硕士论文-汽车典型结构拓扑优化方法及应用研究.pdf

长沙理工大学 硕士学位论文 汽车典型结构拓扑优化方法及应用研究 姓名：杜海珍 申请学位级别：硕士 专业：载运工具运用工程 指导教师：荣见华 20040510 摘要 结构拓扑优化设计方法是近几年发展起来的新方法。并取得了瞩目的进展a 本文针对汽车典型结构的优化设计问题，首先，研究和分析了国内外在结构渐进 优化法方面的发展状况。 其次，为了解决在删除无效材料时可能导致的应力集中问题，基于 围绕结构边界和孔洞周围附加人工材料单元的思路，提出了一种新的基 于应力及其灵敏度的优化准则。并通过对应力灵敏度数的修改，避免了 优化过程中棋盘格模式的产生。然后，结合基于人工材料的结构渐进优 化( E S O ) 方法，构建了基于应变能的双方向结构渐进优化( B E S O ) 方 法的优化准则及算法。研究了考虑多约束的B E S O 方法。最后，导出了 弯曲板结构的应力灵敏度数的计算公式，建立了双层单元的结构优化模 型，开展了加筋结构的优化设计工作。 本文对上述方法进行了编程及大量汽车构件的仿真计算。结果表明 了本文研究的方法是正确和有效的，可为汽车结构及零部件轻量化设计 提供重要的设计方法和手段，具有较好的工程应用价值。 关键词：结构优化，拓扑优化，人工材料，双方向算法，汽车结构 A B S T R A C T S t r u c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n m e t h o di sa n e w l yd e v e l o p i n g m e t h o da n dh a sa c h i e v e dr e m a r k a b l eS u c c e s s F o rt h e p r o b l e m o f o p t i m i z a t i o n d e s i g n o fa u t o m o b i l e t y p i c a ls t r u c t u r e ，a tf i r s t ，t h i sp a p e r s u m m a r i z e sa n d a n a l y z e s t h e d e v e l o p m e n t o f E v o l u t i o n a r y S t r u c t u r a l O p t i m i z a t i o nm e t h o d N e x t ，i no r d e rt od e a lw i t ht h ep r o b l e mo fs t r e s sC O n c e n t r a t i o na f t e r r e m o v i n gi n e f f i c i e n tm a t e r i a l ，an e wo p t i m i z a t i o nc r i t e r i o nb a s e do ns t r e s s a n di t ss e n s i t i v i t y i sp r o p o s e d ，b a s e do nt h ei d e at h a tm a n m a d e m a t e r i a li s a d d e da r o u n do p t i m a ls t r u c t u r a lc a v i t i e sa n db o u n d a r i e s A n dc h e c k e r b o a f d p a t t e r n sa r ea v o i d e db ym o d i f y i n gs t r e s ss e n s i t i v i t y T h e n ，B i d i r e c t i o n a l E v o l u t i o n a r yS t r u c t u r a lO p t i m i z a t i o n ( B E S O ) c r i t e r i aa n d i t sa r i t h m e t i ca r e g i v e n ，c o m b i n i n g E S Om e t h o dw i t hm a n m a d em a t e r i a le l e m e n t s A n d B E S Om e t h o dc o n s i d e r i n gm u l t i p l ec o n s t r a i n t si s p r o p o s e d ：F i n a l l y ，as e t o fc a l c u l a t i o nf o r m u l ao fs t r e s s s e n s i t i v i t yn u m b e r sf o rb e n d i n gp l a t e i s f o r m u l a t e d ，a n do p t i m i z a t i o nd e s