（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）波浪谱密度函数数值分析.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文针对欧洲北海的一次为期六天的风暴中定点测得的波浪海面瞬时升高数据样 本，应用f f t 快速傅立叶变换方法分析计算得到相应的能量谱密度函数( 靶谱) 。根据 北海a i 删平台对于一次风暴的观测记录，进行了对经验谱公式j o n s w a p 谱的谱峰 升高因子和峰频控制因子进行了修正。结果表明，谱矩m 。随参变量，和峰频，随 互，变化显著，当互国p = 5 ，= 3 2 7 时，脚。与，的预报值同实测分析结果符合 得令人满意。应当指出，所测的波浪记录的平均过零周期和谱的零阶矩相差很大，不属 于同一海况，这与观测条件是在一次风暴中测得结果的相符。通过对4 0 9 个子样给出的 有义波高和某一时段的统计值与实际根据f f t 计算得到的有义波高和这一时段的统计 值进行比较，发现两者符合得尚好。 传统的风浪谱估计方法f f t 法假定在所取时间滞后数乘机之外其协方差函数为零， 在周期图中假定所取数据长度为一完整周期。其谱估计实际为频谱和窗函数的乘积。本 文重点进行了最大熵法风浪谱估计和传统谱估计方法的分析比较，讨论了最大熵法的原 理。结果表明，最大熵法优于传统方法如快速付立叶交换方法，最大熵法避免了一些不 切实际的假设，不需要使用窗函数减少了谱泄漏，提高了谱估计精度。对于北海风浪，采 用赤池定阶法和经验定阶法相结合的办法确定最小的阶数。同时，最大熵对已有的时间 序列的信息量保持最大，当样本容量较小时，也能得到较好的谱估计结果。为风浪谱估计 又提供了一种有效的方法。 关键词：风浪谱, i o n s w a p 谱快速付立叶法最大熵法 波浪谱密度函数数值分析 n u m e r i c a la n a l y s i so f w a v es p e c t r u md e n s i t yf u n c t i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ei n s t a n t a n e o u ss u r f a c ee l e v a t i o nd a t as a m p l e ，w h i c hi sf r o ma r e c o r d f i a g p r o j e c ti ne x e c u t e di nn o r t hs e aa n dh a sas i xd a y sd u r a t i o n , i sa n a l y z e d t h ec o r r e s p o n d i n g e n e r g ys p e c w a ld e n s i t yf u n c t i o n ( t a r g e ts p e c t r u m ) w a se s t i m a t e db yu s m gt h et r a n s f o r m a t i o n m e t h o db a s e do nf f t b a s e do nas e to f r e c o r d i n gd a t af o r mo b s e r v a t i o np l a t f o r mc a l l e da l w y n ， t h ee m p i r i c a ls p 黜吼e x p r e s s i o ni sm o d i f i e di n t c r m so f i t sp e a ke l e v a t i o np a r a m e t e ra n dp e a k f i e q u e n c yp o s i t i o np a r a m e t e r t h er e s u l t ss h o w st h a ts p e d r a lm o m e n tm ov a r yr e m a r k a b l y w i t hd e p e n d e n tv a r i a b l e ya n dp e a kf i - e q u e n c y 国pv a r yr e m a r k a b l yw i t h 五x 脚，w h e n 正x 国，= 5a n d ，= 3 ，2 7 , t h ep r e d i c t i v ev a l u e so fm oa n d o b pt a l l yw i t ht h ea n a l y s i sr e s u l t o fa c t u a lm e a s u r e dd a t 乱i t ss h o u l db ep o i n t e dt h em e a nu p - c r o s sp e r i o da n dz e r os p e c t r a l m o m e n tf l l | c t u a t eal o t , a n dt h e