（概率论与数理统计专业论文）archimedean连接函数及其在投资组合优化中的应用.pdf

摘要 连接函数( c o p u l a ) 是用来描述多个随机变量间相依结构的统计方法，给定一 个连接函数和随机向量的边缘分布，就能确定随机向量的联合分布由于连接函数的 这种性质，可以构造出很多的多元联合分布，弥补了在金融数量分析等方面由于多元 联合分布的缺乏而假设随机向量的联合分布为正态分布的不足 本文分为四章 第一章为引言，介绍了多元资产的条件风险价值( c o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ，c v a r ) 的估计，以c v a r 为风险度量的投资组合优化模型和连接函数在 投资组合优化模型中的应用；最后给出了本文基于a r c h i m e d e a n 连接函数和p c c a r c h i m e d e a n 连接函数的“均值c v a r ”投资组合优化模型简介 第二章介绍了连接函数的定义、性质、估计方法和模拟方法重点介绍了多 维a r c h i m e d e a n 连接函数的定义、性质、几何设计样条( g e o m e t r i c a l l yd e s i g n e d s p l i n e ，g e d s ) 估计方法、模拟方法和连接函数的p c c ( p a i r - c o p u l ac o n s t r u c t i o n s ) 构造方法； 第三章在多维a r c h i m e d e a n 连接函数的估计和模拟方法的基础上，提出p c c a r c h i m e d e a n 连接函数的估计和模拟方法；提出了基于a r c h i m e d e a n 连接函数和 p c c a r c h i m e d e a n 连接函数的投资组合优化过程和投资组合优化模型的一种比较方 法 第四章为实证分析，考虑了三种指数：恒生指数，d o wj o n e s 工业指数和 沪深3 0 0 指数的收益率，用第三章中基于多维a r c h i m e d e a n 连接函数和p c c a r c h i m e d e a n 连接函数的投资组合优化过程得到了投资组合有效边界并与s t u d e n t - t 连接函数，c l a y t o n 连接函数比较，用多维a r c h i m e d e a n 连接函数和多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数对金融数据建模，进行投资组合优化，取得了更好的效 果 关键词：多维a r c h i m e d e a n 连接函数，多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数，投资 组合优化，a r ( r ) xg a r c h ( p , q ) a bs t r a c t c o p u l aa r ef u n c t i o n st h a tj o i no r ”c o p u l a ”m u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n st o t h e i ro n e d i m e n s i o n a lm a r g i n a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s g i v e nac o p u l aa n dt h eo n e - d i m e n s i o n a lm a r g i n a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s ，w ec a nc o n s t r u c tt h ej o i nm u l t i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n b e c a u s eo ft h i s ，u s i n gc o p u l ac a nc o n s t r u c tal o to fj o i nd i s t r i b u t i o n s , s u c ht h a tw ec a nd r o pt h ej o i n tn o r m a l i t ya s s u m p t i o no nr e t u r n s t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s c h a p t e ro n e i st h ep r e f a c e w ei n t r o d u c et h em e a s u r eo fr i s k c o n d i t i o n a l v a l u e a t r i s k ( c v a r ) a n di t su s ei no p t i m i z