（水工结构工程专业论文）基于有限元法的重力坝抗震安全评价准则的研究.pdf

中国水利水电科学研究院学位论文 摘要 近3 0 多年来，伴随着计算机科学的快速发展，有限元法已经成为当今工程分析中 应用最广泛的数值计算方法。在水利工程中，有限元法也得到了广泛的应用，渐渐成为 一种主要的分析方法。 但是，在利用有限元法对水工结构进行分析时，还有一些亟待解决的问题，建立 相应的评价准则就是其中之一。 在对混凝土重力坝进行有限元分析时，现行的混凝土重力坝设计规范分别给 出了静力状态下使用有限元法和材料力学法的安全评价准则。 本文通过计算，比较了有限元等效应力法与材料力学法的结果，说明了有限元等 效应力法用于评价大坝安全的有效性。 现行的混凝土重力坝设计规范对于动力状态下的相关评价并未做出规定，这 给有限元法的应用造成了阻碍。因此，研究重力坝的动力响应，确立其安全评价准则成 为一个迫切需要解决的问题。 本文对重力坝进行了线弹性动力分析，研究了有限元法对于网格疏密的敏感性， 并对坝踵区域进行了深入研究，为重力坝的动力安全评价提出了建议。 本文还结合动态子结构法理论，引入接触单元，通过编制重力坝非线性静动力分 析程序，对重力坝建基面的应力以及开裂状况进行分析，为建立评价准则提供参考。 关键词：有限元法，重力坝，子结构法，接触单元，非线性，开裂 中国水利水电科学研究院学位论文 a b s t r a c t a c c o m p a n yt h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y , t h ef i n i t ee l e m e mm e t h o dh a s b e c o m et h em o s tp o p u l a rn u m e r i c a lp r o c e d l l r ei nt h es t r u c t u r a la n a l y s i sd u r i n gt h ep a s t3 0 y e a r s ，w h i c hh a sa l s ob e e nw i d e l yu s e di nh y d r o p o w e re n g i n e e r i n ga n db e c o m eap r i m a r y a n a l y s i sm e t h o d a tt h es a m et i m e ，t h e r ea l em a n yu r g e n tp r o b l e m sn e e dt ob es o l v e di nt h ea n a l y s i so f h y d r a u l i cs t r u c t u r e ，s u c ha si m p r o v i n gt h er u l e so fs a f e t ye v a l u a t i o n t h e d e s i g ns p e c i f i c a t i o nf o rc o n c r e t eg r a v i t yd a n l s g i v e st h er u l e so fs t a t i ca n a l y s i s w h e nu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h i ss t u d yc o m p a r e st h er e s u l t so f f i n i t ee l e m e n te q u i v a l e n t s t r e s sm e t h o da n dm e c h a n i c so f m a t e r i a l sm e t h o dt oe x p l a i nw h e t h e rt h ef o r m e ri se f f e c t i v e h o w e v e r , t h er u l e so fd y n a m i ca n a l y s i sh a v e n tb e e ne s t a b l i s h e dy e t ，w h i c hl i m i t e dt h e a p p l i c a t i o no ff i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h ef i e l d t h e r e f o r e ，i t su r g e n tt os t u d yt h ed y n a m i c r e s p o n s eo fg r a v i t yd a ma n de s t a b l i s ht h er o l e so fs a f e l ye v a l u a t i o n t h i ss t u d yt e l l sh o wt o d e c i d et h ef i n i t ee l e m e n tm e s hd e n s i t y , a l s o ，t h er e