（电磁场与微波技术专业论文）矩量法在微带结构分析中的应用.pdf

摘要 本文利用矩量法对微带结构的特性进行了详细地分析。既对微带结构 的空域并矢格林函数进行了分析，而且把这种分析方法应用于微带传输线、 9 0 度弯折和微带天线之中。 微带结构的空域并矢格林函数通常是通过很耗计算时间的 s o m l n e r f e l d 积分来表示的。本文利用s o m m e r f e l d 恒等式对被积函数分式 进行指数函数逼近，将格林函数分解成准动态项、表面波和漏波项，而对 漏波项的积分通过p r o n y 法进行指数逼近，从而得到了格林函数的闭合形 式解。采用此方法能大大节省计算时间，所得结果与沿实轴数值积分结果 吻合很好。 采用矩量法技术来分析接任意负载的微带传输线和微带弯折。结合电 压、负载、电流之间满足欧姆定律的特点，端口电压可以用端口电流和负 载值表示出来，把用端口电流和负载表示的端口电压视作激励源，通过引 入半基函数和半检验函数，建立各端口电压与线上电流之间的关系，从而 实现矩量法分析微带端口接任意负载的目的。 同时对微带天线进行了矩量法分析，通过计算微带贴片表面电流来求 微带天线的输入阻抗、方向图、s 参数等特性参数。用传统理论对问题的 分析结果判定其正确性。 关键词：矩量法、微带结构、基函数、检验函数 a b s tr a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h e c h a r a c t e r i s t i c so f m i c r o s t i p s t r u c t u r e sa r e a n a l y z e db yt h em e t h o d o fm o m e n t ( m o m ) i nd e t a i l t h es p a t i a l d o m a i nv e c t o r g r e e n sf u n c t i o nf o rt h e m i c r o s t r i p s t r u c t u r ei s a n a l y z e d b a s e d o nt h is m e t h o d ，m i c r o s t r i pt r a n s m i s s i o nl i n e ，m i c r o s t r i pb e n da n dm i c r o s t r i pa n t e n n a a r ea n a l y z e d t h es p a t i a l d o m a i nv e c t o rg r e e n sf u n c t i o nf o rt h em i c r o w a v es t r u c t u r ei s g e n e r a l l yr e p r e s e n t e db yt i m e c o n s u m i n gs o m m e r f e l di n t e g r a l i nt h i sp a p e r ， t h ec l os e d f o r mc a nb ea b t a i n e db yu s i n gs o m m e r f e l di d e n t i t ya n dp r o n y m e t h o d e a c hg r e e n sf u n c t i o ni s s e p a r a t e d i n t ot h r e e t e r m s ， n a m e l y ：q u a s i d y n a m i c ，l e a k yw a v e ，a n d s u r f a c e w a v e u t i l i z i n gt h e m e t h o d c a nd e c r e a s em u c hc p ut i m e t h er e s u l t sa g r e ew i t ht h eo n e so fn u m e r i c a l i n t e g r a t i o na l o n gr e a la x i s t h em o m t e c h n i q u ei s u s e dt od e a lw i t ha na r b i t r a r yl o a dm i c r o s t r i p t r a n s m i s s i o nl i n ea n db e n d t h eb a s i sa n dt h et e s t i n gf u n c t i o n sa r es e l e c t e da s r o o f t o pa n dp u l s ef u n c t i o n sr e s p e c t i v e l ya l o n gt h eb e n d t h eh a l fb a s i s a n d t e s t i n gf u n