由三角函数图象求解析式.doc

.已知函数=Acos()的图象如图所示，则=（ ）（A） (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选B.由图象可得最小正周期为，于是f(0)f(),注意到与关于对称，所以f()f().如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选A. 函数的图像关于点中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由此易得. 已知函数y=sin（x+）（0, -）的图像如图所示，则 =_ 【解析】由图可知， 已知函数的图像如图所示，则 。【解析】由图象知最小正周期T（），故3，又x时，f（x）0，即2）0，可得，所以，20。）已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.()求的解析式；（）当，求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上得故 又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为-1,2 w.w.w.k.s.5把函数ycos(3x)的图象适当变动就可以得到ysin(3x)的图象，这种变动可以是( )A.向右平移 B.向左平移C.向右平移 D.向左平移分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x的系数相同.解：ycos(3x)sin(3x)sin3(x)由ysin3(x-)向左平移才能得到ysin(3x)的图象.答案：D4.将函数yf(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与ysinx的图象相同，则yf(x)是( )A.ysin(2x) B.ysin(2x)C.ysin(2x) D.ysin(2x)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：yf(x)可由ysinx，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y=sin2x;再沿x轴向左平移得ysin2(x)，即f(x)sin(2x).若函数f(x)sin2xacos2x的图象关于直线x对称，则a1.分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：x10，x2是定义域中关于x对称的两点f(0)f()即0asin()acos()a1若对任意实数a，函数y5sin(x)(k)在区间a，a3上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值是( )A.2 B.4 C.3或4 D.2或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.解：T又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期.有4T3且2T3即得T，解得k，k，k2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数yAsin(x)(A0，0)，的图象，由图中条件，写出该函数解析式.错解：由图知：A5由得T3，y5sin(x)将(，0)代入该式得：5sin()0由sin()0，得kk (kZ)，或y5sin(x)或y5sin(x)分析：由题意可知，点(，5)在此函数的图象上，但在y5sin(x)中，令x，则y5sin()5sin()5，由此可知：y5sin(x)不合题意.那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)点(，0)在递减的那段曲线上2k，2k(kZ)由sin()0得2k2k (kZ)，正解二：(最值点法)将最高点坐标(，5)代入y5sin(x)得5sin()52k2k (kZ)取正解三：(起始点法)函数yAsin(x)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由x+=0解得的，故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角.由图象求得x0=-,=-x0=- (-)=.正解四：(平移法)由图象知，将y=5sin(x)的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为y5sin(x)，即y5sin(x).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(x+)(0)的图像时，我们采用换元法，将x+看成y=sinx中的x，模仿y=sinx的五点法来作.x1+=0x1=-,x2+=x2=x3=x3=,x4+=x4=,x5+=2x5=.即五点(-,0),( ,A),( ,0).( ,-A).( ,0)2.函数y=Asin(x+)的图像与y=sinx的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A0,且A1)的图像，可以看作是y=sinx图像上所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sinx(0,且1)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点的横坐标都缩短(1)或伸长(01到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx的图像变换为y=sinx的图像，其周期由2变.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+)(0)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点向左(0)或向右(0)平移个单位而得到的.这种由y=sinx的图像变换为y=sin(x+)的图像的变换，使相位x变为x+,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx的图像得到y=Asin(x+)+k的图像.事实上，设f、t、h分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)fth;(2)fgt(3)thf;(4)tfh;(5)hft;(6)htf3.y=Asin(x+)(A0，0)与振动在物理学中，y=Asin(t+)(A0,0),其中t0，+)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A，有如下物理意义.A称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y的最小正周期).f= 称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，t+叫做相位，当t=0时的相位，即称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换.对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称.(2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称.(3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f-1(x)(或x=f(y)的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x对称.【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(x+)的简图及三角函数的图像变换.难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx的图像变换到y=Asin(x+)的过程.关键：理解A、的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(-)的图像可以由y=sinx的图像经过怎样的变换得到?解：y=3cos(-)=3sin+( -)=3sin(+).先将y=sinx的图像向右平移个单位，得到y1=sin(x+)的图像.再将y1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2=sin(+)的图像.再将y2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(+)而不是y=3sin(+).例2 用五点法作出函数y=4sin(+)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(+)的振幅A=4，周期T=4,令+=0,得初始值x0=-(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表： +02x-y040-40评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的，即xi=xi-1+(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.例3 设三角函数f(x)=sin(x+)(k0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T=.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，必须且只须f(x)的周期1，即1,k10=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(x+)(其中A0，0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A，的值.由图像中三个已知点的坐标列出A，的方程组求解.若令X=x+,要注意x0=-是初始值，对应于X=0,x=-时对应于X=.函数解析式为y=2sin(x+).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx的图像变换为y=sin(2x+)的图像的两种方法.思路1 x2x2(x+)=2x+.解法1 y=sinxy=sin2xy=sin2(x+)=sin(2x+).思路2 xx+2x+.解法2 y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即和)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是y=sinx的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=sinx变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(x+),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin(x+)+,它就是y=sinx，即可求得A、的值.解法1：问题即是将y=sinx的图像先向右平移个单位，得y=sin(x-);再将横坐标压缩到原来的，得y=sin(2x-),即y=-cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(x+)的一段曲线(如下图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=,=2,=-x0=-2(-)=,所以y=3sin(2x+).(2)A=,当x=0时，y=1,所以sin=1,又，所以=,当x=时，y=0，即sin(+)=0,所以=,所以y=sin(x+).评析：若已知曲线与x轴的交点的坐标，先确定=；若已知曲线与y轴的交点的坐标，先确定；若先确定则有=-x0,其中x0是离y轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)的一个周期的图像.(1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+)+1的图像?3.已知y=Asin(x+)(A0,0,0的最小正周期为，最小值为-2，且过点(，0)，求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(x+)(A0,0,)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0+3，-2).()求f(x)的解析式；()y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图像向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像.xy33O 例2 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用y=Asin（x+)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2对称的函数解析式 解：（1）T= =4 = = 又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移 而得到的 解析式为 y=3sin (x) (2)设（x，y)为y=3sin( x ）关于直线x=2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2的对称点应为（4x，y)，故与y=3sin( x）关于直线x=2对称的函数解析式是y=3sin（4x) =3sin( x） 点评 y=sin(x+)(0)的图象由y=sinx的图象向左平移（0）或向右平移（0）个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用 例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值 分析 由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+)+2 当2x+=2k+， 即x=k+ (kZ)时，ymax= +2 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= sin（x+） 例2 若, ，求函数y=cos(+）+sin2的最小值 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化 解 y=cos(+)cos2(+)=cos(+)2cos2(+)1 =2cos2(+)+cos(+)+1 =2cos2(+)cos(+)+1 =2cos(+)2+ , ， ， cos(+)， y最小值 = 点评 （1）三