（应用数学专业论文）太阳射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究.pdf

中文摘要 本文主要研究太阳射电爆发中纤维精细结构特征参数的计算首先利用小波 变换处理太阳射电爆发纤维精细结构动态频谱图对原始频谱进行多层小波变换， 由低频分量重构原始图像，就可得到爆发的背景信息，令原始频谱减去背景并经 过闽值处理后，便可将纤维结构很好的分离出来 将经过小波变换处理后的频谱图的每个通道上的点分成若干个连续片断，这 些连续片断代表此通道上属于纤维结构的信息，在每个连续片断中用三次样条插 值法或广义延拓逼近法拟合时间一强度的关系，便可以确定每个连续片断中的强 度最大值点及其所对应的时间然后由计算机自动搜索出构成各个纤维结构的最 大值点，记录其所在的通道和时间 最后利用线性回归方法计算出纤维精细结构的频漂率以及其他特征参数。具 体对2 0 0 2 年4 月2 1 日的一组纤维结构事件进行计算，得到他们各个特征参数的统 计直方图 关键词：太阳射电爆发纤维精细结构二维小波变换三次样条插值广义延拓 逼近法线性回归 a b s t r a c t t h l st h e s i s m o s t l ys t u d y t h ee a l c u l a t i o no ff e a l u r c p a r a m e t e r s o ff i b e rf i n e s t r u c t u r e si ns o l a rr a d i o b u r s t s f i r s t l yt h ed y n a m i cs p e c t r u mo ff i b e r s t m c t u r ei s p r o c e s s e du s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m n l ef i b e rf i n es t r u s c t u r ei sg e n e r a l l ys u p e r p o s e do n t o t a ls o l a rr a d i ob u r s t ，b u tw ea r ei n t e r e s t e dm o r ei nt h ef i n es t r u c t u r e s ow e d i s p o s eo f t h eb a e k g r o u do ft h et o t a lr a d i ob u r s tt op i c k - u pt h ef i b e rs t r u c t u r e s w a v e l e tt r a n s f o r m c a nd i s t i l lt h es i g n a li nd i f f e r e n tf r e q u e n c yd u et oi t sm u t i r e s o l u t i o nc h a r a c t e r b y d o i n gf i v e c l a s sw a v e l e tt r a n s f o r mt ot h eo r i g i n a ls p e c t r u ma n dr e f o r m i n go r i g i n a l i m a g eb yl o w - f r e q u e n c yp a r t ，w ec a l lg e t t h eb a c k g r o u n di n f o r m a t i o n a f t e rs u b t r a c t i o n o ft h e b a e k g r o u d f r o mt h e o r i g i n a ls p e c t r u m a n dt h r o s h o l d p r o c e s s i n g ，t h e f i b e r s t r u c t u r e sc a nb es e p e r a t e de x a c t l y n ed a t a p o i n t s i n e v e r y c h a n n e lo ft h e s p e c t r u m a f t e rw a v e l e tt r a n s f o r m p r o c e s s i n ga r es e p e r a t e d t os e v e r a lc o n t i n u o u ss e g m e n t s ，w h i c hr e p r e s e n tt h ef i b e r s t r u c t u r ei n f o r m a t i o ni nt h i sc h a n n e l t h u sw eg e ti n s t a n t a n e