（基础数学专业论文）群的极小子群覆盖.pdf

一 一 一 o nm i n i m u m c o v e r i n gb yi t ss u b g r o u p s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：c h e nq u a n q u a n s u p e r v i s o r ：p r o f l i uh e g u o h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 咖458删6删37，iiii舢y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：1 陈耋金 签名日期：刊辟6 月日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定。i l p ： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文：在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：阵岔隹 指导教师签名：粼 二 别 灯q 臼1牟纹下 抄和 驯 切 期期日日 中文摘要 摘要 设g 是一个有限群，s 是g 的具有某种特殊性质尸的非平凡子群集合如果 对s 的某个子集c ，g = u 日c ，则称e 是g 的一个p 一覆盖我们把具有最少子群个 数的p 一覆盖称为g 的一个极小子群覆盖，子群的个数记为j ( g ) 若子群均为循 环群，则称为极小循环子群覆盖，子群的个数记为i o ( c ) 因为a 4 , $ 4 ，岛的阶较小，可 以算出它们的一些子群和极大子群，得到它们的极小子群覆盖的子群个数最后 对a 6 的极小子群覆盖进行了探索 本文的主要结果：j ( & ) = 4 ，( a 5 ) = 1 1 ，j ( 昆) = 2 1 关键词：对称群，交错群，极小子群覆盖，极小循环子群覆盖 a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u p 。si san o n e m p t ys e ts a t i s f i e ds o m es p e c i a lp r o p e r t ypo t s u b g r o u p so fg i ff o ro n es u b s e to fs ，g = u 日c ，t h e nci sc a l l e dap c o v e r i n go f g w es a yt h a tt h ep c o v e r i n gi sm i n i m a ls u b g r o u p sc o v e r i n gi ft h ec a r d i n a l i t yo fei s m i n i m a l ，t h ec a r d i n a l i t y0 fe i sd e n o t e db yi ( g ) i ft h es u b g r o u pi sc y c l i cs u b g r o u p s ，t h e c o v e r i n gi sc a l l e dm i n i m a lc y c l i cs u b g r o u p sc o v e r i n g t h ec a r d i n a l i t yo fc i sd e n o t e db y 厶( g ) b e c a u s et h eo r d e ro fa 4 ，s 4 ，s 5i sm u c hs m a l l e r , w ec a nc o m p u t e rt h es u b g r o u p a n dt h em a x i m a ls u b g r o u po ft h e m t h e nw eo b t a i nt h em i n i m a ls u b g r o u p sc o v e r i n g o ft h e m f i n a l l y , w ep r o b et ot h em i n i m a ls u b g r o u p sc o v e r i n go f & w eo b t a i nm a i nl s u l t s ：i ( s 4 ) = 4 ，j ( a 5 ) = 1 1 ，j ( 岛) = 2 1 k e yw o r d s ：s y m m e t r i c a lg r o u p ，a l t e r n a t i n gg r o u p ，m i n i m a ls u b g r o u p sc o v e r i n g ， m i n i m a lc y c l i cs u b g r o u p sc o v e r i n g 目录 目录 摘要 i a b s t r a c t ( 英文摘要) l 预备知识l 1 1 研究背景l 1 2 论文的研究内容和组织结构2 1 3 对称群的基础知识3 1 4 重要引理6 2 极小子群覆盖和极小循环子群覆盖8 2 1 基础知识8 2 2 主要结论与证明8 2 3 特殊线性群的极小子群覆盖1 7 3 关于a 6 的极小子群覆盖的探索2 l 参考文献2 5 致谢2 8 1预备知识 1 1 研究背景 1 预备知识 在抽象代数课程中我们知道，群是现代代数最基本和最重要的概念之一它在 数学本身以及现代科学技术的很多方面都有广泛的应用比如在理论物理量，子力 学量子，化学结晶学等方面的应用就是证明因此，在我们学习了抽象代数课程之 后，更深入地研究群的理论是很有必有的 在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占 据着更为突出的地位同时，它也是近年来研究最多最活跃的一个数学分支最近 这些年。