（电力系统及其自动化专业论文）考虑电压稳定性约束的输电能力综合计算.pdf

摘要 互联电力系统区域间的输电能力是电力系统安全性与可靠性的重要测度，输 电能力的大小直接反映了互联电网的联结强度与结构优劣。电压稳定是约束电力 系统最大输电能力的重要因素之一，为了充分利用现有的输配电系统，提高系统 稳定裕度，计算输电能力的算法应该尽可能地模拟系统的运行情况以求得最大的 系统输电能力。 连续性潮流方法( 简称c p f f l o w 法) 和原一对偶内点法( 简称p d i p 法) 是两 种有效的计算电力系统输电能力的方法。本文在分析这两种方法计算系统输电能 力各自的优缺点的基础上，将二者结合，提出了一种系统输电能力的综合计算方 法。用原一对偶内点法优化得到的发电机出力值为连续性潮流法提供最优的发电 机出力方向，即获得以输电能力最大为目标的发电机调度方式，并用连续性潮流 追踪系统从初始运行点到电压崩溃点的过程中各离散事件的变化过程，控制其向 最优值靠近，从而使系统得到更大的输电能力。 本文对i e e e l 4 ，3 0 ，1 1 8 系统做了测试，取得了令人满意的效果，测试结果 表明该算法既能得到更大的输电能力，又能模拟实际系统运行，是对常规连续性 潮流方法的完善。 关键词输电能力原一对偶内点法连续性潮流方法 a b s t r a c t p o w e rt r a n s f e rc a p a b u i t yp r o v i d e sv a l u a b l em e a s u r e m e n tt ot h es e c u r i t ya n d r e l i a b i l i t yo fi n t e r c o n n e c t e dp o w e rs y s t e m s t h em a g n i t u d eo fa v a i l a b l e t r a n s f e r c a p a b i l i t yr e f l e c t st h ei n t e r c o n n e c t i o ni n t e n s i t ya n ds t r u c t u r a lq u a l i t y o fap o w e r t r a n s m i s s i o nn e t w o r k v o l t a g e s t a b i l i t y i sa l l i m p o r t a n t f a c t o r r e s t r i c t i n g t h e m a x i m u mt r a n s f e rc a p a b i l i t y t ot a k ef u l l u s eo ft h ee x i s t i n gt r a n s m i s s i o na n d d i s t r i b u t i o ns y s t e m s ，e n h a n c et h es t a b i l i t ym a r g i n ，t h ea l g o r i t h mc a l c u l a t i n gt r a n s f e r c a p a b i l i t ys h o u l ds i m u l a t e t h ea c t u a lo p e r a t i n gp r o c e s so f a p o w e rs y s t e m a ss o o da s p o s s i b l e s oa st oo b t a i nt h em a x i m u mt r a n s f e rc a p a b i l i t y t h i s p a p e ra n a l y z e d t h e a d v a n t a g e s a n dd i s a d v a n t a g e so ft h e p r i m a l - d u a l i n t e r i o r p o i n tm e t h o da n d t h ec o n t i n u a t i o n p o w e rf l o w m e t h o du s e df o rt h e c o m p u t a t i o no fp o w e rs y s t e m t r a n s f e rc a p a b i l i t yr e s p e c t i v e l y , t h e np r o p o s e da n i n t e g r a t i v