（物理电子学专业论文）电子全息和高分辨率显微像的计算机数值研究.pdf

中文摘要 电子全息的数值重现和高分辨率、无失真电子显微像的获得是电子全息与电 子显微学研究中的重要方面，受到人们的重视。开展这方面的计算机模拟研究在 理论上和实际应用上都有重要意义。俱体而言，7 本j 论文主要论述了电子全息实空 间的数值重现方法、应用电子全息消除电子显微像像差以获得无失真的电子显微 像、以及二维相位信息提取的计算机模拟研究。全文可分为以下几个部分： 厂一、电子全息的实空间- 数4 t 重现方法 l 本文的第二章在对应用广泛的离轴电子全息作了介绍后，对在电子全息技术 中占有重要地位的全息图数值重现方法进行了详细的讨论。通常的电子全息重现 方法多为在频率空间应用滤波方法，本文则提出了在实空间进行数值重现全息图 的想法，并以实际拍摄到的乳剂微粒电场电子全息图为实例，应用最优化方法( 复 合形法和最小二乘法) 以及神经网络技术成功地实现了数值重现，并对各种方法 在重现速度、重现效果等方面作了比较。 二、应用电子全息消除电子显微像像差一无失真电子显微 像的获得 第三章介绍了消除透镜像差的一种方法，用以提高电子显微像的分辨率在 主要阐述了电子显微像的像差产生的原因与机理以后，提出了欠焦条件下消除球 差的方法：首先，用电子全息重现得到包括强度和相位的像平面波函数；接着， 通过反傅里叶变换转换到后焦面的频域空间，并在后焦面上插入适当的数值相位 板，可以将显微像的像差顺利消除；最后，将无像差的波函数经过傅里叶变换回 到像平面上，这时的波函数就是无失真的电子显微像 三、二维相位信息的提取一利用电子显微像像面与衍射面强 度复原像面相位 本文的第四章对二维相位信息的提取进行了计算机模拟研究。提出利用后焦 面上的电子波函数的衍射像与成像平面上强度分布来提取像平面上二维相位信 息的方法。这种方法基于波动电子光学的成像原理，它利用了后焦面和像平面波 函数的互为傅里叶变换的关系，采用了g - s 迭代算法，不断逼近真实的相位分 布。通过对几种典型的波函数的计算机模拟，证明了这种方法的适用范围。 此外，在附录中作者结合计算机模拟中的一些实践，介绍了0 p e n g l 技术在 科学计算结果的演示方面扣产品的开发上的应用。少一否7 关键词电子全息，数值重现，高分辨率电子显微像，神经网络，复合形法 最小二乘法 分类号0 4 6 3 10 4 3 8 1 i i a b s t r a c t t h i st h e s i sh a sd i s c u s s e dt h en u m e r i c a lr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d so fe l e c t r o n h o l o g r a p h yi nr e a ls p a c e ，t h ec o m p u t a t i o n a ls i m u l a t i o no fc o r r e c t i n gt h ea b e r r a t i o ni n e l e c t r o n m i c r o s c o p y a n dt h e p h a s e r e c o v e r yp r o c e d u r e i tm a i n l y i n c l u d e st h e f o l l o w i n gp a r t s ： i n u m e r i c a lr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d so fe l e c t r o n h o l o g r a p h y i n r e a ls p a c e i nt h es e c o n dc h a p t e r , o f f - l i n ee l e c t r o nh o l o g r a p b yi si n t r o d u c e df i r s t t h e n u m e r i c a lr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d sw i t hg r e a ti m p o r t a n c ei ne l e c t r o nh o l o g r a p h ya r e d i s c u s s e di nd e t a i l c o m p a r e d 、i 1t h eu s u a lf i l t e r i n gm e t h o di nt h ef r e q u e n c ys p a c e ， t h et h o u g h to fn u m e r i c a lr e c o n s t r u c t i n ge l e c t r o nh o l o g r a mi nr e a ls p a c ei sp r e s e n t e d i nt h i st h