（机械设计及理论专业论文）基于有限元分析的离散点曲面重构.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 目前，曲面重构己成为计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e d g e o 。m e t r i cd e s i g n ，c a g d ) 和计算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ，c g ) 中研究的个热点。用传统的曲面造型方法在曲面重构中会遇到许多困难， 为了克服这些困难本文采用离散型的曲面造型方法。论文采用基于点的四点 插值细分曲面网格的方法实现离散数据点的曲面重构，成功地克服了传统曲 面造型方法中的不足之处。在对曲面插值细分的研究中，论文提出了基于有 限元分析的离散数据点的曲面重构方法。并根据论文提出的曲面重构方法设 在对曲面的有限元计算产生的误差分析中，得出了曲面有限元计算 的误差和曲面上相邻两点法线夹角的关系。根据有限元计算精度的要求 确定了曲面上相邻两点法线夹角的最大值。 ( 2 ) 基于有限元分析的曲面重构方法 根据离散数据点的不同特点，本文将离散数据点曲面分成四种模 型。论文根据曲面有限元分析要求采用四点插值方法提出了四种模型的 曲面插值细分方法即提出基于有限元分析的离散数据点曲面重构方法。 ( 3 ) 基于有限元分析的曲面重构算法设计 根据论文提出的离散数据点的曲面重构方法，设计了采用四点插值 细分曲面网格点的曲面重构算法。分别对四种离散数据点模型设计了曲 面重构算法，并在c + + b u i l d e r 5 开发环境中利用本文提出的算法设计了 离散数据点的曲面重构系统。 最后通过实例验证了本文提出的基于有限元分析的曲面重构方法和 算法设计的正确性。 关键词：曲面重构；有限元分析；四点插值；曲面网格 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a b s t r a c t a t p r e s e n t ，s u r f a c er e c o n s t r u c t i o n r e s e a r c hh a sb e c o m eah o tp o i n ti n c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) & c o m p u t e r g r a p h i c s ( c g ) t r a d i t i o n a ls u r f a c em o d e l i n gh a sm a n yd i f f i c u l t i e si ns u r f a c er e c o n s t r u c t i o n i nt h i st h e s i ss c a t t e r i n gm o d e l i n gi su s e dt os o l v et h e s ed i f f i c u l t i e s t h e m e t h o do fs u r f a c er e c o n s t r u c t i o nb a s e do nf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ( f e a ) i s p r o d u c e d i nr e s e a r c ho f i n t e r p o l a t o r ys u b d i v i s i o ns u r f a c e ，a n da l g o r i t h m i s d e s i g n e da c c o r d i n gt ot h em e t h o do f s u r f a c er e c o n s t r u c t i o n t h e f o l l o w i n g i sas i m p l ei n t r o d u c t i o nt ot h et h e s i s sm a i nc o n t e n t ： 1 e r r o r a n a l y s i si ns u r f a c ef e a v a r i a t i o no fe r r o r sa g a i n s tt h en o r m a la n g u l a ro fs u r f a c ep o i n t si s p r o d u c e da b o u ts u r f a c ef e a aa n g u l a ri ss e l e c t e da c c o r d i n gt oe r r o ro f s u r f a c ef e a t h e a n g u l a ri so n eo f m e t h o d st oc o n t r o lt h ed a t ap o i n td e n s i t y o f r e c o n s t r u c t i n gs u r f a c e 2s u r f a c er e c o n s t r u c t i o nm e t h o d b a s e do nf e a s u r f a c eo f3 d u n o r g a n i z e dp o