ec o m p u t a t i o nm e t h o d i tu s e st h ep r i m a l - d u a li n t e r i o rp o i i l tm e t h o d t og e t t h eo p t i m a lg e n e r a t i o nd i s p a t c h i n gd i r e c t i o n ，t h e nu s e st h ec o n t i n u a t i o np o w e rf l o w m e t h o dt ot r a c et h ec h a n g i n gc o u r s eo fe v e r yd i s c r e t ee v e n t s ，c o n t r o l st h e mt oc l o s e t ot h eo p t i m a lv a l u e s ，s ot h a tm o r et r a n s f e r c a p a b i l i t y i sa c h i e v e d t h er e s u l t so f i e e e 1 4 ，3 0 ，1 1 8b u s e ss y s t e mt e s tc a s e sa r ep r o v i d e d i ti ss h o w n t h a tt h ep r o p o s e da l g o r i t h mc a nn o to n l ya r a l nl a r g e rp o w e rt r a n s f e rc a p a b i l i t y b u t a l s os i m u l a t et h ea c t u a lo p e r a t i n gp r o c e s so fap o w e rs y s t e m i ti sa ne f f e c t i v e i m p r o v e m e n t o f t h e g e n e r a l c o n t i n u a t i o np o w e rf l o w a l g o r i t h m k e y w o r d s ：t r a n s f e r c a p a b u i t y , p r i m 小d u a l i n t e r i o rp o i n tm e t h o d ，c o n t i n u a t i o n p o w e r f l o wm e t h o d 2 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 美国东部时间8 月1 4 日下午，美国东北部和加拿大部分地区突然发生大规模 停电事故以发达著称的北美在2 l 世纪的今天，继加州电力危机之后又发生如此 大范围、长时间的停电事故，引起了当地许多人的恐慌，停电影响了地铁、电梯 以及机场的正常运营，世界金融之都纽约各项交易受影响，一些重要的体育比赛 因此推迟，各地空中和陆地的交通中断，一些地方造成了交通拥堵，给成千上万 市民的工作和生活造成了极大不便。美国经济学家1 5 日预测说，这次美国历史 上规模最大的停电事故所造成的经济损失每天可能多达3 0 0 亿美元。美国停电事 故引起全世界的震动，电力系统的稳定性作为一个同人民生活和经济发展息息相 关的话题又一次引起人们的重视。 电力系统稳定一般按电力系统承受干扰的能力分为静态和暂态稳定两大 类，其中静态稳定性又包括功角稳定和电压稳定，本文所涉及到的是电力系统的 电压稳定。 电压稳定是电力系统稳定的重要组成部分，系统的最大负载能力指标因能 较好地反映电力系统的电压稳定水平而受到电力界的广泛重视。特别是随着现代 电力系统的发展及逐步市场化，系统输电能力成为一项重要的评估和交易指标。 它的确定不仅能指导系统调度人员的操作，保证系统安全可靠运行，具有技术方 面的价值，同时输电能力也具有市场信号的作用，能为各参与者在电力市场下的 商业行为提供参考。如何计算互联电力系统区域间的功率传输能力，以便在满足 系统安全性与可靠性的约束条件下，充分利用现有输电网络的输电能力，最大程 度保证各区域用电负荷的需求成为电力系统界亟待解决的研究课题。 1 1 1 输电能力的定义 系统输电能力是指在特定的系统运行情况下互联的电力系统通过区域间的 所有联接线将电能可靠地由一个区域输送到另一区域的能力。 