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浙江大学硕士论文 粗糙面电磁散射数值方法研究 摘要 随机粗糙面电磁散射有着非常广泛的应用前景，比如遥感、海洋学、材料科 学以及光学等。随着计算机的产生和发展，电磁散射的数值方法在最近几十年愈 来愈受到重视。本文提出了三种分析一维随机介质粗糙面散射快速数值方法。1 ) 在第三章，我们提出了一种高效率、高精度的迭代数值解法来分析一维介质随机 粗糙面的电磁散射问题，该方法基于一种新的阻抗矩阵分解的方式，并在此基础 上推导了矩阵块运算来进一步提高效率和降低空间复杂度，对于弱部矩阵与向量 的乘积，使用了谱加速方法。在大量的数值仿真结果中，我们在高斯谱情况下发 现两点：第一，此方法收敛速度要优于f b m 以及f b m s a ；第二，对于h h 极 化，我们的方法在运行时间上大致是f b m s a 的一半。而对于v v 极化，我们 的方法在均方根斜度大于1 6 度的时候要快于f b m s a ，在均方根高度大于两个 波长时也有时快于f b m s a 。并且，在两种极化下，我们的方法都在f b m - s a 没有收敛的情况下收敛了。2 ) 在第三章的基础上，第四章的方法引入了统计二 阶迭代系统来替代第三章的一阶迭代系统，改善了该方法的收敛性。3 ) 第五章， 我们对矩阵分解方式稍做修改，用f b m s a 来求解降维后的内循环，而不是之 前用的g m r e s ，进一步提高了效率，并降低了空间复杂度。此章的方法在效率 上有非常大的改进，一个1 6 k 未知数的线性系统，我们的方法在均方根高度o = 0 3 入，相关长度l c = 2 0 入的情况下只花了4 9 秒。而同样的情况f b m s a 用了 3 7 2 秒。并且此方法考虑的粗糙度范围从平滑粗糙面( 0 3 波长) 到极度粗糙( 5 0 波长) ，均方根高度与相关长度的比值从0 1 5 到1 5 ，对应的均方根坡度从1 2 度 到6 4 7 度。这是我们所知道的所有处理一维随机介质粗糙面问题的快速方法的 现有文献中，唯一能够处理如此大粗糙度情况的快速而精确的数值方法。 关键字电磁散射；粗糙面；矩阵分解；带限矩阵规则网格迭代法( b m i a c a g ) ； 前后向方法( f b m ) ；谱加速 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 a b s l y a c t t h ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gf r o mr a n d o m l yr o u g hs u r f a c e sh a saw i d e a p p l i c a t i o n ，s u c ha sr e m o t es e n s i n g ，o c e a n o g r a p h y ，m a t e r i a ls c i e n c e ，o p t i c sa n ds oo n w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t e rt e c h n o l o g y ，n u m e r i c a lm e t h o d sh a v e b e c o m ew i d e l yp o p u l a ro v e rt h ep a s ts e v e r a ld e c a d e s i nt h i st h e s i sw eh a v e d e v e l o p e dt h r e ef a s ta n da c c u r a t en u m e r i c a lm e t h o dt oa n a l y z ee ms c a t t e r i n gf r o m l - dd i e l e c t r i cr o u g hs u r f a c e s 1 ) f i r s tm e t h o di sb a s e do nan e ws p l i t t i n go ft h e i m p e d a n c em a t r i xz t oi m p r o v et h ea s y m p t o t i cc o n v e r g e n c er a t eo ft h er e s u l t a n t i t e r a t i v es y s t e m t h es t r u c t u r eo fs p l i tm a t r i xi st h e nf u l l ye x p l o r e d ，i nc o m b i n a t i o n 谢t ht h ea p p l i c a t i o no fa l li d e n t i t yf o ri n v e r s eo fb l o c km a t r i x ，t of u r t h e rr e d u c et h e c o m p u t a t i o n a la n ds t o r a g ec o m p l e x i t y t h ee m b e d d e dm a t