（计算机应用技术专业论文）关于贴近度的性质及一个新公式.pdf

西南大学硕士学位论文 摘要 量曼皇曼! m _ m _ mm _ m _曼皇曼!曼量曼曼曼曼皇曼! 曼曼鼍曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼! ! ! 曼 关于贴近度的性质及一个新公式 计算机应用技术专业硕士研究生：黄艳艳 指导教师：邓辉文教授 摘要 模糊数学是架设在精确的经典数学与充满了模糊性的客观世界之间的一座桥梁。模糊数 学的基础就是模糊集合论。在1 9 6 5 年，模糊集合这一概念是由美国自动控制论专家l a z a d e h 1 】 在他的开创性论文“f u z z y 集合”中首次提出的。贴近度与模糊度是模糊集合中至关重要的两个 概念。 贴近度是描述两个模糊集合相似或者贴近程度的一个重要数量指标，它最早由我国学者 汪培庄教授提出，并给出了格贴近度的计算公式2 1 。罗承忠3 冶出了若干种贴近度的具体计算 方法。 模糊度是描述一个模糊集合的模糊程度的数量指标，它最早由d e l u c a 和t e r m i n i 4 】引入， 并给出了它的定量描述公理。 本文主要讨论了贴近度与模糊度的一般性质，研究贴近度与模糊度两者之间诱导关系， 得到了个新的贴近度公式。主要工作如下： 1 _ 模糊度与贴近度的相互诱导关系 深刻理解贴近度与模糊度的公理化定义，讨论了它们的基本性质，如对称性、包含性、 真包含性以及模糊度的不一致性等。从它们的定义得出贴近度与模糊度有着一定的联系，给 出已知的模糊度e 可以构造出贴近度g ，并且这样的方法不唯一。本文给出它们两者之间的新 的诱导关系，基于模糊度来表示贴近度的定理，基于贴近度来表示模糊度的定理，并证明它 们成立。给出了两种关系各自的推论，也就是它们刻划关泵的推广。这些结果可在模式识别、 决策科学中得到应用。 2 构造新的贴近度公式 贴近度公式多种多样，比如海明贴近度、欧式贴近度、格贴近度等。在实际问题中选择 更好的贴近度公式会对解决实际问题起到事半功倍的作用。由海明贴近度公式得到启发，改 进海明贴近度公式得到了一个新的贴近度公式，并证明它符合贴近度的公理化定义，证明它 满足贴近度的公理化定义。 3 新公式的具体应用 改造得出的新贴近度公式，较之以前的各种贴近度公式，解决了它们不能解决的问题， 西南大学硕： 学位论文 摘要 分辨能力明显增强。用特殊具体的实际例子说明，并用一般化的例子来说明这个新公式同样 也能应用于其他一般情况。由新的贴近度公式推出一个推论公式，推论满足贴近度的公理化 定义，最后研究新的贴近度公式和推论公式在模式识别中的良好应用。 关键词：模糊集模糊度贴近度 西南大学硕十学位论文a b s t r a c t 皇鼍曼皇皇! 曼! 曼曼曼菖皇曼量曼皇曼鼍曼皇量鼍曼曼鼍皇曼量皇曼蔓毫曼曼曼皇曼曼鼍皇曼寰ml 舅皇曼! 舅 t h en a t r u eo fs i m i l a r i t ym e a s u r ea n dan e wf o r m u l a m a j o r ：c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt e c h n o l o g i e s r e s e a r c hd i r e c t i o n ：a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c ea n d i n t e l l i g e n c e c o n t r o l s u p e r v i s o r ：p r o f d e n gh u i w e n a u t h o r ：h u a n gy a n y a n a bs t r a c t t h ef u z z ym a t h e m a t i c si sab r i d g eb e t w e 饥t h ep r e c i s ec l a s s i c a lm a t h e m a t i c sa n dt h eo b j e c t i v e w o r l dw h i c hh a sf i l l e df n z z i l l e 懿f u z z ym a t h e m a t i c s f o u n d a t i o ni st h e 呦s e t t h e o r y i n1 9 6 5 ，t h e c o n c e p to f 昀s e tw a sb r o u g h tf o r w a r db ya m e r i c a na u t o m a t i cc y b e r n e t i c se x p e r tl a z a d e hf o r t h ef i r s tt i m ei nh i sg r o t m d b r e a k i n gp a p e r - “t h ef u z z ys e f a n dt h es i m i l a r i t ym e a s u 