（基础数学专业论文）变分法在时标上二阶sturmliouville边值问题中的应用.pdf

兰州大学2010 届硕士学位论文 摘要 本文主要利用变分法考虑了如下时标上带正参数的二阶s t u r m l i o u v i l l e 边 值问题 卜( 7 蝴t ( ，) ) + 舯尸( t ) = 入”川仃( ) ) ， 1 ， ( r ) 【a l w ( o ) 一0 1 2 “( o ) = 0 ， q 3 u ( 盯2 ( 丁) ) + o r 4 i l ( 盯( 丁) ) = 0 、“7 解与正解的存在性 第一章介绍了所研究问题的背景，本文的丰要结果以及一些预备知识 第二章主要考虑边值问题( r ) 解的存在性其中在第一节，给出了问题( r ) 对应的变分结构，讨论了它的性质并证明了( r ) 解的存在性等价于其对应变分泛 函的临界点的存在性第二节讨论f - 阶s t u r m l i o u v i l l e 特征问题，并给出了第 一特征值在s o b o l e v 卒问中的刻画，然后分别利用直接变分法，山路定理，b r e z i s 并l l n i r e n b e r g 得到的临界点定理_ 【i f 明了当参数存某个范围时一个解和两个解的存 存性第三节，借助_ 丁b o n a n n os h c a n d i t o 建赢的三临界点定理，得到了当参数 存某一确定范围时三个解的存在性结果最后举例说明了我们的结粜 第三章研究了边值问题( r ) 止解的存在性第一节，在进一步假设厂( f ，0 ) 为 正和p ( ) 非减的情形下，证明了( r ) 正解的存在性等价于 卜( p ( ) “( ) ) + q ( ) 札。( ) = a f ( t ，( u 十) 盯( ) ) ：咿】，( 一) in 1 札( o ) 一q 2 u ( o ) = 0 ，0 1 3 u ( 0 2 ( 丁) ) + q 4 u ( 盯( 丁) ) = 0 、7 解的存在性然后，我们建立了( 对) 对应的变分泛函并分析了它的性质，在第 二节，利川直接变分法和鞍点定理证明了( p ) 解的存在性，得到了当参数在某 个区间时，( r ) 正解存在的，些允分条件最后+ 节应用上下解方法迸步讨论 了( r ) 正解的存在性 关键词：时标；解；j 下解；变分法；临界点理论；参数；上解；下解；上下解方 法 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，u s i n gv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，w ec o n s i d e rac l a s so fs e c o n do r d e rs t u r m l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp o s i t i v ep a r a m e t e rao nt i m e s c a l e s 一( p ( ) u ( ) ) + q ( ) 乱。( ) = a f ( t ，u 盯( ) ) ，t 【0 ，丁】， q l 札( o ) 一c t 2 u ( o ) = 0 ，q 3 u ( 盯2 ( 丁) ) + o l 4 u ( 盯( 丁) ) = 0 i nc h a p t e r2 ，w er e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r ( r ) i ns e c t i o n1 ，w ec o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a lf r a m e w o r kf o rt h ep r o b l e m ( r ) a n d p r e s e n t t h ep r o p e r t i e so fv a r i a t i o n a lf r a m e w o r k i ns e c t i o n2 ，w ec o n s i d e rt h es e c o n do r d e rs t u r m l i o u v i l l ee i g e n v a l u e sp r o b l e m sa n dg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ef i r s t e i g e n v a l u ei ns o b o l e vs p a c e ，t h e n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ei n t e r v a ，lo fas u c ht h a t t i mp r o b l e m ( r ) h a so n eo rt w os o l u t i o nb yd i