i n t si sd i v i d e d i n t of o u rm o d e s a c c o r d i n g t ot h e s p e c i a lf e a t u r e so fp o i n t so ns u r f a c ei nt h i st h e s i s s u r f a c e r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d u s i n g4 - p o i n ti n t e r p o l a t o r ys u b d i v i s i o ns u r f a c ei s p r o d u c e da c c o r d i n g t or e q u e s to fs u r f a c ef e ai nt h i st h e s i s 3 a l g o r i t h md e s i g no f s u r f a c er e c o n s t r u c t i o nb a s e do nf e a a l g o r i t h m w a s d e s i g n e da c c o r d i n g t os u r f a c er e c o n s t r u c t i o nm e t h o di n t h et h e s i s as u r f a c er e c o n s t r u c t i o ns y s t e mw a s d e s i g n e du s i n gt h ec + + b u i l d e r5s o f t w a r ea c c o r d i n gt os u r f a c er e c o n s t r u c t i o nm e t h o db a s e do nf e a a tl a s t ，t h es u r f a c er e c o n s t r u c t i o nm e t h o d p u tf o r w a r di nt h i st h e s i si s v a l i d a t e db y e x a m p l e s k e y w o r d s ：s u r f a c er e c o n s t r u c t i o n ；f e a ；4 - i n t e r p o l a t o r y ；s u r f a c em e s h 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 随着航空、航天、汽车和模具工业的发展，基于实物样件曲面重建方 面的应用越来越多如：在精致的轿车身设计，在医学图象的可视化中，用 c t 切片来得到人体器官表面的三维数据点。从曲面上的部分采样信息来恢 复原始曲面的几何模型，称为曲面重建。对重建曲面的进一步研究包括对曲 面进行有限元分析和光顺性分析等。怎样通过测量得到的三维数据点设计曲 面是计算机辅助几何设计( c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i c d e s i g n ，c a g d ) 和计 算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 的一项重要研究内容。目前一些发达国家 在快速曲面重建、制造和加工一体化技术方面已经取得重大突破。曲面造型 ( s u r f a c e m o d e l i n g ) 由c o o n s 、b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代奠定其理 论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理b 样条曲面 ( r a t i o n a lb s p l i n es u r f a c e ) 参数化特征设计和隐式代数曲面( i m p l i c i t a l g e b r a i cs u r f a c e ) 表示这两类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n 、拟合 ( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几何理论体系。最近 国外有学者将基于点的曲线曲面的描述方法应用到曲面重建的设计中，并越 来越受到广泛的重视。但在国内很少有这方面相关研究内容的报道。 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强， 随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日 益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益 加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲面 造型近几年得到了长足的发展，这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方 法的开拓创新。