（电工理论与新技术专业论文）电抗器铁心硅钢片涡流场有限元分析.pdf

华北电力人学硕十学位论文 据电 度升 型， 的周 所能 硅钢 了基 由于 磁场 局。 根据 并进 期性 计算 式上 础。 摘要 电抗器两段铁心之间存在气隙，在气隙周边位置的磁场存在 原理，气隙的边缘效应会使铁心叠片局部涡流增大，从而导 电抗器铁心叠片的特点，建立了单片硅钢片工频线性涡流场 行了叠片涡流损耗的计算。在分析涡流场的过程中，提出了 边界条件。利用相似原理解决了由于硅钢片厚度较小超出了 的绝对尺寸的范围的问题。在分析电抗器铁心涡流损耗的基 的铁耗分布。本文工作为进一步研究电抗器铁心硅钢片上的 关键词：电抗器，边缘效应，涡流损耗，有限元，铁耗 a b s t r a c t 边缘效应 致叠片局 有限元分 柱面坐标 a n s y s 础上，得 温度分布 。根 部温 析模 系下 软件 出了 提供 b e c a u s eo ft h ee x i s t e n c eo fa i rg a pb e t w e e nd i f f e r e n tp a r t so fs t e e lc o r e so fr e a c t o r , t h e r e i se d g ee f f e c ti nt h em a g n e t i cf i e l da r o u n dt h ea i rg a p a c c o r d i n gt oe l e c t r o m a g n e t i ct h e o r y , e d g ee f f e c to fa i rg a pc a l lc a u s et h ei n c r e a s eo fe d d yc u r r e n ti nt h ep a r t i a ll a m i n a t e ds t e e l c o r e sw h i c hc a nl e a dt ot e m p e r a t u r er i s eo ft h ep a r t i a ll a m i n a t e ds t e e lc o r e s b a s e do nt h ep e c u l i a r i t yo ft h el a m i n a t e ds t e e lc o r e so fr e a c t o r , t h ef e am o d e lo fl i n e a r p o w e rf r e q u e n c ye d d yc u r r e n tf i e l di nt h es i n g l es i l i c o ns t e e ls h e e ti sc o n s t r u c t e da n dt h e c a l c u l a t i o no fl a m i n a t i o ne d d yc u r r e n tl o s s e si sd o n e i nt h ec o u r s eo fa n a l y z i n ge d d y c u r r e n tf i e l d ，p e r i o d i cb o u n d a r yi sp u tf o r w a r di nc y l i n d f i c a lc o o r d i n a t es y s t e m b yu s i n g t h es i m i l a r i t yp r i n c i p l e ，t h ep r o b l e mt h a tt h es m a l l e rt h i c k n e s so fs i l i c o ns t e e ls h e e tg o e s b e y o n dt h es e tv a l v e sw h i c hc a nb ec a l c u l a t e db ya n s y s i ss o l v e d b a s e do nt h ea n a l y s i so f e d d yc u r r e n tl o s s e si ns t e e lc o r e so fr e a c t o r , d i s t r i b u t i o no f i r o nl o s s e so ns i l i c o ns t e e ls h e e t i sa c q u i r e d w h a th a v eb e e nd o n ei n t h i sp a p e rm a k e saf o u n d a t i o nf o rt h ef u r t h e rs t u d yo f t e m p e r a t u r ef i e l di nt h el a m i n a t e ds t e e lc o r e so fr e a c t o r z h a n gj i a n l i a n g ( e 1 e c t r i c a le n g i n e e r i n