s p o n s eo fg r a v i t yd a m ，e s p e c i a l l yt h eh e e l r e g i o n ，h a sb e e ns t u d i e d ，w h i c hg i v e ss u g g e s t i o n st ot h ed y n a m i cs a f e t ya s s e s s m e n to fg r a v i t y d a m i nt h i ss t u d y , ag r a v i t yd a ma n a l y s i sp r o g r a mf o rs t a t i ca n dd y n a m i cr e s p o n s eo f n o n l i n e a r s y s t e m si sw r i t t e n ，i nw h i c han o n l i n e a rj o i n te l e m e n ta n dae f f i c i e n tn u m e r i c a lp r o c e d u r e w h i c hi sc a l l e ds u b s t r u c t u r ea p p r o a c ha r ei m p l e m e n t e d a n dc r a c kg r o w t hc o m p u t a t i o n sf o r s e v e r a ld i f f e r e n th e i g h t so fd a m sh a v eb e e nd o n e k e yw o r d s ：f e m ；g r a v i t yd a m ；s u b s t r u c t u r e ；j o i n te l e m e n t ；n o n l i n e a r ；c r a c k 中国水利水电科学研究院学位论文 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师指导下独立进行 研究工作所取得的成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。 尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外，本论文不包含其他人 已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国水 利水电科学研究院或其它教育机构的学位或证书等而使用过的材 料。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 年月日 中国水利水电科学研究院学位论文 第1 章绪论 近2 0 多年来，随着我国社会经济的高速发展，人民生产生活对能源的需求越来越 多，而我国又是一个能源相对缺乏的国家，因此，开发更多的可利用能源是当前国民经 济发展过程中的一个重要任务。水电作为一种洁净的可再生能源，有着良好的开发前景， 国家在“十一五规划”中提出重点发展水电等可再生能源的战略耳标，为水电的发展提 供了难得的发展机遇。目前，一大批大型或超大型水电站正在建设之中或即将开工建设， 如三峡电站、龙潍电站、小湾电站、糯扎渡电站、向家坝电站、溪洛渡电站、瀑布沟电 站等等。在这些大型水电站中，挡水建筑物大多为拱坝和重力坝这两种坝型。 重力坝是一种古老而重要的坝型，对于许多宽阔河谷，只要坝基条件适当，重力 坝都是一种必须的选择。工程实践经验和已建工程运行观测资料的不断积累，为设计规 范的制订和修改提供了条件，有力的促进了设计水平的提高。为了适应重力坝的新发展， 重力坝设计规范中的应力控制标准，有必要做出相应的修正。 苗琴生，柏宝忠在混凝土重力坝上游面( 包括坝踵) 应力控制标准的研究 1 1 中，通过工程实例和理论分析，论证了混凝土重力坝上游面以材料力学法计算的应力指 标控制改为由有限元法计算的垂直应力指标控制是安全的。用有限元法分析了不同坝 高、不同弹模比、不同单元划分在多种荷载及其组合工况条件下的坝体应力，结合大量 工程实例的有限元法分析结果，提出用垂直拉应力区的相对宽度作为有限元法分析时坝 体上游面应力控制标准。包括此研究在内的一系列研究帮助确定了现行规范中关于持久 工况作用下有限元法的应力控制标准。 现行的混凝土重力坝设计规范1 2 1 规定，混凝土重力坝一般以材料力学法和刚 体极限平衡法计算成果作为确定坝体断面的依据，高坝除用材料力学法计算坝体应力 外，尚宜采用有限元法进行计算分析。在用材料力学法计算时，坝踵或坝体上游面的垂 直应力不出现拉应力( 计扬压力) ；有限元法计算混凝土重力坝上游垂直应力时，坝基 上游面控制标准为：计扬压力时，拉应力区宽度宜小于坝底面宽度的o ，0 7 倍( 垂直拉应 力分布宽度坝底面宽度) 或坝踵至帷幕中心线的距离。 现行的水工建筑物抗震设计规范( d l 5 0 7 3 2 0 0 0 ) t m 规定，重力坝的动力分析应 以材料力学法为基本分析方法，对于工程抗震设防类别为甲类，或结构复杂，或地基条 件复杂的重力坝，宜补充作有限元法动力分析。