（基础数学专业论文）与微分多项式分担值相关的亚纯函数唯一性理论.pdf

零 箩 f _ 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：杰丛! 舀 e t 期：趁乜芏，2 旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：奎尘亟导师签名： ，。 5 产、 2 2 重要引理1 4 2 3 定理2 1 和定理2 2 的证明 1 5 第三章与微分多项式分担一个值相关的亚纯函数的唯一性 2 0 3 1 背景介绍及主要结果2 0 3 2 重要引理2 1 3 3 引理3 6 的证明2 3 3 4 定理3 1 ，3 2 和3 3 的证明2 7 参考文献 3 0 致谢 攻读硕士研究生期间发表的文章 3 4 3 5 山东大学硕士学位论文 c h i n e s ea b s t r a c t e n g l i s ha b s t r a c t n o t a t i o n s c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s c o n t e n t s i l l v i x 1 1 1 g e n e r a lb a c k g r o u n do fn e v a n l i n n at h e o r e y 1 1 2 c l a s s i c a lr e s u l t so ft h eu n i q u e n e s st h e o r ya n dn o t a t i o n s 8 c h a p t e r2u n i q u e n e s sa n dv a l u e - s h a r i n go f e n t i r ef u n c t i o n s11 2 1 i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t s 1 1 2 2 s o m el e m m a s 1 4 2 3 p r o o f so ft h e o r e m s2 1a n d2 2 1 5 c h a p t e r3m e r o m o r p h i ef u n c t i o n ss h a r i n go n ev a l u e 2 0 3 1 i n t r o d u c t i o na n dr e s u l t s 2 0 3 2 s o m el e m m a s 2 l 3 3 p r o o fo fl e m m a3 6 2 3 3 4 p r o o f so ft h e o r e m s3 1 ，3 2a n d3 3 2 7 r e f e r e n c e s a c k n o w l e g d g e m e n t s l i s to fp u b l i c a t i o n sd u r i n gs t u d i e sf o rm a s t e r sd e g r e e u 3 0 3 4 3 5 量 与微分多项式分担值相关的亚纯函数唯一性理论 李 小 娟 山东大学数学学院，山东，济南，2 5 0 1 0 0 电子邮箱：z i m u 0 4 2 0 y a h o o a l l 中文摘要 上世纪二十年代，r n e v a n l i n n a 引进了亚纯函数的特征函数并且以此创立了著名 的n e v a n l i n n a 理论，被著名数学家w e y l 评价为二十世纪最伟大的数学成就之一它不 仅奠定了现代亚纯函数的基础，并且对其他数学分支的交叉与融合产生了重要的影响， 比如丢番图逼近，非阿基米德分析等n c v a n l i n n a 理论主要由n c w a n l i n n a 第一基本定 理和n e v a n l i n n a 第二基本定理组成，它们是经典函数理论发展史上的重大突破，其中 第二基本定理极大地推广了p i c a r d 定理n e v a n l i n n a 理论还得到不断的自我完善和发 展。同时还广泛的应用于其他领域的研究，如亚纯函数唯一性理论，正规族，复动力系 统和复微分方程等等 亚纯函数唯性理论是值分布理论的重要分支，主要研究有且仅有一个函数满足的 条件早期，r n e v a n l i n n a 本人证明了著名的n c v a n l i n n a 五值( 四值) 定理，即两个 亚纯函数如果分担扩充复平面上的五个( 四个) 判别值则他们相同( 互为线性变换) ，从 此拉开了亚纯函数唯性理论研究的序幕半个多世纪以来，国外数学家f g r o s s ，m o z a w a ，g f r a n k ，e m u 鹤：n s t e i n m e t z ，h u e d a g g u n d e r s e n 及我国数学家熊庆 来，杨乐，杨重骏，仪洪勋等在唯一性理论方面取得了令人瞩目的成果，使之得虱j 了蓬 勃的发展 亚纯函数与其导数的分担值问题是亚纯函数唯性理论的一个重要研究课题1 9 7 7 年，r u b e l - y a n g 3 6 1 研究了整函数及其导数具有两个c m 公共值的情形其后，m u e s - s t e i n m e t z 3 5 ，杨连中【删，g u n d e r s e n 1 4 ，f r a n k - w e i 磷s e n b o r n 