r i xv e c t o rp r o d u c ti s c o m p u t e du s i n gt h es p e c t r a la c c e l e r a t i o nt e c h n i q u e e x t e n s i v en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s d e m o n s t r a t eac o u p l eo fa p p e a l i n gf e a t u r e so ft h i s p r o p o s e dm e t h o df o rg a u s s i a n s u r f a c ew i t hg a u s s i a n s p e c t r u m ：f i r s t l y , i tc o n v e r g e s f a s t e rt h a nb o t h f o r w a r d - b a c k w a r dm e t h o d ( f b m ) a n df b mw i t hs p e c t r a la c c e l e r a t i o n ( f b m - s a ) ； s e c o n d l y , f o rh hp o l a r i z a t i o n ，t h ep r o p o s e dm e t h o di sa b o u tt w i c ea sf a s ta sf b m - s a f o rv v p o l a r i z a t i o n ，t h ep r o p o s e dm e t h o di sb e a e rw h e nt h er m ss l o p ei sn o tl a r g e r t h a n16 。o ri n t e r e s t i n g l yw h e nr m s h e i g h ti sb e y o n d2 0w a v e l e n g t h s m o r e o v e r , i t c o n v e r g e sf o rc a s e sw h e r ef b m - s af a i l sf o rb o t hp o l a r i z a t i o n s t h e s ef e a t u r e s i n d i c a t et h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dc a nb ee f f e c t i v e l yu s e dt oa n a l y z ee m s c a t t e r i n g f r o m1 - dd i e l e c t r i cg a u s s i a ns u r f a c ew i t hg a u s s i a ns p e c t r u m 2 ) i nc h a p t e rf o u rw e b a s e do nc h a p t e rt h r e ei nc o m b i n a t i o nw i t ht h es t o c h a s t i cs e c o n dd e g r e e ( s s d ) a l g o r i t h mt oi m p r o v et h ec o n v e r g e n c ep e r f o r m a n c e 3 ) i nc h a p t e rf i v e ，w em o d i f i e d t h es p l i t t i n go ft h ei m p e d a n c em a t r i x ，a n dw eu s ef b m - s at os o l v ei n n e ri t e r a t i o n i n s t e a do fg m r e sw h i c hi su s e db e f o r et of u r t h e rr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a la n d s t o r a g ec o m p l e x i t y t h i sm e t h o dh a sg r e a ti m p r o v e m e n ti ne f f i c i e n c y f o ras u r f a c eo f 2 5 6w a v e l e n g t h sw i t hr m sh e i g h to f0 3 w a v e l e n g t h ，c o r r e l a t i o nl e n g t ho f2 0 w a v e l e n g t ha n d16 3 8 4u n k l l o w l l s ，t h em e t h o dr e q u i r e s4 9 s e c o n d sp e rr e a l i z a t i o no na p r o c e s s o ro fc p us p e e do f3 0 g h z ，h o w e v e