r e c tv a r i a t i o n a lm e t h o d ，m o u n t a i n p u s sl e m m aa n dt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r e mo fb r e z i sa n dn i r e n b e r g i ns e c t i o n 3 ，w ed e r i v et i me x i s t e n c eo ft h r e es o l u t i o n so f ( r ) w h e n 入l i e si nas u i t a b l ei n t e r v a lb yu s i n gat h r e ec r i t i c a lp o i n tt h e o r e mb o n a n n oa n dc a n d i t oe s t a b l i s h e d f i n a l l y ，w eg i v es o m ee x a m p l e st oi l l u s t r a t eo l l rr e s u l t si ns e c t i o n4 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r ( 足) i ns e c t i o n 1 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r ( ，久) i se q u i w f l e n tt oe x i s t e n c e o fs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gb o u n d a r yv a h mp r o b l e m sw h e nt h en o n l i n e a rt e r m s a t i s f i e st h a t 厂( f ，0 ) i sp o s i t i v ea n dp ( t ) i sn o n d e c r e a s i n g j 一( p ( ) u ( ) ) + q ( t ) u 4 ( z ) = a f ( t ，( u + ) 盯( ) ) ? t ( 0 ，丁】， 【q 1 札( o ) 一o f 2 l , ( o ) = 0 ，o l 3 7 , ( 0 2 ( 丁) ) + a 4 让( 盯( 丁) ) = 0 t h e n ，w ec o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a lf r a m e w o r kf o rt h ep r o b l e m ( 哎) a n dp r e s e n tt h ep r o p e r t i e so fv a r i a t i o n a lf r a m e w o r k i ns e c t i o n2 ，w ed e r i v et h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 片) w h e nal i e si nas u i t a b l ei n t e r v a lb yd i r e c t v a r i a t i o n a lm e t h o da n ds a d d l ep o i n tt h e o r e m i nt h ef i n a ls e c t i o n ，w ef u r t h e r d i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r ( 一) b ym e t h o do fs u p e r s o l u t i o n s a n ds 1 1 b s o h l t i 【) n s k e yw o r d s ：t i m es c a l e s ；s o l u t i o n ；p o s i t i v es o l u t i o n ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s ； 2 兰州大学2010 届硕十学位论文 c r i t i c a lp o i n tt h e o r y ；p a r a m e t e r ；s u p e r s o l u t i o n ；s u b s o l u t i o n ；m e t h o do fs u p e r - s o l u t i o na n ds u b s o l u t i o n 3 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的 成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容 外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标 明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：么垒! 