（应用数学专业论文）广义正则半群的若干研究.pdf

墨2 竺! ! ! 璺竺! ! 坐i 塑! ! ! 量! 璺! 翌! 三! 璺堡垒坚! 璺! ! ! 婴! 墅塑! 摘要 文。 本文研究了三类广义正则半群。全文包括三章，每章可以看作是独立的论 第一章研究完备w r p p 半群，通过广义g r e e n 关系证得适当w r p p 半群的许多 特征。 第二章研究满足置换恒等式的w r p p 半群。证明了，w r p p 半群满足置换恒 等式当且仅当它满足恒等式x y z w = x z y w 。特别地，建立了一个w r p p 半群满足置 换恒等式的弱织积结构。 第三章研究了一类特殊的r p p 半群，即含弱正规幂等元的r p p 半群，在给出 这类半群的若干特征后，建立了具有弱正规幂等元的r p p 半群的结构。 关键词：c - w r p p 半群：完备w r p p 半群：左- r 可消板：织积：，g r e e n s ( + ) 一关系： p i a d e q u a t ew r p p 半群：c _ r c a 半群：w r p p 半群：弱织积：( 左：右) 正规带：r p p 半：右适当半群：弱正规幂等元 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s t h r e ec l a s s e so fg e n e r a l i z e ds e m i g r o u p sa r es t u d i e d ，t h i st h e s i s c o n s i s t so ft h e s ec h a p t e r s c h a p t e rli sd e v o t e dt op e r f e c tw r p p m i g r o u p s w eo b t a i ns o m ec h a r a c - t e r i z a t i o n so fp e r f e c tw r p ps e m i g r o u p si nt e r m so ft h eg r e e n s ( t ) 一r e l a t i o n s t h ea i mo fc h a p t e r2i st os t u d yw r p ps e m i g r o u l ks a t i s f y i n gp e r m u t a t i o n i d e n t i t i e s a f t e ro b t a i n i n gs o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fw r p ps e m i g r o u p ss a t i s f y i n g p e r m u t a t i o ni d e n t i t i c s w ee s t a b l i s ht h es t r u c t u r eo fs u c hs e m i g r o u p sb vu s i n gb f w e a ks p i n e dp r o d u i ：t s ， i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t er p ps e m i g r o u p sw i t hw e a kn o r m a li d e m p o t e n t s a f t e ro b t a i n i n gs o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs u c hs e m i g r o u p s w ee s t a b l i s ht h es t r u t t u r eo fr p ps e m i g r o u p sw i t hw e a kn o r m a li d e m p o t e n t s k e y w o r d s ：c w r p ps e m i g r o u p ：p e r f e c tw r p ps e m i g r o u p g r e e n s ( t ) 一r e l a t i o n s l e f t ( r i g h t ) n o r m a lb a n d ：w r p ps e m i g r o u p ：p e r m u t a t i o ni d e n t i t v ；r p ps e m i g r o u p ； r i g h ta d e q u a t es e m i g r o u p ；w e a kn o r m a li d e m p o t e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者签名：鸯凤 签字日期：j 。0 1 年 学位论文版权使用授权书 日 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：圣凤 签字日期：工。订年f 月1 日 导师签名：钾扩三加 签字日期：扣7 年厂月日 c h a p t e r1 p e r f e c tw r p ps e m i g r o u p s i n t r o d u c t i o n as e m i g r o u ps 沁c a l l e d 聊胁【圳p r i n c i p a lp r o j e c t i v e ，i ns h o r t r p p 【t p p i ff o r e v e r ya s t h er i g h t 1 e f t 】p r i n c i p a li d e a la s lf s l n 】a 8a ns l - s y s t e m ，i sp r o j e c t i v e i n 【7 ，f o u n t a i ns t u d i e dr p ps e m i g r o u p sw h o s ei d e m p o t e n t sa r ec e n t r a l ，c a l l e d6 - r p ps e m i g r o u p s h ep r o v e dt h a tac