e s i s i nt h ee x a m p l eo f r e c o n s t r u c t i n gap r a c t i c a lh o l o g r a m ，w h i c h i sa b o u t t h ed i s t r i b u t i o no ft h ee l e c t r i cf i e l do fs e v e r a le m u l s i o n p a r t i c l e s ，o p t i m i z a t i o nm e t h o d ， i n c l u d i n gc o m p l e xm e t h o da n dl e a s ts q u a r em e t h o d ，a n dn e u r a ln e t w o r km e t h o d a r e s u c c e s s f u l l yu s e d a t l a s tt h e ya r ec o m p a r e di nt h er e c o n s t r u c t i n gs p e e da n de f f e c t i i c o r r e c t i o no fa b e r r a t i o n b y i t l e a r l so fe l e c t r o n h o l o g r a p h y - - o b t a i n i n g t h ee l e c t r o n m i c r o g r a p h w i t h o u td i s t o r t i o n i nt h et l l i r dc h a p t e gam e t h o do f c o r r e c t i n ga b e r r a t i o ni si n t r o d u c e dt oi m p r o v e t h er e s o l u t i o no fd e c 订o n m i c r o s c o p y t h e t h e o r yo f a b e r r a t i o ni ne l e c t r o nm i c r o g r a p hi sf i r s te x p l a i n e d t h e nt h ew a y o fc o r r e c t i n g s p h e r i c a l a b e r r a t i o na n dd e f o c u se f f e c ti s g i v e n ：f i r s t ，w eg e t t h e i n t e n s i t ya n dp h a s ed i s t r i b u t i o no fw a v ef u n c t i o na tt h ei m a g ep l a n ef r o me l e c t r o n h o l o g r a p h ，t h e n ，w ec o n v e r tt h ew a v ef u n c t i o nf r o mt h ei m a g ep l a n et ob a c kf o c u s p l a n ea n da d dap r o p e rn u m e r i c a lp h a s ep l a t ea tt h i sp l a n et or e m o v et h es p h e r i c a l a b e r r a t i o n ，a tl a s t ，w ec o n v e xt h ew a v ef u n c t i o nw i t h o u ti m a g ea b e r r a t i o nb a c kt ot h e i m a g ep l a n et oo b t a i n t h ee l e c t r o nm i c r o s c o p yw i t h o u td i s t o r t i o n i i i i 2 dp h a s e r e c o v e r yu s i n gt h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o na tt h ei m a g e p l a n ea n dd i f f r a c t i o np l a n e i nt h ef o u r t h c h a p t e r , ac o m p u t a t i o n a l s i m u l a t i o nr e s e a r c ho n2 d p h a s e i n f o r m m i o nr e c o v e r yi sp r o c e s s e d am e t h o do f o b t a i n i n gt h ep h a s ei n f o r m a