1 1 】等不断改进并推广了 有关结果但是关于亚纯函数与其导数具有一个c m 公共值的问题，直到1 9 9 6 年才由 r a i d e rb r f i c k 提出了b r i i c k 猜想，而后也有不少学者经过深入研究取得了许多成果，其 中，f a n g - h u a 7 1 ，z h a n g - l i n 5 1 ，q c z h a n g 4 9 l 还深入研究了亚纯函数与其微分多项 式分担一个值的问题 本文主要介绍作者在扈培础教授的精心指导下做的关于亚纯函数在其微分多项式 分担一值时的唯一性问题，全文共分三章 山东大学硕士学位论文 第一章，作者扼要介绍了本文的研究背景，n e v a n l i n n a 理论中的常用记号，并叙述 了亚纯函数理论中的一些基本概念和结果 第二章，我们主要研究了当一些更为一般的微分多项式【广尸( 川( 七) 分担一值时整 函数的唯一性问题，我们极大地改进了z h a n g - l i n 5 1 】的一些结论主要结论如下： 定理2 1 设f ( z ) 和g ( z ) 是两个非常值的整函数，p ( f ) = n m ，“+ 口。一l ，一1 + + a i f i ( a 。0 ，n i 0 ，0 i m ) ，其中，扎：七，m 是三个满足条件n 2 k + m + 4 的正整数， 如果lf n p ( 川( 七) 和【扩p ( 9 ) 】( ) 分担1c m ，那么有下面两者之一成立： ( 1 ) 若0 i ( 5 k4 - 7 ) ( m4 - 1 ) 时，我们也 有如下定理成立在这个定理的证明过程中，我们巧妙地引用了有关亏量的引理2 4 ，这 不仅使得证明过程简单化，而且使我们的结果更为精确 定理2 2 设f ( z ) 和g ( z ) 是两个超越整函数令p ( f ) = a m 尸+ a m - l ，m1 + 4 - a i r ( a 。0 ，a 0 ，0 i 冬m ) ，其中礼，k ：m 是三个满足条件扎+ m ( 5 k4 - 7 ) ( m + 1 ) 的 正整数，如果f 广p ( 川( ) 和妒p ( 9 ) 】( ) 分担l i m ，那么有下面两者之一成立： ( 1 ) 若0 i l l m + 2 2 的 正整数，令尸( z ) = n 。z ”4 - a m 一1 z m 4 - 4 - a l z + a o ，其中0 0 ( 0 ) ，a l ，a m 一1 ， ， 山东大学硕士学位论文 ( 0 ) 是复数如果f “p ( f ) f 7 和g n p ( 9 ) 9 ，分担1i m ，那么或者f 兰t g 其中 常数t 满足条件t d = 1 ，并且d = ( n + m + l ，n + 仇+ l i ，n + 1 ) ， 一i 0 ，i = 0 ，1 ，仇，或者，和g 满足代数体方程r ( f ，g ) 兰0 ，其中尺( i ：她) = 硼r i + 1 ( 曩篙翁+ g m - - 。l + w 。z - 1 + + 票占) 一t 疃1 。1 ( 杀嚣警呙+ 簪+ + 景旨) 在这个定理证明之前我们首先通过对所构造的函数进行讨论分析得出了对定理证 明有重要作用的引理3 6 ( 详见第3 3 节) 除了考虑i m 分担值问题外，我们也可以利 用i l a h i r i 引进的加权思想来考虑分担值的本性，从而得出下述定理 定理3 2 设，和9 是两个非常值亚纯函数，且n 和m 是两个满足条件n m a x m + 1 0 ，3 m + 3 的正整数，令p ( z ) = n m z “+ a m l z m - 1 + + n l z + a o j 其中口0 ( o ) ， n l ，a m 一1 ，( 0 ) 是复数如果广p ( f ) f 7 和旷p ( g ) 矿分担( 1 ，2 ) ，那么定理3 1 的 结论依然成立 自然地，我们会想除了加权思想外是否可以用别的方法来进一步削弱分担值的本性 呢? 下面的定理3 3 利用了截断的思想来解决了这个问题 定理3 3 设，和9 是两个非常值亚纯函数，且n 和m 是两个满足条件扎 m a x m + 1 0 ，3 m + 3 ) 的正整数，令p ( z ) = z + a m 一1 2 ；m - 1 + + a l z + a o ：其中伽( 0 ) ， a l ，一l ，口。( 0 ) 是复数如果广p ( f ) f 7 和g n p ( g ) 9 7 满足条件e 3 ) ( 1 ，p p ( f ) f 7 ) = e 3 ) ( 1 ，g “p ( g ) g ，) 那么定理3 1 的结论依然成立 关键字：亚纯函数；整函数；唯一性；微分多项式；分担值 山东大学硕士学位论文 m e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s s h a r i n g0 b ev a l u e x i a o j u a nl i s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ， j i n a n 。