o u sb a n d w i d t ho f t h ef i b e r s t r u c t u r e s t h e nt l l em e t h o d so fc u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o no rg e n e r a l i z e de x t e n t e d i n t e r p o l a t i o na r ea p p l i e d t of i tt h ei n t e n s i t y t i m er e l a t i o ni ne v e r yc o n t i n u o u ss e g m e n t ， i no r d e rt od e t e r m i n eo c e u r i n gt i m eo fe v e r yi n t e n s i t ym a x i m a r e c o r dt h ec h a n n e l n u m b e ra n dt h ed i n eo f t h ei n t e n s i t ym a x i m af o r m i n gm e f i b e rs t r u c t u r e s f i n a l l yt h ed r i f tr a t ei sf o u n db yl i n e a rr e g r e s s i o n 1 1 1 eo t h e rp a r a m e t e r ss u c h a s d u r a t i o n ，b a n d w i d t ha n dr e l a t i v eb a n d w i d t ho ft h ef i b e r s t r u c t u r e sa r ea t s o g o t t e n s p e c i f i c a l l yt h ea l g o r i t h m i su s e dt oc a l c u l a t et h ef e a t u r ep a r a m e t e r sf o rt 1 1 er a d i of i b e r e v e r t so n 2 1 - a p i r l 2 0 0 2 a n d t h er e l e v a n t l l i s t o g r a ma r ed r a w n o u t ， k e yw o r d s ：s o l a r r a d i ob u r s tf i b e rf i n e t r a n s f o r mc u b i cs p l i n e i n t e r p o l a t i o n m e t h o dl i n e a rr e g r e s s i o n s t r u c t u r e1 w o d i m e n s i o nw a v e l e t g e n e r a l i z e d e x t e n t e d i n t e r p o l a t i o n 创新性声明 邯9 5 6 6 0 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的况明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：丝建! 毯f = 1 期堕：! ：12 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期f b j 论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证牛 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公佰论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名：i 叁釜! 蕊日期型：! ! 导师签名：日期：竺竺! ! ，i 扩 第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波分析概述臼 小波分析是当前数学领域中一个迅速发展的新方向，是由f o u r i e r 分析发展起 来的一种新的数学方法，同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义在小波分析中 利用小波基取代传统的三角函数基，对函数进行分析和研究由于小波基是由个 小波函数( x ) ( ( x ) 充分光滑快速衰减具有振动状如小波) 经过平移和伸缩得 到的，因此具有简单，灵活，随意的特性，又具有多分辨分析的功能，它为诸多应用 领域提供了一种新的更为优越更为方便的分析工具 与f o u r i e r 分析类似，小波分析中也存在积分小波变换，小波级数和离散小波 