4 第一章绪论 系坑b 系坑c 圈1 1 互联系统简化网络图 如图1 1 中所示，由子系统a 到子系统b 的输电能力可以通过如下方法得到 【l 】：在系统其它条件不变，并且考虑系统内主要的几种单一故障的情况下，调整 两子系统的发电量( 或负荷水平) ，使得子系统a 中发电量存有剩余而子系统b 中的发电量不足，于是在整个系统中将很自然地产生由子系统a 到子系统b 的 电能传输，持续进行上述的调整直至系统内某一个设备或系统不满足安全运行的 约束条件，此时两子系统间的输电量就是在该运行情况下两子系统间的总输电能 力，其中包括经由子系统c 传递到子系统b 的电能。 根据北美电力系统可靠性委员会( 简称n e r c ) 给出的定义【1 2 j ，所谓一系统 两区域间的输电能力，是指在满足至少下述约束条件下，通过两区域间的所有输 电回路，从一个区域向另一个区域可能输送的最大功率。 ( a ) 在无故障发生的正常方式下，系统中所有设备( 包括线路) 的负荷及电 压水平在其额定范围内。 ( b 在系统中单一元件( 如输电线、变压器或发电机等) 停运的故障条件下， 系统应能够吸收动态功率震荡，维持系统的稳定性。 ( c ) 当中描述的事故发生且系统功率震荡平息后，在调度员进行故障相关 的系统运行方式调整之前，所有设备( 包括输电线) 的功率及电压水平应在给定 的紧急事故条件下的额定范围内。 ( d ) 若在正常情况下所求得的输电能力小于考虑任何一个单一故障时所求 得的输电能力值，则最终结果将以正常情况时的为准； ( e ) 在特殊情况下，求解系统输电能力时还可以适当的考虑多重故障。 事实上，n e r c 给出的定义是“第一故障传输能力”，简称f c i t c ( f i r s t c o n t i n g e n c ym c r 锄e n t a lt r a n s f e rc a p a b i l i t y ) ，即通常所说的满足n 1 故障校验的 传输能力。 第一章绪论 从n e r c 给出的定义不难发现确定电力系统区域间功率输送能力的复杂性。 这一问题不仅要考虑系统电压水平和线路负荷水平等静态安全性约束条件的影 响，而且要考虑稳定性这样的动态约束条件；不仅要考虑系统的正常运行方式， 而且要考虑各种故障情况的影响网。具体来讲，计算系统输电能力通常是用计算 机模拟在特定的运行条件下互联电力系统的运行情况来得到的，在计算中必须考 虑如下一些因素【2 j = 夺用户负荷特性：在进行计算时，基态负荷水平必须与待研究的用户负荷 水平相适应，必须能代表各个时间段的负荷特性； 夺发电机调度方式：在计算时必须按照系统实际情况来模拟工作机组与备 用机组的出力与调度方式，在必要时还应该考虑发电机的能力曲线问 题： 夺系统网络结构：在计算中必须准确地模拟出基态情况下互联系统网络的 各种特性，其中包括对系统内任意设备退出运行以及对改变运行方式时 系统相应变化的模拟： 夺预约输电服务：在计算中必须考虑已经由交易双方确认的预约输电服务 对输电能力的影响： 系统故障：在计算中必须根据实际系统需要对相应的故障进行分析，找 出对输电能力影响最大的故障，在某些情况下还应该适当考虑多重故障 发生时系统的状况。 系统输电能力的准确求解对电力系统有重要的意义： 夺在电力市场环境下。系统输电能力的大小是电力交易双方需要确切掌握 的基本数据。它将影响到发电服务、输电服务分析等环节。输电能力的 确定对于约束电力交易行为，保障公共电网安全具有积极作用。 夺输电能力研究可为电力网络规划提供辅助测评手段。输电能力的大小直 接反映了电网的安全性、可靠性，以及互联电网的联接强度和结构的优 劣。通过对输电能力的准确求解，可以为电冈规划设计部门及审批部门 提供量化的辅助性测评标准。 夺输电能力的实时求解对于电力系统运行调度部门具有重要意义。通过计 算，可以及时掌握系统目前运行情况，合理调度各区域间的资源，合理 利用现有设备的传输能力，避免危及全网的恶性事故发生。 1 1 2 输电能力的求解方法 输电能力研究已有3 0 多年的历史，早在7 0 年代国际学者就开始研究输电 能力的计算方法。早期研究主要集中于静态安全约束，如线路过负荷、电压越限 6 第一章绪论 等，运用的方法主要有概率法【4 】、线性规划法【5 】等。近年来大电网稳定破坏事故 的频频发生，特别是几次重大的电压稳定破坏事故的出现，使人们不得不重新考 虑输电能力的定义。根据考虑的稳定性约束类型不同，输电能力研究可分为考虑 功角稳定与考虑电压稳定两种情况，后者又可分为暂态电压稳定与静态电压稳 定。本文所涉及的是考虑静态电压稳定性约束的输电能力研究。 目前常用的计算输电能力的方法是连续性潮流方法 6 - 9 ( 简称c p f f l o w 法) 和最优潮流法 1 0 - t 3 l ( 简称o p f 法) 。 