c t i o n sa r eu s e da t t h ee x c i t a t i o na n dl o a d i n gp o r t s t h et r i a n g u l a r b a s isf u n c t i o n sa r eu t i l i z e dt os o l v et h eb e n dp a r t a tt h es a m et i m e ，t h i sp a p e rh a sa n a l y z e dm i c r o s t i r pa n t e n n au s i n gm o m i n p u ti m p e d a n c e ，r a d i a t i o n f i e l da n ds p a r a m e t e rh a v eb e e nc a l c u l a t e db y m i c r o s t r i pp a t c hc u r r e n tg o tu s i n gm o m v a l i d i t i e so ft h e r e s u l t sa r ej u d g e d b yt r a d i t i o nt h e o r i e s k e y w o r d ：m o m ，m i c r o s t r i ps t r u c t u r e ，b a s i sf u n c t i o n ，t e s t i n gf u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：叠鱼堑日期：讹专年主- j qg b 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：叠鱼鱼导师签名：磁 日期：啪多年岁月岔日 电子科技大学硕士论文 第一章引言 随着通信、雷达和宇航技术的发展，对微波频段的电子元器件、电 路体积的小型化和轻重量等要求越来越高。微带结构是近几十年发展 起来的一种微波结构，它具有体积小、重量轻、频带宽、便于与微波 集成电路相连接等优点并能构成各种用途的微波元件，因此得到了广 泛的应用。其中，尤其是微带传输线( 包括微带弯折和微带天线) 在 微波集成电路中应用越来越广，成为微波集成电路中的重要组成部分 之一。 微带传输线的主要特点是：它由带状导体和面积很大的接地板构 成，在组成各种微波电路时，可借助于印刷技术，因而使电路的结构 和工艺大为简化。微带传输线由于它的这些特点，解决了微波电路小 型化、集成化中的主要矛盾。 1 ) 可用印刷的方法做出平面电路，电路结构十分紧凑； 2 ) 传输线的尺寸，不仅线的横截面，而且在沿着线的方向，也因 采用高介电常数的介质基片缩短了线上的波长而可大为缩减； 3 ) 微带线带条的半边是自由空间，连接微波固体器件十分方便。 正由于微带线的这些特点，使得微带线可以与微波固体器件一起 组成微波集成电路，而具有小型化、轻量化，生产成本低、生产周期 短，可靠性高等优势，因而在通信、航天等领域发展十分迅速。 微带天线是上世纪七十年代初期研制成功的一种天线。它是由一 个薄的介质片( 厚度h x ) ，其上面用金属沉积有矩形、圆形或其它 几何形状的辐射元，而背面贴以金属薄层做接地板所构成。辐射元可 用微带线或同轴线馈电。微带天线结构上的特点是体积小、重量轻、 薄的平面结构，能与飞行器共形，制造工艺简单、成本低；电气上的 特点是能得到单方向的宽方向图，最大辐射基本上在平面的法线方向， 易于实现线极化或圆极化和双频率工作。由于这些特点微带天线近年 来的发展速度也非常快。 由于上面所说的原因，近年来对微带结构的重视程度越来越大， 分析方法也越来越多，出现了全波分析法、模展开法、有限元法、矩 量法、时域有限差分法等多种分析方法。本文采用矩量法对微带结构 1 电子科技大学硕士论文 进行了详细的分析。 1 1 微带结构的分析方法 微带结构属于多导体传输线结构，其传输的基本模式是准t e m 模 1 儿2 ，早期对微带结构的分析就围绕这一模式展开，通过分析，得到 一给定微带结构的等效电路。最简单的等效电路就是一集总的r l c 电 路。然后求得传输线理论中的特性阻抗和传播常数，由此可求的导体 带上的电流电压分布，也可求得其他的网络参量。r 的引入可以把介质 损耗和导体损耗的因素考虑了进来，但对于辐射损耗( 表面波和空间 波) 则无能为力。微带等效电容和等效电感的计算可以分别通过解静 态 3 4 和准静态 5 】【6 的积分方程而得到。等效电容和特性阻抗的计算 也可通过复平面上的多角形变换而得到后一种方法的历史更长一点， 具体过程参见 2 卜一书。以上模式分析都只在工作频率较低时才比较准 确为在低频时辐射损耗非常微弱，可以忽略，且可以通过选择合适的 微带尺寸来抑制其他模式的产生。 波导模式考虑了微带结构的色散效应【7 ，但这种模式忽略了辐射 和表面波损耗。它限于分析薄介质片的情况。 微带结构的分析方法中最具广泛性和严密性的是电场积分技术 【8 9 ，电场积分( e f i e ) 方程技术一般是在谱域中进行，此方法又称 为全波分析法。