i g n so fr e i n f o r c e ds t r u c t u r e sh a v eb e e n c o m p l e t e d ，b ys e t t i n gu ps t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nm o d e lw i t ht w ol a y e r so f e l e m e n t s T h ee v o l u t i o n a r yo p t i m i z a t i o np r o c e d u r e sa r e i m p l e m e n t e da n ds o m e e x a m p l e s o fa u t o m o b i l e c o m p o n e n t s a r e g i v e n R e s u l t s s h o wt h a tt h e m e t h o d sp r o p o s e di nt h i s p a p e ra r e c o r r e c ta n de f f i c i e n t ，a n d t h e y w i l l b e c o m ei m p o r t a n td e s i g nm e t h o d sa n dt o o l so fa u t o m o b i l es t r u c t u r e sa n d t h e i rc o m p o n e n t sd e s i g n ，a r eo fg o o d e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n K e y w o r d s ：S t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ，T o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，M a n - m a d e m a t e r i a l ，B i d i r e c t i o n a la l g o r i t h m ，A u t o m o b i l es t r u c t u r e J I 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： k j 趣畛 日期：枷牛年了月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 日期：渺斗年5 - 月l o 日 日期：z 衍年，月，奄日 第一章绪论 1 1 工程背景 汽车工业随着国民经济发展和交通运输体系的全面建立得到了飞速 发展。电子技术和计算机技术为现代汽车的科技进步，提供了两种有力 的手段。产品开发和科学管理中，都已开始采用计算机辅助设计，而优 化设计又是其灵魂和核心。根据近十几年来的机械优化设计研究的发展 状况表明，汽车优化设计理论和方法已应用于汽车的很多子系统的设计， 如汽车整车动力传动系统优化和匹配，汽车的发动机、底盘、车身各主 要总成的优化设计等，使汽车产品的性能和水平得到提高。其中，结构 优化设计应用于产品设计与开发中，更容易取得显著的经济效益。因此， 进一步研究结构优化设计方法，既有理论价值，又有现实意义。 人们在开展汽车构件或结构设计时，总希望在满足一定环境条件和 一些使用要求下达到方案最佳，这就是所谓的结构优化设计，结构优化 设计大体上可分为三步：第一步是建立数学模型，把一个工程结构的设 计问题转变为一个数学问题；第二步是选择一个合理有效的计算方法； 第三步是基于该计算方法及相关计算机软件，完成设计计算，结构优化 包括尺寸优化、形状优化和拓扑优化。对于桁架结构的典型尺寸优化问 题是寻找各杆件的最佳截面积，使其某些物理量最小化( 或最大化) ，如： 平均柔度、峰值应力、变形、重量等，同时其设计变量和状态变量满足 各种约束条件。设计变量是杆件的截面积，状态变量为结构的变形( 或 应力等) 。尺寸优化的主要特点是结构模型的设计域是已知的，并且在整 个优化过程中保持不变。而形状优化是寻找模型的最佳设计域形状，也 就是说模型的设计域是其设计变量。拓扑优化主要探讨结构构件的相互 联接方式，结构内有无孔洞、孔洞的位置、数量等拓扑形式，使结构能 在满足有关平衡、应力、位移等约束条件下，将外载荷传递到支座，同 时使结构的某种性态指标达到最优。结构拓扑优化能在工程结构设计的 初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构在布局上采用最优方案， 所以与截面优化和形状优化相比，拓扑优化更具有应用价值和经济效益， 也易被工程技术人员所接受。拓扑优化已经成为研究热点。 随着工程结构的功能增强，工程结构( 如车辆工程结构、桥梁、建 筑结构等) 变得越来越复杂。