经过很多数学家的努力，在有限群中取得了一连窜的突破且在1 9 8 1 年解 决了著名的有限单群分类问题，这项重大的科学成果的得来是很不容易的如果 从1 8 3 2 年伽罗瓦证明交错群是单群算起，整整经历了1 5 0 # 参加这项工作的数学 家前后共几百人，为了证明单群分类定理，即有限单群共有十八个无限族和二十六 个零散单群，人们使用了抽象群论的表示论( 包括常表示和模表示) 几何的以及 组合论和图论的方法，在杂志上发表了数千页以至上万数的论文这些论文的总体 就构成了单群分类定理的证明置换群非常重要，这类群的重要性表现在三方面： ( 一) 置换群一般是非交换的群，同时它的元素又不是数 ( 二) 从群的发展历史来说，置换群是今日研究抽象群的根源即数学史上是先 研究解一元高次方程而引进了置换群的概念，然后据此才形成了抽象群的概念 ( 三) 置换群理论很重要，因为有限群必与某置换群同构，故可以把有限群的研 究转换到置换群上面来首先研究了一个群分解成三个真子群的并集的充要条 件，并且给出了几个例子，也研究了这种能分解的群的一些性质例如内置同构群 中心 为了找群的极小子群覆盖，可以从群的极大子群着手研究对于也，& 的阶不 是很大，很容易计算出它的各个子群文献【7 】给出了昆的一些子群随着计算机和 一些专业数学软件在数学上的广泛应用，置换群的子群研究有了很大的发展文 献【6 ，1 】给出了a 的子群，& 的极大子群特别是文献【l 】给出了& 的子群和部分子 群的生成元 对于有限群的子群覆盖，已经有很多人讨论过例如文献【1 2 】就讨论了群的正 规子群，幂零子群和一般子群的有限覆盖，以及群存在以上子群覆盖的条件这些 都是 1 2 第二部分回顾了对称群的一些基础知识和重要引理，包括有限群的拉格郎日 定理西罗定理有限可解群的分解定理以及p 群计数定理等 第三部分是本文的主要内容，讨论了几类群的极小子群覆盖个数首先，找出 这些群的极大子群，计算能否覆盖群本身若不能，则找阶数次大的子群一直找下 去，直至找出它们的极小子群覆盖其中也包括这些群的极小循环子群覆盖。方法 即找它们的循环子群再做并集 2 1预备知识 1 3 对称群的基础知识 定义1 3 1 【2 9 】设m 是一非空集合，集合m 到自身的可逆变换的全体对于变换 的乘法显然组成一个群这个群称为集合m 的全变换群，记为s 0 定义1 3 2 【冽当m 含有n 个元素时，m 的可逆变换称为n 元置换，为n 元对称 群，简记为& 在m 的元素用1 ，2 ，n 编号后，& 中的元素仃可以表示为 盯= ( 三。三) 其中啦= 矿( i ) ，i = 1 ，2 ，n 定义1 3 3 【捌如果一个n 元置换将1 ，2 ，n 中某m 个数轮换，即 o ( a a ) = o c 2 ，仃( a 2 ) = 钧， 口( q 仇一1 ) = o e m ，盯( q m ) = q l ， 而保持其余的数不变，那么盯称为一个轮换 当m = 2 时，盯的作用是 盯= ( o l l o e 2 ) 仃( q 1 ) 2 锄，o ( 。o l 2 、) = q 1 ，仃【q 1 j2 锄，= q 1 ， 而保持其余的数不变，这样的轮换称为对换 定义1 3 4 2 9 3 & 中的两个轮换( q 1 a 2 q m ) 与( 尻岛风) 称为不相交的， 如果 o q 岛，i = 1 ，2 ，仇，j = 1 ，2 ，z 引理1 3 5 俐任何一个非单位的置换都能表成一些不相交的轮换的乘积，而 表示法是唯一的 证明设盯是一礼元置换，在l ，2 ，n 中任取一个元素q l ，用盯连续作用，得一个序 3 口= ( q 1 a 2 哟一1 ) 因为q 是一置换，所以分解成的这些轮换必不相交，唯一性显然 1 预备知识 定义1 3 6 【矧z l ，z 2 ，x n , 设是n 个文字，令 d ( x l ，x 2 ，z n ) =( 鼢一巧) i j ( x l x 2 ) ( z 1 一x n ) ( z 2 一z 3 ) ( x 2 一z n ) ( x n - - 1 一z n ) 对于q & ，我们定义 a ( d c x l ，x 2 ，z n ) ) = 定义1 3 7 溯显然有 d ( x 矿( 1 ) ，z 矿( 2 ) ，z 口( m ) ( 圹z 嘲) 2 ，l g f = 矿，且g 非循环，若1 k 2 , n 3 ，若g 有循环极大子群，但g 非循 环，则g 恰有p 个循环极大子群和一个非循环极大子群 引理1 4 1 0 1 2 6 11 2 阶群有以下五种互不同构的类型：交换群：g = z 3xz 4 ； g = 磊z 2 ；非交换群g 兰4 4 ；g = ( t l ， l 铲= 1 ，u 2 = 1 ，t 1 - - 1 u 秒= u - - 1 ) ；g = ( 牡，z ，i 钍6 = 1 ，口2 = 牡3 ，y - 1 f f , y = i f - - 1 ) 7 2 1 集合 少子 均为 2 2 定理2 2 1 ( i ) s s 的极小子群覆盖的子群个数为4 ； ( i i ) 岛的极小循环子群覆盖的子群个数为4 证明岛的3 个2 阶子群为 i + s 阶子群为 它们的并集就是整个岛，即 岛= ( 1 ) ，( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ) u ( 1 ) ，( 1 2 ) ) u ( 1 ) ，( 1 3 ) ) u ( 1 ) ，( 2 3 ) ) 则i ( s 3 ) = 4 而上述四个子群均为循环群，贝, j i o ( s 3 ) = 4 引理2 2 2 【蚓指数是2 的子群一定是正规子群 证明设是群g 的子群，i g ：n i = 2 ，取任意a g ，若a n ，则n = n a = ，若a 因为i g ：n l = 2 ，所以g = n u a n = nu n a ，故a n = o 即qg 定理2 2 3 ( i ) a 4 的极小子群覆盖的子群个数为5 ； ( i i ) 也的极小循环子群覆盖的子群个数为7 证明先给出a 4 的元素，且i , 4 4 i = 1 2 ， 8 - 2 极小子群覆盖和极小循环子群覆盖 2 阶兀 ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ； 3 阶元 ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ，( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 2 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) 先证山没有6 阶子群，假设a 4 有6 阶子群则必正规，因为指数为2 的子群是正规子 群，经过计算也里的元分成 ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ； ( 1 2 3 ) ，( 1 4 2 ) ，( 1 3 4 ) ，( 2 3 4 ) ； ( 1 3 2 ) ，( 1 2 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 2 4 3 ) 三个共轭类，它们不可能组成6 阶的正规子群再考虑也的4 阶子群，a 只有一 个4 阶的子群甄，因为a 只有3 个2 阶元，没有4 阶元甄是非循环的阿贝尔群，分 析a 4 里的3 阶元知，也的3 阶子群为 均为循环群观察得 ( ( 1 2 3 ) ) ；( ( 1 2 4 ) ) ；( ( 2 3 4 ) ) ；( ( 1 3 4 ) ) a 4 = k 4 u ( ( 1 2 3 ) ) u ( ( 1 2 4 ) ) u ( ( 2 3 4 ) ) u ( ( 1 3 4 ) ) 也的极小子群覆盖个数i ( a 4 ) = 5 接下来考虑极小循环子群覆盖，分析a 4 的元的阶的情况，只能 为2 阶3 阶，故a 4 只有2 阶循环子群，3 阶循环子群，分别有3 个和4 个，显然有 也= u ( ( 1 2 ) ( 3 4 ) ) u ( ( 1 3 ) ( 2 4 ) ) u ( ( 1 4 ) ( 2 3 ) ) u ( ( 1 2 3 ) ) u ( ( 1 2 4 ) ) u ( ( 2 3 4 ) ) u ( ( 1 3 4 ) ) ， 则山的极小循环子群覆盖子群个数为7 定理2 2 4 & 的极小子群覆盖的子群个数j ( & ) = 4 9 - 湖北大学硕士学位论文 证明i & i = 2 4 ，& 里的元素为2 阶元( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 3 4 ) ； 2 2 型2 阶元( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ； 3 阶元( 1 2 3 ) ，0 3 2 ) ，( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 2 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ； 4 阶元( 1 2 3 4 ) ，( 1 2 4 3 ) ，( 1 3 2 4 ) ，( 1 4 2 3 ) ，( 1 4 3 2 ) ，( 1 3 4 2 ) 先证& 只有一个1 2 阶的子群，假设存在1 2 阶的子群，也，nq & ，下 证不含有奇置换，若含某一对换z ，对任一7 r s 4 ，7 r _ 1 0 7 r n ，且必为对换，则 所有的对换均在里( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) 也在里但& 由( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) 生成故& = 当& 含一4 轮换，同前面一样全部4 轮换均在里，( 1 2 3 4 ) 2 = ( 1 3 ) ( 2 4 ) 知k 4 n 中奇偶置换各半，必含有一个3 循环置换，含全部三循环置换，则= & ，矛盾 由西罗定理知s 4 的8 阶子群只有3 个或1 个，经过计算 m 1 = 【( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 3 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 3 2 4 ) ，( 1 4 2 3 ) ； m 2 = ( 1 ) ，( 1 3 ) ，( 2 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 4 3 2 ) ，( 1 2 3 4 ) ； m 3 = ( 1 ) ，( 1 4 ) ，( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 3 4 2 ) ，( 1 4 2 3 ) 为鼠的3 个8 阶子群观察得到 & = a u 舰u u ， 易证个数也是最少的，n i ( s 4 ) = 4 定理2 2 5 ( i ) a s 的极小子群覆盖的子群个数j ( 如) = 1 1 ，( f i ) a 5 的极小循环子群覆盖的子群个数j ( a 5 ) = 3 1 证明i a 5 i = 1 2 ，a 里的元素为 2 2 型轮换1 5 个： ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( a 3 ) ( 2 s ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ， ( 1 5 ) ( 2 4 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 5 ) ( 4 3 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ； 1 0 2 极小子群覆盖和极小循环子群覆盖 3 轮换2 卟： ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ，( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 2 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ，( 1 2 5 ) ，( 1 5 2 ) ， ( 1 3 5 ) ，( 1 5 3 ) ，( 1 4 5 ) ，( 1 5 4 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 5 3 ) ，( 2 4 5 ) ，( 2 5 4 ) ，( 3 4 5 ) ，( 3 5 4 ) ； 5 轮换2 4 个： ( 1 2 3 4 5 ) ，( 1 3 5 2 4 ) ，( 1 4 2 5 3 ) ，( 1 5 4 3 2 ) ，( 1 2 3 5 4 ) ，( 1 3 4 2 5 ) ，( 1 5 2 4 3 ) ，( 1 4 5 3 2 ) ， ( 1 2 4 3 5 ) ，( 1 4 5 2 3 ) ，( 1 3 2 5 4 ) ，( 1 5 3 4 2 ) ，( 1 2 4 5 3 ) ，( 1 4 3 2 5 ) ，( 1 5 2 3 4 ) ，( 1 3 5 4 2 ) ， ( 1 2 5 3 4 ) ，( 1 5 4 2 3 ) ，( 1 3 2 4 5 ) ，( 1 4 3 5 2 ) ，( 1 2 5 4 3 ) ，( 1 5 3 2 4 ) ，( 1 4 3 2 5 ) ，( 1 3 4 5 2 ) 因为a 5 是单群，所以不存在3 0 阶的子群，若存在必正规与单群的定义矛盾了也不 存在2 0 阶的子群，假设存在设为l ，5 阶子群的个数记为佻， n 1 a 5 ，l g l i = 2 0 = 2 2 5 竹5 兰1 ( 啪d 5 ) ，n 5 1 4 ，n 5 = 1 ， 则1 的5 阶子群正规于1 ，由于a 5 只有2 ，3 ，5 阶元，且i n l im - 2 0 ，则1 里只有2 阶 和5 阶元，1 里有1 4 个2 阶元1 个5 阶循环群，但经过计算这个5 阶循环群并不正 规于1 矛盾了以( ( 1 2 3 4 5 ) ) 为例，所有的2 阶元共轭作用于它都不属于它了其 它5 个5 阶循环子群的计算的结果一样 也不存在1 5 阶的子群，因为1 5 阶的群是循环群，而a 5 没有1 5 阶的元，则不可能 有1 5 阶的循环群接下来找1 2 阶的子群，由引理知1 2 阶的非交换群有三种类型，有 两种里都含有6 阶元，而a 5 没有5 阶元，故这两种类型的不存在，剩下只有一种类型 的即与a 4 同构把也里的每一个元，例如( 1 2 ) ( 3 4 ) 中的4 用5 替换，得到 n 2 = ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ， ( 1 3 5 ) ，( 1 5 3 ) ，( 1 2 5 ) ，( 1 5 2 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 5 3 ) ) ； 若把i ，2 ，3 ，分别用5 4 = ( 1 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ， ( 2 3 5 ) ，( 2 5 3 ) ，( 3 4 5 ) ，( 3 5 4 ) ，( 2 4 5 ) ，( 2 5 4 ) ) ； n 5 = ( 1 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 5 ) ( 4 3 ) ，( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ， ( 1 3 5 ) ，( 1 5 3 ) ，( 3 4 5 ) ，( 3 5 4 ) ，( 1 4 5 ) ，( 1 5 4 ) 利用西罗定理知1 0 阶非交换子群必有5 阶的子群存在，且正规，则可以从如里 的2 阶元中找正规化5 阶子群的元，如有6 个5 阶循环子群，通过计算可以找到下 列6 个1 0 阶子群 只= ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 5 ) ( 2 4 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ， 恳= ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ， ( 1 2 4 3 5 ) ，( 1 4 5 2 3 ) ，( 1 3 2 5 4 ) ，( 1 5 3 4 2 ) ； b = ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 4 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ， ( 1 2 4 5 3 ) ，( 1 4 3 2 5 ) ，( 1 5 2 3 4 ) ，( 1 3 5 4 2 ) ； 只= ( ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ， ( 1 2 3 5 4 ) ，( 1 3 4 2 5 ) ，( 1 5 2 4 3 ) ，( 1 4 5 3 2 ) ； 2 极小子群覆盖和极小循环子群覆盖 p 5 = ( 1 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 5 ) ( 4 3 ) ， ( 1 2 5 4 3 ) ，( 1 5 3 2 4 ) ，( 1 4 3 2 5 ) ，( 1 3 4 5 2 ) ； r = ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 5 ) ( 4 3 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ， ( 1 2 5 3 4 ) ，( 1 5 4 2 3 ) ，( 1 3 2 4 5 ) ，( 1 4 3 5 2 ) 经过观察得 a = a 4 u n 2 u n 3 u n 4 u n 5 u p l u p 2 u 恳u p 4 u r u p 6 且容易证明个数是最少的，贝j j a 5 的极小子群覆盖个数i ( a 5 ) = 1 1 分析a 5 的元的阶，知它的阶只能为型如( 口6 c ) 的3 阶元，和型如( 0 6 ) ( c d ) 的2 阶 元，以及型如( a b c d e ) 的5 阶元，故也只存在2 阶循环子群，3 阶循环子群，以及5 阶循 环子群，个数分别为1 5 个，l o 个，6 个，分析a 5 的元的分布情况，且这些子群的并集就 是a 5 本身，则a 5 的极小循环子群覆盖子群个数为3 1 引理2 2 6 忉& 有6 个2 0 阶子群，5 个2 4 阶子群： 皿= ( 1 ) ，( 1 2 3 5 4 ) ，( 1 3 4 2 5 ) ，( 1 5 2 4 3 ) ，( 1 4 5 3 2 ) ，( 1 2 5 3 ) ，( 1 3 2 4 ) ，( 1 5 4 2 ) ，( 1 4 3 5 ) ， ( 2 3 4 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 3 5 2 ) ，( 1 4 2 3 ) ， ( 1 2 4 5 ) ，( 1 5 3 4 ) ，( 1 5 4 3 ) ； - 2 = ( 1 ) ，( 1 2 4 3 5 ) ，( 1 4 5 2 3 ) ，( 1 3 2 5 4 ) ，( 1 5 3 4 2 ) ，( 1 2 3 4 ) ，( 1 4 2 5 ) ，( 1 3 5 2 ) ，( 1 5 4 3 ) ， ( 2 4 5 3 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ，( 1 4 3 2 ) ，( 1 5 2 4 ) ， ( 1 2 5 3 ) ，( 1 3 4 5 ) ，( 2 3 5 4 ) ； 凰= ( 1 ) ，( 1 2 4 5 3 ) ，( 1 4 3 2 5 ) ，( 1 5 2 3 4 ) ，( 1 3 5 4 2 ) ，( 1 2 5 4 ) ，( 1 4 2 3 ) ，( 1 5 3 2 ) ，( 