采用动力法计算重力坝的地震作用效应 时，应采用振型分解反应谱法，对特殊重要的重力坝，宜用时程法进行补充计算。我国 采用有限元法进行重力坝的动力分析发展很快，能在各种复杂条件下给出较精确的地震 荷载和大坝地震响应，但在目前的重力坝抗震计算中，由于规范中未就与有限元成果相 关的评价指标做出规定，因此将有限元分析的成果作为工程设计依据仍有一定困难。 中国水利水电科学研究院学位论文 在用有限元法进行重力坝的持久状况分析时，规范规定采用拉应力区宽度作为判 断安全与否的依据，因为在使用有限元法时坝踵坝趾会出现应力集中现象，其应力值大 小与网格疏密有密切关系，因此不能用应力值作为判断依据。由于有限单元法计算功能 很强，可以考虑复杂基础、不规则外形等多种因素的影响，并可以进行仿真计算，只要 解决了应力集中问题，有限元法的应用必然会有良好的前景。为此，我国一些学者( 朱 伯芳1 9 8 7 1 4 j 、傅作新1 9 9 1 1 5 】) 提出了有限元等效应力法，根据有限元法计算的应力分量， 沿断面积分，得到内力( 集中力和力矩) ，然后用材料力学方法计算断面上的应力分量， 经过这样的处理，消除了应力集中的影响。等效应力法将有限元应力图线“拉直”，以 “拉直”后的等效应力作为判据。等效应力法用于重力坝是否合理，还有待研究，本文 将等效应法结果与材料力学法结构进行7 对比，分析了等效应力法的合理性。 在用振型分解反应谱法对重力坝进行地震作用分析时，是否可以用等效应力法的 应力值作为判据值得研究。此外，由于持久状况时的安全判据使用的是拉应力区宽度， 因此，有必要对地震作用时的拉应力区宽度进行分析，包括在不同地震烈度、不同坝高、 不同网格剖分、不同坝体地基弹模比对拉应力区宽度的影响等等。 以上对重力坝的探讨都集中于坝踵区域，可见该区域对于整个坝体结构的重要性。 事实上，重力坝的坝踵区域是整个坝体结构最为薄弱的区域之一，因此是设计研究人员 最为关心的区域之一。已有的地震作用下重力坝的线弹性分析结果显示，坝踵区域常常 会出现较大的拉应力值。当拉应力值超过混凝土强度极限时，就会出现开裂破坏。显然， 线弹性方法分析不能真实地模拟这种动力非线性性质，应采用非线性模型来模拟裂缝的 产生以及扩展。 g o o d m a n 于1 9 6 8 年提出无厚度平面四结点八自由度接触面单元f 6 】，这种单元最初 应用于岩石力学中作为节理单元，后来被推广到各种边界接触问题的模拟中。在用非线 性模型来模拟坝踵区域的开裂时，可以使用无厚度的g o o d m a n 单元( 接触单元) 来模 拟坝踵裂缝的开合。在整个重力坝结构模型中加入接触单元后，当作用地震荷载时，不 同的时刻，结构的刚度、荷载都在不断变化，计算时，相当于每一个时刻都要重新形成 整个结构的刚度阵和荷载向量用以计算其动力响应，而现代结构计算一般都具有庞大的 自由度，因此，若采用上述计算思想，工作量将会很大，计算效率势必很低。为了提高 计算效率，减少机时，推广非线性算法，需要引入一种新的数值方法，即予结构方法【7 1 。 某些结构中形状或物性的变化只存在于局部，而其余部分不变，则可将不变部分 的结构划作若干个子结构，变化部分划成另外的子结构。当结构变化时只要重新形成其 中变化部分的子结构的刚度矩阵，而不必要重新形成整个结构的刚度矩阵，不变子结构 只需将其内部自由度凝聚，这样可以使求解方程的自由度总数以及相应的系数矩阵的带 宽和其中零元素所占的比例大大缩减，从而提高了计算效率。这就是子结构法的基本思 想。对于动力问题，采用子结构法求解，可以更显著地提高效率。【8 】 2 中国水利水电科学研究院学位论文 引入非线性接触单元，基于子结构方法，本文编制出用于重力坝坝踵开裂计算的 计算程序n a p g d ( n o n l i n e a r a n a l y s i sp r o g r a mo f g r a v i t yd a m ) 。程序编制完成之后，其 计算合理性的检验是一项重要工作。程序的检验可以采用与重力坝静动力分析程序 g d a p f 9 j 计算结果对比的方式进行，在用n a p g d 进行计算时，保证接触单元始终处于 线弹性范围以内，使n a p g d 与g d a p 的计算结果具有可比性。值得注意的是，接触单 元是一种很特殊的单元形式，它没有厚度，由上下两层接触点对构成，应力超过抗拉强 度时即开裂，这种单元虽得到广泛应用，但也存在较明显的缺点，即受压时两接触面将 发生嵌入，目前解决这一问题的方法是将法向刚度取为一较大值，但究竟取多大，还需 要进行法向刚度的敏感性分析。 利用n a p g d 对不同地震烈度，不同坝高，不同坝体基础弹模比的重力坝进行开 裂计算，可以得出坝踵区域的开裂宽度。坝踵开裂宽度的得出将为确定重力坝有限元法 的抗震安全评价准则奠定初步基础。 3 中国水利水电科学研究院学位论文 第2 章重力坝线弹性静力分析 混凝土重力坝设计规范中规定，混凝土重力坝应分别按承载能力极限状态和 芷常使用极限状态进行计算和验算：混凝土重力坝一般以材料力学法和刚体极限平衡法 计算威果作为确定坝体断面的依据，高坝除用材料力学法计算坝体应力外，尚宜采用有 限元法进行计算分析，必要时可采用结构模型、地质力学模型等试验验证，修建在复杂 地基上的中坝，必要时，可进行有限元分析。