i n gp o r t f o l i o ；t h eu s eo fc o p u l ai n 叩一 t i m i z i n gp o r t f o l i oa n di n t r o d u c e dt h eo p t i m i z i n gm o d e lo fp o r t f o l i ow ep r o p o s e d b a s e do na r c h i m e d e a n i nc h a p t e rt w o ? w ei n t r o d u c et h ec o p u l a s u c ha si t sd e f i n i t i o n , p r o p e r t i e s ，e s t i m a t i o na n ds i m u l a t i o n , e s p e c i a l l ym u l t i v a r i a t ea r c h i m e d e a n sd e f i n i t i o n , p r o p e r - t i e s ，g e o m e t r i c a l l yd e s i g n e ds p l i n e ( g e d s ) e s t i m a t i o na n ds i m u l a t i o n ，a tl a s tw e i n t r o d u c eam e t h o dt oc o n s t r u c tc o p u l a p a i r - c o p u l ac o n s t r u c t i o n ( p c c ) i nc h a p t e r t h r e e ，w ep r o p o s e dam e t h o dt oe s t i m a t ea n d s i m u l a t ep c c a r c h i m e d e a n c o p u l aw h i c h i sb a s e do nt h ee s t i m a t i o na n ds i m u l a t i o no fa r c h i m e d e a nc o p u l a t h e n w ep r o p o s e dt h ep r o c e d u r eo fp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nb a s e do np c c - a r c h i m e d e a n c o p u l ao rm u l t i v a r i a t ea r c h i m e d e a nc o p u l a ，a tl a s t ，w ed i s c u s s e dt h ec o m p a r i s o n o ft h em o d e lo fp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n i nt h el a s tc h a p t e r ，w ea p p l yt h et h r e e d i m e n s i o n a la r c h i m e d e a nc o p u l aa n d t h r e e - d i m e n s i o n a lp c c - a r c h i m e d e a nc o p u l ai nt h ee m p i r i c a ls t u d y u s et h em e t h o d w e p r o p o s e di nc h a p t e rt h r e et oo p t i m i z i n gp o r t f o l i o e m p i r i c a ls t u d yd e m o n s t r a t e t h a tt h em u l t i - a r c h i m e d e a nc o p u l aa n dm u l t i d i m e n s i o n a lp c c - a r c h i m e d e a nc o p - u l ab a s e dc v a rm e t h o dd o e sb e t t e ri nt h eo p t i m i z i n go fp o r t f o l i ot h a nt - c o p u l aa n d c l a y t o nc o p u l a k e yw o r d s ：a r c h i m e d e a nc o p u l a ，p c c a r c h i m e d e a nc o p u l a , p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n , a r ( r ) xg a r c h ( p , q ) i i 第1 章引言 