t i o na tt h e i m a g ep l a n ew i m t h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o ni nt h ei m a g e p l a n ea n db a c k f o c u sp l a n ei s p r e s e n t e d i ti s b a s e do nt h ep r i n c i p l eo fi m a g ef o r m a t i o ni ne l e c t r o nw a v eo p t i c s ， w h i c hh a si n d i c a t e dt h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o ne x i s t i n gb e t w e e nt h eb a c kf o c u sp l a n e a n di m a g ep l a n e a ni t e r a t i v eg sa l g o r i t h mi sa l s ou s e dt o a p p r o a c h i n gt h ea c t u a l p h a s ed i s t r i b u t i o n s e v e r a lt y p i c a lw a v e f u n c t i o n sa r eu s e df o rs i m u l a t i o nt op r o v et h e f e a s i b i l i t yo f t h i sm e t h o d i n a d d i t i o n ，o p e n g lt e c h n o l o g y i sr e f e r r e dt oa n ds o m ee x a m p l e so fi t s a p p l i c a t i o n i nt h es c i e n t i f i cf i e l da r ea l s op r o v i d e d k e y w o r d se l e c t r o nh o l o g r a p h y , n u m e r i c a lr e c o n s t r u c t i o n ，h i 曲- r e s o l u t i o n m i c r o s c o p y , n e u r a ln e t w o r k ，c o m p l e xm e t h o d ，l e a s ts q u a r em e t h o d i v 雨吉 棋旦史擎 帮士论支 第一章前言 1 电子全息简介 19 2 4 年，ld eb r o g l i e 提出电子具有波动性，并在1 9 27 年由g j d a y iss o n 和h g e t m e r 通过电子在镍单晶上的衍射实验首次得到了证明。电子具有波动性 为电子全息概念提供了理论基础，a - 4 f 对电子这一基本粒子的特性有了全新的认 识( 波粒二象性) ，许多新型的、与电子波动光学相关的学科得到蓬勃的发展 德国的r u s k a 和k n o l l 于1 9 33 年制成了世界上第一台电子显微镜。电子的波长 。1 5 0 兄4 了 的单位为埃，v 为电子能量，其单位为电子伏特，能量为几十到 几千电子伏特的电子波长约为几到零点几埃，可见电子波长比可见光波的波长 ( 约数千埃) 短的多，因此以电子束为工作物质的电子显微镜可以获得比普通光 学显微镜更高的分辨本领 为了提高电子显微镜的分辨本领，g a b o r 1 在1 9 48 年提出了全息原理的最 早设想，并在其相继发表的论文中研究了波前重现在显微术中的应用。他提出用 电子波前记录全息图，再用可见光重现的想法，目的是为了得到放大的重现像， 并在消除电镜像差后期望得到0 1 n m 水平的分辨率。由于早年难以获得相干电子 束，有关电子全息方面的研究进展缓慢1 9 6 0 年激光问世，其良好的相干性和 高亮度为全息技术提供了理想的光源，从而使电子光学中孕育的全息概念首先在 激光全息中得到了发展此后，又出现了x 射线全恕、声学全息等，大大丰富了 全息的内容自六十年代末c r e w e 提出了显著改善电子束相干性的场发射枪后， 19 7 8 年t o n o m r a 又制成了场发射显微镜，利用外源相干电子束的电子全息有了 突破性的进展由于电子波长特别短，利用电子全息技术可以在纳米级水平获得 物质三维结构信息，而且通过电子全息方法可消除电镜像差，提高分辨率1 9 8 6 年西德t u b i n g e n 大学f l e n z 教授研究组的l i c h t e 博士 2 采用计算机数字重 现电子全惠图来校正球差，使分辨率达到0 1 5 n m ，率先打开了高分辨率重现电 子全息之门，并在计算机重现电子全包图、校正电镜球差、像散等有突破 生进展 3 】3 之后，电子全息术在各个领域均取得了广泛的应用和发展 电子全息技术包括全息图的记录和全息图的重现两个步骤电子束由电子源 发射出来后，一部分透射过样品，另一部分则未受阻碍，两部分电子束随后一起 蟊吉谯旦 擎龋士佟支 通过电子双棱镜，在中间像平面上相互干涉。