变换与f o u r i e r 变换相比，小波分析是一个时间和频率的局部变换，因而能有效地 从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分 析( m u i t i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题两者的 本质区别在于：f o u r i e r 分析只是考虑时域和频域之间的一对一映射，它以单个变 量( 时间或频率) 的函数表示信号：小波分析则利用联合时间一尺度函数分析非平稳 信号，从根本上克服了f o u r i e r 分析只能以单个变量描述信号的缺点小波分析与 时频分析的区别在于：时频分析在时频平面上表示非平稳信号：小波分析在描述非 平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间一尺度平 面上在小波分析中，人们以不同的尺度( 或分辨率) 来观察信号信号分析的这种 多尺度( 或多分辨率) 的观点是小波分析的基本点 一小波发展历程 小波的起源可以追溯到2 0 世纪初1 9 1 0 年，h a a r 提出了规范币交小波基的思 想，构造了紧支撑的正交函数系一h a a r 函数系1 9 3 6 年，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对 f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论，构造了一组l i t t l e w o o d p a l e y 基， 这为小波在后来的发展奠定了理论基础1 9 4 6 年，g a b o r 提出了加窗f o u r i e r 变换 ( g a b o r 变换) 理论，使得对信号的表示具有时频局部化性质人们真正研究小波是 在8 0 年代1 9 8 2 年，s t r o m b e r g 构造了一组具有指数衰减且有限次连续导数的小波 基1 9 8 4 年，g r o s s m a n 和m o r l e t 首次提出了小波( w a v e l e t ) 的概念，给出了按一个 确定函数的伸缩平移系展开函数的新方法和进行信号表示的新思想随 后，m e y e r 证明了一维小波的存在性，并构造了具有一定衰减性质的光滑小波函 太阳射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究 数1 9 8 6 年，m a l t a t 和m e y e r 提出了多分辨分析的理论框架，为小波基的构造提供 了一般途径多分辨分析的思想是小波的核心，它是理论与应用的结晶至此，小波 分析才真正形成一门学科之后，人们构造出了大量的小波，其中包括具有指数衰 减的b a t t l e t e m a r e i e 小波和第一个双正交小波一t c h a m i t c h i a n 小波等，比较引人 注目的是d a u b e r c h i e s 于1 9 8 8 年构造的一类具有紧支撑集的有限光滑正交小波函 数，该小波得到了菲常广泛的应用1 9 8 9 年，随着小波理论的进一步发展，m a l l a t 提 出了实现小波变换的快速算法一m a ll a t 塔式算法，它的地位相当于f o u r i e r 变换中 的f f i 、1 9 9 0 年崔锦泰和王建忠构造了基于样条的双j 卜交小波函数，并讨论了具有 最好局部化性质的尺度函数和小波函数与此同时，w i c k e r h a u s e r 和c o l f m a n 等人 通过对小波函数进行伸缩，平移和调制运算，提出了小波包的概念，并将m a l l a t 算 法进一步深化，得到了小波包算法 二多分辨分析 一般找基有两种途径：一是直接构造基函数，验证它们满足基的条件：二是空 间分解的方法，将空间按一定的规律分解为具特定性质的子空间序列，然后按特性 找出子空问的基来合成全空问的基历史上，曾经有过很多利用空问分解( 如原子 分解，分子分解等) 来构造基函数的例子 在构造小波基中，按第一种单个找蓦函数的方法也取得了不少成果，但是。按 第二种空间分解的方法，经过多年的努力，逐渐形成了构造小波基的一般框架一多 分辨分析( 或者嘲多尺度分析) ，简记为赫r a 1 9 8 8 年首先由m a l l a t 与m e y e r 推出多分辨分析的框架 多分辨分析通过特殊的空间分解，巧妙的构造小波基它把全空间r f 矗) 按分 辨率( 2 ) 先分解成串嵌套的闭自空间序列杪，j 。，然后通过正交补的塔式分解， 再将r 陋) 分解成一串正交小波子空间序列妒， ，然后，将，e r 似) 分别投影分 解到不同分辨率的小波子空间序列妒 上进行分析和研究 三小波的形式和特点 w = s p a 卅 ，七e z 第一章绪论 其中小波基的基本格式为 儿 = 2 q , ( 2 j x - k ： ( 1 1 ) 它们构成工2 伍) 的规范正交基其中y ( x ) 成为正交小波，它满足以下三个条件： ( 1 ) 6 ) 与它的各阶导数( 如阶，m 1 ) 都属于r 即) ： ( 2 、y g ) 与它的m 阶导数在。