三! 日期： 7 d ，5 3f 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定， 同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和 汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：丞垒! 雪导师签名班叁! 薹日期：丝坐兰：三l 第一章引言 1 1 背景与主要内容概述 1 9 8 8 年，德同学者s t e f a nh i l g e r 在他的博士论文【2 6 】中，提出了一种新的分 析理论一时标( t i m es c a l e s ) 或测度链( m e a s u r ec h a i n ) 这种新的分析理论统一， 推广了离散和连续分析理论，从而可以使人们同时研究微分方程和差分方程并更 好地认识者的本质差异但是由于时标上的分析理论和实数上的分析理论有着 很大的不同，如链式法则，分部积分公式，中值公式等都有较大差异，所以给研究 带来了许多困难通过近十几年的研究，人们发现时标上的分析理论在经济模型， 生态模型- l 都有着重要的应刖f l o ，1 3 ，2 7 ，2 8 ，3 5 1 例如，对在不同季节有活动期 和休眠期的昆虫利t 群的数学模型就可川时标上的动力系统来描述又! t l l p e t e r s o n 和t h o m a s 利用时标上的动力方程描述了西尼罗河病毒的传播，t h o m a s 认为这 种新的数学模型能使人们更好的理解这种疾病从而更好的控制它 3 6 1 变分原理是自然界巾的一条普遍原理，它将自然界中的大量问题归结为求某 个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题按照变分的思想要证明。一方程的 解的存在性可以转化为证明这个方程对应变分泛函的临界点的存在件自从1 9 7 3 年a m b r o s e t t i $ 1 1 r a b i n o w i t z 提出山路定孽l ! 以来f 9 1 ，一系列极小极人原理被证明 并大量应用丁处理既无下界又无上界的泛函变分问题，特别是对超线性椭吲边值 问题以及h a m i l t o n 系统等的研究，得到了大蕈很有意义的结果 近年来，时标理论受到了人们的广泛关注随着时标理论的发展和完善，时 标卜动力方程的研究受到了高度的晕视其主要工作集中在以卜几个方血：时标 上的不等式理论! 动力方程振动理论，稳定性理论：以及边值问题等由于边值 问题在数学物理，化学，生物学，工程和技术等许多科学领域仃着，“泛的应用， 而时标分析统一了离散和连续分析，所以时标上的动力方程的边倩问题作为时标 理论的- 个重要分支得剑了人量的研究应用不动点理论，上，下解方法，l e r a y s h a u ( 1 e i - 度等非线性分析理论，许多学者建立了大量的解的存在性结果，见f 3 ，4 ， 8 ，1 4 ，1 9 ，2 0 2 1 3 1 ，3 3 ：3 4 1 及其参考文献 1 9 9 9 年，在f 2 0 1 中e r b e 和p e t e r s o n 考虑了如下两点边值i 口j 题 f 一“= 0 ，【“：f 4 【o l l l ( a ) 一1 f ( 仃，) = 0 ， ，y ( 仃( 6 ) ) + 6 7 t ( 仃( 6 ) ) = 0 ， 1 兰州大学2010 届硕士学位论文 其中o l ，7 ，j 0 ，d = ，y + q j + 乜7 ( 盯( 6 ) 一a ) 0 ，并首次给出了其g r e e n 函数 g s ，= 豢暑：尹0 燃之0 譬瓮：至s ， 随后，2 0 0 0 年，e r b e 和p e t e r s o n 又在【2 1 】中，在非线性项次线性和超线性增长下， $ 1 厍j g u o - k r a s n o s e l s k i i 不动点定理分别证明了如下边值问题正解的存在性 i 乱= 夕( ，趾“( z ) ) ，t f 口6 】? 【a u ( a ) 一卢钍a ) = 0 ，y 他( 盯( 右) ) + 5 u ( 盯( 6 ) ) = 0 ， 其中q ，卢，7 ，6 0 ，d = ，y p + 口6 + a y ( 口( 6 ) 一a ) 0 i j 年，e r b e ，p e t e r s o n 齐 1 m a t h s e n 在【2 2 】中，研究了时标面_ l 的s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题 | 一( p ( 。) u ( 2 ) ) + q ( ) ，“。