将此平面上的干涉条纹强度记录下 来就得到了全息图，这就是传统意义上的所谓外源电子全息，纪录过程直接影响 着重现的分辨率，因此要尽可能的减少非线性的因素和噪声的影响。 全息图的重现通常有光学重现和数字重现两种方法。光学重现是用一束相干 光照射全息圈，可以获得直观的三维图像，但是实验设备复杂，且难于定量记录 和存储，易受外界环境的干扰。而全息图的数字重现是利用计算机技术采实现重 构过程由于可以方便地消除重现过程中的像差和噪声的影响，计算机重现全息 图是目前的最佳的重现方法将记录到的全息图由光电转换元件读入计算机，再 通过一定的模型对全息图进行数字重现并将重现结果直接输出到显示器( 如 c r t ) ，可以得到不受像差和噪声影响的重现像。它具有不需要依赖于实验设备， 便于实时观察，可以方便地定量记录等特点，便于存储研究，因而在信息时代里 受到更多重视。在科研方面，可用于对物质微观结构的实时观察和控制。 电子全息术产生与发展的历史，主要是指可以用于高分辨率显微学的外源电 子全息近年来，研究发现，样品受激发后发射的电子如光电子、俄歇电子或准 弹性电子束，是时空相干j 生非常好的电子源，而固体的电子衍射谱如光电子谱、 俄歇电子谱和低能电子谱，都可以用电子全息的概念来解释，这种由源于样品本 身受激发射电子形成的电子全息，被称为“本源电子全息”。通过记录固体内部 的受激电子束经过与样品的晶格原子弹性散射后所形成的衍射图样，并对该衍射 图进- f s 重构，就可以实现电子显微，确定物质的三维结构由于本源电子全息可 以获得具有原子级分辨率的物质三维结构信息和真实原子图像，因而已成为纳米 科学与技术这一前沿领域的研究热点【4 ，5 2 高分辨率电子显微学 高分辨电子显微术是直接观察固体中具有原子级分辨率的微观结构的一种 方法，其特点是既直观又微观，这一特征正是其他许多研究物质结构的实验方法 所不能同时具备的。1 9 8 2 年，英国分子物理实验室的a ，k l u g 博士，因在发展生 物大分子的高分辨率电子显微术及研究核酸一蛋白质复合体的结构方面作出 了杰出贡献而荣获诺贝尔化学奖 6 】 高分辨率电子显微学不仅在生物及有机化合物方面取得了突破i 生进展，而_ f l - 在金属、半导体、氧化物、硅酸盐及矿物等无机物质方面的应用，同样也取得了 荡吉鹿a 上攀龋士论之 重大成就，并得到了广泛的应用。这是因为，这些物质不像生物及有机物那样容 易在电子束照射下产生辐照损伤，并且由于有原子序数较碳、氢、氧和氮为高的 原子存在，从而使高分辨率像具有较好的村度。另外，无机物的晶体结构显然要 比有机化合物及生物大分子的结构简单，这就使高分辨电子显微像的实验观察和 理论分析容易多了。 高分辨率电子显微学是一门综合性学科，或者更确切一点说是一门边缘性学 科。电子穿透固体并受其中原子的散射，电子和原予的相互作用属于原子物理或 固体物理的范畴；从固体发射出的电子波要经过电磁透镜的聚焦及放大作用，这 属于电子光学的研究主题；高分辨率电子显微像有时由于衬度不够或是不够清晰 还要进一步经过包括傅利叶变换在内的图像处理，这最好用电子计算机与电子显 微镜联机进行处理实验结果是一些电子衍射图及三维晶体结构的二维投影像， 它的诠释除了需要用到晶体的衍射理论外，还需要对所研究的固体材料的晶体结 构有深入的了解因此，高分辨率电子显微学的研究需要多门基础学科的知识， 同时它也渗透到了物理、化学、生物及材料科学等领域 3 本论文的工作简述 本论文的重点在于探索重现像面波函数的相位的方法，咀获得波函数的全部 信息，并结合高分辨率电子显微学的像差校正原理，来提高显微像的分辨率 本文对电子全息的数值重现方法作了详细的总结，阐述了各种重现方法的重 现原理，并结合带电微粒的电场分布全息图，运用频域滤波方法、神经网络法、 最小二乘法和复合形法等多种方法，把神经网络的模式识别和最优化概念引入到 全息重现这一领域，分别从重现空间的角度和优化方法的角度，成功进行了重现 工作，大大丰富了全息重现的内容通过对重现过程和结果的比较，可以看出各 种方法的优缺点，对全息重现的方法的选取具有参考价值。 利用全息重现得到的像面相位值，结舍高分辨率显微学的知识，- j - 以消除球 差、欠焦等因素的影响，达到较高的分辨率本文通过计算机的模拟，利用在后 焦面上加上数值相位板的方法，成功抵消了球差因素造成的像差，使图像的清晰 度和分辨率大大提高 本文进行了从像面和衍射面强度来复原相位的模拟研究，提出了一种通过电 子显微镜获得的电子显微像( 强度像) 来获得相位信息的方法，并对多种波函数 塑! 坠生生坐堕 进行了模拟，证明了这种方法的可行性，具有实际意义 4 电子奎惠在实空闻中的数值重现 穗旦上晕 旗亡话吏 第二章电子全息在实空间中的数值重现 1引言 全息术是利用相干性较好的光源进行波的相互干涉，达到记录波前的全部信 息( 包括强度和相位) 的目的，并可以在需要的时候实现波前再现的技术。 