投资组合优化问题足指：给定d 个金融资产的历史价格( 或者收益率等) ，如何 选择这d 个资产的投资比例问题m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 创立的均值一方差模型为现代投 资理论作出了巨大贡献，均值一方差模型分别用证券收益率的均值和方差反映资产的 收益和风险状况投资者通过资产组合收益率的期望值和方差来选择有效资产组合每 个投资者都是风险厌恶的，即在给定期望收益率水平下选择有最小方差的组合 m a r k o w i t z 用收益波动的方差作为风险的度量，然而方差足衡量收益( 随机变 量) 的离散程度的，不管收益是向上波动还是向下波动，然而实际上，对金融机构和 投资者来说，相对于收益向上波动，收益向下波动而导致投资者遭受损失才是真正的 风险，因此用方差来描述风险存在着损失和盈利起着对称作用的缺陷m a r k o w i t z 指 出在均值风险的方法下，可以用其它风险度量代替方差建立投资组合优化模型 由于方差在度量风险中的缺陷，研究者引入了描述风险的另一种度量一风险价 值( v a l u ea tr i s k ，v a r ) 它表示在未来一定时期内和给定的置信水平下，某资产或 资产组合可能遭遇到的最大潜在损失它集中考虑收益向下波动的风险，因此它作 为对风险的度量得到广泛认可用v a r 代替方差来度量风险，就得到了均值一v a r 投 资组合优化模型但是v a r 风险度量方法也存在严重的缺陷首先，根据a r t z n e r 等 ( 1 9 9 9 ) ，v a r 不一定满足次可加性( 正态分布时满足) ，因而不是一致性风险度量 这意味着用v a r 来度量风险，证券组合的风险不一定小于各证券风险的组合，这与 风险分散化的市场现象相违背，从经济意义上来讲是不合理的其次，a r t z n e r 也说 明了v a r 不一定满足凸性( 正态分布时满足) ，因此，均值v a r 投资组合优化模型 可能存在多个局部极值，使得通过有效的优化技术寻找最佳投资组合的努力变得很困 难最后，v a r 只依赖于损失函数的分位数，虽然能够以较大的概率保证损失不超过 它，但是不能表明损失一旦超过v a r 这种极端情形时潜在损失的大小 1 1 基于条件风险价值( c v a r ) 的投资组合优化模型 为了克服v a r 的不足，一些学者提出了条件风险价值( c o n d i t i o n a lv a l u ea t r i s k ，c v a r ) ，它是指损失超过v a r 的条件均值，反映了损失超过v a r 阀值时可能 遭受的平均潜在损失的大小，较之v a r 更能体现潜在的风险价值并且p f l u g ( 2 0 0 0 ) 证明了c v a r 满足凸性，是一致性风险度量，因而被学术界认为是一种比v a r 风险 度量技术更为合理有效的现代风险管理方法 浙江大学硕士学位论文 2 考虑单个金融资产，假设y 为对损失有影响的不确定性，如收益率或巾- 场价格 等f ( r ) 表示由y 引起的该金融资产的损失随机变量在置信水平p f 0 ，1 】下，损失 ，( y ) 对应的一v a r = m i n n ( 一。、) ：b ( ) 。p ( y ) d y2 p ) ，损失( y ) 对应的 一c v a r 定义为损失f ( r ) 超过口一v a r 时的条件期望e ( ，( y ) i ，( y ) p v a r ) 即 3 - c v a r = e ( 肛) y ) - v a r ) = 南厶沙眦触) p ( 蜘， 其中p ( y ) 是随机变量y 的概率密度函数 对于d 维资产组合来说，假设厂( ，y ) 表示在决策向量u = 1 ，u 2 ，u d ) t 下 的损失函数，其中随机向量y = ( m ，y 2 ，虼) 7 为对损失有影响的不确定性，如收 益率或市场价格等；决策向量u = ( u l ，u 2 ，u d ) t 可以看成资产组合的权重，表 示u 的可行集 那么在给定的决策向量和置信水平房 0 ，1 】下，损失，扣，y ) 对应的一v a r 和臼一c v a r 可以通过以下表达式来计算： p v a r ( w ) = m i n a ( 一。，。o ) ：p ( y ) d y p 】， ，( u ，可) n , ，- c v a r ( u ) = 南厶啦，m 川p ( 州耖， 其中p ( y ) 是随机向量y 的联合密度函数 构造函数 昂( 邺) = 口+ 南厶( 一洲叭) 叫+ p ( 班秒， ( 1 - 1 ) 其中嘲+ = m a x ( t ，o ) 性质1 1 昂( u ，o t ) 作为o l 的函数是连续可微的凸函数对于任意u ，损失 ，( u ，y ) 对应的p c v a r 可由以下公式得到： 3 一c v a r ( w ) = m ，i n 、曩，( u ，a ) ， o ( 一，) 上述公式中取到最小值时的o l 组成的集合a z ( w ) 是一个非空，闭的有界区闯( 可能退 化成一个点) ，并且a z ( w ) 的左端点即为损失对应的p v a r ( w ) 浙江大学硕士学位论文3 定理证明可参见r o c k a f e l l a r 等( 2 0 0 0 ) 这个定理表明乃( “，“) 作为n 的函数足连 续可微的凸函数所以很容易用数值方法求最小值并且这个定理也表明p c v a r 的计算可以不依赖于卢一v a r ( 按照定义计算卢一v a r 比较复杂) ，而p v a r 作为 副产物可以同时得到 性质1 2 在a 中最小化一c v a r ( w ) 与在p ，a ) a ( 一。