( ) = a ，( ，札“( 。) ) 【o ，丁】， ( 1 1 1 ) 【f r f t ( o ) 一，l ( o ) = 0 ，一y ? t ( 仃2 ( 丁) ) + 6 ， ( r 丁( 丁) ) = 0 、7 通过运用不动点定理和锥映射度理论，建立了正解的存在性，不存在性平多重正 解存在性结果当p ( ) 三1 ，q ( t ) 三0 时，l i o n 等 2 9 】也利用锥映射度理论研究了边 值问题f 1 1 1 ) 解的存存性 此后，时标卜的二阶动力方程边值问题受到人们的广泛关注，例如，在【2 】中， a g a r w a l 和o r e g a n 利用l e g g r t t w i l l i a m s 不动点定理考虑了如。卜问题三个解的 存在性 l “+ ，( u ”( f ) ) = 0 7 t 【n ，6 】 o ：l t ( a ) 一p “( ) = 0 ，c y 0 ，卢0 i a ( 口( 厶) ) = 0 在【8 中，e l v a na k i n 应用上、下解方法证明了如下二阶d i r i c h l e t 边值问题解的存 在性 fu = ，( z ，u 。( ) ) ， z o ，6 j 【u ( n ) = a ， 札( 口( 6 ) ) = b 2 0 0 2 年，c h y a n 不l l h e n d c r s o n 在 1 9 】中，利用a v e r y h e n d e r s o n 不动点定理考虑 了时标上二阶动力方程边值问题 钆= t 厂( u 。( ) ) ，t 【0 ：1 1 ： 【乱( o ) = 0 ，, t a ( 口( 1 ) ) = 0 2 兰州大学2010 届硕十学位论文 证明了两个正解的存在性这些文章的主要工具是锥映射度理论，上下解方法， g u o - - k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，a v e r y h e n d e r s o n 不动点定理，l e g g r t t w i l l i a m s 小动点定理等非线性分析上具临界点理论是处理非线性边值问题的重要上具， 并日已在椭圆边值问题$ 1 h a m i l t o n 系统等方面的研究上得到了很有意义的结果， 而月最近已有人利用临界点理论考虑了时标上二阶0 一d i r i c h l e t 边债问题，得到了 单个正解和两个止解的存在性 2 0 0 7 年，在 3 】中，a g a r w a l 等考虑了如f d i r i c h l e t 边值问题 一u ( ) = ，( , u a ( ) ) ，( 。，6 ) ，( 1 1 2 ) 【u ( a ) = u ( b ) = 0 解的存在性存假设。( ，0 ) 0 ，l 【0 ，t 】下，函卜明了原问题正解的存存性与如下 边值问题 f t t , - x a ( t ) = f ( t ( 札+ ) 仃( ) ) ，t ( o ：6 ) ， iu ( a ) = u ( 6 ) = 0 解的存在性等价，然衍利用山路引理和直接变分法证明了问题( 1 1 2 ) 的译个和两 个止解的存在性 同年，在 4 l 中，a g a r w a l 等义考虑了如下奇异d i r i c h l e t 边值n 4 题 一u ( ) = ，( 盯( ) , i t a ( ) ) ，( 。? 6 ) ，( 1 1 3 ) 【u ( a ) = u ( b ) = 0 通过摄动方法把奇异问题转化为非奇异问题，进而运用山路引理和直接，叟分法证 明了边值问题( 1 1 3 ) 申个正解和两个正解的存在性随着时标理论的发展，近些 年，时标上的偏微分方程也有了初步的研究，并得到了。系列结果，见 7 ，1 2 ，2 3 】 及其参考文献a h l b r a n d t 着 h l o r i a n 在【7 】- f i ，考虑了时标上矩形区域上双重积 分的变分f 、口j 题，得到了取极值的必要条件一e l l l e r - l a g r a n g e 力+ 程随后b o h n e r s h g u s e i n o v 在1 2 】中，把以上结果推广到更一般的u 一型区域上但是，南于还没 有对一般的区域建立g r e e n 公式( 比u 一型区域更一般的区域) ，所以，要把变分法 应朋到时标上一般i 运域上的偏微分方程还无法实现而且由于时标分析理论的复 杂。降，所以给证i | 月带来了较人困难，在【2 3 中，f e r r e i r a 署l l t o n e s 已指出【7 ，1 2 】证 明的一些错误，j ，f ：在 2 4 1 中做了史正 受以卜文章的启发，本文主要利用变分法和临界点理论，考虑了如卜时标， f 。币- 4 4 4 - 止参数的更一般的二阶动力方程s t u r m l i o u v i l l e 边值问题，并给m 了数个参 3 兰州大学2010 届硕十学位论文 数在某个范围时解与正解存在的充分条件 i 一( p ( ) l 产( ) ) + r ，( t ) ? 