（基础数学专业论文）整函数及其差分多项式的唯一性问题.pdf

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e n c ep o l y n o m i a l s 2 1 3 1 p r e l i m i n a r i e sa n dm a i nr e s u l t s 2 1 3 2 l e m m a s 2 2 3 3 t h ep r o o fo fm a i nr e s u l t s 2 4 r e f e r e i l c e 8 ：1 9 a c k n o w l e d g c m e n t s 3 4 山东大学硕士学位论文 整函数及其差分多项式的唯一性问题 张春会 ( 山东大学数学学院，济南，山东，2 s 0 1 0 0 ) 中文摘要 上世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 引进了贬纯函数的特征函数， 并建立了两个基本定理，发表了他关于亚纯函数理论的文章，也就是后来的重 要的数学理论n e v a n l i n n a 理论f 1 1 ，即复平面c 上的亚纯函数值分布理论这 一理论是二十世纪最重大的数学成就之一，不仅奠定了现代亚纯函数理论的基 础，而且对数学的许多分支的发展、交叉和融合产生了重大而深远的影响，特别 是在复域中常微分方程大范围解析解的研究中r n e v a n l i n n a 利用他所创立 的亚纯函数值分布理论，研究了确定一个弧纯函数所需要的条件，得到著名的 n e v a n l i n n a 五值定理和n e v a n l i n n a 四值定理，从此拉开了亚纯函数唯一性理论 研究的序幕半个多世纪以来，国内外诸多数学家致力于此领域的研究，取得了 一系列令人瞩目的成果其中，仪洪勋教授做出的一系列富有创造性的成果( 参 见f 4 1 ) ，引起了国内外许多知名数学家的关注，有力地推动了亚纯函数唯一性理 论的发展随着n e v a n l i n n a 理论自身的不断发展，以它为主要研究工具的亚纯 函数唯一性理论取得了蓬勃的发展( 参见f 2 5 1 ) ，同时广泛的应用到复分析其他 的领域中，如势理论，复微分及差分方程理论，多复变量理论，极小曲面理论等 复筹分方面的n e v a n l i n n a 理论是最近才确立的其中，最关键的结果是差 分对数导数引理，h a l b u r d - k o r h o n e n 1 4 1 和c h i a n g - f e n gf 1 5 1 给出了这个引理的 两种表达形式h a l b u r d - k o r h o n e n 【16 1 在差分算子的基础上建立了n e v a n l i n n a 理论i s h i z a k i 和y a n a g i h a r af 1 7 1 研究了差分方程慢增长的解的性质，并且给出 了在微分方程中著名的w i m a n - v a l i r o n 理论的差分定理b e r g w e i l e r 和l a n g l e y f 1 8 ，1 9 】研究了慢增长的亚纯函数的差分算子的值分布论同样n e v a n l i n n a 理论 这一重要工具可以运用在复差分方程哑纯解方面的研究起初，也即二十世纪的 早期，b a t c h e l d e r 6 ，n s r l u n d 7 和v 、，q f i t t a k e r 8 i 在这个方面做出了重大贡献后 山东大学硕士学位论文 来，s h i m o m u r a 9 】和y a n a g i h a r a 1 0 - 1 2 】利用n e v a n l i n n a 理论研究了非线性复差 分方程的解2 0 0 7 年：h a l b u r d - k o r h o n e n 1 3 证明了亚纯函数有穷级解的存在 性是检测差分方程可解性的一个有力工具，激起了广泛的研究兴趣 本论文主要介绍作者在杨连中教授的精心指导下，利用n e v a n l i n n a 理论就 整函数及差分多项式的值分布问题所做的一些研究，得到了一些结果全文共分 为三章： 在第一章中，我们简单介绍了本文的研究背景，n e v a n l i n n a 基本理论中的常 用记号并叙述了哑纯函数唯一性理论中的一些基本概念和经典结果 在第二章巾：我们简单回忆了差分的对数导数引理，差分的c l u n i e 引理在 此基础上，作者在整函数及其差分乘积的值分布方面做了一些研究，得到了如下 结论： 定理1 设，( 。) 是有穷级的超越整函数，n ( z ) 是f ( z ) 的一个小函数当 n 2 时，m n ，则差分多项式，( z ) “( ，( z ) m 一1 ) f ( z + c ) 一“( ：) 有无穷多个零 点其中，c 是非零复数，n 是正整数 从l a i n c 和c c y a n g 于2 0 0 7 年发表的差分多项式的值分布一文( 2 0 t h e - o r e ml 】) 和定理l ，我们可以看出，定理l 中的扎可以是任意的正整数鉴于此， 我们得出了当n = l 时，对应于定理1 的一个结论： 定理2 在定理1 的条件下，当m 3 时，差分多项式，( z ) ( ，( z ) 一1 ) f ( z + c ) 一n ( z ) 有无穷多零点 在第三章中主要讨论了两个差分多项式分担一个公共小函数的唯一性问题， 得到的主要结论如下： 定理3 设( z ) 和9 ( z ) 是两个有穷级的超越整函数，o ( z ) 是关于，( ：) 和 9 ( z ) 的小函数令c 是非零常数：m ，n n 当n m + 6 时，且，( z ) “( ，( z ) “一 1 ) f ( z + c ) 和9 ( 。) ”( 9 ( 。) ”一1 ) g ( z + c ) 分担a ( z ) c m ，那么f ( z ) 三幻( z ) ，这里 t m = t n + i = 1 山东大学硕上学位论文 定理4 在定理3 的条件下，若仡之4 m + 1 