规定的具体含义为，以材料力学法计算坝 体应力，刚体极限平衡法计算坝体的稳定，复杂地基上高坝必要时，用有限元法计算应 力和稳定或用地质力学模型试验验证【2 】。 在进行坝体上、下游面拉应力正常使用极限状态计算时，控制标准为坝踵垂直应 力不出现拉应力( 计扬压力) ，坝体上游面的垂直应力不出现拉应力( 计扬压力) 。有限 元法计算混凝土重力坝上游垂直应力时，控制标准为：坝基上游面，计扬压力时，拉应 力区宽度宜小于坝底宽度的o 0 7 倍( 垂直拉应力分布宽度坝底面宽度) 或坝踵至帷幕 中心线的距离；坝体上游面，计扬压力时，拉应力区宽度宜小于计算截面宽度的o 0 7 倍或计算截面上游面至排水孔( 管) 中心线的距离1 2 】。 实际上，以上的规范规定采用的是两套理论两种方法，即材料力学法和有限元法， 两种方法哪种更合理，或者说两种方法是否本质一样，有学者已经做了研究。在对拱坝 的研究中发现，用线弹性有限元法计算拱坝应力时，接近基础的部位存在着明显的应力 集中现象，而且应力值随着网格剖分的加密而急剧增大，利用有限元法计算出的拉应力 常常超过了混凝土的抗拉强度，因而直接利用有限元法得出的应力值难度很大。在实际 工程中，由于混凝土及基岩内部存在微小裂隙，应力集中现象将有所缓和。在已经建成 的拱坝中，除了个别特殊情况之外，平行于建基面的裂缝并不太多，用材料力学法设计 的大量拱坝，至今一直在正常运行，所以有限元法计算拱坝所反映的应力集中现象并不 一定符合实际。由于有限元法计算功能很强，而且可以考虑复杂基础、不规则外形等多 种因素的影响，只要解决了应力控制标准的问题，有限元法的应用必然会有良好的前景。 为此，我国一些学者( 朱伯芳1 9 8 7 1 4 、傅作新1 9 9 1 5 】) 提出了有限元等效应力法，根据 有限元法计算的应力分量，沿断面积分，得到内力( 集中力和力矩) ，然后用材料力学 方法计算断面上的应力分量。在对国内外几十个拱坝同时用多拱梁法和有限元等效应力 法进行了计算后发现，有限元等效应力法消除了应力集中的影响，有限元等效应力法与 多拱梁法得出的坝一基交接面附近的应力值比较接近。 以上对拱坝的研究表明，材料力学法和有限元法虽然是两套不同的方法，但材料 力学法和有限元等效应力法对拱坝计算的应力结果差异不大。 对重力坝的计算采用中国水利水电科学研究院工程抗震中心开发的重力坝静动力 4 中国水利水电科学研究院学位论文 分析程序g d a p 引。该程序适用于重力坝一基础一水库体系二维有限元和一维悬臂梁线 弹性静力分析和地震反应分析，具有坝体、基础和水库网格自动生成功能，已经在多座 重力坝的实际分析中得到了应用，是重力坝计算的主流程序之一。 下面对不同坝高的非溢流重力坝标准剖面进行平面分析。非溢流坝段的基本断面 应符合规范规定：非溢流坝段的基本断面呈三角形，其顶点溢宜位于正常蓄水位( 或防 洪高水位) 附近，基本断面上部设坝顶结构，坝项高程应高于校核洪水位：坝顶宽度应 根据设备布置、运行、检修、施工和交通等需要确定，并应满足抗震、特大洪水时抢护 等要求，常态混凝土非溢流坝段的坝顶宽度变化较大，坝项宽度最小为3 m ；常态混凝 土实体重力坝非溢流坝段的上游面可为铅直面、斜面或折面，下游坝坡宜采用l ：o 6 l ：o 8 。根据规范规定然后参照国内外已建工程实例，确定断面的几何特性以及材料属 性等信息，如表2 1 所示。 表2 1 剖面几何特性及材料属性 坝高 正常水深超高坝顶宽下游坝底宽混凝土混凝土弹模 ( m ) ( m )( m )( m ) 边坡 ( m )强度等级 ( 1 0 4 m p a ) 2 3 0 2 2 1 58 580 81 7 7 2 0e 2 0 2 5 5 2 1 02 0 2880 7 81 5 7 5 6c 2 0 2 5 5 1 9 01 8 2 5 7 580 7 81 4 2 3 5c 2 02 5 5 1 7 01 6 3 770 7 41 2 0 6 2c 1 52 2 0 1 5 01 4 3 56 5 7 0 7 41 0 6 1 9 c 1 52 2 0 1 3 01 2 4670 7 49 1 7 6 c 1 52 2 0 1 1 01 0 4 55 560 7 47 7 3 3 c 1 01 7 5 9 08 5 560 7 46 2 9 0c 1 01 7 5 7 06 5 ，5 4 56o 7 34 7 8 2c 1 01 7 5 注：上游面均为铅直面 2 1 材料力学法 材料力学法是应用最广泛、最简便、也是重力坝设计规范中规定首先采用的计算 方法。材料力学法不考虑地基的影响，假定水平截面上的正应力吒按直线分布，使计算 结果在地基附近约l 3 坝高范围内，与实际情况不符。但这个方法有长期的实践经验， 多年的工程实践证明，对于中等高度的坝，应用这一方法，并按规定的指标进行设计， 是可以保证工程安全的。对于较高的坝，特别是在地基条件比较复杂的情况下，还应该 同时采用其他方法进行应力分析。 