（基础数学专业论文）具有时滞的偏（常）泛函微分方程振动性判别准则.pdf

中文摘要 中文摘要 本文研究了几类偏( 常) 泛函微分方程解的振动性问题，所建立的一系列振动 准则推广并改进了以往的一些已知结果 第一章对泛函微分方程的振动性问题的历史背景与现状及研究的主要内容进行 了的概述 第二章研究了一类非线性二阶中立型时滞微分方程 【r ( ) 矽( z ( ) ) ( z ( ) + p ( t ) z ( t 一盯) 7 ) 】+ g ( t ) 厂( z ( 7 ( ) ) ) = o 的振动性，得出了该方程振动的充分条件 第三章研究了一类具有分布时滞的高阶双曲型微分方程解的振动性 雾刮必u 十静削舶) 一知咖k 卵 性 第四章研究了另外一类具有分布时滞的非线形高阶中立型偏微分方程解的振动 岳m 州) + 邢) u ( 训) 】_ n ( f ) m ) 毗 f ) + 啦( ) 玩( 乱【z ，n ( ) 】) u p ，死( ) 】 一咖 甜( u k 鲍，钏打( f ) 关键词：泛函微分方程；振动性；非线性；中立型；双曲型；高阶 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt os t u d y i n go s c i l l a t i o nf o rs e v e r a lp a r t i a l ( o r d i n a r y ) 壬u n c t i o i l a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eo s c i l l a t i o i lc r i t e r i aw h i c hi nt h i st h e s i sw ee s t a b l i s h g e n e i 。a l i z ea n di n l p r o v es o m ek n o w nr e s u l t s i nc h a p t e i 1w ei 芏1 t r o d u c ea n ds u m h l a r i z et h eb a c k g r o u n d ，p r e s e n ts i t u a t i o n a n dr n a i nc o n t e n t so fo s c i l l a t i o nf b rf h n c t i o n a ld i 丑i e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2w es t u d yo s c i l l a t i o nf 6 rac l a s so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a l d e l a yd i f r e n t i a le q u a t i o n s p ( t ) 矽( z ( ) ) ( z ( t ) + p ( t ) z ( t 一仃) ) + 口( t ) ，( z ( 7 - ( ) ) ) = o a n do b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf 6 ro s c i l l a t i o n i nc h a p t e r3w es t u d yo s c i l l a t i o nf o rac l a s so fo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rh i g h e r 【) r d e rh y p c r b o l i ct y p ed i f f e r e i l t i a le q u a t i o l l sw i t hd i s t r i b u t ed e l a yo ft h e 矗3 r m 雾训蚺和恻蚋) 一知 跏k 绯矧蚓 a n dh a v es o n l eo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rc h i se q u a t i o n 1 1 1c h a p t e r4w ee s t a b l i s ho s c i l l a t i o nt i l e o r e m sf b ra n o t h e rc l a s so fo s c i l l a t i o n c 1 i t e i i af b rh i