目前，工程结构的大型化、复杂化以及高 度柔性化，使结构的工作环境日益复杂，结构静、动强度问题普遍存在 有关统计表明，在众多结构发生的重大事故中，主要与其强度有关a 如 何解决材料最少( 提高经济效率) 与结构强度之间的矛盾，是当前迫切 需要解决的问题，这就使得运用结构优化手段研究工程结构安全与经济 性问题成为必要。 在结构优化设计问题提出之前，结构在传统上都是由先验知识确定， 然后再用静力、动力试验或验算对其修改。这是一种落后、费时，且欠 优的设计方法。随着结构优化技术的出现，结构静力问题的尺寸参数优 化技术逐步引入结构设计，从而缩短了结构的设计和建造周期，提高了 结构的性能及降低了工程结构建造成本。结构优化的目的在于以最少的 材料，最低的造价和最简单的工艺实现结构性能最佳。结构优化分为尺 寸、形状、布局和拓扑以及选形优化。结构优化最初采用经典解析方法 求解，所用方法是变分法或微分法。对无约束优化问题，E u le F L a g r a n g e 方程构造极值存在的充要条件，然后用梯度向量搜索优化方向；约束优 化问题则采用L a g r a n g e 乘子构造辅助函数来考虑约束条件的影响。虽然 解析方法可以解决一些简单构件，如桁架和墩式码头桩基布置等优化问 题“1 ，但涉及的复杂的数学推导阻碍了它在实际结构中的应用。近年来， 计算机技术及其在结构分析中的普遍应用，促进了结构优化的数学规划 法( M P 法) 和优化准则法( O C 法) ”。3 的发展。显然，在一定环境下， 结构尺寸、形状和拓朴构形能控制结构强度与振动响应水平。因此，在 给定静力、动力学性能要求下，进行结构优化设计，“主动”地确定晟优 静、动力特性的结构成为近年来一个活跃的研究分支。自从S c h m i t ”1 于 1 9 6 0 年提出采用结构有限元分析和非线性数学规划优化结构以来，结构 尺寸优化已趋成熟“。 结构拓扑优化包括了离散结构的拓扑优化和连续体结构的拓扑优 化。在离散结构中，桁架结构的拓扑优化涉及的文献最多1 。由D o r n 等 人3 提出的基结构法( G r o u n dS t r u c t u r eA p p r o a c h ，简称G S A 法) 是桁架 结构拓扑优化的主要方法。基结构法的思路是从基本结构出发，按照某 种规则或约束，将一些不必要的杆件从基本结构中删除，认为最终剩下 的构件决定了结构的最佳拓扑。因此，应用基结构，可将拓扑优化当作 截面优化来处理。后来D o b b s 与S h e n 等人采用最速下降法与分校定界法 求解了在应力与位移两类约束条件下桁架结构在多工况作用下的最优拓 扑。我国王光远及K i r S Ch “等人又陆续提出结构拓扑优化的两相法， 两阶段法以及优化准则类推法，使求解拓扑优化的能力有较大提高。此 外，段宝岩、谭中富与孙焕纯等人”1 提出采用内力作为设计变量构造 了非线性规划，求解了多工况拓扑优化问题。应该指出，当采用基于截 面积为拓扑变量的，且涉及应力性能要求的结构优化模型时，由于其实 质是将拓扑优化转化为尺寸优化来处理，会出现所谓奇异最优解现象。 为获得奇异最优解，程耿东等提出了桁架拓扑优化问题的e 一放松模型及 算法。近年来，适合于并行计算的全局搜索法并结合仿生学的各种方 法( 基因遗传算法，模拟退火算法，神经元网络法，以及极大熵原理法) 。开始被应用于拓扑优化上，取得了瞩目的进展。目前，连续体结构 拓扑优化较成熟的方法主要是均匀性方法、变密度方法和渐进结构优化 法( 简称E S 0 法) 。按连续体结构拓扑优化模型考虑，连续体结构拓扑优 化主要分为两类： 一类是根据结构拓扑优化问题的离散本质，建立基于离散拓扑0 和 1 描述的离散变量拓扑优化模型，多采用组合优化方法和准则法求解 【5 ，18 ，19 ，2 1 ，2 6 ，3 引。组合优化方法有分枝定界法、模拟退火法和遗传算法等。 对于小规模问题，这类方法具有较强的寻找全局最优解的能力；当问题规 模较大时，优化效率问题需深入研究：渐进结构优化法 2 4 3 】( 属启发式 算法或准则法) 通过将无效的或低效的材料一步步去掉，获得优化拓扑， 方法通用性好，可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓扑优化，方法应 用到了包括应力、位移刚度和临界应力等约束的工程结构优化问题 3 3 , 3 6 , 37 J ，并易实现空间结构的拓扑优化。但该方法缺乏较完善的理论基 础，而且对涉及应力、位移的多约束问题，单元一旦被删除，就再不能 恢复【2 9 ，”l 。双方向进化方法 4 4 1 解决了误删除单元后不能恢复的问题。 对于基于应力的双方向法，Q u e r i n 开展了详细研究，其原理是：在高应力 单元周周增加单元和删除低应力单元。该方法主要是解决一定材料量要 求的拓扑优化问题。 另一类是避开原拓扑优化问题离散变量本质描述形式，将拓扑变量 取为单元几何尺寸或材料物理参数等连续变量( 如单元体积、截面积、厚 度、微结构孔洞尺寸、材料弹性模量和密度等) ，使原问题模型转化为连 续变量优化问题模型。通过单元几何尺寸或材料物理参数等取下限值， 实现结构拓扑变更，如均匀化或变密度方法“”“模型等。