这一名称暗示这一方法适合于对所有工作频率的分析， 而不象前面讲的分析方法那样受到工作频段的限制，所以，现在得到 了广泛的应用，也可以发现这一方法中包含了前面讲的t e m 模式和波 导模式。 1 2 矩量法研究微带结构概述 瓦和瓯 1 0 1 1 1 都是s o m m e r f e l d 型积分 1 2 】 1 4 】。根据格林函 数的含义，瓦和g 。的推导是先求得一单位电偶极子在微带结构中产生 的五和v ，再将其表示成相应的形式。微带集成电路的格林函数法计 算一书中介绍了两种推导方法，第种方法是先求得放在微带基片 2 电子科技大学硕士论文 上水平电偶极子产生的电磁场，微带基片上水平电偶极予产生的电磁 场的推导可以有两种方法： a 利用纵向场法求得满足微带边界条件得亥姆霍兹方程的解，实 际上是一边值问题的求解，当然，由于水平电偶极子这一涉及到电流 的边界条件的特殊性( 为d e l t a 函数) ，磁场的求解要先转到谱域进行。 b 由于自由空间中水平电偶极子产生的电磁场为已知，是已球面 波，利用s o m m e r f e l d 恒等式，可将其化为无穷多个平面波之和，微带 介质上半空间的场可考虑为这些平面波和其反射波的叠加，介质内部 则为这些平面波的透射波，只要求得附有底板的单层板的反射系数和 透射系数，上述两区域的场就可求得，而这是很容易的事情。求得水 平电偶极子在微带结构中产生的电磁场之后，由于矢位j 必须满足奇次 亥姆霍兹方程：( v 2 + k o ) j = 0 ，由此可求得j 的某一分量的一般解的形 式。再利用辐射条件，还有五与电磁场的关系，可将j 的表达式求出； 又由于互= f 瓦歹出，其中j 应为水平电偶极子，且为已知，由此 可求出g 。，于是并矢格林函数求得。利用前面求出的互的表达式，加 上a 与v 之间满足洛仑兹条件；v 五= 一j w p e v ，可求得v ，但此时求得 的v 是电偶极予产生的标位，不能表示单个电荷产生的标位，要表示 单个电荷，需用到下面一个公式：v ( r ) = 一芦v g 。( r r ) 。 求g 。和g 。的第二种方法 1 5 1 6 和第一种方法差不多，也是先根 据“和v 满足亥姆霍兹方程。可写出其一般解的表达式，然后，把电 磁场边界条件化为j 和v 的边界条件，由此可求得电偶极子在微带结 构中以和v 的表达式，又通过与第一种方法同样的步骤可求得百。和g 。 由于微带线上的电流分布不仅与微带线的结构有关，还与其负载、 激励源、以及激励源内阻有关。由于负载、激励源、以及激励源内阻 是不确定的，随外界条件变化而定，所以，用矩量法求微带结构导体 带条上的电流分布必须解决任接负载和任接激励源【1 7 的问题，其实质 是建立导电带条电流分布与负载阻值的关系式。这部分简要叙述有关 论文中对任接负载问题的处理方法下一部分叙述激励源的等效方法。 本文介绍一种新的处理方法：由于各端口的电压、负载、电流之间 满足欧姆定律 1 8 ，端1 3 电压可以用端口电流和负载值表示出来。接 3 电子科技大学硕士论文 下来把用端口电流和负载表示的端口电压视做激励源，通过引入半基 函数和半检验函数，可以建立各端口电压与线上电流之间的关系。 微带平面电路端口处的电磁特性是非常复杂的，用矩量法对微带电 路进行分析时遇到的一个主要难题是要找到一种有效的、具有较高准 确度的激励源模拟机制( 下面简称激励机制) ，这种激励机制应该能够 精确描述每个端口处的电磁波传播特性。同时能避开端口处电流分布 的复杂性，或者从场方法模拟的角度讲，至少要简化端口处电流分布 的复杂性。下面介绍两种激励源的等效技术( 即就是激励源的模拟机 制) 。 第一种是所谓的行波激励 1 9 】，在这种激励机制中，把每个端口的 电流分解成入射和反射行波函数的叠加，因此，有关的散射参量能够 直接得到。 第二种是所谓的冲击函数电压激励( 英文为d e t a g a pv o l t a g e e x c i t a t i o n ) 18 ，它是用一冲击电压源来表示每个端口所加的激励，这 里假定每个端口离电路不连续处足够的远，高阶模式已经不存在，这 时，相应的模式导纳参数就能求得。以上两种方法最初是在分析开路 微带不连续性时提出来的。这两种激励方式在实践中都会遇到些问 题。比如，当考虑一个多端口平面电路时，使用行波激励给实际的设 计带来一些问题【1 9 。在采用冲击函数电压激励时，为了求得每个端口 的网络参数，需要在求得线上电流分布之后进行额外的计算，因此， 这种激励在处理多端口结构时不具有优势。鉴于以上原因，有入在差 基础上进行了一些改进。文献【2 0 】【2 1 】讲到了用匹配负载技术来加快对 s 参数的提取。 对于一般的规则微带结构，所划分的网格都是矩形网格，然后在上 面建立r o o f t o p 基函数，比如在处理单独的微带线、双耦合线等情况时， 就是采用的这种方法。在处理些特殊情况时，比如9 0 度拐弯微带传 输线，微带电挢等情况时，矩形网格已不能很好的逼近微带电路形状。 