处速降： ( 3 ) 对0 sk ”l ，有rx k g l = 0 ： 由式( 1 1 ) 给出的小波基具有以下特点： ( 1 1 可以同时做时频分析，小波函数中包含两个整数变量，k ，分别代表频域分 辨率和时间平移量， ( 2 ) 小波基具有良好的局部化性质，便于做局部分析，并有利于减少计算量 ( 3 ) 多分辨功能一数学显微镜小波基函数可按分辨率伸缩，波形可窄可宽，可 以按分辨率聚焦到研究对象的任意细节，具有很强的分辨功能 ( 4 ) 小波中2 ，的伸缩率与计算机视觉及人眼视觉特征相吻合，有利于图像数据 压缩 ( j ) 小波基是大多数b a n a c h 空i h j 的无条件基，因此，它适用范围比傅氏分析更 广 ( 6 ) 小波子空间是一串相互独立，互相正交的闭自空间序列妒 每个w 中 j j e z ， 由小波基函数平移构成该子空间的规范正交基p j , k i 。 由于小波基的平移。展缩功能，使小波具有灵活可变的时间一频率窗。在高频时 时间窗变窄，而在低频时，时间窗变宽所以有利于分辨非平稳信息 四小波级数与小波变换 数学分析中一个很重要很成功的理论就是级数理论，通过空间中基函数的线 性组合把空间中任意函数展开成级数形式，如幂级数，傅氏级数。切比雪夫级数等， 在此基础上形成了一系列近似计算和最佳逼近理论 在小波分析中，因为小波基妒坩i 舡：构成r ) 的规范正交基，则任一 f 工2 似) 都可用小波基来展开成小波级数 太阻射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究 产磊d 以t 其中的小波系数d 付可通过厂与。 的内积来计算 ( 1 2 ) d 肼2 ( 心。) = 加肼班 ( 1 i3 ) 式( 1 3 ) 这个内积形式的积分形式被称为厂的离散小波积分变换( 其中积分核就是 小波基函数，也就相当于窗函数) 在傅氏级数中，傅氏变换与傅氏级数的系数并没 有这种关系当小波积分变换中的积分核取为连续的小波函数族 lr r b 、 础2 丽y l 了j 时：就得到了连续型小波积分变换 ( 一叫) = 加出 ( 1 4 ) 所以，厂的小波级数中的小波系数就是相应离散小波积分变换的积分值 五m a l l a t 算法 由上面可以知道，每计算一个小波系数就要计算一个定积分，这无疑是一个很 大的计算工作量而且很多情况下，厂是不知道的m a l f a t 在多分辨分析的基础上， 于1 9 8 9 年给出了计算小波系数的快速递推算法一m a l f a t 算法他主要是利用m r a 中 的空间塔式分解和多分辨特性，将计算小波系数与专业中滤波器相结合，构造了一 个计算小波系数的塔式分解算法，成为m a l f a t 算法，大大简化了小波系数的计算， 因而为小波理论的应用提供了捷径由于m a l l a t 的这个贡献，他于1 9 8 9 年荣获 i e e e 论文奖 d a u b e c h i e s 在多分辨分析基础上构造了一系列的d a u b e c h i e s 小波滤波器现 在已成功地应用于信号，图像处理等领域 1 2 本文研究背景 太阳的活动影响着人类生存的日地环境太阳至少3 0 亿年来一直保持稳定的 光度，同时，激烈的太阳活动及其周期交化，又影响和调制着人类生存的环境在人 类活动早已扩展到地球之外的今天，研究太阳活动又成为认识人类地外的可居住 性和预报日地环境中灾变事件的基本要求众所周知，不息演化的太阳磁场在巨大 第一章绪论 的空间尺度产生不稳定性和灾变过程太阳耀斑释放的磁能相当于几十亿次核爆 炸的能量：而由磁场驱动的卜l 冕物质抛射，每次将数t - 亿i i t e 的磁化等离r 体抛入i1 球空间激烈的太阳活动引起地球磁场和电离层强烈的扰动，导致短波无线电通信 中断供电系统破坏，长距离输油管道过早损坏，空间飞行器发生故障宇航入员健 康受到伤害以及远距离导航失灵等破坏性事件实时地监视和预报太阳活动事件 及其对人类环境的影响，已经成为太阳物理 作者和地物理工作者的一个最富 有挑战性的任务。3 太阳射电天文学“诞生于2 0 世纪4 0 年代，是射电天文学祁太阳物理学之的 一个新兴的交叉学科，它是利用太阳射电望远镜来观测研究太阳的射电辐射，并结 合太阳的其他电磁波辐射和粒子发射的资料，而进一步揭示太阳物理本质的一fj 自然科学 在太阳射电天文研究中，太阳射电频谱图扮演蒋举足轻鼋的作用，太| 骝活动时 高能粒子在磁场，等离予体r ，的高速运动能够产! l 三九线1 _ ：l 辐则，其频率与l 也j 密嫂 和磁场有关，太阳射电动态频谱f 是出不同频率的无线电辐射而组成的太阳射电 天文研究最基本也是最重要的工具就是太阳射f 乜频谱仪i “，通过天线接收分频 滤波处理仪器记录。