8 h a n d o n g , 2 5 0 1o o ，p r c h i n a e - m a i l ：z i m u 0 4 2 0 y a h o o e n a b s t r a c t i n1 9 2 0 s ，r n e v a n l i n n ai n t r o d u c e dt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c = t i o n so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dg a v et h ef a m o u sn e v a n l i n n at h e o r yw h i c hi so n eo ft h eg r e a t e s ta c h i e v e - m e r i t si nm a t h e m a t i c 暑i nt h e2 0 t hc e n t u r y t h i st h e o r yi sc o n s i d e r e dt ob et h eb a s i so f m o d e r nm e r o m o r p h i cf u n c t i o nt h e o r y , a n di th a sav e r yi m p o r t a n te f f e c t0 1 1t h ed e v e l o p - m e n ta n ds y n c r e t i co fm a n ym a t h e m a t i c a lb r a n c h e ss u c ha sd i o p h a n t i n ea p p r o x i m a t i o n a n dn o n - a r e h i m e d e a na n a l y s i s t h et h e o r yi sc o m p o s e do ft w om a i nt h e o r e m s ，w h i c ha r e c a l l e dn e v a n l i n n a ：sf i r s ta n ds e c o n dt h e o r e m st h a th a db e e ns i g n i f i c a n tb r e a k t h r o u g h s i nt h ed e v e l o p m e n to ft h ed a s s i cf u n c t i o nt h e o r y , s i n c et h en e v a n l i n n a ss e c o n dt h e - o r e mg e n e r a l i z e sa n de x t e n d sp i c a r d sf i r s tt h e o r e mg r e a t l fa n dh e n c ei td e n o t e dt h e b e g i n n i n go ft h et h e o r yo fm e r o m o r p h i ef u n c t i o n s n o mt h e no n 。n e v a n l i n n at h e o r y h a sb e e nw e l ld e v e l o p e di ni t s e l fa n dw i d e l ya p p l i e dt ot h er e s e a r c h e so ft h eu n i q u e n e s s o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，n o r m a lf a m i l i e s ，c o m p l e xd y n a m i c sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e t c i n1 9 2 9 ，r n e v a n l i n n aa p p l i e dt h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yt oc o n s i d e rt h ec o n - d i t i o n su n d e rw h i c ham e r o m o r p h i cf u n c t i o no fas i n g l ev a r i a b l ec o u l db ed e t e r m i n e d a n dd e r i v e dt h ef a m o l l sn e v a n l i n n a sf i v e - v a l u ea n df o u r - v a l u et h e o r e m s s i n c et h e n ， t h er e s e a r c ho fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sb e g a n f o ro v e rah , d fc e n t u r y , m a n yf o r e i g na n d d o m e s t i cm a t h e m a t i c i a n sh a v ed e v o t e dt h e m s e l v e st ot h er e s e a r c ha n do b t a i n e dl o r so f e l e g a n tr e s u l t so nt h er e s e a r c ho ft h eu n i q u e n e s st h e o r y t h ep