然而，业已 证明这种模型列式在多工况应力约束条件下，其求解过程中也存在着较 难克服的奇异最优解现象。对于均匀化方法，因其目标函数取为结构平 均柔度，而与相应工况有关，故多工况下结构拓扑优化问题成为多目标 优化问题，目前采用各工况加权平均等方式进行处理，其方法的优化效 果和通用性均不理想“。交密度等方法通过采用弹性模量作为变量进行 优化模型转换。然而，如此做引起大量元素中弹性模量或元素厚度特别大 的差异，总刚度矩阵可能变成病态，将导致位移和应力数值解严重的误 差。再者，采用减小弹性模量或板厚度“删去”再多的元素，对于每 次应力分析的方程求解数却保持不变。由于结构拓扑优化问题的非凸性， 多极值点特性，寻找最佳拓扑非常困难。 因此，进一步发展结构拓扑优化方法，并与汽车结构具体特点相结 合，开展结构拓扑优化设计，即有理论意义，又可提高汽车的安全性和 制造的经济性。 1 2 本文的工作 为了进一步发展结构优化方法和开展车辆工程中构件或结构的优化 设计应用研究，本文主要从以下几方面进行了研究： ( 1 ) 基于一种在结构边界和孔洞周围附加人工材料的思路，结合 E S O 方法和应力灵敏度，建立了结构有限单元增、删的准则，给出了一 种新的拓扑优化算法。同时开展了内燃机连杆、轴承支座结构的优化设 计工作。 ( 2 ) 基于有限元模型的渐进优化过程常常产生类似棋盘格的模式， 改进了灵敏度数的计算，避免了棋盘格现象的产生。 ( 3 ) 研究了基于应变能的渐进结构优化方法以及双方向渐进结构优 化方法，给出了性能评价指标公式。该方法可以从不同初始结构优化的 结果中比较得出最佳优化拓扑构形。并进行了经典M i c h e l l 型结构的优 化设计。 ( 4 ) 本文针对汽车结构的受力特性及其材料的性能要求，研究了弯 曲薄板结构的B E S O 方法，开展了汽车车架结构的仿真优化设计。在建 立双层单元分析模型基础上，研究了结构掘筋的优化设计方法，开展了 客车车门结构的优化设计工作。 4 第二章基于应力及其灵敏度的结构拓扑优化设计 2 1 渐进结构优化( 简称E S O ) 方法简介 2 1 1E S O 方法的产生 无论是载运工具、桥梁或重要框架结构等，为达到其最佳性能，都需进行结 构优化设计。而结构优化聚合了工程、数学和科技领域中的重要原理与方法，是 一种非常复杂的综合技术。 近年来，计算机在结构分析中的普遍应用促进了结构优化数值方法的发展。 数学规划法和优化准则法”1 是广泛采用的两种方法。D o r n 等人于1 9 6 4 年提出了 基结构法( G r o u n dS t r u c t u r eA p p r o a c h ，简称G S A 法) ”1 ，将数值方法引入拓扑 优化领域，拓扑优化研究开始活跃。G S A 方法的思路是从基本结构出发，按照某 种规则或约束，将一些不必要的杆件从基本结构中删除( 如刚度接近零，柔度极 大的杆件可从结构中删除) ，认为最终剩下的构件决定了结构的最佳拓扑。应该指 出，当采用基于截面积为拓扑变量的且涉及应力性能要求的结构优化模型时，由 于其实质是将拓扑优化转化为尺寸优化来处理，会出现所谓的“奇异最优解”现 象。为获得奇异最优解，程耿东等提出了桁架拓扑优化问题的一放松模型及算法 1 7 。连续体结构拓扑优化方法还有两相法、内力法、均匀化( H o m o g e n i z a t i O i l M e t h o d ) 法、变厚度法、变密度法、人工材料和线性规划法等【5 1 。最近，适合于 并行计算的全局搜索法并结合仿生学的各种方法( 遗传算法、模拟退火算法、神 经网络法以及极大熵大原理法) 开始被应用于拓扑优化上“3 1 “，取得了瞩目的进 展。这些方法虽可解决各类结构的尺寸，形状及拓扑优化，但方法的通用性与计 算效率并不理想。渐进结构优化方法( E v o l u t i o n a r yS t r u c t u r eO p t i m i z a t i o n ， 以下简称E S O ) “”删就是在这种要求下发展起来的。 2 1 2 E S O 方法的特点 E S O 方法是根据一定的优化准则，将无效或者低效的材料一步步去掉，从而 使结构逐渐趋于优化。在优化迭代中，该方法采用固定的有限元网格，对存在的 材料单元，其材料数编号为非零数，而对不存在的材料单元，其材料数编号为零。 当计算结构刚度矩阵等特性时，不计材料数编号为零的单元特性f 通过数据映射转 换，建立固定有限元网格数据信息和计算结构刚度矩阵等特性所需的有效网格数 据信息关系) ，通过这种零和非零模式实现结构拓扑优化。该方法采用已有的有限 元分析软件，通过迭代在计算机上实现，通用性较好。E S 0 方法自1 9 9 3 年提出后， 在国际上引起很大反响，它不仅可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实现形状 和拓扑优化，无论应力，位移刚度优化，或振动频率、响应，临界压力优化。”圳 等，都可遵循E S 0 的统一原则和简单步骤进行。 2 1 3 现有E S 0 方法的静力学优化准则及算法步骤 2 1 3 1 应力准则 对于静力设计问题，E S 0 方法通常采用基于应力准则的优化方法。