从研究领域来看，曲面造型技术也从传统的研究曲面表示、 曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转变和 曲面等距性。 1 9 6 3 年美国波音公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的矢 函数方法，并引入了参数三次曲线。从此曲线曲面的参数化形式成为形状数 学描述的标准形式。 下面就对传统的曲面造型的方法作简要的介绍。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 1 传统的参数化曲面造型方法 1 1 1b e z i e r 方法 1 9 7 1 年法国法国雷诺汽车公司的b e i z e r 提出一种由控制多边形设计曲 线的新方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状的控制问 题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了 坚实的基础。并以此为基础，发展了一套自由型曲线曲面的造型设计系统， 于1 9 7 2 年投入使用。 b e z i e r 曲线是参数多项式曲线，它采用一组独特的多项式基函数，使它 具有许多优良性质，受到c a g d 学术界的广泛重视，并表现出强大的生命 力。由于b e z i e r 曲线、曲面分别是参数多项式曲线段与曲面片，具有整体 性质，这样要求b e z i e r 曲线曲面的次数就不宜太高。 由于b e z i e r 曲线曲面具有整体性曲线曲面的一些局部性质不易表达， 因此b e z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问题，对用b e z i e r 造型方法重 建的曲面进行有限元分析时难度很大。 1 1 2 b 样条方法 b 样条的理论在1 9 4 6 年由舍恩伯格( s e h o e n b e r g ) 提出，1 9 7 2 年，德 布尔( d eb o o r ) 与考克斯( c o x ) 分别独立地给出关于b 样条的标准算 法。但作为c a g d 中的一个形状数学描述的基本方法，是由戈登 ( g o r d o n ) 与里森费尔德( r i e s e n f e l d ，1 9 7 4 ) 在研究b c z i e r 方法的基础上 引入的。b 样条方法继承了b e z i e r 方法的一切优点，克服了b e z i e r 方法存 在的缺点。又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由 曲线曲面的形状的描述问题得到了较好解决。 但随着生产的发展，b 样条方法显示出明显的不足，不能精确表示圆锥 截线及初等解析曲面，这样就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没 有统一的数学描述形式，容易造成生产混乱。同样在对重建曲面进行有限元 分析时也很困难。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 1 3n u r b s 方法 b 样条方法在设计自由型曲线曲面形状时显示了强大的威力，然而在表 示与设计这些由二次曲面与平面构成的初等曲面时却遇到了麻烦。因为b 样条曲线不能精确表示除抛物线外的二次曲线弧，b 样条曲面不能精确表示 除抛物面外的二次曲面而只能近似表示。近似表示将带来处理上的麻烦，使 本来简单的问题复杂化，还带来原来不存在的设计误差问题。解决这个问 题，1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 首次提出有理b 样条的方法。 后来由于p i e g e l 和t i l l e r 等人的功绩，终于使非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 方法，简称n u r b s 方法成为现代造型中最为广 泛流行的技术。 n u r b s 方法的提出和广泛流行是生产发展的必然结果。n u r b s 方法 的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形 式表示规则曲面和自由曲面，而其它非有理方法无法做到这点；具有可影 响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；n u r b s 方法是非有 理b 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理b 样条曲线曲面的性质 及其相应算法也适用于n u r b s 曲线睦面，便于继承和发展。由于n u r b s 方法的上述优点，从而使n u r b s 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要 的基础。 1 2 离散型曲面造型方法 1 2 1 基于点的曲线曲面描述方法 在曲面重建中前面介绍的是函数型曲面重建方法，还有另一种是离散型 曲面重建方法。用曲线曲面上离散点表示曲线曲面的方法称为“基于点的曲 线曲面描述方法”【b a l l1 9 9 7 。这种离散曲面在曲面的细节区域具有密集 点，而在曲面的无特征区域具有稀琉点。同用函数形式表示曲线曲面一样， “基于点的曲线曲面描述方法”也有一组基于曲线曲面的离散点算法来求解 曲线曲面的性质如曲面上点的法线、曲率等。 