yd o n tb e l o n gt ot h es a n l ew a v ec o n d i t i o n i t sb e c a u s et h ed a t a a r co b s e r v e di na6 - d a ys t o r m b yc o m p a r et h eg i v e n4 0 9s i g n i f i c a n tw a v eh e i g h t sa n ds t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i c s i n a d u r a t i o n w i t h t h a t o b t a i n e d b y f 瓯i t sr e g a r d t h e y a r e f i t t e d v e r y w e l l t r a d i t i o n a ls p e c t r u me s l i m a t i o nm e t h o d ，f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，a s s u m e st h a tt h e c o v a r i a n c ef u n c t i o no u to f t h ec o m p u m t i o nd o m a i ni sr e g a r d e da sz e r o ，t h ep e r i o dh i s t o g r a mi s c o n s i d e r e dt ob et h ew h o l ep e r i o d t h eo b t a i n e ds p e c t r u mf u n c t i o na c t u a l l yi st h ep r o d u c to f t h e r e a ls p e c t r u ma n daw i n d o wf u n c t i o n i nt l l i sp a p e r 9t h em a x i m u me n t r o p ym e t h o di sc o m p a r e d w i t hf a s tf o u r i e rt r a n s f o r mi nt h e i ra s p e c to f e s t a b l i s h i n gaf r e q u e n c ys p e f t r u mf o rw a v ed a t a t h ea l g o d t h mo fm a x i m u me n t r o p ym e t h o d0 假 di sd i s c u s s e da n dt h ec o m p u t a t i o nr e s u l t s s h o wt h a tm e mm e t h o di sb e t t e rt h a nf f tm e t h o di nt h a ti ta v o i d ss o m eu n r e a l i s t i cg s s u m p f i o n b e c a u s ei td o e m tn e e dw i n d o wf u n c t i o n , i td o e m th a v et h ep r o b l e mo fs p e c t r u ml e a k a g e e v e nf o rs o m es h o r tw a v er e c o r d , m e mc a nl 七t t l r ns a t i s f a c t o r yr e s u l t f o rt h es t o r mw a v ed a t a f r o mn o r t hs e at h ec o m b i n a t i o no f a k a i k em e t h o da n de m p i r i c a lm e t h o df o rd e t e r m i n i n gt h e o r d e ri sg o o d m e mm e t h o di sa n o t h e rg o o do p t i o nf o rs p e c l r u me s t a b l i s h m e n to ft h ew a v e d a t a k e yw o r d s ：w a v es p e c t r u m , j o n s w a ps p e c t n n n ，h 飞m a x i n 2 u me n t r o p ym e t h o d 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的 说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景 在海洋工程与船舶设计中，海浪是作用在海洋工程结构，海岸或近海岸结构物的主 要荷载之一，目前人们对海浪的研究主要是从两个领域进行研究的，一个是对液体的波 动从流体力学的角度加以分析，包括线性波和非线性波理论。