g h e i o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a lt y p ed i h i e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i s t r i b u t e d e l a yo ft 1 1 ef t o r m 嘉【，u ( 州) + 础) u ( 训) 】= a m ) 酬州) 啦( ) 凫i ( u p ，n ( ) 】) 钍陋，气( ) 】 g ( z ，t ，) ，( u 【z ，9 ( ，f ) 】d 盯( f ) k e y w o r d s ：f u n c t i o n a ld i h 色r e l l t i a le q u a t i o n s ；o s c i l l a t i o n ；n o n l i n e a r ；n e u t r a lt y p e ； h y p e r b 【) l i ct y p e ；h i g h e ro r d e r i i m 爿 + o。 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：乱审呜 签字日期：埔年月尹 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：烈如鸟 导师签名； 签字日期：瓣f 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： b i 瑰 榔期：谁钼7 日 电话： 邮编： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 泛函微分方程振动理论的背景 随着现代科学技术的发展，泛函微分方程在核物理学、生态系统、化工循环系 统、动物与植物的循环系统、经济数学、自动控制、通信网络等技术领域中有着广 泛的应用，泛函微分方程比常微分方程更精确地描述了客观世界，从而受到国内外 学者的高度重视振动现象在上述领域中经常出现，广泛的应用背景是促成这一理 论迅速发展的基础在经济学中对资本主义经济的周期性危机有如下泛函微分方程 纱( t ) = n 扩( f ) + 6 u ( 一7 - ) + 厂( ) 生物模型中出现大量时滞微分方程，e v o l t e r r a 给出了关于遗传学的一个数学模型 是具有分布滞量的二阶系统 广( t ) m z ”( ) + 0 2 z ( t ) + k ( 一7 - ) z ( 7 ) d 7 - = 夕( ) ，0 工业方面，电磁开关触头的振动可归结为研究二阶时滞微分方程 z ( ) + o z ( ) + 6 z ( z ) + c z ( 一7 - ) = 0 解的振动性 研究泛函微分方程的振动理论具有重要的应用价值自从f i t ew b 于1 9 2 1 年 发表第一篇具有影响力的关于振动理论的文章以来，己有一大批数学工作者对这一 领域进行了深入的研究，并取得了可喜的成就 黑龙江大学硕士学位论文 1 2 泛函微分方程振动理论的发展 泛函微分方程振动理论作为泛函微分方程理论的一个重要部分，在最近3 0 多 年中有了迅速的发展从线性到超( 次) 线性、非线性，从一阶到高阶，从滞量的 离散分布到连续分布，都有非常丰富的结果主要表现在以下几个方面： ( 1 ) 提出了中立型时滞泛函微分方程解的振动性与非振动性的研究，参考文 献f 1 7 l ； ( 2 ) 提出了时滞差分方程振动理论的研究，参考文献 8 1 4 ； ( 3 ) 提出了具有时滞变元的偏泛函微分方程的振动理论的研究，参考文献 1 5 2 1 ； ( 4 ) 提出了脉冲泛函微分方程解的振动性的研究，参考文献 2 2 3 0 ； ( 5 ) 发展了随机泛函微分方程解的振动理论； ( 6 ) 开始了时滞泛函微分方程振动理论在生态模型上的应用； ( 7 ) 开始了测度链上尤其是时间尺度上的时滞微分方程的振动性研究。 自二十世纪七十年代以来，随着泛函微分方程为数学模型的应用课题的大量涌 现( 如博弈论、细胞中酶反应动力学等) ，人们对泛函微分方程的研究工作越来越重 视，并取得了长足的进展，其中泛函微分方程在有界性( 参看文献 3 5 4 0 】) 、振动 性、比较原理和周期解( 参看文献 4 1 4 2 】) ，的存在性等方向的研究相当活跃，取得 了很好的研究成果例如， 在文 4 3 中研究了方程 r ( ) 矽( z ( ) ) z 7 ( z ) 】7 + 口( ) ，( z ( 口( ) ) ) = o 得到了该方程振动的若干充分条件。 