，) 中最小化 玛( u ，q ) 是等价的，即 r a 伽i n , 3 一c v a r ( u ) = 銎x i 。，。) 昂( u - 仅) ， 叫 f u ，o ) f 一0 0 1 尸， 当损失函数，y ) 关于决策向量u 是凸函数时，昂( u ，q ) 关于，o t ) ，p c v a r ( w ) 关于) 都是凸的，并且如果是一个凸集，则上述两个最小化问题都是凸规划问 题 定理证明可参见r o c k a f e l l a r 等( 2 0 0 0 ) 这个定理表明，要对口一c v a r ( w ) 关于 u a 最小化, - i d a 直接对昂( u ，0 1 ) 关于( u ，o l ) a ( 一，。) 最小化并且当厂( u ，y ) 关于决策向量u 是凸函数，是一个凸集时，最小化问题转化为凸规划问题，易于求 解 令随机向量y 表示这d 为资产的收益率向量；决策向量u 表示投资组合的权 重，满足屿= 1 ，0 ，j = 1 ，2 ，jd ；损失函数厂，y ) = 一“，丁y ，对给定的 0 ，1 1 用c v a r 代替方差来度量风险，就得到了均值一c v a r 模型( 其中为 投资者的期望收益率) ： “ 豪孙一“ 咄m i ( n 一。) 乃( 邺) - - - - c t + 两1 厶( 一酬 - - w t y - - o l h ( 班可 “陲，恕 2 ， 塑垩盔堂塑主兰垒丝垒二。，。，。 定义( u ，o ) 的( 1 1 ) 式中的积分可以用模拟的方法来近似假设协= ( 耖1 j ，锄，蚴) ， j = 1 ，2 一，n 足模拟得到的密度函数为p ( ) 的随机数，那么 嘶= a + 斋与粪c - - w t y j - a 】+ 岛，q ) 关于o l 是凸的、分段线性的函数 当用岛( u ，a ) 来近似f 口0 ，q ) 时，通过使用虚拟变量乃，j = 1 ，2 ，n ，函数 n 声，q ) 可以用线性函数a + 丽南暑乃来表示，且线性约束集为： 勺+ t 缈+ o 0 ， 乃0 ，j = 1 ，2 ，n ， n ( 一o o ，。) 因此，根据性质( 1 1 ) 给定权重向量u 和收益率随机数协= ( y l j ，物，蜘) ， j ：1 ，2 ，n 后，损失，( u ，y ) = 一w t y 的f l - c v a r 估计问题可以转化为如下线性 删腿： 飘，n + 志粪乃 ( 。，黑乞) n + 丽f 面备乃 得到的最小值即为损失一w t y 的p c v a r ，口即为损失一u t y 的p v a r 投资组合优化问题( 1 2 ) 可以转化为如下线性规划问题： 凛刎n + 而与善乃 ， l u 丁雪2 3 ， 8 t 2 蚤1 炉h 应0 扛l 2 ，d ， ( 1 4 ) 括 、1 ， i 乃+ q + u t y 32 0 ， z j 0 ， j = 1 ，2 ， 【q ( 一。，。) 其中雪表示收益率随机数协= ( 玑j ，y 巧，西) ，j = 1 ，2 ，n 的平均值，是期望收 益率e y 的估计解得的向量u 即为最优投资比例最小值为损失一u t y 的3 一c v a r 值，n 为损失一u 丁y 的，一v a r 值 o m 1 t 7” u x v 歹归 虻q 卜 浙江大学硕士学位论文 5 1 2 连接函数在投资组合优化中的应用 从v a r 和c v a r 对定义中可以看出，要估计v a r 和c v a r ，要求随机向量y 的 联合分布是已知的因此，要想建市均值一v a r 或者均值一c v a r 模型来选择最优投资 组合，必须先估计随机向量y 的联合分布一种简单的方法就是假设随机向量y 的联 合分布为正态分布，但是研究表明正态分布不一定是一个好的模型，金融数据往往有 尖峰厚尾的特性，使得用正态分布很难捕捉金融变量的尾部相依性连接函数是用来 描述多个随机变量间相依结构的统计方法，它将随机向量的边缘分布和联合分布联系 起来能将估计联合分布的问题转化为估计边缘分布和连接函数两步独立的过程，因 此可以用连接函数工具来估计随机向量y 的联合分布 自从e m b r e c h t s 等( 1 9 9 9 ) 将连接函数引入到金融分析领域后，它在金融领域的 应用蓬勃发展，尤其是在风险分析方面例如，c h e r u b i n i ( 2 0 0 1 ) 以历史收益率为独 立样本，讨论了用连接函数估计两资产情形的v a r ，并在此基础上讨论了资金分配问 题；张明恒( 2 0 0 4 ) 以历史收益率为独立样本，研究了多资产v