r o b l e mo nm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n gv a l u e sw i t ht h e kd e r i v a t i v e si s t h es p e c i a la n di m p o r t a n tc a s eo fu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i n1 9 7 7 ，r u b e l - 山东大学硕士学位论文 y a n g 3 6 】c o n s i d e r e dt h eu n i q u e n e s so ne n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n g t w ov a l u e sc mw i t ht h e i r d e r i v a t i v e s f r o mt h e no n ，m u e s - s t e i n m e t z 3 5 ，l z y a n g 4 4 。g u n d e r s e n 1 4 ，f r a n k - 、k r e i s s e n b o r n f l lle t c i m p r o v e da n dp r o v e dr e l a t i v er e s u l t s a f t e rr a i d e rb r f i c ki m p o s e d b r f i c kc o n j e c t u r ei n1 9 9 6 ，m a n yf o r e i g na n dd o m e s t i cm a t h e m a t i c i a n sb e g a nt or e s e a r c h t h ep r o b l e mo nm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n go n ev a l u ew i t ht h e i rd e r i v a t i v e sa n d p r o v e dm a n yr e s u l t s r e c e n t l y , f a n g - h u a 7 】，z h a n g - l i n 5 1 ，q c z h a n g 4 9 g a v ef , o m e r e s u l t sa b o u tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h e i rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ss h a r i n go n e v a l u e i nt h i sp a p e r w ew i l lg i v es o m er e s u l t so nt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s w i t ht h e i rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ss h a r i n go n ev a l u eu n d e rt h eg u i d a n c eo fp r o f e s s o rh u p e i c h u t 址8t h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s h ic h a p t e r1 w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h i st h e s i s w h i c hc o n t a i n s s o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t sa n dn o t a t i o n so fn e v m d i n n at h e o r y hc h a p t e r2 w es t u d yt h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so ne n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n go n e v a l u e w ei m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m ep r e i o u sr e s u l t so fz h a n gx i a o y ua n dl i n w e i c h u a n 5 1 t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m2 1 l e tf ( z ) a n d9 ( z ) b et w on o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n s l e tp ( f ) 一 a 。，m + a m - i f “一1 + + 叱，( a 。0 ，a i 0 ，0sism ) ，a n dn ，k ， 。