陀a n dt h e m e a s u r eo ff u z z i n e s s 疵i nt h ev e r yi m p o r t a n tt w oc o n c e p t si nf u z z ys e t s t h es i m i l a r i t ym e a s u l i sai m p o m n tq u a n t i t a t i v ei n d e xw h i c hd e s c r i e st w of u z z ys e t ss i m i l a r o r ad r a w i n gc l o s et od e g r e e ，i tp r o p o s e df i r s tt i m eb yo u rc o u n t r ys c h o l a rp r o f e s s o rw a n g p e i z h u a n g ， a n dt h el a t t i c ec l o s e - d e g r e ef o r m u l a f l 】i sg i v e n l u oc h c n g z h o n g 【2 】h a sg i v e nk i n d so fs i m i l a r i t y m e a s u r ef o r m u l a s t h em e a s u r eo ff u 2 z i n e s si saq u a n t i t a t i v ei n d e xw h i c hd e s c r i b e sa 蛔s e t sf u z z yd e g r e e ，i t w a si n t r o d u c e df i r s tt i m eb yt e r m i n ia n dd e l u e a 【3 】，a n di t sq u o t ad e s c r i p t i o na x i o mi s g i v e n t h i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e st h eg e n e r a ln a t u r eo fs i m i l a r i t ym e a s u r ea n dt h em e a s u r eo f f u z 凼c s s ，s t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e ns i m i l a r i t ym e 豳t u ea n dt h em e a s u r eo ff i z , z i i l e s s ，a n dl a s t o b t a i n e dan e ws i m i l a r i t ym e a s u r ef o r m u l a t h ep r i m et a s ki sa sf o l l o w s ： 1 t h er e l a t i o n sb e t w e e ns i m i l a r i t ym e a s u r ea n dt h em e a s u r eo ff u z z i n e s s w es t u d yt h ea x i o m i z a t i o nd e f i n i t i o no fs i m i l a r i t ym e a 鲫】r ea n dt h em e a s u r eo ff u z z i n e s s p r o f o u n d l y , a n dd i s c u s s e d t h e i rb a s i c p r o p e r t y , s u c h 笛t h es y m m e t r y , c o n t a i n s ，f u l l c o n t a i n s , n o n c o n s i t e n c yo fm e a s u r eo ff u z z i n e s sa n ds oo n w ef o u n dt h a tt h e r ea r es o m e r e l a t i o n s b e t w e e ns i m i l a r i t ym e a s u r ea n dt h em e a s u r eo ff u z z i n e s sf r o mt h e i r sd e f i n i t i o n s ，a n dt h es i m i l a r i t y m e a s l l r ec a nb ec o n s t r u c t e db yt h ek n o w nm e a s u r eo ff u z z i n e s s ，a n dt h em e t h o di sn o to n l y t h i s 西南大学硕： 学位论文 a b s t r a c t m 1 3 c l eg i v