a r 的连接函数计算方 法；吴振翔等( 2 0 0 4 ) 以历史收益率为独立样本，探讨了连接接函数相依结构下两资产 的组合投资问题 近年来，一些学者把g a r c h 模型和连接函数结合，动态地对金融变量问的相 依性和风险加以研究例如j o n d e a u 等( 2 0 0 2 ) 建立了c o p u l a - g a r c h 模型，并对金 融指数问的相关性进行分析，j o n d e a u 考察了多种连接函数，发现s t u d e n t t 连接函 数能较好描述金融变量之间的相关性p a l a r o ，h o t t a ( 2 0 0 6 ) 讨论了用条件连接函数 和a r ( 1 ) x g a r c h ( 1 ，1 ) 模型估计两资产组合的v a r ，并通过实证分析表明用连接函 数模型估计v a r 取得了很好的效果 以上研究的都是2 维情形，一些学者试着将投资组合优化模型推广到多维吴振 翔等( 2 0 0 6 ) 采用c o p u l a - g a r c h 方法考察多资产的组合投资风险分析问题，选用 了多维s t u d e n h t 连接函数和正态连接函数估计多元投资组合在将来某时刻存在的风 险价值v a r ，并在v a r 最小原则下，给出相对应的最优投资组合b a i 等( 2 0 0 7 ) 用基 于连接函数的m o n t ec a r l o 模拟方法来估计多维投资组合的c v a r ，并建立“均值 c v a r ”模型来进行最优投资组合选择b a i 等讨论的是3 维的连接函数，选择3 维 c l a y t o n 连接函数( 多维a r c h i m e d e a n 连接函数类中的一参数族连接函数) 来进行研 究b a i 说明了用“均值- c v a r ”模型求最优投资组合比传统的m a r k o w i t z 均值一方 差模型要好 总体来说，国内对连接函数在多元投资组合优化中的应用研究还不多，在用连接 浙江大学硕士学位论文 6 函数考察多维向量之间的相依性时往往假设多维连接函数是某一个特定的参数族多维 连接函数( s t u d e n t t 连接函数，正态连接函数c l a y t o n 连接函数等) ，不够灵活，还 有改进的空间 1 3 本文研究的投资组合优化模型简介 本文分别用多维a r c h i m e d e a n 连接函数和多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数结 合a r ( r ) x g a r c h ( p , q ) 模型动态的来考察多元投资组合优化问题使连接函数在金 融分析中的应用不局限于少数参数族，更加灵活 多维a r c h i m e d e a n 连接函数是由一个一维函数决定的，它比参数族更加灵活， 因此用它来对金融数据进行建模，与参数族连接函数相比，能更好地估计多维资产的 联合分布多维p c c - a r c h i m e d e a n 连接函数是由若干个函数决定的，决定它的函数 个数与它的维数有关它比多维a r c h i m e d e a n 连接函数更加灵活，用它对金融数据进 行建模，与多维a r c h i m e d e a n 连接函数相比，能更好地估计多维资产的联合分布本 文在多维a r c h i m e d e a n 连接函数的g e d s 估计方法和模拟方法的基础上，提出了一 种多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数的估计方法和模拟方法 给定d 个金融资产的历史收益率为( 秒l 。，耽，黝) ，t = 1 ，2 ：一，丁，首先检验 这d 个收益率序列是否存在自相关性和异方差性，如果存在，则用a r ( n ) x g a r c h ( p q ) 模型来消除收益率的自相关性和异方差性，然后对消除了自相关性和异方差性 的数据分别用多维a r c h i m e d e a n 连接函数和多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数对联 合分布建立模型，用几何设讨样条( g e o m e t r i c a l l yd e s i g n e ds p l i n e ，g e d s ) 估计 方法估计多维a r c h i m e d e a n 连接函数的生成元和多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数 的生成元，然后通过模拟产生下时刻收益率的随机数，用这些随机数估计多资产组 合的c v a r ，建立“均值- c v a r ”投资组合优化模型( 1 4 ) ，求得投资组合有效边界 在实证分析中，考虑了三种指数：恒生指数，道琼斯工业指数和沪深3 0 0 指数的 收益率，用上述方法建立“均值一c v a r 投资组合优化模型( 1 4 ) ，求得投资组合有效 边界，最后将用多维a r c h i m e d e a n 