。在分析非平稳信号时，特别是信号波形变化剧烈的时刻，主频 是高频，要求有较高的时间分辨率( 即o 。要小) ；而波形变化比较平缓的时刻， 主频是低频，要求有较低的频率分辨率( 即o 。要小) ，而短时f o u r i e r 变换不能 兼顾两者。因此，对于非平稳信号的处理，有必要寻求一种能根据信号的频率特 征自动调节分辨率的分析方法。 2 3 连续小波变换 2 3 1 连续小波变换的定义 小波分析方法是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其形状可以改变，且时 间分辨率和频率分辨率都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高 的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的 频率分辨率。正是这种特性使小波变换具有对信号的自适应性。 若具有紧支集的函数t t j ( t ) l 2 ( r ) 且满足容许性条件 c =r 哗 上。 l l ( ( 2 1 4 ) 其中：w ( u ) 是i f 的f o u r i e r 变换。那么1 l f ( t ) 被称为是一个“基小波”。基小波可 以是复信号，特别是解析信号，例如m o r l e t 小波1 i r ( t ) = e x p ( ( t 2 t ) + j u 。t ) 就是一例， 它是高斯包络下的复指数函数，其虚部是实部的希尔伯特( h i l b e r t ) 变换。若1 l r 与v 分别满足t l l r ( t ) l 2 ( r ) 和6 0v ( ) l 2 ( r ) ，按照前面关于紧支集函数的时 域与频域中心、时域与频域半径的定义，基小波提供了一个用4 0 。0 。给出的有限 面积的时间一频率窗。此外，在这个附加假定条件下，v ( u ) 是一个连续函数。所 以，从式( 2 1 4 ) 中的c 。的有限性推出( 0 ) = 0 ，或者等价地，i f ( t ) 的平均值等于零： 妒( f = o ( 2 15 ) 式( 2 1 5 ) 说明基小波函数必为正负交替的振荡波形，以满足其平均值等于零的限 制，这就是称1 l r ( t ) 为“小波”的原因。从频域来看，容许性条件的限制使得v 的 f o u r i e r 变换v ( 。) 具有带通的性质。 对l l 作伸缩口0 、平移r 可得到一族小波函数或者称一族时频原子： ，o ) = 叫竺1 ( 2 1 6 ) 、，aa 上式中因子1 4 的目的是使不同口值下1 l r ( t ) 的能量保持相等，a 也常常称作尺 度因子或膨胀系数，t 为位移因子。若v 与v 分别满足t l l r ( t ) l 2 ( r ) 和v ( m ) l 2 ( r ) ，且v 的时域中心、半径分别用t 和。表示；频域中心、半径分别用m 和o 。表示，那么，虬，( ，) 是时域中心在f + a t + 半径为口o ：且频域中心在。+ a 半径 为o 。口的窗函数。因此，1 i r 。( t ) 在时域给出了一个时间窗 【a t + f a o - t ，a t + + r + a o t 】，这个窗对于小的a 值交窄而对于大的。值变宽；类似地， 1 l r 。( t ) 在频域给出了一个频率窗【。+ a o 。a ，a 十0 。a 】，这个窗对于小的 a 值变宽而对于大的。值交窄。据此，参数f 仅仅影响窗口在时一频平面时间轴上 的位置，而参数口不仅影响窗口在时一频平面频率轴上的位置，还决定了窗函数的 窗口形状。另一个重要的性质是，一旦确定基小波的类型，中心频率与频宽( 带 宽) 之比一一品质因数q 与a 值无关，即： q = 筹= 貉= 鲁= 常数 亿聊 。 带宽 2 吒2 仃。”。一 、 a 根据上面的讨论可以看出，1 l r 。，。( t ) 在时间一频率面上有时间一频率窗：时窗 宽度为2 ao 。，频窗宽度为20 。a ，面积为40 。0 。在观察低频信号时( 随时 间变化缓慢的信号) ，需要较宽的时间宽度以观察信号的概貌即要求大的a 值，由 时域扩展对应了二频域压缩的性质，频域宽度要窄；在观察高频信号时( 随时间变 化快速的信号) ，需要较窄的时间宽度以观察信号的细节即要求较小的a 值，由时 域压缩对应于频域扩展的性质，频域宽度要宽，如图2 2 所示( 图中分别以a = l 2 ， a = l ，a = 2 三种情况为例说明时间一频率窗的可调性) 。由图可见t ! s 。( t ) 给出的时 间一频率窗恰好满足了在上述两种情况下对窗函数的要求，这一点很符合实际工 作的需要。 