gt h e o r ya n dn e wt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f w a n gz e z h o n g k e y w o r d s ：r e a c t o r , e d g ee f f e c t ，e d d yc u r r e n tl o s s e s ，f i n i t ee l e m e n t ，i r o nl o s s e s 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文电抗器铁心硅钢片涡流场有限元分 析，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 讼过良 日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 导师签名： 华北电力大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 电抗器涡流损耗问题的提出 在现代化的电力系统中，随着电网的高速发展，作为保护和调节、稳定系统的 主要设备电抗器，被越来越广泛地运用。电抗器主要用于以下几个方面： ( 1 ) 限流，即限制短路电流不超过限值。 ( 2 ) 提供滞后的无功功率。 ( 3 ) 与电容器结合而组成滤波回路。 ( 4 ) 在交一直流相互转换的变流技术中，需要各种用途的电抗器，包括与整直电 路串联的平波电抗器，用于降低整直电路中的电压、电流脉动，得到更为平稳的直流电 流。 铁心电抗器中由于铁心的存在使得绝大多数磁力线被控制在铁心中，漏磁少， 一般不会对周围产生电磁污染，不会影响一些控制设备的正常工作。作为一个提供 无功功率的元件，电抗器在一个周波内始而吸收电能，以磁能方式储存，继而又释 放成电能返送，共进行两次。我们知道，媒质中磁能= 工百b h 咖= 工瓦b 2 咖。在 m k s 制，形单位为j ，b 单位为t ，t 。= 1 0 7 h 比，l a 为相对磁导率，v 为体积，单位 m 3 ，而瞬时无功功率q ：婴。因此，要将电抗器容量做大，或是增大体积，或是 提高磁通密度。从经济性考虑，无疑要走增加磁通密度的道路。若磁路完全由硅钢 片构成，如同变压器，则曰很容易做到接近硅钢片的饱和密度1 7 t ，但因为硅钢片 的值很大，因此磁能w 还是做不大。对于铁心电抗器，为了增大磁能彬铁心一般 做成分段式( 我们通常就分段铁心形状称之为铁饼) ，则段间间隙中的磁通密度除 略有扩散影响而降低外，基本上达到硅钢片中同样的数值，而间隙的相对磁导率 i t = l ，所以间隙借助于与之在磁路上串联的硅钢片，可以集中的储存磁能。因此， 铁心式电抗器可以有较小的体积。在大容量情况下，间隙在磁路总长中也占相当大 的比例。由于铁心存在较多气隙，在气隙周边位置的磁场存在边缘效应，如果设计不合 理会导致线圈产生较大的附加损耗和较高的局部温升，严重时会对产品的安全性和寿命 产生影响【12 1 。 由于气隙的边缘效应，根据电磁场原理，气隙周边位置的磁场方向不再垂直于铁心 截面，在铁心侧面有了法向方向的磁场，这样，会增大气隙周边位置的硅钢片上的涡电 华北电力大学硕+ 学位论文 流，涡流的增大会导致硅钢片涡流损耗的增加，也就是说，硅钢片局部的涡流损耗会增 大，硅钢片局部涡流损耗增大导致硅钢片局部温度升高，严重时会影响电抗器的正常工 作，缩短电抗器的寿命。同时，涡流的增大，会使原来的磁场发生变化，磁场的变化使 硅钢片的磁滞损耗也发生变化，从而使得硅钢片的铁耗发生变化。本文将会对电抗器的 涡流损耗进行研究，同时，也计算出了总的铁耗。 1 2 电磁场数值计算概述 1 2 1 电磁场数值计算方法的发展概况 自1 8 6 4 年著名的m a x w e l l 方程组发表，至今己有一百多年的历史。电磁场计 算的发展与数学知识的发展和应用密不可分，从经典的微积分到张量分析、矩阵计 算、特征值理论、泛函分析方法、复变函数理论和积分方程理论都被引入到电磁场 理论的分析中。 在计算机技术发展以前，工程问题的解决主要依赖于解析法和场化路的简化 法，这些方法在电工产品的设计中曾起了重要的历史作用。但是，大量的工程问题 包含了复杂的几何、物理参数，对此解析法和简单的场化路的方法是无能为力的。 1 9 6 0 年后，电磁场数值计算技术随着计算机技术的发展日新月异，各种电磁场数值 计算方法相继发表，如有限差分法、有限元法，边界元法、矩量法以及数值法与解 析法或不同数值法之间的耦合等。 有限差分法是应用最早的一种方法。2 0 世纪5 0 年代以来，有限差分法以其数 学概念清楚、形成系数矩阵十分方便等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛 的应用。但有限差分法的规则网格不能满意地模拟几何形状复杂的问题，而在电工 设备中的电磁场却往往是以包含复杂的几何形状和不同材料的物理参数为特征，因 此有限差分法在电磁场分析中的应用逐渐被有限元法替代。 