材料力学法的基本假定是p o l ： 5 中国水利水电科学研究院学位论文 7 i , 辜l w 罩6 l m ) ， ：学一譬， 卜u 表2 2 悬臂梁法应力 l 7 0 m 1 7 0 m 坝踵应力( m p a ) 0 2 5 50 ，4 8 4 l 坝趾应力( m p a ) 1 2 4 03 0 3 6 2 2 有限元法及等效应力法 ( 一) 有限元法基本原理【1 1 l 在边界条件( 几何边界条件和静力边界条件) 比较复杂的情况下，结构的位移场 或应力场十分复杂，要寻求弹性理论的解析解是很困难的。弹性理论的数值解法弹 性问题有限元法适于求解这类问题，其基本概念如下所述。 中国水利水电科学研究院学位论文 ( 1 ) 将结构离散化，划分为一定数量的、范围有限的单元，如：平面问题中的三 角形单元、四边形单元；空间问题中的四面体单元、六面体单元等。这些单元仅在结点 处相互联系。对于每个单元，因其范围较小，边界条件比较简单，可以近似地假定其位 移函数或应力函数，这是有限元法的基本出发点。一般采用位移函数法，根据不同的单 元形式，位移函数可以假设为一次式或高次式，次数越高，逼近真解越好，但计算工作 量越大。假定的位移函数应满足下列条件：符合边界条件，在结点处应等于结点的位 移值；符合连续条件，在公共边界上，相邻的单元有相同的位移值。在平面问题中， 每点有两个位移分量：水平位移u 和垂直位移v 。单元位移函数的一般表达式为 ”l ：【n 】p 。 l v j ( 2 2 ) 式中 占 。为单元结点的位移列阵向量 【n 】形状函数矩阵，是坐标x 、y 的函数 ( 2 ) 假定是小变形问题，因此弹性理论中的几何方程仍然适用，即 铲妻1 t 2 瓦1 铲考 ( 2 _ 3 ) 巳2 石 怛_ 3 ) 0 vo u l k 2 瓦+ 丽 j 将式2 2 代入几何方程2 3 ，可以得出单元应变与结点位移的关系式 忙) = b 】p 。 ( 2 4 ) ( 3 ) 根据弹性理论中的广义虎克定律，可以得出单元的应力与应变的关系式，即 a ) = 【d 】忙)( 2 - - 5 ) 式中p ) = p 。盯， t 为应力列阵。 ( 4 ) 根据能量原理可以解出单元结点力与结点位移的关系式，即 f 。- 【k 】。p ) 。( 2 6 ) 式中【k 】单元刚度矩阵； f 。与单元变形相应的、结点作用于单元的单元结点力列向量。同时，单 元对绐点反加有作用力一 f 。 ( 5 ) 在每个结点i 上，都有两种力作用着：变形单元对结点的作用力；作用 于结点的外荷载 p l 。根据平衡条件得出其合力应为零。即在一个结点i ，所有相邻单元 ( i 为单元的结点之一) 的i 结点力之和与结点荷载平衡。 ( 6 ) 列出全部结点的平衡条件，便得出总体平衡方程组，即 7 中国水利水电科学研究院学位论文 【k 】p = p ( 2 7 ) 式中 k 卜一总体刚度矩阵，由单元矩阵组合而成，是一个稀疏的正定对称矩阵； 全部结点的位移列向量 p 全部结点的荷载列向量 ( 7 ) 将几何约束条件引入方程2 7 ，消去总体刚性位移，矩阵求逆便可解出结 点位移 p = 【k 】。 p ( 2 8 ) 再利用式2 4 和2 5 计算单元应力。 在实际工程问题中，要用到等参元对有限元模型进行离散。等参变换是有限元法 中最普遍采用的变换方法。将单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参 数及相同的插值函数进行变换即称为等参变换，采用等参变换的单元称之为等参元。等 参元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了重要的一 步。 为了将局部( 自然) 坐标中几何形状规则的单元转换成总体( 笛卡儿) 坐标中几 何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变 换，即 舻 ( 2 9 ) 为建立上式所示的变换，最方便的办法是将式2 9 也表示成插值函数的形式，即 i l l x = n ：x 。、 ：l ( 2 一l o ) m 、i y = y , n ；y ； l i - i ， 其中m 是用以进行坐标变换的单元结点数，x ；，y 。是这些结点在总体( 笛卡j b ) 坐 标内的坐标值，n ：称为形状函数，实际上它也是用局部( 自然) 坐标表示的插值函数。 通过上式建立起两个坐标系之间的变换，从而将自然坐标内的形状规则的单元变 换为总体笛卡儿坐标内的形状扭曲的单元。可以看出式2 1 0 和函数的插值表达式： = e n 破在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相 i = 1 同的插值函数，即m = n ，n 鼻n ；，则称这种变换为等参变换。 经过等参变换后，场函数是用自然坐标表示的，又因为在自然坐标内的积分限是 规格化的，因此希望能在自然坐标内按规格化的数值积分方法进行积分。为此需要建立 两个坐标系内导数、体积微元、面积微元之间的变换关系。最基础的、应用最广泛的导 生堕查型查皇型堂堑窒堕兰垡堡塞 数之间的变换如下所述。 按照通常的偏微分规则，函数n ，对孝，r l 的偏导数可以表示成 丛：盟堡+ 一a n i 一 、 粥 a x8 卸o 。 