晟后直接面对我们的就是太阳射电频谱图太阳射电频谱仪 是研究太阳射电爆发动态频谱的最重要的设备，它能够记录太阳射电爆发频谱随 时问的变化，从而，采用它可以研究太阳大气以及h 地空问中一定高度范围内的动 力学过程和物理参数我国新近完成的0 7 - 7 6 6 h z 太阳射电宽带动念频谱仪，其性 能优于当前国内外的同类设备，能够在较宽的频率范围内观测到不同类型的射电 爆发及精细结构仪器的工作原理是通过射电望远镜接收来自太阳的射电辐射，接 收到的信号经滤波放大处理后以一定的格式记录下来 本文主要研究太阳射电爆发中的一类精细结构，即纤维结构o 1 ，提供了一种 纤维结构特征参数的计算方法太阳射电爆发是叠加在宁静太阳射电背景之上的， 由于宁静太阳射电爆发背景相对于净太阳射电爆发流量是一个很大的量，所以通 常微弱的太阳射电纤维精细结构总是淹没在比较强的宁静太阳背景和爆发热辐射 成分中，所以要计算纤维结构特征参数，首先要对频谱圈中的纤维结构进行分离 提取。消除背景影响及其他方面的干扰因素，纤维精细结构的总背景对应于频谱 图的低频部分，我们利用小波变换的多分辨分析特性，对原始频谱图实行多层小波 变换，由低频分量重构原始图像，就可得到爆发的背景信息，令原始频谱图减去 背景并经过阈值处理后，便可将纤维结构很好的分离出来将经小波分析处理后的 频谱图各个通道上的点分为若干连续片断，这些连续片断代表此通道上属于纤维 结构的信息，至此可以利用连片搜索算法计算纤维精细结构的瞬时带宽，在每个 连续片断中用三次样条插值法”1 或广义延拓逼近法”。”拟合时间一强度的关系， 便可以确定每个连续片断中的强度最大值点及其所对应的时州然后由计算机自 太日i 射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究 动搜索出构成各个纤维结构的强度最大值点、庀录其所在的通道和时佑j 最后计算 出纤维结构的带宽持续时间等特征参数，并利用线性回归方法计算纤维结构的频 漂率。 1 3 论文主要工作 在太阳射电爆发过程中发现的纤维精细结构，携带着爆发初期磁场活动的小 尺度信息本文对原始的纤维结构观测资料进行算法处理，以计算纤维结构的重要 特征一频漂率以及带宽持续时删等特征参数本文的纤维结构频漂率的计算方法 主要是参考m j a s c h w a n d e n 和 0 b e n z 等的工作“，他们主要针对分米波i i i 型 爆，而本文的观测资料属于微波爆发与他们二i ：作的不同之处在于，本文具体引入 小波快速分解及重构方法，来去除原始数据中的背景，分离出纤维结构，并根据 微波瀑发数据本身的特点，进行连续片段搜索并应用厂。义延托逼近法拟合数据等。 对2 0 0 2 年4 月2 1 日的一系列纤维结十句1 j f 件进行汁饽，得f f ：儿、h 匀纳频漂本、0 0 0 4 1 0 一一0 0 1 3 8g h z s 之自】本文内容安排如下： 第一章绪论部分，简要介绍了小波分析的发展历史，概述了其主要内容摘述 了本文的研究背景和主要工作 第二章小波分析基本理论，给出了小波分析中一个最基础，最重要的概念一多 分辨分析：在此基础上定义了小波级数连续小波变换，离散小波变换：还给出了小 波分解及重构的快速实现算法一m a l l a t 算法这些是本文分离动态频谱图中纤维精 细结构所利用的二维小波变换及其快速算法的基础 第三章介绍了处理本文频谱图所采用的二维小波快速分解1 。”3 及重构“”州方 法，由于对频谱图进行二维小波分解及重构时，具有某些特性的小波函数的选取起 着至关重要的作用，所以引入了最常用。虽基本的几种小波函数”“，并对各个小波 函数的性质进行了归纳总结，在此基础上将二维小波变换应 j 予分离动念频谱幽 中纤维精细结构 第四章因为在第三章分离了纤维精细结构后，要对数掘进行数值逼近，所以本 章介绍了两种数值逼近方法一三次样条插值法和广义延拓逼近法从数学模型的提 出到模型的求解方法都做了比较详细的阐述广义延拓逼近法是近年来提出的一 种比较新颖的数值逼近方法，它具有逼近精度高且计算方便简单的优点 第五章原始频谱图经过第三章的处理，将纤维结构分离丌来，使其边界清晰， 利于对其进行算法处理接下来将各个通道上的点分为若干连续片断，将属于纤维 结构的信息用零点隔行，至此可以利用参考文献 1 的连片搜索算法计算纤维精 细结构的瞬时带宽然后利用三次样条插值法或广义延拓逼近法找出各个连续片 第一章绪论 断的强度最大值点，最后由计算机自动搜索出构成各个纤维结构的最大值点，记录 其所在的通道和时间 第六章由于记录了构成纤维结构的强度最大值点对应的通道和时问，所以很 容易就可以计算出纤维结构的带宽，持续时间等特征参数，对纤维结构频漂率的计 算，我们用线性回归方法对构成纤维结构的强度最大值点进行线性拟合，拟合直线 的斜率即为纤维结构的频漂率，最后对本文计算纤维结构特征参数的方法及意义 进行了归纳总结。 