在文 4 4 讨论了 鬻= 础) u + 0 l ( 必札( 叫咱) 一p ( z ，) 让( z ，) 一b ( z ，) u 一岛) j = 1 的振动性 在文 4 5 】中建立了方程 嘉z ) + p ( 咖( 一肿) ，z ) = n ( ) ( 札) 让( 锄) 第1 章绪论 振动准则 由于泛函微分方程的实际背景非常丰富，不同的实际问题所产生的方程的类型 多种多样，不同的实际问题的条件也各不相同，所以泛函微分方程的振动性方面还 有许多有意义的研究工作可做，我们的工作推广或改进了上述结果 叫“三，q 一 “p u 办 z 幻 n 一z 死 一 h 卜 z “r 亿 一u 幻 啦 m + 黑龙江大学硕士学位论文 1 3 本文所做的工作 本文研究了几类偏( 常) 泛函微分方程解的振动性问题。 ( 1 ) 研究了一类非线性二阶中立型时滞微分方程 r ( ) 砂( z ( t ) ) ( z ( t ) + p ( ) z ( 一，) 7 + g ( t ) ，( z ( 7 - ( ) ) ) = o 利用r i c c a t i 变换，将二阶泛函微分方程转换为一阶的，并利用p h i l o s 积分平均的 方法给出了此类泛函微分方程的振动性准则，推广了现有文献的结果。 ( 2 ) 研究了一类具有分布时滞的高阶双曲型微分方程解的振动性 雾叫必“+ 争酬舶) 一z 6 咖 跏k 北m ) 利用k i g u r a d z e 引理和p h i l o s 积分平均的方法给出了此类泛函微分方程的振动性 准则，改进了现有文献的结果 ( 3 ) 研究了另外一类具有分布时滞的非线形高阶中立型偏微分方程解的振动 性 券，) + p ( t ) u ( 训( t ) ) = 。( t ) ( “) 乱( z ，t ) r n + 砚( ) 玩( 让 z ，死( t ) ) 札 z ，死( t ) 】 i = l d ， 一g ( z ，) ，( 乱 z ，夕( ，) 如( f ) l ， n 利用k i g l l i a d z e 引理判断出了其任意阶导数的符号，并利用p h i l o s 积分平均的方法 给出了此类泛函微分方程的振动性准则，改进了现有文献的结果 这些都将在各章中详细介绍 在泛函微分方程振动理论中，通常采用下列定义： 定义1 ：称一个方程的解可( ) 为最终正解( 或最终负解) ，如果存在肛 0 ，使 得当弘时( ) 0 或( ( t ) o ，r ( t ) o ，。o 者岳= ； ( a 2 ) 矽c ( r ，兄) ，o 圭 o ，7 c 7 ( ，兄) ，7 - ( ) o ，7 - ( t ) 六1 i m7 - ( ) = o o ，= ，) 本章仅限于考虑方程( e ) 的非平凡解，方程( e ) 的一个解称为振动，如果它的 零点的集合无上界，否则，称它为非振动方程( e ) 称为振动，如果它的一切解均 为振动。中立型微分方程的振动理论近年来得到迅速发展例如，文 4 6 】将文 4 7 的结果推广到中立型方程 作者证明了；若 陋( t ) + p ( t ) z ( z 一丁) ， + g ( ) z ( 一盯) = o( e 1 ) 们) ( 1 一m 一川d s = 则方程( e t ) 振动文 4 8 研究方程 其中 f r ( t ) ( z ( ) + p ( t ) z ( t 一7 - ) ， ，+ g ( ) ，( z ( 一仃) ) = o( 易) 一6 一 第2 章非线性二阶中立型时滞微分方程的振动性 掣k 吣舢高拈o o z ，r isj 作者证明了：若存在p c 7 ( ，r + ) 使得 t i 【k p ( s ) 口( s ) ( 1 一p ( s 一仃) ) 鱼兰铲 d s = 则方程( 易) 振动最近，文【4 3 】考虑时滞方程 r ( t ) 矽( z ( t ) ) 。7 ( ) 】7 + q ( ) 厂( z ( 仃( t ) ) ) = o ，( 局) 得到了方程( 易) 的若干新的振动准则本文目的是进一步推广文 4 3 的结果到中 立型方程( e ) 我们的结果包含了文【4 6 】一 4 8 的相应结果为特例特别是文 4 3 】 的结果是我们结果的特例 2 2 主要结果 我们利用p h i l o s 方法，按照文 4 9 引进一类函数p ，为此定义d o = ( ，s ) ： s z o ) 和d = ( ，s ) ：t s t o 函数c ( d ；兄) 称为属于p 类，如果满 足下列条件： ( i ) h ( ，) = o ，t o ；且日( ，s ) o ，( ，s ) d o ； ( j i ) h ( ，5 ) 在仇上关于s 的偏导数连续且非正； ( i i i ) 存在函数 ( ，s ) c ( d ，冗) 满足条件： 其中 一掣叫铀) 侮丽m ，s ) 吨 定理l 设( a 1 ) 一( 4 4 ) 成立，若存在日p 和p c 7 ( ，；( o ，o 。) ) 使得 舰s u p 志衄 咖( s ) ) 一掣吼刚如= 。 ( 2 1 ) 啪) 叫铀) 一错佩丽 黑龙江大学硕士学位论文 q ( s ) = m g ( s ) 厂( 1 一p ( 丁( s ) ) ) 则方程( e ) 是振动的 证明：反证法设z ( ) 为方程( e ) 的非振动解，不失一般性，不妨设 令 则 z ( t ) o ，z ( 7 - ( t ) ) o ，z ( 一仃) o ，t 1 t o z ( ) = z ( t ) + p ( t ) z ( 一盯) ，t t 1 z ( t ) 0 ，t l 我们断言z ”) 最终定号事实上，若存在t 2 t l 有z 2 ) = o 则 ( r ( ) 妒( z ( ) ) z 7 ( t ) ) ：。= 一口( 2 ) 厂( z ( 7 - ( 2 ) ) ) 2 时z 他) 不能再有零点故z 讹) 最终定号 设z ，( c ) t 2 利用方程( e ) 知 ( r ( ) 砂( z ( ) ) z m ) ) 7 o( 2 2 ) 故有 r ( t ) 矽( z ( z ) ) z ( ) r ( 3 ) 妒( z ( 3 ) ) 2 7 ( t 3 ) = c 0 ，2 两边同除以r ( ) 矽( z ( ) ) 我们得到 以北而南 o ，之t 3( 2 3 ) 一 “三， 一一rd h l 州 。厂、b 乙+ 如 。 5 2 幻。- o 。 爿( t ，o ) 。 设存在函数p c 7 ( ，；( 0 ，o o ) ) ，c ( ，；r ) ，使得对t o ，t t o 有 和 怒赢等铲g 2 s o ，z ( 7 - ( ) ) 0 ，z ( t 一仃) 0 ，t z 1 t o z ( t ) = z ( t ) + p ( t ) z ( t 一盯) ，1 由定理1 的证明我们得到不等式( 2 5 ) 以下的证明类似文献 4 3 中的定理6 ，我们 略去 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章具有分布时滞的高阶双曲型微分方程 解的振动性 本章考虑一类具有分布时滞的高阶双曲型微分方程解的振动性。利用p h i l o s 积 分平均方法建立了这类方程边值问题解的振动准则 3 1 引言 考虑具有分布时滞的高阶双曲型微分方程 其中 雾训蚺函洲撕) 一6 咖 跏k 卵 ( e ) 和边界条件 ( t ，z ) 冗+ q 三g 券+ 巾搠也= o ，( 州) a q 耐 ( b ) 其中q 是r n 中具有逐片光滑边界a q 的有界区域冗+ = ( o ，。o ) ，r 手= o ，) 为拉普拉斯算子，n 为a q 上的单位外法向量，r ( z ，) c ( a q 冗手，r 手) ，方程 ( e ) 中的积分为s t i d j i e s 积分 若不做特别说明，我们对方程( e ) 和边界条件( b ) 总假设下列条件成立： ( h 1 ) 7 。为偶数，凸( ) ，o t ( ) c ( 冗+ ，r + ) ，盯( ) ( o ，6 】，冗) 为非减函数i = 1 ，2 ，r n ，( c ( s 2 兄+ o ，6 ，兄+ ) ； ( h 2 ) 瓦( ) c ( 兄+ ，兄) ，n ( t ) ，9 c ( 冗+ n ，6 ，r ) ，夕( ，) ， n ，6 关于 和f 为非减的且夕m ，o ) 存在，且夕讹，o ) o ，舰器舞】 夕( t ，f ) ) = o 。，i = 1 ，2 m ； 近年来文献 4 4 】考虑了时滞偏微分方程 筹= 。( t ) 札+ 。i ( ) u ( z ，t 咱( ) ) 。扛=1 七 p ( z ，) 乱( z ，z ) 一弓( z ，) 乱( 。，t 一如) ( e ) 第3 章 具有分布时滞的高阶双曲型微分方程解的振动性 其中 和边界条件 ( t ，z ) r + q 三g 嘉州刈) 乱= 0 j ( 叫) a q 耐 ( b 1 ) 显然，方程( e 1 ) 是方程( e ) 的特例本文目的是建立边值问题( e ) ( b ) 的振动准 则我们的结果推广和改进了文 4 4 的振动定理。 