另外一个是将海面波动看 作是一个随机过程，研究其随机性，从而揭示海浪内部波动能量的分布特性，从统计意 义上对液体内部各指点的运动状态加以描述。 海浪是在空域上和时域上高度不规则的和不重复的物理现象，其变化形势是事先无 法预知的，但是通过每次测验，可测的一个确定的结果，虽然每次实测结果彼此是不 相同的。这种变化必须用随机函数加以描述，也叫随机过程。技术领域红遇到的随机函 数的例子很多如风速，海浪，变速水流，地震等。其实。如测量系统，控制系统，调 节系统等，在分析系统工作的精确性时，也必须考虑随机干扰的存在，干扰本身以及由 他所引起的系统的反映都是时间的随机函数。图1 1 ，图1 2 及图1 3 表示海浪的随机 过程可有很多频率不同的简谐波叠加组合而成。 图1 1 某一时刻某一海域波面升高( 二维) f i g1 1s u r f a c e e l e v a t i o n o f a c e r t a i n t i m ea n d d o m a i n ( t w o - d i m e n s i o n a l ) 波浪谱密度函数数值分析 图1 2 相应于上图波面升高瞬时值矩阵( - - 维) f i g1 2i n s t a n t a n e o u ss u r f a c ee l e v a t i o nm a t r i xc o r r e s p o n d i n gt oa b o v ef i g u r e ( t w o - d i m e n s i o n a l ) 图1 3 具有一定方向，频率，波长的组成波( 二维) f i g1 3e l e m e n tw a v ew i t hac e n a i l ld i r e c t i o n , f r e q u e n c y , w a v el e n g t h 2 大连理工大学硕士学位论文 叮e ) 图1 4 某一波面升高时间序列( 一维) f i g1 4t i m es c t i e so f a 同】i 触e l e v a t i o n ( o n e d i m e n s i o n a l ) 图1 5 具有一定周期，频率，波长的组成波( 一维) f i g1 5e l e m e n tw a v ew i t ha c e r t a i n d i r e c t i o n , f 把q u o n c y ，w a v el e n g t h ( o n e d i m e n s i o n a l ) 3 波浪谱密度函数数值分析 测量随机过程所得的结果叫做一个现实( 或者叫做样本函数) ，它是确定的非随机 函数，但各个显示各个不同。因此，为了的随机过程的统计特性，必须对它作大量的 ( 胛次) 独立测量。如图一所示，在同一条件的海域内，布置力个同类型的波高仪 可同时侧得门个纪录x 1 f x 屯( ，x x n ( f x 得到一个现实，总称为总体。 波浪总体上可阻称之为一个随机的，平稳的，各态历经的过程，所谓随机是指它们 随时间的变化是在某一平均值周围连续的随机波动，而平稳则是指即便波面升高是随机 的，其统计特性( 平均振幅j 方差估计等) 都基本上不随时间变化。如图所示，在指定 时刻f 是的随机变量组的所有统计特征与时n t ，+ f 时的相同，这种随机过程称为平稳 随机过程。所谓各态历经性意味着，随即函数的每一个现实能统计的代表所有可能的现 实，一个充分长的时段的现实能代替统一时段现实的总体。 随即过程的平稳性和各态历经性，对于海浪研究具有非常重要的意义，因为海浪是 难以观测的，我们通常只能取得少数记录样本。如海浪可看作是平稳的，各态历经的， 则各态历经性保证我们可以用一个样本来代替总体；平稳性保证记录上的时间起点不影 响计算的结果，可从一个样本中任取出足够长的一段来进行统计分析研究，亦即可以采 用某一样本的时间特征值。 海浪的随机过程可有很多频率不同的简谐波叠加组合而成，海浪的总能量由各组成 波提供。海浪能量相对于组成波频率的分布，构成海浪这一随机过程的频率特性( 频率 结构1 ，又是它比时域特性更能说明问题。频域特性通常用谱( s p e c t m n ) 来表示。随机过 程由时域向频域的变换成为随机过程的谱分析。 海岸和近海工程建筑物常处于严酷的海洋工作环境，要保证船舶与海上建筑能够在 此环境中生存并发挥其应有功效，风浪往往是影响最大的环境因素。过低地估计波浪的 严重性将导致海岸和近海工程的破坏，而过高地估计又将导致很大的浪费。在着手进行 海上建筑物的规划和设计之前必须得到相应海区的可靠波浪资料，掌握其波浪统计特 性。波浪统计分为长期中期短期三种情况。长期波浪统计的目的是得到某一重现期的设 计波浪要求有几十年延时的波浪资料；短期波浪统计是根据波面连续运动数据得到波浪 谱及其它统计分布对于现场观测需要3 0 - 4 0 分钟的连续数据，室内试验所需时间更短。 