r p ps e m i g r o u pi sas t r o n gs e m i l a t t i c eo fl e f t c a n c c l l a t i v em o n o i d si no r d e rt os t u d yw e l lr p p 1 p p 】s e m i g r o u p s ，f o u n t a i n 8 】a n d 8 】i n t r o d u c e dg r e e n s 十一r e l a t i o n gc 碍+ 7 - ( 口+ a n d7 + s i sc a l l e da b u n d a n t i fe a c h 一c l a s sa n d 冗一c l a s so fsc o n t a i n sa tl e a s ta ni d e m p o t e n ti t i sn o t i c e d b yf o u n t a i nt h a tas e m i g r o u ps i sar p ps e m i g r o u pi fa n do n l yi fe a c hc * - c l a s s o fsc o n t a i n sa tl e a s ta ni d e m p o t e n t t h u sa b u n d a n ts e m i g r o u p sa r ed e f i n e da s s e m i g r o u p sb e i n gb o t hl p pa n dr p p a n dv i c cv e r s a a sa n a l o g u eo fc o m p l e t e l yr e g u l a rs c m i g r o u p si nt h er a n g eo fr p ps e m i g r o u p s ， g u o s h u ma n dz h u 2 4 】d e f i n e ds t r o n g l yr p ps e m i g r o u p sa n dr e s e a r c h e das u b - c l a s s ，s a y sl e f tc - r p ps e m i g r o u p s a f t e rt h e n ，t h e r ea r em a n ya u t h o r sh a v i n gb e e n i n v e s t i g a t i n gs t r o n g l yr p ps e m i g r o u p s ( f o rd e t a i l s e e 1 0 1 7 】f l8 】，【1 2 6 1 ， 2 4 1 ， 3 0 】a n d 3 l 】) i nf 3 2 1 t a n gd e f i n e dac l a s so fg e n c r a lg r e e n sr e l a t i o n sc ”冗”“，口” a n d 了”i ng e n e r a l k k ”w h e r e , s t a n d sf o ro n eo fc 冗，7 - da n d 丁 m o r e o v e r ，h es t u d i e dc - w r p ps e m i g r o u p s ，w h i c ha r ea n a l o g u eo fc - r p ps e m i g r o u p s ( s e e 3 2 】a n d 【3 3 】) d ua n ds h u m 【5 】c o n s i d e r e dl e f tc w r p ps e m i g r o u p sw h i c h a r ea n a l o g u eo fl e f tc - r p ps e m i g r o u p s t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t e a n a l o g u eo fp e r f e c tr p ps e m i g r o u p s n a m e dp e r f e c tw r p ps c m i g r o u p s w eh a v e o b t a i n e ds i m i l a rr e s u l t st op e r f e c tr p ps e m i g r o u p , so u rr e s u l t se x t e n d st h em a i n r e s u l t si nf 1 8 1a n df 3 0 1 1 s o m ec o n t r i b u t i o n st og e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s 1 1p r e l i m i n a r i e s t h r o u g h o u tt h i sp a p e rw es h a l lu s et h en o t a t i o n so fh o w i e 2 7 1a n dt a n g 【3 2 i nt h i ss e c t i o nw ep r o v i d es o m ec o n c e p t sa n dk n o w nr e s u l t su s e di nt h es e q u e l f i r s t l y w er e c a l ls o m ef a c t sa b o u tt h er e l a t i o nc ”a n d 冗” l e tsb cas e m i g r o u pw cd e f i n er e l a t i o n so nsg i v e nb y ：f o rt l ，b s ( 1 ) n 口6i fa n do n l yi f f o ra l l 。