1 3 4 5 ) ， ( 2 4 3 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 5 2 ) ，( 1 3 2 4 ) ， ( 1 2 3 5 ) ，( 1 5 4 3 ) ，( 2 5 3 4 ) ； - 4 = ( 1 ) ，( 1 2 3 4 5 ) ，( 1 3 5 2 4 ) ，( 1 4 2 5 3 ) ，( 1 5 4 3 2 ) ，( 1 2 4 3 ) ，( 1 3 2 5 ) ，( 1 4 5 2 ) ，( 1 5 3 4 ) ， 1 3 湖北大学硕士学位论文 风= 【( 1 ) ，( 1 2 5 4 3 ) ，( 1 5 3 2 4 ) ，( 1 4 2 3 5 ) ，( 1 3 4 5 2 ) ，( 1 2 4 5 ) ，( 1 5 2 3 ) ，( 1 4 3 2 ) ，( 1 3 5 4 ) ， h 8 = ( 1 ) ，( 1 2 5 3 4 ) ，( 1 5 4 2 3 ) ，( 1 3 2 4 5 ) ，( 1 4 3 5 2 ) ，( 1 2 3 5 ) ，( 1 5 2 4 ) ，( 1 3 4 2 ) ，( 1 4 5 3 ) ， 与岛同构的2 4 阶子群： 噩= ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 3 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ， ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ，( 1 2 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ，( 1 2 3 4 ) ，( 1 2 4 3 ) ， ( 1 4 3 2 ) ，( 1 4 2 3 ) ，( 1 3 2 4 ) ，( 1 3 4 2 ) ； 恐= ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 5 ) ，( 2 3 ) ，( 2 5 ) ，( 3 5 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ， ( 1 5 3 2 ) ，( 1 5 2 3 ) ，( 1 3 2 5 ) ，( 1 3 5 2 ) ； 范= ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 4 ) ，( 1 s ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 4 5 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 4 ) ， ( 1 2 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 1 2 5 ) ，( 1 5 2 ) ，( ( 1 4 5 ) ，( 1 5 4 ) ，( 2 4 5 ) ，( 2 5 4 ) ，( 1 2 4 5 ) ，( 1 2 5 4 ) ， 托= ( 1 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 5 ) ( 3 4 ) ， ( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 3 5 ) ，( 1 5 3 ) ，( ( 1 4 5 ) ，( 1 5 4 ) ，( 3 4 5 ) ，( 3 5 4 ) ，( 1 3 4 5 ) ，( 1 3 5 4 ) ， 2 极小子群覆盖和极小循环子群覆盖 恐= ( 1 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 4 5 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ， ( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 5 3 ) ，( ( 2 4 5 ) ，( 2 5 4 ) ，( 3 4 5 ) ，( 3 5 4 ) ，( 2 3 4 5 ) ，( 2 3 5 4 ) ， ( 2 5 4 3 ) ，( 2 5 3 4 ) ，( 2 4 3 5 ) ，( 2 4 5 3 ) 引理2 2 7 【卿当竹4 时，只有a 这一个非平凡的正规子群 引理2 2 8 瞄】设k 是一个奇数，证明2 k 阶群必有一个k 阶子群 定理2 2 9 & 的极小子群覆盖子群个数，( ) = 1 1 证明l i = 1 2 0 ，里的1 2 0 个元分别是：2 8 换l 阶： ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 3 4 ) ，( 1 5 ) ，( 4 5 ) ，( 2 5 ) ，( 3 5 ) ； 3 轮换2 0 个： ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ，( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 