r , f b m s ar e q u i r e s3 7 2s e c o n d s t h e i i i 浙江大学硕士论文 粗糙面电磁散射数值方法研究 r o u g h n e s sr a n g e sf r o ms m o o t h ( 0 3w a v e l e n g t h ) t oe x t r e m e l yr o u g h ( 5w a v e l e n g t h s ) ， a n dt h er a t i oo ft h er m sh e i g h tw i t ht h ec o r r e l a t i o nl e n g t h ，r a n g e sf r o mo 15t o1 5 ， c o r r e s p o n d i n gt or m ss l o p ef r o m12d e g r e et o6 4 7d e g r e e t h i si st h eo n l yf a s ta n d a c c u r a t em e t h o dc a l lh a n d l es u c hb i gr o u g h n e s sa sf a ra sw ek n o w k e y w o r de l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ；r o u g hs u r f a c e s ；m a t r i xs p l i t t i n g ；b a n d e dm a t r i x i t e r a t i v ea p p r o a c h c a n o n i c a lg r i d ( b m i a c a g ) ；f o r w a r d b a c k w a r dm e t h o d ( f b m ) ； s p e c t r a la c c e l e r a t i o n i v 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 图表目录 图2 1 粗糙面散射几何特性图4 图3 1 在h h 极化下迭代矩阵b 的谱情况，均方根高度为1 5 入，相关长度 为3 0 入，介电常数为1 5 + 4 i ，未知数个数为3 0 0 0 1 5 图3 2 小粗糙度下谱加速( c h o u ) 方法误差- 9 强部距离选取的关系， r m s = 0 5 入，l c = 1 0 入17 图3 2 大粗糙度下谱加速( c h o u ) 方法误差与强部距离选取的关系， r m s = 3 0 入，l c = 6 0 入。18 图3 4 下层介质的阻抗矩阵元素大小随两点间的距离变换2 1 图3 5 本章我们提出的方法与直接矩阵求逆分别在h h 和v v 极化下双站散 射系数的比较2 2 图3 6 本章我们提出的方法与前后向方法( f b m ) 收敛性上的比较2 3 图3 7h h 极化下我们的方法、f b m s a 、b m i a c a g s a 在不同未知数个数 下运行时间的比较2 5 图3 8v v 极化下我们的方法、f b m s a 、b m i a c a g s a 在不同未知数个数 下运行时间的比较2 6 图3 9 本章的方法与直接矩阵求逆在海洋粗糙面下的结果的比较2 8 图3 1 0 a 本章的方法在1 5 3 6 米长的粗糙面时h h 极化下的结果2 9 图3 1 0 b 本章的方法在1 5 3 6 米长的粗糙面时v v 极化下的结果3 0 图4 1s s d n s s a 与直接矩阵求逆分别在h h 和v v 极化下双站散射系数的 比较3 3 图5 1 小粗糙度下谱加速( p i n o ) 方法误差与强部距离选取的关系，o = o 5 入， l c = 1 0 ) l 。：；9 图5 2 大粗糙度下谱加速( p i n o ) 方法误差与强部距离选取的关系，o = 3 0 入， l c = 6 0 ) l 。：；9 图5 3 本章的方法与直接矩阵求逆分别在h h 和v v 极化下双站散射系数的 比较4 2 图5 4 ah h 极化下本章的方法不同未知数个数下的运行时间4 3 v l i 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 图5 4 bv v 极化下本章的方法不同未知数个数下的运行时间4 4 图5 5 a 相同粗糙度参数，不同的粗糙面长度下双站散射系数的比较4 5 图5 5 a 相同粗糙度参数，不同的粗糙面长度下双站散射系数( r i b ) 的比较4 5 图5 6 a 小均方根高度，小均方根斜度下的双站散射系数4 6 图5 6 b 小均方根高度，小均方根斜度下的双站散射系数( d b ) 4 7 图5 7 a 小均方根高度，大均方根斜度下的双站散射系数4 7 图5 7 b 小均方根高度，大均方根斜度下的双站散射系数( d b ) 4 8 图5 8 a 大均方根高度，小均方根斜度下的双站散射系数4 8 图5 8 b 大均方根高度，小均方根斜度下的双站散射系数( d b ) 4 9 图5 9 a 大均方根高度，大均方根斜度下的双站散射系数4 9 图5 9 b 大均方根高度，大均方根斜度下的双站散射系数( d