b et h r e e p o s i t i v ei n t e g e r sw i t hn 2 七+ m + 4 i f 【，“p ( ，) 】( 知) a n d 【9 “p ( 夕) p ) s h a r e1c m ，t h e n ( 1 ) i f0 冬i ( 5 + 7 ) ( m + 1 ) ，w ea l s o h a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m2 2 l e tf ( z ) a n d0 ( z ) b et w on o n c o n s t a n tt r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o n s l e tp ( ，) = o m ，”+ n m l ，m 一1 + + a i r ( n 。0 ，a i 0 ，0si m ) ，a n dn ，k ，m b et h r e ep o s i t i v ei n t e g e r sw i t hn 十m ( 5 后+ 7 ) ( m + 1 ) ，i fi ，“p ( ，) 】( ) a n d 矿p ( g ) 1 q s h a r ell m 。t h e n ( 1 ) i f0 i l l m + 2 2 ，a n d l e tp ( z ) = z ”+ n m i z ”一1 + + o i z + n 0 ，w h e r e 印( o ) ，n l ，一1 ，口m ( o ) a r ec o m p l e xc o a s t a n t s i f 广p ( 厂) 厂， a n dg p ( g ) g s h a r e1 i m ，t h e ne i t h e rf 兰纫f o rac o w s t a n t s u c ht h a tt d ：1 w h e r e d = ( n + m + 1 ，n + m + 1 一i ，n + 1 ) ，一i 0f o rs o m ei ：o ，1 ，m ，。r 乙墨曼s a t i s f t t h 锄ea 、l g e b r n a + i c l ，e q u 。a p t i 0 “娶幺安亍o ，w h e r er ( 加l ，w 2 ) = w 蚪1 ( 署籍+ 爷+ + 希) 一嵋“( 怒+ 等謇+ + 希) ”忡” i na d d i t i o n ，w ec a l la l s oc h a n g et h en a t u r eo ft h e s h a r i n gv a l u e1w i t ht h ec o n c e p t o fw e i g h t e ds h a r i n gw h i c hw a si n t r o d u c e db yi l a h i r i t h e o r e m3 2 l e t ，a n dgb et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，l e t 扎a n d b e 摭的p o s i t i v ei n t e g e r sw i t hn m a x m + 1 0 ，3 m + 3 ，a n dl e tp ( ：) = n m z m + n i 一1 z m 一1 + + a tz + a o , w h e en o ( o ) ，d l ，一，口，l - l 口m ( o ) a r ec o m p l e x c o 1 s t a i l t s i ff 托p ( ，) 厂 a n d9 p ( g ) 9 7s h a r e ( i ，2 ) ，t h e nt h ec o n c l u s i o no ft h e o r e m 3 1h o l d s n a t u r a l l y , w ea s kt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：i nt h e o r e m3 1c a nt h en a t u r eo f s h a l r i n g t h ev a l u e1b ef u r t h e rr e l a x e do t h e rt h a nt h e c o n c e p to fw e i g h t e ds h 撕n g ? w en o ws t a t et h e o r e m3 3w h i c ha l l 2 w e l 苫t h ea b o v e q u e s t i o n t h e o r e m3 3 l e t ，a n dgb et w oi i o i l c o n s t a n tm e r o m o r p h i c t i o i 塔，l e tn a n dm b et w op o s i t i v ei n t e g e mw i t hn m a x m + 1 0 ，3 m + 3 ，a n dk t p ( z ) ：0 m z m + ， 山东大学硕士学位论文 t 严一1 + + 口l z + n o ，w h e r e 知( 0 ) ，口i ，n m l ，( 0 ) a l ec o m p l e xc o n s t a n t s i f f n p ( f ) f 