连续性潮流方法是一种有效追踪p v 曲线的非线性方法，它通过在常规潮流 方程中添加连续性参数，巧妙地解决了常规潮流计算方法( 如牛顿法、快速解耦 法等) 中雅克比矩阵在方程鞍结分叉点处奇异的难题，并能考虑一定的非线性控 制及约束条件。有较强的鲁棒性【6 】。此方法因其可靠性成为静态电压稳定性问题 的常规求解方法之一。 o p f 法是将系统输电能力的求解问题转化为求解满足系统潮流方程等式约 束和其它一些不等式约束( 如系统的各种运行约束和物理设备约束等) 的情况下 系统的最大负载能力【1 1 ，”】问题，目前比较先进的技术是原一对偶内点法 i o , 1 3 。这 类方法最大的优点是可以通过优化技术获得待研究设备的最佳状态，不足之处是 无法给出如何通过操作由系统现有状态切换至最优状态【1 3 1 。 1 2 本文工作及结构 本文所作的主要工作： 1 、对系统输电能力的基本概念及基本的计算方法进行了描述； 2 、简单介绍了连续性潮流方法计算系统输电能力的数学模型和基本原理 3 、详细介绍了原一对偶内点法的基本原理及它在输电能力计算中的应用 进行了公式推导和程序实现，并用算例证明了其有效性。 4 、分析了原一对偶内点法和连续性潮流方法在计算输电能力上的优缺点 提出一种计算输电能力的综合算法。 本文的基本结构： 本文第二章介绍了连续性潮流，包括连续性潮流的基本原理与算法流程， 这是输电能力计算的基本工具。第三章较详细地介绍了最优潮流中原一对偶内点 法的基本原理，建立了用此方法计算系统输电能力的数学模型并进行了公式推导 和程序实现，而且用试验证明了该方法也是求解电力系统电压稳定临界点的一种 7 第一章绪论 高效算法。第四章总结分析了前两章所介绍的两种方法各自的优缺点，在此基础 上，利用原一对偶内点法的优化结果和连续性潮流能够追踪系统运行过程中各离 散事件变化细节的特点，提出了一种将二者结合的综合算法，并用试验表明此方 法是对常规连续性方法的改善。第五章进行全文总结。 ， 8 篁三童薹王垄堡竺塑煎查鲨塑塑皇堕垄盐兰一 第二章基于连续性潮流方法的输电能力计算 2 1 系统输电能力计算模型 在第一章中已经提到，本文所涉及到的是静态电压稳定性相关的输电能力研 究。输电能力的计算模型可以这样来描述： 根据参考文献【1 4 】含单一参数的电力系统微分代数方程式可用式( 2 1 ) 表示： 量。f ( x ，y ，a ) ( 2 1 ) o ( x ，y ，五) = 0 其中，x r “表示微分状态变量，y r ”表示代数状态变量，卫r 是一个与输 电能力相关的参数。 当满足如下两个基本假设条件时，式( 2 1 ) 对应的电力系统电压稳定问题可 以近似用系统的静态模型来描述，即方程( 2 1 中的微分方程j c = f ( x ，j ，五) 近似 等于0 ，此时的系统输电能力问题只需要考虑潮流方程鞍结分叉问题“”： 假设1 系统的阻尼作用足以消除h o p f 分叉“”的出现； 假设2 忽略大扰动对系统稳定的影响，认为系统是暂态稳定的( 包括暂态功角 稳定和暂态电压稳定) 。 为求解式( 2 1 ) 中所描述系统的鞍结分叉问题，可将其用式( 2 2 ) 的参量形式 来描述： f ( x ，丑) = g ( x ) + 肋= 0 ( 2 2 ) 其中： g q ) = 器 表示节点流出的有功及无功功率，g ( x ) = 。就是常规的潮流方 程； 。= 荟：占： 表示节点注入功率变化方向； 五为母线注入条件数，当五= 0 时，式( 2 2 ) 与系统基态运行条件相对应5 当旯 0 时，式( 2 。2 ) 与系统沿方向d 变化后系统的某一运行条件相对应。由于 系统输电能力和母线注入条件数之间存在的近似线性关系，系统输电能力的求解 可以转化为求解满足各约束条件时z 的极值问题： 9 第二章基于连续性潮流方法的输电能力计算 m a x ：母线注入条件数五 约束条件： 正常运行条件下 ( 1 ) 潮流方程：f ( x ，丑) = g c x ) + 2 1 ) = 0 ( 2 ) 电压限制：i 。s v 。 ( 3 ) 设备热稳定限制：l s i s 。 ( 4 ) s n p 约束：h ( x ，五) = 0 单一故障条件下 ( 1 ) 潮流方程：f ( x ，兄) = g ( x ) + a d = 0 ( 2 ) 电压限铝4 ：v m m v s 。 ( 3 ) 设备热稳定限制：l s i s ( 4 ) s n p 约束：h ( x ，丑) = 0 其中，s n p 约束是指由鞍结分叉所对应的电压稳定性约束方程，h ( x ，五) = 0 表 示由鞍结分叉点决定的条件方程。 2 2 连续性方法计算模型 在输电能力研究中，p v 曲线的准确求取对于计算功率传输极限具有重要意 义。