风浪谱估计传统方法有自相关函数法( f t a ) 和快速傅立叶变换法( f f t ) ，前者要求 对该函数从正无穷到负无穷的事件滞后数上作积分变换，而后者则要求数据长度能代表 一个实际周期，实际资料中这些条件往往难以实现。这两种估计方法均根据某种假设对 数据进行了处理，假定在所取时间滞后数乘积之外其协方差函数为零：在周期图中假定 所取数据长度为一完整周期。其谱估计实际为频谱和窗函数的乘积。由于使用了窗函数， 4 大连理工大学硕士学位论文 难免引起旁瓣的影响，使得谱估计产生谱泄漏。为了提高谱估计的质量。许多学者提出 了各种窗函甄虽然可以通过较好的窗函数以减少泄漏，但它总是以降低分辨率为代价 的。另外，它们所需的样本序列较长。因此有必要对谱估计方法进行新的研究，提出一 种新的谱估计方法。 最大熵洳鳓d 法) 是由伯格最先提出的，被广泛运用于雷达、地震勘测及气象等领域 的时序的功率谱估计。但在风浪谱估计中应用较少。 本课题应用已成型的并广泛应用予信息理论的最大熵提取信息的方法，利用欧洲北 海观测台站提供的海洋环境实测资料，即一采样时域长度为七天的波高纪录来与传统的 自相关函数法，快速傅立叶变换法得出的谱作一比较，以寻求波浪谱估计的更有效的方 法。若最大熵相对于其他两种方法显示出明显的优势，下一步就可考证它本身的能够达 到定精度的子样下限阁值。然后继续探讨最大熵法是否达到以最小的资料预报信息量 最大，分辨率最高的波浪频谱。 1 2 波浪谱研究意义 海洋波浪谱一直是波浪理论研究的中心课题之一，它不仅对波浪理论本身，而且对 海洋工程，以及日益发展起来的海洋遥感技术的意义至关重要。虽然人们从六十年代以 来对这已引起广泛兴趣的课题展开了不懈的努力，但迄今为止对海浪谱的性质知之甚 少。这主要存在两个方面的函难，首先是难以得到高质量的观测资料，原则上只有获得 每一个时刻和地点的波浪场信息，其波浪谱才是唯一确定的。在实际应用中一般取有限 风区这种理想情况，认为波浪场具有平稳性和各态历经性。其次，即使如此也需要波浪 场各个地点的无穷多个信息，而我们只能记录波浪场的有限多个信息，如何自这些并不 完整的波浪子样信息中提取波浪场的能量频谱以及相关统计特性，则涉及到波浪谱的估 计方法问题。 数字谱分析在海岸工程结构动力分析中有着重要的意义，已经列入有关工程规范之 中。通常使用的频谱估计方法上存在一定问题，因此谱估计研究受到人们重视并有所进 展。f t a 法和f f t 法两种估计方法均根据某种假设对数据进行了处理，假定在所取事 件滞后数乘积之外其协方差函数为零：在周期图中假定所取数据长度为一完整周期。其 谱估计其实为频谱和窗函数的乘积，由于使用了窗函数，难免引起旁瓣的影响，使得谱 估计产生谱泄漏。为了提高谱估计的质量，使谱估计值与谱真值接近，许多学者提出了 各种窗函数，虽然可以通过较好的窗函数以减少泄漏，但它总是以降低分辨率为代价的。 5 波浪谱密度函数数值分析 另外，最大熵法( 咖b m ) 克服了协方差函数法和f f t 法在采样时域长度t ，采样点数受 到的限制。因此有必要对最大熵谱估计方法提高重视并进行新的研究。 熵以及最大熵都不是新概念，但把他们应用于波浪理论却都有着广泛的潜力与前 景。近几年来，我国已先后科研人员把最大熵法应用于太湖，连云港，黄渤海波高的最 大熵分布，并通过风浪槽试验结果和实测资料的验证分析表明：由最大信息熵方法推导 出来的不同水深波高概率分布与实测资料很吻合。考虑到实际工程应用的要求，传统的 基于大样本的波浪预报方法的采样时域长度显然已不能适应日益发展的快速性，时效性 的发展原则。所以，在不影响分辨率，不损失精度等情况下探讨如何缩小子样，并预报 下一时刻风浪情况就尤其深刻的工程应用背景和研究价值。通过学位论文的工作，进一 步掌握海洋环境实测资料的处理方法，加深对波浪理论及其工程应用的理解，从而提高 自己分析问题和解决问题的能力。 由于海洋结构物的设计必须计算其在不规则海面上的动力响应，因而需要利用海面 波动的频率信息，也就是需要计算结构物对于波浪运动各种频率因素的响应。 1 2 1 海浪谱的概念 波浪的能量谱定义通常有几种，即用周波频率( 通常简称频率) 厂= x r ，角圆频 率( 通常简称角频率或圆频率) = 2 7 r t 以及表视周期f 作为能量谱的横坐标。其中 更通用的是圆频率。在本篇中一律采用圆频率。 海浪，海面关于时间序列的记录卵( r ) ，为r 时刻的海面瞬时升高。记录表明，其过 程印o ) 具有不同的周期。可以分解成不同频率的单波 叩( ，) = u ( o a 。，) = 彳( 吃) c o s ( r + 纯) ( 1 1 ) n n l 式中a ( c o 。) 是相应于频率国。的单波幅值t 仇时相位，在0 - 2 “区间内的随机变量。 随机过程卵( ，) 在r 时刻，频率区间为脚。+ a o a 间单波幅值的平方为a 2 ( r ，。+ a c o ) 它表示了这一频率区间波动过程的能量，则整个记录周期t 上其平均值与均方值为 l r i r a l 7 1 r a 2 ( f ，+ 国。) 它关于频率间隙国的均值则为均方值得平均密度，当甜趋 于无穷小时，定义 6 大连理工大学硕士学位论文 跏) = 。l i ，m 。1 - - ! 毗- - l i m l r 。