烈ia n ia ) 【烈a y - ( 2 1 1 ) a 叩a xa 玎匆a 玎 j 将它们写成矩阵形式为 烈 鸳 烈： a t 叙a v 8 8 叙a v 却a r = j ( 2 1 2 ) 式中称j 雅可比( j a c o b i a n ) 行列式，可以记作文x ，y ) 归( 六) 。利用2 - - 1 0 式，j 可以显式地表示为自然坐标的函数，即 j ；堡皿： a ( f ，7 ) 姜詈 萎筹 善若 姜筹 盟盟 8 一6 盟盟 a 刁一a 刁 这样，n ；对于墨y 的偏导数可用自然坐标显示的表示为 其中j _ 1 是j 的逆矩阵。 a n i1 i i o n ：| _ 4 一o y 一j ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 二) 计算应用 在用有限元法分析中，坝体和地基采用四边形等参单元和三角形单元，全部网格 自动生成。对7 0 m 重力坝，采用1 0 0 层水平层划分，四边形单元宽高比为1 ：1 ，单元 宽度太约为0 7 m ；1 7 0 m 重力坝，采用2 2 0 层水平层划分，四边形单元宽高比为1 ：1 ， 单元壶度大约为o 7 7 m 。网格划分的依据详见3 3 节。 有限元法静力求解的方程为： t k l x - f 】 9 m ；k、，卜v 中国水利水电科学研究院学位论文 式中【k 】为刚度矩阵， x 为结点位移向量，吲为荷载矩阵。 计算过程中，对刚度矩阵作三角分解： 【k 】_ 【l 】 d 】【l 】。 式中【l 】为下三角矩阵，【d 】为对角矩阵。 令 d 【l 】7 x = y ，则 【l 】 y = 【f 】 解出 y 后，回代求出 x ，进而可以求出静力响应。 得到坝底面的有限元应力之后，计算全部垂直力的总和y w 和全部垂直力对计算 截面形心的力矩总和e m ，根据2 1 式求出坝踵和坝趾的等效应力，将有限元应力图线 “拉直”为等效应力图线。 用g d a p 的有限元法分别对7 0 m 和1 7 0 m 高的重力坝进行线弹性的静力计算，得 到坝底面的应力分布。计算工况为：坝体自重+ 坝面静水压力+ 坝底扬压力。 7 0 m 和1 7 0 m 重力坝g d a p 的有限元应力及其等效应力计算结果绘于图2 1 和图 2 2 中( 拉应力为正，压应力为负，下同) 。 由图2 1 和图2 2 可见，有限元应力除在坝踵和坝趾有明显的应力集中外，在坝底 中部区域都很平坦。图2 1 中坝踵和坝趾的有限元应力分别为0 4 3 3 m p a 和2 2 6 6 m p a ， 将有限元应力用等效应力法等效之后，坝踵和坝趾底应力分别为o 2 4 3 m p a 和 1 2 5 3 m p a ；图2 2 中坝踵和坝趾的有限元应力分别为2 9 0 8 m p a 和6 2 7 4 m p a ，将有限元 应力用等效应力法等效之后，坝踵和坝趾底应力分别为一0 4 9 8 m p a 和3 0 2 3 m p a 。 1 0 中国水利水电科学研究院学位论文 有限元法 图2 17 0 m 静力有限元应力及其等效应力 图2 21 7 0 m 静力有限元应力及其等效应力 中国水利水电科学研究院学位论文 2 3 悬臂梁法和有限元等效应力法坝底应力的比较 有限元法等效应力与悬臂梁法应力的比较如表2 3 所示。 表2 3 有限元法等效应力与悬臂梁法应力的比较f 单位：m p a ) 7 0 m1 7 0 m 坝踵坝趾坝踵坝趾 等效应力 0 2 4 31 2 5 30 4 9 83 0 2 3 悬臂梁法。0 2 5 5 1 2 4 0 + 0 4 8 43 0 3 6 对于7 0 m 重力坝，坝踵悬臂梁法应力与有限元等效应力相差4 7 ；坝趾悬臂梁 法应力与有限元等效应力相差l 。 对于1 7 0 m 重力坝，坝踵悬臂梁法应力与有限元等效应力相差2 8 ；坝趾悬臂梁 法应力与有限元等效应力相差0 4 。 由上述两种坝高重力坝坝底材料力学法应力和有限元法应力的比较可见，二者相 差均不超过5 ，有限元应力经等效应力法等效之后与悬臂梁法应力有很好的一致性。 因此，对于线弹性静力问题，可以考虑将有限元等效应力结果用于大坝安全评价， 这样，就可以将有限元法计算上的优势与悬臂梁法评价准则成熟的优势结合起来。而由 有限元应力结果得到的拉应力区范围仍可作为另一种判据。 1 2 中国水利水电科学研究院学位论文 第3 章重力坝线弹性动力分析 水工建筑物抗震设计规范对地震作用下水工建筑物的结构计算方法是这样规 定的：作为线弹性体的混凝土建筑物，可采用振型分解反应谱法和振型分解时程分析法。 对重力坝的动力计算是这样规定的：采用动力法计算重力坝的地震作用效应时，应采用 振型分解反应谱法，对特殊重要的重力坝，用时程分析法进行补充计算口j 。 目前国内工程抗震设计的动力分析普遍采用振型分解反应谱法，一般可以较好地 给出重力坝的动力反应。但反应谱系经回归拟合并经平滑整理的均值，因此，对特殊重 要的重力坝，需补充进行时程分析法计算例。 所以，在对重力坝进行线弹性动力计算时，主要还是采用振型分解反应谱法。 同时，规范对重力坝的动力分析方法作了如下规定：重力坝的动力分析应以同时 计入弯曲和剪切变形的动、静材料力学法为基本分析方法。