2 时，且差分多项式，( 2 ) n ( ，( z ) ”一 1 ) f ( z + c ) 和9 ( z 尸 ( z ) m 1 ) g ( z + c ) 分担q ( z ) i m ，那么f ( z ) 三纫( ：) ，其中 t m = t n + l = 1 关键词：整函数；差分多项式：o 有穷级；分担值 i i i 山东大学硕上学位论文 u n i q u e n e s so f e n t i r ef u n c t i o n sa n dd i f f e r e n c e p o l y n o m i a l s c h l m h u iz h a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t i n1 9 2 0 s ，r n e v a n l i n n ai n t r o d u c e dt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n so fm e r o - m o r p h i cf u n c t i o n sa n dg a v et h ef a m o u sn e v a n l i n n at h e o r y 【1 】w h i c hi so n eo ft h e g r e a t e s ta c h i e v e m e n t si nm a t h e m a t i c si nt h e2 0 t hc e n t u r y i tp l a y sb a s i cr o l e s f o rm o d e r nr e s e a r c h e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h e o r y 2 ，3 ，4 ，5 】a n dh a sav e r y i m p o r t a n ti n f l u e n c eo nt h ed e v e l o p m e n ta n ds y n r e t i s mo fm a n ym a t h e m a t i c a l b r a n c h e sa s s o e i a t e dt ot h ed e v e l o p m e n to ft h en e v a n l i n n at h e o r yi t s e l ls o m en e w b r a n c h e sh a v ea p p e a r e db a s e do nm a i nm e t h o d sa n dr e s u l t sf r o mn e v a n l i n n at h e - o r ye s p e c i a l l y , n e v a n l i n n at h e o r yh a sb e e nu s e da sav e r yp o w e r f u lt o o la n dh a s m a d et h e r e s e a r c hf i e k lm o r ea c t i v ea n dp o p u l a ra f t , c 誓i tw a ss u c c e s s f i l l l ya p p l i e x l t ot h er e s e a r c ho ft h eg l o b a la n a l y t i cs o l u t i o n so fc o m i ) l c xd i f f e r e n t i a le x l u a t i o n s 嗽i n g - a d v a n t a g eo ft h et h e o r ym a d eb yh i m s e l lr n e v a n l i n r ms t u d i e dt h e c o n d i t i o n sw i t hw h i c ham e r o m o r p h i cf u n c t i o nc a l lb ed e t e r m i n e da n do b t a i n e d t w oc e l e b r a t e dm f i q u e n e s st h e o r e m so nn m r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w h i c ha l ec a l l e d n e v a n l i n n a sf i v e - v a l u et h e o r e ma n df o u r - u a l u et | l e o l e u l s i n c et h e n t h er e s e a r c h o fu m r o m o r p h i cf u n c t i o n sb e g a n f o ro v e rah a l fc e n t u r y ：m a n ya b r o a da n dd 伽 m e s t i cm a t h e m a t i c i a n sh a v ed e v o t e dt h e m s e l v e st ot h er e s e a r c ha n do b t a i n e dl o t s o fe l e g a n tr e s u l t so nt h eu n i q u e n e s st h e o r y i nt h ep a s tt w od e c a d e s ，p r o f e s s o r h x y id i dm u c hc r e a t i v e w o r ko nt h eu n i q u e n c s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c - t i o n s ，a n dw e l li m