e st h en e wr e l a t i o n sb e t w e e ns i m i l a r i t ym f a s l f f ea n dt h em e a s u r eo ff u z z i n e s s ，w h i c ha r e t h et h e o r e l no fe x p r e s s i n gt h es i m i l a r i t ym e a s u r eb a s e d0 1 1t h em e a s u r eo ff u z z i n e s sa n dt h e t h e o r e mo fe x p r e s s i n gt h em e a s u r eo ff u z z i n e s sb a s e do nt h es i m i l a r i t yn 1 e a s t l r e a n dp r o v e dt h e ya 托 e s t a b l i s h e d t h ed e d u c t i o no ft h et w ok i n d so fr e l a t i o n sw e r eg i v e n t h e s er e s u l t sc a nb eu s e di n t h ep a t t e r nr e c o g n i t i o n , a n dt h ep o l i c yd e c i s i o ns c i e n c e 2 c o n s t r u c t i n gn e ws i m i l a r i t ym e a s u r ef o r m u l a t h es i m i l a r i t ym e a s u r ef o r m u l ah a sm a n yk i n d s ，f o ri n s t a n c eh a m m i n gs i m i l a r i t ym e a s u r e ， e c u l i ds i m i l a r i t ym e a s u r e ，l a t t i c ec l o s e - d e g r e ea n ds o0 1 1 c h o o s i n gt h em o r eb e t t e rs i m i l a r i t y l t l e a s u r ef o r m u l ai nt h ea c t u a lp r o b l e m st os o l v et h ea c t u a lp r o b l e mw i l lb e l 伽他u s e f u l w ew a s i n s p i r e db yt h eh a m m i n gs i m i l a r i t ym e a s u r ef o r m u l a ，a n do b t a i n e dan e ws i m i l a r i t y 麟u r c f o r m u l af r o mi m p r o v i n gt h eh a m m i n gs i m i l a r i t ym e a s u r e ，a n dp r o v e di tw a sr e a s o n a b l e 3 n e wf o r m u l a sa p p l i c a t i o n c o m p a r e dw i t ht h eb e f o r e h a n dk i n d so fs i m i l a r i t ym e a s u r ef o r m u l a s ，t h en e wf o r m u l ah a s s o l v e dt h ep r o b l e mw h i c ho t h e rs i m i l a r i t ym e a s u r ef o r m u l a sc a n n o ts o l v e ，a n dt h er e s o l u t i o no f f o r m u l ae n h a n c e do b v i o u s l y w eg a v et h es p e c i a le x a m p l et oe x p l a i ns t r o n g p o i n ta n dt h eg e n e r a l i z e d e x a m p l et oe x p l a i nt h i sn e wf o r m u l ai sr e a s o n a b l e t h i sn e wf o r m u l ai n d u c e da n o t h e rn e ws i m i l a r i t y m e a s u i ef o r m u l aw h i c ha c c o r dw i t hs i m i l a r i t ym e a s l l l ea x i o md e