作为改进，引入了三角形网格划分，文献 2 2 中作了较详细的说明，虽 然，在文献 2 2 】中是对微带天线的分析，但是在微带电路中同样可以采 用。相应于三角形网格的划分，需要建立相应的三角形的r o o f t o p 基函 数，称为三角矢量电流基函数，可参阅 2 3 】和 2 4 】。 4 电子科技大学硕士论文 基函数和检验函数决定了矩量法中涉及的积分的收敛速度，不合 适的基函数和检验函数可能导致积分不收敛，因而得出错误的结果。 在对矩量法中涉及的积分经过全面系统的研究之后发现，基函数和检 验函数必须满足下面的准则【2 3 ： 1 在电流方向上，基函数和检验函数可微的阶数和必须大于或等 于1 。 2 在电流的垂直方向上，任何分区连续的函数或者奇点阶数小于1 的偶函数都可以选用。 当检验函数和基函数区域重叠时，积分项中分母等于零，积分变 为无穷大，出现所谓的自小块问题，这时，需单独处理。本文已经成 功的对这个问题进行的处理，取得了较好的结果，现以对矢量为积分 运算中涉及的自小块问题为例说明。在自小块问题的处理中，参考了 文献 2 4 中介绍的方法。 在用矩量法解积分方程时，总要得到一个线性方程组，这就涉及 到对系数矩阵元素的填充。由于积分项中被积函数的性质以及微带结 构的特殊性，使得系数矩阵也存在一些特点，比如对称性，还有。矩 阵各元素之间存在一些特殊的关系。如果加以利用，可以大大的减少 运算量，提高运算速度。 比如，在对耦合微带线的分析中，由于矢量位与标量位的格林函 数都只与场点到源点的相对距离有关，于是，只要计算矩阵的第一行 元素，其余的元素可根据其相对位置直接填充。又由于微带耦合线结 构上的对称，可把矩阵分区，分为自阻抗子矩阵和互阻抗子矩阵，显 然，这分块矩阵是对称矩阵，这也有利于加快对矩阵的填充。在分析 其他电路时。也要善于发现这些规律，以减少计算量，提高计算速度。 解由矩量法的到的线性方程组，就能获得微带导体带上的电流分 布。但此时，工作还没有完。我们要得到微带的一些特性参量，比如， 输入阻抗，s 参数等。如何从算得的电流分布求得我们需要的这些特性 参量，就是所谓的参数提取问题。 参数的提取与微带的激励机制有关，还与基函数的选取有关。不同 的激励机制和不同的基函数对应着相应的参数提取方法，这已在前面 激励源的等效技术一部分提到过，下面对以往文献中有关参数的提取 5 电子科技大学硕士论文 做一简单介绍。 文献 19 中采用的分域三角函数作为奇函数，端口处的电流被表示 为入射行波和反射行波的叠加，在这种激励模式下，解得电流分布之 后，自然就得到了各端口的网络参数。文献 1 6 中采用的是冲击函数电 压激励，在获得线上电流分布和电流最大值坐标后，就可求得输入阻 抗，反射系数。文献【2 0 】【2 1 】中同样采用的冲击函数电压激励，但在激 励端接以一匹配负载，在求得线上电流分布之后，亦可求得各端口的 反射系数。 1 3 本文研究的主要内容及贡献 本文主要用矩量法来分析微带结构，包括微带传输线、9 0 度弯折、 微带天线等三种形式。重点讨论了空域并矢格林函数的闭合形式解， 利用p r o n y 法来对s o m m e r f e l d 积分进行指数逼近，在很宽的频带范围 内( 1 2 0 g h z ) 对计算结果与直接积分进行比较，得到的结果非常接近， 这样就可以大大节省计算时间。并详细对微带结构进行了矩量法分析， 采用了任接负载的接入技术、激励源的等效技术、网格的划分技术。 对基函数和检验函数的选取、自小块问题的处理和广义阻抗矩阵的填 充进行了详细的论证，并对贴片上的面电流、面电压在不同的频率点 上的分布进行了详细的讨论。最后用矩量法求得了微带天线的x y 方向 的面电流，利用面电压和面电流来计算微带天线的输入阻抗，并对远 区场进行了矩量法分析。 综观全文的工作，主要贡献为： 首先对微带结构的空域并矢格林函数的闭合形式解进行了分 析，对s o m m e r f e l d 积分采用p r o n y 指数逼近，在进行大型矩 阵计算时可以大大的缩短计算速度。 介绍一哥中新的任接负载的处理方法。因为各端口的电压、负 载、电流之间满足欧姆定律，端口电压可以用端口电流和负 载值表示出来。接下来把用端口电流和负载表示的端口电压 视做激励源，通过引入半基函数和半检验函数，建立各端口 电压与线上电流之间的关系。 6 电子科技大学硕士论文 通过矩量法求得矩形微带天线贴片上的面电流，然后利用面 电流来计算远区场、输入阻抗和s 参数等特性参数。 1 4 本文的章节内容安排 本文在第一章引言中，阐述了微带结构的分析方法、本文研究的主 要内容及其贡献以及本文的章节内容安排。第二章介绍了微带结构的 空域并氏格林函数基本理论和分析方法，并重点讨论了s o m m e r f e l d 积 分直接求法与p r o n y 法近似的对比。第三章详细分析了矩量法在微带结 构分析中的应用。第四章讨论了利用矩量法来解决微带线的问题，用 激励源等效技术与任接负载的接入技术来分析微带的馈电与接负载 ( 或接地短路) 的情况。第五章给出了9 0 度微带弯的矩量法分析方 法，讨论了在拐弯的地方基函数和检验函数的选取。