p r o v e dt h ed e v e l o p m e n to ft h eu n i q u e n e s st h e o r y m o r e o v e r ， n e v a n l i n n at h e o r ya n di t se x t e n s i v eh a sn u m e r o u sa p p l i c a t i o n si ns o m ef i e l d so f m a t h e m a t i c s ，f o re x a m p l e ，p o t e n t i a lt h e o r y , c o m p l e xd i f f c r c n t i a la n dd i f f e r e n c e e q u a t i o n s ，s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，m i n i m a ls u r f a c e ，a n ds oo n d i f f e r e n c ec o u n t e r p a r to ft h et h e o r yo fn e v a n l i m mt h e o r yh a w ：b e e ne s t a b - l i s l e ( 1v e r yr e c e n t l y t h ek e yr e s u l ti st h ed i f f e r e n c ea n a l o g a mo ft h el e m m ao nt i l e l o g a r i t h m i cd e r i v a t i v eo b t a i n e db yh a l b u r d k o r h o n e nf 14 】a n dc h i a n g - f e n g 15 ， 一i v 一 山东大学硕士学位论文 i n d e p e n d e n t l y h a l b u r da n dk o r h o n e n 1 6 】a l s oe s t a b l i s h e dav e r s i o no fn e v a n - a n n at h e o r yf o rd i f f e r e n c eo p e r a t o r s i s h i z a k ia n dy a n a 酉h a r a 1 7 】a l s od e v e l o p e da v e r s i o no fw i m a n - v a l i r o nt h e o r yf o rs l o w l y 铲o w i n ge n t i r e s o l u t i o n so fd i f f e r e n c e e q u a t i o n s b e r g w e i l e ra n dl a n g l e y 1 8 ：1 9 lc o n s i d e r e dt h ev a l u ed i s t r i b u t i o n so f d i f f e r e n c eo p e r a t o r so fs l o w l yg r o w i n gm e r o m o r p h i ( ：f u n c t i o n s s i m i l a r l y , n e v a n - a n n at h e o r yi sa l s oap o w e r f u lt o o li nt h er e s e a r c ho fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s a tf i r s t t h a ti st h ee a r l yy e a r si n2 0 t hc e n t u r y t h ef o u n d a t i o no ft h et h e o r yo fc o m p l e x d i f f e l e n c ee q u a t i o n s 删l a i db yb a t c h e i d e r1 6 l ，n s r l u n d 【7 1 a n dw h i t t a k e r 【8 ji n t h ee a r l yt w e n t i e t hc e n t u r y l a t e ro i l ，s h h n o m u r a 【9 l a n dy a n a g i h a r a 【1 0 ，1 1 ，1 2 】 s t u d i e dn o n l i n e a rc o m p l e xd i f f e r e n c ee q u a t i o n sf r o mt h ev i e w p o i n to fn e v a n l i n n a t h e o r y i nt h ey e a r2 0 0 7 ，h a l b u r da n dk o r h o n e n 【13 】p r o v e dt h a tt h ee x i s t e n c e o ff i n i t eo r d e rs o l u t i o n si sag o o dd e t e c t o ro fi n t e g r a l f i l i t yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ， s i n c et h e n ，m e r o m o r p h i cs o l u t i o n so fc o m p l e xd i f f e r e n c ee q u a t i o n sh a v eb e c o m e as u b j e c to fg r e a ti n t e r e s t t h ep r e s e n tt h e s i si sap