连接函数和多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数进 行投资组合最优与用s t u d e n t - t 连接函数和c l a y t o n 连接函数进行投资组合最优进行 比较，说明用多维a r c h i m e d e a n 连接函数和多维p c c a r c h i m e d e a n 连接函数进行 投资组合最优取得了更好的效果 整篇文章的结构是：第二章：介绍连接函数，特别是a r c h i m e d e a n 连接函数的 定义、性质、g e d s 估计方法和模拟方法第三章：基于连接函数的投资组合优化过 程第四章：实证分析 第2 章连接函数( c o p u l a ) 连接函数是用来描述多个随机变量间相依结构的统计方法，它将随机向量的边缘 分布和联合分布联系起来利用随机向量的边缘分布，连接函数可以用来确定随机向 量的联合分布；通过给定的连接函数和不同的边缘分布可以构造出很多不同的联合分 布，扩大了多元联合分布的种类，因此引起了很大的关注这方面的研究很多，连接 函数理论最早可以追溯到s k l a r ( 1 9 5 9 ) ；g e n e s t m a c k a y ( 1 9 8 6 ) 、j o e ( 1 9 9 3 ) 等对它 进行了更深入的研究，逐渐成为构造多元联合分布和描述随机变量间相依结构的重要 工具；n e l s e n ( 1 9 9 9 ) 和m a t t e i s ( 2 0 0 1 ) 对连接函数做了较好的总结 2 1 连接函数的定义 定义2 1 一个2 一维连接函数c 是指 0 ，1 】2 到 0 ，1 】的函数，满足 ( 1 ) 讹，口【0 ，1 ， c ( u ，0 ) = c ( o ，v ) = 0 ，c ( 札，1 ) = u ，c ( 1 ，可) = t ，； ( 2 ) 若1 1 1 ，u 2 ，v l ，v 2 0 ，1 】，1 1 1 u 2 ，u 1 v 2 ，则 c ( u 2 ，v 2 ) 一c ( u 2 ，u 1 ) 一c ( u l ：v 2 ) + c ( u l ，v 1 ) 0 ， 相应的，我们可以定义多维连接函数 定义2 2 一个n 一维连接函数是指 0 ，1 】”到 o ，1 的函数，满足 ( 1 ) v u = ( u i ，珏2 ，钆札) f 0 ，1 】”， 如果3 k l ，2 ，n ) ，u k = 0 ：则c ( u ) = 0 ， 如果u l = = u k 一1 = “七+ 1 = = “n = 1 ，则c ( u ) = u k ； ( 2 ) 若a ，b 0 ，1 】“且asb ( 表示a is 如，i = 1 ，2 ，凡) 则【o ，6 】0 ， 其中场 n ，6 】= ：e ( ) = = 茏c ( t ) ， a c ( t ) = c ( t l ，t 2 ，一，t k 一1 ，b k ，t k + l ，t n ) 一c ( t l ，t 2 ，t i c l ，a k ，t k + l ，一，t n ) 从连接函数的定义可以看出，任意一个连接函数都是一个联合分布函数，它的任 意一维边缘分布都是 0 ，1 】上的均匀分布 7 浙江大学硕士学位论文 8 2 2s k l a r 定理 s k l a r 定理是连接函数理论中一个很重要的定理 定理2 1 ( s k l a r ) 如果日是一个二维联合分布函数，它的边缘分布函数分别为 只g ，那么一定存在一个连接函数c ，使得对v x ，y 【一。，。】， h ( x ，y ) = c ( f ( z ) ，g ( 可) ) ， ( 2 1 ) 如果f g 都是连续的，则c 是唯一确定的；否则c 在r a n fx r a n g ( r a n f 表示函 数f 的值域) 上是唯一确定的相应地，如果c 是一个连接函数，只g 是两个一维分 布函数，则( 2 1 ) 式定义的h 是一个联合分布函数，它的边缘分布函数分别为f g 定理证明可参见n e l s e n ( 1 9 9 9 ) s k l a r 定理可以推广到多维情形 定理2 2 ( n 一维s k l a r 定理) 如果h 是一个铊一维联合分布函数，它的边缘分布函数 分别为只，f 2 ，f 竹那么一定存在一个佗一维连接函数c ，使得对v ( x l ，x 2 ，z 。) 一。，。p ， h ( x l ，x 2 ，z 。) = c ( f i ( x 1 ) ，最( z 2 ) ，r ( z 。) ) ，( 2 2 ) 如果r ，局，r 都是连续的，则c 是唯一确定的，否则c 在r a n f l r a n f z r a n f 上是唯一确定的相应地，如果c 是一个礼一维连接函数，f 1 ( z 1 ) ，恳( z 2 ) ， ，r ( z 。) 