f 以。+ 删出 ( 1 2 ) 为髓机过程叩( ， 的能量 = 0 ，谱密度函数为非负的实函数，位于第一象限。 2 ) 谱密度函数存在一峰值，所对应的频率为峰频国。在此左右的频率区间内，波 动过程具有较大的能量。 3 ) s ( o ) = 0 ，说明海面永不平静，s ( o o ) 寸0 ，海面的波高也不可能无限大。 1 2 2 自相关函数及其与谱密度函数的关系 波浪谱密度函数的一个重要性质表现在它与自相关函数的关系上。所谓自相关函数 就是描述随机过程一时刻的数值j 7 0 ) 同另一相距r 的时刻的数值，7 ( f + r ) 的相依关系的函 数。其定义为 聊) = 舰专f 叩o + o d 玎 ( 1 3 ) 可以知道，尺( ) 具有如下性质： 1 ) r ( f ) 为可正、可负的实值函数： 2 ) 矗( f ) 为偶函数，有 r ( f ) = r ( _ r ) ( 1 4 ) 即关于纵轴是对称的； 3 ) 当f = o 时，置( o ) 陋0 ) ( 对应于所有r ) 。即在f = o 处，r ( o ) 为最大值。 具体的讲对于平稳数据，两者可有傅立叶变换来相联系： s ( c o ) = & r ( r ) c o s ( m r ) d r ( 1 5 ) 石 逆变换为； r ( f ) = f s ( ) c o s ( o o f ) 如 7 ( 1 6 ) 波浪谱密度函数数值分析 这就是w i e n e r - k h i n c h i n e 定理。 1 2 3 海洋结构物对其上荷载的响应 海洋结构物在不规则荷载下的响应是非常重要的，众所周知，作用在结构物上的诸 如风、浪以及地震等荷载均为不规则的，随机的。 y o ) 的f o u r i e r 变换与f o u r i e r 逆变换为 f y ) = f f y ( t ) e 一“d t = 去矿 其变位为y ( f ) 。关于 ( 1 7 ) _ y ( f ) d r = 瓦1 e ) 陋 ( 1 8 ) 式中i y ) f 2 = r ( c o ) y ) ，】，( 缈) 为】，0 ) 的共轭函数，从而变位j ，o ) 的均方值可表 达为 一y 2 ( t ) = l 。i r a i ，( 。2 y ( f ) a t ( 1 9 ) 三咖上r 7 2 j 幽咖( 1 1 0 ) r m 2 n d - r 1 2t 。 作为结构物变位y ( f ) 的功率谱密度函数，当r 斗。时其定义为 s y ( t o ) ：期嘲 ( 1 1 1 ) 一y 2 ( t ) ：擞掣如 而= s , ( o 。) d c o 1 3 国内外文献综述 8 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 大连理工大学硕士学位论文 1 - 3 1 国外的关于熵及最大熵的最新进展 2 0 0 2 年。美国汉诺威达特茅斯计算机系c h r i s t o p h e rj a m e sl a n g m e a d 教授在从d n a 微序列杂交实验数据中提取与描述其表达特性过程中引入了最大熵分析。开发了 e n r a g e ( e n t r o p y - b a s e dp , h y t l l l i ea n a l y s i so fg e n ee x p r e s s i o n ) 程序。他着重于把基因表 达特性的周期性与周期看作一个同步的双参数优化过程。其过程中把时间序列的基因表 达数据重建一个频域谱与本课题所要进行的波浪时序数据处理颇为相似，况且，他在论 文中又一次强调了快速傅立叶变换在分析基因周期特性的局限性，通过对照实验，他还 总结了各种方法在不同的数据集合中信噪比，样本率以及信号长度的差异。 英国考文垂华威大学的m m y r o n o v 教授新近发表的篇题为关于半导体多层结构 磁传导特性的最大熵法动谱分析在最大熵原理的基础上又发展了最大熵动谱分t 吁m 伍 m s a ) 的概念。计算结果证明，作为优越于传统动谱分析算法的最大熵法动谱分析，在 研究各向异性介质的损失传导率的概率分布时与理论形式吻合很好。尤其在q m s a 谱 对于d e l t a 函数的子集无计可施的时候，m e - m s a 在多次迭代的情况下依然能够保持较 好的线宽信息。 墨西哥的y u r i yv s h k v a r k o 于2 0 0 2 年在t r a n s a c t i o n so ns i g n a l p r o a 搭s i o n i e e e 上发表了在遥测环境中的波域能量分布的估算：贝叶斯最大熵 法。任取遥感信号随机的一个现实，把s p a 蛀a ls l x 妯a n np a t t e r n 的问题设定在贝叶斯 估计原理的框架内。为傅立叶转换器所熟悉的经典谱估计方法和观测中遇到的白噪声问 题拓展为数据的联合空间相贯，信号发生器的调制解调和s s p 的最大熵统计先验信息。 为了演算s s p 的谱估计，采用了贝叶斯方法来实现离散化的s s p 最大熵模型的后续概 率密度函数的最大化。