b ) 5 0 图5 1 0 掠入射情况下的双站散射系数( d b ) 5 1 表3 1 在v v 极化下迭代矩阵b 的谱半径受均方根高度变化的影响，粗糙面 斜度为2 5 度，介电常数为1 5 + 4 i 1 5 表3 2 本章我们提出的方法在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运 行时间，高斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化2 3 表3 3f b m s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高斯 谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化2 4 表3 4b m i a c a g s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时 间，高斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化2 4 表3 5 本章我们提出的方法在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运 行时间，高斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，v v 极化2 5 表3 6f b m s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高斯 谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，v v 极化2 5 表3 7b m i a c a g s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时 间，高斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，v v 极化2 6 表3 8 本章我们提出的方法在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运 行时间，指数谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化2 7 v 1 1 i 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 表3 9f b m s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，指数 谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化。2 7 表3 9f b m 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，指数谱， 入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化一2 7 表4 1n s s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高斯 谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化3 3 表4 2s s d - n s s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高 斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化一3 4 表4 3f b m s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高斯 谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化3 4 表4 4n s s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高斯 谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，v v 极化3 4 表4 5s s d - n s s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高 斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，v v 极化一3 5 表4 6f b m s a 在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高斯 谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，v v 极化3 5 表5 1 本章的方法在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高 斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，h h 