f i n i t i o n f i n a l l y ，w es t u d yt h et w o s i m i l a r i t ym e a s u r ef o r m u l a s a p p l i c a t i o ni nt h ep a t t e r nr e c o g n i t i o n k e y w o r d s ：f u z z ys e t ，m e a s u r eo ff u z z i n e s s ，s i m i l a r i t ym e a s u r e i v 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：辱、徘签字删：卅年歹月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。， ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：硒不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文拓者签名：荔专色铯导师签名： 签字日期砷年厂月纠日 签字帆 研泵弘 l 一 可年厂月哆日 西南大学硕士学位论文第1 章引言 1 1 论文研究背景 第1 章引言 自从1 9 6 5 年l a z a d e h 发表了关于模糊集的开创性论文【l 】后，模糊数学的研究获得了迅 速的发展。目前已成为现代数学的一个具有广泛应用的学科领域。随着理论的发展，模糊集 理论与经典数学的各个分支相结合。从而产生了诸如模糊拓扑学、模糊代数学、模糊分析学 等新的数学分支。 模糊数学是架设在精确的经典数学与充满了模糊性的客观世界之间的一座桥梁。模糊数 学的基础就是模糊集合论。作为其内容之一，不少人提出了f u z z y 集合的相似度量问题。两个 模糊集接近的程度，也即贴近度。计算贴近度的公式也多种多样，有用距离表示的贴近度， 也有模糊度表示的贴近度。常用的贴近度比如相对海明距离的海明贴近度与相对欧式距离的 欧式贴近度。 贴近度公式可以自己定义，只要满足贴近度的公理化定义。国内外的众多学者也在这方 面做了不少的工作，获得了一定的成绩。例如： 1 文献【5 】e n 打o p y ，d i s t a n c em e a s r t ea n ds k i i l i l a r i t y 如翩s 1 聪o fa 眨z ys e t sa n dt h e i rr c l a t i o m ) 提出了以d e l u c a 和t e r m i n i 的模糊集的模糊度及汪培庄【2 】的模糊集的贴近度为基础的模糊集 的o 模糊度，o - 相似度，o 距离，并研究三者之间的关系，为后来的研究提供了一定的理论基 础。 2 文献【6 】o 一模糊度、o 相似度及。一距离在文献【5 】的基础上对o 模糊度，o - 相似度， o 距离的定义做了一些改进，简化了一些定理。 3 文献【7 】若干新的贴近度公式依据包含度和贴近度的公理化定义，讨论了由包含度 诱导的贴近度，并给出了一组新包含度公式及其相应得的诱导贴近度公式。这些新公式的引 入，可对工程问题的应用提供更多的选择机会。 4 文献【8 】贴近度与模糊熵诱导关系注记一方面通过反例指出刘学诚【5 j ( f u z z ) ，s e t sa n d s y s t e m s ，5 2 ( 1 9 9 2 ) ，3 0 5 3 1 8 ) 给出的由贴近度诱导模糊熵的表达式是不正确的；另外还给出一个 命题来一般性的回答刘学诚o ：u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，5 2 ( 1 9 9 2 ) , 3 0 5 3 1 8 ) 提出的一个问题。这是贴 近度理论研究道路上的又一进步，在今后的理论研究上有着重要的意义，也更为以后的研究 奠定了更好的基础。 两南大学硕：卜学位论文第1 章引言 1 2 论文研究意义 1 2 1 理论意义 论文的理论意义主要有以下几个方面： 1 早在1 9 6 5 年，美国自动控制论专家l a z a d e h 的开创性论文“f u z z y 集合”【l 】中首次提出 了模糊集合这一概念。贴近度这一概念在模糊集合论中占有非常重要的地位，它是模糊集合 的基础。 2 从贴近度与模糊度的公理化定义，得知它们之间存在着一定的联系。近年来对模糊集的 模糊度与贴近度等概念有较多的研究及应用9 ，1o 】，比较典型的是林宗振1 2 1 在o 模糊度、o 相似度及o 距离这篇论文上不仅对模糊集的o 模糊度、o 相似度及o 距离的有关定义最初 了改进，还研究了三者之间的内在关系，其中包括模糊度e 与贴近度g 的相互关系。对给定的 模糊度，构造贴近度的方法不是唯一，给出新的构造的方法是十分必要的，也能为以后的研 究奠定一定的理论基础。 3 贴近度的选择直接影响到模糊推理的效果。比如在多重f u z z y 推理模型中的点火法就 是通过衡量“给定条件”和“已知条件”的“贴近度”或者“相似度”，选择其中最接近的那条规则， 从而求得推理结果。