此非线性的应用算法可以精确而又可靠的执行，同时叉保证了数 据的二阶统计和窗函数的平滑。本方法值得借鉴的是他也在寻求一种方法论，不仅可以 从试验数据中提炼出在原理和应用中都合理的主要特性来，还对其逆问题即对遥测环境 的能量分布都可行。应用到波浪理论中，就是由实测波高纪录可得能量谱，进而又可以 推算下一阶段浪高等信息。 瞻尼苏达大学资深教授t r y p h o n 在2 0 0 2 年作了基于协方差谱分析的研究，其中输 入谱不仅对应予线性滤波器的给定状态协方差，而且还对应于解析内插闯题的解。 9 波浪谱密度函数数值分析 n y p h o n 还推到了个最大熵求能量谱的公式：日= d ) f ( - j i a ) “ ，由于 物理量表示意义不同，这个公式不是很有适用性，但文中的推导过程还是有一定借鉴意 义的。 法国的j e a n - f r a n c o i sb e f c h e r 和c h i r s t o p h e v i g n a t 在2 0 0 0 年联合发表了一篇很有价 值的信号的熵估计及其应用。他们推导了连续信号的熵的估计式并把它运用于几个 信号处理的实例中，这个估计式很大程度上依赖于p d f 估计式与能量谱估计得简单类 比比较。为了得到准确而稳定的熵估计，他们还引进了a r 建模，所以只要求子样为相 关序列。由模拟试验表明，a r 估计相对于其他传统估计是更准确。 l - 3 2 国内采用最大熵在波谱研究中的尝试 1 9 9 1 年，海洋科技工作者陈上及等人应用最大熵原理建立波浪观测序列资料分析 模型。时间序列分析使用概率统计和随机过程的分析方法，研究随时间变化的随机数据 序列的特性；其主要目的是建立序列的相应数学模型，模拟随机数据序列的变化过程， 控制和预报它的发展趋势，介绍的模型包括自回归f 爿屁( p ) ) ，滑动平均( j j i 利伯) ) ，自回 归一滑动平均( 一砌翻( p ，g ) ) ，自回归积分滑动平均( 一删0 ，d ，g ) ) ，参数化，季节 性，多位自回归和混合回归模型。他们着重讨论了实的和复的平稳自回归过程的最大熵 谱分析方法，其中实的最大熵谱应用的依然是经典的上面给出的谱展式，为了减少工作 量并避免异常误差的出现，建议先将数据进行低通滤波，然后加大取样间隔，减少取样 个数，能较好的分析出低频周期信号。 熵增加原理可应用于风浪发展过程，将风与海洋视为一孤立系统，一定风速场条件 下，海浪参数( 水深、风区) 不变，历经足够风时后，风浪便达到定常状态，称之为稳定波，即 为平衡态这是一不可逆过程熵值在风浪的发生、成长至平衡态过程中不断增加，直至平 衡态，熵值达到最大此时风浪在既定的约束条件( 风速、水深、风区) 下呈现最大自由度 ( 最复杂、弥散程度最大) 在无限水深情况下，若风区、风时足够大，则海浪理论中“充分 发展状态”这一概念即无限深开敞海洋中海浪最复杂、弥散程度最大的状态 我国曾经为了建设连云港的需要，在3 4 。5 2 m 87 n l1 9 。4 2 2 4 ”e 处投放“波浪骑士” 测波仪，进行波浪的连续观测。有风浪槽试验结果和连云港实铡资料的验证分析表明： 最大熵法得到的波高分布与实测直方图吻合较好，且对于深水充分发展波波高来说，最 大熵原理推求波高概率分布时，对风浪的风速，水深，风区等并无严格限制。 1 0 大连理工大学硕士学位论文 杨秉正教授曾对时闻纪录为2 0 分钟，时间步长为0 5 秒，采样容量为1 0 2 4 的波浪 资料，应用应怀樵编制的程序进行了最大熵谱分析，为了和f f t 比较，m e m 法采用了 两种样本容摄，强= 2 ”，n 2 = 2 9 。经过比较分析得到，m e m 法在样本容量不同条件 下，其卓越频率，值均可一一定出。m e m 向较于f f t 法，具有分辨率高的优点，在处 理短样本数据和要求分辨率较高的情况下，前者更为适用。从功率谱值来看，m e m 法 比较突出，不受左右谱值平滑的影响，而后两者容易把由于不同因素形成的各种谱值被 平滑掉，这对某些数据处理情况是不利的。遗憾的是他并没有针对最大熵的子样容量 进行纵向比较，不过为本课题的开展留下了发挥空间。 1 9 9 9 年，南京水利科学研究院的科研人员根据太湖风浪观测资料，进行了最大熵 法风浪谱估计和传统谱估计方法的分析比较，得出结论认为，只要样本容量，取样间 隔口f ，推移乘积数m 及过滤系数的阶数射等参数选择合适，都可以取得较好的结果。 但最大熵法对已有的时间序列的信息量保持最大，当样本容量较小时，也能得到较好的 谱估计结果，而且它成功地避免了使用窗函数带来的谱泄漏，提高了谱估计的精度，且 具有较高的分辨率。 目前国内海洋和气象时间序列的谱分析方法有两种，一是普通的功率谱法，而是最 大熵谱法。前者在理论上发展比较成熟，其计算。分析和表示方法也较完善。例如在分 析海面风，海流，温度和盐度序列时，一般能在相应的谱图上标出谱估计的置信区间。 如果要用功率谱作周期分析还能够对谱峰进行显著性周期检验。最大熵谱对序列中的 周期信号具有较高的分辨力，因而颇受海洋工作者的重视。当这种方法提出较晚，其样 本谱的统计理论，各种表示方法还不够完普。用这种方法进行谱分析，并能给出相应的 置信区间，或者对谱峰进行显著性周期检验。