二十世纪6 0 年代末，p s i l v e s t e r 和m v k c h a r i 把有限元法引入到电磁计算中， 这是电磁场数值分析中的一个重要转折点。有限元法以变分原理为基础，用剖分插 值的办法建立各自由度间的相互关系，把泛函的极值问题转化为一组多元代数方程 来求解。它能使复杂结构、复杂边界情况的边值问题得到解答。最近2 0 年，由于 数值处理技术的提高，例如采用不完全c h o l e s k y 分解法、i c c g 法、自适应网格剖 分等方法，使得有限元法在电场数值计算中越来越占据主导地位。其突出特点在于： ( 1 ) 场域离散化过程保持了明显的物理意义；( 2 ) 解题能力强，这主要表现在：能够处 理边界几何形状复杂、场域中存在多种媒质的问题；对于第二和第三类边界不必作 单独处理；能够自动满足不同媒质分界面上的边界条件；离散点分布具有随意性； 计算精度较高；程序通用性强；( 3 ) 从数学上讲，有限元法拓宽了微分方程的求解方 法，推动了泛函分析、计算方法的发展。因此，自有限元法诞生以来，在各个学科 2 华北电力大学硕士学位论文 与工程领域内，该方法得到了极其广泛的重视和应用，产生了大量有价值的研究成 果。8 0 年代初期，由n e d e l e c 、b o s s a v i t 和v e r i t e 开创的棱边有限元法，在交接面 处理、解的稳定性、计算代价等方面显示出了巨大优势，成为有限元发展中新的成 就之一【34 1 。 有限差分法和有限元法都属于偏微分方程法。而边界元法则是在经典的边界积 分方程法的基础上发展起来的。积分方程法由c wt r o w b r i d g e 于1 9 7 2 年提出，并 给出了二维、三维问题的离散形式。由于积分方程法的离散仅需在源区进行，所以 能较好地解决开域问题以及连续计算场的问题。1 9 7 6 年出现了以积分方程法为基 础、能解二维、三维非线性恒定磁场的软件包g f u n 。如果采用格林定理，把描述 场的第二类f r e d l h o l m 积分方程在一定条件下转化为边界积分方程，积分方程法就 成了边界元法。1 9 7 9 年，l e a n 、f r i e d m a n 和w e x l e r 用“边界元法”这个名称系统 地介绍了它在各种电磁场分析中的应用。目前，边界元法不仅在固体力学问题上得 到广泛的应用，而且在电磁学、热传导等领域也得到应用，已经成为电磁场数值计 算方法的主要方法之一【5 1 。 目前，电磁场数值分析大体上出现了以下几个发展趋势【6 1 ： ( 1 ) 原有方法的不断完善和改进。如三维运动电磁系统的并行处理和耦合问题、 各种几何建模方式的改进、有限元周期边界的新处理方法、网格快速可靠全自动自 适应生成、后验误差估计与自适应新方法、有限元分片多项式方法以及三维涡流的 三分量边界元法等。 ( 2 ) 耦合方法的研究与应用也越来越广泛。如有限元法与边界元法的耦合、有 限元法与模拟电荷法的耦合、有限元法与积分方程法的耦合、有限元法与多重网格 法的耦合等。近年又出现边界元与多极理论耦合法、保角变换与边界元法的耦合、 等效源与矩量法的耦合、有限元级数耦合法以及全日棱边有限元与边界元耦合算法 等。耦合法能实现不同方法的优势互补，解决多子域、多连通域的复杂问题。 ( 3 ) 新方法的开发应用以及新技术的不断融入。比如棱边有限元法、叠层有限 元法、有限元的外推插值法、无限元法、针对时变电磁场涡流及趋肤效应研究提出 的表面阻抗法等。神经网络和小波分析在电磁场中的应用日益增多，比如已经出现 的“小波伽辽金 有限元法、插值小波在差分法中的应用、小波神经网络在电磁场 优化中的应用、遗传算法、模拟退火算法在电磁场逆问题中的应用、以场矢量沿单 元棱边的线积分为求解变量的棱边单元法等一些新方法。 1 2 2 三维涡流场研究现状 磁场根据其变化速度分为三大类，即静磁场、涡流场( 准静态场) 和高频场。 三维静磁场计算目前较成熟，高频场计算有其特殊性，出现了相应的一些新方法， 而涡流场的计算是一个经典问题。它的分析较之静态电磁场的分析复杂，困难在于 3u 华北电力大学硕十学位论文 涡流场的计算规模大，以至于有些实际问题的求解在现有计算机上还难以进行，这 除了电磁场随时间变化之外，还有如材料的非线性、磁滞等因素的影响。因此三维 涡流场的求解问题至今仍然是电磁场学术界研究的前沿课题之一。 二十世纪八十年代以来，国际电磁场数值计算界对三维涡流场的计算进行了仔 细、深入的研究，给出了描述祸流场的多种方法【7 】。所采用的方法为以场矢量为变 量的直接法和以位函数为变量的问接法两类。直接法指在方程求解中直接以电场强 度矢量e 和磁场强度矢量日等电磁场量为求解对象的方法，如b o s s a v i t 提出的 h o r i e n t e d 和e o r i e n t e d 对偶解问题。在国内，程志光博士应用e 、i ，方法于电力变压 器电磁场研究，很好地解决了工程实际中的问题。直接法的优点在于能保证解的唯 一性，精度较高，缺点是未知量较多，边界条件的处理比较繁杂，方程计算量大。 因此，对计算机的性能要求较高。 间接法以位函数为求解变量，具有灵活、方便的优点，是目前被广泛采用的方 法。