是一维分布函数，则由( 2 ，2 ) 式定义的h 是一个t , 一维联合分布函数，它的 边缘分布函数分别为日( z 1 ) ，f 2 ( z 2 ) ，r ( z 。) s k l a r 定理表明给定一个佗维联合分布函数和它的n 个边缘分布，就可以得到 一个连接函数，如s t u d e n t - t 连接函数，正态连接函数等而任意一个n 维连接函数 和n 个一维分布函数就能定义一个有效的几维联合分布函数这样，由一个n 一维联 合分布，通过它构造得到一个孢维连接函数，然后用其他边缘分布来代替原来联合 分布中的边缘分布。这样就能构造一个不同的礼维联合分布在经济和统计文献中， 有很多可变参数一元分布函数族，但是可变参数联合分布函数族却很少通过这种方 法，就能构造很多可变参数联合分布函数族，从而建立更好的模型同时，由s k l a r 定理，我们可以将估计随机向量联合分布问题转化为以下两步独立的过程：1 估计随 机向量的一维边缘分布；2 估计随机向量的连接函数在估计随机向量联合分布的过 程中将估计边缘分布和它们之间的相依结构分离开来，能够取得更好的效果，并且估 计一元随机变量分布的方法有很多，可以直接使用这样就可以简化估计联合分布函 数的过程 浙江大学硕士学位论文 9 2 3 连接函数和随机变量 定理2 3 假设随机变量x 和y 是连续型随机变量，它们之间的连接函数是 c x v ，1 和分别在r a n x 和r a n k 7 上严格递增，那么q ( x ) 序( y ) = ( k y 定理2 4 假设随机变量x 和y 是连续型随机变量，它们之间的连接函数是 c x v ，q 和分别在r a n x 和r a n y 上严格单调， 1 如果q 是严格递增的，p 是严格递减的，那么 ( 五( x ) p ( y ) ( 钆， ) = u 一二k ，( u ，1 一u ) 2 如果q 是严格递减的，是严格递增的，那么 ( 七( x ) 俄y ) ( 牡，v ) = 口一c x v ( 1 一“，可) 3 如果q 和p 都是严格递减的，那么 瓯( x 归( ) ( u ，v ) = u + 一1 + c x y ( 1 一u ，1 一 ) 这两个定理的证明可参见n e l s e n ( 1 9 9 9 ) 它们表明随机变量在一定的变换下，它 们的连接函数的变化是可以预测的凶此可以应用在非参数统计中 2 4a r c h i m e d e a n 连接函数 a r c h i m e d e a n 连接函数是很重要的一类连接函数它易于构造，包含很多常用参 数连接函数族并且拥有很多很好的性质，因此对它的研究比较多，应用也比较广 2 4 1 二维a r c h i m e d e a n 连接函数 定义2 3 若妒：【0 ，1 】一 0 ，+ 。】是一个连续，严格递减的凸函数，满足妒( 1 ) = 0 ， 定义 飞归k 0 兰高三曼 则c ( u ， ) = 妒 _ 1 】( 妒( “) + 妒( t 啪是一个2 维连接函数，称为a r c h i m e d e a n 连接函数 妒( ) 称为是这个a r c h i m e d e a n 连接函数的生成元 由a r c h i m e d e a n 连接函数定义可以知道，印和妒( 其中c 是一个常数) 生成的 a r c h i m e d e a n 连接函数是一样的 浙江大学硕士学位论文1 0 a r c h i m e d e a n 连接函数包含很多常用的参数族连接函数，如c l a y t o n 族c ( u ， ) = m a x ( ( 札埘+ 口一1 ) ，o ) ，它的生成元足p ( ) = 宰；a 1 i m i k h a i l h a q 族c ( u ，可) = f 丽岩褊，它的生成元是妒( ) 一i n 半；g u m b e l 族c ( u ，u ) = e ( ：( m “，。+ ( k ”) 8 寺) ， 它的生成元是妒( ) = ( 一i n t ) 8 ；f r a n k 族c ( u ，u ) = 一；l n ( 1 十生竺寻埏型) ，它的生 成元是妒( ) = 一i n 等等等等 a r c h i m e d e a n 连接函数的性质： 性质2 1 设u ，y 是【0 ：1 上的均匀随机变量，它们的联合分布函数为a r c h i m e d e a n 连接函数c ，生成元是妒，则随机变量c ( 以y ) 的分布函数为 蟛= z 一器， 并且随机变量u ，c ( v ) 的联合分布函数为 州峻叫驯= _ 帮 s t ( 2 3 ) 证明可参见n e l s e n ( 1 9 9 9 ) 根据a r c h i m e d e a n 连接函数的这个性质，a r c h i m e d e a n 连接函数的估计可以通过估计随机变量e ( 以y ) 的分布函数k ( t ) 来实现 2 4 2 多维a r c h i m e d e a n 连接函数 将二维a r c h i m e d e a n 连接函数推广到多维由c m l ，“2 ，“d ) = 妒卜1 】( 妒( 饥1 ) + 妒( u 2 ) + + 妒( 乱d ) ) 构造得到的c 不一定是d - 维连接函数，因此为了将二维 a r c h i m e d e a n 连接函数推广到多维，使上式定义的c 是一个d 维连接函数，我们要 对函数妒再加一些限制条件 定义2 4 设妒： 0 ，l 】“_ 【o ，+ 。】