该准则认 为，结构中应力低的部分是没得到充分利用的，可以从结构中删除，从而使剩余 部分的应力接近于同一应力水平。 结构潜在的失效形式通常是过大的应力或应变。相反，结构中的低效材料则 是低应力或低应变部分。理想的情况是结构中各部分的应力处于同一应力水平。 由此，结构的优化准则是基于局部应力水平的，也就是说低应力部分的材料被认 为是没有充分利用的，故可从结构中删除。每个单元的应力水平是通过该单元的 V O l t M i s e s 应力。与结构的最大V O l tM i S O S 应力的比较来决定的。在每一轮有 限元分析结束后，所有满足以下条件的单元将从结构中删除： 盯。R R lX 一。m a x ( 2 1 ) 式中，仃。= 盯三+ 盯刍- - c y 。盯，+ 3 r 飓是当前的材料删除率a 通过使用相同的 飓值，重复执行有限元分析与单元删除，直到达到稳定状态，也就是在当前步 已不能进一步删除材料。这时，在材料删除率中引入进化率E R ： R R t “a R R 。+ E R i O ，1 ，2 ， ( 2 2 ) 通过增加删除率，再一次进行有限元分析与单元删除，直到达到一个新的稳定状 态。如此的一个进化过程继续，直至获得期望的最佳结构。 2 1 3 2 刚度准则 在有限元分析中，结构的静态特性由以下方程描述： K u ) ； P ) ( 2 3 ) 式中， K 是总刚度矩阵， u 为全局节点位移向量，p 为节点载荷向量。 结构的总应变能定义为： c ，罢 P F 缸 ( 2 4 ) 它常作为结构总刚度的逆的度量，亦称之为平均柔度。很明显使总的刚度最 大与使应变能最小是等价的。 考虑从一个由1 3 个有限单元构成的结构中删除第i 个单元，刚度矩阵变化量为 A 【K = 【K 卜 K = 一吲】 ( 2 5 ) 式中 K + 】是删除第i 个单元后结构的总刚度矩阵，【K 】是第i 个单元的刚度矩阵。 假设删除第i 个单元不影响载荷矢量f P 。忽略高阶项，从方程( 2 3 ) 得位移变化量 A 缸) = 一【K _ 1 A K 缸) ( 2 6 ) 从方程( 2 5 ) 和( 2 6 ) 有 A C ：丢 P r 恤 丢 P r K 】- - E A K I 。丢岳t F K r 强t ) ( z - 7 ) 式中0r 是第f 个单元的位移矢量。因此定义 ；托F 医r M ( 2 8 ) 作为带有总刚度约束问题的灵敏度数。该灵敏度数表示，由于删除第f 个单元而 引起的应变能变化量。事实上，a i 是单元应变能，它很容易在单元级采用单元刚 度矩阵和单元位移矢量进行计算。值得指出的是C 和O f ；都为正值。 优化目标是寻找满足刚度约束的最轻结构，可表示为： C s C +( 2 9 ) 式中C + 是c 的指定上限。一般，当删除一个单元时，结构总刚度减小，相应地应 变能C 增加。为了通过删除单元达到优化目标，最有效的方法显然是删除具有最 小a ；值的单元以致于C 的增加量最小。因此，对刚度优化问题的材料删除准则可 定义如下： a 。 R R ，O i l r r a 5 ( 2 - 1 0 ) 式中，a ? 是整个结构中最大的刚度灵敏度数。满足( 2 1 0 ) 式的单元将被从结 构中删除。通过使用相同的R R i 值，重复执行有限元分析、刚度灵敏度计算与单 元删除，直至达到稳定状态。这时，在删除率中引入进化率E R ： R R 一R R ，+ E R ，；0 ，1 ，2 ， ( 2 1 1 ) 通过增加删除率，再一次进行有限元分析、刚度灵敏度计算与单元删除，直至一 个新的稳定状态出现。如此循环往复，直到获得满足要求的最佳结构。 2 1 3 3 灵敏蜃散准则 1 ) 位移灵敏度数 由( 2 6 ) 式知位移变化量为 A “ 一一 K 】_ 1 K 缸) c 2 1 2 ) 为了找到删除一个单元引起的“，变化量，引进一个单位载荷矢量仁。 ，在该 矢量中只有第j 个分量等于1 ，而其他分量为零。用 F F 前乘方程( 2 1 2 ) ，得 缸，；营，F K r l 【K r k ) l ，F K z k ，岳”P k ，砖， ( 2 1 3 ) 式中0 ， 是由单位载荷 F ， 引起的位移i0 和 口j 分别是包含在扛) 和蕾， 中， 并与第f 个单元相关的单元位移矢量。因为除了与第f 个单元相关的【K 】、I 和 蕾F 中的项不为零外，所有与其他单元相关的【K 】、鲁j 和蕾# 中的项都为零，故 在单元级能计算方程( 2 1 3 ) 的右端项。其值 l 一 r 【K ；M ( 2 1 4 ) 表不删除第i 个单兀引起特定位移分量“i 的变化量，定义为位移灵敏度数。 2 ) 应力灵敏度数 在满应力设计中，应力被当成设计目标，因此，必须对由于单元的删除所引 起的其它单元应力的变化量进行评价。不失一般性，我们考虑二维平面应力问题。 在有限元分析中，第k 个单元的应力向量p r b 。，口。，口。羟可通过节点位 移向量得到： p rj 【D r 吲售 ( 2 ，1 5 ) 式中，【D r 和p 2 分别表示第k 个单元的弹性模量矩阵和几何矩阵。