极化4 2 表5 1 本章的方法在不同均方根高度和斜度下平均收敛次数和运行时间，高 斯谱，入射角为6 0 度，介电常数为1 5 + 4 i ，v v 极化4 3 i x 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 b m i a c g m f b m s a g m i 己e s m o m s s d p b t g s m c g f m m p e c f f t d m i 缩略词 b a n dm a t r i xi t e r a t i v ea p p r o a c h ( 带限矩阵迭代解) c a n o n i c a lg r i dm e t h o d ( j e 贝 网格方法) f o r w a r da n db a c k w a r dm e t h o d ( 前后向方法) s p e c t r u ma c c e l e r a t i o n ( 谱加速) g e n e r a l i z e dm i n i m u mr e s i d u a la l g o r i t h m ( 广义最小余量法) m e t h o do fm o m e n t ( 矩量法) s t o c h a s t i cs e c o n dd e g r e e ( 随机二阶迭代方法) p h y s i c s b a s e dt w o g r i d ( 双网格) s p a r s em a t r i xc a n o n i c a lm e t h o d ( 稀疏矩阵规则网格法) f a s tm u l t i p o l em e t h o d ( 快速多级子方法) p e r f e c te e c t r i cc o n d u c t o r ( 理想电导体) f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ( 快速傅里叶变换) d i r e c tm a t r i xi n v e r s i o n ( 直接矩阵求逆) x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝姿态堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：训喇 签字日期： “口年；月i 口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝望盘堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权逝望盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 引叫 导师签名： 签字日期：如【。年弓月f 口日 签字日期：1 夕，。年月旧日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 浙江大学硕士论文 粗糙面电磁散射数值方法研究 致谢 硕士阶段的学 - - j 和研究工作是在杜阳教授的悉心指导下完成的，我首先要向 我的导师杜阳老师表示最诚挚的谢意。杜老师在日常工作中表现出的科学严谨的 工作态度、渊博的学识、敏捷的思维和敬业精神给我留下了深刻的印象，并将影 响我的一生，激励着我不断学习和进步；另外感谢电磁学院的王皓刚老师在我的 学习过程中给予的耐心的指导。 同时要感谢的是在科研中给予我非常多帮助的我的师兄闫文哲博士，和他们 一起探讨研究中遇到的问题给我颇多启发，生活中他们的乐观、风趣带给我来不 少的欢乐；感谢我的师兄汪凡博士，赵巍博士、李力博士，方帅硕士、赵斌硕士、 林如锋硕士；我的同学王伟硕士；我的师弟师妹罗禾佳博士，杨光迪硕士，冯志 敏硕士，王锦晨硕士。还有同时在电磁学院一起科研过的朋友，有刘大伟博士后， 王励硕士，宋红兵硕士，李欢硕士，刘大庆硕士，杨听，肖钦文，徐强，乔鹏等 他们在学 - j 上给予我很多启迪，在生活上给予我诸多帮助。 我还要感谢我的父母和朋友们；感谢父母的养育之恩以及在生活上给予的温 暖和学业上的一贯支持。 最后，我还要感谢为审阅我的论文而付出辛勤汗水的专家学者! 浙江大学硕士论文 粗糙面电磁散射数值方法研究 1 绪论 1 1 随机粗糙面电磁散射数值方法研究的背景及意义 粗糙表面散射理论的研究，历来都是一个非常重要的课题，其在气象、海洋、 环境、军事等诸多领域均有重要应用。物体的散射回波中往往包含被照射物体的 几何形状和电磁参数信息，为目标识别和特征提取提供了重要信息。例如：当雷 达波照射陆地或海洋时，散射回波中包含了诸如地形起伏、土壤水分、农作物成 熟情况、海水介电常数、海面浪高和风向等科学信息，当雷达用于检测森林、海 洋等复杂背景中的坦克、舰船目标时，雷达回波中还包含要检测目标的形状、位 置、运行状态等信息。因此，目标电磁散射特性研究一直是遥感与对地监测等领 域中十分重要和具有广泛实际应用价值的课题。 解析方法和数值方法都被用来分析粗糙面散射问题。近似解析方法的优点在 于，它是对粗糙面以及电磁散射特性的直观的理解，并且解析方法在基本都能够 即时解出未知量。然而，解析方法有其各自的适用区域，而且这些适用区域都非 常小，还有一大片区域是我们感兴趣但解析方法无法处理的。