一个实际电力系统，当负荷水平逐渐加大时，系统的运行点将接近鞍结分叉 点。此时，常规潮流计算方法涉及的雅克比矩阵接近奇异，这将导致潮流计算失 败。连续性潮流计算就是为了克服常规潮流计算方法( 如牛顿法、快速解耦法) 出现病态这一问题而提出的，此方法因其可靠性成为静态电压稳定性问题的常规 求解方法之一。目前使用连续性方法求解系统输电能力的算法有c p f l o w 、v s t b 等。本章对区域比例负荷增长方式下的连续性潮流计算数学模型及算法流程作了 详细阐述。 连续性方法的大致过程如下：假定式( 2 2 ) 的维数为n ，则它是由n 个方 程，n + 1 个变量组成的非线性方程组，其解在n + l 维空间上定义了一个一维曲 线x ( z ) 。连续性潮流计算方法要解决的问题就是从一已知点( ，o ，妒) 开始，在所 需要的参数变化方向上获得x c , t ) 曲线上一系列的点( x ，) 。最常用的连续性方 法为预测校正方法，其主要思想是：在已知x ( 旯) 曲线上的点( zr ，) 的情况下， 用简单方法获取下一解点的近似点( x ”1 ，“) ，然后以该近似点作为初始点，采 用一些非线性方程的求解方法获得下一解点的准确解( z ”1 ，爿“) 。反复执行上述 过程即可完成整个p v 曲线的求取。其中获得点( x ”1 ，爿“) 的过程为预测过程，获 得点( x “1 ，矿1 ) 的过程为校正过程。 1 0 第二章基于连续性潮流方法的输电能力计算 具体来说，可将连续性潮流方法分为以下几个环节：方程参数化、预测环节、 校正环节、步长控制。下面分别加以介绍： 2 。2 1 方程参数化 在连续性潮流方法中，方程参数化有两方面盼含义：一是如何选择控制参数 以有效区分稳态解曲线上各点的先后顺序；二是通过参数化方程的建立，克服方 程在鞍结分叉点处的病态。连续性方法不对式( 2 2 ) 单独求解，而是求解下述 扩展方程： ，他，五) 2 0( 2 3 )、二j ， l 尸( x ，z ) = 0 式( 2 3 ) 中的第二个方程即参数化方程，是一维方程式。作为一个参数化 方程，需要满足一个重要的条件，即能够保证最终形成的扩展方程的雅克比矩阵 方程( 2 4 ) 在潮流方程的鞍结分叉点处非奇异。 m = 黑象嬲习 旺4 ， 控制参数选择的方法有多种，对于选定的控制参数，其参数化方程的建立也 不是唯一的。事实上，满足上述条件的函数p ( x ，z ) 都可以用于建立参数化方程。 但不同参数化方程所构成的连续性潮流算法的计算效率将会有一定的差异。在目 前所采用的连续性潮流算法中，有两种最为典型的参数化方法： 2 2 1 1 局部参数化方法 以状态向量z 的某一分量也作为参数，随解的变化，所选取的参数也可以相 应变化，此时的参数变化步长为缸。，参数化方程可选取为： p ( xj 爿) = ( 工：一z ：“) 2 一厶= 0 ( 2 5 ) 即当沿解曲线从o “1 ，爿。1 ) 向( x ，爿) 点过渡时。作为控制参数的状态x 的分量 x 。的变化量应保持为其步长值缸。不变。 在电压稳定性分析中，当采用这种参数化方法时，常选取求解过程中电压下 降最快的节点( 又称主导节点) 电压作为控制参数。文献【1 7 】介绍了一种只以 尸q 母线电压做参数的参数化方法，该方法具有能根据p v 曲线的形状自动调节 步长大小，追踪效率高，收敛速度快等优点，是一种计算系统输电能力的好方法。 2 2 1 ，2 弧长参数化方法 以解曲线的弧长s 作为控制参数，此时的参数变化步长& 为： 第二章基于连续性潮流方法的输电能力计算 厂。 i a s = i ( x 八i s ，一x ，i - 1 ( s ) ) 2 + ( z ( s ) 一爿。( s ) ) 2 l l j = l j 对应于弧长控制参数，一种参数化方程可选取为： l r 。1 - p ( x 。，旯) = l ( x ；c s ) - 巧1 ( s ) ) 2 + ( 爿( j ) 一爿。1 ( s ) ) 2 卜a s = 0 ( 2 6 ) l ，z 1j 上式的含义为：当沿解曲线从( 工。1 ，爿- 1 ) 向( x ，z ) 点过渡时，作为控制参数 的解曲线弧长增量保持为相应的步长值厶不变。 弧长参数化方法已经在c p f l o w 、v s t b 等一些程序中得到了应用，被证明是 一种十分可靠的方法。 2 2 2 预测过程 预测过程的目的是由已知解出发为下一步校正过程的准确解寻找一个良好 的近似解，该近似解的质量将直接影响到校正过程所用到的迭代次数。如果近似 解和准确解之间的误差很小，那么校正环节只需要几次迭代就可以找到准确解： 否则，有可能多次迭代才能收敛，甚至不收敛。