第六章详细给出 了微带天线的分析方法，利用矩量法求得微带贴片的表面电流，再利 用所求得的表面电流来求天线的辐射场，并与利用磁流元的方法计算 辐射场进行比较，得到了相同的场结构。 7 电子科技大学硕士论文 第二章微带结构的格林函数 2 1 微带结构并矢格林函数概述 2 1 1 并矢格林函数的引出 通过对电磁场理论的学习我们可以用标量格林函数局部地表 示矢量位的每一个直角分量，在求出了位函数后，便能仅由位函数和 位函数的法向导数确定电磁场的表示式。然而，矢量场将比矢量位出 现更多的分量，这就使得我们必须考虑怎么用简洁的方式来表达场源 众多分量之间的关系。一般地说，在一定的边界条件下，要用矢量源 来直接表示矢量场，由于在直角坐标中矢量源可以分解为i ，歹，三三个分 量，并且其中每一分量源所产生的矢量场一般并不与该分量源一致， 它又可以分解为三个直角分量。在这种情况下，如果只引入格林函数 的矢量形式，是不足以完备地表示出被积函数中格林函数与矢量源相 乘时各分量间复杂的取向关系的。实际上用这种法本来就是行不通的。 为了说明这一点，我们作如下分析：乘积运算符通常分为点积和差积， 如果两个矢量取点积，结果会得到一个标量，可实际上电磁场是一个 矢量；如果两个矢量取差积的话，结果当然会得到另一取向的矢量， 但是显然它也不能代表真正的矢量场。为了解决这个困难，需要提出 新的运算符号和表示方法，它就是并矢格林函数。 并矢格林函数代表的是“一个点源的场”。设在线性媒质空间中某 点尹处有一电流元：j ( f ) = j ，王+ j ，歹+ j ，j ，且它在场点f 处的产生的电场 为：e ( i ) = i e ：+ 芦，+ 旌：，则电流元和电场之间的一般关系可以用如下 的式子来表示 2 8 ： 一 ： 一 e ( ；) = 一j c o u o g ( i ，一) ，( i ) ( 2 一1 ) 写成展开式就是 2 8 ： 其中g ( 尹，i 。) = g 。g 。g 。z g f g fg ” g 。g 。g 。 盼 g i g 胛g 卫 g ，g 。吒 g 。g g ： ( 2 2 ) 称为电流源的电场并矢格林函数，显然是一个 电子科技大学硕士论文 张量。它的分量的意义也很明显：g 。，表示的就是y 方向的单位电流元 所产生的电场在x 方向的分量，其余各个分量的意义依此类推。这样， 通过引入并矢格林函数完美地解决了用一个简单的方式表示场源众多 分量的复杂关系的问题。这里需要说明的是不同的边界问题在一般情 况下是有着不同的格林函数的。 2 1 2 用并矢格林函数导出源为连续分布时的远区场强 刚才用并矢格林函数描述了空间中的一个点源产生的电场，现在 要求出当电流源为连续源时远区电场的表达式。 假设电流元分布在体积v 中，如图2 1 所示。我们知道，当电流源为点源时，电场 e ( f ) 可以表示为下面的式子 2 8 3 1 】： 一 ： 一 e ( f ) = 一，2 w o g ( f ，尹) - ，( 尹)( 2 - 3 ) e ( 0 图2 一l 电流元为点源 此时的电流源只分布在f 的地方，相当于是一个冲击源。 在电流为连续分布的时候，我们可以将在一个体积v 中连续分布 的电流源看成是许多冲击源的叠加。这样，就可以根据在线形媒质空 间中电磁场满足的叠加定理来写出远区电场的表达式就是【2 7 】 3 1 ： 蠢( 芦) = 一，掣。d ( ，尹) 歹。( ，7 ) 矿。 ( 2 4 ) v 其中，五( 一) y 表示的就是第n 个冲击源。显然，继续将体积v 内的电 流分布无限细分，即当n 一。时，也就是说当电流为连续分布时，上面 的求和式就变成了在体积v 内的积分。于是就可以得到当电流连续分 布时空间电场的表达式： e ( i ) = 一，掣。i g ( 尹，尹) ，( 尹) d v ( 2 5 ) 同理，当空间中还存在磁流源露( f ) 时，空间的电场应该表示为： 啻( 尹) = 一j c o , u 。i 百。( 尹，尹) - 歹c ) d 矿一i 石。( 尹，尹) - , q ( 7 ) d v ，( 2 6 ) 根据电磁场的对偶性，不难推得当同时存在电流源和磁流源时， o 电子科技大学硕士论文 自由空间e e 磁场的表示式应该是 2 8 】： 疗( i ) = 一j 脚。i ，百。( 尹，尹) 麝( 尹) d v 一f ，g 。( 尹，尹) 了( 尹1 ) d v ( 2 7 ) 在上面的电场和磁场的表达式中，0 。( 芦，i ) 为电场并矢格林函数， g 。( i ，f 。) 为磁场并矢格林函数。 2 2谱域法推导微带结构谱域并矢格林函数 标 为了方便叙述，在分析微带结构的时候通常以如下的标准建立坐 j z 1 区h 嵴：? 7 撕7 啭蛉甜 0x 图2 2 微带结构的横截面 其中假设电磁波沿z 方向传播。 该方法的思路及主要步骤是：先由麦克斯韦方程组求得电磁波的 横向电磁场和纵向电磁场的关系，然后由波动方程解出纵向场，再由 横向场和纵向场的关系可以推得用纵向电磁场表示横向电磁场的谱域 表示，最后用边界条件定出电磁场的各个分量的谱域表示式，这样便 能够根据这个表示式求得微带天线的谱域并矢格林函数，具体的做法 见下面各小节。 