为证明本章的主要结果，需要下面的引理它们引自文 5 0 】和 5 l 】 引理l 设可( ) n 次连续可微，且满足条件： 可( ) 0 ，可( ) 0 ，t t o 则存在l2 o 及整数? o ，1 扎) ，死+ f 为奇数使得 ( ) ( t ) 0 ，l ，i = o ，1 ，1 ( 一1 ) 件( ) ( ) o ，1 ，i = l ，1 + 1 ，n 引理2 设y ( ) 满足引理1 的条件且 可( n 一1 ( ) 可( n ( t ) o ，t o 则对任意常数p ( 0 ，1 ) ，存在1 t o 及常数m 0 ，使得 可邗t ) l m 广2l 可( t ) l ，t t l 3 2 主要结果 定理1 设 ，日c ( d ，兄) ，使得日属于p 类，若 舰唧加s ) c ( s ) 一帮冲= 。 其中 ) = 钟，刚眯) 兄( s ) = m 夕7 2 ( s ，o ) 夕( s ，o ) ， 则边值问题( e ) ( b ) 的一切解在g 内振动 证明：设问题( e ) ( b ) 在g 内存在非振动解让( z ，) 不妨设 u ( z ，) o ，u ( z ，肛( t ) ) o ，u ( z ，n ( t ) ) o ，( z ，t ) q 托1 ，。) ，t 1 o ，i = 1 ，2 ，r n u z ，夕( ，) 】 o ，( z ，) q 1 ，o 。) 【口，6 关于z 在q 上积分，我们有 嘉 上咖训刮t 旺姚岫+ 宴引t 旺龇删如 一g ( z ，t ，) u p ，夕( ，f ) ( ) 如，t t 1 利用g r e e n 公式及边界条件( b ) ，我们有 上让( z ，t ) 出= z q 笔d s = 一z q r ( z 乱( z ，t ) 棚。，t t t ( 3 。) 上u ( z ，兀( ) ) d z = z n 掣d s = 一z r ( z ，死( t ) ) u ( z ，瓦( t ) ) d s 。，( 3 - 2 ) t 1 ( = 1 ，2 ，3 m ) 兵甲d s 是口回d sz 上明圆伙兀系 类似地，我们有 二z 6g ( z ，t ，f ) u ( z ，9 ( ，) ) d 口( f ) d z = z 6z g ( z ，) 乱( z ，夕( t ，) ) 出d 盯( ) z 6 上u ( 础如拈 ( 3 3 ) 第3 章具有分布时滞的高阶双曲型微分方程解的振动性 令 联合( 3 1 ) 一( 3 4 ) ，我们有 由( h z ) ，上式可写为 其中 因此 q ( t ，荨) = m 也 g ，t ，f ) ) n 绯) = u ( 州) 出，t 独 y ( 7 ( t ) + c ( t ) y 囟( ，o ) 】o ，t 1 e = 矧酬f ) 可( ) 0 ，( 7 ( ) s0 ，t l 由引理1 知存在2 t l 和f 1 ，3 ，7 一l 使 故有 令 则 可( 七( t ) o ，t 2 ，0 惫f ；( 一1 ) 七+ 秒( 惫) ( t ) o ，t t 2 ，f 七n 可) o ，t t 2 揣艘t ，卵( 抽) 2 一u ( 3 4 ) ( 3 5 ) 川归耥一幽皆 限6 ， 由引理2 存在3 2 ，我们有 7 ( 9 ( t ，。) 2 ) m 夕7 2 ( t ，口) y ( r 一1 ) ( 9 ( t ，a ) ) m 9 一2 ( t ，n ) 可( 一1 ( ) ，t 3( 3 7 ) 一1 5 一 一 bn u 一 、，f，jk 盯d 、l， l ，、gy、，f l ，lq on + “吖 ，l p y 黑龙江大学硕士学位论文 联合( 3 5 ) ，( 3 6 ) 和( 3 7 ) 产生 记 则( 3 8 ) 可写为 叫m ) 酱一坚掣业州 一c ( ) 一生垒芝二掣叫2 ( ) ( 3 8 ) 于是当丁4 ，我们有 即) = 等厂2 ( c 。) m 。) c ( ) 一叫7 ( ) 一兄( t ) 叫2 ( ) 配方产生 弘小，一帮姗t m 丁，一【瓜厕吣，+ 揣 2 d s 姗t m 丁) 一【丽( s ) + 揣同s ， 故 卵三眺s ) c 一器洲蛆m 丁) 由条件( i i ) ，我们有 易知 a ( 4 ，) 日( ，t 4 ) i 叫( t 4 ) f 日( ，o ) i 叫( 4 ) a ( 。，) = a ( 。，n ) + a ( z a ，) 日( ，如) c ( s ) d s + i 叫( t s ) i ) sds 2 叫 、l ， c drs “p h 。下 一sd 、， s ，l 叫 、， s h 。 一 一 sd 、， s ，jl c 、l ， s ， h 。