对于工程抗震设防类别为甲 类，或结构复杂，或地基条件复杂的重力坝，宜补充作有限元法动力分析 3 1 。 本文拟对不同坝高的重力坝在不同烈度地震作用下的响应进行材料力学法和有限 元法分析。 3 1 振型分解反应谱法 振型分解反应谱法的本质是振型叠加法与反应谱理论的结合。振型叠加法是针对 每一个时刻进行的，反应谱是不同的结构在地震作用下的最大反应。工程上往往最关心 的是结构最大动力反应，此时就可以将振型叠加法和反应谱理论结合起来，即振型分解 反应谱法。振型分解反应谱法不必像时程分析法那样去对每一个时刻的反应进行计算， 可以用较少的计算量求取结构体系的最大反应。 振型叠加法1 1 2 】通过对结构振动特性的离散化来实现体系动力反应的离散化，它以 系统无阻尼的振型为坐标基，通过坐标变换使体系运动方程解耦，进而通过叠加各阶振 型的贡献以求得体系的反应。振型叠加法实际应用时，首先要进行振型分析。 振型分析即对无阻尼多自由度线性体系进行求取自振频率和振型的工作。对于n 自由度的多自由度体系，可以求得n 个自振频率，对应于每一个自振频率都存在一个振 型向量，称为体系的自振振型。体系的自振振型为完备正交系，结构体系的动力反应都 可以用其振型展开，这种展开过程即振型分解。将多自由度体系的相对位移向量 u ( t ) 进 行振型分解，即 ，、旦，、 u ( t ) = 乏：p ，q i ( t ) ( 3 1 ) 中国水利水电科学研究院学位论文 式中冲) ，为体系的第j 阶振型，q j ( t ) 是表示振幅幅值变化的广义坐标，反映了在 时间t 第j 阶振型对体系总体运动贡献的大小，由于q ( t ) 随时间变化，所以同一振型在 不同时刻对总运动贡献的大小是不一样的。 多自由度体系的运动方程为： 【m 】 n ( t ) + 【c d ( t ) + 【k 】 u ( t ) = 缶( t ) ) ( 3 2 ) 将3 - - 1 式代入3 2 式，并将式两边同时前乘以细) t ，根据振型正交条件，原来 耦联的运动方程组将转化为等效的广义单自由度运动方程： q ，( t ) + 2 乞，d j ( t ) + ；q ，( t ) = 一y j i 。( t ) ，j = j ，2 ，n ( 3 3 ) 式中，q 为体系的第j 阶白振频率，六为第j 阶振型的振型阻尼比， 为第j 阶振 型的振型参与系数，可以认为y ，是对地震作用d ；( t ) 的一种分解，反映了第j 阶振型地震 反应在体系总体反应中所占比例的大小。把3 3 式作下面的变量代换： q ( t ) = y ，占( t ) ，j = l ，2 ，n ( 3 - 4 ) 得到自振频率为m ，阻尼比为f 的单自由度体系在地震动i i 。( t ) 作用下的标准运动 方程： 占j ( t ) + 2 f j j j j ( t ) + 甜；占l ( t ) = 一n g ( t ) ( 3 5 ) 将式3 - - 4 代入式3 1 ，得到用万( t ) 表示的体系的相对位移： u ( t ) = ，扣 j j ，( t ) ( 3 6 ) 】7 l 在用式3 - - 5 求得巧( t ) 后，即可得到体系反应的一般振型叠加公式： s ( t ) = s ( t ) j = x ，j 占，( t ) ( 3 7 ) j _ 1 j = l 式中n 为选定的叠加振型数。 以上就是振型叠加法的一般步骤，概括为一句话，就是利用振型分解原理，将耦 合的运动方程化为解耦的等效单自由度方程分别求解，然后将各振型反应叠加起来。 反应谱是单质点系在给定的地震加速度作用下的最大反应随自振周期变化的曲 线，一般使用的反应谱有相对位移、速度和绝对加速度反应谱，三者之间的关系可用下 式来表示： 1 s d = x m = 二s ，、 s ，= 囊。l(3-s) s 。= ( j + i 。) 。= 硝，l 振型反应谱方法的着眼点在于式3 - - 7 振型反应的最大值。为此，设振型反应 s ( t ) ) ； 1 4 中国水利水电科学研究院学位论文 的最大值为 s ，h p 令 i s ) ，= i i x l ，_ t ( t ) i 。= x 以卧t ) 。( 3 - - 9 ) 由于( t ) 满足单自由度体系在地震动i 。( t ) 作用下的标准运动方程，因此h ( t 1 。 即为相对位移反应谱咒( 珊，f ，) 。则振型反应最大值 s ；可以用反应谱表示为： s j = x j s 。( c o j ，乞) ( 3 一l o ) 利用3 - - 8 式中相对位移反应谱与绝对加速度反应谱之间的关系得： s ) j = x j s 。( c o j ，鼠) c o ； ( 3 1 1 ) 地震动过程是平稳随机过程，各振型反应的最大值 s ( t ) ；可以通过多种方式组合成 体系动力反应的最大值 s ，如平方和开平方法( s r s s ) 、完全二次式法( c q c ) 。平方 和开平方公式为： i “ s = 1 f s ； yj = 1 ( 3 1 2 ) 式3 1 1 和3 1 2 构成了按振型分解反应谱方法计算结构反应的基本公式。 