除了谱域法外，等效电路法也是一种很简单的分析格林函数的方 法，其具体分析见 3 0 一书。 2 2 1 由e ：和日：表示e b 日，。日， 在电磁场为时谐场时，各项同性的无源空间中的麦克斯韦方程组 中的两个旋度方程可以写成下面的形式 2 5 ： 电子科技大学硕士论文 v e = 一j c o , u h ( 2 - 8 ) v 膏= - ，s e( 2 9 ) 注意，在上述方程的两边都消去了时间因子eo 。 将上述方程中的五和百展开成各个分量的形式： 亏= i e ，+ 歹e ，+ r e ： ( 2 10 ) 疗= 谢：+ 妒，+ 羽： ( 2 一1 1 ) 然后联立求解关于e 和h 的那两个旋度方程，可以得到如下四个用纵 向场来表达横向场的表示式： + 拶92 耻篆一，掣等( 2 - 1 2 ) 舻+ 旦o z2 如= 丽0 2 e , + ，掣等 ( 2 - 1 3 ) + 拶9 2 耻篆+ 俩等( 2 - 1 4 ) 妒+ 9 2 妒篆一，嬲等 ( 2 - 1 5 ) 这样，就得到了e ，e y ，e ，日。和e z ，h ：之间的关系，也就在空域内 解决了本节开始的时候提出的用纵向电磁场表示横向电磁场的问题， 为了得到谱域并矢格林函数，将要做的t 作是如何在谱域中将横向电 磁场用纵向电磁场来表示。 2 2 2 用纵向电磁场表示横向电磁场的谱域表示 在上一节中我们得到了空域中横向场的纵向表示，在这一节中我 们要在谱域中将横向场表示出来，为此首先定义场的二维傅立叶变换 为： 定义其反变换为 妒( ，庀，z ) = jf g ( x , y ，z ) p “。屿7 出咖 ( 2 一1 6 ) 吣m z ) 2 击一! 一扩( k z ) e - j ( k x + k x y ) 砒成( 2 - 1 7 ) 电子科技大学硕士论文 其中妒( 。，k ，z ) 代表的是谱域中的场的各个分量，而( x ，y ，z ) 代表的则是 空域中的电磁场的各个分量，实际上二维场的反变换就是将电磁波表 示成为若干不同频率的平面波的叠加，其系数痧( t 。，k 。，z ) 反映相对应的 各个平面波分量的大小。既然如此，完全可以通过求解电磁场波动方 程来导出谱域纵向电磁场的表达式，进而得出完整场的表达式。下面 就自由空间中电磁场的波动方程进行推导： 首先对下面两个方程的两边同时取旋度， v e = 一j c o , uh v h = j g e 然后联解就可以得到下面的式子： v v 豆一k2 五：0 v v 膏一k2 西：0 由于如下的矢量运算成立 2 5 ： v v j = v ( v 五、一v 2 j 且是在各向同性的线性无源空间中进行求解， 另外两个散度方程应该为 2 5 ： v b = t v h = 0 v 西：s v 啻：0 将( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) * n ( 2 - 2 4 ) - - - - 式带入到式( 2 - 2 0 ) 、 电磁波在自由空间中的波动方程： ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 所以麦克斯韦方程组的 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 - 2 1 ) 中，马上就能得到 v2 云+ i2 宙：0( 2 - 2 5 ) v2 膏+ f2 膏= 0( 2 2 6 ) 上面两式中的k 2 = g o 2 “s ，0 9 是电磁波的角频率。 下面的工作是求解波动方程，以电场波动方程( 2 - 2 5 ) 为例： 由于v 2 = 著+ 熹+ 等，并且有豆= 强+ 歹e ，+ 强，所以可以将波 动方程( 2 - 2 5 ) 式写成分量的形式( 只写出了e ，分量，其余分量同理推 得) ： 磐+挚+专争e，=o(2-270 x ) 2 a v 2 a z 2 4 皇登型塑堕壁塞 。一 由( 2 1 7 ) 式，可以得出0 缸2 e 。= k 。2 ，争= 一2 茸的结论，故式( 2 2 7 ) 可以化简为： 7 ，2 x k y 2 一k 2 ( 2 2 9 ) 同理 可以得出类似于式( 2 2 8 ) 场的别的分量。根据这些式子以及前面 推得的空域横向电磁场和纵向电磁场的关系，很容易就能解决在谱域 甲片j 纵向电磁场表示横向电磁场的问题： 豆x 2i ( 后，i o e = 一j c o u k ，疗；) ( 2 - 3 0 ) 耻i 缶( 七，警+ _ ，伽七以) ( 2 - 3 1 ) 或2 i 缶( 七，警+ ，豆：) ( 2 - 3 2 ) 膏，2 焉 ( 七，警一j c o f k 点) ( 2 - 3 3 ) 上面的四个式子就是谱域横向场和纵向场的关系。至此，谱域中横纵 场的关系已经解决，下一个问题应该是用边界条件来确定电磁场。 