， 第3 章具有分布时滞的高阶双曲型微分方程解的振动性 因此 舰呻加s ) c ( s ) - 帮 d s 洲彬0 ) 知小m 上式与条件( c ) 矛盾故边值问题( e ) ( b ) 的一切解在g 内振动 黑龙江大学硕士学位论文 第4 章具有分布时滞的非线形高阶中立型偏 微分方程解的振动性 本章考虑一类具有分布时滞的高阶非线性中立型偏微分方程解的振动性利用 p h n o s 积分平均方法建立了这类方程边值问题解的振动准则。 4 1 引言 近年来偏泛函微分方程的振动性研究引起人们的广泛关注，取得了大量研究成 果。例如，参看文 5 2 5 5 及其引文但是大多数振动结果是关于离散时滞方程的， 而对于连续分布时滞的高阶中立型偏微分方程解的振动定理较少本文考虑分布时 滞中立型偏微分方程 其中 和边界条件 岳m 州) + 础) u ( 训) = ) m ) 酬州) + 啦( ) 脚 m ( ) ) “ z ，死( t ) 一口( 。，f ) ，( u z ，夕( t ，) 】d 盯( ) ， ( z ，) q r + ：= g ( e ) 筹= 出 鼽( 州) a q 耐 ( b ) 其中q 是r 7 中具有逐片光滑边界a q 的有界区域兄+ = ( o ，。) ，冗手= o ，) 为 拉普拉斯算子n 为a q 上的单位外法向量方程( e ) 中的积分为s t i d j i e s 积分 若不做特别说明，我们对方程( e ) 和边界条件( b ) 总假设下列条件成立： 第4 章具有分布时滞的非线形高阶中立型偏微分方程解的振动性 ( h 1 ) r 为偶数，o ( t ) ，n l ( ) ，p ( t ) c ( 冗+ ，咒+ ) ，o o ，熙冒珊f 9 ( 。，) = 。，i = 1 ，2 m ； ( h 3 ) ，( u ) c ( r ，r ) ，o o ，u 0 ，t = l ，2 ，m ； ( h 4 ) 窖c ( q r + 陋，纠，冗+ ) ，妒c ( q 冗+ 冗，r ) ，珏危( 孔) 妒( z ，? 1 ) 0 ，( ，s ) d o ； ( i i ) 日( z ，s ) 在d o 上关于s 的偏导数连续且非正； ( i i i ) 存在函数 ( t ，s ) c ( d ，兄) 满足条件； 一翌掣= 危( 亡，s ) 阚，( ，s ) d ； 巩 一r ”7 、 、”7 一 定理1 设 ，日c ( d ，r ) ，使得日属于尸类，若 一1 9 黑龙江大学硕士学位论文 其中 l i ms u p o o 阢s ) c ( s ) 一粼胁= c ( s ) = k q ( s ( 1 刊如】) d 北) r ( s ) = m 9 7 2 ( s ，o ) 夕7 ( s ，o ) ， 则边值问题( e ) ( b ) 的一切解在g 内振动 证明：设边值问题( e ) ( b ) 在g 内存在非振动解札( z ，t ) 不妨设u ( z ，t ) o ，让( z ，肛( ) ) o ，u ( z ，瓦( 圳 o ，( z ，t ) q 1 ，。o ) ，t l o ，i = 1 ，2 ，m 乱【z ，夕( t ，) o ，( z ，) q 【1 ，。o ) 【o ，6 对方程( e ) 关于z 在q 上积分，我们有 嘉 u ( x j t ) d x + 础) 心川圳矧刮 利用g r e e n 公式，我们有 q ( z ，t ，f ) 厂( 乱 z ，9 ( t ，) d 盯( ) d z ，t t 1 im m 如：i m ) 珈一州酬肿训2 出 = 九( 乱) 妒( z ，t ，u ) d s 一 7 ( u ) 1 9 r n d u l 2 d z 。， 其中幽是曲面a q 上的面积元素 类似的我们有 t ( u z ，死( z ) ) u z ，n ( t ) d z 。 q 一2 0 一 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 0厂ot z d “吖 z ， uu愚 n zdl n zu 、， l ，rl死 zu ，il 仇烈 + on 第4 章 具有分布时滞的非线形高阶中立型偏微分方程解的振动性 由j e n s e n 不等式，我们得到 其中 令 咖 刚( u k 北】打( ) 如 q ( t ，f ) ，( u 【z ，9 ( t ，f ) d z d 仃( f ) ，( 高i u 钏酬q m f ) ( 4 4 ) q f = t 地钟，) = 磐 口( 州，刚 ) = 高出如，亡独 ( 4 5 ) 联合( 4 1 ) 一( 4 5 ) 注意到条件( h 3 ) ，我们得到 令 因此 嘉叭础) 咖) 】+ k ，跏她钏酬) o ，可( 7 ( ) 冬o ，t 亡l 由第三章的引理1 知存在2 t 1 和f 1 ，3 ，r l 使 故有 矽( 。