2 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ，( 1 2 5 ) ，( 1 5 2 ) ， ( 1 3 5 ) ，( 1 5 3 ) ，( 1 4 5 ) ，( 1 5 4 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 5 3 ) ，( 2 4 5 ) ，( 2 5 4 ) ，( 3 4 5 ) ，( 3 5 4 ) ； 4 轮换3 0 个： ( 1 2 3 4 ) ，( a 2 4 3 ) ，( 1 3 2 4 ) ，( 1 4 2 3 ) ，( 1 4 3 2 ) ，( 1 3 4 2 ) ，( 1 2 3 5 ) ，( 1 2 5 3 ) ，( 1 3 2 5 ) ，( 1 3 5 2 ) ， ( 1 5 2 3 ) ，( 1 5 3 2 ) ，( 1 2 4 5 ) ，( 1 2 5 4 ) ，( 1 4 2 5 ) ，( 1 4 5 2 ) ，( 1 5 2 4 ) ，( 1 5 4 2 ) ，( 1 3 4 5 ) ，( 1 3 5 4 ) ， ( 1 4 3 5 ) ，( 1 4 5 3 ) ，( 1 5 3 4 ) ，( 1 5 4 3 ) ，( 2 3 4 5 ) ，( 2 4 5 3 ) ，( 2 5 3 4 ) ，( 2 5 4 3 ) ，( 2 3 5 4 ) ，( 2 4 3 5 ) ； 5 轮换2 4 个： ( 1 2 3 4 5 ) ，( 1 3 5 2 4 ) ，( 1 4 2 5 3 ) ，( 1 5 4 3 2 ) ，( 1 2 3 5 4 ) ，( t 3 4 2 5 ) ，( 1 5 2 4 3 ) ，( 1 4 5 3 2 ) ， ( 1 2 4 3 5 ) ，( 1 4 5 2 3 ) ，( 1 3 2 5 4 ) ，( 1 5 3 4 2 ) ，( 1 2 4 5 3 ) ，( 1 4 3 2 5 ) ，( 1 5 2 3 4 ) ，( 1 3 5 4 2 ) ， ( 1 2 5 3 4 ) ，( 1 5 4 2 3 ) ，( 1 3 2 4 5 ) ，( 1 4 3 5 2 ) ，( 1 2 5 4 3 ) ，( 1 5 3 2 4 ) ，( 1 4 3 2 5 ) ，( 1 3 4 5 2 ) ； 湖北大学硕士学位论文 3 - 2 型轮换2 0 个： ( 2 4 5 ) ( 1 3 ) ，( 2 5 4 ) ( 1 3 ) ，( 3 4 5 ) ( 1 2 ) ，( 3 5 4 ) ( 1 2 ) ，( 1 3 5 ) ( 2 4 ) ，( 1 5 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 5 ) ( 2 3 ) ， ( 1 5 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 3 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 2 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 4 2 ) ( 3 5 ) ，( 1 2 5 ) ( 3 4 ) ，( 1 5 2 ) ( 3 4 ) ， ( 1 3 4 ) ( 2 5 ) ，( 1 4 3 ) ( 2 5 ) ，( 2 3 4 ) ( 1 5 ) ，( 2 4 3 ) ( 1 5 ) ，( 2 3 5 ) ( 1 4 ) ，( 2 5 3 ) ( 1 4 ) ； 2 - 2 型轮换1 5 个： ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ， ( 1 5 ) ( 2 4 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 5 ) ( 4 3 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) 由引理知鼠只有一个6 0 阶子群如，下证岛不存在4 0 阶子群先确定岛的2 0 阶 子群g ，根据西罗定理，2 0 阶子群必有一个5 阶正规子群，设它为日，则g = n o ( h ) i g i = 2 0 ，& 里只有2 ，3 ，4 ，5 ，阶的元，故g 里只有2 4 ，5 阶的元，则可以从中 的所有的2 阶4 阶5 阶元找正规化5 阶循环群的元素计算得到2 0 阶的子群与引理中 的一样 下证不存在4 0 阶的子群，在若存在4 0 阶的子群设为t ，4 0 阶的群必有2 0 阶的 正规子群，则t 必有2 0 阶的正规子群日，日也是的2 0 阶子群，a p 4 0 阶的子群是这 个2 0 阶的子群的正规化子，确定出了2 0 阶子群，可以从里2 阶4 阶5 阶元中找正 规化2 0 阶子群的元素通过对上述6 个2 0 阶子群的计算这样的元不存在，故不存 在4 0 阶的子群 因为1 5 阶的群都是循环群，而& 没有1 5 阶的元，故没有1 5 阶的子群由引理 知3 0 阶的群必有1 5 阶的子群，没有1 5 阶的子群，故也不存在3 0 阶的子群 对于2 4 阶子群，用与定理3 5 里的证明类似的方法，得到的结果与引理中的一 样 由文献【7 