7a n dg n p ( g ) g s a t i s f ye s ) ( 1 ，f n p ( f ) f 7 ) = 晶) ( 1 ，g ”p ( g ) g ，) t h e nt h cc o n c l u s i o n o ft h e o r e m3 1h o l d s k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；e n t i r ef u n c t i o n s ；u n i q u e n e s s , d i f f e r e n t i a lp o l y - n o m i a l s ；s h a r i n gv a l u e 山东大学硕士学位论文 c e m ( r ，f ) ( r ，f ) t ( n f ) ( r ，f ) 1 9 ( r f ) s ( r ，f ) 符号说明 复数域 ，的甲均值函数 r 的有限测度集 ，的平均值函数 ，的极点计数函数 ，的特征函数 精简计数函数 厂在零点的亏量 关于，的小函数 山东大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 1n e v a n l i n n a 理论的背景知识 我们首先介绍p o s s i o n - j e n s e n 公式，它在n e v a n l i n n a 理论中起着非常重要的作用， 是n e v a n l i n n a 理论的基础 定理1 1 假设函数，( ) 在i ( | r ( o r o o ) 内亚纯，似= l ，2 ，m ) 和k p = l ? 2 ，) 分别是函数，( ( ) 在l ( i r 内的零点和极点如果z = r e 铂为i ( | r 内任意一点并且满足f ( z ) 0 ，o o ，那么我们有： l o gl ，( z ) i = 去z 孙l 。gl ，( 冗e 咖) i 页歹= 忑再曼南如 + 薹崦i 矧幢b gl 黜| 该公式的证明参见f 4 3 】 特别地，在定理1 1 条件下，如果i ( o ) 0 ，o c ，我们就有： o si 们肛去z 撕o s ，c 觑吲如一蓦m 南+ 娄o s 南， 这就是我们所谓的j e n s e n 公式 当i ( o ) = 0 或。时，设函数，( ( ) 在原点处的洛朗展开式如下： 其中 我们推出 ，( ( ) = 呶( a + 以+ l ( a + 1 + ，呶0 ， a = n ( 。，；) 一n c 。， 1 0 9 川小扣r = 并- o 出c 冽妒。 赢r 昭而r 十o 篆l bi r - 鸭南州训吡p 1 1 山东大学硕士学位论文 这是j e n s e n 公式的普遍形式 r n e v a n l i n n a 基于j e n s e n 公式引入了复平面上的亚纯函数f ( z ) 的平均值函数 m ( r ，) ，极点计数函数( r ，) ，精简计数函数一n ( r ，) 和特征函数t ( r ，) 等相关概 念我们先引进下列正对数 定义1 1 对于z 0 ，定义 l o g x - - - - - m a x c l o g x , 0 ，= 。l o g z 譬 。 容易看出，对于任意正数z 有 l o g x = l o g + z l o g + 设，( z ) 是圆盘i z lsn ( o r ) 内的非常值亚纯函数，当0 7 r 时，r n e v a n l i n n a 定义了以下几个函数； 定义1 2 函数，( z ) 的平均值函数定义为 州) = 去z 斯l o g + i ( 秸。) l d 0 当然mf r ) 也有类似的定义，这样由正对数的性质可知j e n s e n 公式中的积分项 击詹”l 。gl f ( r e 印) i 却正好对应竹z ( r ，f ) - m ( r ，手) 另外由正对数函数的性质可以推出m ( r ，) 的性质如下： 仇厶) 扣矧， m ( r ，壹j = t 厶) s 喜m c r ，乃，+ - 。g p 其中，办( 2 ) u = 1 ，2 ，p ) 为p 个h r ( 0 r r ) 上的亚纯函数 定义1 3 ( z ) 的极点计数函数定义为 毗肛 掣n ( 0 ，f ) l o g n 其中，n ( o ，) 表示( z ) 在圆盘t 上极点个数，重级极点按重数计算n ( o ，) 表示，( z ) 在原点处的极点重数( 如果( o ) ，那么n ( o ，) = 0 ) 山东大学硕士学位论文 由于对p 个 r ( 0 r r ) 上的亚纯函数乃( z ) o = l ，2 ，p ) 显然有以下 两个等式成立。 n 乃) 如m n ( r ，喜乃) 喜n c r ，厶， 因此对于1 r r ，我们可以推得n ( r ，) 具有如下性质： ( n j f l = l 乃) s 喜c n 办， ( r ，砉乃) 妾c r ，办， 另外，我们也可以类似地定义，( 2 ) 的零点计数函数 ，( r 多) ，那么j e i l s e i i 公式 中的求和项蚤ml 0 9 1 者和喜l o g 南分别对应n ( r ，手) 一扎( o ，手) l o g ，- 和n ( r ，) 一 中的求和项堇l o g1 者和堇南分别对应( r ，手) 一扎( o ，手) ，和 ，) 一 i = 工i ，= 王 、 n ( o ，) l o g r - 。