全包术按照步骤可以划分为全息记录和全包重现两个部分。按照物波和参考 波的夹角大小可以划分为同轴奎息( 如图2 1 1 所示) 和离轴全息( 如图2 1 2 所示) 。前者物波传播方向和参考波传播方向的夹角为0 ，后者物波传播方向和 参考波传播方向有一定夹角。离轴全息的好处在于重现时可以把孪生像去除。 表2 - 1 全息术和普通照相术的比较 普通照相术奎息术 理论基础几何光学的规律干涉、衍射等波动电子光学的规 律 记录内容仅是物体各点的光强( 或振物体各点的全部电子波信息，既 幅)包含振幅也包含位相 对应关系点点对应的关系，即一个物点点面对应的关系，即每个物点所 对应像平面中的一个像点发射的电子束直接落到记录介 质整个平面上 图像特点二维的平面图像能完全重现原物的波前，因而能 观察到物体的三维结构图像 光源要求普通的光源光源要有很高的时间相干性和 空间相干性 皇全皇查壅皇塑主塑苎竺兰翌- t 一 疆g 上学商话土 | fa l 弋妒 l m o g e ( 6 ) f i g u r e ，】l p n n c i p l 酷u n d c r l y i n g i n - i n ch 引o s r a p h y ( a ) h o i o g r 抽f o m 3 “。“( i m 8 9 。 r b c o n s t r u c u o n _ - - - - - l o _ ! h o l o g r a m l f o r m a t i o n i 一 ( d ) _ - - - - 、l 仓、 i m a g e h o l o g r a m ( 6 ) h i h 话g e f j g u r 妒p r i n c i p l e su 删扣n ”r - a x i s h o l o g c r 础a p h _ d 。1 。”幻。抵悃4 萨 6 h n 一二 电子全息在实空问中的数值重现 握g 上擎 颉士论丘 图2 1 3 电子全息实验装置示意图 2全息图的记录 2 1光学全息图的纪录 全息记录采用干涉记录法由于记录介质只能记录强度，无法记录位相信息， 因此加入参考波，把相位信息转化为强度信息，记录过程如图2 2 ( a ) 所示。设物 波复振幅为u o ，参考光复振幅为u r ，则全息图的强度为： i = ( 乩+ 以) ( 叱+ ) = u _ u ：+ u 翔：+ u ：u o + u ? u ： = a ；+ a ：+ 叱乩+ u ，u ： 把两光波干涉的条纹用记录介质拍摄下来，进行线1 生冲洗即可得到一张全息 图设透过率为t ，则： r = t o + 卢，= t o + 卢( 4 j + ；+ v ；v 。+ 以u j ) 2 - 1 式中5 为一常数，对正片5 0 ，对负片8 0 。 7 电子全息在实空间中的数值重现 棋g 上擎 顽士话吏 ( a ) 原始波前的记录 ( b ) 原始波前的重现 图2 2 全息的记录和重现原理图 2 2电子全息图的记录过程 一般的外源电子全息装置结构图如图2 _ 3 所示。相干电子渡由电子源射出， 一部分电子波从样品透射出来即物渡，另一部分电子波没有受到物的调制即参考 波。在电子双棱镜的作用下，两个波束发生偏转，在像平面上形成干涉条纹。把 像平面上的干涉条纹记录下来就形成了全息图。 镜 图2 3 一般外源电子全息装置结构图 由于电子的波动性和光子的波动性比较相似，在以下关于电子全息原理的讨 论中，借用了许多光学全息的概念和方法 设电子波通过样品后的物波为v o ( x ，一) ，经过距离z ，传播到全息记录平面 处的物波函数为k ( x ，y ) ，由菲涅尔衍射公式表示为： 8 兰三全皇圭壅窒塑竺苎堡兰墨里生! 兰兰堡坐 _ ( 训) ：亏掣e x 。 ，去b 2 + y2 ) m 圪皓瑚e x p e 一，去皓2 + 矿) ) 唧 一毫m y 可) 蚴 ：掣小唧 - ，弘訇2m 刊2 弘咖 可以写成 川= 焉孚驰。e x p ! 茅) ( 2 - 2 ) ，lz 其中，九为电子波长，z 为试样到全息面的距离，o 表示卷积。使用上式时， 需满足菲涅耳近似条件z 3 ) ) 啬【扛一自2 + ( y - 功22 。- 这个条件可以理解为： a 1 衍射孔径远大于衍射波长 b 1 不要在太靠近衍射孔径的地方观察。 由此可见，可以把( 墨y ) 看作k ( 置y ) 与“p l _ ，去 2 + _ y 2 ) l 的卷积a 由千洼传播公式也可以用一次傅里叶变换实现。 率为 整个积分项可以看成 _ 倍，叩) 唧 ，去皓2 + 可2 ) 的傅里叶变换其变换频 f x2 之 f y = 悬 在计算机模拟研究时，将电子波传播公式离散化为 圪。，v ) ：。x p ，去。z + ，z 譬) 善篓 o 力e x ，去。