】知1 2 阶子群为： g l = ( ( 4 5 ) ，( 1 2 ) ，( 3 4 ) ) = ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 4 5 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ， ( 3 4 5 ) ，( 3 5 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 4 ) 1 6 2 极小子群覆盖和极小循环子群覆盖 g 2 = ( ( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ) = ( 1 ) ，( 1 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ， ( 2 4 5 ) ，( 2 5 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 4 ) g 3 = ( ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ) = ( 1 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，( 2 3 ) ，( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ， ( 1 4 5 ) ，( 1 5 4 ) ，( 1 4 5 ) ( 2 3 ) ，( 1 5 4 ) ( 2 3 ) g 4 = ( ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ) = ( 1 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 2 5 ) ，( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ， ( 1 3 4 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 4 3 ) ( 2 5 ) ，( 1 3 4 ) ( 2 5 ) g 5 = ( ( 3 4 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ) = ( 1 ) ，( 1 5 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 3 4 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 ) ，( 1 5 ) ( 2 4 ) ，( 1 5 ) ( 3 4 ) ， ( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ，( 1 5 ) ( 2 3 4 ) ，( 1 5 ) ( 2 4 3 ) g s = ( ( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 5 4 ) ) = ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 2 3 ) ，( 4 5 ) ，( 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ， ( 1 3 2 ) ，( 1 2 3 ) ，( 1 2 3 ) ( 4 5 ) ，( 1 3 2 ) ( 4 5 ) g 9 = ( ( 2 5 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ) = ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 4 ) ，( 2 4 ) ，( 3 5 ) ，( 1 2 ) ( 3 5 ) ，( 1 4 ) ( 3 5 ) ，( 2 4 ) ( 3 5 ) ， ( 1 2 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 1 2 4 ) ( 3 5 ) ，( 1 4 2 ) ( 3 5 ) g l o = ( ( 2 3 4 5 ) ，( 1 2 3 4 ) ) = ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 5 ) ，( 2 5 ) ，( 3 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 5 ) ( 3 4 ) ，( 2 5 ) ( 3 4 ) ， ( 1 2 5 ) ，( 1 5 2 ) ，( 1 2 5 ) ( 3 4 ) ，( 1 5 2 ) ( 3 4 ) f 观察得上述2 4 阶子群2 0 阶子群1 2 阶子群的并集就是瓯，昆的极小子群覆盖的 子群个数为5 + 5 + 1 0 = 2 1 ，容易证明个数也是最少的，证毕 2 3 特殊线性群的极小子群覆盖 定义2 3 1 【冽设y 是域f 上维线性空间，n v 的所有可逆线性变换对乘 法组成