比如说，掠入射就 是解析方法难以解决的问题，因为他们不能很好的计算多次散射以及阴影所带来 的影响，而这些正是掠入射情况下一些非常重要的概念。 随着计算机的产生和发展，电磁散射的数值方法愈来愈受到重视。许多解析 方法难以解决的问题通过计算机可以获得很高精度的离散值，所以这种建立在计 算机技术基础上的数值方法得到了电磁散射研究界的广泛青睐。例如矩量法 ( m o m ) t ，时域有限差分法( f d t d ) ，有限元法( f e m ) 等，但是数值方法的高度 精确解是以增加计算量为代价的，所以在数值方法中，如何减少计算量和提高解 的精度是数值算法的重点和难点。 1 2 本文的工作 本文的主要工作是分析一维随机介质粗糙面散射问题的快速数值方法，对于 这类问题，前人有过许多方法，其中最为典型的为t s a n g 等人【2 。5 1 提出来的对p e c 1 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 的带限矩阵规则网格迭代法( b m i a c a g ) 以及后来l i 等人【6 1 提出来的对介质 粗糙面的p b t g ( p h y s i c s b a s e dt w o g r i d ) 方法，k a p p 等人【8 】提出来的m o m i 以及h o l l i d a y 等人【9 j o 】提出来的对p e c 的前后向方法( f b m ) 。后来i o d i c e i i - 1 2 将f b m 推广至一维介质粗糙面上。r o h k l i n 1 3 - 1 4 1 等人提出来的快速多极子方法 ( f m m ) 。 本文的第一章为绪论部分，介绍了一维随机介质粗糙面散射数值方法方面的 背景和意义以及本文主要研究的内容。在第二章中，我们对一维随机介质粗糙面 散射数值方法做了具体的介绍，包括这个问题的公式推导以及几种分析此类问题 现在主流的数值方法。第三章，我介绍了我们提出的一种基于新的矩阵分解的一 维介质粗糙面散射的数值快速方法。第四章在第三章的基础上，引入了统计二阶 迭代系统来替代第三章的一阶迭代系统，改善了该方法的收敛性。第五章，在第 三章的基础上对内循环做出了修改，使得计算效率有非常大的提高，空间复杂度 也得到较大的降低，并且我们应用此方法能够分析更为粗糙的粗糙面。最后是全 文的总结以及后续可研究工作的介绍。 2 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 2 一维随机介质粗糙面的数值仿真方法 2 1 引言 求解电磁场散射问题的三大主流数值方法包括：矩量法( m o m ) 3 - 1 6 , 3 1 1 、有 限元方法( f e m ) 、时域有限差分法( f d t d ) 。对于粗糙面散射这种半空间问题， 更适合用矩量法来求解。由矩量法引出的线性系统的求解如果采用l u 分解之类 的直接求逆的方法求解其运算复杂度为o ( u 3 ) 、存储复杂度为o ( n 2 ) ，其中n 为 线性系统的未知数个数，通常n 非常大。就算用迭代法【2 5 2 9 1 也需要d ( 2 ) 的计算 复杂度，因此近些年来，涌现出许多的快速方法，其中最为典型的为t s a n g 等人 提出来的对p e c 的带限矩阵规则网格迭代法( b m i a c a g 3 3 1 ) ，k a p p 等人提出 来的m o m i 以及h o l l i d a y 等人提出来的对p e c 的前后向方法( f b m ) 。后来i o d i c e 将f b m 推广至一维介质粗糙面上。r o h k l i n 等人提出来的快速多极子方法 ( f m m ) 。b m i a c a g 把阻抗矩阵分为强部、平面部分和弱部，平面部分是一个 t o p l i t z 矩阵，因此其与向量的乘积可以用f f t 。对弱部进行泰勒展开，其与向量 的乘积也可以用f f t ，因此其计算复杂度为o ( n l o g n ) 。f b m t 3 4 】的计算复杂度为 o ( n z ) ，f b m 也可以结合有c h o u 等人【7 1 提出来的谱加速方法( s a ) 把计算复杂 度降为d ( ) ，然而由于f b m 的迭代系统对s a 引入了的误差比较敏感，在大量 的数值仿真过程中，我们发现f b m s a t 2 1 2 3 2 6 , 3 5 - 3 6 经常在f b m 收敛的时候不收 敛。f m m 的计算复杂度为o ( n l o g n ) 。本章先给出一维随机介质粗糙面散射问题 的描述，然后再分别介绍b m i a c a g 和f b m s a 。 2 2 一维随机介质粗糙面散射的积分方程 考虑一个入射场。( 尹) 入射到一个一维随机介质随机粗糙面上，如图2 1 。