间接法的首次提出是在1 9 8 1 年的c o m p u m a g 会议上由c h a r i ，b i d d l e c o m b e 和m o r i s u e 等人分别提出的，其核心是用磁矢量位a 来描述全部场域( 包括涡流区和 非涡流区) ，用标量电位缈来描述导体区涡流的a ，f a - a 法。该方法最大的优点是不需 要进行交界面的处理，而且计算精度较高，可用于含有多连域导体区的情况，但未 知数个数较多，求解变量较大。与基于矢量磁位彳的算法相对应的是一种基于矢量 电位r 的算法【8 】。与a ，d p - a 相对的算法为t ，y y 法，5 f ，为标量磁位。该方法既不需 要进行交界面的处理，又可以节省计算机资源( 在非涡流区采用了标量磁位沙) ，是 一种较好的方法。但它不适用于多连通域的情况。 彳法和r 法都是基于有限元法的基本方法。在这两种方法的基础上，随着计算 机技术以及电磁场数值计算理论的发展，不断提出了一些改进的方法。如可将源电 流归入涡流区的彳，缈法；用矢量磁位a 描述多连通域中的孔，耦合矢量磁位与矢 量电位的t ，缈卅沙法。此外随着边界元技术的发展，非涡流区的微分方程可以转化 为涡流区边界积分方程进行求解。如在涡流区采用，为求解量，在非涡流区采用磁 场强度日为求解量的有限元与边界元耦合法；以及在涡流区采用a 和缈为求解量， 交界面上用a 为求解量的a ，6 p - a 有限元与边界元耦合法。此外还有用棱边与节点有 限元耦合的e e 一法；直接用电密，计算导体三维涡流场的f e b e 耦合法；用日 棱边的有限元法；三维瞬念涡流场混合日一沙法等。 9 - 1 8 】 从当前电磁计算的发展前沿来看，有限元法仍被认为是最有效、应用最普遍的 一种数值计算方法。有限元法不仅本身在应用方面具有很大的潜力，而且易与其它 理论和方法如自适应网格剖分、耦合问题、开域问题、高磁性材料及具有磁滞及饱 和非线性特性介质的处理等相结合，有着广阔的发展前景。新方法、新技术的不断 应用，进一步开拓了有限元法的应用范围，也适应了更复杂的、精确度要求更高的 问题求解之需要。 4 华北电力人学硕士学位论文 1 3 本文研究的主要内容 通过电磁场数值计算方法研究了工频电抗器铁心的涡流损耗，特别是气隙周边 位置的铁心局部的涡流损耗。由于电抗器铁心沿圆周方向具有周期性，研究电抗器 铁心中产生的涡流时，仅对铁心的一片硅钢片的涡流损耗进行了研究。建立了三维 涡流场有限元的数学模型，并通过有限元软件以及m a t l a b 分析软件进行了计算， 主要内容包括： ( 1 ) 对有限元的电磁场数学模型进行了推导，并详细推导了涡流区微分方程 和边界积分方程的离散步骤，建立了有限元方程组； ( 2 ) 建立了简单的有限元模型，验证了在柱面坐标系下，周期性边界条件【l 9 】 的正确性； ( 3 ) 把二维轴对称场的计算结果作为标准，对矢量磁位法、棱边单元法、二 维轴对称场计算法以及软件编程这几种方法的计算结果进行了比较，在不同磁导率 和电导率下，计算和分析了这几种方法相对于二维轴对称场的误差。 ( 4 ) 利用a n s y s 并结合m a t l a b 建立了电抗器的有限元模型，模型从简单 逐渐趋向复杂，并对各个模型的磁场和涡流损耗进行了分析和计算，当模型接近实 际的电抗器模型时，在分析和计算模型磁场和涡流损耗的基础上，还对铁心的磁滞 损耗进行了计算，从而求出了铁心上的铁耗。 5 华北电力人学硕十学位论文 第二章三维涡流场数学模型的建立 2 1 有限元模型的建立 随着电网规模的不断扩大，电抗器的使用越来越广泛。在电力系统中，电抗器 主要包括限流电抗器、滤波电抗器、阻尼电抗器、平波电抗器、消弧线圈等。铁心 电抗器由于铁心的存在使得绝大数多磁力线被控制在铁心中，漏磁少，对周围影响 较小。但是对于铁心电抗器，由于铁心的存在以及两段铁心之间气隙对气隙附近磁 场的影响，气隙附近铁心的涡流要大于铁心内部的涡流，使得铁心局部的涡流损耗 增加，导致铁心局部的温度升高。本文研究的主要是铁心电抗器的涡流损耗。 实际铁心电抗器由多段铁心构成，两段铁心之间存在气隙，在铁心外边套有线 圈。在满足工程分析的计算精度要求下，通常可对电抗器的实际模型进行简化，以 便建立有限元模型，来进行涡流损耗分析。在电抗器铁心段数较多的情况下，可以 认为每段铁心的磁场存在近似的周期性，因此，在建立有限元模型时，只需对一段 铁心进行研究；而对一段铁心进行分析时，在以往的分析中，都是对整段铁心进行 建模，没有考虑硅钢片之间的绝缘性，这样计算出的涡流损耗与实际电抗器铁心的 涡流损耗相比，误差太大；如果考虑硅钢片之间的绝缘性，若对整段铁心进行建模， 需要对每片硅钢片以及绝缘间隙划分有限元单元，而一段铁心有几百片硅钢片，受 到当前计算机内存和c p u 的限制，根本不能对那么多的单元进行计算；由于上述原 因，本文提出仅对一片硅钢片进行分析，由于铁心的硅钢片沿圆周方向具有周期性， 所以，在建立有限元模型时，只需对一片硅钢片进行建模，加上周期性边界条件， 就可以建立完整的电抗器有限元模型，这样，既减少了有限元单元，可以用当前的 软件进行计算，又使得计算结果更加接近于实际。 