a r to ft h ea u t h o r sw o r ko nt h ev a l u ed i s t r i b u t i o no f e n t i r ef u n c t i o n sm i di t sd i f f e r e n c ei ) o l y n o m i a l s i tc o n s i s t so ft t t r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e rl ，w er e c a l lt h eb a s i cb a c k g r o u n do fn e v a n l i n n at h e o r ya n d8 0 m e n o t a t i o n sw h i c ha r ea l w a y su s e di no i l l s t u d i e s i ta l s oi n c l u d e ss o m ec l a s s i c a l r e s u l t si nu n i q u e n e s st h e o r yo fv a h l es h a r i n g “ i nc h a p t e r2 ，w es h o r t l yr e c a l ld i f f e r e n ( ：ea n a l o g u e so ft h el e m m ao i lt h e l o g a r i t h m i cd e r i v a t i v e ，o ft h ec l u n i el e m m a ，a n do ft h es e c o n dm a i nt h e o r e m a n dt h e i rc o n s e q u e n c e s t h e nw em a k e ss o i n er e s e a r c ho i lt h ee n t i r ef u n c t i o n s a n t it h e i rd i f f e r e n c ep o l y n o m i a l s ，a n t io b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1 l e t ，( z ) b eat r a n s ( c n d e n t a le n t i r ( 1f l m c t i o no ff i n i t eo r d e r ，a n d n ( z ) b eas m a l lf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt o ，( z ) i fn22 ，m n ，t h e nt h ed i f f e r e n c e p o l y n o m i a l ，( z ) ”( ，( 2 ) ”一1 ) f ( z + c ) 一n ( z ) h a si n f i n i t e l ym a n y7 t a r o s f r o mt h ep a p e r 一v a l u ed i s t r i b u t i o no fd i f f e r e n c ep o l y n o m i a l s b e l o n g i n g t oi l a i n ea n dc c y a n g 【2 0 ，t h e o r e ml la n dt h e o r e m1 ，i ti si n t e r e s t i n gt o r e m a r kt h a tnc a nb ea n yp o s i t i v ei n t e g e r w ea l s oo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t i fn = 1 u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m1 ： 一v 一 山东大学硕上学位论文 t h e o r e m2u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m1 ，讧仇3 ，t h e nt h ed i f f e r e n c e p o l y n o m i a l 厂( z ) ( ，( z ) “一1 ) ( z + c ) 一a ( 2 ) h a si n f i n i t e l ym a n yz e r 0 8 i nc h a p t e r3 ，w cs t u d yt h eu n i q u e n e s so fd i f f e r e m 七p o l y n o m i a l so fe n t i r e f u n c t i o n ss h a r i n go n es m a l lf u n c t i o n ，a n do b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m3l e tf ( z ) a n dg ( z ) b et r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o n so ff i n i t eo r d e r ， a n dq ( z ) b eas m a l lf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt ob o t h ( z ) a n d9 ( 名) s u p p o s et h a tc i san o n - z e r oc o n s t a n ta n dm ，n n i f n2 m + 6 ，a n d ，( z ) ”( ，( z ) ”一1 ) f ( z + c ) a n d 夕( z ) “( 9 ( ：) ”一1 ) g ( z + c ) s h a r eq ( ：) c m ，t h e nw eh a v e ( z ) 兰t g ( z ) ，w h e r e t m = t n + l ：1 t h e o r e m4u n d e rt h ec o n d i t i o n so f t h e o r e m3 i f n 4 m + 1 2 ，a n d ，( 2 ) “( ，( ：) m 一 1 ) f ( z + c ) a n d9 ( z ) “0 ( 。) ”一1 ) 9 ( z + c ) s h a r en ( z ) i m ，t h e n ( z ) 三t g ( z ) ，w h e r e t m = t n + l = 1 k e y w o r d s ：e n t i r ef l m c t i o n s ；d i f f e r e n c ep o l y n o m i a l s ；s h a r e dv a h m ：f i n i t e 0 r d e r 一v i - 山东大学硕士学位论文 第一章前言及预备知识 1 1 前言 二十世纪二十年代，n e v a n l i n n a 通过对p o i s s o n j e n s e n 公式的研究引入了 亚纯函数特征函数的概念，并研究了亚纯函数问特征函数的关系在此基础上创 立了现代亚纯函数值分布理论，即n e v a n l i n n a 值分布理论随着它的不断发展， 以其为主要研究工具的一些函数论分支应运而生 我们知道，多项式除了一个常数因子外，由其零点( 亦即取零值的点集) 而 定，但对超越整函数及亚纯函数来说，仅仅考虑零点是不够的因此如何来确定 一个亚纯函数的讨论就显得复杂而有趣了所谓亚纯函数唯一性理论是探讨在 什么情况下只存在一个函数满足给定的条件，以及满足给定条件的函数之间有 什么样的关系 亚纯函数唯一性理论是近几十年国际上较为活跃的研究课题有着极为丰 富的研究内容涉及公共值的亚纯函数唯一性问题的研究起源于n e v a n l i n n a 的 一些研究工作，他所建立的5 i m 公共值定理，4 c m 公共值定理都是这一领域 的经典结果迄今为止，国内外许多的著名学者如w k h a y m a n ：f g r o s s ，m o z a w a ，e m u e s ，g f r a n k ，g g u d e r s e n 熊庆来，杨乐，仪洪勋，扈培础， 杨连中，杨重峻，李平等也在亚纯函数唯一性理论方面做了大量的研究工作， 取得了一系列引人注目的研究成果 1 2 n e v a n l i n n a 基本理论概要 在n e v a n l i n n a 理论中，p o i s s o n - j e n s e n 公式起着十分重要的作用，是 n e v a n l i n n a 理论的基础。我们首先介绍一下p o i s s o n - j e n s e n 公式 定理1 2 1 设函数厂( ( ) 在矧n ( o r 。c ) 上亚纯：( p = 1 ，2 m ) ，k ( v = 1 2 n ) 分别是，( ( ) 在 r 内的零点和极点若z = r e 埘为 一l 一 山东大学顾上学位论文 蚓 r 内不与，k 相重的任意一点，则 1 0 9i f ( z ) l = i lf 0 2 l o gl f ( j r e 吲万慕南如 + 脚l o g r ( z - a 粤憔n 魄i 制l 注1 2 1 该公式的证明参见【3 】或【2 1 特别地：在定理1 2 1 的条件下，若，( ( ) 在i ( i r 上没有零点和极点：则对 于任意点。，z = r e 硼( o 7 冗) ，有 l o g 1f 0 2 ，o gi f ( p c e 吲而篆；再却， 这就是p o i s s o n 公式 当：= 0 时，若f ( 0 ) 0 ，o 。，则 t 昭i 们) i = 去z h - 哩彬列却一善m - 。g 而r + 善nt 。g 南， 这就是j e n s e n 公式 若硝j ) = 0 或，设，( ( ) 在原点领域内l a u r e n t 展式为 ，( ( ) = 舐( + c + l ( + 1 + ：c 0 ， 则 l o 舭柙专) l o g r = 斯”l o g 叭刚刊却- 叫z 眯r 蚝而r +log南州吖)iog咒0 l a t i r 这就是j e n s e n 公式的一般形式 r n e v a n l i l m a 基于j e n s e n 公式引入了亚纯函数f ( z ) 的平均值函数7 n ( n ，) ， 极点计数函数n ( r ，f ) 与特征函数t ( r ，f ) 等相关概念下面我们介绍有关定义 本文中，如无特殊说明，所提到的亚纯函数均指开平面c = z ：h o 。 中的亚纯函数用e = z ：h uo o 表示扩充复平面 z 山东大学硕上学位论文 。g + z = l o g x ：三：i ( 正对数的性质参见【2 1 1 ) 设，( z ) 为r ( o r o c ) 上非常数的亚纯函数，对于0 r r ， 定义1 2 x 2 1i ( z ) 的平均值函数定义为 r e ( r , ”= 去序o g + i ，( r e 加) l d o m ( r ， ) 可类似定义则由正对数的性质可知。l e n s e n 公式中的积分项 去”l o gl ，( 鼢如) l d 妒对应m ( r ，) 一m ( r ，；) 另外由正对数的性质易证 p p m ( n 乃) m ( r 厶) 其中，厶( z ) u = l ，2 一p ) 为p 个r ( o r 。c ) 上的亚纯函数 定义1 2 2 f 2 j ，( z ) 的极点计数函数定义为 ( 堋) ：厂坐掣n ( o ：f ) l 吼 j 0 o 其中，。