2 + r 2 砖) ) p 一，笔沁砖鸭以卅 式中u = 0 1 ，m 1 ；v = 0 1 ，n 1 ；x 、a v 为全息面上的取样间隔，a 、1 为 物平面上的取样间隔a x 与a e 、a v 与有以下关系： x = 地m a v a q ；地n 由于使用了d t f ，我们受到了限制，即信号抽样间隔缸，缈和频域抽样间 9 电子全怠在实空间中的数值重现 疆旦上肇 颈士话之 隔“，v 必须满足“= 矗i ，v = 面在这里就是a 六= 差= 主i ， = 笔= 志即f 血= 等，叩缈= 等。 传播到全息记录面上的物波u o ( x ，y ) 与参考波u ，( 工，y ) 相互作用，则全息面 上的电子波强度，也即记录到的全息图强度为： ，= ( u o + u ，) ( 叱+ 【，：) = u 。u ：+ u ，u ：+ u ：u + u , u ： ( 2 3 ) = i u 。j2 + j u ，j 2 + u ：虬+ 【，u ： 3全息图的重现 全息图的重现方法主要分为光学重现( 直接重现) 和数值重现。光学重现采 用重现光束照射全息图的途径，简单易行，缺点是不利于图像的像差校正等处理 过程数值重现主要利用计算机来实现，可实现数值化处理，有利于提高图像的 清晰度和分辨率数值重现按实现的空间不同，又可分为滤波重现( 在频谱空间) 和实空间重现 3 1 直接重现 如果用另一束渡( 其复振幅为u ：) 照射2 - 1 式所表示的全息底片，则透射 波前为 u r = 彰， = ( r o + 卢一j + 卢智) 珥+ 卢u ：町u 。+ 卢u ：u u ； 【f o + 卢z j ) u ：与波前u ：只差一个常数因子，表现为照明波按几何光学直线前 进的透射波，称为0 级波 卢露u ：代表物波自相关项，表现为杂散“噪声”信号，但可预期在通常条 件下照明波衍射角不致太大，因此渡的能流分布不会偏高0 级波太远 卢u ：u ：u o 称为+ 1 级波当u ：与u ，只差一个初相位时，该项与u o 只差一 个常数，表现为发散波，在拍摄原位置上形成一个物的虚像 u ：u ，哦称为一1 级波当u ：与u ，只差一个初相位时，该项与u o 的共振波 只差一个常数因子，表现为会聚波，在与原物对称位置上形成实像。 电子全息在实空间中的数值重现 植旦上擎 跖t 论土 3 2颏域重现一滤波重现 离轴全息中，参考波取为u ，( x ，y ) = e x p ( 一j k y s i n 曰。) ，0 。为参考波与轴线的 夹角，如果采用滤波重现方法，则在吼满足一定条件时，离轴全息的0 级，1 级 谱相互分离，可以把+ l 级或一1 级谱分离开来，从而可以求出全息平面上的物场 分布u 。( 算，y ) 或其共轭。滤波重现原理的实质是先对全息图强度分布i 作傅里叶 变换： f u = f lu 。1 2 + lu r1 2 ) + f u 。u ： + f ( u r u ：) f 2 4 、 = g o ( 正， ) + g t ( 正，兀一兀) + g ：， + 五) 、 其中g 。( ， ) = ，( j u 。f2 + j u ，j 2 是0 级谱，g i ( 六， 一f o ) = f f u o u 0 是 - l 级谱，g 2 ( ， + f o ) = f u ，“ 是+ 1 级谱。 在物波函数有限带宽的情况下，g o ，g i ，g ：三项在频谱面上相互分离( 如 图2 4 所示) ，所以把g 。( 六， - l ) 分离出来后，并平移兀后，可得瓯( 六， ) ， 再对瓯做反傅里叶变换，可得： f g ；( 工，工) ) = 口u o ( c c 为常数) ( 2 - 5 ) 由此再现了在奎息平面处的物波函数。 得出u 。( x ，力后，由公式l 可知，对u 。 ，y ) 乘以e x p ( - j k z ) j l z 因子再进行 退卷积，即可得到试样平面处的物场分布k ( x ，y ) 以上即为滤波重现的全过程，可以方便地用计算机实现数值重现 7 l ji 0 级1 i e 一 一 滤取 胖 图2 4 滤波过程的频谱 3 3 实空间重现 电子全息图是由物波和参考波在像平面上干涉形成的，参考渡是已知的电子 1 1 _一一 电子仝息在实空闻中的敷值重现 槎g 学 龋士论土 波，设c ( ；) = e - i 2 z 一，其中q 为参考波的频率，物波含有样品的信息，振幅和 相位都是未知的，设o ( r ) = 一( ，) t 8 州“，其中a ( r ) 为物波的振幅，中( r ) 为物波 的相位，则全息图可表示为： 一+- l ( r ) = | c ( r ) + o ( r ) 1 2 = 1 + a 2 ( r ) + 2 a ( r ) k t c o s ( 2 x g ，+ o ( r ) ) ( 2 - 6 ) 其中的为物波和参考波相干涉时的交叠因子。 由于物波是具有连续性的电子波，也就是说它的振幅和相位是连续分布的， 因此在某一特定小的区域内( 通常取为7 * 7 点阵) ，物波的变化是很小的，这样， 我们可以认为在特定小的区域内全息图强度的变化，主要是由参考波的变化引起 的事实证明，在实际的全息图的重现中，这种近似是合理而有效的。 目前有很多种计算方法可应用到全息图的实空间重现中，典型的方法有复合 形法f8 】、最小二乘 k i - 9 、1 0 法和神经网络法【1 1 、1 2 、1 3 。