结合位移灵 敏度，删除第f 个单元所引起的第七个单元应力向量的改变量为： 盯P 一【D 】 占】H = 【D 】+ 【B r H 。，“：，HJ ，一，“。譬 一【D 】陋r 仁F ( 2 1 6 ) 这里， 盯P = ( A a ，A o ，岛) ：是第k 个单元应力矢量变化量， 仁y = 仁订，q ：，口。只表示第七个单元的位移灵敏度向量，n 表示第七个单元 的自由度数。基于位移分量的变化量的计算，第k 个单元应力的改变量可由式 8 ( 2 1 6 ) 得出。 在工程设计中，单元的应力水平通常综合考虑各应力成分。对于二维各向同 性结构，常用Y O nM i s e s 应力： 万；盯。；他。，) ；履i 再瓦蕊 ( 2 1 7 ) 不失一般性，单元应力函数中的变化可由下式计算： 万= 舸P 【D ，陋r 仁P = 分) 仁P ( 2 1 8 ) 式中， V 厂) ：协a ，O f lO , 7 。，矽。l 为应力函数的梯度向量， 0 a 分。，y 。P 。把式( 2 1 4 ) 代入式( 2 1 8 ) ，得 万。骞( r ，岳8 7 k 珞荡5 莩( r ，岳4 F ) k 降母 ( 2 1 9 ) 式中， “) 7 ( ，一1 , 2 ，z ) 是由于第，个单位虚载引起的第i 个单元的位移项。用y ， 乘以相应的虚载平衡方程，并将相乘后的n 个方程相加，得： 【K 】o ， 。) 7 ) ；y ， ， 一五 ( 2 2 0 ) 式中， ，= 窆y ， ，J ) 表示虚载荷。也就是说，方程( 2 。2 0 ) 引入了一种新的虚载 系统a 定义瓴 = y ，0 9 ) r 为该系统的解。我们可定义如下的单元应力灵敏度数： 。= 万：慨牝船 ( 2 2 1 ) 用它可描述由于第i 个单元的删除所引起的其它单元应力的变化程度。方程 ( 2 2 1 ) 的应力灵敏度分析类似于式( 2 1 4 ) 的位移灵敏度分析，事实上，两种 类型的灵敏度数都是由类似的方法计算的，只是各自的虚载荷向量不同而已。 需要指出的是，应力灵敏度数有正有负，它表示单元删除时，第七个单元应 力可以增加也可以减小。这就提供了一种通过适当的删除单元以达到控制某一特 定单元应力的手段。 3 ) 基于应力灵敏度的结构渐进优化方法的迭代步骤如下： ( 1 ) 建立模型，用有限元网格对结构离散化，并给出删除率艘。 ( 2 ) 对模型进行有限元分析，计算各单元的V O HM i s e s 应力并找出最大应力 单元序号k ，给结构加一组如方程( 2 2 0 ) 所示的虚荷载F 。 ( 3 ) 对实际载荷和虚载荷分别进行结构有限元分析。 ( 4 ) 用方程( 2 2 1 ) 计算出单元应力灵敏度数。 ( 5 ) 删除R R x N ；( N i 为当前结构的单元个数) 个具有最低l a 。l 的边界单元 或改变单元的厚度( 主要用于形状或尺寸优化问题) 。 ( 6 ) 重复第( 2 ) 至( 5 ) 步，直到最大应力达到其限值。 2 2 基于人工材料的结构优化 2 2 1 基于人工材料的E S 0 方法的思想 在结构最大应力约束要求下，基于E S O 方法可以建立如下优化模型： 求 A 一护，芦：，芦， M i n 一K 以 d 一 盯 ( 2 。2 2 ) 崩 o ，1 ki = 1 , 2 ，N 式中是结构总重量，K 是第e 个单元的重量；这里尻忙= 1 , 2 ，N ) 为设计 变量，取0 和1 两个值；口一是结构的最大应力，盯是盯一的指定约柬上限值： 是结构单元总数， 这里，在每一优化迭代步开始前，将当前拓扑结构( 如图2 1 a ) 所示) 转化为 一个新的拓扑结构( 如图2 1 ( b ) 所示) ，新的拓扑结构是由保留的单元( 黑体表示 的区域) 构成的当前拓扑结构和沿当前结构边界、孔洞周围附加的一些人工材料单 元( 图2 I ( b ) 中浅色部分) 两部分组成。因此，图2 1 ( b ) 所示的固定网格区域所有 单元可分为三类：一类是暂时保留的单元；第二类是暂时被删除了的单元：第三 类是暂时的人工材料元素，这类单元位于当前保留的元素结构孔洞和边界周围， 形成了暂时保留的单元和暂时被删除了的单元的分界线或面，该类元素参与结构 分析和优化设计，其弹性模量人为设置，例如设置为E “= 1 0 4x E 2 ( E 为该 元素空间充有材料时，其材料的弹性模量，L 为当前结构保留材料的重量与整个 网格区域满材料时的重量之比) 。在得到的最优结构拓扑里，只有保留的单元组成 了优化拓扑，其他类型单元都形成孔洞。因此，在每一迭代步之前，依据结构保留 单元( 其保留单元集合记为S ，) 信息，在结构孔洞和边界周围需重新形成人工材料 单元，其集合记为s ，。暂时被删除了的单元的集合记为S ，。 ( b ) ( a ) 当前结构( 黑体代表保留的单元) ( b ) 新结艳( 浅色表示人工材料单元) 图2 1 人工材料单元分布示意圈 首先建立能覆盖最佳拓扑结构的足够大区域的固定有限元网格，类似于传统的 E S O 方法，将第一类单元和第三类单元构成的结构有效数据进行映射转换，然后可 以利用其他软件完成结构特性及其灵敏度计算，再将计算结果转换到具有固定有 限元网格的数据空间进行优化迭代和图形显示和记录。