尸( ) = v ( ，：7 1 , a ( ) ) ， 【0 ，7 ， ，d - 、 lq 1 ( o ) 一n 2 7 z ( o ) = 0 ，n 3 ( 盯2 ( 7 1 ) ) + r y 4 i t ( 仃( 7 1 ) ) = 0 ， 其中p c 1 ( 【o ，口( 丁) 】，( 07 + o o ) ) ，q c ( 【o ，丁】，【0 ，+ o 。) ) ? f c ( 【o t 】r ，瓞) ； q t 0 i = 1 ，2 ，3 ，4 ，且0 1 + 0 1 2 0 ，0 1 3 + q 4 0 ，q 1 + q 3 0 第二章的第一节，我们首先给出了我们要讨论的问题所在的窄问并给出了它 的性质，然后给出了( r ) 对应的变分结构，讨论了它的性质，证明了( r ) 解的存 在性等价- 丁其对应变分泛函的临界点的存在性在第二节，首先我们利用商接变 分法得到了一二择一定理，然后应用山路引理得到了两个解的存在性，接着考虑 了二阶s t u r m l i o u v i l l e 特征问题，并给m 了第一特征值在s o b o l e v 空间巾的刻画， 然后分别利用直接变分法，山路定理：b r e z i ss h n i r e n b e r g 得剑的临界点定理- 1 7 1 证明了当参数在某个范围时一个解和两个解的存在性，得到了一些解存在的充分 条件在第i 节，利用第一节得到的变分泛函及性质，我f f e b o n a n n o 平i c a n d i t o 建立的i 临界点定理 1 6 】应用到时标上的边值问题：得到了当参数在一确定范围 时三个解的存在性结果第四节，我们给出了例子来说明我们的结果此章结果 已被j o u r n a lo fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t i n g 接收 在第三章第一节，首先利川a g r a w a l 等人住【3 l i 一的方法，在假设非线性项，( 0 ) 0 t f 0 ，t 1 下，我们证明了( r ) 非负解的存在性等价于 f 一( p ( ) u ( ) ) + q ( t ) u 。( ) = a f ( t ( 乱+ ) ”( ) ) t 【0 ，7 1 】，d + 、 io t l t ( o ) 一q 2 札( o ) = 0 n 3 乱( 盯2 ( 丁) ) + a 4 “( 仃( 丁) ) = 0 、 “ 解的存在性进一步，若p ( ) 在 o ，t 】上非减，则可以证明( r ) 正解的存在性等 价于( p 产) 解的存在性其次，我们建立了( 片) 对应的变分泛函并分析了它的件 质存第二节，应用弃：接变分法和鞍点定理荫卜明了( 一) 解的存存性，从而得到 了( r ) 止解在某个区问存在的一些充分条件在第二节，我们首先给m 了( 以) 的 卜解和卜解的定义，然后利用新的方法证明了若( n ) 有一卜解再和一卜解延满 足旷( ) 护( ) ，t 【0 ，t 】，则( r ) 存在解最后利用此结果，我们证明了( r ) 正 解的存在性 1 2 预备知识 我们记玩是由时标，上形如hb ) = 7 面：a ， 0 使得，i o b ，q ，且 一砂存在e e 易使得1 ( e ) 0 则，由一临界值c a 而且c 能被刻画为 c = 1 n f q e fu m e g a o 磊】m ) ，1 】 。 其中， r = g c ( 【o ，1 】，e ) lg ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) 5 兰州大学2010 届硕+ 学位论文 引理1 2 5 声纠依点定理，4 t _ e = vox ，- gd ee 是以 实, b a n a c h 空间，v 0 ) 是有限维空间假设j c 1 ( e r ) 满足俨剀条件和 俐存在常数a 和y 中。的一有界邻域d ，使得j i a d o l ，且 o i ) 存在常数卢 q 使得j i x p 则，有临界值c 口而且c 能被刻画为 其中， c = i n f m 啄j ( ( 札) ) ， h e fu d f = h c ( d ，e ) l h = i d 在o o 引理1 2 6 肛彰假设x 是一自) 撇b a n a c h 空问，i k 4 ：x 一r 是一序列弱下 半连续，强制的，连续g 6 t e a u x 可微的泛函，并且让皿：x _ r 足一序列弱上半连 续，j 奎2 卖g s t e 砒l x 可微泛函，a 足一实参数假设存在7 1 r 满足! 醵m ( u ) 0 ，o l 3 + 口4 0 ，q 1 + o r 3 0 2 1变分结构及其性质 让厅是 u c 1 0 ， t 2 ( 丁) 】：o x l u ( o ) 一n 2 钆( o ) = 0 ，q 3 ( 盯2 ( 丁) ) + o l 4 札( 口( 丁) ) = 0 ) 在范数”i f 下的完备化在e 上定义泛6 9 l l a 如下 ，a ( “) = 三z 盯1 t p ( ) l u ( ) 1 2 + 丢：o z ( t ) q ( f ) i u 9 ( ) 1 2 f 十三卢，p ( 。) “2 ( 。) 