2019-2020学年数学高中人教A版必修2学案：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 本章小结 含解析.docx

教学资料范本2019-2020学年数学高中人教A版必修2学案：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 本章小结 含解析编 辑：_时 间：_本章小结学习目标重点:空间直线、平面的位置关系,直线、平面平行的判定定理和性质定理,直线、平面垂直的判定定理和性质定理.难点:空间中平行关系、垂直关系、平行与垂直关系之间的转化.合作学习一、知识结构 二、知识梳理 1.四个公理2.直线与直线的位置关系3.等角定理4.直线与平面的位置关系5.平面与平面的位置关系三、【典例选讲】 【例1】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.变式训练1:如图,ABC在平面外,AB=P,BC=Q,AC=R,求证:P,Q,R三点共线.【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.变式训练2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成的角的大小.【例3】 如图,PA矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求证:MN平面PAD;(2)求证:MNCD;(3)若二面角P-DC-A大小为45,求证:平面PMC平面PDC.变式训练3:如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求证:BE=DE;(2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.四、作业布置必做题:1.设l是直线,是两个不同的平面()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若,l,则lD.若,l,则l2.如图,在空间四边形ABCD中,MAB,NAD,若AMMB=ANND,则MN与平面BDC的位置关系是.3.如图,在四面体P-ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=234.F是线段PB上一点,CF=151734,点E在线段AB上,且EFPB.证明PB平面CEF.选做题:如图1,在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2.(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE.参考答案二、1.四个公理及推论公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.四个公理的作用:(1)公理1:检验平面;判断直线在平面内;由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2)公理2:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.(3)公理3:判定两平面相交;作两平面相交的交线;证明多点共线.(4)公理4:证明线线平行.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行相交 异面直线 (2)异面直线所成的角定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).范围:090.思考探究:如果两条直线没有任何公共点,则两条直线为异面直线,此说法正确吗?提示:不正确.如果两条直线没有公共点,则两条直线平行或异面.3.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.直线与平面的位置关系(1)位置关系的分类直线在平面内直线在平面外直线与平面平行直线与平面相交 (2)直线和平面平行的判定定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面;判定定理:a,b,aba;其他判定方法:,aa.(3)直线和平面平行的性质定理:a,a,=lal.(4)直线与平面垂直的判定定义法;利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.思考探究:能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”?提示:不可以.当这无数条直线平行时,直线l有可能在平面内,或者l与平面相交但不垂直.(5)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.垂直于同一个平面的两条直线平行.垂直于同一直线的两平面平行.(6)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90和0.思考探究:如果两直线与一个平面所成的角相等,则这两直线一定平行吗?提示:不一定.这两条直线的位置关系可能平行、相交或异面.5.平面与平面的位置关系(1)位置关系的分类两个平面相交两个平面平行 (2)两个平面平行的判定定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行;判定定理:a,b,ab=P,a,b;推论:ab=P,a,b,ab=P,a,b.思考探究:如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面一定平行吗?提示:不一定.如果这无数条直线互相平行,则这两个平面就可能相交.(3)两个平面平行的性质定理,=a,=bab;,a=a.思考探究:垂直于同一平面的两平面是否平行?提示:不一定.两平面可能平行,也可能相交.(4)平面与平面垂直的判定定义法;定义法;利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.(5)平面与平面垂直的性质两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(6)二面角的有关概念二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.三、【例1】 分析:对于(1)由EFCD1可得E,C,D1,F四点共面;对于(2)先证CE 与D1F相交于P,再证PDA即可得到CE,D1F,DA三线共点.证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFBA1.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P,则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA,CE,D1F,DA三线共点.点评:平面的基本性质是研究立体几何的基础,公理3是将立体几何图形问题转化为平面几何图形问题的理论依据,在这里判断和证明点、线共面问题就显得十分重要了.变式训练1:证明:因为AB=P,AB平面ABC,所以P平面ABC,又P,所以P在平面ABC与平面的交线上.同理可以证明Q,R均在这条交线上.所以P,Q,R三点共线.【例2】 分析:将异面直线通过平行线“平移”为相交直线,则可以找到异面直线所成的角,再通过解三角形求解即可.解析:过M作MKDN交棱CC1于点K,连接A1K,则A1MK就是异面直线A1M与DN所成的角(或其补角),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,可以求得MK2=516a2,A1M2=94a2,A1K2=4116a2,那么MK2+A1M2=A1K2,所以A1MK是直角三角形,所以A1MK=90,即异面直线A1M与DN所成的角是90.答案:90点评:求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:(1)直接平移;(2)中位线平移;(3)补形平移.变式训练2:(1)60;(2)90.【例3】 分析:(1)取PD中点E,连接AE,EN,转化为证四边形AMNE为平行四边形,即用线线平行来推导线面平行.(2)先证AB平面PADABMN,再利用CDAB可得结论.(3)先由PA平面ABCD,所以PAAD和APD=45,E为PD中点AEPDMNPD.再由MNCD证出MN平面PCD.证明:(1)取PD中点E,连接AE,EN,则EN12CD12ABAM,故四边形AMNE为平行四边形,所以MNAE,又因为AE平面PAD,MN平面PAD,所以MN平面PAD.(2)因为PA平面ABCD,所以PACD,又因为ADCD,所以CD平面PAD,所以CDAE,又因为MNAE,所以MNCD.(3)因为CD平面PAD,所以CDAD,CDPD,所以PDA就是二面角P-DC-A的平面角,即PDA=45,由PA平面ABCD,所以PAAD,那么PAD为等腰直角三角形,因为E是PD的中点,所以AEPD,又AEMN,所以MNPD,根据(2)的结论MNCD,且PDCD=D,所以MN平面PDC,又MN平面PMC,所以平面PMC平面PDC.点评:本题综合考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定、线线垂直的证明以及线面平行的判定,是对立体几何知识的综合考查.培养了学生平面与空间及线线关系、线面关系、面面关系的转化能力.变式训练3:证明:(1)取BD中点O,连接OC,OE,则由BC=CD知,COBD,又ECBD,ECCO=C,所以BD平面EOC.所以BDOE,即OE是BD的垂直平分线,所以BE=DE.(2)取AB中点N,连接MN,DN,DM,因为M是AE的中点,所以MNBE,又MN平面BEC,BC平面BEC,所以MN平面BEC.又因为ABD是等边三角形,所以BDN=30.又CB=CD,BCD=120可知,CBD=30,所以NDBC,又DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN平面BEC.又MNDN=N所以平面MND平面BEC,又DM平面MND,所以DM平面BEC.五、必做题:1.B2.MN平面BDC3.证明:因为PA2+AC2=36+64=100=PC2,所以PAC是以PAC为直角的直角三角形,同理可证PAB是以PAB为直角的三角形,PCB是以PCB为直角的三角形,故PA平面ABC.又因为SPBC=12BCPC=12610=3