2 2 建立三维涡流场数学模型 2 2 1 引言 传统的有限元法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程数学模型边值 问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值，离 散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组， 求解即可得到待求边值问题的数值解。自从1 9 6 9 年以来，在流体力学领域中，通 过运用加权余量法导出的伽辽金法和最小二乘法同样得到了有限元方程，这样有限 元法就不再局限于变分原理的导出基础，即不必要求待求物理场和泛函极值问题之 问的对应联系，而可应用加权余量法直接导出与任何微分方程型数学模型相关联的 有限元方程。随着电磁场数值计算理论的发展，在涡流场计算中各种方法的运用越 6 华北电力大学硕士学位论文 来越多。本文使用有限元法来求解三维涡流场。 2 2 2 电磁场基本方程 宏观电磁现象的基本规律可以非常简洁的用一个方程组，即麦克斯韦方程组来 表示。这一电磁场基本方程组的基本变量为四个场向量：电场强度e ( v m ) ；磁感应 强度占( t ) ；电位移向量d ( c m 2 ) 和磁场强度h ( a m ) ，以及两个源变量：电流密度 j ( a m 2 ) 和电荷密度p ( c m 3 ) ，在静止媒质中其微分形式可以表示为： v 日可+ 望 8 t v 曰：一i a b ( 2 - 1 ) a v b = 0 v d = p 为表征在电磁场作用下媒质的宏观电磁特性，尚应给出以下三个媒质的构成关 系式： d = s 五 ( 2 2 ) b = 日( 2 - 3 ) j = e r e ( 2 4 ) 其中，占、仃分别为介电常数、磁导率和电导率。应当注意，式( 2 2 ) ( 2 4 ) 中 分别引入的媒质宏观特征参数一一介电系数s ，磁导率z 和电导率盯，只有在线性 且各向同性媒质的情况下，才是简单的常数。工程上广泛应用的铁磁材料，其曰日 关系呈现为含有磁滞效应和损耗的复杂的非线性规律，此时，= ( 日) 为依赖于场 量变化的某个函数表达式。 2 2 3 涡流场方程的建立 电磁场可以分为高频电磁场和似稳电磁场。在似稳电磁场中，场源随时间的变 化足够慢，使相应电磁波的波长大大地大于所研究区域的尺寸，因而场点的场强几 乎瞬时地跟随源点的变化而变化。电工设备中电磁场多属于似稳电磁场，对于似稳 电磁场，麦克斯韦方程组中全电流定律方程中的位移电流密度a d a t 与传导电流密 度，相比较，可以忽略不计。所以在研究似稳电磁场问题时，只考虑磁场变化所产 生的电场，不考虑电场变化产生的磁场。在求解区域中含有导电材料的似稳电磁场 就称为涡流场。在解决实际问题时，通常需要引入不同的电磁位对，建立以电位或 磁位为未知函数的偏微分方程。 在三维涡流场分析中，通常将所研究的场域分成涡流区和非涡流区两部分。在 涡流区，对电场和磁场都需要描述；在非涡流区，只需要描述磁场。针对这一特点， 可以选择适当的电磁位对列出场的控制方程，本文采用a 够位有限元分析方法求解 7 华北电力大学硕士学位论文 三维涡流场。 图2 1 涡流场求解区域示意图 根据磁通连续性原理，即式( 2 1 ) 中第二个万程，司设 b = v a 根据电磁感应定律，即式( 2 1 ) 中第二个方程，有 v e ：一a n ：一旦( v 彳) ：一v x 丝 0 t0 t 、 7 c o t 整理得 v ( n a 扰a ) = o 根据矢量恒等式v xv f a = 0 ，设 e + 丝：一v 够 得 曰一( v 缈+ 詈) 再根据全电流定律，即式( 2 1 ) 中第一个方程，得 v 日：i ，+ 望 忽略其中位移电流，可以导出 v ( 去v 彳卜警棚h ， v 讲詈仰) _ 0 式( 2 11 1 和f 2 1 2 ) 就是涡流区微分方程。 8 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 一l o ) ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 华北电力人学硕士学位论文 2 2 4 电抗器铁心涡流场的边值问题 本文要分析的是工频正弦稳态涡流场，采用相量表示，由式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) ，可 以得出电抗器涡流场的基本方程为 ， v ( 去v ) + 盯( v 矿+ j 缈- ) = j ， c 2 一，3 ， vtr(v痧+jtoa)=0(2-14) 在图2 2 中，有限元模型由一片硅钢片和一层绝缘层构成，而整段铁心由很多这样 的结构沿圆周方向排列而成，因此，在图2 2 所示的有限元模型中，边界r ，和边界r ：是 周期性边界条件，在柱面坐标系下，两个边界上的矢量磁位满足下列等式： - 。，= - ：，( 2 1 5 ) 。= - ：。 ( 2 - 1 6 ) i ：= - ：( 2 - 1 7 ) 驴，= 驴： ( 2 - 1 8 ) 这就是电抗器涡流场的周期性边界条件。 