所以研究贴近度的性质和构造更多贴近度公式能为模糊推理提供更大的 选择空间，好的贴近度公式也能使模糊推理达到事半功倍的效果。 4 模糊模式识别中一种重要的方法间接方法一依据择近原则判别识别对象，它的基础 就是贴近度，通过计算待识别对象和已知模式的贴近度，哪个贴近度最大，待识别对象就属 于该模式，所以选择合适的贴近度是模糊模式识别至关重要的，好的贴近度也能为模式识别 起到一个推进作用。 5 贴近度还在图像处理等众多领域有着广泛的应用。由于实际问题是非常复杂的，在某 一问题上使用的贴近度公式很有可能不适用于另一场合，因此提出的各种各样的贴近度公式， 以供实际问题选用是非常必要的。 1 2 2 应用价值 1 本文根据改造海明贴近度公式得到了一个新的贴近度公式，这个新的贴近度公式很好 的解决了文献 2 】中定义的各种贴近度公式都不能解决的问题，可以看出改造得出的新贴近度 公式分辨能力明显增强。 2 本文新的贴近度公式不仅很好的解决了文献【2 】中定义的各种贴近度公式都不能解决的 问题，在模式识别中也能很好的应用。具有较高的应用价值。 2 - 西南大学硕士学位论文第1 章引言 3 贴近度已经在实际领域中得到了很好的应用，( s i m i l 撕t ym e a s u r e sf o rm i d s u r f a c e q u a l i t ye v a l u a t i o n ) 1 1 3 1 中作者提出了两种贴近度，它们能够在表面质量评价模型的方面得到很 好的应用。贴近度的研究还存在很好的商业价值。 1 3 论文主要研究内容 本文的研究目标，就是要在深刻理解贴近度和模糊度公理化定义的基础上，进一步研究 贴近度与模糊度的相互关系，能够得到一些它们两者之间相互刻划的新关系，并证明它们成 立；根据海明公式得到一个新的贴近度公式，证明符合贴近度的公理化定义，并应用实例来 说明新的贴近度公式比以前的贴近度公式具有的优点。 围绕这个目标，我们将从下面几个方面来研究： 1 讨论贴近度的公理化定义和基本性质 t 要讨论贴近度的基本性质，首先要从贴近度的公理化定义着手。我们先深刻理解贴近度 的含义、它的公理化定义。根据它的公理化定义来讨论它的基本性质，并逐一列出。本文引 用了徐宗本【14 】在计算智能中的仿生学：理论与算法这本书中提到的贴近度定义，在这个 基础上来讨论它的基本性质。 2 讨论模糊度的公理化定义和基本性质 要讨论模糊度的基本性质，首秀安从模糊度的公理化定义着手。我们先深刻理解模糊度 的含义、它的公理化定义。根据它的公理化定义来讨论它的基本性质，并逐一列出。本文引 用了由d e l u c a 和t e r m i n i 3 】最早引入的模糊度概念和它们给出的定量描述公理，在这个基础上 来讨论它的基本性质。 3 研究贴近度和模糊度之间的相互关系 在深刻理解贴近度和模糊度公理化定义的基础上，可以得到贴近度和模糊度之间存在相 互刻划的关系。基于模糊度来刻划贴近度和基于贴近度来刻划模糊度的方法不是唯一的，本 文研究得出一个新的关系，并证明基于模糊度刻划的贴近度满足贴近度公理化定义，基于贴 近度刻划的模糊度满足模糊度公理化定义，从而证明它们两者是成立的。为以后的研究和理 论提供了一定的基础。 4 构造一个新的贴近度公式 贴近度的公式是多种多样的，在实际中不同的公式有不同的用处和长处。本文根据以前学 者定义的海明贴近度公式，对它进行相应的改造，得到一个新的贴近度公式，并证明这个新 的贴近度公式是满足贴近度公理化定义的，从而证明它是成立的。 5 这个新贴近度公式在实际中的应用 3 西南火学硕士学位论文第1 章引言 篡o i i| i i ；| ；j 皇曼曼曼曼曼曼曼曼鼍曼鼍皇量量曼曼皇皇蔓曼曼曼皇曼皇皇皇曼曼! 曼皇皇鼍曼曼鲁 构造新的不同的贴近度公式是为了在实际中有更好的应用。本文列举了一个特殊例子， 用来说明以前定义的贴近度公式都不适用于这个特殊的例子。本文的新贴近度公式完全适用 于这个特殊情况，解决了以前公式不能解决的问题，从而说明这个公式的优点，它的明辨能 力较之其他公式明显增强了。用其他的例子也说明这个公式不仅适用于特殊情况，同样也适 用于其他的一般的情况。由新的贴近度公式推出一个推论公式，推论满足贴近度的公理化定 义，最后研究新的贴近度公式和推论公式在模式识别中的良好应用。 1 4 论文主要贡献 本文所做的贡献主要在以下5 个方面： 1 研究了贴近度的公理化定义和基本性质之后，得出了一个基于模糊度来刻划贴近度的 新方法，并证明这个方法是成立的。为以后的研究提供了良好的理论基础。 2 研究了模糊度的公理化定义和基本性质之后，得到了一个基于贴近度来刻划模糊度的 新方法，并证明这个方法是成立的。为以后的研究提供了良好的理论基础。 3 改造海明贴近度公式得到一个新的贴近度公式，证明这个新的贴近度满足贴近度的公 理化定义。 4 这个新的贴近度公式解决了以前各贴近度不能解决的问题，分辨能力明显增强了，并 在模式识别中得到很好的应用。 5 由新贴近度公式得出一个推论公式，这个推论公式满足贴近度的公理化定义，并在模 式识别中得到很好的应用。 1 5 论文结构安排 论文结构安排如下： 第1 章是引言。