，y s 1 ，( a t , ，a y ) r 车争( b z ，妇) 冗 ( 2 ) a r , b i fa n do n l y i f f o ra l lz ，y s 1 ，( a x ，a y ) c 营( b x ，切) c l e m m a1 1 1 f 3 2 】( 1 ) c ”i sar i g h tc o n g r u e n c eo nsa n d c c c c ” ( 2 ) 冗”诂az 啦c o n g r u e n c eo nsa n d 冗冗+ 冗” a s e m i g r o u ps i sc a l l e dl e f tf r i g h t 斤一e a n c e l l a t i _ 2 j ei ff o ra l ln 。：y s _ ka y x aky a 】i m p l i e st h a tz k y si sc a l l e dk c a n c e l l a t i v ei fi ti sb o t hl e f t 圪一c a n c e l l a t i v e a n dr i g h tk c a n c e l l a t i v ead i r e c tp r o d u c to far e c t a n g u l a rb a n da n dal e f t r i g h t k c a n c e l l a t i v em o n o i di sc a l l e da “仍 ，w 危q 片一c a n c e l l a t w ep l a n k a si n 5 】a n d 3 2 1 ，w ec a l lsaw r p ps e m i g r o u pi ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( 1 ) e a c hc ”一c l a s so fsc o n t a i n sa tl e a s to n ei d e m p o t e n t ( 2 ) i f 旺”a t h e na ：a e l e m m a1 1 2 l e tsb ea 唧ps e m i g r o u p t h e nc ”i e ( s ) = c l e ( s ) p r o o f v c en e e do n l yt op r o v et h a tp c ”，i m p l i e st h a te c yf o ra l le ，e ( s ) n o wl e te o + ，b yt h ed e f i n i t i o no f w r p ps e m i g r o u p s e f = ea n df e = f t h a t i s r c ，w ec o m p l e t e st h ep r o o f 口 aw r p ps e m i g r o u psi sc a l l e dac - w r p ps e m i g r o u pi fi t si d c m p o t e n t sa r e c e n t r a l t a n g 3 2 】n o t e dt h a tas e m i g r o u pi sac w r p ps e m i g r o u pi fa n do n l yi f i ti sas t r o n gs e m i l a t t i c eo fl e f t 死- c a n c e l l a t i v em o n o i d s ，aw r p ps e m i g r o u ps l sc a l l e da na d e q u a t eu z t p8 e m i 9 7 们l pi ff o re v e r yn s t h e r ee x i s t sau n i q u e i d e m p o t e n ta ts a t i s f 5i n g th a tn c ”a ta n da = a ? a b yab a n d ，w em e a nas e m i g r o u pb i nw h i c he v e r ye l e m e n ti sa ni d e m p o t e n t c a l lab a n db a 1 e f t in g h t n o r m a lb a n di fbs a t i s f i e st h ei d e n t i t y a b e = a c b ； a b e = b m ，1a b e d = n r b d l e m m a1 1 3 【2 7 】t h e o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ，d rab a n db ( 1 1 曰i sn o r m a l ( 2 ) bi sas t r o n gs e m i l a t t i c eo fr e c t a n g u l a rb a n d s ( 3 ) ca n d 冗a r eal e f tn o r m a lb a n dc o n g r u e n c ea n dor i g h tn o r m a lb a n d c o n g r u e n c eo nb r e s p e c t i v e l y ， s o m ec o n t r i b u t i o n st og e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s 3 i ti sw e l lk n o w nt h a ta n yb a n di sas e m i l a t t i c eo fr e c t a n g u l a rb a n d s i f b = u 口yb ai s t h es e m i l a t t i c ed e c o m p o s i t i o no fab a n dbi n t or e c t a n g u l a r b a n d s 玩w i t hn y t h e nw es h a l lw r i t e = 厅( e ) f o r8 b 口，a n db 口厅口 w h e no 一o nt h ei n d e x e ds e m i l a t t i c ey d e f i n i t i o n1 1 4 a na d e q u a t ew r p ps e m i g r o u psi sc a l l e dap e r y e c tw r p ps e m i g r o u pi ft h ey o l l o w i n 9c o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( 1 ) z ( s ) ( t ks 酣o f i d e m p o t e n t so f s ) f o r e s 口n o r m a lb a n d ( 2 ) c ”o sac o n g r u e n c eo ns a nr p ps e m i g r o u psi sc a l l e ds t r o n gi ff o re v e r yo s t h e r ee x i s t sa u n i q u e i d e m p o t e n ta 。