2 2 3 由豆，豆的波动方程以及边界条件确定电磁场 征上- - d 、节中我们得到了置和盈的波动方程如下所示： 面8 2 e r = ，”：o ( 2 3 4 ) 0 。2 z a 2 t _ l 一，2 百：。( 2 3 5 ) 由高等数学的知识，可以分别写出上面两个微分方程在图2 3 中的l 区和2 区的通解： e ，】= 爿。1 9 1 7 ( 2 _ 3 6 1 = e 堕铲 中式 电子科技大学硕士论文 e ：2 = a 。2 c h ( y2z )( 2 3 7 ) h ：1 = a 1 8 7 1 。( 2 3 8 ) 日：2 = 彳 2s h ( y2 z )( 2 3 9 ) 上面各式中的4 。，a 。：，a a 。：为待定系数，可以根据实际问题的边 界条件来确定它们的值，具体做法如下。根据电磁场的边界条件，可 以针对切 向电场写出下面的式子： e ：1i = e ，2i e ，1i = e ，2b( 2 4 0 ) 1 区 图2 3微带贴片分区 即在分界面上电场的切向分量是连续的。同样可以得出分界面上磁场 的边界条件如下： 亓( 日2 一日1 ) = ，( 2 - 4 1 ) 把上式写成分量的形式： 膏：。一膏：= 了。( 2 4 2 ) 膏，1 一疗，：= 一了。( 2 4 3 ) 现在来确定场强表达式中的待定系数。首先将式( 2 。3 6 ) ( 2 3 9 ) 韶入到式 ( 2 _ 3 0 ) ( 2 3 3 ) 中，可以得到含有待定系数的切向电场的表达式： e ，2 万舞卜n 缸4 1 8 1 ”。妣k y a h l e - r 1 ) ( 2 - 4 4 ) e ，22 寺 y 2 k ：a 。2 s h ( y 2 z ) 一j o g j o b 以2 s h ( y 2 z ) ( 2 4 5 ) y ，+ 席 7 。 电子科技大学硕士论文 b ，2 万并卜门b 4 一”、御扣x a h l e - r ：) ( 2 - 4 6 ) 2 万蕾 y 2 k y a , 2 s h ( y 2 z ) 吖掣剐舻坶：z ) ( 2 - 4 7 ) 切向磁场的表示式为： 日，l = 1 万( 一n k ，a 】p + j c 0 6 1 k y a “e 1 9 ) ( 2 - 4 8 ) y l + 庀l 。 日。2 = 南 y 2 k ，a h 2 c h ( y 2 z ) + ，2 k y a 。2 c h ( 2 z ) ( 2 - 4 9 ) y ，+ 疗， 。 q ，2 万每卜n q 4 ，1 。胁津一，- 7 1 0 ( 2 - 5 0 ) q ：2 万鲁 y 2 k y a h 2 c h ( 儿力k ，a 2 c h ( 如力 ( 2 - 5 1 ) 把这些切向电磁场的分量带n 到式( 2 4 0 ) ，( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) 中就可以得到 4 ，4 。2 ，4 1 ，以z 这些待定系数，解出4 。，a 。：，a l ，a h 2 后，便得到 了电磁场各个分量的谱域表示： f f s ，l = - j 嘲掣垫型穹蠢产五一垡铲五p ( 2 - 5 2 ) e y i - - j + o ) 矿_ 1 9 0 咩+ 警懒功威+ 等一y 柱i y 2 k y 2 懒国或矽删( 2 - 5 3 ) 式中的乙，正等于： l = y l s ，+ y 2 t h ( y2 h )( 2 - 5 4 ) t 。= ，1 + ，2 c t h ( y2 h )( 2 5 5 ) 由本章开始的时候对并矢格林函数引出的叙述，我们很自然地就 会将上面的( 2 5 2 ) 和( 2 5 3 ) 式写成下面的用谱域并矢格林函数来表示 电流源z 和切向场茁的形式： 豆，l = 一，掣。 d 。歹。+ g 。1 了。】 ( 2 5 6 ) 茁y 1 = 一，掣0 【6 ”1 歹。+ 百，1 了。】 ( 2 5 7 ) 其中瓦”，0 。”，g ，”，屯1 就是在1 区中谱域并矢格林函数的切向场 源关系的分量。它们的佰分别如下所示： 电子科技大学硕士论文 秽= 缱芝磐删 殍一警删 5 9 ) 弘恕2 v 。1 kt t - 十等等p 出址一坐盖- h ( z - h ) = g x y ( 1 ) ( 2 6 0 ) 可”= 壶i k x y 咆j ， 2 k y 2 懒帅州) = 塑2 丛2 锱 2 塑2 塑e 州删 ( 2 6 1 ) 至此，我们已经顺利地解决了本节开始时提出的所有问题，现在 需要做的是如何将这些谱域并矢格林函数的分量表示为空域的形式， 因为在以后用矩量法求电流分布时我们需要的是空域并矢格林函数， 所以求解卒域并矢格林甬狮将县下一节需尊角翠涣的问颢 2 3 空域并矢格林函数和s o m m er f e ld 积分 2 3 1 空域并矢格林函数的表示 在2 2 2 小节我们定义了场的二维傅立叶变换，得到了空域场的 谱域展开式( 2 一l7 ) 。利用该变换式，可以将谱域并矢格林函数表示为 空域并矢格林函数： 6 。击一! 一钆1 k r x + k y y ) 积以 将上式写成圆柱坐标中的表示式： 昨两1lo g e - j k , 。