是连续、严格递减的函数，满足妒( o ) = + o 。，妒( 1 ) = 0 ，妒- 1 表示妒的反函数，妒_ 1 有至少d 阶( 包括d 阶) 导数，满足 j k ( 一1 ) 七惫妒。1 ( z ) 0 ，k = 1 川2 一，d 则c ( 仳l ，2 ，u d ) = 妒一( 妒1 ) + 妒( u 2 ) 十+ 妒( t 蚶) ) 是一个d 维连接函数，称为小 维a r c h i m e d e a n 连接函数妒( ) 称为是这个出维a r c h i m e d e a n 连接函数的生成元 根据b a r b e 等( 1 9 9 6 ) ，设以，巩，是 o ，1 j 上的均匀随机变量，它们的联合 分布函数为小维a r c h i m e d e a n 连接函数c ，生成元足，则在假设 长学岳妒一1 ( z ) i 。：妒( t ) _ 0 当t _ 0 + 时，i = 1 ，2 ，d 一1 下，随机变量c r ( 仉，u 2 ，) 的分布函数k ( ) 有如下表达式： 即h + 曼( 叫t 掣杀妒弋砒刊幻k ( ) = t + ( 一1 ) 1 鼍竽杀妒一( 砒刊 ( 2 4 ) 因此，与2 维a r c h i m e d e a n 连接函数类似，d 一维a r c h i m e d e a n 连接函数的估计可以 通过估计随机变量c ( 巩，u d ) 的分布函数k ( t ) 来实现 多维a r c h i m e d e a n 连接函数将2 维a r c h i m e d e a n 连接函数推广到了多维，它的 任意两维边缘分布都是一样的 2 5p c c ( p a i r - c o p u l ac o n s t r u c t i o n s ) 连接函数 p c c 连接函数最早是由j o e ( 1 9 9 6 ) 提出来的，b e d f o r d a n d c o o k e ( 2 0 0 1 ，2 0 0 2 ) ， k u r o w i c k aa n dc o o k e ( 2 0 0 6 ) ，a a se ta 1 ( 2 0 0 7 ) 等对它进行了更深入的研究 p c c 连接函数是一种递归结构，它将d 维密度函数分解成d 个边缘密度函数和 d ( d 一1 ) 2 个2 维连接函数密度函数，这d ( d 一1 ) 2 个2 维连接函数密度函数中，前 d 一1 个足无条件密度函数，其他是条件密度函数 dd id - j ，( 忍) = 他m ) r l1 1 “f ( 兢h ，x i 钾一- ) ，f ( x 州盼一，x + j 一- ) ) k = l j = li = 1 其中勺，。( u ， ) = 丝掣，g ， u ， ) 为二维连接函数，条件分布函数 f ( x , l x t + l ，- ，x i q - j 一1 ) f ( z + j z t + l ，z t + j 一1 ) o c t , i + l ( f ( z + j l x i + 2 ，z 十j 1 ) ，f ( x 。+ 1i ：r 。+ 2 ，：兰! ! 二12 2 = _ _ 。i 一一 o f ( x + ll x i + 2 ，x i + j 1 ) p c c 连接函数足用2 维连接函数递归构造得到的多维连接函数假设一维边缘分 布为 0 ，1 上均匀分布，则一个4 维p c c 连接函数为： c ( u l ，u 2 ，u 3 ，u 4 ) = c l l ( u l ，1 2 2 ) c 1 2 ( 2 ， t t 3 ) c 1 3 ( t t 3 ，t 4 ) c 2 l ( f ( “1 i u 2 ) ，f ( u 3 1 u z ) ) - c 2 2 ( f ( u 2 1 u 3 ) ，f ( u 4 1 u 3 ) ) c 3 l ( f ( u 1l i t 2 ，u 3 ) ，f ( u 4 i 钆2 ，u 3 ) ) 其中f ( 乱ll u 2 ) = o c , l ( “l ，u 2 ) 抛2 ，f ( u 3 1 u 2 ) = o c , 2 ( u 2 ，u 3 ) 砒2 7f ( u 2 l u 3 ) = o c , 2 ( u 2 ，u 3 ) o u 3 ， f ( u 4 l “3 ) = d c l 3 ( u 3 ，u 4 ) 抛3 ，f ( 乱l i t 正2 ，u 3 ) = o c 2 l ( f ( u l l u 2 ) ，f ( u 3 i “2 ) ) a f ( u 3 i 仳2 ) ， f ( u 4 l 让2 ： i t 3 ) = a ( f 2 2 ( f ( u 4 l u 3 ) ，f ( 让2 | “3 ) ) a f ( 札2 l t 上3 ) 1 1 浙江大学硕士学位论文 1 2 图2 1 说明了4 维p c c 连接函数的构造 图2 1 4 维p c c 连接函数的构造 图2 1 中的连接函数g l ，g 2 ，g 3 ，q 1 ，q 2 ，岛l 可以