因此，预测环节的结果将直接影 响到整个连续性方法的计算效率。 预测环节常用的方法是切线法和插值法。下面先介绍一下两种方法的思路： 1 、切线法： 应用切线法，首先要求计算扩展方程式( 2 3 ) 中每一个状态变量而，x ：，x 。 以及参数 对于控制参数的导数。以弧长控制参数为例，首先将式( 2 2 ) 对该 控制参数求一阶导数可得： i - 1 r d r i 譬，竿i ：o ( 2 7 ) 式中，d ，= 盟盟笪盟 敏1 缸2缸。 觐 ；： !； 兢既玑既 瓠l 缸2缸。觑 假定以式( 2 6 ) 作为参数化方程，则可以得到： ( 2 + ( 争2 + ( 2 = c 2 8 ) 将式( 2 7 ) 和式( 2 8 ) 联立求解，可得所要的各个导数。 切线法以系统解轨迹中第i - 1 点上状态变量及参数五对于弧长j 的导数构成 第二章基于连续性潮流方法的输电能力计算 方向向量，以血为步长预测的第i 点( ，矛) 如下： 弛矿1 罢f 矿。， 孔舻l + 缸警h “- ) 2 、插值法： 当已经求得系统稳态轨迹上的前m 点后，可不必像切线法那样通过复杂的 计算得到下一步的预测值，而是通过简单的多项式插值法预测，这样可以在保证 计算精度的前提下提高计算速度。 假定选择弧长为控制参数，利用前两次计算的结果( x j - 2 , 名。) 与g 1 ，爿- 1 ) 求 解近似值( - j ，矛) 的两点插值公式为： i ，刀) = ( x i - i ) 爿- 1 ) + j “一工“，爿一一名2 ) 切线法是一种单步法，可以自启动。插值法则需要前两步的计算结果，因此 需要其他方法作为启动算法。因为插值法在求解曲线曲率较大情况下的预测效果 不如切线法，下面将以切线法( 采用局部控制参数) 为例来说明预测过程的实现： a 计算切向量 要求曲线f ( x ，五) 。o 在( x ”，) 点处的切向量，可对f ( x ，z ) 求导得： 口r ( 囊丑) = 正d r + d 2 = 0 ( 2 9 ) 转化成矩阵形式为： 阢厶】陶= ” ( 2 1 0 ) 式中正r ，厶寅“1 ，d x = 陋l ，出2 ，d x 。r 式( 2 1 0 ) 为切向量陋i ，d x 2 ，d x 。r 所应满足的方程。但由于其中n + 1 个变 量只有挖个方程，所以无法直接求解，需要增加一维规范化方程。可令 d r 。= 1 ( p = 1 , 2 ，n ) - 与式( 2 1 0 ) 联立得： h 厶 刹! 。 娩， 式中，p ，是九+ 1 维行向量，除第p 个元素为1 外，其他元素均为0 。正负号是 用来指定曲线追踪方向的，若希望在追踪方向上x 。减小，则取负号，否则取正 号。 b 选取连续睦参数 第二章基于连续性潮流方法的输电能力计算 为避免方程( 2 1 1 ) 出现病态，b 应该选择当前变化最大的量。如下所示 求p 满足： 蚓= 嘹 第一步预测时连续性参数还未知，一般选择烈= 1 。经过验证，这种方法对 电力系统连续性潮流计算来说是适用的“。 2 2 3 步长控制过程 确定步长盯，并计算预测初值 吲甾h 劫 步长的选择需要兼顾效率和收敛性。选择小的定步长对任何连续过程都适 用，但会降低解曲线的追踪效率；过大的给定步长又可能导致解的不收敛。目前 并没有统一的步长控制方法，需要根据实际情况进行调整。 2 2 4 校正过程 根据校正方程的不同，校正方法可以分为局部校正与弧长校正两种。 ( a ) 图2 1 校正格式原理图 ( b ) a 局部校正法 局部校正格式如图2 1 a 所示，它增加的一维校正方程为x ，一x ：- - 0 ，与 f ( x ，a ) = 0 联立得： jf ( x ，筘o ( 2 1 3 ) 【x p x ：= 0 、1 3 式中x ，为预测环节选出来的连续性参数，霹为预测得到的初值。 1 4 旨r 第二章基于连续性潮流方法的输电能力计算 根据初值( x c ”，1 ) 利用牛顿迭代法解非线性方程组( 2 1 3 ) 的步骤如下： ( 1 ) k = 1 ( 2 ) 根据( x ( “，) 判断是否满足收敛条件i l ，( x “，) 4 o ，j = 1 , 2 ，z 等式( 3 1 ) 右端第二项称为障碍项，易见，在r 的边界上( 至少有一个 g ，( x ) = 0 ) ，芦 ，) 为正无穷大。 以称为障碍因子，随着迭代的进行，障碍因子逐渐减小，障碍顼所起的 作用也越来越小，求出的m i n p ( x ，k ) 的解x 吨) 也逐渐逼近原问题的极小解 在极小解处= 0 。若原来问题的极小解在可行域的边界上，则随着丘 的减小，障碍作用逐步降低，所求出的障碍函数的极小解不断靠近边界，直 至满足某一精度要求为止。 