s u c ht h a t 扩o = aa n d 矿a r e c a l lf r o mf 1 8 】t h a tap e 咖c t r p ps e m i g r o u pi sd e f i n e da sas t r o n g l yr p ps e m i g r o u pss a t i s f i e st h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： ( 1 ) e ( s ) f o r m s _ an o r m a ib a n d f 1 1c i sac o n g r u e n c eo n 9 n e x t w ec o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np e r f e c tw r p ps e m i g r o u p sw i t h p e r f e c tr p ps e m i g r o u p s ， p r o p o s i l ；i o nl 1 5 t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t so 他e q u i v a l e n tf o ro 仃r p pa n dw r p p s e m i g r o u ps ? 。 ( 1 ) si snp e 咖c tw r p pj e m i g r o u p ( 2 ) s 话口p e r f e c t 印ps e m i g r o u p ， p r 0 4 l e ta ，b sa n d c b s i n c esi sw r p p t h e r ee x i s te ，e ( s ) s u c h t h a te c ”aa n d ，c ”b s o p ”fa n dt h e r e b ye c fb yl e m m a1 1 ，2 o nt h e o t h e rh a n d ，s i n c esi sr p p ，w eh a v e ，h e ( s ) s u c ht h a tg c 。na n d c b t h u s c ”“c “fa u db yl e n l m ai1 , 2 p c 9 s i u f i l a r l y f e bt h e r e f o r eg ha n dt h u s 。c b c o n s e q u e n t l y , c c a n dw h e n c ec = c ，n o w ( 1 ) 停( 2 ) i st r i v i a l 口 b yt h ep r o o fo fp r o p o u i t i o ni 15 t h ef o l l o w i n gc o r o l l a r yi ss t r a i g h t c o r o l l a r y 、1 8 1 lst sap e t e c tw r p ps e m i g r o u p t h e nsi sap e r k c tr p ps e m i c r o u p 矿a n do n l y 矿c ”= c t h en e x te x a m p l es h o w st h a tt h e r ee x i s t sa p e r f e c tw r p ps e m i g r o u pw h i c hi s n o tp e r f e c tr p ps e m i g r o u p e x a m p l e1 1 7 5 】l e t = 1 9 b eag r o u pw i t hi d e n t i t y1 ，k = o 。= p n0 2 ) i n f i n i t em o n o g e n i cs e j n i g r o u pi ti se a s yt oc h e e kt h a ts = uk 4 s o m ee o n w i b u t i o n st og e n e r a l i z e dr e g u l a r8 e r a l g 。o u p s i sa n 何一c 8 n c e l l a t i v eb u tn o tc a n c e l l a t i v em o n o i dw i t hr e s p e c tt ot h em u l t i p l i e a t i o n g i v e nb y ：f o ra l lf s rx yi f 丁h ，可ko rz ，h 舶= z i 口， 【 i fn k t h u ssi sap e r f e c tw r p ps e m i g r o u pb u tn o tap e r f e c tr p ps e m l g r o u p l e tsb ea na d e q u a t ew r p ps e m i g r o u pw h o s ei d e m p o t e n t sf o r mab a n d ，w e d e f i n ear e l a t i o ns o nsb y 0 z b i fa n do n l y i fa = e 6 ，w h e r e 。