( 厶，) 表示，( z ) 在t 上的极点的个数，且重极点按重数计算n ( o ，i ) 表示，( ：) 在原点处的极点的重数( 当f ( o ) o o 时，n ( o ：，) = o ) 若f i ( z ) ( j = l ，2 ，p ) 为p 个n ( o r ) 上的亚纯函数则对 l r r 有 p p ( n 厶) 、r ( n 厶) 一3 一 pg b + 厅 rm p 岸 一 艿 p 岸 p m 元p p 纠 一 厶 p 芦 0 山东大学硕士学位论文 ( 证明参见【2 1 】) ，( z ) 的零点计数函数( r ) 可类似定义，则j e n s e n 公式中的求和项 分别对应n ( r ， 以改写成为 这样。l e n s e n 公式就可 l o gi c x l = m ( r ，) 一m ( t 7 1 ) 一( n7 1 ) 十v ( r ，) 定义1 2 3 2 】 丁( r ，f ) = m ( r ，f ) + n ( r ，) m 手) = m ( l7 1 ) + r ( n7 1 ) 由上可知j e n s e n 公式有如下形式 r p ，) = ? ( n 7 1 ) + l o g i 以1 此形式说明j e n s e n 公式的核心是函数t ( r ，) 有理由认为它是亚纯函数的 一种特征：故n e v a n l i n n a 称其为特征函数 由上面叙述的m ( r ，f ) 与( nf ) 的性质易得特征函数也有如下性质： 其中办( z ) 0 = l ，2 ，p ) 为p 个h n ( o r o o ) 上的亚纯函数，1 r r 设a 为任一有穷复数：，( z ) 为h r ( 0 r ) 上的非常数亚纯函数， 则7 两1 二也是r ( 0 r o o ) 上的亚纯函数，y , i 再im ( r ，击) ，( r ，南) 与 t ( r ，击) 可以根据定义1 2 1 1 2 3 类似定义 一4 一 g o ， 0旦叫旦叫 一i 螺 娣 m纠脚叭 和 g o “” n 厶p 丁 p 一 厅 p p r pg k十 易 rr p 础 一 厅 p 芦 p 丁 1 山东大学硕上学位论文 利用j e n s e n 公式的特征函数形式，n e v a n l i n n a 建立了关于亚纯函数的 n e v a n l i n n a 第一基本定理 定理1 2 2 f 1 4 】( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设f ( z ) 在例 p ( x ) 内亚纯，n 为任一有穷复数，且( z ) a ，则对于 0 r 0i l a r o 。 - n = l 如果 n 。 为，的n 值点，则，的n 值点的收敛指数等于 a ( ，。) ：l i r as u p l o g t n ( r , a , f ) 定理1 2 3 ( b o r e l 引理) 【4 1 ：设t ( 7 ) 为上r o r + 。c 连续非减函数 t ( r o ) l ，则至多除去r 的一个集合岛后恒有 丁( h 而1 ) 2 丁( r ) 且e o 的线性测度不超过2 定理1 2 4 1 4 1 ( 对数导数引理) ：设f ( z ) 为非常数亚纯函数且f ( o ) 0 ，x 则对于0 r r + 。c ) 有 注1 2 2 当，( o ) = 0 或时，适当变更一下( 1 2 3 ) 式中右端的最后两个 常数项及其各项系数后结论仍然成立 定理1 2 5 1 1 4 1 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理) ： 设y ( z ) 为非常数亚纯函数，0 = l ：2 ，口) 为q ( 3 ) 个判别的有穷复数， 则 ( q - 2 妒( r ，) 0 ，我们称a 为f ( z ) 的亏值，而 6 ( o ，f ) 称为a 关于f ( z ) 的亏量 定理1 2 8 ( 4 】( 亏量关系) ：设f ( z ) 为复数域c 上的非常数亚纯函数，则f ( z ) 的亏值至多有可数个且相应这些亏值的亏量总和满足 地，) 5 0 ( a ，) 2 o e 口e 1 3 唯一性理论中的经典结果和常用记号 n e v a n i i n n a 理论在亚纯函数的唯一性理论方面有着广泛的应用本节我们 将给出亚纯函数唯一性理论中的常用记号，并叙述一些基本概念和结果 我们首先介绍几个常用的记号 设f ( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，a 为任意复数：再设f ( z ) 一a 的零点为 z n ( n = l ，2 ，) 如果磊( n = 1 ，2 ，一) 也是夕( z ) 一口的零点( 不计重数) ，则记为 或者 f = a = 争g = a g = a 仁，= a 一9 一 山东大学顾上学位论文 如果z r i m = l ，2 ，一) 是( z ) 一n 的蚝重零点时，2 。( n = l ，2 ) 也是9 ( z ) 一n 的至少重零点则记为 ，= a g = 乜， 或者 9 = n _ ，= n 因此我们有如下定义 定义1 3 1 【l 一4 】：设( z ) 与9 ( z ) 为非常数亚纯函数，a 为任意复数， ( 1 ) 如果，= a ；g = n 则称n 为f ( z ) 与g ( z ) 的c m 公共值 ( 2 ) 如果，= a 营夕= a 则称a 为( z ) 与g ( z ) 的i m 公共值 注1 3 1 ，( z ) 与g ( z ) 分担c m ( i m ) 是指；与；分担0c m ( i m ) 定义1 3 2 1 4 1 ：设l ( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，a ，b ，c ，d 为四个有穷复 数，若 ，三掣( o d b c o ) l 9t a 则称i ( o ) 是g ( z ) 的分式线性变换( 亦称m s b i u s 变换) n e v a n l i n n a 利用他所建立的基本定理，证明了如下两个著名的亚纯函数唯 一性定理( 参见【1 1 一【4 】) 定理1 3 1 ( 五i m 值定理) ： 设l ( z ) 与- 9 ( z ) 为非常数亚纯函数，a j ( j = 1 ，