3 3 2 原一对偶内点法的基本原理 原一对偶问题 原一对偶内点法是基于对数障碍函数方法的，其特点是在保持解的原始可行 性和对偶可行性的同时，沿着一条原一对偶路径寻找最优解。 首先考虑一个具有变量不等式约束的线性问题： m i nc t x s t a x = 6 ( 3 2 ) ，x 茎“ 通过引入松弛变量将变量不等式约束转化为等式约束，并对原目标函数施加 一个对数障碍函数，原问题可以表示为： m i n c t x - s f f l n j 。，+ l n s 2 j s t a x = 6 x 一马= ，( 3 3 ) x + s = 群 & o ，5 2 0 2 5 墨三童董王塑盛鎏塑塑皇丝垄生兰 其中， ，s ，s ：) 为原变量。 对应于该原问题构造其对偶问题为： m a x 一陋7 石+ ，7 而+ u t r - 2 】 s t a r 石+ 万l + 石2 = - - c ( 3 4 ) , r t 1s o ，疗2 0 其中，( 石，曩，盯2 ) 为对偶变量。 构造拉格朗日函数为： l = c 7 工+ 万7 池一6 ) + 砰。一s 1 一，) + 石；( x + s 2 一“) 一【i n s l f + l n 占2 ，】 l i if i l 、 ， ( 3 5 ) 其中， 0 为障碍因子。 根据优化理论，在最优点处应该满足k k t 一阶优化条件，即： a x - b = 0 ( 3 6 a ) x 一丑- 1 = 0( 3 6 b ) 工+ s 2 一“= 0 ( 3 6 c ) a r 石+ 厅l + 万2 + c = 0 ( 3 6 d ) 【黾k + z e = 0 ( 3 6 e ) s 2 】石2 一，站= 0 ( 3 6 f )( 3 6 ) 其中，k 1 ，i s ：1 分别是由s 。s ：。构成的对角矩阵。 对比式( 3 6 ) 和式( 3 3 ) 、( 3 4 ) 可以发现：该一阶k k t 条件由三部分组成，式 ( 3 6 a ) 、( 3 6 b ) 、( 3 6 c ) 为原始可行条件，式( 3 6 d ) 为对偶可行条件，式( 3 6 e ) 、 ( 3 6 0 为补偿松弛条件。由此可见，原一对偶内点法在线性问题的寻优过程中 既考虑了问题的原始可行性，同时又考虑了相应对偶问题的可行性。 在此，进一步给出非线性问题的表示。假设非线性问题的优化模型为： m i n ( 力 s t g ( x ) = 0 z z u ( 3 7 ) 对于该原问题同样引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，同时 引入对数障碍函数，构造拉格朗日函数为： l = f ( x ) + 7 r 7 9 ( 曲+ 可( x - - $ l d 十万；o + 占2 一甜) 一芦【i n s l ，+ i n s 2 i = 11 = 1 ( 3 8 ) 2 6 第三章基于内点法的输电能力计算 其中，s l 0 ，s 2 o ，石i o ，1 2 0 。 由k k t 一阶优化条件得： g ( = 0 ( 3 9 a ) x 一且一z = 0( 3 9 b ) x + s 2 一“= 0 ( 3 9 c ) v f ( x ) + j 7 ( x ) 石+ 筇1 + ，r 2 = 0( 3 9 d ) h 】石l + , u e = 0 ( 3 9 e ) j 2 】厅2 一, u e = 0 ( 3 9 f )( 3 9 ) 由式( 3 9 ) 同样可以发现：该阶k k t 条件由三部分组成，式( 3 9 a ) 、( 3 9 b ) 、 ( 3 9 c ) 为原始可行条件，式( 3 9 d ) 为对偶可行条件，式( 3 9 e ) 、( 3 9 。f ) 为补偿松弛 条件。由此可见，原一对偶内点法在非线性问题的寻优过程中也同时考虑了问题 的原始可行性和相应对偶i - 1 题的可行性，这是原一对偶内点法的特点之一。 迭代步长的选择 对于式( 3 9 ) 的非线性系统，采用牛顿法求出搜索方向： a s l2 a x a s 25 一a x a x 】= 一【曲】1 ( i s 】拓i + g e + 【巧】a x )( 3 1 0 ) a i r 2 = - i s 2 】。( p 2 】厅2 一r e + 【厅2 l a x ) 乞 = 一4 。