离散型的曲面重建就是用网格细分产生离散曲面。这种造型方法与传统 的连续造型方法相比越来越受到c a g e ) 界的薰视。这种造型方法在生动逼 真的特征动画和雕塑曲面的设计中得到高度的运用 西南交通大学硕士研究生学位论文葛4 页 形状信息的核心问题是计算机表示，即要解决既适合计算机处理且有效 地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形 状描述的数学方法。虽然，n u r b s 尽管早己被国际标准化组织作为定义工 业产品数据交换的s t e p 标准，在工业造型和动画制作中得到广泛的应用， 但仍然存在着局限性。单一的n u r b s 曲面和其他参数曲面一样，仅限于表 示一张曲面，不能表示任意拓扑结构的曲面。为了表达特征动画中更复杂的 形状，可以采用n u r b s 的修剪对付。但是，至少会遇到以下困难：修剪昂 贵，而且有数值误差；要陆面的接缝处保持光滑，即使是近似的光滑也是困 难的。而细分曲面有潜力克服以上两个困难，并且曲面无须修剪。 曲面重建是对已有实体模型( 如汽车的外形) 通过测量获得它的形状信 息。主要工作是通过形状信息( 即一组离散数据点信息) 找到一种方法能够 明确曲面的数据信息。基于点的曲线曲面描述方法不需要用一个多项式来表 示曲线曲面而是直接用实体的数字模型来表示曲线曲面。基于点的曲线曲面 描述方法是一种更加直接的曲面造型设计方法。相对于参数多项式表示曲线 曲面的方法通过移动曲线曲面控制点的方法来影响曲线曲面形状。基于点的 曲线曲面设计方法使设计者可以更加直接地操作曲线曲面上离散点实现对所 设计的曲线曲面形状控制的控制这种方法更直观。 现在c a d c a m 中还没有简单标准的曲线曲面表示方法，在些 c a d c a m 系统中采用b e z i e r 方法表示，另一些系统中采用m 瓜b s 方法。 因此，不同系统中同一模型存在数据之间交换的问题。并不是所有的表示方 法都能正确定义另外的曲线曲面，例如非有理b e z i e r 曲线通常不能正确表 示哇毪线的有理部分。因此，通常采用近似方法表示曲线曲面这样可能导致数 据的大量增加。基于点的曲线曲面描述方法不需要数据之间的交换即使采用 不同的基于点的曲线曲面描述算法。目前在c a d c a m 中很少采用基于点 的曲线曲面描述方法可能是因为它缺乏一种明确的参数定义表达式。然而关 键的问题是c a d c a m 中是否实际上需要一种明确的参数定义的表达式来 表示曲线曲面的问题。例如c a d c a m 中定义曲面的等高线就不需要用明 确的参数多项式来表示曲面，因为等高线实际上是曲面和一个平面相交得到 的。在参数多项式定义的曲面r ( u ，v ) 中，求曲面等高线的方法是对曲面 进行离散化得到一系列网格点p 。，。然后将网格三角化通过三角形重心坐标 公式求出曲面等高线。基于点的曲线曲面描述方法时可以直接求解曲面的等 高线。可以通过在基于点的曲线曲面中插入点的方法实现曲线曲面上点的加 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 密，这种方法主要应用到对曲面的有限元分析中。另外，在高水平的 c a d c a m 中如：可视化和机械加工中，基于点的曲线曲面描述方法也引起 了一些注意。可视化就是在计算机屏幕上表示曲线曲面并且包括对曲面的等 高线、曲面反光分析和曲面上点的曲率计算等。这些是计算机辅助设计工程 中所必须要求的，基于点的曲线曲面描述方法都能够求解上述问题。 1 2 1 基于点表示的曲线曲面的优点 离散型的曲面造型方法与传统的曲面造型方法相比具有以下优点： ( 1 ) 直观性 基于点的曲线曲面描述方法即用曲线。曲面上的点来表示曲线和曲面 ( 要求这些点能反映曲线曲面的特性) 比用参数多项式表示曲线曲面表示方 法简单和直观。 ( 2 ) 曲面重建中应用前景广阔 基于点描述的曲线曲面按给定的插值标准很容易实现对曲面的网格细 分在离散型曲面重建是曲线曲面关键表示方法。 ( 3 ) 计算工作量小 基于点的曲线曲面描述方法表示的曲线曲面不需要特定的数学表示形 式。因此，不象用函数形式表示的曲面有限元分析或求解曲面的等高线等需 要大量的计算。 ( 4 ) 数据交换非常简单 曲面上的所有点采用一种方式表示所以不同系统之间的同一种模型之 间的数据交换非常简单。 ( 5 ) 非常适合计算机表示 基于点描述的曲线曲面是曲线曲面上的一些离散点。因此，它很容易 实现曲线曲面在计算机上的表示。 ( 6 ) 适合对曲面进行有限元分析 基于点的曲线曲面描述方法表示的曲面很容易实现根据有限元分析要 求对曲面的网格细分，细分后的曲面就能满足有限元分析要求。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 1 3 论文的选题背景 本论文是为了解决板料成形中模具的补偿( 或修正) 问题。在板料成形 过程中，板料在外力的作用下发生弹塑性变形，在去掉外力后，由于存在弹 性变形板料产生反弹( 通常称之为回弹) 。由于板料回弹影响使得板料成形 后的形状与模具形状不一样，从而大大地影响了制造精度甚至使得成形后的 零件成为废品。为了解决这一问题，通常采用的方法是修改模具形状使得板 料回弹后的形状正好就是设计所要的形状。这一方法的基本思路是： ( 1 ) 按产品的形状设计模具，利用有限元进行模拟。 ( 2 ) 有限元模拟结束后，求出成形曲面与设计所要求的零件曲面的误 差。 ( 3 ) 判断误差是否小于给定的精度要求，如果误差小于给定的精度要 求，则有限元模拟结束。本次有限元模拟所对应的模具曲面即是所要求的模 具曲面。如果误差不满足给定的精度要求，则继续下一步。 ( 4 ) 根据误差的大小，对模具曲面进行修正得到新的模具曲面，再利 用有限元进行模拟。 ( 5 ) 重复上面第( 2 ) 步至第( 4 ) 。 这一方法的关键是模具曲面的修正方法和修正后模具曲面的品质。本论 文的主要研究目的是找到一种模具曲面描述方法，并且要求曲面适合有限元 分析。论文获四川省学术带头人后备人选基金和留学回国人员基金资助。 1 4 作者在论文中所做的主要工作 本论文的主要工作是对板料成形中的模具曲面按有限元分析的要求重 建。论文采用基于点的方法描述模具曲面，在对模具曲面的有限元分析中要 求： ( 1 ) 有限元单元分布比较均匀：( 2 ) 有限元单元节点处的法线变化率 要满足精度要求。 这样就要求基于点表示的曲面应该满足以下要求：( 1 ) 曲面上的点分 布比较均匀：( 2 ) 曲面上点的法线变化率满足有限元分析精度要求。由于 对曲面测量取点时，一般根据曲面的曲率变化来确定取点的密度即根据曲面 的形状。一般不能满足有限元分析的要求。为按了解决上述问题论文所做的 主要工作有： 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 ( 1 ) 基于点的方法描述曲面，曲面上点的密度不可能无限大即点不可 能布满整个曲面。在曲面上没有点表示的部分采用重心坐标公式描述。论文 要研究曲面上点的密度与曲面有限元分析精度之间的关系。 ( 2 ) 无约束规则数据点模型：无约束规则点的数据模型是指基于点描 述的曲面将u 向曲线上点的投影在一条直线上；v 向曲线上的点投影在一条 直线上。但是在投影平面上u 向曲线上的点或v 向曲线上的点分布并不要求 均匀。研究的目的是根据该种模型重建的曲面满足有限元分析要求。 ( 3 ) 无约束散乱数据点模型：散乱数据点模型是指曲面上的点分布没 有规律即曲面上的u 向曲线上的点分布不均匀并且投影点也不在一条直线 上。并且一般情况下每条u 向曲线上点的数目不相等。同样曲面上v 向曲线 上的点和u 向曲线上点的情况相同。研究的目的是根据该种模型重建的曲面 满足有限元分析要求。 ( 4 ) 有约束规则数据点模型：有约束规则数据点模型是指规则点数据 模型中曲面上有约束的情况( 约束是指曲面上的孔洞) 。有约束的情况非常 复杂论文只对曲面上的一条u 向曲线或一条v 向曲线只通过一次约束的情况 进行研究。研究的目的是根据该种模型重建的曲面满足有限元分析要求。 ( 5 ) 有约束的散乱数据点模型：有约束的散乱数据点模型是指散乱点 数据模型中曲面上约束的情况( 约束是指曲面上的孔洞) 。由于这一问题非 常复杂，论文只对曲面上的u 向曲线或v 向曲线只通过一次约束的情况进行 研究。目的是使曲面上点分布比较均匀并且将曲面上的点划分成有限元单元 时应该满足有限元模拟要求。 ( 6 ) 根据上面提出的几种离散数据点的曲面重建模型，编制了相应的 基于有限元分析的离散数据点的曲面重建软件。在w i n d o w s 系统下采用 c + + b u i l d e r 5 开发工具，开发一个实用、操作简单、界面友好的独立曲面重 建软件系统。 匹南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第2 章四点插值细分曲线方法 在离散型曲面造型方法中主要用到的是插值细分曲面网格的方法。这一 章中将介绍一种插值细分曲面网格的算法。目前存在许多种插值细分基于点 描述的曲线曲面算法，有较为简单的线性插值方法【9 1 ( d y n e ta 1 1 9 8 7 ) 和 比较复杂的非线性插值方法d o , n ( b a l l ) 。它们对同一个基于点描述的曲线 曲面进行插值会产生不同的曲线和曲面片。在线性插值方法中主要的工作是 计算基于点描述的曲线曲面上点的切线矢量( 切矢) 和曲面的法线矢量( 法 矢) 。非线性插值方法显然比线性插值方法更加准确但更加复杂，现在 c a d c a m 中还没有提出一种明确的非线性插值方法。在本章中所介绍的四 点的插值算法是一种线性插值方法。这些插值算法注意到了曲面边界和曲面 上有尖角的情况。用这些插值方法对曲面进行插值时要求曲面的尖角处用尽 可能多的点表示。下面就介绍线性的四点插值方法。 2 1 四点插值算法介绍 2 1 1 四点插值算法公式 四点插值算法是一种通过插入点细分曲线的方法。在基于点描述的曲 线曲面的重建中具有重要地位，在计算机辅助曲线和曲面造型中是一种非常 有效的工具。在多数重要的曲线曲面设计都可以通过( b o e h m ，f a r i n ， k a h m a n n ) 三人在1 9 8 4 年提出的方法得到解决，他们提出的曲线曲面设计 方法是基于控制多边形的方法。并且这些方法在一般的计算机辅助设计中占 有重要地位。这些都阻碍了基于点的插值方法在计算机辅助设计中的推广和 应用。 本文介绍插值算法是由j o h n a g r e g o r y 提出的四点递归插值方法。该 方法比较简单，通过给定曲线上的点( 蟊) 篙，芦。r 4 ，这些点是曲线的中间 点( 不包括曲线的端点) 。对曲线的中间点进行插值可通过公式( 2 1 ) 计算插 入曲线上的点： 1 p l “，2 = ( 毒+ ) ( p + p l + 1 ) 一w ( a i + 只+ 2 )一1 s f s 栉( 2 - 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 对曲线插值后，曲线上的点数增大为系列点 p ，) 等。