很明显，上述处理仅需少 量的人工材料单元，大大减少或避免了总刚度矩阵病态现象，同时由于采用小规 模的人工材料和与保留的单元量相适应的变弹性模量方式大大减小了人工材料的 存在对结构特性计算结果的影响。同时利用人工材料单元的应力及其灵敏度数据， 可以建立一套单元恢复操作。能够解决传统E S O 方法中一旦单元删除，再不能恢 复的问题。结果，优化问题f 2 2 2 ) , q - 转化为下列优化数学模型： 求 8 p 8 p ，p p p p ”，8 k M I N W = 三芦b + 。卢，。 m a x ( 仃i 1 ，1 1 8 。) 5 口 ( 2 2 3 ) - E j ， 声i 0 ，1 If ；1 2 ，p ；i fE S l ； 卢，。 o ，l y k 一1 , 2 ，q ；，lE S 3 ； S 。c 札j ，) ；S ，c 1 ，2 ，) ； S lnS 3 = 0 式中，W 。是第i ，个单元( 属第一类单元) 的重量；W 是第，。个单元( 属第三类单元) 的重量；这里p 。( Z ；1 , 2 ，P ) 为与第i ，个单元相应的设计变量，取0 和1 两个值； p A = 1 , 2 ，g ) 为与第 个单元相应的设计变量，取0 和1 两个值；p ，g 分别为 当前S 、s ，集合的元素个数： s ，可以是空集( 如初始结构为固定有限元网格都充 有材料的情况。) ，S ，必须是非空集。注意，人工材料单元的可比应力( 即与在该 单元为保留单元的情况下而计算获得的该单元应力相当) 可用y 仃f 。( 类似于文献 4 7 】中采用的过滤函数，这里y 取为E E “( 通过了大量例子验证) ) 近似得出，在最 大应力约束中，最大应力搜索范围应该包含将成为保留单元的几个人工材料单元。 由于优化迭代过程中，不断更新最大应力的搜寻范围，可以说优化模型( 2 2 3 ) J 蚴A 等价于优化模型( 2 2 2 ) 。 2 2 2 考虑人工材料单元的应力灵敏度公式 1 增加单元的位移灵敏度数的近似计算 在2 1 3 3 节中，给出了删除第i 个单元的位移灵敏度数的计算公式。这里 仅给出增加第i 个单元的位移灵敏度数的计算公式。 对于人工材料区域的任一单元，当其变为保留单元时，其单元刚度矩阵的变 化量可近似为： K a 【K 卜 K 】一暇】 ( 2 2 4 ) 式中【K 】为真实材料单元替代第i 个人工材料单元后的单元刚度矩阵。 考虑到该第i 个人工材料单元所有的几个节点中，可能有几个节点( 对平面四 边形单元，其个数可取1 2 ) 不属于所有保留的单元节点构成的集合。在结构( 由所 有人工材料单元和所有保留单元组成的结构) 的计算结果中，上述的几个节点的 静位移近似等于新结构( 由一个真实材料单元替代该人工材料单元后，再和其他人 工材料单元及所有保留的单元组成的结构) 上相应节点的位移。该结论的理由主要 是由于两个结构仅有一个单元的差异，其差异较小，同时通过了许多算例考核。 因此。第i 个单元的增加( r i p 其由人工材料单元变为保留的单元1 ，引起的特定 位移分量U ，的变化量( 即位移灵敏度数) 可近似表为： 。一 I “F K t M ( 2 2 5 ) 2 应力灵敏度数的计算公式 这里仅考虑二维平面应力问题，其公式很易推广到其他情况。 在有限元分析中，基于节点位移矢量“，第k 个单元的应力矢量 p P ；p 。，O y y 盯。曩可表示成下式： b r 叫D 】吲甚 ( 2 2 6 ) 式中 D r 和陋r 分别表示第k 个单元的弹性模量矩阵和几何矩阵。结合2 1 3 3 节位移灵敏度数，由于第f 个单元的删除，第女个单元应力矢量变化量为： 叠口y = D 】【口】n 一【D r 陋】 “。，“：，“，H E = I s ，S ：S ， r 矗y ( 2 2 7 ) 这里 盯r 一( A c r ，A g ，) ；是第k 个单元应力矢量变化量， 妇r ；0 n ，吒：，a 。羟为第七个单元的位移灵敏度矢量- 珂表示第七个单元的 自由度数。5 f ( f = 1 ，2 ，3 ) 表示【D 2 口r 矩阵的第l 行。因此，第k 个单元应力分量的 变化量变为： 阻骨P - s 。，) 7 S z ， 4 ) 7 足， “) 7 心】t ， ( 2 2 8 ) 式中m 4 ) 7 ( J = 1 , 2 ，以) 是由于第，个单位虚载引起的第i 个单元的位移项a 用 s ，( ：= 1 , 2 ，3 = 1 , 2 ，n ) 乘以第J 个单位虚载的平衡方程，并将所有n 个乘以S 口后 的虚载平衡方程相加，有 暇】岱口 “) 7 ) m S 口仁 ；丘 ( 2 2 9 ) 这里丘= S 口 F 称之为新的第f 个虚载。这就是说方程( 2 ：2 9 ) g l 进T 一个薪的虚 载系统，其虚载矢量丘的，1 个非零元素分别是相应系数S 。定义鞋作为第1 个虚 载系统的解，因此，第k 个单元应力的变化量可写为： 烈= 黔小，【峨J 。