1 g ：， 其中： 4 ：f 膏( z ，石) 一，7 ( 工) l j ( x ) 0j 疗( x ，刀) = h ( x ，石) 一 丑】一1 石i 卜i s 2 】一1 玎2 】 t t ( x ，霈) 之v ，2 ，( x ) + 石7 v ，2 9 ( 工) t = v ，厂( x ) + ，r ( 工) 厅+ 万1 + 石2 - i s l 】一1 ( p i 】石l + ，埠) 一i s 2 】一1 ( p 2 万2 一工地) 在求得搜索方向后，步长通过下式求出： 旷i i l i n h r a i n 番旭 0 时，口p 可以取任意正数：而当a s l 0 时，必须保证 s k + l = s ? + a ；厶? o ， 即a ：蔷。同理，当血： 。时，必须保证 s ：k + l 鸹k + a 斛地耻：蔷，所以 驴m i n m 协啬山 o 幽意舢， 0 时，必然有心： 1 。，说明i 缸：i s ：，由式( 3 1 。) 知，a x = i a s ：i 5 2 ，故取口，= 1 0 ，使得x “= x + 口：a x ”，从而保证x “为 内点。为此取： 驴m i 删：m 洫毒鸠， 0 ，s 。 0 ，将不等式约束转化为等式约束，得 3 0 篁三重堑堕盛鲨堕笪皇壁垄盐簦 矗( x ) 一s ，= ， f 3 ，2 3 ) ( x ) + s 。= ” g 2 4 ) 对原目标函数施加一个对数障碍函数，并用拉格朗日方法处理等式( 3 2 1 ) 、 ( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 得到增广的目标函数： 三= 一五+ 厅7 9 ( z ，五) 一一7 ( ( x ) 1 一o - 以r ( ( x ) + 旷”) 一羔1 1 1 一1 n 盘。， 其中石为等式约束的拉格朗日乘子向量，乃，死为毛，吒的对偶变量，必须保 让厅， o ，石。 o 为障碍参数，m 为不等式约束的个数，则其一阶 k u h n t u c k e r 条件是： v l = 一1 + v j 9 7 ( x ，丑) 石= 0 v ，三- v r 7 酏五) 万一v ，7 五啉一v ，r h ( x ) n = o v 日三= - , u s , e + 石，= 0 v l ；一属一卜, r g 。= 0 v 上= 一 ( x ) + s ，+ ，= 0 v 珥工= 一厅( 砷一占。+ = 0 v ，l = g ( x ，彳) = 0 整理化简后，得 r = 胁巧锄z 磅一形勿重坊= 0 v 。e = g ( x ) + 2 1 9 = 0 v _ l = - 1 + d 7 万= 0 可s j l ；一添_ e 耳? = 0 v l = 一绒e 一石。= 0 审所l = 一 ( 曲+ + ，= 0 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) r 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) v 靠= 一五0 ) 一s ”1 + “= 0 f 3 3 1 ) 薏中v 聋孽度符号， s i 表示由松弛变量屯作对角元组成的对角矩阵， p 2 1 , 1 ，i 7 为m 维单位列矢量。 。要亭竺竺竺莹处理上述方程组时得到一高维方程组【l3 1 ，这里采取变量分离， 以减小方程维数。对式( 3 2 5 ) - - - ( 3 3 1 ) 用牛顿法可得如下转移方向： 一” 第三章基于内点法的输电能力计算 其中 刘 ( 3 3 2 ) a s ，= v ，矗( 工) x + h ( x ) 一s ，一， a s 。= 一v ；h ( x ) a x 一1 l ( x ) 一5 。+ “ a 石，= 脚s ，p 一万，一s l - l i i ，s ，( 3 3 3 ) 石。= 一脚s 。- 1 p 一万。一s 。一i i 。a s 。 厅= v2 9 r ( x ) 石一v2 h r ( x ) ( 石f + 石。) + v ；r ( 曲( s f i ，一瓯h 。) v ， ( x ) t = _ v 。r g ( x ) x + v f 自( z ) ( # d f p 一，6 u - i e ) 一v ，7 h ( x ) s t q f l ，( _ l l ( 工) 一s f j ) 一s u 1 7 。( 矗( x ) + s 。一“) 】 ，表示潮流方程的雅克比矩阵v ，g ( x ) v ，2 9 ( z ) 和v ，2 ( x ) 分别表示等式和不等式约束的海赛矩阵 铲；2 9 - - z 7 t i v x 2 9 i ( ， v f ( 工) = ( 疗，+ 万。) v ，2 ，( x ) f t l n 为等式约束的个数，m 为不等式约束的个数。 求解修正方程组( 3 3 2 ) ，得【缸，