并将增大后的系 列点作为曲线新的控制点。再用相同的插值方法对曲线上的中间控制点插 值，重复上述过程就可以将原始曲线上的系列点插值增大为一系列新的控制 点。 定义曲线k 层上的点为 p ! ) 芏：2 ，则对曲线插值一次后曲线k + l 层上 的控制点为： p ：? 1 = p ? p ：k 。+ l 。= ( 圭+ w ) ( p ? + p 三) 一w ( p 三。+ p 三：) 一一l l i _ f 2 k 2 n 打+ l ( 2 2 ) 公式( 2 2 ) 中定义：p ? = p ，一2 i n t - 2 如果让k 趋向于无穷大，则上述过程就使曲线在r 。上定义了无穷多个 点。现在的问题是这无穷多个点在尺。曲线上是否连续并且曲线的光顺性怎 样? 这些都依赖于插值公式中参数w 的取值。 公式( 2 2 ) 可以通过公式( 2 1 ) 修改成下式： 111 p f + l ，2 = 寺( p ，+ p ) + 2 w 【( p ，+ p f _ 1 ) 一( 只一l + p i + 2 ) 】 ( 2 - 3 ) 二 当w = 0 时点p 。，：是直线( p ，p 。) 的中点。当w 0 时，这个中点的坐 标是由矢量2 w 虿确定。这里虿是从( p 。，p 。) 的中点到q 。，p 。) 的中点的 矢量。公式( 2 3 ) 清楚地表明如果曲线起始的多个点是线形的，那么插入 点的曲线也是线形的。 图2 - 1 四点插值的图形显示虚线表示蓝线上的点 对曲线端点处的插值是由z h i j i e ( 1 9 9 8 年) ”1 修改了d y n c ta l 提出的 插值算法后提出的。z h i j i e 修改了d y n e ta l 提出的插值方法在曲线上第二 点和倒数第二点的计算方法提出了该两点新的插值计算公式如下； 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 p y = ( 丢+ w ) 露十( 1 一w 脯一i 1 + w ) 成+ 咳 制+ ，= 叩，( 丢+ w ) p ；m - 2 + ( 1 一w ) p l + i 1 + w ) 西。 上述就是四点插值细分曲线的算法的公式。 2 1 2 插值细分曲线后曲线性质分析 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 上述的四点线性插值公式清楚地表明w 是一个张量参数。当w 的值等于 0 时，相应的曲线向控制点靠近曲面片在控制点之间成线形。当 0 w 时，公式( 2 2 ) 清楚地表明曲线有连续的切矢。国外有学者分析 q 了插值后曲线并证明当i w i 时插值后的曲线是连续的；当0 w 0 由系列控制 点定义的曲线插值后不会得到第二条参数化的点系列芦( f ) ，t 【0 , n 】。 公式( 2 - 1 ) 表示插值后的曲线是连续的并且曲线具有连续的切矢及曲 率可以用公式( 2 - 4 ) 表示成公式( 2 - 6 ) 的形式： a1 p 矿( 素+ 2 目) ( n + p w ) 一嚅+ 3 护) l + 只+ 2 ) + o ( p f _ 2 + 纵3 ) ( 2 - 6 ) 1 当0 = 0 时公式( 2 6 ) 和公式( 2 1 ) 中w = 圭时相同。对于任意0 值公 l o 式( 2 - 6 ) 满足一般2 r 点曲率2 c 2 的必要条件 d y n ，l e v i n ，8 6 ，保证曲线曲 率连续的护值是： 0 0 0 0 2 ( 2 - 7 ) 这个结论的证明可以在 w e i s m a n n 8 6 中找到。 在【d y n ，l e v i n ，8 6 】中有上面提到的2 r 点的曲率c 的必要性和充分性的 证明。并由n i r a d y n ，d a v i d l e v i n 和j o h n a ，g r e g o r y 找出了 【d y n ，l e v i n ，8 6 充分性证明中的错误并给出了修改方法。 下面是公式( 2 - 2 ) 在曲线设计中的应用和例子。 公式( 2 2 ) 实际上是一个插值算法。通过对曲线k 层上的控制点执行插值 算法后得到曲线k + 1 层上新控制点，曲线上“1 层上的新控制点是插在曲 蓖南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 线上k 层上的点之间。插值公式( 2 2 ) 的另外一个性质是对于任意w ，只要 曲线插值之前的点是直线，则插值后的曲线在尺4 中产生的点依然形成直 线。算法主要讨论了四个相互结合的独立性质：细分曲线、曲线局部性质、 曲线插值和曲线形状控制。和其他细分插值算法一样公式( 2 2 ) 的插值细 分算法对曲线图形显示也非常方便迅速。对于参数值；( j ，j + 1 ) ，其他部分 的晶体式扩张的参数f 由公式( 2 - 8 ) 确定： 一= f 。2 - m o 1 ) ( 2 8 ) 假设6 个点( e ) 。j + 3 一：它决定了曲线上的所有点芦( 1 ) ，t u ，j + 1 】。就可以 通过曲线k 层上的6 个点计算出k + l 层上的3 个新点。这6 个点在曲线k + l 层上所对应的参数值是f + ，2 - k , _ 2 ，3 ，其中t + = j + z 2 l z m 2 一。