迄今为止，国内用最大熵谱分析序列的周 期信号还停留在定性分析的阶段，当谱峰不太明显，其物理背景又不清楚时，考虑到谱 估计随即误差的存在，则定性分析的结果不免有主观随意的成分。其次，样本最大熵谱 谱峰的大小和多少，同最大熵谱的阶数密切相关。尽管可用赤池定阶法确定最佳阶数， 由于同它确定的最佳阶数范围比较大，所阻定阶方法还有待研究。 1 4 本文数据来源及研究框架 本文讨论的波浪数据都是由欧洲北海的n o r t h a l y w n 控制台在一次波高超过l o 米 的暴风雨中观测得到。4 0 9 个子样数据的观测时间为1 9 9 7 年1 1 月1 6 日0 7 ：3 3 到2 2 日 0 1 ：2 5 ，每个子样有6 0 0 0 个数据点，每个数据点间隔为0 2 s ，一个子样间隔为2 0 分钟， 波浪谱密度函数数值分析 波面瞬时升高单位为m 。整个暴风雨的原始数据都存为t x t 数据文件。例如， w v l l l 6 2 1 d a t 的文件记录开始于1 6 日7 3 3 。每个记录发生的时间都列在i n f o r t x t 文件 中。 波浪的测试条件如下 1 k e y e j ( ：i i c n to f j a c k e t v c v u a r 陀v e m h m e i c g 把h t r m ，e p t f e e r e 9 u 他t r _ n 8 d u c c r 一波高仪 测流计压力传感器 圈1 6 波浪测试条件 f i g1 6 t e s t c o n d i t i o n o f w a v e s 1 m a r e x 监控器o 田 2 w a l k w a y 监控器( w w ) 3 东北角监控器( n e c ) 上图表示的是各个测量一起的放置位置。这4 0 9 组数据是在整个暴风雨期间东北角 监控器( n e e ) 所测。 1 2 - 大连理工大学硕士学位论文 3 n o r t he a s tc o m e r m o n i t o r ( n e c ) 下图表示了三个监控器之间的角度关系，为了便于看得清楚，将它们放大了。 n p 和e p 分别为北部和东部的控制台a 图1 71 4 9 号风暴周期内有义波高分布 f i g1 7s i g n i f i c a n t w a v e h e i g h t d i s t r i b u t i o nw i t h i n1 4 9s t o r m 1 3 波浪谱密度函数数值分析 2 快速付立叶变换波浪谱研究 2 1 快速付立叶变换计算原理 实值或复值记录善0 的无限傅立叶变换，由下式决定 z ( 厂) = z ( r ) e - i 2 种d t ( 2 1 ) 从理论上讲，平稳随机过程z c 厂) 是不存在的。但把x o ) 限制在有限的时间区域 内，则有限傅立叶变换是存在的，它定义为 x ( f ，r ) = ex ( t ) e 一，2 研出( 2 2 ) 个时域离散信号耳包含有样本 z 一3 x - 2 x i ，x o ，x 1 ，x 2 屯， 其离散傅立叶变换z 由下式所定义 = e x p ( - j 矽) i i “ ( 2 - 3 ) x w ) 是s 的复数周期函数，周期为1 。此外，若将以限定为实数，则c 厂) 具有对 称性，因此x 驴) 可以用在其区间o s 厂s 1 弧度中的值完全确定。离散信号通常取自时 域连续函数x 0 ) 的样本，现假定x o ) 在等间隔矗的个点上采样，h 的选择能使截断频 率足够大。由于t o = o ，故点= n h 处， 工 = x ( n h j ，即= 1 , 2 ，n i ( 2 4 ) 则对任意的f 式( 2 1 t ) 的离散形式是 x ( f ，r ) = 矗e x p ( 一j 2 r f r n h ) ( 2 5 ) 选择离散频率值为 以= 矿= 彳k = 土n h ，七= 1 ，2 ，n ( 2 6 ) 在这些频率上，变换值确定了傅立时分量： 1 4 大连理工大学硕士学位论文 弘半= 矗o x p 一，百2 n m z ， 注意，除七= 的点外结果是唯一的。在七= 。点上出现了截断频率。快速傅立叶 变换就是用来计算x k 的a 2 i i f f t 计算方法基础 快速傅立叶变换方法的基本思想是把n 分解成它的组合因子( 非一) ，然后再相 对来说项数变少的每个因子上作傅立叶变换。设n 为p 个因子的乘积： n = hr f = r i r 2 r 3 r p i l 这里所有的r 都是大于l 的整数。可以证明，h 叮方法与标准方法的 n 2n 4 n 杰硅 2 1 2f f t 算法 为简化记号，令 脚) = e x p ( 一，争 则有( ) = 1 ，并且对所有的“和v ，有 w ( u + v ) = 0 沙o ) 圊时令z ( 七) = x ；，x ( 呐= 矗，则式( 2 3 ) 变为 z ) = x o ) 矿( 砌) k = 0 , 1 ，2 n i 2 2 输入子样前处理及谱分析后处理 理。 