加f a ( t ) f u 唧) ) + 三例巾) 妒( 以丁) ) ， 叭) = 办f s 灿， 屁： 暑，q 2 限，愚： 盟r 1 4 ， 蛳 0 l 0 q 2 = 0 10 ，( 1 4 = 0 对乱，u h 叁【o ，0 - 2 ( 丁) 】我们定义 i a 2 ( t )i a ( t ) ( 秕，v ) o = p ( ) 札( 咖( t ) a t + q ( t ) u 口( 啪口( o a t + p l p ( o ) 乱( o ) u ( o ) 0，0 兰州大学2010 届硕十学位论文 十，6 2 p ( a ( t ) ) u ( a 2 ( t ) ) t ，( 口2 ( t ) ) ， i iz , 1 1 0 = 、( 玑) o ， 则”i i o 是e 上的等价范数并且我们有以下结果 引理2 1 1 如果u h i ( j 0 ， y 2 ( 丁) 】) ，则 ) l m 1 i b l l h 盖t 【o ，仃2 ( 丁) 】， 其中m = 讵m a x ( 口2 ( t ) ) ，0 2 ( t ) ) 一镛 证明：让。0 ；0 - 2 ( 丁) 】满足l u ( 。) 1 = 【咖n f i ：n ( 丁) 】l u ( ) 1 则有 u ( t 。) l 篮磐 从而，f j l h s l d e r 不等式知，对e 【0 y 2 ( 丁) 】有 l u ( ) i i u ( t o ) f + i “( t ) l a t 高广i 川籼o 矿汀p f 高p ，；nm 驯卜徊，；np | 2 f ) 2 以m a x ( 盯2 ( 丁) ) ，( 盯2 ( 丁) ) 一钏| 1 引理2 1 2 我们有如下结论成立 口 俐j a c 1 ( e ，瓞) ，并且对，u e 有， ，i ( ，。) ，：( 矿口p ( t ) | ，i t a ( t ) ，( t ) ，+ “nq ( t ) ，尸( t ) ，口( f ) f + 阮7 ) ( o ) l ( o ) “o ) r 口( t )、 一a v 、。厂( f ，“口( ) ) ! 尸( t ) a t 十f 1 2 p ( a ( t ) ) u ( a 2 ( 丁) ) t j0 2 ( 7 1 ) ) 体n ) 解的存在性等价于厶在e 中临界点的存在性 m ) _ j z 。0 a ( t ) f ( f 1 f 9 ( f | ) ) t ，u ee , 贝。 ，c “，u ：z 。( t ) ，c 。，“盯c ，u 口c 。，。，u ，钞e ， 。j r 在e 上是弱连续的并且，7 是紧的 8 兰州大学2010 届硕十学位论文 引理2 1 3 如果 t l 。) ce 是有界的并且满足以( u m ) _ 0 当m + ，则 札m ) 有收敛子列 证明：相似于【3 0 】中命题b3 5 的证明，我们很容易证明此引理 1 7 2 2 一个解和两个解的存在性 记b m = z e ：l i x l l o a l 我们有如下结果 定理2 2 1 或者( p 1 ) 有一个解，或者对任意的m o ，存在a ( m ) ( 0 ，1 ) ，使 得( r ) 在o q b m 上有解 证明：记，= 1 1 ，对任意的m 0 ，记q o = i n f 诞b ml ( u ) 并且让 乱n ) 是j 在b m 上 的极小化序列凶为 u n ) 在e 中是有界的，e 是自反的，我们可以假设“n 。一u o 对某个u o e 凶为b m 是闭的，凸的，所以是弱闭的故? o b a f 所以南，的 弱下半连续件知， l ( u o ) l 后i r a 悯i n f ，( t z n k ) 2k 粤讹n - ) ：。班，m 。) = q 。 从而，l ( u o ) = i n f 。b ，j r ( u ) 如果u o b m ，则u o 是，的临界点冈此，引理2 1 2 ( i i ) 保证了i t 0 是( 只) 的 解如果1 加a b 胁则占也是，i a b 。，的极小值点，从而存在m 0 ，使得，7 ( “o ) = 一仇u o 因此，对1 1 e 有 c a ( t ) _ 7 ( “o ) “= ( 2 0 ，u ) o 一 ，( ，“i ) “口( o a t = 一i l l ( l l ，1 1 0 ) 0 也即， 南，巾弼矽f - ) 0 i * 1 此，( 岳) 有解i t 0t t l l u o l l o = 1 1 1 口 相似于【6 中例子的证明，我们可得如下结果 推论2 2 2 当o 2 ，s 0 使得 0 0 使得，当a ( 0 ，i t l ) 时，( r ) 至少有两个解 兰州大学2010 届硕+ 学位论文 证明：注意厶不是下方有界的，则存在 札n ) ce ，使得厶( u n ) j o 。