第二章小波分析基本理论 第二章小波分析基本理论 小波分析是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，是继f o u r ie v 分析之 后的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的一】一具 在科技界引起了广泛的关注和高度的重视它既包含由丰富的数学理论，又是 _ 程 应用中强有力的方法和工具小波分析的发展推动着许多其他学科和领域的发展， 使得其本身具有了多学科相互结合，相互渗透的特点探讨小波的新理论新方法 以及新应用以成为当前数学界和工程界一个非常活跃和富有挑战性的研究领域 2 1 多分辨分析 多分辨分析，原文m u l t ir e s o l u t i o na n a l y s is ，简称m r a 于1 9 8 8 年，由m a l l a t 与m e y e r 合作提出了多分辨分析的框架其主要思想是将2 似) 分解为一串具有不 同分辨率的予空间序列该子空间序列的极限就是f 陋) ，然后将陋) 中的。f 描述 为具有一系列近似函数的逼近极限，其中每一个近似函数都是厂在不同分辨率于 空间上的投影通过这些投影可以分析和研究厂在不同分辨率子空问上的性念和 特征，这也就是多分辨分析这个名称的由来以下简称m r a 定义2 1m r a 的定义 设e j 。是工2 ) 的一串闭子空间序列，如果满足一下五条，则称杉j 脚为 上2 ( r ) 的一个m r a ： ( 1 ) 单调性：vc v ( 2 ) 平移不变性：若“( x ) e 一甘“( x - | i ) e v ， ( 3 ) 二进制伸缩相关性：若“( x ) 5 一营“( 2 x ) e _ + ，“( 2 x ) v ：， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 4 ) 逼近性u 矿，= l 2 ( r ) ，n y ，= 0 ) ( 2 3 ) ，e z，e z ( 5 ) r i e s z 基的存在性：存在g 一，使k g 一) 一是的r i e s z 基 从定义中( 1 ) 可以看出，闭子空间序列是一个包含一个，由( 4 ) 可知它们的极限 位置： 太射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究 r 职) 3 ：0 3v ，j 一一，j ：。1 0 ( 2 4 ) 从( 2 ) 中可以看出，当固定在同一个子空间中，可由一个基函数妒0 ) ，通过平 移得到该子空间的基p ，b 一月) i ；：，称匕中的基函数妒( x ) 为尺度函数 从定义中第( 3 ) 条可以看出，任何两相邻子空间之间相差一个2 进分辨率，也就 是渡只要知道了任一个子空间中的基，就可通过分辨率的二进伸缩，立即得到相 邻子空间中的基，因而也就可得到所有子空间中的基， 通过定义中第( j ) 条，我们可以通过r i e s z 基的规范正交化构造出f ： 的胤 范正交基，因而也就可阻构造出所有一( ez ) 中的舰范正交基但因为妒。不是 f ( r ) 的正交分解( 而是单调嵌套的子空间序列) ，所以不可能由一o z ) 中的基来 合成f 取) 的规范正交基n e t ，m r a 进一步的工作是要从e ；。通过正交补韵方法 构造出上2 忸) 的正交分解子空间序列移j 。毗。矿，= l + 。j ，就是所谓的小波子空 间序列具体的做法是要从y ，的基构造出，的基p ，g 一) i 。，其中称b ) 为小波 函数，然后合成全空间l 2 似) 的基一小波基 2 2 小波变换 r ) 一一_ 一。一0 一。0 一， 。- i露知童， 。， j 叫 ? 。 ( z h ) 对可2 他) ，设厂在v ，上的投影系数为c 卅，在w ，上的投影系数为 d 。( = l ，t ，一l ，一i ，) ，则对应于( 2 5 ) 的空间分解，系数也有相应的塔式分 第一二章小波分忻基本理论 。m _ t m d j 、d j 2 ( 2 6 ) 于是，f 有以f 的分解式 几) 2 莩c j , k 2 弘 以 + c t _ 1 , 1 ，t 2 弘吐儿”+ 弘。以”+ 莩c j - 2 , k ，t 2 莩d j - 1 , k 。+ + 莩似+ 妒 2 i = - j k d m 卅+ k c - d , k 妒 2 7 = d 小( 此吼，m 叶o ) = d m 小 2 8 ( 2 8 ) 就是f 的小波级数这样，f 就被表示成为各种分辨率小波的线性组合其t d 。就是对应于小波函数的小波系数，也就是，在小波子空间上的投影系数 在实际应用中，如在信号与图像处理时，f 的展开式常常停留在( 2 7 ) 式i ： ( 2 7 ) 中，第一和式在小波子空间中，它表示信号的细节部分( e p 高频部分) ，一般包 含噪声：第二和式在尺度空间中( 即低频部分) ，它反映了信号的本征部分 定义2 2 ( 离散小波变换) 在( 2 8 ) 式中，被展为小波级数后，则f 的性态可 由d 。