3 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 图2 1 粗糙面散射几何特性图 z = f ( x ) 是粗糙面轮廓函数，沙( 尹) 和( f ) 分别为上层介质和下层介质中的 波函数，其遵循以下方程 ( v 2 + 七2 ) y ( f ) = 0 一毛z 谛) - o q 2 d 其中k 和毛分别为上下层的波数，上下两层介质的格林函数分别是 其中 g ( 尹，尹- ) 2 专 琵”( 七l 尹一尹i )( 2 2 3 ) 蜀( 尹，芦) = 三础( 仆一i ) 其中联d 是第一类零阶h a n k e l 函数，应用格林理论， 一4 ， 一 一 熹糕 s 兰m 一 剑 一 玛 锬 一 渔 陬 r 州翟 烈 西轵邻 浙江大学硕士论文 粗糙面电磁散射数值方法研究 儿科少( 尹) v 2 9 ( 尹，尹- ) 一g ( f ，尹) v 2 y ( 尹) = 一 d s h 【( 尹) w ( 尹，尹) 一g ( 尹，尹) v ( 尹) 】 + 赫阳取( 尹，芦t ) 一g ( 们v 沙( 尹) l ( 2 2 4 ) 皿万 ( 尹) v 2 9 。( 尹，尹- ) 一g ，( 尹，尹) v 2 ( 尹) 。 = 一一。d s h 【( 尹) v g 。( 尹，尹) 一g 。( 芦，尹r ) v 奶( 尹) 】 + 确【( 尹) v 9 1 ( 尹，尹) 一晶( 芦，尹- ) v ( 芦) 】 k 和k 分别代表上下层空间的体积，跽和l 代表上半空间和下半空间在 无限远处的表面，其贡献为零。 由( 2 2 2 ) 式和( 2 2 3 ) 式可将上式化简为 螅万陟( 尹) v 2 9 ( f ，尹) 一g ( 尹，尹) v 2 y ( 尹) ，【墨黧二篡限唧，亿2 固皿科( 尹) v 2 9 。( 尹，尹i ) 一蜀( 尹，尹t ) v 2 ( 尹) 、 = 一f 【却。( 尹) 万( 尹一) 因此我们有 小) + d s h 帐烈啊h 叩唰= f 陡 v k o 狮忆嘣带h v 胴】= 幺( 尹i ) f 陡 f k o 最终，我们可将上式化简为 c ( 尹) 2 互1 杪( 尹) 一k 却( 踟g ( 尹，尹) + 工抛( 尹，尹- ) 疗v y ( n ( 2 2 7 ) 吾奶( 尹i ) + l 丞( 尹) 五岛( 尹，尹- ) 一f d s g l ( 尹，尹- ) 而v ( 尹) = 0 其中【d s 代表柯西主值积分。 秽v 2 3 一维随机介质粗糙面散射的数值方法 考虑一束锥化入射波。( x ，z ) 入射到一个一维随机介质粗糙面上，其高度轮 5 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 廓为z = f ( x ) 。锥化入射波为 嘣础) e x p ( 派( x s i n o , - z e o s 谚) ( 1 忡，z ) ) ) e 坤( - t ( x + z t a n o , ) 2 其中g 是锥化参数，只是入射角，入射波矢毛= k ( 量s i n o j - 三e o s o , ) ，相位因 子w ( x ，z ) = 2 掣一 ( k g c o s o , ) 2 。 让少和分别代表上层介质和下层介质的波函数，根据m a x w e l l 方程可 以推导出其满足下列表面积分方程： 扣伽力警预耵) 挈胁一亿3 力 互1 忡f 帆( ) 挈啪尹- ) 竿肛。 ( 2 3 3 ) 其中l 代表柯西主值积分，g 和g 1 分别是上层介质和下层介质的二维格林 函数。 t e 边界条件为： t m 边界条件为： 吵( ；) = ( ) 盟：丛盟 o n t o n y ( ；) = ( ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 盟o ：鲁塑(237)no nf 、“。， 两个边界条件可统一为沙( ；) 嘲( ；) ，誓：p 挈埘p ：鲁或p ：鲁 分别对t e 和t m 情况。和“为上层介质和下层介质的磁导率，s 和q 为上层 介质和下层介质的介电常数。 6 浙江大学硕士论文 粗糙面电磁散射数值方法研究 积分方程( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 经过矩量法离散后，表面被离散成为n 个点对应于 x 在l 2 和l 2 之间，离散后的方程为： 。甜( 吒) + k 。y ( ) = y 坍。( ) ”2 1”2 1 ( 2 3 8 ) nk c 。( 吒) + 叱。沙( 吒) = o ”1”1 ( 2 3 9 ) 其中甜( z ) = 1 + 厂| ( 石) 】2 0 驴, l c 3 n ，矩阵元素，。，和以。为： 2 = 2 = ! _ 秒阪h 如 l 血去磁 ( 后缸( 2 p ) ) 聊= 刀 f 也车盟如王早盟世剑- , , ，( 吒) m t 4 、” 一1 一丛型等 柳：甩 【 2 4 n 形 也言础( 毛) 聊五 一a x 三q - o l ( 1 q 血y ( 2 p ) ) 优= 聆 缸粤盟整立享盟睦幽研，( 毛) 聊刀 4 1 ”7 ! + 垡盟冬 聊：以 l 2 4 万疙 ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 11 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) 其中= 板i 二乏尹i 1 7 瓦了j 丽五f ，= i 了孑丽历f 。出为粗糙面上 两相邻点之间的水平距离，七和墨上层介质和下层介质的波数，磁1 ( ) 为第一类 贝塞尔函数。 