，6 i nsa n de ，e ( t h er o l i o w i n gl e m m a sl i s ts o m ep r o p e r t i e so fp e r f e c tw r p ps e m i g r o u p s tw h i c h a r cu s c di nt h cs c q u e t ， l e m m a1 1 8 1 3 1 。眈sb ea f ta d e q u a t ew r p pa e m i g r o u pw h o s es e to fi d e m p o t e n t s e ( s ) i snn o r m a lb a n d t h e f tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n 8a r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) si sop e 咖e tu m p ps e m i g r o u p ； ( 2 ) ( a b ) t = a t b f o ra l lo bes j ( ：；) 纠! i snc - u , t p ps e m z g r o u p l c ts ：( y ；) b eas e m i l a t t i c ed e c o m p o s i t i o no fsi n t oj 、l f - c | a s e s 又，觚d r ：( z ：矗) as e m i l a t t i c ed e c o m p o s i t i o no ft i n t on - c l a s s e s 矗i s s u m e h a t t h a t 矗e r ee x i s 恼a n 哟m o c p m 妒o fyo n t oz t h e 瞄u a 毛y 慨及b 朔过a s u b d i r e c tp r o d u c to fsa n dt w ec a l li t t h es p i n e dp r o c l u c t sa n dt r e l a t i v e t o 口o rs i m p l yas p i n e dp r o d u c to fsa n d t l e m m a1 1 9 f 3 1t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n so f taw r p ps e m i g r o u p5 帆e q u i v a l e n t ： ( 1 ) s 够ap e r ，e c tw r p ps e m z g r o u p ； ( 2 1si s 口s p m e dp r o d u c t ac - w r p p ( 3 ) 5i sas t r o n gs e m i l a t t i c e 冗- l e f t i no r d e rt or e s e a r c hw r p ps e m i g r o u p s n a m e dg t e e n s ( ”一r e l a t i o n s ，d e f i n e db y ： s e m i g r o u pa n d 口n o r m a lb a n d ； c a n c e l l a t i v ep l a n k s d ua n ds h u mf 5 1d e f i n e df i v er e l a t i o n s c i ”：c ， 冗= 冗 “( t ) = c ( 十) a 冗( ” 口( t ) = c ( ”vt ( t a n d a j o ) b 肆f i t l ( r z ) = f i l ) ( b ) w h e r ej t t ) ( 0 1i st h es m a i l e s ti d e a lg e n e r a t e db yn sw h i c h i ss a t u r a t e db yc ( t t i no t h e rw o r d s ，( ”i se x p r e s s e da sau n i o no fc n ) _ c l a s s e s a p p a r e n t l y t h e ya r e a l l s o m ec o n t r i b u t i o n st og e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s5 e q u i v a l e n c er e l a t i o n so nas e m i g r o u psa n dc 【 ( 冗( ”) i sar i g h t ( 1 e f t ) c o n g r u e n c e o ns f o ro u rp u r p o s e w en e e dt h ef o l l o w i n gl e m m a l e m m al 1 1 0 【5 l e tsb eas e m i g r o u p t h e n f o r a n ya ，b s t h e nb j ( ( n ) 毽a n do n l y 毽t h e r ea r ee l e m e n t s a o ，a 1 ，a n s ，x o ，x i ，z n ，o ，1 ，y n s 1 w i t ha = a o ，b = a 。s u c ht h a ta i e ( t ) x 。a t l 玑y o ri = l ，2 ， 1 2s o m el e m m a s i nt h i ss e c t i o nw ep r o v es o m et e c h n i q u el e m m a s l e m m a1 2 l e sb e 锻a d e q u a t ew v p pi e m z g w u pw h o s ei d e m p o t e n t s ，0 7 豫心 n o r m a lb a n d 1 y e = a w i t h f z c s ) t h e na t = n f f 。 