f 0f 1 f ( s ) 圉2 2 基小波函数分析单元时一额示意图 若f ( t ) l 2 ( r ) ，那么f ( t ) 关于每一个基小波v 在l 2 ( r ) 上的积分小波变换( i w t ) 定义为： 嘶砷= 去胂黔叫g g ， ，( f ) l 2 ( r ) ( 2 1 8 ) 其e n ：f ，a ( r ) ，而a 0 。其等效频域表达式为： 暇德砖= 尝陟铀 ( 2 1 9 ) 根据式( 2 18 ) 可以看出，f ( t ) 的小波变换是f ( t ) 与基小波族在l 2 ( r ) 上作内积。 该内积也可不严格地解释为卷积，因为： ( 厂 p o r ) ) = f ，o 砂e r 印 ( 2 2 0 ) ( ，o ) + y ( f ) ) = 厂( 砂+ ( f r p f = ，( 砂0 一f 如 ( 2 2 1 ) 式( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 分别表示f i t ) 与t ! s ( t ) 的内积与卷积。两式相比，区别仅在于t i t ( t ) 首尾发生对调。如果小波函数是关于，= 0 对称的，则计算结果无区别；如非对称， 在计算方法上也没有本质的区别。 式( 2 1 8 ) 和( 2 ，1 9 ) 分别给出了f i t ) 在时域与频域的局部化特征，在式( 2 1 8 ) 中如果f 是连续变量，则称该变换为连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m 简记为c w t ) 。从频域表达式( 2 1 9 ) 看，当a 连续变化时，对信号作小波变换相 当于用无限多个不同中心频率( d a ) 与带宽( 2o 。a ) 的恒q 带通滤波器对信 号作滤波再将滤波结果求积分( 求和再求极限) 。与短时f o u r i e r 变换不同的是， 小波变换提供的时间一频率窗是可调的，这正是小波变换优于经典的f o u r i e r 变换 与短时f o u r i e r 变换的地方。此外，小波交换区别于某些常用变换( 如f o u r i e r 变 换、拉氏变换) 的一个特点就是，它所取的基即基小波t i t ( t ) 不是固定的，同一个 工程问题用不同的小波函数进行分析结果可能相差甚远。目前，主要是通过用小 波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判断小波基的好坏，并由此选定 小波基。 从下面的简单例子就可以观察w f t在对一频局部化分析方面的效果和作 用。根据上面的w f t 的表达式，我们选取，o ) 和，o ) 如下：厂( f ) = s i n m2 ， 舴r 蛳，i 。 此性质表明：当信号x ( f ) 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在a ，r 两轴上作同一比 例的伸缩，但是不发生失真变形。这是使小波变换成为“数学显微镜”的重要依 据。 性质4 交叉项的性质 设芹o ) = x 。( ，) + z ：( ，) ，贝0 j l - ，r 】2 = j l 0 ，r 1 2 + w t x 2 ( a , r 1 2 + 2 w r ，0 ，r l i 0 ，r l c 。s 缸，一) 式中0 x ，以，分别是暇0 ，r ) 、呢，q ，r ) 的幅角。 性质5 内积定理( m o y a l 定理) 设c 时k ( f = 暇q ，r ) ，c 阿t b ：e ) 】= w t0 ，f ) ，则有 ( 呱暇：o ，r ) ：c ，( x 。o x x 2 鼢，式中c ，：产- - - 蚶2 - d m 2 3 3 小波变换的反演及对基本小波的要求 任何变换只有存在反变换才有实际意义，例如傅氏变换和拉氏变换，由于反变 换的存在使得信号能得以被还原。小波变换同样存在着反变换，我们称式( 2 2 2 ) 式为小波变换的反演式。 娴= 击r 亨暇如k 眦其心= f 学如( 2 - z z ) 虽然小波变换没有一个固定的核函数，但并不是任何函数都可以作小波变换的 母小波，为了保证小波反变换的存在，并使小波变换表现出良好的时频域局部性 能，满足一定的冗余性要求，小波变换的母小波还要满足以下条件。 条件1 容许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) c 。：f 。盥丛如 ( 2 2 3 ) m 只有当( 2 2 3 ) 式成立