2 3 本章小结 f i 图2 - 2 电抗器铁心模型示意图 r 2 本章主要介绍了三维涡流场基本方程的推导过程。通过电磁场的基本方程，结 合涡流场的实际情况，推导出了三维涡流场的基本方程，并进一步得出了正弦稳态 涡流场的基本方程，并得出了对应有限元模型的边界条件。为进一步分析电抗器的 涡流损耗奠定了基础。 9 华北电力人学硕士学位论文 第三章磁矢量位法与棱边单元法的比较 3 1 a n s y s 软件介绍 近年来，国际电磁界出现了一些有影响的商用软件，其中包括国内使用较多的 o p e r a 软件、a n s y s 软件和a n s o f t 软件等，本文拟采用a n s y s 软件为工 具计算电抗器铁心的涡流场和铁心硅钢片的涡流损耗，因而有必要介绍a n s y s 软 件。 a n s y s 是由美国a n s y s 公司开发研制的，使用的方法是传统的有限元法。该 软件是融力学、电磁学、热学、流体和声学等为一体的大型多物理场有限元软件。 它分为结构分析、电磁场分析、热分析及流体分析几个模块。尽管它在不同工程应 用领域的分析过程不同，但不外乎三个步骤。 3 1 1 建模 包括： 1 定义单位。 在电磁场分析中必须使用国际单位制( m k s ) ，因而在建模时一定要注意 将已习惯使用的单位制转为国际单位制，否则计算结果会出乎意料。 2 定义单元类型 a n s y s 在数据库中定义了2 0 0 种单元类型。应根据需要选择合适的分析 单元。每种单元类型决定了单元的自由度和维数。 3 定义实常数 可根据需要为单元定义实常数。 4 定义材料属性 材料可为线性或非线性，各向异性或各向同性等。 5 创建几何模型 a n s y s 可生成任意形状的点、线、面和体。并可用b o o l e a n 进行旋转、复 制、增加、切除等操作。 6 创建有限元模型 对创建的几何模型，a n s y s 提供了多种剖分工具，以控制单元的大小、形状。 a n s y s 还提供了多种网格剖分方法：映射剖分、自由剖分、扫描剖分等。在剖分 之前，应对模型进行单元类型、材料属性、实常数等的定义。否则会出现无法在单 元上定义参数的错误提示。 3 1 2 加载和求解 1 0 华北电力大学硕士学位论文 a n s y s 中“l o a d ”选项不仅可以定义边界条件，还可以给单元或节点施加激 励或载荷，如电流、电压等。在三维电磁场分析中，载荷既可以直接加在加在单元 和节点上，也可以加在面和体上，在求解时，a n s y s 自动将载荷转移到对应的单 元和节点上。依据求解类型，可进行恒定场，谐波场和瞬态场的分析。 3 1 3察看结果 在a n s y s 中提供两种后处理器：p o s t l 和p o s t 2 6 。p o s t l 可以对整个模 型在某一载荷步( 时间点) 的结果进行后处理。p o s t 2 6 可以对模型中所有载荷步 ( 整个瞬态过程) 的结果进行后处理。在后处理中可以观察单元列表( e l e m e n t t a b l e ) ，画矢量和等势图等，还可以利用a n s y s 的函数功能对结果进行计算。 3 1 4a n s y s 的命令 a n s y s 为用户提供了两种操作方式一交互式和命令流式。对命令流式，用户 可以直接修改命令文件，包括参数变量、剖分疏密控制等，且可以依需要对运算结 果进行函数运算等。在使用时只需在命令对话框中输入相应文件名，就可以很快建 立一个新模型并求解，对复杂模型的建模和求解将会大大节省时间，提高工作效率。 使用a n s y s 进行电磁场有限元分析的另一大优点是耦合场分析功能。磁场分 析的场载荷可被自动耦合到结构、流体及热单元上。 本文对电抗器铁心涡流场的分析就是用a n s y s 电磁场分析模块来完成的。 3 2 两种有限元方法介绍 我们知道，用a n s y s 计算和分析三维磁场有三种分析方法，分别是磁标量位 法、磁矢量分析方法和棱边单元法。磁标量位方法一般用于三维静态磁场分析，在 此不多介绍，本文研究的是三维涡流场，涡流场可以使用磁矢量位法和棱边单元法 进行分析，下面主要对这两种方法进行介绍和比较。 3 2 1 磁矢量位分析方法 磁矢量位方法( m v p ) 是a n s y s 支持的三维静态、谐波和瞬态分析的两种基 于节点分析方法中的一个( 标量位方法是另一个基于节点的方法) 。在电压馈电或 电路耦合分析中又为磁矢量位自由度增加了另外3 个自由度：电流( c u r r ) 、电 动势降( e m f ) 和电位( v o l t ) 。 在磁矢量位方法中，需要把电流源( 电流导体区) 建模为有限元区域的一个部 分。可以使用磁矢量位方法进行三维静态、谐波和瞬态分析。当模型中包含导磁材 料时，应该更加小心会损失计算精度( 在不同导磁率材料的分界面上，矢量位的法 向分量非常大，所以影响了计算结果的精度) 。 华北电力大学硕十学位论文 3 2 2 棱边单元法 棱边单元法同矢量位方法相似。但它的自由度与单元边有关系，而不是与单元 节点有关系。者两种方法都可以用于低频电磁场分析中的三维静态和动态分析。