( ) o ，之t 2 ，o 七f ；( 一1 ) 七+ 2 可( 七) ( t ) 0 ，2 ，f 七n y 讯) o ，t 2 黑龙江大学硕士学位论文 注意到可( t ) u ( ) 和( t ) 单增，我们有 u ( ) y ( t ) ( 1 一p ( ) ) ，t t 2 联合( 4 6 ) ( 4 7 ) 和( 4 8 ) 产生 由( 4 - 8 ) 和( h 2 ) ，上式可写为 其中 令 则 可( ”( ) + c ( z ) 可b ( ，n ) 】o ，3 c ( ) = k t q ( ，) ( 1 一p 夕( t ，f ) ) d 口( ) 泖) = 绷舵t s t 3 2 川归端一螋掣 以下证明过程同第三章的定理1 ，我们略去 如果在定理1 中的条件不成立或不易验证，我们有以下的定理： 定理2 设日，危，c ，r 满足定理1 中的条件若 班 舰i n f 糕】 。 8 之o 。_ o o 爿【，o ) 。 舰呻赤帮抓。 设存在函数a c ( ，；r ) ，使得对t t o ，丁t o 有 规s u p 赤眺s ) c ( s ) 一粼冲捌丁) 一2 2 一 ( 4 - 8 ) ( 4 9 ) ( 4 一1 0 ) ( 4 一1 1 ) n u o ，珏( z ，p ( ) ) o ，珏( z ，曩( ) ) o ，( z ，) q f l ，。) ，1 o ，i = 1 ，2 ，m u f z ，9 ( ，) o ，( z ，) q p 1 ，o 。) f d ，6 】 我们由定理1 的证明得到不等式( 4 1 1 ) 下面证明类似于文【4 3 中的定理4 ， 我们略去 黑龙江大学硕士学位论文 参考文献 1 s h e i k hmm a ，s a l l a mr o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n do r d e rf u n c t i o n a ld i f r e r - e n t i a le q u a t i o n s j a p p lm a t hc o m p u t e r ，2 0 0 0 ，1 1 5 ：1 1 3 1 2 1 2 l i nx i a o y a n o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld i f r e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a la p p l ，2 0 0 5 ，3 0 9 ：4 4 2 4 5 2 3 】j a a n l ih ，l i nw l o s c i l l a t i o n so fs e c o n do r d e rn e u t r a ld i 能r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h c o m p u tm o d e l l i n g ，19 9 5 ，2 2 ：4 5 - 5 3 【4 】e r b elh ，k o n gqk ，z h a n gbg o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rf u n c t i o n a l d i f j f e r e n t i a l e q u a t i o i l s m 】n e wy 0 r k ：m a r c e ld e k k e r ，1 9 9 5 5 】b a i l l o wdd ，m i s h e vdp o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rn e u t r a ld i f r e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hd e l a y m b r i s t o l ：a d a mh i l g e r ，l9 91 【6 g y 6 r ii ，l a d a sg o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd e l a yd i f 琵r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n