这 些点决定了曲线上的点芦( f ) ，t ( t c k ) , f 耻+ 2 - k ) 和曲线芦( ) 的特性。 在曲线上的点芦( f ) 的切线可以通过公式( 2 - 9 ) 求解，芦( f ) 中的参数f 可以通过公式( 2 - 8 ) 计算。 硎) = 而2 n i 1 p r _ ( ，- + 2 一”) 一即一2 一”) 】 一w 防( f + 2 一”“) 一芦( f 一2 一”“) b 2 - 9 这样在曲线n 层上插入的点可以由相邻的四个点进行计算，插入点的 两侧各为两个点。 通过点p 一。，p h 一，声。定义一条曲线，一是要在曲线上附加点 p 一。p 一+ p 一。，p 一。这几个点影响曲线的端点。这些点可以通过控制曲线的端 点来控制这些附加点。当= 0 使用公式( 2 - 9 ) 可以得到曲线控制点处的切 线： 芦v ) 。丁二杀 吉( 磊+ 一届一一) 一w ( 属+ ：一属_ 2 ) ) ( 2 - 1 0 ) 曲线端点处的切线求解芦( o ) 和芦0 ) 公式( 2 - 1 0 ) 也适用。如果曲线是 封闭的就不需要附加端点。由于曲线封闭则，所以可以得出如下结论： 正：= 芦。，雕1 = 芦。，芦。+ i = 磊，f 。+ ：= - 1( 2 - 1 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 2 , 2 插值曲线连续性分析 2 , 2 i 曲线连续性分析充分条件 由公式( 2 1 ) 插值后( 曲线上的点数是有限的) 定义的曲线作为参数 曲线来研究曲线连续性和光顺性。用四点插值算法对曲线k 层上的点 露) 尘进行插值。该条曲线是参数曲线芦( f ) 其中参数f 的范围是0 t ”对 应的参数值为 2 。，。，。2 i n 。用四点插值算法对曲线歹( f ) 插值后，得到曲线的光 顺性至少和插值前曲线芦( f ) 的光顺性是一样的。因此，可以用 表示公 式( 2 - 1 ) 中曲线 露) 上对应的一系列点。讨论插值后曲线的光顺性就相当 于在 ) 哿，k o 条件下，曲线的连续性和光顺性与参数w 值的关系。 假设 j c o = z ，- 2 i 肛+ 2 在点2 。f 处的值为 ，一2 i 2 聍十2 ，k 0 通过递归定义下列公式： k ：。h 委+ + i 麓k m 。庀哟一篙搿陋均1 尤：= ( 去+ j ) ( z + z 毛) 一w ( z 三+ ，：) 一1 f 2 t ” 2 。1 劭 公式( 2 - 1 2 ) 中| w i 去时，刮：o ，一】。贝f j l ( 2 。f ) = ，o ，2 刀，七o 。 证明：假设是分段线性的并被插入到 ) ：写2 中，当k 专m 时我们希 望确定n m 的值。在区间【2 - * i ，2 。( ，+ 1 ) 】函数，和j r “1 的最大差值是在点 2 - ( t + d ( 2 f + 1 ) ，一1 i s 2 订处。并通过的公式( 2 1 3 ) 计算： 露：一去( z + j c 毛) = w 一露。) + w ( z 鲁一z ：)( 2 - 1 3 ) 由公式( 2 1i ) 可以得到下列公式： 。，氮l 一片= ：jt ，+ l k - + 石七一。) + w ( z 卜1 一z ! - i ) + w ( z ：l z ：2 ) ( 2 1 4 ) 尤+ ，一尤+ ：= 妻( 一一z 掣) + w “1 一z ! i ) + w u 。k - 1 一z 譬) ( 2 1 5 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 用公式( 2 1 4 ) 和公式( 2 - 1 5 ) 递推得： 一：戮+ 睇一，| 矿一燃怫一，。卜口后( 2 - 1 6 ) 公式( 2 1 6 ) 中口= = 1 + 2 w 。定义m 。是区间【o 】上的最大值，由公式 二 ( 2 1 4 ) 和公式( 2 1 6 ) 可得： 旷1 一，卜。黔1 w ( 一巾+ w ( z ：- 一z 钏2 1 1 1 m a x 批一州 2 七1 w i 口 ( 2 - 1 7 ) 这样如果川 1 ，f w f 三曲线插值后 ，) ( 曲线) 是连续的并且有： 憋。= f c o ，刀】 ( 2 一1 8 ) 显然，对0 f 2 k 门和m k 有，”( 2 。i ) = 。这样就完成了曲线插值后 连续性的证明。 2 2 2 曲线收敛性分析一必要条件 在这一节中将介绍从公式( 2 - 1 2 ) 得出曲线收敛到q o 刀】和c 1 o ，疗】的必 要条件。 定义= ( e ，e ) 7 ，这些值通过公式( 2 1 2 ) 定义在点： 2 - n o + 2 一“”j ，_ ，= 2 ， 2 ，七o 上。 对于给定的m o 和0 。2 m n ，显然有聪= 瑶，七0 。这样很容易得 出： f + = a f r 2 1 9 ) 公式( 2 1 6 ) 中： a = 01 1 一w 一+ 1 ， 2 oo ow oo o l 一+ w 2 1 1 一+ r 2 o oo wo 00 1 一十w w 2 1o ( 2 - 2 0 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 由于公式( 2 - 1 2 ) 产生的线性函数。