p r o 西s i n c ec ”i sar i g h tc o n g r u e n c e ，w eh a v ea t ，c “a f = c “a t ，a n ds ob y l e m m a1 12 ，a t f c a t t h u se ( a f ) = z ( a ) a n ds oe ( n t ) = e ( ，) e ( ，) b e c a u s e 疗( s ) i san o r m a lb a n d ，w ek n o wt h a t 厅( s ) c a nb ee x p r e s s e db yas t r o n g s e m i l a t t i c e 阶e 口峨p 】o ft h er e c t a n g u l a rh a n d s 易s u p p o s et h a t 幺= g ( ，) a n d 岛= e ( a t ) t h e no 一l e ta t = ( o ，a ) 砀a n d ，口= ( 川4 ) 品： t h e na t f = a t ， ，。j = ( i a ) ( j ，p ) = ( i ，肛) f r o ma b o v e ，( i ，p ) c ( z ，a ) t h i si m p l i e s t h a ta = t h u sa t = a t f口 l e m m a1 2 2 l e ts = r ，妒口，口1b eas t r v n gs e m d a t t i c e 口，s e m i g w u p s & i fe v e r ys ai sa nw r p ps e m i g r o u pa n dt h es t r u c t u r em a p p i n g 审a 。8i sa nc i 一 h o m o m o r p h i s m ，t h a ti s t h eh o m o m o r p h i s mp r e s e r v i n g 忱ec ”- r e l a t i o n t h e ns 拈 aw r p ps e m i g r o u p p r 0 西s i n c es 0i saw r p ps e m i g r o u p t h e r ee x i s t se 厅( & ) s u c ht h a te c + ( & j o f o ra n yn 最s u p p o s et h a t ( n z m y ) 冗f o r f 剪s 1 ，i fz 岛a n dy 殳， t h e n ( o 妒a ，o d z 妒j 口窖口妒a o t y 可妒，d ，) 7 已 b e c a u s e di sa nc “一h o m o m o r p h i s m ，w eh a v ea q a d c ”( r 口) f ，d 口c o n s e - q u e n t l y ，w eo b t a i n ( e p a ，o 芦。妒，d 口p 妒o ，n ，n 0 1 ) 7 宅a n dt h e r e b y ( e $ g e y ) 冗， o nt h eo t h e rh a n d ，i f ( e ：t ，e y ) r t h e nb ye c ”( r ) 口w ei m m e d i a t e l yh a v e a = a ea n dh e n c e ( ( i x a y ) 冗t h i ss h o w st h a to c “( s ) e t h u ssi sa nw r p p s e m l g r o u p l e m m a1 2 3 a n yb i c y c i i cs e m i g r o u pi sn o ta na d e q u a t ew r p ps e m i g r o u p 口 6 s o m ec o n t r i b u t i o n st og e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s p r o 西l e ts b ea b i c y c l i cs e m i g r o u p t h e n ，b yh o w i e 2 7 】，si si s o m o r p h i ct o t h es c m i g r o u pt = ( nxn ， ) w i t h ( ，f 7 1 , ) $ ( p ，q ) = ( h t 一仃+ 7 n o z 几p j ，q p + s t l a j ；t i t , p j ) w h e r eni st h es e to fn o n n e g a t i v ei n t e r g e r s i ti sk n o w nt h a tti sa ni n v e r s e s e m i g r o u p w ec l a i mt h a tsi sn o ta na d e q u a t ew r p ps e m i g r o u p o t h e r w i s e i f ti sa na d e q u a t ew r p ps e m i g r o u p t h e nf o ra n y ( m n ) t t h e r ee x i s t sau n i q u e i d e m p o t e n t ( 1 1 1 ，。) t , s u c ht h a t ( ，n ，o ) t c ( ，n n ) a n d ( ，n ， ) t $ ( ，厅，儿) = ( ，玎，7 ) ， b e c a u s e ( m ，m ) ( 礼n ) a r ei d e m p o t e n t s ，i ti st r i v i a lt os e et h a t ( m ，m ) z e + ( m ，n ) a n d ( ，释) 0 r i 外) b yl e m m a1 1l ，( i 种) ( f n 种) t h u sb yt h eu n i q u e n e s so f t h ei d e m p o t e n t si nt h ec - 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