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 现有的数据为代表平稳随机过程样本记录的离散时间序列。需对这些数据进行预处 1 5 波浪谱密度函数数值分析 2 , 2 1 把数据转换为零均值数据 为了简化以后的公式和计算，把数据转换成为零均值的数据。定义一个新的时间 历程记录x ( f ) = “0 ) 一i ，则x o ) 的数据值扛。) 为 x 0 ) = x ( r 。+ n 1 1 ) = 。一孬，n = 1 ，2 ，n ( 2 1 3 ) 现在；= o 。用扛。 代替原始数据礼。) ，即可得子样均值为零的序列。 2 2 2 标准化为单位标准差 子样标准差由下式确定 s = 膳矧“2 用1 s 乘转换值x 。，可得 z 。= 量。肝= l 州2 n s 转换后的磊具有均值为0 ，标准差为l 的性质。 2 2 3 消除趋势项 f 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 周期大于记录长度的频率成分称为趋势项。消除趋势项是随机数据处理中的一个 重要的中间步骤，应该予与考虑。如果数据中不消除趋势项，则在以后的功率谱处理中 会出现很大的畸变。数据中的趋势项可以使低频失的谱估计完全失去真实性。通常采用 最小二乘法消除趋势项。 令 0 = 1 , 2 ，) 为厅间隔的数据采样值。假定要一个如下的k 阶多项式拟合 这些数据： r 。= 以( 蚴。，以= l 2 - _ i 一0 1 6 一 ( 2 1 6 ) 大连理工大掌硕士学位论文 在最小乘方拟合中，选择系数集 b o ，使下式取最小值 r 量 2 q ( 6 ) = ( 一矗) 2 = h - z b 。( 甩 ) i n - in = l l ，oj 取甄的偏导数，令它们为零，即可得所要求的系数。 2 2 4 截断数据 ( 2 1 7 ) 上面讲过，无限范围内的傅立叶交换是不存在的，必须把数据截断到某个频率上 且在采用f f t 法时，虽然从原理上讲，可以采用任何容量n ，但实际中一般用长度为n = 2 一的数字记录。因此数据系列需截断或加上零点。 周期性信号可以用一系列的傅立叶级数表示，可写成 x ( f ) = 吼e “稚 由于下x 0 ) 为实数，可以将式( 2 3 1 ) 改为 x ( f ) = r e a n e “2 椰 m , 1 ( 2 1 8 ) r 2 1 9 ) 以= 2 a 。，方差盯；可写为 q t l 1， 盯；= 寺阻。1 2 ( 2 2 0 ) 因此，妻i 以1 2 代表了对应于频率矾的方差盯0 由这种方法引申，随机信号可以被认为是包含一个连续范围内的无限周期的和。我 们认为厶0 ，矾_ ，o ， ，则4 。就看成是随机的。则式( 2 2 0 ) 就由下式 积分代替 盯：= c 。s ；( f ) d f ( 2 2 1 ) s x 驴) 是频率的连续函数。s ，( 厂阿代表了信号x 在厂到，+ 矿内的能量，可写作 s x ( i ) ：窆扎。1 2 ( 2 2 2 ) 1 7 鎏鎏塑窒星里墼塑堡堑 s ( ，) 就是谱密度，是x 的能量谱密度或能量谱。 2 2 5 用付立叶变换结果得出谱密度 我们也可以这样描述s 。驴) ：在某些情况下，非周期性信号可以由系列付立时级数 表示，无限小基频斗0 。x ( f ) 的傅立叶级数可写为付立叶积分 z ( f ) = d ( f ) e 2 c d f( 2 2 3 ) 4 ( ，) = x ( r ) p ”神可( 2 2 4 ) 爿( 厂) 是x ( ，) 的付立叶变换，彳( 厂) 和x ( f ) 互为付立叶变换。此表达式成立的前提是 k o ) 陋和工2 ( r ) 防确实存在且有限。这个条件对于满足下式的x ，( f ) 成立 z ro ) = x ( f ) t 2 t t 2 矸( f ) = 0其他情况 ( 2 2 5 ) 而o ) 的傅立叶变换4 ( 厂) 则一定存在。用4 c 厂) 表示原始信号x o ) 的方差盯：如 下： 盯f z i , i , , 。2 - 1 州州2p ( 2 2 6 ) 这样被积函数本身是有限的。比较( 2 2 4 ) 我们可以定义谱密度函数为 蹦) = l i m i r 弘彤) 1 2 ( 2 2 7 ) 也可把谱函数写成角频率国= 2 矿或周期丁2 形或波数k 的函数通常在相同频 率间隔出和肋内的能量必须相同，s ( 口胁= s ( b ) a b ，因此有 s o ) = 晶 8 ) s 0 ) = s 驴) ，2 万。注意谱密度的单位不只依赖于z ，而且与频率的表示方法有关。 最( 厂) 的单位是) 渤，x 表示x 的单位。 2 3 各阶谱矩与统计平均 1 8 大连理工大学硕士学位论文 如下 就像概率矩能用来描述概率分布一样，谱矩也可描述谱的分布，通常n 阶谱矩定义 m ，= t ，a s x o f w ( 2 2 9 ) 由定义可以看出0 阶谱矩等同于方差一- - 。，2 ，并且定义于圆频率的谱矩脚，不同 于频率谱矩样 它们的关系如下： 毋) = ( 2 硝) “毋 以下的谱矩如无特殊说明都为频率谱矩，且省略上标( ，) 。 均方根波高王，和石用来描述波高的概率分布。 谱矩与各统计值关