pc 。s ( f 。- 9 ) kp 珊加 在上式中，利用了直角坐标和圆柱坐标的关系： x = p c o s a ，y = p s i n6 p ，p 2 = 2 + _ y 2 并且还作了如下的变量代换： k 。= k pc o s 。，k y = k ps i n i i o 。，k p = 七，2 + 尼y 2 还可以利用零阶贝塞尔函数的性质来化简( 2 - 6 3 ) 式： ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) 电子科技大学硕士论文 因为： “= 去了”却 ( 2 - 6 6 ) 故： j o ( 一七，尸) 2 瓦1 ：p 哪吲9 。却( 2 - 6 7 ) 因为零阶霉塞尔函数为偶函数，故j o ( k ，p ) = j o ( 一尼，p ) ，所以可以把式 ( 2 6 3 ) 写成下面的形式： ，一) 2 去砸，) j o ( k ，p ) k ，如， ( 2 _ 6 8 ) 把瓦1 代入到上式中便能够得到空域中的g 。m ( i ，尹) 的表示式： 硭协) = 丢f 孚讹嗍+ 雨1 万0 2 。j e - r 一 ( z - h ) ( 力辑 一筹等醋碱砌嗨 e 。) = 2 + 导( 呢+ ) 这里用到了式子一等= t 2 。 i n 样，可以写出在i 区中将要用到的其余三个格林函数如下： 吖1 ) ( 耵) = 基( + ) ( 2 圳) g ，( 酗) = 基( + ) = g 。m ( 帮) ( 2 _ 7 1 ) 。协) = 2 呢+ 导( + ) ( 2 7 2 ) 式( 2 - 6 9 ) ( 2 - 7 2 ) 中的w a 和w v 为。 = 去降晦p ) k ，d k ， ( 2 _ t s ) = 鼍群讹怫晦 ( 2 _ ，t ) 在我们所关心的微带表面，即z = h 处w a 和w v 可以写成： 2 嘉船( k p p 沛以 ( 2 _ 7 5 ) 电子科技大学硕士论文 = 杀疆掷弦，吩 ( 2 7 6 ) 为了方便，我们作如下约定 2 6 】：令 = 七，“。= ，。：步f j 了， 如= y ：= 牙一t 。2 占，以后采用的w a 和w v 的表达式均为 既= 荔专玲。( 助) 五以 = 嘉皓厶c 栅 2 3 2 计算s o m m e r f e ld 积分 田上一3 、币朗网答找制知道，歆永至域并矢格林函数我们必须首 先要计算出w a 和w v 。现在首先来计算w a ： 当：上( 了2 u l + 1 1 ) ：上( 1 + ) (279)2t u 1 、疋。2 u 1 、 。 其中且晒一簪，且，旭= 羞， 把的表达式带入到w a 的表示式中，可得到： 既2 艺了! ( 1 + r r z 乩( 和) 丢以 ( 2 _ 8o ) 然后再利用s o m m e r f e l d 12 1 4 2 7 2 9 恒等式： 竿= n 枇叫一i 警 s ， 可以得到： 啥去c 孚* “纠耙 s z ， 令r m = r 一r 循0 + r o ，r 口。= 一p - 2 山，将现在的r 带入到上面的积分 式子中，并再次利用s 0 m m e r f e 】d 恒等式有 ” 盼 1 1 电子科技大学硕士论文 j f r t s j o ( 2 p ) 詈以3 p 一山c 和，丢以+ ? c 月m 一。氓c 助，丢以。一。， 口一，o 墨 一 “ 根据s o m m e r f e ld恒等式 2 7 ， 式中的r 1 = p 2 + ( 2 ) 2 ， 且 。= l 厶( a ) ，。( 助) 兰以，显然几( ) = r 一r o ，由于在用直接积分 j“1 法沿实轴积分计算j 。时在u 1 = o 的点处会遇到罟型极限，以及在“：= o h , j - 可以对积分表达式进行简化，于是先求出在这些点处的积分表达式如 下： 兀( 们一 甜1 1 1 二竺尘堑里兰：竺二1 3 u 1 ( 1 + ，矩g 。2 6 ) 三( 警芸飞五) i 【再孑覃叫：血j 土，型q - e - 2 u l h ) “、“，h + 1 “1 0 ，“2 0 “l = o ，甜2 0 ( 2 8 4 ) ”l 0 ，“2 = 0 这样就可以用上面的式子将w a 在实轴上进行直接积分从而计算 出结果，在用直接积分法积分的时候应该注意的是由于被积函数在积 分变量较，! 、的时候振荡比较激烈，而之后衰减又较快，故应该在积分 变量较小时尽量将积分区间分得窄一些，在衰减比较快的地方分得大 一些，这样可以保证有比较准确的结果。这样做虽然能够比较准确地 计算出s o m m e r f e l d 积分，但是它的速度在大数据量的运算时是不可忍 受的，所以我们希望可以用其他的方法来逼近积分，这样可以大幅度 地提高计算速度。根据复镜像理论【2 6 】，可以用组指数函数来逼近 k ，将它写成： 一斗o r f 一 。= 口， ，r 。= p 2 + p ，) 2 ( 2 8 5 ) l = 1儿。 其中的a 。和b j 都是复数。a i 可以理解为是决定镜像