在g d a p 程序中，材料力学法与有限元法均可以用振型分解反应谱法进行计算。 3 2 材料力学法和有限元等效应力法应力的比较 与第2 章类似，利用g d a p 9 程序，对重力坝分别使用材料力学法( 悬臂梁法) 和有 限元法进行动力计算分析，并得出有限元法的等效应力。 在计算有限元法等效应力时，先分别计算顺河向与竖向地震作用下各阶振型的振 型应力，然后利用等效应力法将振型应力等效，再利用平方和开平方法分别将顺河向和 竖向地震作用下的各阶等效振型应力叠加，得到顺河向地震作用下的等效应力和竖向地 震作用下的等效应力，最后再次利用平方和开平方法将二者叠加，得到最终的等效应力。 利用g d a p 对7 0 m 和1 7 0 m 高的重力坝进行动力计算，地震烈度分别为7 、8 、9 度。计算结果如表3 1 所示( 拉应力为正，压应力为负) 。 比较表3 1 中悬臂梁法和有限元等效应力法的应力值，二者十分相近。二者应力 值最大差异为4 3 4 。 因此，对坝基面采用有限元等效应力法可有效消除应力集中影响，得到与材料力 学法十分接近的成果，可作为大坝抗震安全评价的依据。 中国水利水电科学研究院学位论文 表3 1 悬臂梁法和有限元等效应力法应力比较( m p a ) 7 度地震8 度地震9 度地震 悬臂梁有限元悬臂梁有限元悬臂梁有限元 坝踵 0 3 6 8 o 3 8 0 0 9 9 11 0 0 3 2 2 3 5 2 2 5 1 7 0 m 坝趾 0 6 6 3。0 6 7 50 0 8 70 0 9 71 0 6 71 0 5 9 坝踵 0 2 9 90 2 8 61 0 8 01 0 6 92 6 4 62 6 3 8 1 7 0 m 坝趾 2 3 4 12 3 3 01 6 4 71 6 3 80 2 5 80 2 5 3 比较表3 1 中悬臂梁法和有限元等效应力法的应力值，二者十分相近。二者应力 值最大差异为4 3 4 。 因此，对坝基面采用有限元等效应力法可有效消除应力集中影响，得到与材料力 学法十分接近的成果，可作为大坝抗震安全评价的依据。 3 3 有限元法动力计算建基面拉应力区范围 本文利用g d a p 对重力坝在7 、8 、9 度地震作用下的动力反应进行了计算，计算 的重力坝涉及到7 0 m - - 2 3 0 m 的9 个坝高，其基本信息见表2 1 。 根据水工建筑物抗震设计规范的规定，不同的设计烈度对应的水平向设计地 震加速度代表值a l l 应按表3 2 取值，竖向设计地震加速度的代表值a v 应取为水平向设计 地震加速度代表值的2 3 ：除水工钢筋混凝土结构外的混凝土水工建筑物的抗震强度计 算中，混凝土动态强度和动态弹性模量的标准值可较其静态标准值提高3 0 ，混凝士动 态抗拉强度的标准值可取为动态抗压强度标准值的1 0 f 3 1 。 表3 2 水平向设计地震加速度代表值ah l 设计烈度 789 a 1 1 0 1 90 2 90 4 9 根据以上规范规定以及参考相关算例，归纳出以下计算条件：不同坝高重力坝混 凝土的弹性模量按表2 1 取值，基础按均匀弹性体考虑，弹性模量取为与坝体混凝土弹 性模量相同，混凝土和基础的动弹模均取为静弹模的1 3 倍，混凝土的动态抗压强度取 为静态的1 3 倍，动态抗拉强度取为动态抗压强度的1 0 ：混凝土的容重取为2 4 k n m 3 ： 基础为无质量基础。计算工况为：自重+ 静水压力+ 坝底扬压力+ 地震荷载+ 动水压力，设 计反应谱采用现行水工建筑物抗震设计规范【3 j 规定的标准反应谱，设计反应谱最大 1 6 中国水利水电科学研究院学位论文 值的代表值取为2 o o ，水平向设计加速度代表值按表3 1 取值，竖向代表值取为水平向 的2 ，3 ；考虑库水的动力影响时，忽略库水的可压缩性，将大于3 倍坝高范围的水库进 行有限元离散，将库水动力影响转化为坝面各点的附加质量。 ( 一) 7 0 m 、9 0 m 、1 l o m 、1 3 0 m 重力坝采用不同的网格剖分方案，在7 度地震作用 下坝踵垂直拉应力区的相对宽度( 垂直拉应力分布宽度坝底面宽度，下同) 见表3 3 。 表3 t 37 度地震作用下坝踵垂直拉应力区的相对宽度 剖 7 0 m1 1 0 m 剖 9 0 m 剖 1 3 0 m 分 单元 拉应力单元拉鹿力 分 单元拉应办一 分 单元拉应力 层 尺寸区相对尺寸区相对 层 尺寸区相对 层 尺寸区相对 数 ( m ) 宽度 ( m ) 宽度 数 ( m )宽度 数 ( m ) 宽度 3 02 3 3 o 1 3 7 0 4 5 3 6 7 0 1 1 7 6 9 43 0 3 o 1 1 8 4 8 84 0 3 2 5 0 1 0 3 6 3 l 5 01 4 0 1 2 3 6 5 6 2 2 o 1 0 2 6 3 35 0 1 8 0 1 0 3 7 4 86 0 2 1 7 0 ，0 9 4 2 8 2 7 0l o 1 1 8 7 3 3 1 5 7 00 9 4 7 3 17 0 1 2 8 0 1 0 5 6 0 38 0 1 6 2 0 0 8 8 5 8 6 1 0 0o 7o 1 1 6 0 1 2 1 1 0 0 8 8 4 5 6 9 0 1 00 9 5 9 0 9l