介绍了本文的研究背景，提出要研究的问题以及该问题的粗略现状，指出 论文的主要研究内容和意义，对全文结构安排进行了简介。 第2 章是对相关研究进行回顾，包括对模糊距离、贴近度、模糊度、以及它们之间相互关 系的研究状况，介绍了预备的理论知识，主要是模糊集合的概念、表示方法、模糊距离等概 念。 第3 章是介绍了贴近度和模糊度各自的公理化定义，并研究了它们各自的基本性质，着重 介绍了模糊度的不一致性、引起不一致性的原因以及不一致性对科学研究和实际应用所造成 的影响。 第4 章是本文的重点。主要在贴近度和模糊度公理化定义的基础上，研究模糊度与贴近度 之间的相互刻划关系，研究得出基于模糊度来刻划贴近度的新方法和基于贴近度来刻划模糊 4 西南大学硕士学位论文第1 章引言 曼苎! 鼍曼曼曼曼曼鼍曼曼兽i i 一- - i -一- i i l, i i i。 。兰! 皇曼曼曼曼量皇 度的新方法，并证明新方法成立。 第5 章改造海明贴近度公式，给出了新的贴近度公式和推论公式。用实例说明这个新公式 的优点和推论公式在模式识别中的应用。 第6 章是全文的结束语，包括对现有工作的总结和对未来工作的展望。 5 - 西南大学硕七学位论文第2 章预备知识 曼曼曼曼曼鼍曼曼曼鼍i i _ 一； i 曼曼皇曼鼍皇! 曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼鼍蔓曼曼! 皇曼曼! 鼍 第2 章预备知识 本章主要介绍贴近度、模糊度、贴近度与模糊度相互关系的研究现状，回顾了学者们在 贴近度、模糊度等领域中所作的贡献，还介绍了模糊集合( 即岫集合) 的概念、运算规则 等内容。 2 1f u r y 集合及其表示 客观世界中存在着许多“亦此亦彼”的现象，如设备故障诊断领域中的振动强烈、振动不稳 定等。这些没有明确外延，“亦此亦彼”的概念，就叫做模糊概念，即f 吆z y 概念，模糊数学就 是刻划这些模糊性现象的学科。 我们在日常生活、社会实践及科学实验中常常遇到一类问题，比如： ( 1 )实际采集的故障信号和故障样本之间的相似程度问题； ( 2 )所采集的一批信号的稳定性问题，也就是信号的综合相似程度问题； ( 3 )在无样本情况下，怎么知道所采集的信号是否具有某些相似性；( 补充说明：如果所 采集的信号在此种未知故障下某些特征是相似的，就说明这种故障具有这样的信号 特征，从而就可以根据这一相似性，来总结出这种故障的信号特征，这实际上也就 可以增加其自学习功能了。) ( 4 ) 医疗诊断领域中，一个病人的症状和过去已知的某种疾病的症状的接近程度问题； ( 5 )为了判断某学校的学生是否是集体食物中毒，就要知道这些病人的症状的相似程度 的问题： ( 6 ) 当一些病人的症状和已知疾病的症状都不一样时，也就是在无样本的情况下，相要 判断这些病人是否得病? 得的是同一种新疾病，还是两种新的疾病? 这就需要知道这 些症状是否相似的问题。 如果想用模糊数学来解决以上所有问题，就必须先解决一类问题，就是如何描述模 糊集的相似程度和接近程度的问题。 模糊集的定义首先由美国控制论专家z a d e h 给出，他于1 9 6 5 年在【1 】中将普通集合的特征 函数的取值范围由 o ，1 ) 推广到【o ，1 】，从而得到： 定义2 1 1 t 1 4 】设x 为论域，在x 上给定了一个映射 a ：x _ io ，1i ，xh 彳( x ) 则称4 为x 上的模糊集，彳( 叼称为模糊集彳的隶属函数。对于每个石u ，彳( z ) 叫元素x 对 呻集彳的隶属度。 6 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 ! 曼! 曼曼曼蔓皇i ；i i i i i i l 鼍鼍 对于f u z z y 集么来说。我们不再谈论“x 是否属于彳”，而代之以说“x 对彳的隶属度是 0 9 9 8 ，0 9 9 7 ，或0 0 0 1 ”。若彳( 五) = 0 9 9 8 ，a ( x 2 ) = 0 9 9 7 ，我们就说，而隶属于彳的程度 比而高 ( 玉) t o 8 0 如) = o 7 ：5 一( 毛) - 0 舷) = o ，一7 。 五而五 o 图2 1 隶属度与f u z z y 集 f u z z y 集有多种表示方法【1 4 1 ，比如：解析法、z a d e h 法、序偶法、向量法、表格法、矩阵 法等等。根据具体情况，不同的问题可以选择不同的描述方法。 2 2f u z z y 集合的运算 论域z 上的模糊集的全体记为f ( x ) 定义2 2 1 【1 4 1 设彳f ( u ) ，s u p p a = z u 1 4 ( x ) 0 叫f u z z y 集a 的支撑集。 定义2 2 2 1 1 4 1 设彳f ( u ) ，h g t a = s u p 彳( x ) b u 叫f u z z y 集彳的高度。 定义2 2 3 1 1 5 1 设爿，b 仨f ( x ) ，若v x ，有a ( x ) b ( x ) ，则称b 包含彳，记为b2 a 或a b ；当彳刀，b2 彳同时成立时，称彳，b 相等，记为a = b ，即v x x ， 彳( 工) = b ( x ) 。 