来描述在 ) 中，取不同的小波基妒，则- 厂会有不同的小波系数d ”但 一旦当y 。选定，则厂d 卅，被唯一决定于d 卅由投影理论 d = ( 加) = i 厂+ = 2 i i ，+ 孑( 2 * 咖 ( 2 9 ) 称( 2 9 ) 为厂对应于”的离散小波变换，记为妙坩) 在离散小波变换中 吒j = l 厂一坩出 一 c j 太阳射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究 若把小波基推广到一般的连续变量函数 b r ，a 0 )( 2 】o ) i j 称y ( ) 为容许0 、波或基小波，称( 2 1 1 ) 为容许条件， 数族当j 口b 连委变化时，对v 厂l 2 ) ，称 ( 以。) 2 丽1 腓审p ) 出 为连续小波变换记为f f 7 0 ，b ) 考虑 2 3m a l l a t 算法 丁十矿 者1 。 ( 2 11 ) 相应函数旗( 2 1 0 ) 为小波函 对v 6 上2 ( r 卜i ，! 【l u 厂2 莩。吩。3 莩。一，t 哆。t + k d j - i , k 。t 为考虑的独立性，不妨设= c “吩，则 c 。= ( 弘) = 军( 其中( 哆，吩 。) ：f 2 ；妒( 2 ，z f ) 2 竿妒( 2 j - i x - k k 钔 旷i 妒卜f ) 妒2i x - - 咖= p 2 妒忙一f j 妒尼皿 钔x ： - k = x - 一1 22 i o ( ( 2 x ”一( 1 2 k ) 凇虹h 。 = i一( 一j 扮i x 胁= ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 21 5 ) 第二章小波分析基本理论 从这可以看出，积分结果实际上与j 无关将( 2 1 5 ) 代回( 2 1 d ) 即得 写成矩阵形式有 c= y hc j i _ f - 2 p ，f c= 爿c f 2 1 6 ) 其中，c i _ i , c ，分别为系数仁。，。i 。，# i 。：的列阵形式为山( 2 1 5 ) 求得的 。 按特定形式排列而成的无穷矩阵( 2 1 6 ) 给出了两相邻尺度子空问中尺度系数之 问的递推关系 同理有 。 季t = ( 。) = g 。c 。 写成矩阵形式有：d 。= 6 q ( 2 1 7 ) 其中d j 一，为小波系数矗。的列阵( 2 - 1 7 ) 给出了一，中的小波系数与，中的尺度 系数之间的递推关系 将( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 合成m a l l a t 算法( 又称为塔式分解算法) ： p 。2 们，( 21 8 ) ? 。2g q 把，推广到一般，( 2 1 8 ) 给 b t c j 分解出c 。和q 一，的递推关系- ( 2 1 8 ) 也可写 为 h 广莩c 川 h 广车艮以， ( 2 1 8 ) 中的h 和g 在理论上，它们是无穷矩阵 ( 2 1 9 ) 当然在实际应用中总是取为有限 若已知分解后的系数，要重建原来的系数，则有重构公式 c ：何+ g d ( 22 0 ) j 1 1 一i 太刚射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究 其中h g + 分别为h ，g 的共轭转置矩阵 2 4 小波域滤波原理 通过对信号的小波变换系数的处理，可实现对原信号的修征，对高斯函数o ( x ) 令y ( ) = 掣，可以证明，矿( x ) 满足e o = l ，因此，咿可作为基小波，设n ( f ) 为 实的、方差为口2 的宽平稳信号，o ，f ) 为其小波变换，则有： l ，( s ，1 2 = e e n o k ( v p ，( f 一“妙凡一v ，幽 ( 2 2 1 ) 、而 ( 忱霄) = 忖：1 1 盯2 ，s 可以证明，岷( 5 ，) 局部极大值的稠度为 出= 爿端+ 锑 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 根据以上两式，作为一个平稳随机过程，它的平均功率随尺度的增大而递减，同时， 局部极大值的稠度也随尺度的增大而减小考虑一般，以上情况可由下面的 l i p s c h i t z 指数来描述 定义3 设 是一非负整数，n _ 口n + l ，我们说，( x ) 在点x 。为l i p s c h j t z 口， 如果存在两个常数一和自。po ) ，及n 次多项式艺弘) ，使得对任意的矗 。，均有 厂b 。+ h ) - 0 0 l 彳荆2 ( 2 2 4 ) 上式中的只q ) 为，b ) 在x o 点的幂级数展开式的前”次项，如果上式对所有 c ， ， 4 q o 卫 e q 拦 e j 一笙兰重：! ! 垫坌近些查堡堕 ! ! x 0 e k 6 】均成立，且x 。