陬J 随一黔出， ( 2 3 0 a ) 引起的第k 个单 由于删除或增加第i 个单元，第k 个单元的V o nM i s e s 应力盯”变为 ( 2 3 0 b ) 掣；属i 乒i 蕊 ( 2 3 1 ) 式中盯：a 盯。+ ( A a 。) ；，( Y y 7 = q + ( q X ，= + ( ) ：；因此由于第f 个单元的 删除或增加，第k 个单元V o nM i s e s 应力的变化量( 即应力灵敏度数) 为 a t = o ，；6 ，一o ，( 七i ) ( 2 3 2 ) 1 3 2 2 3 性能指标公式 在拓扑优化中，最关心的问题之一是在优化过程中确定设计的效率。换言之， 有必要用一个“指示器”比较进化设计的性能。基于该“指示器”，能确定优化拓 扑。基于尺度化设计概念，L i a n g ( 1 9 9 9 ) 等人【5 2 l 提出了基于应力的性能指标( P I ) 公式。本章引入一种新的性能指标( P I ) 公式，表述如下： 当完成设计时，结构的体积可相对于应力进行约束尺度化处理。结果，初始 结构的相关体积吃。可表为 。，( p ：) 枷o ) ( p ：) 邶，( 以) 邶批o ( 2 3 3 ) 式中。是初始结构的体积，p ：) 。m 和p ：麓) 卸分别是所有载荷工况下初始结 构的最大应力的最大值和平均应力的最小值，口是其最大应力限。在迭代优化过 程的第j 次迭代中，当前设计的相关体积呒，也可表为 圪j ；( p 恐) 4 , 7 ) “仃三) 。j ( 盯：幺) 州) ) 巧 ( 2 3 4 ) 式中圪，是当前结构在第i 次迭代中的体积，p 三) 。和( 盯赢) “分别是所有载荷 工况下当前结构在第i 次迭代中的最大应力的最大值和平均应力的最小值。 第f 次迭代的性能指标可写作为 P - ，。圪a ( p 三) 邶) 2 ( 盯：孙) d 圪，。( “盯：) 。) 2 ( 盯：) 加屹) ( 2 3 5 ) 在优化过程中，在满足应力约束的情况下，用性能指标公式能测量拓扑设计 的效率。性能指标也能反映结构的体积变化和应力水平，即，具有相同或相近 体积的两个拓扑，其性能指标高，说明结构应力均匀性好，最大应力相对低，其 安全性和优化进展的前景要好。该值的最大值可表明，该迭代步的结构拓扑可选 作为最佳拓扑。因此，性能指标值可用于结构最佳拓扑的选取。 2 2 4 多工况下基于人工材料的E S O 方法的进化步骤 1 ) 给出结构能占有的最大允许物理区域，建立该区域的有限元固定网格。给出优 化用的初始结构( 必须含连接支承、载荷的基本单元) ，指定单元特性及单元特殊 特性值( 初始结构上的单元为保留的材料单元，其材料数编号为非零的数，而对有 限元固定网格上不存在的材料单元，其材料数编号为零1 。 2 ) 给定初始基于应力的单元包含率腰。、基于应力灵敏度的单元删除率船。( 即 需删除的单元数为当前结构单元数乘以该删除率) 以及基于应力灵敏度的单元增 添率筋。( 即需增添的单元数为当前结构单元数乘以该增添率) ，现一般取为O 7 ， 船。和础。一般都取为0 0 1 。给定拓扑解的振荡数限值。 3 ) 按保留单元信息形成人工材料单元，并设置人工材料单元的弹性模量为 1 4 ”= 1 0 x 0 。 4 、完成实际载荷作用下结构的线性静力有限元分析，并确定各工况下结构最大应 力( 不涉及人工材料单元区域) 及相应的单元号。 5 ) 在各工况下结构最大应力单元的节点处，按方程( 2 2 9 ) 给定虚载，并求解各 工况下的结构虚载位移。 6 ) 按公式( 2 3 0 a ) 和( 2 3 2 ) ，计算各工况下第i ( f 为除最大应力单元外，结构 所有存在的材料单元编号) 个单元的删除引起的结构最大应力单元的应力灵敏度 数：按公式( 2 3 0 b ) 和( 2 3 2 ) ，计算各工况下增添第J ( J 为结构所有人工材料单 元编号) 个单元引起的结构最大应力单元的应力灵敏度数。 7 ) 实现单元增、删操作： I ) 单元的删除操作 a ) 按照公式( 2 3 6 ) ，选取元素集合S ，；A 口，) r ；R n ( 仃恶) ，) ( s ，C S ，) 集合S 。的单元个数为n ； p ：”) 2 s R R ( o L ) 2( b1 ，L ) ( 2 3 6 ) 式中，( 口y ) 。是载荷工况f 下的第个单元的V o nM i s e s 应力，p 怒) 2 是集 台5 ，中载荷工况，下的最大V o nM i s e s 应力，上是载荷工况数，而R R 是拒 绝率，表示为 R R r 1 ( 1 + 其次是对全局最优解问题的研究.该文利用多层神经网络对问题求解域具有高分辨率的能力,来求解桁架结构的拓扑优化.该文详细地讨论了优化计算中的隐层神经元数目的选择及计算方 法;最后,该文尝试将近几个小波理论研究的最新成果应用于结构优化,首次提出将函数的寻优问题转化成求可行域有限个奇异点的计算.小波分析方法能够描述函数整体和局部和奇异性.不管优化内容及约束情况如何,由对约束函数两两构成的拉格朗日函数的小波变换求局部极大值,将奇异点求解出来.该文对n维空间的小波变换寻