定义2 2 4 【1 6 l 设彳，b ，( x ) ，分别称运算a u b ，a n b 为a 与b 并集、交集。称a 为4 的余集，它们的隶属函数分别为： ( 彳u 口) ( z ) = 彳( x ) v 丑( z ) = m a x ( 4 ( z ) ，b c x ) ) ( anb ) ( x ) = 么( x ) a 丑( z ) = r m n ( a ( x ) ，召( _ x ) ) a ( x ) = 1 一彳( x ) 定理2 2 1 【1 4 1f u z z y 集合的并、交、补运算拥有如下的运算律 7 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 ( 1 ) 幂等律 彳ua = a ，ana = a ( 2 ) 交换律彳ub = bua ，么nb ；bn a ( 3 ) 结合律( 彳u 口) uc = a u c buo ，( 彳nb ) nc = an ( bnc ) ( 4 ) 吸收律彳u ( 彳nb ) = a ，an ( 4 u 占) = a ( 5 ) 分配律4 n ( b uc ) = ( 4 n 曰) u ( a 1 3 c ) ， 彳n ( 口uc ) = ( a n 口) u ( a n o ( 6 ) 复原律( 4 ) 。= a ( 7 ) 对偶律( 彳ub ) = a 。n 艿。，( 么n 曰) 。= a 。ub 。 ( 8 ) 两极律彳u u = u ，a1 3 u = a 彳u = a ，an = 中 定义2 2 5 1 4 1 ( 择近原则) 设u 为论域，q 是，中的贴近度。彳= 4 ，幺，4 ) 是u 的疗个f u z z y 子集，叫f u z z y 模式。a 是u 的一个f u z z y 子集，叫待识别对象。如果i o 刀满 足。 g ( ， ) - m 胁a x q ( a , 4 ) ， 则说待识别对象么与f u z z y 模式a 为a 最贴近 例2 1 已知知识库 4 寸蜀 4 寸垦 4 i e 现在输入彳，问该系统输出的矿应如何? 解 对每个f ，l ，计算贴近度g ( 彳，4 ) 若g ( 彳，以) = m 胁a x q ( a , 4 f ) ，则输出 b = b l 。 电 例2 2 设一目标跟踪系统有5 个f u z z y 模式。具有用模糊集合表述的特征如下： 4 = o 5 x a + 0 4 x 2 + o 3 l x 3 + 【0 6 x , + 0 5 x 5 + 【o 4 】魂 4 = 【0 3 五+ 【o 2 】x 2 “0 2 】玛+ 【o 1 五+ 0 2 x 5 + 0 2 】j c 6 鸣= 【0 2 】x a + 0 2 x 2 + o 2 】屯+ o 1 】+ 0 1 x , + 0 2 】民 4 = 【0 】五4 - o 1 】屯+ 【o 2 而+ 【o 1 】+ 【0 1 】黾+ 0 1 】 4 = 0 】五+ 【0 1 】五+ 【0 1 毛+ 【0 1 】一+ 【0 1 】屯+ 0 1 屯 现发现目标曰- - o 4 l x l + 【o 2 屯+ 【o 1 】毛+ 【0 4 j c 4 + 【o 5 】，+ 【0 6 x 6 问样本曰到底应该属于哪种模式? 解对每对4 ，b f ( u ) ，记 q ( a ，b ) 之 h g t ( a n b ) + ( 1 d p ”( 彳u 口) ) 】， 8 西南大学硕十学位论文第2 军预备知识 则g 是，( u ) 中的贴近度。 计算可得 h g t ( a n4 ) = ( 0 4 0 5 ) v ( 0 2ao 4 ) v ( o 1 0 3 ) v ( 0 4 o 6 ) v ( 0 5 0 5 ) v ( 0 6 o 4 ) = 0 4 v 0 2 v 0 1 v 0 4 v 0 5 v 0 4 = 0 5 d p n ( a n4 ) = ( 0 4 v0 5 ) a ( 0 2v0 4 ) ( o 1v0 3 ) ( 0 4 vo 6 ) a ( 0 5vo 5 ) ( o 6 vo 4 ) = 0 5 0 4 a 0 3 0 6 0 5 0 6 = 0 3 g ( 彳，4 ) ：吾 h g t ( a n 4 ) + ( 1 一d p n ( a u 4 ) ) 】 1 = 去 o 5 + ( 1 0 3 ) 】 = 0 6 同理可得 g ( 彳，4 ) = o 5 5 ，g ( 彳，4 ) = 0 5 ， g ( 彳，4 ) = o 4 5 ，g ( 4 ，4 ) = o 5 ， 易见 g ( ，4 ) m 。g a x q ( a , 4 ) 根据择近原则判决该目标为4 型目标。 2 3f u z z y 集合的距离 定义2 3 1 1 7 , 1 5 1 若对于r 中任意两个子集a ，b ，都有唯一确定的实数d ( 彳，b ) 与之对应， 且满足： ( 1 ) a ( a ，b ) 0 ，a ( a ，b ) = 0 当且仅当a = b ： ( 2 ) d ( a ，b ) = d ( 占，么) ： ( 3 ) d ( a ，b ) d ( a ，o + d ( b ，o ； 则称d ( 彳，丑) 为集合彳，口之间的距离。 