离散后的方程可以进一步表示为： z x = b ( 2 3 1 4 ) 其中i = ( 茎：至 ；= ( 琴 ，云= ( 冶 待线性系统( 2 3 1 4 ) 求解完毕后，得出我们的解西和莎，则归一化的散射系数定 浙江大学硕士论文 粗糙面电磁散射数值方法研究 义为： 仃( 纯) = i 皑( 叫 8 7 r k g 、 7 1 c o s 伊 1l + 2 t a n 2 9 y2 1 _ 2 忌2 譬2c o s 29 ( 2 3 15 ) 州咖一出一卅删七 知帅吣p 聃m 灿气2 3 峋 2 4 带限矩阵规则网格迭代法( b m i a c a g ) 对于线性系统( 2 3 1 4 ) ，b m i a c a g 把阻抗矩阵分解为三部分： z 膏= b = ( 垄一+ 冬 老兰，) 元= b( 2 4 1 ) p - r a 其中仫为强弱部的分界距离，对于介质粗糙面，2 z 5 为四个带限矩阵，对 应于强相互作用格林函数。乏殿为四个4 t o 印l i t z 矩阵，对应于弱部的平面部分。 z 为弱部的剩余部分。 迭代机制如下： 芝引+ 芝席】；肿n ：舌一2 z ；刖 ( 2 4 2 ) 对于( 2 4 2 ) 式，内循环通常用基k r y l o v 子空间的迭代法来求解。上式中计算 量最大的是各个矩阵与向量的乘积，z与向量的乘积是一个带限矩阵与向量的 乘积，计算复杂度为b w x n ，其中b w 为带限宽度。z与向量的乘积可以利 用f f t 来计算，因此计算复杂度为o ( n l o g n ) ，z ( 肌) 为z 泰勒展开式的m 次项， 其与向量的乘积也可以用f f t 来计算，因此计算复杂度也是o ( n t o g n ) 。 下面举例说明泰勒展开的具体计算过程，对于频繁遇到的弱部余部矩阵与向 量相乘的计算 = 咿一乞枷) 疗 。 ( 2 4 3 ) 则有 8 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 n = 1 ，7 2 、7 l 薏j 缸 其中，为泰勒级数展开的项数，q ( 嘞) 为展开系数 x d z d ( 2 4 4 ) = l m i s ：( ) 一( ) ( 2 4 5 ) 通过泰勒级数展开，a t ( h ) 的前三项可以推导出为 口，( 劫) = 一三譬硝) 口：( 而) = 一言华叫1 ( ) + 三4 等叫1 ，( ) ( 劫) = 丢等叫1 ( ) + 考等22 尉1 ( ) 一三4 堕6 耐1 ，( ) 带入( 2 4 4 ) 式，则有 虼= n = l讹) 笔+ = ( 厂( b ) ) 2 n = 1( 勤) 考4 虬+ ， 6 z d q ( 嘞) 虿瓯 ( 2 4 6 ) 兰鱼譬电一c w ( ) 羔鱼笋厂( u n + v 生字( 厂( ) ) 2 玑 一= l d 疗= l - i d n t l d + ( 厂( ) ) 4 羔 - c w ( x ) n = l + ( 厂( ) ) 6 兰 n = l 零虹一q ( 厂( ) ) 3 羔剑x 4 d 刀= l h 善掣( 他) ) 2 掣( 玳) ) 3 虬+ 7 “、( s d 一- “ 掣一q ( 厂( ) ) 5 羔掣 “d n = l “d + 四( 厂( ) ) 4 芝 n = l掣( 玳) ) 2 b 灌y ( ) ) 4 眼 ( n q ( 他) ) 3 喜掣( 胞) ) 3 虬+ 碟( 他) ) 2 善掣( 他) ) 4 u c w ( ) 荟n 掣( 他) ) 5 u + 喜掣( 他) ) 6 以 - 9 ( 2 4 7 ) 、-， d x ，j q m 闰 树 n k ， 2 4口 + 浙江大学硕士论文粗糙面电磁散射数值方法研究 为了利用快速傅里叶变换来计算虼，以厂( 靠) 羔墨篓厂( 炽为例，其计 算步骤为 i ) 计算厂( 矗) 乩乘积项并记为 2 ) 分别对掣和做傅里叶变换，再对它们变换后的乘积做反傅里叶 变换 3 ) 求出反傅里叶变换的结果与厂( ) 的乘积 通过以上步骤则可快速计算厂( b ) 童鱼垒厂( ) 巩。因此泰勒展开的计算 复杂度为 。 n = l x ：o ( n # o g 柳 然而，由于泰勒级数展开在粗糙度中等或者较大的情况下都会出现误差较大 的情况，从而导致迭代系统不收敛的情况，因此这种算法只能用于计算小粗糙度 的情况。后来d u 等人【1 9 1 提出来的用c h e b y s h e v 多项式展开来代替泰勒展开可以 很好的避免这个问题。在逼近理论中，c h e b y s h e v 理论陈述了最大范数意义下任 何连续函数的最优逼近多项式的存在性和唯一性。因此，如果插值多项式用 c h e b y s h e v 多项式的零点作为插值点，则在最大范数意义下，对于给定阶数的多 项式，该插值多项式近于最优逼近多项式。而且，当逼近多项式的阶数足够大时， 逼近可呈指数收敛。具体关于c h e b y r s h e v 的计算过程及结果可参见 1 9 1 ，这里不 再累述。 2 5 基于谱加速的前后向方法( f b m s a ) 2 5 1 前后向法( f b m ) f b m 是最早有h o l l i d a y 9 1 等人提出来针对一维p e c 粗糙面的一种方法，后 来由i o d i c e 1 1 1 推广至一维介质粗糙面。 = 对于线性系统( 2 3 1 4 ) ，f b m 把阻抗矩阵z 分为三部分。向量贾分解为两部 分 1 0 浙江大学硕