三 维棱边法和三维节点法分析过程基本相同，但棱边法不能用于二维分析，对二维静 态磁分析必须使用矢量位方法，此时只有一个矢量位自由度a z 。 3 2 3 棱边单元法与磁矢量位法的比较 棱边单元法和磁矢量位方法在同时求解具有相同泛函表达式时，棱边单元法比基于 节点的磁矢量位法更精确，特别是当模型有铁区存在时。在自由度变化的情况下，棱边 分析法比节点分析法更有效。 对三维谐波和瞬态电磁场分析，推荐使用棱边单元法。然而，目前棱边单元法 不支持下列几种情况，而只能用节点分析法。 ( 1 ) 模型需要考虑运动效应和电路耦合时。 ( 2 ) 模型需要电路和速度效应时。 ( 3 ) 所分析的模型不含铁区时。 3 3 两种有限元方法的实例比较 3 3 1 两种有限元方法与二维轴对称场的实例比较 磁矢量位法和棱边单元法都可以用于计算分析三维涡流场，那么，究竟哪种方法的 计算结果精度较高，就需要找一个基准来进行比较，在分析涡流场时，二维轴对称场的 计算结果比较准确，可以把二维轴对称场的计算结果作为基准，与磁矢量位法和棱边单 元法的计算结果进行比较，对于磁矢量位法和棱边单元法来说，哪种方法的计算结果相 对于二维轴对称场的计算结果误差较小，就说明它的精度较高。另外，还用软件编程法 进行了计算，并计算出了其结果相对于二维轴对称场计算结果的相对误差。 一半径为1 0 c m ，高度为3 0 c m 的铁芯，相对磁导率为2 0 0 0 ，电导率为1 0 5 s m ，在铁 芯外面套一线圈，线圈中所加电流密度是1 0 6 a m 3 ，有限元模型如图3 1 所示。 在其它条件都相同的情况下，对上述有限元模型分别使用二维轴对称场方法、 磁矢量位法、棱边单元法以及软件编程进行计算，经过建模、划分单元、加载、求 解等a n s y s 处理过程，求出了上述有限元模型的磁感应强度。四种算法的磁感应强 度矢量图如图3 2 3 5 所示，同时，对图3 1 中的有限元模型在半径为1 c m 处，从最上 端到最下端做一路径，并画出了磁感应强度沿该路径分布的曲线图，如图3 - 6 3 9 所示， 根据图中的数据，以二维轴对称场的计算结果为标准，计算出了磁矢量位法、棱边单元 法以及软件编程对于二维轴对称场的相对误差，如表3 1 所示。 12 华北电力人学硕十学位论文 l v o l u m e s t y p e 肼h 图3 - 1 实例一的有限元模型 g e p2 62 0 0 7 0 9 ：0 9 ：0 7 图3 - 2 二维轴对称场磁感应强度矢量图 1 3 华北电力人学硕士学位论文 图3 3 棱边单元法磁感应强度矢量图 图3 _ 4 磁矢量位法磁感应强度矢量图 1 4 华北电力大学硕士学位论文 l p 0 s t l s t 丑p = 1 s u b = 工 f 旦毫o = 5 0 p a t hp l o t b s u m 1 1 6 1 0 5 g 3 8 1 o 5 8 4 6 0 5 2 3 1 1 0 图3 5 程序计算的磁感应强度矢量图 ； f l| l| f 1 j f l f ，、 一 o5 0 ， 1 2 1 82 43 0 1 52 工2 d 工s t 图3 - 6 二维轴对称场磁感应强度曲线图 1 5 a u g 上42 0 0 7 1 2 ：1 s ：2 1 华北电力人学硕+ 学位论文 i p 0 s r l s t e p l j l s u bi 】 f r e q = $ o p a t hp l o t b s u 嚣 图3 7 棱边单元法磁感应强度曲线图 l li l| f 1 j l f 1 | l lf ，、 、l o6 3 】- 21 舟2 毫0 0 1 52 工2 d i s t 图3 8 磁矢量位法磁感j 逦强度曲线图 u g1 4z o o ? 1 2 ：s 3 ：2 0 华北电力人学硕士学位论文 | l lf f1 | l jl l| l| ? 、 图3 - 9 程序计算的磁感应强度曲线图 表3 - 1 三种算法的相对误差 i算法棱边单元法 磁矢量位法程序算法i l 相对误差 1 5 3 1 3 7 4 7 2 8 7 9 l 为了进一步研究磁矢量位法以及棱边单元法相对于二维轴对称场的误差，对于图 3 - 1 中的有限元模型，本文还对不同磁导率和电导率下几两种算法的计算结果进行了比 较。 ( 1 ) 在电导率为0 ，不存在涡流的情况下，在不同磁导率下，两种方法计算出的 磁感应强度相对于二维轴对称场的误差，如表3 2 所示， 表3 2 不同相对磁导率下的相对误差 算法磁矢量位法棱边单元法程序算法 i - t = l 8 7 4 5 9 6 8 4 0 相对误差i - i = 1 01 7 9 5 8 1 0 1 2 6 6 a = 2 0 0 2 9 6 0 1 1 8 6 1 9 7 0 肛2 0 0 03 0 7 5 1 2 2 3 1 9 5 3 ( 2 ) 在相对磁导率为l 时，在不同电导率下，两种方法计算出的磁感应强度相对 于二维轴对称场的误差，如表3 3 所示， 1 7 华北电力大学硕十学位论文 表3 3 不同电导率下的相对误差 算法 磁矢量位法 棱边单元法 程序算法 o = 1 8 7 4 5 9 6 8 4 0 相对误差o = l o o8 7 4 5 9 6 8 4 0 w = 1 0 0 08 7 4 5 9 6 8 4 0 o = 1 e 58 3 9 5 7 4 8 0 6 从表3 1 3 3 中的数据来看，棱边单元法相对于二维轴对称场的误差比磁矢量位法 相对于二维轴对称场的误差小，以二维轴对称场的计算结果为基准，则棱边单元法的计 算精度要高于磁矢量位法，所以，在分析三维涡流场时，要优先选择棱边单元法。 