s m 】o x f o r d ：c l a r e n d o np r e s s ，1 9 9 1 7 】师文英，王培光一类二阶中立型泛函微分方程的振动性 j 数学的实践与认 识，2 0 0 4 ，3 4 ( 3 ) ：1 2 5 1 3 2 8 】l a l l ib ，g r a c esr 0 s c i l l a t i o nt h e o r e mf o rs e c o n do r d e rn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n a p p l i e dm a t ha n dc o m p u t a t i o n 1 9 9 4 ，6 2 ：4 7 - 6 0 9 t h e a n d a p a n ie o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rp e r t u r b e dn o n l i n e a rs e c o n dd i f r e r e n c e e q u a t i o n c o m p u t e r sm a t ha p p l ，1 9 9 4 ，2 8 ：9 1 6 1 0 】s z m a i l d aj o s c 订l a t i o nt h e o r e m sf o rn o n l i n e a rs e c o n do r d e rd i f k r e n c ee q u a t i o n j 】m a t ha 1 1 a la p p l ，1 9 8 1 ，7 9 ：9 0 9 5 e i b elh ，z h a n gbg o s c i l l a t i o no fs e c o n dl i n e a rd i f r e n c ee q u a t i o n s c h i n e s e j m a t l l ，1 9 8 8 ，1 6 ：2 3 9 2 5 2 【1 2 孙亦君，张炳根差分方程的振动性( 英文) j 】青岛海洋大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 l ，( 0 2 ) 1 3 】郑洁钢关于分断常变元时滞微分方程解的振动性 j 湖南师范大学自然科学 学报，2 0 0 1 ，( 0 4 ) 一2 4 参考文献 【1 4 】张玉珠，燕居让具有连续变量的差分方程的振动性【j 】高校应用数学学报a 辑( 中文版) ，1 9 9 6 ，( 0 4 ) 15 】li nx y os c i l l a ti o no fs e c o n dor d e rn o n l i n e a rn e u tr a ld i h e r e n ti a le q u a t i o n s 【j j ma t h an a l a p p1 ，2 0 0 5 ，3 0 9 ：4 4 2 4 5 2 【16 】t a n gxh os c i l l a ti o nf orf i r s tor d e rn o n l i n e a rd e l a yd i 艉r e n ti a le q l l a ti o n s j 】ma t h an a l a p p1 ，2 0 0 1 ，2 6 4 ：5 1 0 一5 2 1 1 7 】刘安平含阻尼项非线性双曲型时滞微分方程解的振动性质f j 】应用数学， 1 9 9 6 ，1 9 ( 3 ) ：3 2 1 3 2 4 1 8 i k u b i a c z y k ，s h s a k e r o s c i l l a t i o no fd e l a yp a r a b o l i cd i 骶r e n t i a le q l l a t i o n s w i ms e v e r a lc o e 币c i e n t s j c o m p u a p p l m a t h 2 0 0 2 ，1 4 7 ：2 6 3 2 7 5 1 9 】z g o u y a n g n e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o no fo d do r d e r n e u t r a ld e l a yp a r a b o l i cd i 丹色r e n t i a le q u a t i o n s a p p l m a