，n _ 因此，当扎充分人时有，( “n ) 0 故存在肛2 0 ，满足r 2 一# 2 j ( u o ) 0 ，其 中r = l | t 。i l o ，j ( u o ) = s u p 。a b rj ( u ) 0 y e u e 一只。让8 ( ) 0 有，l ( 1 u ) 手 一，当一所以由山路引理，定理得证 口 下面我们假定如下假设成立 ( h 1 ) 存在6 ( ) c ( 【o ：丁】，( 0 ，+ 。) ) ，9 ( f ) c ( r ，肽) 使得f ( t ，f ) 6 ( ) 9 ( 专) 考虑如下特征问题 卜( p ( t b ( t ) ) + q ( ) ( t ) = a b ( t ) u 8 ( f ) 【0 7 1 ， ( 2 2 1 ) iq 1 札( o ) 一口2 u ( o ) = 0 ， o r 3 t 工( 盯2 ( 丁) ) + 0 1 4 u ( ( 丁) ) = 0 。 我们有 引理2 2 4 特征问题俚2 j j 的特征值是单的，可排成0 a 1 0 或妒1 ( ) 0 ，t 【0 ，7 1 ，则引理偿2 钏中n e 可换为h x ，结 论仍然成立 从而，我们有如下结果 定理2 2 7 假设( 1 ) 成立并且l i m s u p - + + 。- 夕n - ) = a l , 那么，如果。l 0 ，则 当a ( o ，+ 。o ) 时，( r ) 至少有一个解，如果仃l 0 ，则当a ( o ，鲁) 时，( r ) 至少 有一个解 i , f n ：由引坪2 1 2 ( i ) 知，厶c 1 ( e j r ) 如果n l 0 ，则我们很容易发现对仟 意的入 0 ，厶是强制的又凶为厶是弱下半连续的，凶此，a 有一临界点故， 当a 0 时，( r ) 有解 女i i 果n l 07 则对a ( o ，鲁) 由假设知，存在 0 g 0 使得a 0 ，q o ，p 2 ，p a 2 z2 - w l l ( 0 ，口( 7 1 ) ) ) ，使得对任意的 【0 t 】有 f ( ，) 臼2 ，i 引c l ， 半驯氓i 1 - 仍，i 搿半 0 时，对任 意的a ( 务，鲁) ，( r ) 有一非平凡解 i l i o n ：如果n 2 0 ，南条件( h 2 ) ，对给定的a ( 嘉鲁) ，存在 0 ，j 0 使得 且厂( ：) ( a 2 + ) 6 ( ) i f i ，t 0 ，丁】，i f i 6 因此，对札e ，女果l u ( t ) l 蠹，t 【o ，盯2 ( 丁) 】，其中a ，1 是一在引理2 1 1 中所确 定的常数，则 f o a ( t ) f ( 俐z 字j 厂0 _ ( 舭( c 惝 二 所以，当i i ( 互1 一訾) 晤 相似地，如果a 2 0 ，a 0 ，那么，“= 0 是厶的一局部极小点 让是对应于a l 的特征函数，则对给定的a ( 每，等) ，存在e ( o p ) 使 得a 凼凶此，南( 3 ) 存在c f 4 0 使得 r ( t ，f ) 卢2 一a ( 一) f 2 一a ，t 【0 丁】：r 敞 r 2，4 ( 丁) 厶( r 妒) i i 妒l l ；一a ( 一e ) r 2 l 妒。( ，) 1 2 a t + a a - t ，0 = ( 等一a ( 卢一) ) ，2 o 州nl 乒。( ) 1 2 + a a 卜回址明( h 3 ) 1 呆址j ( 尸s ) 条仟成豆从向，出山跆引埋，定理得让 假设n 。) ce 是( p s ) 序列如果m = 。l i o _ 。，则有 焘z 州n 一永，“：( c 。去( 笤一，) 如果i 让z ( ) i 。+ o 。，n _ c x ) ，则 n 1 1 1 s 。l l p 等掣剑ms 1 p 繁铲t i - 警姐 no。 几 n o o u 而川一二 兰州大学2010 届硕士学位论文 若存在m 0 满足i 札：( ) l m ，n n ，贝1 l i ms u p 些掣= 0 因 件( h 3 ) ，可得 1t o ( t ) l i m s u p 专 一。( 以札三( ) ) 0 n - - + o o 熊j o 一 从而有鸶一1 0 ，这与假设p 2 矛盾 定理2 2 9 假设厂满足( 1 ) ，l i ms u p l j 一+ o 。哿= a l 且下列假设成立 似，存在常数1 b 0 ，r 0 使得仃( 2 劈9 ( s ) d s 以( 2 ，蚓r 此，由条 口 进一步，如果存在i 1 使得上a i + i 鲁：则当口l 0 时，对任意的a 【嘉，鲁】， ( r ) 至少有两个解，当n 1 0 时，对任意的入【嘉，酉a i 4 - 1 】n ( o ，a 2 n t 。) ，( r ) 至少有 两个解 证明：由定理2 。2 7 证明知，当入( o ，舞) 时，i a 是下方有界和强制的，这里， 若0 1 0 ，我们把盎看做+ 。o 【大i 此，当入( o ，