它们的共同点是不需 在频谱面上的滤波，可以以区域为单位并4 i i 垂算。 3 3 1复合形法进行实空间重现 复合形是在单纯形法的基础上加上约束条件的一种有约束极值问题的直接 搜索法 它的数学规划形式是如下： f m i n f ( x )x = ( x i ，x 2 ，一，) 7 dc r ” 善：嚣岛，嚣：觥釉 。 在全息重现中，我们取其中的7 * 7 的点阵为一独立的计算单位，则根据公式 2 - 6 可知： f ( a ，o ) = 形( 1 + 2 + 2 a k t c o s ( 2 z g + 中) 一) 2 ( 2 8 ) 这就是复合形法的目标函数，其中的a 和m 分别为7 * 7 区域的中心点的强度 和相位，卢为交叠固子，矿为权重因子，并且0 a s l ，一石墨。茎石，0 1 矿的选取采用h a r m i n g 函数( 如图2 5 ) 的形式，目的是突出中心点的权重， 皇! 叁：塾圭壅竺璺! 竺塾垡兰墨 堡! 兰! j 生j _ 鱼兰 图2 5 依照复合形法的步骤，反复迭代，可算出中心点的强度和相位值把全息图 划分成若干块7 * 7 的区域，逐一重现，就可达到重现全部全息图的目的，程序流 程如图2 6 。 图a 复合形计算框图 结束 图2 6 复合形法流程图 图b检验调整能行点计算框图 1 4 电子仝息在实空阃中的数值重现 强旦上擎 嗣士论立 3 3 2最小二乘法进行实空间重现 直接应用最小二乘法求解式( 2 - 8 ) 的最小值，别要求f ( a ，i 1 ，o ) 对a 、t 2 、中 的偏导都为零。由于函数，( ，巾) 是一个比较复杂的函数，求偏导后是高阶的 方程组，难于求解，因此我们做以下的替换： d 。= 2 ，g ，f ； b = 1 + a 2 ；c = 2 a ac o s ( o ) ；d = _ 2 爿vs i n ( o ) 将上式代八到式( 2 8 ) ，可得到 4 9 f ( b ，c ，d ) = w 。( b + c c o s ( a 。) + ds i n ( a 。) 一，) 2 ( 2 _ 9 ) f 1 1 选取合适的权重因子矿，使其满足以下的条件： 1 ) 彬s i n a ，= 0 ， 2 ) 彬c o s a 。= 0 ， 3 )e 暇s i n a 。c o s a ，= 0 ， ( 2 1 0 ) 4 ) 形( c o s 2 q s i n 2 q ) = 0 ， 5 ) 彤= l ； 则误差函数f ( b ，c ，d ) 可写为 朋，c ，妒口2 + 圭c2 + 圭d 2 + 矿 2 2 日咐一 ( 2 - 1 1 ) 2 c 暇，c o s q 一2 3 孵s i n q 把b 、c 、d 作为独立的变量，分别求函数的偏导，当f ( b ，c ，d ) 最小极值时， 曰：形；c = 彬，c 。s 口j ；d = 告彤s i n 引( 2 - 1 2 ) 再根据口9 ) 式，得到物波的振幅a 和相位中， 彳。甄t a n ( o ) ：一= d ； ( 2 。1 3 ) 通过参数的替换，使误差函数达到了简化的目的，更加有利于最小二乘法的 函数求编导和方程求解过程，计算效率明显提高。 3 3 3神经网络法进行实空间重现 神经网络有多种类型，如前馈型神经网络、反馈式人工神经网络、自组织竞 争的人工神经网络等等我们在全息图的重现中所要采用的是前馈形网络中的一 种一一b p 网络，它是由非线性变换单元组成的前馈网络，它的结构如图2 7 所 示。 电子奎息在实空间中的数值重现 棋里上擎 矩士论土 b p 网络由分层排列的神经元组成，输入层与输出层之间可以有多个中间层， 通常称为隐层。相邻两层各神经元之间通过神经“突触”相连接，由前一层神经 元x ，( i = o ，1 ，2 ，n 1 ) 的轴突输出信号，经“突触”对后一层各个神经元x i ( j = 0 ，1 ，2 ，n 1 ) ( 城值为e j ) 的作用大小可用权重因子彤，表示如果输入层 输出模式 y l= y ：v z 2 。 工 输入模式 图2 7 输出层 隐层 输入层 有n 个神经元，共输入矢量i r ”，王= ( ，一，工) ，输出层有m 个神经元 歹月”，歹= ( y o , “，n 一。) 7 ，则b p 网络实际是完成n 维空间向量对m 维空 间向量的近似映照 应用b p 网络进行离轴电子全忽图数值重现时，需要把全息图分解成若干个 小区域，每一个小区域又可以分成等面积像素元( 一般取为nx n 方块元) ，这 种小区域称之为超级像素由于物波( 物分布) 是连续变化的，因此物分布中某 一点与周围邻近点均有联系因此知道全息图上某小区域( 超级像素) 中间点及 周围邻近点的强度后，就能利用这些信息恢复重现出超级像素中间点上的物波复 振幅 在本文的重现实例中，超级像素取成7 7 结构，应是适宜的选择这7 7 = 4 9 个方块像素元作为b p 网络输入层的4 9 个神经单元，其值为4 9 个像素元 的强度值第一隐层取为1 0 个单元，第二隐层取为5 个单元，输出层为2 个单 元，其输出值分别是中心点物波的实部和虚部所以b p 网络实际完成的是4 9 维空间向量的输入值( 超级像素7 7 全息图强度值) 到网络的2 维空间向量的 1 6 电子全息在实空间中的数值重现 谯旦上擎 龋士论主 输出值( 超级像素7 x7 全息图中心点的物波实部与虚部) 的映照因此，全息 图分成若干超级像素后送到训练好的b p 网络中避点还原，最后就可以得到完整 的物波复振幅图。 