gi 以i = m c r ，一m ( n 手) 一( r ，多) + c r ， 定义1 4 ( z ) 的特征函数定义如下t t ( r ，) = m ( r ，) - i - n ( r ，) 再由m ( r ，) 和 t ( ? _ ，) 的性质我们很容易得出特征函数的性质如下t 丁乃) 壹t ( r ，胁 j = l j - - 1 丁噍j = l 办) 争肿咖 其中每个函数厶( z ) 的定义如上所述 3 山东大学硕士学位论文 类似地，我们也可定义：t ( n 手) = m ( r ，手) + ( n 手) 由上面的分析可知， t ( r ，f ) = t lr ，) + l o g j 这个公式被称作j e n s e n - n e v a n l i n n a 公式，它是j e n s e n 公式的另种表达形式并且 展示了，( z ) 和志的特征函数之问的关系，相应地，从这个公式我们也可以看出，( z ) 和币啬特征函数之问的关系，这就得出了下面的n e v a n l i n n a 第一基本定理 定理1 2 ( 第一基本定理) 设y ( z ) 是h r ( o o ) 上的亚纯函数，a 是任意复数那么 对于0 7 r ，我们有 t ( _ 万1 ) = t ( 吖) + l o g i 以1 州 ) ， 其中，玖是7 齿i 在原点处l a u r e l t 展示中的第一个非零系数，并且 l ( n ，r ) i l o g + i a i + l 0 9 2 注：将函数运用于上述的j e n s e n - n c v a n l i n n a 公式，我们得到下面式子： 丁( r 万1 ) = 丁( r ，- ) + 1 0 9 | 吼 另一方面，我们根据t ( r ，f ) 的性质可以得出： 并且 丁( r ，一n ) r ( r ：f ) + l o g + l a l + l 0 9 2 ， t ( r ，f ) = r ( r ，f n + n ) sr ( r ，f n ) + l o g + l n i + l 0 9 2 ， 从这两个式子我们就可以看出第一基本定理是成立的我们还可以将第一基本定理简单 得记为 r ( r ，万1 ) = t ( r ，) + 。( 1 ) 4 一 山东大学硕士学位论文 其中o ( x ) 表示，_ o 。时的一个有界量 在经典的函数论中，我们用最大模函数m ( r ，f ) = m a x f ( z ) 来刻划整函数的增长 j z = r 性但对于亚纯函数来说，因为涉及到极点的情况，最大模失去作用，因此r n e v a n l i n n a 引入特征函数t ( r ，f ) 来代替m ( r ，f ) 来对亚纯函数进行研究而且对于整函数来说，特 征函数与模甬数的作用是相同的，事实上，当f ( z ) 是非常值整函数时，f ( z ) 的特征函 数t ( r ，f ) 与最大模函数m ( r ，f ) 具有如下关系t ( 参见 4 5 1 ) 因此就有 t ( t f ) _ _ l o g m ( r ，) 面r = + i r 丁( ，) ! ( o ， r o o ) l i m s u p 望磐盟：h l s u p l o g l o g m ( r , f ) r 一l o g r r - - * o 。l o g r 然而整函数的级经典性定义h 竺p 缝铲与特征函数给出的定义u 竺p 铲 相一致，所以n e v a n l i l m a 完成了从整函数的增长性特征 j ( r ，f ) 到亚纯函数的增长性 特征t ( r ，f ) 的转变，为亚纯函数理论的研究建立了基础 后来，利用这些函数m ( r ，) ，t ( r ，f ) 和n ( r ，f ) 的性质我们推出了以下第二基本 定理： 定理1 3 ( 第二基本定理) 如果，是非常值亚纯函数并且0 = l ，2 ，q ) 是g ( 2 ) 个 不同的有穷复数那么有： 其中 州吖，+ 喜m ( r ，去) 翊c 枷州删枷， r l ( r ) = 2 n ( r , f ) 一( r ，厂) + ( _ 1 f ，) ， s 肛m ( r ，手) + 喜m ( r ，南) 州 为了估计第二基本定理中的余项s ( r ，) 以便今后应用，我们需要考虑m ( r 手) 的增长性这需要我们引入下面的引理，通过它我们可知对所有的超越亚纯函数都有 m ( r ，孚) = s ( n ，) 成立，而且大家都知道( 1 0 9f ) 7 = 孚，所以我们都称这个引理为对数 5 山东大学硕士学位论文 导数引理这个引理不仅是n e v a n l i n n a 第二基本定理的关键，而且引理本身也是非常 有趣的并且今后会经常被用到 引理1 3 ( 对数导数引理) 假设( z ) 是复平面上的个非常值亚纯函数而且满足( z ) 0 ，o 。那么对0 r r ，我们有下式成立： m ( r ，手) 4 - 。g + t ( r ，) + 3 l o g + 而1 + 4 - 昭+ 冗 + 2 一唱+ 吾+ 4 ，o s + - 哩+ 仃呙+ - 。 如果1 ( o ) = 0 或者，我们也可以得到类似的结果，只是不等式中的系数有所变 化而已 为了更准确的估计r e ( r , 孚) ，我们需要引入下面关于单调函数的b o r e l 引理 引理1 4 ( b o r e l ) 设t ( r ) 是定义在7 osr 七) 重零点当且仅当它是g n 的个n ( k ) 重零点，其中重数m ，n 不一定相等如果， 和g 加权七分担值n ，我们也