以上定义是两个模糊集合之间的距离的公理化定义，模糊集合的定义不止一种，形式多 样，但它们的共同特点是它们都满足这个公理化定义。 定理2 3 1 若q ( a ，b ) 是模糊集a ，b 之间的贴近度，则a ( a ，b ) = 1 一q ( a ，曰) 为彳与 b 之间的距离。 两个模糊集之间的贴近度描述的是模糊集之间的贴近度程度，两个模糊集之间的距离越 大，说明离的越远，贴近程度越小，贴近度就小；两个模糊集之间的距离越大。说明离的越 9 西南大学硕= 卜学位论文第2 章预备知识 近，贴近程度越大，贴近度也就大。 2 4 相关研究现状回顾 2 4 1 模糊集合之间距离的研究现状 在模糊数学发展之初。人们仍沿用实数理论中的做法，用实数去度量模糊向量间的距离。 尽管大家都知道这种做法不尽台理，但又难以找到较为理想的模糊数能够贴切、合理地表示 模糊向量间距离的大小，即所谓的模糊距离。 1 刘慧林【1 7 1 在文献一种新的模糊数的距离定义中分析了已有的模糊数的距离及模糊 距离定义，并指出了其不足之处，即所定义的模糊距离不满足模糊数的定义，模糊距离不是 模糊数；并给出了新的模糊数的距离定义，同时给出了相关定理并给与证明。但是在那些模 糊数的模糊距离的定义下，模糊数的数列的收敛必须要满足水平收敛，单调收敛性受到很大 的约束。文献 新的模糊数的模糊距离【1 8 】在刘慧林研究的基础上，给出了新的模糊数的模 糊距离定义及相关的定理，并且新的模糊数的模糊距离解决了约束单调收敛性的问题。它在 模糊数的单调性和收敛性方面做出了有益的贡献。 2 文献九维模糊度量空间及其完备性【l9 】定义了, 维模糊向量的模糊距离、刀维模糊 度量空间及其完备性的概念，其中n 维模糊向量间的模糊距离它具备普通实数距离的所有基本 性质，是一种比较理想的模糊距离，实现了用r 上的模糊数度量模糊向量间距离的目的，不 仅使得模糊距离的度量更加合理、更加贴切，也为创立一套独立于实数的模糊数学分析理论 打下了基础。 3 文献区间值模糊集之问几种距离的研究1 2 0 1 主要谈论了区间值模糊集之间的几种距 离并研究了相应的区间值模糊数距离空间的性质。给出了定义在实数域r 上的区间值模糊集 之间的三种距离d 、d 。、以，讨论了它们的基本性质，如齐次性、平移不变性等。在这三 种不同距离意义下分别讨论了相应的区间值模糊数的距离空间，( 伊( r ) ，d ) ，( i f ( r ) ，d 。) 和( i f ( r ) ，丸) 的完备性和可分性。证明了当k 是r 上的非空紧子集时，紧支撑包含在k 中的所有区间值模糊数所称之集i f ( k ) ( ci f ( 冗) ) 分别关于d 和d 。是完备子空间。对于 距离叱，全空间( i f ( r ) ，丸) 是完备的。同时分别举例说明全空间( 俨( 尺) ，d ) 和 汀( r ) ，d v ) 不是完备的，( x f ( 尺) ，d ) 和( i f ( 只) ，止) 不是可分的。对基于h a u s d o r f f 度 量意义下的两种离散型区间值模糊集的距离进行了推广，同时给出了一种新的基于h a u s d o r f l 度量意义下的离散型区间值模糊集之间的距离。并研究了它们的性质；对这三种离散型距离进 行了比较分析，得出了它们之间的大小关系。 4 在f u z z y 集的理论与应用中，人们常常只注意了横向加权，这个方法应用很广。它刘 1 0 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 于许多问题是有效的。但分析认为在一定场合使用纵向权则更为简单有效。所谓纵向加权， 是指按从属度加权。般情况下从属度的取值l 基n o ，1 o e 各值。被认为是平等的。如果在某 些场合里。人们需要把某些从属度值看重一些，则对从属度的值可进行加权，以分清主次， 显露问题的实质。例如a o ，1 】取权函数f ( a ) - - 口p ( 0 p 栩) ，则口越接近1 ，越被看 得重要一些，口越接近0 ，则越被忽视一些。若取厂( 口) = ( 1 一口) p ，则情况恰好相反。 r1 厂c 口，刊三一口r 是重视n 。，两端的值，乏视中间圭处的值。c 口，： 口， ( ：口 壶 l ( 1 一口) ， 二口 卜c 工，一爿；设v x e x , g c x ，= 圭，则e c g ，= 1 ，那么也就有 l g ( x ) 一兰l i f ( 彳，b ) ( x ) 一圭l ，v a , b ef ( z ) ，就有p ( 厂( 彳，b ) ( 工) ) e ( g ( x ) ) = l 。 3 2 2 模糊度的不一致性 多位学者对于有限论域x 五，毛，毛) 的模糊集合的模糊度的刻画作了许多讨论，得 到一些有意义的结论。 就模糊度的本质来说，它描述的是元素x 隶属于a 或者隶属于a 。的不确定程度，基于这 1 8 西南大学硕二 学位论文第3 章贴近度和模糊度的定义及性质 种背景，曾文艺【4