b p 网络在应用到实际的全息图重现之前，必须选用合适的模型对网络进行 训练，用以求出神经元之间的连接权和域值训练所用的数据要和网络实际应用 中的情况相符，它既可以是实验值，也可以是模拟值。本文采用的训练图，是固 定的参考波与各种不同的物波相干涉所模拟出来的7 7 全息图，它可以采用两 种不同的训练模式得到 i 妊教辰开模式 由于物波的连续性，对全息面处物波中的任何一个点都可以用泰勒级数展开 成如下形式： p r d ( f ) = 爿( 芦) 已。9 即= c 0 0 + c i 。x + c 0 1 y + c 2 。工2 + c 1 1 耳7 + c 。2 y 2 ( 2 - 1 4 ) 这里，x ，y 是相对于7 x7 奎息图中心点的坐标。二级小量以上各项因为影 响很小而被忽略在模拟计算中，上式中的基本项l 0 0 取值在2 。5 之间，其他参 数以像素间距d 为归一化参比量选取，一级小量i c - 小i c o , i 1 1 0 j 1 ，二级小 量吲、川 。5 ) 枷一 采用( 2 1 4 ) 式模拟出各种不同的物波，然后按照与已知的参考波相干涉，形 成训练全息图，作为b p 网络的训练图训练图的7 7 全息图强度值作为4 9 维的输入向量，2 维的输出向量是复系数。m ，即物波中心点的实部和虚部采 用b - p 算法对网络进行反复训练，不断调整网络神经元之间的连接权彤，和阈值 o j ，直到网络的输出值与实际的真实值的误差足够小，训练结束，此时的b - p 网络( 具有最终得出的形一和巳) ，已经可以较好的满足从全息图强度值到其中 心点的物波实部和虚部的映照。 i l 强度公式模式 由于物波的变化在7 * 7 的范围内很小，很设爿和。为定值，则全息图的强度为： i ( r ) = 1 + a 2 + 2 a 9 c o s ( 2 ，r g ，+ o )( 2 1 5 ) 电子仝息在实空间中的数值重现 植旦上擎 确t 论土 其中：0 s 爿1 ，0 ( x 。2 + y 。2 ) 。2 作为判据透镜能使人们在它的后焦面上清楚的看 皇璺兰三竺：坠苎堂兰! 兰苎堡堡兰兰生三兰! 二二生_ ! _ _ 坠 到物的f r a u n h o f e r 们村 2 2 电子显微成像 为了确立电子波经过物体在其下表面产生的透射函数与这个函数在电子显 微镜物镜的后焦面上的衍射像及像平面的显微像三者之间的关系，我们从傅里叶 光学的角度来描述透镜的成像过程设物体置于透镜之前u 的地方，用f r e 8 “。1 传播因子求透镜后面各处的复振幅。 吣h 面i 扣咖p t 鼍芦芝笋， p 巫 】 写成积分的形式 贴) ：- 丽1 f f j q ( x 2 , y 2 ) x e 坤攀掣幽) 1 0 ) 。x p - ! ! 亟；手血) e x p 拳盟生! 生；立二丛 出，咖。出：方： 对指数项进行归并后 耐拈一丽1i f l b ( * ：挑) 唧掣) e x p 号i k 它l + 古一专) o 。2 + 儿2 ) e x p 够。“2 ) 。- 1 1 p 一札e + x - + ( 告+ 争y t 溅& l d x 2 d y ： 我们分别考察在透镜后焦面与像面上的情况，在透镜的后焦面上，即v = f 毗y ) = 一而1 胁问e x p 掣 e x p 卷( o 2 ) ( 3 1 1 2 1 e x p ( 万i k ( x 2 + y 2 ) e x p ( f h ( 詈+ 手) 而 “台+ 铷 d x l d y , d x j y 2 生旦兰全：墨兰堕皇三兰苎堡堡苎! 生三兰兰! 三丝竺 利用积分公式 唧 - 2 蝴出2 仁唧移 。- ”1 先计算对出l a y 】的积分，再对出2 a y 2 积分，得出结果为【1 7 ： 舭胁嘉m 幽廊p 华 e x p 当( 心2 埙2 ) ) e 印卜丁i k u 卜矿x 2 2 + 笋+ 2 鲁+ 簪+ 乒+ 2 告，咄咖z n 5 寺e x p 劳盯一f 2 + 扩h m ( b y ：) e x p - 2 硝万x x 2 + 等) 方： 注意到 肿：，y ：) ) = 伽( x ：，y ：) e x p 一2 耐唔xx ：+ 万y y ：) 咄咖q ( 嘉， 当物体放在透镜前焦点时，f u = 0 伊( 砉，f f f ) = c q ( 砉，号) ( 3 1 5 ) 这里c ：j 可只是常数因子，在透镜后焦面上呈现的是物体透射函数的傅里叶变 换， 如果观察点设在理想的像平面上，吉+ 吉一1 厂= o 这时对出- 咖t 的积分式 是 一牙品e x p ( - 罢：+ 州 争y 1 ) 蚋t 这是占