+ k ，6 】，称厂0 ) 在k ，6 】上是一致l i p s c h i t z 口的 特别地，如果o 口_ - 0 和一个m = k j 阶的多项式p ，使得v t r ，有 f 几) 一p ，( ，1 x l , 一v r ( 3 6 ) 则称函数- 厂( x ) 在v 点处具有l i p s c h i t z 指数口0 如果对所有的v k ，6 】，式( 4 ) 都 成立，其中k 与v 无关，则，g ) 在区间k ，6 】上具有一致的l i p s c h i t z 指数口，并称 f ( x 1 具有l i p s c h i t z 正则性，其正则性阶数定义为a 的上确界 特别地，如果0 口 1 ，则p ”( f ) = ，( v ) ，此时l i p s c h i t z 条件成为 确) 一f ( v ) k 卜v l “ ( 3 7 ) 若厂g ) 在v 点处地l i p s c h i t z 指数为0 ，则表明函数在该点有界但不连续：若在1 1 点 处的l i p s c h i t z 指数d 小于1 ，则s ( x ) 在该点处连续但不可微口刻画了奇异点的 类型 上述定义讨论了局部正则性，下面我们在频域讨论其一致f 则性 定义3 t 设厂如) 为函数i ( x ) 的f o u r i e r 变换，若其满足 太阡| 射电爆发中的纤维精细结构特征参数算法研究 i ，皓】0 叫纠。p f 一 + 。 ( 3 8 ) ll 则称函数厂( y ) 有界且在( 一m + 。) 上具有一致的l i p s c b i t z 指数口口刻画了函数 s ( x ) 的整体正则性的强弱 由上述定义可以看出，f 则性在数学上表现为小波基的可微性或光滑性 3 消失矩 对y - d , 波函数扛) el 2 ( r ) ，如果它满足 it b 胁= 0 ，。= o ，i ，r l ( 3 9 ) 则称y ( x ) 具有r 阶消失矩 般来讲，如果一个小波的消失矩为尺，则它对应的滤波器长度不能少_ _ 二 2 r d a u b e c h i e s 小波基双f 交基系列。c o i f l e t s 小波基，s j m l e t s 小波基系列都具 有较高的消失矩 从数值计算的角度看，消失矩的作用体现在压缩矩阵上，高的消失矩可使矩阵 变得更加稀疏在信号检测的应用中，为了能够有效地检测奇异点，小波基的消失 矩也必须具有足够的阶数，它与l i p s c h i t z 指数密切相关然而，突变信号的 【i p s c h i t z 指数一彀在( 0 ，1 ) 内，因此为了分析突变信号，消失矩的阶数也不能太高 过高的阶数将使分析结果模糊另外，从计算量的角度考虑，消失矩的阶数与紧支 撑区i l _ t j 相关，过高的阶数增加计算量 4 紧支性 若函数( f ) 在区间k ，6 】外恒为零，则称该函数在这个区间上紧支，称k ，b 】为y 的支集，l a ，b i 越小，支集越小，具有该性质的小波称为紧支撑小波，简称紧支小波 紧支撑是小波的重要性质，也“小波”这个名词的由来支集越小的小波，局部化能 力越强紧支小波不需作人为截断，应用精度高 在信号的突变检测中，紧支小波基是首要选择就紧支性来讲，紧支撑区间越 小，越有利于确定信号的突变点，不过同时又失去了好的正则性 不存在时域和频域同时紧支的小波基，一般更希望时域有紧支性，因此我们通 常所指的紧支性为时域紧支性 j 对称性 设妒( ) el 2 似) ，若l i c ，0 + ，) = ( 玎一f ) ，称( ，) 具有对称性若0 + ，) = 一如一f ) ， 称( f ) 具有反对称性 对称和反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的，可以构造紧支的小波基， 使其具有线性相位，这在图像处理中是非常重要的 但是，d a u b e c h i e s 已证明，除h a a r 小波外，不存在对称的紧支正交小波基所以， 人们为了得到对称的小波基，就要放弃小波基的一些其他特性，或在保持小波基的 第三章小波交换分离太阳射电频谱幽中的纤维结构 紧支性。f 交性时就只能得到近似对称性 二几种常用小波 随着小波理论及各种数值算法的发展，人们在一些基本小波的攀础h ，构造t 满足不同需要的小波，但基本小波也就那么几种本节就介绍几种常j = | 的一。维小波 及其性质 1 h a a r 小波 h a a r 于1 9 9 0 年提出一种f 交函数系，定义如下： f 10 x _ 1 ，2 妒0 ) = 一1 1 2 x 1( 3 1 0 ) 1 0其他 这是一种晟简单的f 交小波，即 ( ，沙( x - n ) d r = 0 ”= + 1 + 2 - ( 置1 1 ) 引入具有正交性的特征函数。( x ) 咖) = 话巍引 慨- z ) 特征函数痧。( x ) 就是尺度函数h a a r 小波可用。( x ) 表示为 咆( 亨旁) t ( 争孚) 删出z ， h a a r 小波不是连续可微的，应用有限，多用于理论研究实质上，h a a r 小波是 n ：