3 3 2 磁矢量位法与棱边单元法的实例比较 根据上一节的分析，当分析三维涡流场时，要优先选择棱边单元法，然而，本文研 究所建立的电抗器的涡流场的有限元模型，要加周期性边界条件，而周期性边界条件是 加在单元节点上，要求两个面上的节点以及节点自由度必须一一对应，也就是对应的节 点在圆周方向具有周期性，这样，要加周期性边界条件，所选择的有限元分析方法的自 由度要与单元节点有关系，棱边单元法的自由度只与单元边有关系，与单元节点没有关 系，所以，棱边单元法不能加周期性边界条件；磁矢量位方法是基于节点的分析方法， 它的自由度与单元节点有关系，可以加周期性边界条件。根据a n s y s 低频电磁场分析 指南以及上一节的实例分析，如果有限元模型含有较厚的铁磁材料，当磁导率较大时， 棱边单元法比基于节点的矢量位法更精确，在这种情况下，应使用棱边单元法进行计算， 认为棱边单元法的计算结果是准确的。 根据上述分析，本文在选择分析方法时，所要考虑的主要因素就是周期性边界 条件和计算精确度。对于棱边单元法，不能加周期性边界条件，故不能选用；那么，能 不能选用磁矢量位方法呢? 前面已经提到过：若有限元模型含有较厚的铁磁材料时，当 磁导率较大时，棱边单元法比基于节点的矢量位法更精确。那么，当有限元模型含有较 薄的铁磁材料时，磁矢量位方法计算的结果相对于棱边单元法来说，误差会有多大呢? 本文通过实例对较厚的铁磁材料和较薄的铁磁材料分别进行了建模和分析，当模型含有 较厚的铁磁材料时，误差达到了2 6 ，而模型含有较薄的铁磁材料时，误差不超过5 ， 因此，当有限元模型只含有比较薄的铁磁材料时，误差较小，可以使用磁矢量位方法进 行分析。而本文所建立的有限元模型含有的铁磁材料是硅钢片，厚度仅有0 5 m m ，在计 算精度允许的条件下，本文选用磁矢量位法进行分析和计算，以便加周期性边界条件。 3 3 2 1 实例一：含有较厚铁磁材料模型分析 对于图3 1 所示的有限元模型，在上一节中，已经计算出了它的磁感应强度，棱边 单元法和磁矢量位法所求出的磁感应强度矢量图分别如图3 3 和3 4 所示，根据图中的 1 8 华北电力大学硕士学位论文 数据，以棱边单元法的计算结果为标准，对矢量位法对于棱边单元法的磁感应强度误差 进行计算，其最大误差达到了2 6 。 从结算结果来看，在铁芯较厚，磁导率较大的情况下，磁矢量位法的计算结果对于 棱边单元法来说，误差较大。 为了进一步研究磁矢量位法相对于棱边单元法的误差，对于图3 1 中的有限元模型， 本文还对不同磁导率和电导率下两种算法的计算结果进行了比较， ( 1 ) 在电导率为0 ，不存在涡流的情况下，在不同磁导率下，两种方法计算出的 磁感应强度相对于棱边单元法的误差，如表3 - 4 所示， 表3 4 不同相对磁导率下的误差 相对磁导率 p = i归1 0p = 2 0 0归2 0 0 0 误差3 0 2 1 1 3 l 2 1 2 6 2 2 2 8 ( 2 ) 在相对磁导率为1 时，在不同电导率下，两种方法计算出的磁感应强度相对 于棱边单元法的误差，如表3 5 所示， 表3 5 不同电导率下的误差 电导率 o - = 1o = 1 0 0o - = 1 0 0 0o = 1 e 5 误差 3 0 2 3 0 2 3 0 2 2 8 l 通过上述比较，可以看出，在铁磁材料较厚时，在不存在涡流的情况下，随着磁导 率的增大，磁矢量位法计算出的磁感应强度相对于棱边单元法计算出的磁感应强度的误 差逐渐增大，在磁导率为2 0 0 0 时，最大误差达到了2 2 2 8 。在不存在铁磁材料时，在 计算磁感应强度时，随着电导率的变化，矢量位法计算出的结果相对于棱边单元法计算 出的结果的误差基本不变，而且，误差较小，最大误差仅为3 0 2 。 3 3 2 2 实例二：含有较薄铁磁材料模型分析 ( 1 ) 含有一片硅钢片的模型分析 如图3 1 0 所示，一矩形线圈，线圈长度为2 m ，宽为l m ，厚度为l c m ，线圈中间的高度 为l m ，在线圈中间放一片硅钢片，硅钢片厚度为l m m ，长和宽分别是2 5 c r n ，硅钢片相对 磁导率为2 0 0 0 ，电导率为1 0 3 e 7 。 对图3 1 0 中的模型建立有限元模型，并划分有限元单元，在线圈中沿x 轴方向通 入电流，线圈上面部分通入电流为l e 9 a ，下面部分通入电流为1 e 9 a ，再加上相应的边 界条件，分别使用磁矢量位方法和棱边单元法对该模型进行计算。两种算法的磁感应强 1 9 华北电力大学硕十学位论文 度矢量图如图3 1 1 、3 1 2 所示，同时，对图3 1 0 中的模型在沿x 轴正方向为l c m 处， 从最上端到最下端做一路径，并画出了磁感应强度沿该路径分布的曲线图，如图3