矢量e = ( 1 ，l ，l ，l ，1 ) 7 和矢量 ，= ( - 2 ，一l ，0 ，l ，2 ) 7 满足： 爿p = p ，4 ，= l ， 2 定义五，五，也是矩阵a 的特征值， ( 2 - 2 1 ) 但不是线性方程( 2 2 1 ) 的特征值。 如果通过公式( 2 - 1 2 ) 细分曲线产生连续的函数，则曲线连续的必要条件 是： 悠f = f ( 2 1 n 。弦 f 2 2 2 ) 这里：f ( 2 ”n o ) e = 片，而且如果函数是可微的，则曲线连续的必要 条件是： m l i r a2 “”d ( f 一露p ) = ，( 2 “刀) a ( 2 - 2 3 ) 公式( 2 - 2 3 ) 中a = ( 1 ，1 ，。，1 ，1 ) 和d = a ，a g ( 一百1 , - - 1 , 1 ，1 ，j 1 ) 。这样就可以得到 下列定理。 定理： 用公式( 2 1 2 ) 细分曲线得到曲线函数，连续的条件仅仅是： i ，f - 3 , 4 ，5( 2 2 4 ) 而且，如果函数可微则曲线函数，连续的条件是： 0 。并且对于所有的 0 蔓2 “胛和m 0 公式( 2 - 2 2 ) 成立。 当l i ma v = o ，_ 3 , 4 ，5 成立，公式( 2 2 4 ) 成立。 下面给出函数，可微，曲线函数，连续的必要条件的证明： 因为： 2 “。( f k - 聃玎瞧删v + 吃卅 = 2 ” 印+ d q ( 2 彳) i f ( 2 - 2 9 ) 如果公式( 2 2 9 ) 和公式( 2 2 3 ) 成立则l i r a ( 2 a ) = 0 f = 3 , 4 ，5 在这种 情况下利用公式( 2 - 2 6 ) 和公式( 2 2 9 ) 可得： ，( 2 。m ) = 2 ”a ：( 2 - 3 0 ) 以上就是利用四点插值算法对基于点描述的曲线插值后曲线连续性的充 要条件的分析和证明。 2 3 非线形的曲线插值方法介绍 m c l a u g h l i n ( 1 9 8 6 年) 提出了用人脑去判断一系点的形状并按实际要 求对曲线插值。这样就建议采用人工智能的方法来判断基于点描述的曲线的 形状并对曲线插值，但目前还没有这方面的插值算法公开出版发行。 l em e h a u t e 和u t r e r a s ( 1 9 9 4 年) 提出了一种对基于点描述的凸曲线 并且要求曲线上点的坐标值呈梯状分布的非线形插值方法。该方法被严格定 义在以上性质的曲线上。 b a l l ( 1 9 9 7 年) 提出了一种非线性的插值算法，该算法需要曲线上每 点准确的切线矢量和曲率矢量。 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 2 4 基于点描述曲面的插值方法 基于点描述的曲面要求曲面上的点能够比较准确地反映曲面的特性如 曲面上的尖角、孔洞等特征。对基于点描述的曲面插值的方法有两种：一种 是张量积法，在这种方法中曲面被看成是无数曲线的集合；另一种方法是非 张量积的方法。 张量积曲面插值方法是把基于点描述的曲面表示为r ( u ，v ) 的形式。 给定曲面k 层上网格点 ，f = 0 ，2 k b ，j = o ，2 k 一 ，对曲面上网格点中的 每一行点( 即曲面上的u 向曲线，这些曲线用基于点的方法描述) 采用曲线 插值方法对曲面网格曲线进行插值。对曲面上的u 向曲线插值后曲面网格点 变成 p ! 。，f = 0 ，2 k m ，j = 0 ，2 k * l 行) ，然后对曲面网格每一列上的点( 即曲 面上的v 向衄线，同样这些曲线也是用基于点的方法描述) 采用曲线插值方 法对曲面上的v 向曲线进行插值。对曲面上的u 向曲线和v 向曲线插值后， 曲面网格点变成 p ：，j - 0 ，2 “1 m ，j = 0 ，2 “1 胛) 。本论文采用张量积法对曲 面插值对曲线的插值采用四点插值算法。 目前有两种非张量积的曲面插值方法。一种是“蝴蝶法”，它也是一 种基于四点的插值算法；另一种是基于十点的插值算法。 2 5 本章小结 本章介绍了基于点描述曲线曲面的插值方法。由于本论文研究的重 点是基于有限元分析的曲面重建问题。由于曲面是曲线的集合，只要解决了 曲面上曲线的插值问题，曲面的插值问题就很容易得到解决。因此，在本章 重点介绍了基于点描述的四点插值算法并对插值算法的性质和算法公式中的 参数等相关内容作了讨论。并对插值后曲线性质和插值算法中的参数之问的 关系作了分析( 包括曲线的连续性和可微性等) 。同时也介绍了基于点描述 的曲面插值的相关内容和其他一些非线性插值的相关理论。这为论文后面章 节中将要介绍的对曲线曲面插值的具体方法提供了理论基础。 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 第3 章曲线曲面的性质和有限元相关理论 本论文主要研究的是基于有限元分析的曲面重建问题。在对曲面有限元 分析中主要用到的是曲面上点的法矢( 法线矢量) 。因此，在这章中将主要 介绍基于点描述的曲线曲面中关性质的一些计算方法和有限元的相关内容。 基于点描述的曲线曲面的相关性质介绍中也重点介绍对曲面有限元分析相关。 的内容。这些内容是曲线曲面上点的切矢( 切线矢量) 、法矢( 法线矢量) 和曲率等的计算方法和有限元分析的相关内容。 3 1 曲线上点的切线、法线和曲率计算方法 论文仅对在曲线曲面在有限元分析中用到相关性质作了介绍。在这一 节中将介绍计算基于点描述的曲线p = 矶：f = 0 ，m ) 上点的切矢t 。、法矢 m ，、曲率矢量k 的计算公式。曲线上点的切矢、法矢和曲率矢量的计算方 法有